RIOS

XVIII Congreso Nacional del Agua Ro Hondo (Santiago del Estero) Junio 2000

TRANSPORTE SLIDO EN ROS CON LECHOS DE SEDIMENTOS HETEROGNEOS Pedro Abel Basile

Consejo Nacional de Investigaciones Cientficas y Tcnicas Centro Universitario Rosario de Investigaciones Hidroambientales - FCEIA - UNR

Riobamba 245 bis, 2000 Rosario, Santa Fe, Argentina. Tel./Fax: 0341-4808541. E-mail: [email protected]

RESUMEN En el presente trabajo se desarrollan relaciones funcionales que permiten determinar el nmero de clases granulomtricas ptimo en funcin de los parmetros estadsticos relevantes de las distribuciones granulomtricas del material del lecho. Dicha determinacin reviste particular importancia en la economa de tiempo computacional, cuando se realizan simulaciones numricas mediante modelos matemticos morfolgicos que plantean continuidad slida por fracciones. En el caso de distribuciones granulomtricas log-normales, el aumento del desvo estndar geomtrico es suficiente para explicar el correspondiente aumento del nmero de clases necesario para acotar el error en el transporte (Ni Ni Thein Khin, 1989). Sin embargo, las distribuciones granulomtricas fuertemente extendidas se apartan considerablemente de las distribuciones log-normales. En estos casos, el desvo estndar geomtrico por si solo es inadecuado e insuficiente para explicar el aumento o disminucin del nmero de clases. En efecto, un aumento del mismo no implica un aumento del nmero de clases, debindose considerar adems el valor que asume la asimetra de la distribucin granulomtrica de los sedimentos del lecho. INTRODUCCIN En ros aluviales con lechos de sedimentos heterogneos el clculo del transporte slido se efecta bsicamente dividiendo la distribucin granulomtrica en un determinado nmero de intervalos de clase o fracciones y considerando oportunamente los correspondientes efectos de proteccin y exposicin. Las ecuaciones desarrolladas para sedimentos uniformes y cuasi-uniformes, aplicadas en los casos de sedimentos fuertemente no-uniformes, mediante la utilizacin de un dimetro representativo (por ejemplo el d50), no han conducido a resultados satisfactorios, en particular para condiciones hidrodinmicas no muy distantes de las crticas para el inicio de movimiento de las partculas que constituyen el fondo (P.A. Basile, 1990). Un abordaje de este tipo no podra, de todos modos, contemplar la modelacin de los complejos procesos de seleccin granulomtrica longitudinal y de acorazamiento dinmico inducidos por las variaciones espacio-temporales de los parmetros hidrodinmicos (G.Parker et al., 1982). Por lo tanto, la evaluacin del transporte de sedimentos heterogneos ha sido orientada hacia el clculo del transporte por fracciones. H.A.Einstein (1950); fue el primero que elabor una formulacin de este tipo introduciendo dos parmetros tpicos: la fraccin correspondiente a la clase i-esima del material presente en el fondo y un coeficiente de interaccin entre partculas de dimetros diferentes, denominado coeficiente de proteccin-exposicin. Como consecuencia de lo expresado anteriormente las frmulas de transporte desarrolladas para sedimentos uniformes pueden ser oportunamente adaptadas para el clculo por fracciones incorporando dichos parmetros (W.R.White y T.J.Day, 1982; G.Di Silvio et al., 1989; G. Parker, 1991, P.A.Basile et al. 1996, P.A.Basile, 1998). Existe sin embargo el problema de


