Revista Transformada Z
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Revista SAIA UFT Transformada Z | 1 Edición número 1 – Venezuela – Diciembre 2011
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La Transformada Zeta (TZ) es un modelo matemático que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Señales Digitales, como son el análisis y proyecto de Circuitos Digitales, los Sistemas de Radar o Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de Control de Procesos por computadoras.
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Revista SAIA UFT Transformada Z | 1
Edición número 1 – Venezuela – Diciembre 2011
Revista SAIA UFT Transformada Z | 2
Editorial
La Transformada Zeta (TZ) es un modelo
matemático que se emplea entre otras
aplicaciones en el estudio del
Procesamiento de Señales Digitales, como
son el análisis y proyecto de Circuitos
Digitales, los Sistemas de Radar o
Telecomunicaciones y especialmente los
Sistemas de Control de Procesos por
computadoras.
La Transformada Z es un ejemplo más de
Transformada, como lo son la Transformada
de Fourier para el caso de tiempo discreto y
la Transformada de Fourier y Laplace para el
caso del tiempo continúo.
La importancia del modelo de la
Transformada Z radica en que permite
reducir Ecuaciones en Diferencias o
ecuaciones recursivas con coeficientes
constantes a Ecuaciones Algebraicas
lineales.
Se introducen en primer término algunos
elementos de Sistemas y Señales.
Revista de Transformada Z.
Diseñada por:
Maríavictoria Fuentes C.
Miguel Valecillo
Rafael Emilio Ardila.
Asignatura: Teoría de Control 2
Fecha: diciembre 2011
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Que es la Transformada Z
Dadas dos Estructuras (E T) y (E’ T’) conformadas por los espacios
E y E’ dotados respectivamente de las Leyes de Composición Interna T
y T’ , se llama Transformada a una aplicación biyectiva : f: E E’
que establezca un Isomorfismo entre dichas Estructuras .
T: ExE E T’: E’xE’ E’ (a,b) c (a’,b’) c’ f: E E’ fbiyectiva a a’
b b’ c = a T b c’ = a’ T’ b’
Las estructuras isomorfas (E T) y (E’ T’) se comportan en forma
análoga, hecho que permite obtener usando la transformada f (función
biyectiva) de puente, el resultado
De una composición interna en una de ellas T , conociendo la de T’, o
viceversa.
Apoyándose en la analogía el resultado de T en E se obtiene en forma
indirecta en 3 pasos:
1.- transformando f: a a’
b b’
2.- componiendo T’: (a’,b’) c’ = a’T’b’
3.- antitransformando f -1: c’ c = a T b
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El uso de la transformada, por supuesto, se justifica siempre y cuando el
camino indirecto de: transformación, composición y antitransformación sea
más sencillo que el camino directo de la composición T. Un ejemplo simple de la idea de transformada es el cálculo logarítmico para
el producto de dos números reales positivos.
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QUE ES LA TRANSFORMADA ZETA Y SUS APLICACIONES La Transformada Zeta es una aplicación entre un espacio de
Sucesiones (funciones discretas) y un espacio de
Funciones Analíticas (desarrollables en serie de Laurent).
La función que los liga es la Serie de Laurent cuyos coeficientes son los
elementos de la Sucesión de origen.
La importancia del modelo de la Transformada Zeta radica en que
permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con
coeficiente constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales.
Esta Transformada se usa ampliamente en el Estudio de Sistemas digitales
(como computadoras), el modelo que se procesa resuelve en su esencia
Ecuaciones en Diferencias donde se emplea la Transformada Ecuaciones
en diferencias se emplean también en economía , crecimiento de
poblaciones, biología, etc. y en problemas de la misma matemática.
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DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA La definición de la Transformada Zeta se basa en el desarrollo de
funciones complejas en Serie de Laurent. Se recuerda entonces el
Teorema de Laurent.
