RM. 3ro sec IIT

COLEGIO PRE

UNIVERSITARIO

Tercer Año

EL SATELITE SPUTNIK 1

Sputnik 1 Lanzado el 4 de octubre de 1957, el Sputnik 1 fue la primera nave en órbita alrededor de la Tierra. Llamado así por la frase rusa "compañero de viaje por el mundo" (Sputnik Zemli), era un pequeño satélite que sólo medía 58 cm de ancho. Completaba una órbita en torno a la Tierra una vez cada 96,2 minutos y transmitía información sobre la atmósfera terrestre. Tras un vuelo de 57 días, volvió a entrar en la atmósfera y se destruyó.

COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año

RAZONAMIENTO MATEMATICO 1



IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO

V.L.E.B.TELF.: 540–0814 / 98503121

DPTO. DE PUBLICACIONES


TEMA: FRACCIONES

¿Qué es una Fracción?

Es una división indicada de dos números enteros. Como en toda división,

el divisor es diferente de cero.

Representación:

Una fracción puede ser representada así:

ó

Donde a y b son términos de la fracción (b ≠ 0) y reciben el nombre de

Numerador y Denominador respectivamente.

Si a y b N; además a b, podemos dar a una fracción la siguiente

interpretación:

“Una Fracción” expresa una porción de Unidad, donde el Numerador

indica la cantidad de partes que se toma de la Unidad y el Denominador

indica la cantidad de partes en que se ha dividido a la Unidad.

Ejemplo: Si dividimos en 6 Partes iguales la pizarra del salón (que

será la Unidad) y pintamos sólo 5 partes, entonces la parte pintada la

representamos así:



Esta se representa

Problemas de Aplicación: Una Caja de Herramientas en un taller pesa

55 Kg. más los 6/11 de su peso total. ¿Cuánto pesa la caja de herramientas?

Solución:

Sea el Peso Total “x” entonces: x = 55 Kg. +

Pero: el Peso Total tiene 11/11. Esto significa que 55 Kg. Corresponde a

5/11 del peso total.

55 = x = 121 Kg.



PROBLEMAS PARA LA CLASE

01) Indique que el triple de la edad

de Júnior, si el doble

aumentado en su quinta parte

es 11.

Rpta.:

02) En un restaurante consumen

100 Kilos mensual de arroz; si

ya han usado 7/20, indicar la

cantidad de arroz sin usar.

Rpta.:

03) En una sección de 20 alumnos,

las 3/4 partes tienen buzos

deportivos. ¿Qué fracción de

los que tienen buzos, no tienen

buzos?

Rpta.:

04) César me debe los 3/5 de S/.

200; si me paga los 3/8 de S/.

200. ¿Cuánto me debe?

Rpta.:

05) Una pelota pierde las dos

quintas partes de su altura en

cada rebote que da. Si se le

deja caer desde un metro de

altura; ¿Qué altura en cm.

alcanzará Después del tercer

rebote?

Rpta.:

06) De una cierta cantidad de

dinero, se gasta la mitad y

luego los 2/3 de lo que queda,

resultando un saldo de 40

soles de 40 soles. ¿Cuánto

tenía inicialmente?

Rpta.:

07) Si tengo los Nueve Quintos de

200 y debo comprar un artículo

que vale 8/7 de 210 ¿Cuánto

de vuelto recibo?

Rpta.:



08) Si la cuarta parte de los 2/5 de

un número, se le agrega los 2/5

de sus 3/8 y se le resta los 3/8

de su Quinta parte, se obtiene

21. ¿Cuál es el número?

Rpta.:

09) La edad de Elizabeth es los 4/7

de la edad de Víctor y las 2/3

partes de la edad de Walter. Si

al sumar las tres edades nos

resulta 102 años: ¿Cuál es la

edad de Elizabeth?

Rpta.:

10) Un jugador después de haber

perdido consecutivamente los

4/5 de su dinero, 2/7 del resto y

4/11 del nuevo resto, gana 420

dólares y de esta manera la

pérdida queda reducida a 1/5

del dinero original. ¿Cuál es la

fortuna?

Rpta.:

11) En cuánto excede la Novena

parte de los 6/5 de los 3/2 de

80, a la tercera parte de los 4/5

de los 3/4 de 100.