definir el nmero ptimo de intervalos de clase en los cuales dividir la curva granulomtrica caracterstica del material presente en el fondo. Tal problema, formal desde el punto de vista rigurosamente estadstico, es muy importante en la modelacin matemtica morfolgica de cauces aluviales caracterizados por una acentuada no-uniformidad granulomtrica. En estos casos se debe adoptar un nmero de clases tal que permita, por un lado acotar el error en el transporte (debido a una discretizacin de la distribucin granulomtrica en un nmero de clases menor que el original o dato) y adems que dicho nmero no conduzca a un aumento excesivo del tiempo global de la simulacin numrica. Un estudio en este sentido fue efectuado por Ni Ni Thein Khin (1989), las conclusiones del mismo son vlidas para rgimen uniforme de la corriente hdrica, tensin de corte ligeramente superior a la crtica para el movimiento incipiente de los sedimentos y distribuciones granulomtricas log-normales. En tales condiciones Khin observ que el nmero de clases necesario para acotar el error en el transporte disminuye a medida que la tensin de corte aplicada aumenta respecto a la crtica. Tal comportamiento se explica a travs de las ecuaciones de transporte de fondo con umbral crtico cuando se consideran elevados valores de la tensin de corte aplicada, en este caso el transporte es independiente del dimetro (P.A. Basile; 1990, 1994). Adems, Khin encontr una relacin funcional entre el nmero de clases N y el desvo estndar geomtrico g de la distribucin granulomtrica. El aumento del desvo estndar geomtrico fue suficiente para explicar el correspondiente aumento del nmero de clases necesario para acotar el error en el transporte. Tal conclusin es vlida para distribuciones log-normales de los sedimentos del lecho. Sin embargo, es necesario destacar que las distribuciones granulomtricas fuertemente extendidas se apartan considerablemente de las distribuciones log-normales. En efecto, dichas distribuciones presentan una marcada asimetra negativa y son adems frecuentemente caracterizadas por una acentuada bimodalidad, es decir una ausencia casi absoluta de dimetros comprendidos entre 1 mm y 10 mm (J.Shaw y R.Kellerhals, 1982; G.Parker, 1991). En estos casos, el desvo estndar geomtrico como nico parmetro puede resultar inadecuado e insuficiente para explicar el aumento o disminucin del nmero de clases. En el presente trabajo han sido analizadas distribuciones granulomtricas tpicas de cauces con fondos arenosos, es decir con desvos estndar moderados y asimetras prcticamente despreciables y adems distribuciones fuertemente extendidas, dotadas de fuertes asimetras negativas y elevados desvos estndar. Adems, en este ltimo caso han sido analizadas distribuciones bimodales. En el estudio ha sido implementada la ecuacin de F. Engelund y A. Hansen (1967), adaptada para el clculo del transporte slido por clases granulomtricas mediante un coeficiente de proteccin-exposicin que modifica la tensin de corte adimensional de cada una de las clases (P.A.Basile, 1998). Se utiliz adems la ecuacin de Meyer-Peter y Mller (1948) asociada al coeficiente de proteccin-exposicin de I.Eguiazaroff (1965) que modifica la tensin de corte adimensional crtica de cada clase. PARMETROS ESTADSTICOS DE DISTRIBUCIONES GRANULOMTRICAS La representacin aritmtica lineal en trminos de dimetros resulta inadecuada para describir las caractersticas estadsticas de las distribuciones granulomtricas. Por este motivo es til recurrir a una escala apropiada en funcin del logaritmo de los dimetros. La escala sedimentolgica es definida como:


)d(log 2= (1) donde d es el dimetro expresado en mm. Consideremos una distribucin granulomtrica genrica cuya funcin de probabilidad acumulada de los dimetros F() puede ser escrita matemticamente mediante la siguiente expresin:

= d)(fdF (2) donde f() es la funcin de densidad de probabilidad. Los parmetros estadsticos caractersticos de las distribuciones granulomtricas son definidos en la escala de la siguiente manera: media:

= d)(fm (3)

varianza: ( )

= d)(f2m2 (4)

asimetra: ( )

= d)(f3m (5)

Las distribuciones granulomtricas fuertemente extendidas son caracterizadas por asimetras negativas (


