Mundo Vectorial

Andrea Cordón 131138 Alejandra de la Torre 13444 Paulina González 13029 Maria Isabel Méndez 13095

Vectores: Un vector es un segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde un punto � a

otro punto �. El vector queda determinado por dos puntos, inicial A y terminal B. Elementos o características de un vector:

Modulo (magnitud) de un vector es la distancia entre A y B

y se designa por el vector entre barras :

Dirección del vector es la dirección de la recta en la que se encuentra el vector y la de todas sus paralelas.

Sentido El sentido del vector es el que va desde el origen A al extremo B.

Los vectores se representan por letras minúsculas con una flecha encima: , , , .... o bien mediante uno de sus representantes, designando su origen y su extremo con

una flecha encima . Distancia: Para encontrar la distancia de un vector con puntos A y B se usa la formula:

donde y

Vector en posición estándar es cuando un vector tiene el punto inicial en el origen, o sea, A=(0, 0)

Coordenadas Componentes

Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico.

Es muy común que representemos un vector utilizando los valores de sus componentes. Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que se obtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadas situado en el origen del vector. Así, podemos expresar el vector rojo como [4, 3], indicando con ello que su componente X es 4 y su componente Y es 3.

Vectores en Un vector de es un conjunto ordenado de n números reales, los cuales son llamados componentes. Se denota de la siguiente manera:

donde

Si el vector tiene dos componentes, un par ordenado , será un vector en Si el vector tiene tres componentes, una terna ordenada, , será un vector en

Vector renglón: Un vector renglón de n componentes u, es un conjunto ordenado de n números, escritos de la siguiente manera:

Vector columna: Un vector columna de n componentes v, es un conjunto ordenado de n números, escritos de la siguiente manera:

Producto cruz o producto vectorial: El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:

ejemplo: Calcular el producto cruz de los vectores y

Propiedades del producto cruz

1. Anticonmutativa 2. Homogenea 3. Distributiva

4. Vectores paralelos = vector nulo

Producto punto o producto escalar: El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Expresión analítica del producto punto

Propiedades del producto punto

1. Conmutativa 2. Asociativa 3. Distributiva 4. vector no nulo por si mismo es positivo

Igualdad de vectores: Dos vectores son iguales, =, si tienen la mima magnitud y la misma dirección. Vectores Iguales (equipolentes): Dos vectores son iguales si tienen el mismo modulo, dirección y sentido. Todos ellos se llaman representantes de un único vector.

Vectores Opuestos: Dos vectores son opuestos si tienen el mismo modulo, dirección, pero distinto sentido.

Vector Cero o Nulo: Se refiere a un vector que posee módulo (o extensión) nulo. Se representa como 0 ó 0.

Vectores Concurrentes: Vectores que comparten el mismo origen.

Combinación Lineal: Si ; se dice que es una combinación lineal de los vectores

VIDEO: http://www.youtube.com/watch?v=hEwMcCd-57o

(combinación lineal)

Vectores paralelos: Dos vectores son paralelos si uno de estos es el producto del otro vector por un escalar. Esto quiere decir:

si y solo si

Vectores ortogonales o perpendiculares:

Dos vectores son ortogonales cuando el ángulo entre ellos es de 90°. Al sacar producto cruz de dos vectores ortogonales este dará un resultado de cero.

Magnitud de un vector

La magnitud de un vector es la distancia entre el punto inicial P y el punto final Q . En

símbolos la magnitud de es escrita como . Si las coordenadas del punto inicial y del punto

final de un vector están dadas, la fórmula de la distancia puede ser usada para encontrar su magnitud.

Dirección de un vector La dirección de un vector es la medida del ángulo que hace con una línea horizontal. Una de las fórmulas siguientes puede ser usada para encontrar la dirección de un vector:

, donde es el cambio horizontal y el cambio vertical.

ó

, donde es el punto inicial y es el punto

terminal. La dirección de un vector siempre se da en radianes

Vector unitario: Vector con magnitud igual a 1.

Ejemplo: Halle un vector unitario para

Vectores Unitarios Estándar: Los vectores y son llamados vectores unitarios estándar: y . Se utilizan para representar cualquier vector.

Esta forma de representar un vector se llama combinación lineal, donde y son los componentes horizontal y vertical de cada vector. Proyección de vectores Sean y dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyección de sobre es un vector denotado por , que se define por,

Normalización: Consiste en obtener otro vector unitario de la misma dirección y sentido de un vector ya dado.