Rpta.:

12) En un salón de la academia

solo asisten a un examen los

3/4 de los alumnos, y de éstos

aprueban los 4/5; si los

desaprobados son 26.

¿Cuántos alumnos hay en

dicha aula?

Rpta.:

13) El costo de un mini

componente es los 7/2 de 120

y yo dispongo de los 6/5 de

350. ¿Recibo vuelto?

¿Cuánto?

Rpta.:



14) Sabiendo que perdí 2/3 de lo

que no perdí, luego recupero

1/3 de lo que no recupero y

tengo entonces 42 soles.

¿Cuánto me quedaría luego de

perder 1/6 de lo que logre

recuperar?

Rpta.:

15) Un padre reparte su herencia

entre sus 3 hijos; el primero le

da la tercera parte; al segundo

la cuarta parte y el tercero el

resto, que es 3000 dólares.

¿Cuánto recibió el segundo?

Rpta.:

16) He gastado los 5/8 de mi

dinero, si en lugar de gastar los

5/8 hubiera gastado los 2/5 de

mi dinero, tendría ahora S/. 72

más de lo que tengo. ¿Cuánto

no gasté?

Rpta.:

17) En la venta de un artefacto, se

intenta ganar la sexta parte del

precio de costo, sin embargo

sólo se logra vender a los siete

octavos del precio de venta

ofrecido; si el precio final de

venta es 245. ¿Cuál fue el

precio de costo?

Rpta.:

18) Una persona recibe viáticos por

4 días. El primer día gasto la

cuarta parte; el segundo día

gastó 1/6 del resto; el tercer día

los 4/3 del primer día; el cuarto

día el doble del segundo día;

y aún le quedó S/. 10. ¿Cuál

fue la cantidad entregada?

Rpta.:

19) Si dejamos caer una pelota

desde cierta altura: ¿Cuál es

esta altura sabiendo que

después del cuarto rebote se

eleva 32 cm. Y que es en cada

rebote se eleva 2/3 de la altura

anterior?

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA



01) El costo de un televisor es los

7/3 de 150 yo dispongo de los

5/4 de 280. ¿Recibo vuelto?

¿Cuánto?

a) Si, 20 b) No, debo 20

c) No, debo 10 d) Si, 10

e) Tengo lo exacto.

02) Marcos me debe los 4/5 de S/.

160; si me paga los 5/8 de S/.

160: ¿Cuánto me debe?

a) Nada b) S/. 10

c) S/. 25 d) S/. 32

e) S/. 28

03) Si tengo los ocho séptimos de

280 y debo comprar una radio

que vale 7/5 de 200; ¿Cuánto

de vuelto recibo?

a) Nada b) S/. 10

c) S/. 20 d) S/. 30

e) S/. 40

04) En cuánto excede la tercera

parte de los 2/7 de los tres

medios de 182, a la cuarta

parte de los 3/5 de los cuatro

tercios de 120.

a) 2 b) 3

c) 4 d) 6

e) 9

05) En una aula de 30 alumnos, las

2/3 partes tienen buzos

deportivos. ¿Qué fracción de

los que tienen buzos no tiene

buzos?

a) 1/2 b) 1/3

c) 2/5 d) 1/4

e) 2/3

06) Una casaca cuesta 3/5 de 200

dólares y yo solo tengo 5/3 de

60 dólares. ¿Cuánto me falta?

a) 30 b) 20

c) 10 d) 15

e) 25

07) David cobra su sueldo y

dispone de la tercera parte en

ropa; la cuarta parte en comida

y la sexta parte en movilidad; si



tiene un saldo de 60 soles.

¿Cual es su sueldo?

a) 200 b) 180

c) 280 d) 240

e) 320

08) Vilma tiene la quinta parte de

los 2/7 de 875; mientras que

Lili tiene los 2/5 de la sexta

parte de 600. ¿Quién tiene

más? ¿Cuanto?

a) Vilma 10 b) Lili 10

c) Tiene Igual d) Lili 20

e) Vilma 20

09) Tres hijos reciben la herencia

de su padre; al primero le da la

mitad, al segundo la tercera

parte y al tercero el resto, que

es 2400 dólares. ¿Cuánto

recibió el segundo?