DISTRIBUCIONES GRANULOMTRICAS ANALIZADAS En el presente estudio han sido utilizadas 13 distribuciones granulomtricas, de las cuales 4 (S1, S2, S3 y S4) correspondientes a ros con lechos aluviales arenosos, caracterizadas por desvos estndar moderados y asimetras despreciables. Las 9 distribuciones restantes son fuertemente extendidas, cada una caracterizada por fuerte asimetra negativa y elevado desvo estndar. En este ltimo caso, 5 de ellas son unimodales (G1, G2, G3, G4 y G5) y 4 bimodales (B1, B2, B3 y B4). En la Figura 1 se presentan las diferentes distribuciones granulomtricas. En la Tabla 1 se presenta un resumen de las caractersticas sedimentolgicas y de los parmetros estadsticos de los sedimentos empleados. Para las distribuciones correspondientes a los ros de lechos arenosos el dimetro medio geomtrico varia entre: 0.24 mm < dg < 0.52 mm, mientras el desvo estndar geomtrico varia entre: 1.8 < g < 2.2. Las primeras dos distribuciones (S1 y S2) son simtricas, para ambas la asimetra adimensional es nula. Las distribuciones S3 y S4 son ligeramente asimtricas y presentan el mismo valor =0.02, sin embargo la S3 posee asimetra positiva (>0) mientras la S4 presenta asimetra negativa (


donde W*i es el transporte adimensional para la clase i-esima:

( )[ ]

3*

i*i UB

g1sTW

= (9)

con Ti : transporte volumtrico correspondiente a la clase i-esima; s=s/ : densidad especfica del sedimento, siendo s la densidad del sedimento y la densidad del agua; g: aceleracin de la gravedad, B: ancho de la seccin transversal y U*=(b/)0.5 es la velocidad de corte, siendo b la tensin de corte media sobre el fondo. En la ecuacin (8) el coeficiente eh adopta el valor de 0.05, fi es la fraccin correspondiente a la clase i-esima presente en el lecho, u es la velocidad media de la corriente hdrica, *i es la tensin de corte adimensional referida a la partcula de dimetro di:

is

bi* d)(g

= (10)

y oi es el coeficiente de proteccin-exposicin correspondiente a la clase i-esima. En la presente formulacin el mismo adopta la siguiente forma:

b

m

ioi d

d

= (11)

donde dm es el dimetro medio aritmtico de la distribucin granulomtrica del sedimento del lecho, el cual se expresa en forma discreta como:

iN

1iim dfd

=

= (12)

El exponente b en la expresin (11) adopta valores comprendidos entre 0 y 1. Estos valores establecen dos comportamientos extremos del transporte (P.A. Basile, 1998). Para b=0 el transporte dado por la (8) ser completamente selectivo (no existen efectos de interaccin entre partculas, es decir cada una conserva la movilidad intrnseca sugerida por su dimetro). Para b=1 los efectos de proteccin y exposicin son tan fuertes que conducen a la condicin de igual movilidad para todas las partculas presentes en el sedimento del fondo. El valor de b adoptado fue igual a 0.8. El coeficiente dado por la ecuacin (11) producir una disminucin (aumento) de la tensin de corte adimensional para aquellas partculas que presenten dimetros menores (mayores) que el dimetro de referencia dm. Ecuacin de Meyer-Peter y Mller (MPM): La ecuacin de Meyer-Peter y Mller (1948) es una relacin emprica basada en el exceso de la tensin de corte adimensional. La misma fue verificada con datos experimentales utilizando sedimentos uniformes y heterogneos con dimetros comprendidos entre 0.4 mm e 28.65 mm. En la versin original, para sedimentos heterogneos no se plantea el clculo por clases granulomtricas sino que se sugiere utilizar el dimetro medio aritmtico para calcular el transporte de fondo global. En la presente formulacin se plantea el clculo por clases granulomtricas efectuando la correccin de la tensin de corte adimensional crtica mediante el coeficiente de proteccin-exposicin de I.Egiazaroff (1965) modificado por K.Ashida y M.Michiue (1971):