TEOREMA DE LA SERIE DE LAURENT
A(r1, r2 ) : Campo de CV (Anillo de CV)
Obs: La Serie de Laurent (SL) dentro del Anillo de CV (Anillo de
Convergencia) es simultáneamente CV (Convergente) , CA
(Absolutamente Convergente) y también CU (Uniformemente
Convergente) para el Anillo A(r1+ 1, r2 – 2 ) con 1 y 2 arbitrarios
y positivos
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DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA Dada una sucesión { f[n] } se define como su Transformada Zeta a la
serie de Laurent F(z)
Obs: Nótese que en la definición de Transformada Zeta
1.- En la presentación de la serie se empieza con las potencias positivas 2.- El centro del desarrollo de Laurent es a = 0 3.- Se ha tomado por simplicidad y sin perder generalidad en el análisis a la Sucesión: f[0], f[1], f[2], f[3],..., f[n],... en vez de f[0], f[T], f[2T], f[3T],...,
f[kT],... que representa un cambio de escala
n = kT . Es decir:
En caso particular de esta definición es la llamada Transformada Zeta unilateral también llamada Causal que corresponde a las sucesiones que tienen todos los términos de la serie de potencias positivas nulos, es decir la serie sólo está compuesta por los términos de potencias negativas y el término independiente. A la Transformada Zeta general se la denomina también como Transformada Zeta bilateral.
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REDUCCIÓN A LA TRANSFORMADA FINITA DE FOURIER Partiendo de la definición de Transformada Zeta, se puede reducir a un caso particular
de Transformada finita de Fourier:
Esta proposición se prueba tomando el Anillo de CV la circunferencia de gráfica z = r
eiϕ . Queda entonces:
TRANSFORMADAS ZETA DE SUCESIONES ELEMENTALES
ESCALÓN UNITARIO u[n]
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IMPULSO UNITARIO
TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA DE FUNCIONES ELEMENTALES
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Las propiedades de la Transformada Zeta están dadas por los siguientes teoremas:
1. LINEALIDAD:
Obs: La ROC de la combinación lineal propuesta es la intersección de las respectivas ROC de f y de g: A(f) ∩ A(g). 2. DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO:
En particular se tiene:
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3. DESPLAZAMIENTO z – a
4. MODULACIÓN DE LA SUCESIÓN EN TIEMPO 4.1.- MODULACIÓN CON a”
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4.2 MODULACIÓN CON ein
T’4’.- f[n] F(z) ⇒ e +in f[n] F(e–i z) z = ei w = ei(––)
D1.- Este Teorema es corolario del anterior. e +in f[n] F(z/e+i ) = F(e–i z)
Obs.1: La modulación de la sucesión con una exponencial compleja e +in f[n]
F(z/e+i ) = F(e–i z)
Representa una rotación de en el plano complejo. Esto corresponde a un desplazamiento de la frecuencia de la Transformada de Fourier. En el caso de la
modulación an f[n] F(z/a) esta, representa además de la rotación dada por el argumento de a, una dilatación del módulo del complejo z en | a |.
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4.5. CAMBIO DE ESCALA 4.5.1. GENÉRICO
4.5.2. INVERSIÓN EN z
D1.- Este Teorema es corolario del anterior.
4.6. TZ DE LA DIFERENCIA FINITA
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4.6.2. SEGUNDA DIFERENCIA
4.7. TZ DE LA SUMA FINITA
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4.8. DERIVADA DE LA TZ
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4.9. PRIMITIVA DE LA TZ
4.9.1. PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1,r2)
En el caso de la Región de CV A(r1,r2)
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4.9.2. PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1,)
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4.10.- CONVOLUCIÓN DE SUCESIONES. ANTITRANSFORMADA DEL PRODUCTO DE TRANSFORMADAS
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4.11. CONVOLUCIÓN DE TRANSFORMADAS. TRANSFORMADA DE PRODUCTO DE SUCESIONES
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4.12.- SUCESIÓN PERIÓDICA
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