a) 3600 b) 4800

c) 6400 d) 7300

e) 6000

10) A la academia sólo asisten a

un examen los 2/3 de los

alumnos; y de éstos aprueban

los 3/7; si los desaprobados

son 24. ¿Cuántos alumnos hay

en dicha academia?

a) 24 b) 23

c) 36 d) 63

e) 96

11) Oswaldo recibe viáticos por 4

días; el primer día gastó la

quinta parte, el segundo día

gastó 1/8 del resto; el tercer día

los 5/3 del primer día, el cuarto

día el doble del segundo día; y

aun le quedo S/. 15. ¿Cuál fue

la cantidad entregada?

a) S/. 50 b) S/. 70

c) S/. 150 d) S/. 45

e) S/. 90

12) Entre Juan y Pedro quieren

comprarse un juego de

“”Fulbito de Mano” cuyo costo

es de 300 dólares; Juan tiene

1/3 de los 2/5 de 1350 mientras



que Pedro tiene 2/3 de 1/4 de

960. ¿Cuánto reciben de

vuelto?

a) 20 b) 30

c) 40 d) 50

e) 60

13) Manuel compra la mitad de un

rollo de alambre menos 12

metros, Diego compra un tercio

del mismo rollo más de 4

metros, con lo cual recibe 8

metros menos que Manuel.

¿Cuántos metros compra

Manuel?

a) 52 b) 60

c) 72 d) 44

e) 50

14) De los tres caños que fluyen a

un estanque, uno de ellos lo

puede llenar sólo en 36 horas,

otro en 30 horas y el otro en 20

horas. Abriendo los tres caños

a la vez: ¿En cuánto tiempo se

llenarán las 2/3 partes del

estanque?

a) 3h b) 6h

c) 5h d) 8h

e) 4h

15) El número de alumnos de un

aula es menor que 240 y mayor

que 100, se observa que los

2/7 del total usan anteojos y los

5/13 son alumnos de ciencia.

¿Cuál es la suma de los

alumnos que usan anteojos

con los de la especialidad de

ciencia?

a) 160 b) 120

c) 122 d) 148

e) 142

TEMA: RAZONAMIENTO LÓGICO



Este capítulo es ameno, que le mostrará lo divertido que es, el

verdadero Razonamiento Lógico – Matemático y a la vez le incentivará

para medir su criterio Lógico para sacar conclusiones (Sin ser erudito

en las Matemáticas y la Lógica).

Para su mejor entendimiento vayamos a ver algunos

problemas, Pero, antes se recomienda usar el sentido común y parte

de la ordenación de datos.

Ejemplo:

Se cometió un asesinato. Se sospecha de Roberto, José,

Manuel y Luis. De ser Manuel el homicida, el delito fue premeditado. Si

los autores fueran José y Roberto, ocurrió en la noche. Si claro el

asesino es Luis, no ocurrió el día domingo. Como cuestión de hecho

sabemos que el suceso ocurrió el domingo por la tarde. En

consecuencia. ¿Cuál de los mencionados sería el sospechoso

principal?



Solución:

Del texto se tiene que si el homicida es:

Manuel delito Premeditado.

José y Roberto ocurrió en la noche

Luis no ocurrió el día domingo.

Según Dato: “El suceso ocurrió el domingo por la Tarde” con lo cual

se descarta como sospechoso a José y Roberto, además de Luis.

El sospechoso principal es: Manuel.




01) Un ladrillo tiene 6 lados,

¿Cuántos lados tendrá el

bloque formado por 5

ladrillos del mismo tipo

pegados por uno de sus

extremos?

Rpta.:

02) Si Jorge es mayor que

Manuel, Esteban es menor

que Manuel y mayor que

César ¿Quién de ellos es el

mayor de todos?

Rpta.:

03) 4 estudiantes comen 4

melones en 4 minutos

¿Cuánto tiempo empleará

un estudiante en comer 3

melones?

Rpta.:

04) Escalando una montaña

rocosa se encuentran tres

estudiantes. Alberto está

arriba de Daniel, Felipe está

más arriba que Alberto.

¿Cuál de los estudiantes se

encuentra entre uno y otro

respecto a la base de la

montaña?

Rpta.:

05) Un edificio tiene 40m. de

altura y 5 pisos; si una

persona se encuentra en el

tercer piso: ¿A qué distancia

del primer piso pisan sus

pies?