23

i*

.corrci*

impm*i 1fW

= (13)

donde mpm=8, W*i es dado por la ecuacin (9) y la tensin de corte adimensional crtica corregida para cada partcula es definida como:

047.0ci.corr

ci* = (14) donde el coeficiente de proteccin-exposicin de Egiazaroff, levemente modificado por Ashida y Michiue para valores de di/dm < 0.4, puede ser expresado como:

( ) ( )

( )[ ] ( )

>+

=

4.0ddddlog782.01

4.0dddd85.0

mi2

mi

mi1

mici

a

a (15)

De acuerdo con los efectos de proteccin-exposicin el coeficiente dado por la ecuacin (15) producir un aumento (disminucin) de la tensin de corte adimensional crtica para aquellas partculas que presenten dimetros menores (mayores) que el dimetro de referencia dm. METODOLOGA DE CLCULO A los efectos de sistematizar el procedimiento de clculo se desarroll un programa computacional que efecta el clculo de los parmetros estadsticos y del transporte por fracciones partiendo de una determinada distribucin granulomtrica. Esta ltima es discretizada en un nmero finito de clases granulomtricas. Cada clase es representada por su respectivo dimetro medio en la escala , i , y por la correspondiente fraccin fi. Los parmetros estadsticos, descriptos en el punto 2, son calculados en forma discreta para un nmero de clases granulomtricas N variable entre 2< N 100. Asimismo, a igualdad de condiciones hidrodinmicas, se calcula contemporneamente el transporte slido para cada clase Ti y el correspondiente transporte global realizando la sumatoria sobre el nmero total de clases granulomtricas N:

( ) =

=

N

1iiTNT (16)

Los valores de los parmetros estadsticos y del transporte slido, calculados para un nmero arbitrario N=100, se consideran valores asintticos a los verdaderos, es decir, aquellos que se obtendran para N. De este modo es posible determinar el error que se comete en el clculo del transporte en funcin de los diferentes grados de discretizacin adoptados (nmero de clases granulomtricas). El mismo se expresa como:

)100(T

)N(T)100(T)N(E T

=

(17)

Acotando dicho error a valores aceptables es posible correlacionar el nmero de clases granulomtricas con los parmetros estadsticos de las distribuciones, determinando de esta manera las relaciones funcionales que se desean establecer.