Distancia entre dos vectores:

Angulo entre dos vectores: Expresión analítica del ángulo de dos vectores

OPERACIONES CON VECTORES: Propiedades Algebraicas de Vectores en Sean u, v y w vectores en y sean c y d escalares. Entonces

1. Conmutativa 2. Asociativa 3. 4. 5. Distributiva 6. Distributiva 7. 8.

Producto de un escalar por un vector: El producto de un número k por un vector es otro vector k que tiene:

Módulo: igual al producto del módulo de � por el valor absoluto de k:

Dirección: la misma que la de Sentido:

o El de si o El opuesto de si

El producto de es igual al vector . Es un vector cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, su modulo es cero y carece de dirección y sentido.

Suma de vectores Dados dos vectores u y v para sumarlos gráficamente hay dos posibilidades: Se sitúa el origen del segundo vector sobre el extremo del primero y el vector suma es el

vector que une el origen del primero con el extremo del segundo. Se sitúan los dos vectores con origen común. Se forma el paralelogramo que tiene por

lados los dos vectores y la diagonal que parte del origen de los dos vectores es el vector suma.

Diferencia de vectores: Resultado de la resta de dos vectores dados. Encontrar el vector resultante (A - B) es equivalente a encontrar un vector C que satisfaga la ecuación C = A - B ó C + B = A. La última ecuación nos hace posible utilizar el conocimiento de la suma de dos vectores para encontrar la regla sobre la resta de vectores. Si colocamos juntos el origen de los vectores A y B, vemos que el vector C dibujado desde el extremo del vector B al extremo del vector A satisface la ecuación B + C = A. Por lo tanto, el vector C es el vector resultante de A - B. La regla general es que el vector dibujado del extremo del segundo vector al extremo del primero da la diferencia entre los vectores. Desigualdad de Cauchy-Schwarz El producto escalar de dos vectores se define mediante la expresión

Es fácil comprobar que el producto escalar es una forma bilineal simétrica definida positiva, es decir, que se cumplen las siguientes propiedades.

Proposición (Propiedades del producto escalar) 1. y además si y sólo si 2. 3. 4.

La norma euclidea de un vector se define como . Es evidente que si y solo si , y que . TEOREMA (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Si entonces Demosración: Consideramos la función definida por . Esta claro que para todo . Observamos que:

es decir, que es una función polinómica de segundo grado con a lo sumo una raíz real, y por lo tanto su discriminante es no positivo:

Esta última desigualdad implica como queríamos demostrar. Desigualdad del triangulo http://www.youtube.com/watch?v=FVY-nDaY4xQ

Nuevas reglas y

transportadores

Ecuaciones de una Recta en R2

Formal normal n * x = n * p

Forma general

Ax + By = C

Forma vectorial

x = p + t d

Forma Paramétrica

Ecuaciones de un plano en R3

Forma general n * x = n * p

Forma general Ax + By + Cz = D

Forma vectorial x = p + t v + su

Ecuaciones Paramétricas

Ecuaciones de una recta en R3

Formal normal n1 * x = n1 * p1

n2 * x = n2 * p2

Formal general A1x + B1y + C1z = d1 A2x + B2y + C2z = d2

Forma vectorial x = p + t d

Forma paramétrica

Distancia desde un punto a una recta

Pasos para encontra la distancia desde un punto a una recta

1. Encontrar el vector de P a F PF

2. Proyectarlo PF sobre d

3. x = PF – Proyd PF

4. x = ll PF – Proyd PF ll

Para más información visitar este link: - http://www.youtube.com/watch?v=L13DJFoI-w8

Distancia desde un punto a un plano

Distancia entre rectas paralelas

Distancia entre planos paralelos

Video: http://www.youtube.com/watch?v=deS3PstD6ig

Angulo de intersección entre rectas

Tips*

- Respuesta puede ser dada en radianes o grados.

- Para encontrar el ángulo obtuso únicamente se resta 180° del ángulo encontrado

(agudo).

Angulo de intersección entre planos

Video:

http://www.youtube.com/watch?v=_aPuK_wBFds

Angulo de intersección entre una recta y un plano

CRUCIGRAMA Horizontal:

4. Un vector en posición estándar es cuando un vector tiene el punto inicial en el 6. Es el producto que da como resultado un vector cuya dirección es perpendicular 7. Es el producto de dos vectores que da como resultado un número real 9. Vectores que uno es el producto del otro vector por un escalar son vectores 10. Vectores que comparten el mismo origen son vectores 11. La dirección de un vector siempre se da en 12. Dos vectores que tienen el mismo modulo, dirección, pero distinto sentido son vectores

Vertical:

1. Son los números reales que forman un vector 2. Un vector que posee módulo nulo es el vector 3. Dos vectores que tienen la misma magnitud y dirección son vectores 8. Dos vectores que el ángulo entre ellos es un ángulo recto son vectores