Rpta.:

06) Mi secretaria demora 10

segundos al escribir una

letra ¿Cuánto tiempo se

demora para escribir ocho?

Rpta.:



07) Un granjero tenía 180 patos

y se le murieron 80:

¿Cuántos patos le quedan?

Rpta.:

08) Si necesitamos cercar un

campo de forma triangular

de modo que en cada lado

aparezcan 7 postes y uno

en cada esquina: ¿Cuántos

postes serán necesarios?

Rpta.:

09) Si con cada 3 colillas de

cigarros se puede formar

otro cigarro: ¿Cuántos podrá

fumar un abuelito con 11

colillas de cigarro?

Rpta.:

10) Al trasladarse a la parte

superior de un muro de 11

metros de altura un caracol

lo hace del siguiente modo:

Durante el día sube 3

metros y en la noche baja 2.

¿En cuántos días subirá el

muro?

Rpta.:

11) Una persona cobra S/. 2 por

cortar un árbol en 2 partes.

¿Cuánto cobrará por

cortarlo en 5 partes?

Rpta.:

12) En una caja hay cierta

cantidad de sapos que no

llegan a 50 ni bajan de 40.

Si cada unos de ellos mira a

44 sapos: ¿Cuántos sapos

hay en la caja?

Rpta.:



13) El señor Araujo observó que

sus 4 gallinas pusieron 8

huevos en 4 horas

¿Cuántos huevos podrán

poner entonces 8 gallinas en

8 horas?

Rpta.:

14) Ernesto es Diestro y cojo,

entonces es cojo del pie:

Rpta.:

15) ¿Cuántas personas

necesitan como mínimo

para formar 6 filas de 4

personas en cada fila?

Rpta.:

16) Para prender una vela se

necesita:

Rpta.:

17) Jorge tiene 40 soles y Rosa

25 soles; si Jorge le paga a

Rosa la mitad de lo que le

debe y Rosa le da a Jorge

para un libro ¿Cuánto tienen

ahora entre ambos?

Rpta.:

18) Las fachadas de los

edificios, en una calle,

tienen 6 ventanas y 2

puertas. Si en la calle hay 6

edificios en cada acera

¿Cuántas ventanas más que

puertas hay?

Rpta.:

19) Si observamos un ángulo de

30° con una lupa que

aumenta 5 veces el tamaño

de los objetos, el ángulo

medirá:

Rpta.:

20) Si ocho veces la octava

parte de la edad de Esteban

es 13 años: ¿Cuál será su

edad dentro de 8 años?

Rpta.:




01) ¿Cuántos números enteros

existen entre 8 y 38

incluyendo a 8 y 38?

a) 30 b) 31

c) 29 d) 28

e) 32

02) Si un cubo de hielo de 1m.

de lado cuesta S/. 1:

¿Cuánto costara un cubo de

hielo de 2m. de lado?

a) S/. 2 b) S/. 4

c) S/. 6 d) S/. 8

e) S/. 16

03) Si hay 20 moscas sobre la

mesa y mato 8. ¿Cuántas

quedan?

a) 12 b) 8

c) 6 d) F. D

e) N. A.

04) Maria Luisa tiene 3 blusas;

uno roja, una verde y una

amarilla; además tiene 2

pantalones, uno marrón y

otro azul. ¿De cuantas

maneras podrá vestirse

María Luisa combinando sus

prendas?

a) 5 b) 9

c) 6 d) 12

e) 10

05) En una laguna se observó a

varios patos; un pato estaba

delante de 2 patos, un pato

entre 2 patos y un pato atrás

de 2 patos. ¿Cuántos patos

hay como mínimo en la

laguna?

a) 12 b) 3

c) 9 d) 2

e) 6

06) Dentro de una caja azul se

coloca 3 cajas rojas y dentro

de cada caja roja se colocan



4 Cajas amarillas. ¿Cuántas

cajas hay en total?

a) 12 b) 36

c) 15 d) 16

e) 38

07) El abuelo del hijo del tío de

mi hijo es mi:

a) Tío b) Hijo

c) Padre d) Sobrino

e) Primo

08) Deorinto nació el año 35 a, C

y murió a los 86: ¿En qué

año ocurrió?

a) 121d. C. b) 121 a. C.

c) 51 d. C. d) 51 a. C.

e) 86 a. C.