ANLISIS DE RESULTADOS En la Figura 2 se presenta el error en el clculo del transporte slido en funcin del nmero de clases granulomtricas adoptadas, para la ecuacin de EH y distribuciones unimodales extendidas tipo G. Como tendencia general se observa que el error disminuye, a medida que aumenta el nmero de clases, siguiendo aproximadamente una ley exponencial rpidamente decreciente. En todos los casos se observa que para N=15 el error es prcticamente despreciable, adems se observa que N aumenta considerablemente si se fijan errores menores que el 5 %. Para realizar un anlisis comparativo se fij un error admisible igual al 5% y se analiz la variacin del nmero de clases para las distintas distribuciones. Si consideramos las distribuciones tipo G el nmero de clases necesario vara entre N=5 (distribucin G5) y N=9 (distribucin G1). En estos casos se observa claramente como, no obstante el desvo estndar geomtrico permanezca constante, el nmero de clases necesario se incrementa con el aumento de la asimetra de la distribucin. En efecto, estas dos distribuciones presentan el mismo valor del desvo estndar geomtrico g=5, pero la asimetra adimensional es =0.5 para la distribucin G5 y =1.7 para la distribucin G1. Adems, si la asimetra disminuye el nmero de clases disminuye no obstante el desvo estndar geomtrico aumente (distribuciones G1, G2 y G3). Para las distribuciones granulomtricas extendidas bimodales (tipo B), N vara entre N=5 (distribucin B1) y N=7 (distribucin B4). En el caso de las distribuciones tipo S, el nmero de clases N vara entre N=2 (distribucin S2) y N=3 (distribucin S3). Efectuando una correlacin mltiple se determin la relacin funcional para el conjunto de distribuciones analizadas (tipo S, G y B). La misma vincula el nmero de clases N con el desvo estndar geomtrico g y la asimetra adimensional . Dicha relacin para la ecuacin de EH modificada y ET(N)=5% es (r2=0.91): 13.288.319.0N g ++= (18) En las Figuras 3, 4, 5 y 6 se presentan los resultados obtenidos a travs de la aplicacin de la ecuacin de MPM para las distribuciones S3, G1, G2, G3 respectivamente. En cada Figura se expone el error en el clculo del transporte slido en funcin del nmero de clases granulomtricas adoptadas, para distintos valores de la tensin de corte adimensional referida al dimetro medio aritmtico *m. Se observa que, a igualdad de error, el nmero de clases necesario disminuye a medida que aumenta *m. Para realizar una comparacin entre las distintas distribuciones consideramos la condicin ms desfavorable, es decir la referida a *m=0.07 (ligeramente superior a la tensin de corte adimensional crtica) y, anlogamente al caso anterior, acotamos el error en un valor igual al 5%. En el caso de las distribuciones tipo G el nmero de clases necesario vara entre N=7 (distribucin G5) y N=14 (distribucin G1). Tambin en esta situacin se observa que la asimetra de la distribucin juega un rol fundamental en la determinacin del nmero de clases. En efecto, comparando las distribuciones G1, G2 y G3 se observa que respectivamente el desvo estndar geomtrico aumenta y la asimetra adimensional disminuye, permitiendo de este modo el empleo de un nmero menor de clases granulomtricas. Con respecto a las distribuciones granulomtricas extendidas bimodales, N vara entre N=5 (distribucin B1) y N=9 (distribucin B4). En el caso de las distribuciones tipo S, el nmero de clases N vara entre N=4 (distribucin S2) y N=5 (distribucin S3).


Considerando el conjunto de distribuciones granulomtricas analizadas (tipo S, G y B) la relacin funcional obtenida para la ecuacin de MPM con *m=0.07 y ET(N)=5% es (r

2=0.92): 96.348.515.0N g ++= (19) Mediante las relaciones (18) y (19) es posible determinar el nmero de clases granulomtricas en funcin de dos parmetros estadsticos de las distribuciones del sedimento del fondo. Si bien la relacin (18) es vlida para la ecuacin de EH, la misma puede ser aplicada en principio para estimar N cuando se utilicen ecuaciones sin umbral crtico. De la misma manera, la relacin (19) puede ser aplicada para estimar N cuando se implementen ecuaciones de transporte con umbral crtico, similares a la ecuacin de MPM. CONCLUSIONES En el caso de distribuciones granulomtricas fuertemente extendidas el valor del desvo estndar geomtrico resulta inadecuado e insuficiente por si solo para determinar el nmero de clases necesario que limite el error en el clculo del transporte. En efecto, se ha constatado que un aumento del mismo no implica un aumento del nmero de clases, debindose considerar adems el valor que asume la asimetra adimensional de la distribucin granulomtrica del sedimento del lecho. Las relaciones funcionales obtenidas relacionando el nmero de clases N con el desvo estndar geomtrico g y la asimetra adimensional , son muy satisfactorias y comprenden un amplio espectro de distribuciones granulomtricas, las cuales se encuentran frecuentemente en situaciones prcticas. En los modelos matemticos morfo-sedimentolgicos es importante determinar el nmero de clases necesario para calcular el transporte. Esto implica llegar a un compromiso entre tiempos de las simulaciones y errores. La adopcin de un nmero reducido de clases producir una disminucin del tiempo de simulacin pero como contrapartida se generarn errores significativos en la evaluacin del transporte. Dichos errores debern ser compensados ajustando considerablemente los coeficientes de la ecuacin de transporte. En estas situaciones es oportuno fijar un error mximo admisible que permita reducir los tiempos de simulacin. En el presente estudio se ha observado que el nmero de clases necesario aumenta sustancialmente si se fijan errores menores que 5%. Por lo tanto, a los fines de optimizar los tiempos de simulacin, resulta oportuno fijar el error entorno al 5%. De este modo, las ecuaciones (18) y (19) permiten determinar el nmero de clases granulomtricas en funcin de parmetros estadsticos que pueden ser fcilmente obtenidos a partir de las distribuciones del sedimento del fondo. LISTA DE SMBOLOS En este trabajo han sido utilizados los siguientes smbolos:

