Riem Man

CursosDeCalculo.com http: // CursoDeCalculo.com

¡ Tu Curso de Cálculo Gratis ! Autor: Profesor Raúl Vega Muñoz

EJERCICIOS RESUELTOS:

ÁREA BAJO LA CURVA MEDIANTE SUMAS DE RIEMANN

En este documento encontrarás varios ejercicios resueltos paso a paso mediante el método de sumas de Riemann.

1.- Considera la región R acotada por la parábola f (x)=x2+2, el eje de las x, las rectas verticales x=−3, x=−3, determinar su área mediante sumarias de Riemann con rectángulos inscritos.

Nota cultural: Esta es la fórmula de Riemann para rectángulos circunscritos, aunque en este problema no la vamos a utilizar, te podría servir en un futuro no muy lejano.

A=limx→∞

∑i=1

n

( b−an ) f (a+i ∆ x )Y aquí está la fórmula para rectángulos inscritos que es la que sí vamos a utilizar en este problema:

A=limx→∞

∑i=1

n

( b−an ) f (a+(i−1)∆ x)

Primero debemos determinar el valor del incremento (la base de los rectángulos) mediante la operación:

∆ x=[ b−an ]… en la que a y b son los extremos del intervalo, es decir -3 y +3 respectivamente, y la “n” es una constante

arbitraria, solo representa el número de rectángulos que se van a emplear, en este caso serán infinitos.

∆ x=[b−an ]=[ (3 )−(−3)n ]=[3+3n ]=[6n ]

En seguida vamos a calcular la parte de la fórmula que corresponde a la expresión: a+(i−1)∆ x, en la que “a” es el extremo izquierdo, o sea -3, mientras que i es solo la variable postiza “dummie” de la fórmula de sumatoria (o sea, no importa, solo sigue el procedimiento y verás que sucede). Por su parte ∆ x es el dato que calculamos anteriormente.



a+ ( i−1 )∆ x=−3+(i−1) [ 6n ]Simplificando obtenemos:

−3+ 6 in

−6n

… solo es álgebra básica.

Ahora viene la parte donde más atención debes poner porque es la “sustitución” del resultado anterior en la función principal.

f (a+(i−1)∆ x)

Donde a+(i−1)∆ x equivale a −3+6 in

−6n

tal como lo calculamos.

La función en la que debemos sustituir es: f ( x )=x2+2

f (a+( i−1)∆ x )=f (−3+ 6 in −6n )=(−3+ 6 in −6

n )2

+2

Como habrás notado, lo único que hice, fue quitar la “x” de la función y en su lugar, colocar un paréntesis que

contiene la expresión −3+6 in

−6n

ahora solo hay que desarrollar la multiplicación. Tú sabes, es álgebra

básica.

(−3+ 6 in −6n )

2

+2

Omitiré los pasos, pero aquí dejo el resultado:

36 i2

n2−72in2

−36 in

+ 36n2

+ 36n

+11

Ahora, que ya tenemos prácticamente todos los componentes de la fórmula vamos a sustituir:



A=limx→∞

∑i=1

n

( b−an ) f (a+ (i−1 )∆x )

Por ejemplo: la expresión f (a+(i−1 )∆ x ) equivale a 36 i2

n2−72in2

−36 in

+ 36n2

+ 36n

+11

A=limx→∞

∑i=1

n

( b−an )[ 36 i2n2 −72 in2

−36 in

+ 36n2

+ 36n

+11]Por su parte ( b−an ) es [ 6n ] recuerda que ya lo habíamos resuelto.

A=limx→∞

∑i=1

n

[ 6n ][ 36 i2n2 −72in2

−36in

+36n2

+ 36n

+11]Hay que multiplicar término:

A=limx→∞

∑i=1

n [ 216 i2n3−432 in3

−216 in2

+ 216n3

+ 216n2

+66n ]

Ahora separamos, dejando una sumatoria por cada término:

A=limx→∞

∑i=1

n216i2

n3−∑i=1

n432 in3

−∑i=1

n216 in2

+∑i=1

n216n3

+∑i=1

n216n2

+∑i=1

n66n

Simplificando de acuerdo a las reglas de las sumatorias:Nota: (si tienes dudas de estas reglas consulta la teoría en CursoDeCalculo.com)

A=limx→∞

216n3

∑i=1

n

i2−432n3

∑i=1

n

i−216n2

∑i=1

n

i+ 216n3

∑i=1

n

1+ 216n2

∑i=1

n

1+ 66n∑i=1

n

1

A=limx→∞

216

n3(n ) (n+1 )(2n+1)

6−432

n3(n )(n+1)2

−216

n2(n )(n+1)2

+216n

n3+216n

n2+66 nn

A=limx→∞

216

n2(n+1 )(2n+1)

6−432

n2(n+1)2

−216n

(n+1)2

+216

n2+216n

+66



A=limx→∞

36 (n+1 )(2n+1)n2

−216(n+1)

n2−108(n+1)

n+216

n2+216n

+66

A=limx→∞

72n2+108n+36n2

−216n+216n2

−108 n+108n

+ 216n2

+ 216n

+66

A=limx→∞

72+108n

+ 36n2

−216n

−216n2

−108−108n

+216n2

+ 216n

+66

A=limx→∞

36

n2+30=36

∞+30=0+30=30u2

COMPROBACIÓN MEDIANTE INTEGRAL DEFINIDA:

Una integral definida simplifica considerablemente el trabajo, y te darás cuenta que no es necesario realizar todo ese trabajo, pero muchos profesores aun lo incluyen en el temario.

Riem Man

Documents

Transcript of Riem Man