B = ancho de la seccin transversal (L). b = exponente en la funcin de proteccin-exposicin oi. dg = dimetro medio geomtrico (L). di = dimetro correspondiente a la clase i-esima (L). dm = dimetro medio aritmtico (L). ET(N) = error en el clculo del transporte considerando N clases granulomtricas.


f() = funcin de densidad de probabilidad. F() = funcin de probabilidad acumulada. fi = fraccin correspondiente a la clase i-esima. g = aceleracin de la gravedad (LT-2). N = nmero de clases granulomtricas. s = densidad especfica del sedimento. T(100) = transporte volumtrico global considerando 100 clases granulomtricas (L3T-1). T(N) = transporte volumtrico global considerando N clases granulomtricas (L3T-1). Ti = transporte volumtrico correspondiente a la clase i-esima (L3T-1). u = velocidad media de la corriente hdrica (LT-1). U* = velocidad de corte (LT-1). W*i = transporte adimensional de G.Parker correspondiente a la clase i-esima. eh = coeficiente ecuacin de EH. mpm = coeficiente ecuacin de MPM. = asimetra adimensional. = escala sedimentolgica. m = media de la distribucin granulomtrica definida en la escala sedimentolgica . = asimetra de la distribucin granulomtrica definida en la escala sedimentolgica

. = densidad del agua (ML-3). s = densidad del sedimento (ML-3). 2 = varianza de la distribucin granulomtrica definida en la escala sedimentolgica . g = desvo estndar geomtrico. *i = tensin de corte adimensional correspondiente a la clase i-esima. *m = tensin de corte adimensional referida al dimetro medio aritmtico. b = tensin de corte media sobre el fondo (ML-1T-2).

.corrci* = tensin de corte adimensional crtica corregida correspondiente a la clase i-esima.

ci = coef. de proteccin-exposicin para la clase i-esima que corrige la tensin de corte adimensional crtica.

oi = coef. de proteccin-exposicin para la clase i-esima que corrige la tensin de corte adimensional.

REFERENCIAS Ashida, K. y Michiue, M. (1971). An investigation of river bed degradation downstream of a dam. Proc. XIV Congress of IAHR. Vol. 3, pp 247-255. Basile, P.A. (1990). Sediment transport of non-uniform grainsize materials. Tesis 25 Curso Internacional de Hidrologa, Universidad de Padua, Italia. Basile, P.A. (1994). Modellazione dei meccanismi di intercettazione e rilascio dei sedimenti da parte delle briglie permeabili. Tesis de Doctorado en Hidrodinmica Universidad de Padua. Bibliotecas Nacionales de Roma y Florencia. Italia. Basile, P.A. y Peviani, M. (1996). Morphodynamic mathematical model for non-uniform grain-size sediments. En Flooding Risk in Mountain Areas, Chapter 8. ISMES-DTA, Seriate, BG, Italia. Basile, P.A. (1998). Evaluacin de ecuaciones de transporte adaptadas para sedimentos heterogneos. Revista de Estudios sobre Cuestin Hidroambiental, ISSN 1514-2906. Eds. UNR, UNESCO, PHI. Vol. 4, N.2, pp. 61-84. Di Silvio, G. y Brunelli, S. (1989). Experimental investigation on bed load and suspended load transport in mountain streams. Proc. International Workshop on Fluvial Hydraulics of Mountain Regions, Trento, Italia.


Egiazaroff, I. (1965). Calculation of nonuniform sediment concentrations. Journal of the Hydraulic Division-ASCE, Vol. 91, N. HY14. Einstein, H.A. (1950). The bed load function for sediment transportation in open channel flows. Technical Bulletin 1026, USDA, Soil Conservation Service. Engelund, F. y Hansen, A. (1967). A monograph on sediment transport in alluvial streams. Tech. University of Denmark. Khin, Ni Ni Thein (1989). One-dimensional morphological modelling of graded sediments. Report N Q697, Delft Hydraulics, The Netherlands. Parker, G. y Klingeman, P. (1982). On why gravel bed streams are paved. Water Resources Research. Vol. 18 N. 5, pp 1409-1423. Parker, G., Klingeman, P. y McLean, D. (1982). Bed load and size distributions in paved gravel-bed streams. Journal of the Hyd. Division, ASCE. Vol. 108 N. HY4, pp 544-571. Parker, G. (1991). Some random notes on grain sorting. Proc. of the Grain Sorting Seminar, Ascona, Suiza, 21-26 Octubre 1991. Shaw, J. y Kellerhals, R. (1982). The composition of recent alluvial gravels in Alberta river beds. Bulletin 41, Alberta Research Council, Edmonton, Alberta, Canada. White, W. R. y Day T. J. (1982). Transport of graded gravel bed material. Gravel-bed Rivers, R.D Hey, J.C. Bathurst, C.R. Thorne (Eds.), John Wiley and Sons, pp 181-224.

Tabla 1: resumen de las caractersticas estadsticas de las distintas distribuciones granulomtricas utilizadas.

Distribucin d16 (mm) d50 (mm) d84 (mm) dm (mm) dg (mm) g S1 0.20 0.35 0.61 0.42 0.35 1.8 0.00 S2 0.15 0.35 0.82 0.47 0.35 2.2 0.00 S3 0.11 0.25 0.49 0.31 0.24 2.0 0.02 S4 0.26 0.50 1.12 0.65 0.52 2.0 0.02 G1 17.45 117.98 316.12 155.14 77.64 5.0 1.70 G2 6.35 58.35 244.44 110.72 40.89 6.0 0.80 G3 3.17 36.06 183.54 85.72 25.77 7.0 0.50 G4 2.21 24.25 94.52 45.63 16.32 6.0 0.50 G5 2.00 13.05 48.50 23.86 10.02 5.0 0.50 B1 0.40 12.26 50.80 23.73 6.50 8.0 0.30 B2 0.69 24.68 86.14 40.96 12.73 8.0 0.60 B3 0.53 46.31 161.27 77.21 17.39 12.0 0.55 B4 0.93 46.31 161.27 77.97 22.95 9.0 0.85

Figura 1: distribuciones granulomtricas utilizadas.

0

1020

3040

50

6070

8090

100

0.01 0.1 1 10 100 1000d (mm)

% p

asan

te

S1S2S3S4G1G2G3G4G5B1B2B3B4


Figura 2: ET(N) para distribuciones tipo G, ecuacin de EH.

Figura 3: ET(N) para distintos valores de *m , distribucin S3, ecuacin de MPM.

Figura 4: ET(N) para distintos valores de *m , distribucin G1, ecuacin de MPM.

020406080

100120140160180

0 5 10 15N

Erro

r Tr

ansp

orte

(%)

G1

G2

G3

G4

G5

0

10

20

30

40

0 5 10 15N

Erro

r Tr

ansp

orte

(%)

()=0.07()=0.11()=0.16()=0.22

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15N

Erro

r Tr

ansp

orte

(%)

()=0.07()=0.11()=0.16()=0.22




0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15N

Erro

r Tr

ansp

orte

(%) ()=0.07

()=0.11()=0.16()=0.22

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15N

Erro

r Tr

ansp

orte

(%) ()=0.07

()=0.11()=0.16()=0.22

RIOS

Documents

Transcript of RIOS