09) Cinco Kilogramos mas medio

lingote pesa un lingote.

¿Cuánto pesará lingote y

medio?

a) 5 Kg. b) 10 Kg.

c) 15 Kg. d) F. D.

e) N. A.

10) Si estudio apruebo el

examen; si veo televisión no

estudio; entonces, si no veo

televisión:

a. Estudio y apruebo el

examen.

b. Estudio y no apruebo el

examen.

c. No estudio y apruebo el

examen.

d. No estudio y no apruebo el

examen.

e. No se puede asegurar nada.

11) En un Ómnibus viajan 30

hombres y 17 mujeres.

¿Cuántas personas deben

bajar como mínimo para

poder estar seguros de que



han bajado un hombre y una

mujer?

a) 18 b) 19

c) 30 c) 31

e) 3

12) Un cuaderno tiene 200

páginas. Si se arrancan 30

hojas ¿Cuántas páginas

quedan?

a) 140 Pg. b) 170 Pg.

c) 70 Pg. d) 70 Hojas

e) Más de una es correcta

13) Si una mesa de 4 esquinas

se le corta una esquina:

¿Cuántas esquinas quedan?

a) 3 b) 4

c) 5 d) 6

e) 7

14) Sabiendo que un hombre

puede construir una casa en

un terreno de 100 m2 en 100

días, entonces 10 000

hombre se demorarán:

a) 1 día b) Medio día

c) 10 días d) 100 días

e) N. A.

15) Karina no tiene todavía edad

para votar. Karina tiene cejas

pobladas, por tanto:

a. Karina es de baja estatura

b. Karina es Bonita.

c. Karina es menor de edad.

d. Karina talvéz voto.

e. Karina es de ojos rasgados.

TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES



El resultado de comparar dos cantidades, ya sea a través de una

diferencia o a través de un cociente, recibe el nombre de razón.

Así Tenemos:

Razón Aritmética ( r ) Donde : a – b = r

Razón Geométrica (K) Donde : a / b = K

Donde: a antecedente y b consecuente

Proporción: Es la igualdad de dos razones, sean estas aritméticos o

geométricos. Así tenemos:

Proporción

Aritmética

Proporción

Geométrica

a – b = c - d a / b = c / d

Propiedad

a + d = c + b

Propiedad

a x d = c x b

Donde: a, d Términos extremos.

b, c Términos medios.



Tipos de Proporciones:

Discreta: Cuando los medios son diferentes.

Continua: Cuando los medios son iguales.

Entonces:

D

I

S

C

R

E

T

A

Proporción

Aritmética

Proporción

Geométrica

19 – 17 = 13 – 11

11 Cuarta Diferencial

35 / 7 = 25 / 5

5 Cuarta Proporcional

C

O

N

T

I

N

U

A

24 – 20 = 20 – 16

16 Tercera diferencial

20 Media diferencial

32 / 8 = 8 / 2

2 Tercera Proporcional

8 Media Proporcional.

Serie de Razones Equivalentes: Cuando igualamos más de dos razones

geométricas se forma una serie de razones geométricas equivalentes:



Así tenemos:

Donde:

a; c; e; … Son los antecedentes;

b; d; f; … Son los consecuentes

K es la constante de Proporcionalidad.

Luego; en toda serie se cumple las siguientes Propiedades:

Si:

Entonces:

1°

2° Si:

Entonces:

3° Como son tres razones geométricas iguales,

entonces:



a x c x e = K 3 Indica el número deb x d x f razones geométricas.

Ejemplo: Si se sabe que:

Hallar b2 - a2

Solución:

Como a y b son proporcionales a 7 y 11 podemos expresar c/ u de ellos

de la siguiente forma: a = 7 K y b = 11 K.

Luego: a + b = 108

7 K + 11K = 108

K = 6

Es decir: a = 7 x 6 = 42 y b = 11 x 6 = 66

Finalmente: b2 + a2 = 662 + 422 = 2592


01) La razón aritmética de dos

números es 12. Si uno de ellos

es el cuádruple del otro, hallar

la suma de dichos números.

Rpta.:

02) La razón aritmética de dos

números es 20 y su razón

geométrica es 2. El numero

mayor es:

Rpta.:



03) La razón de dos números es

3/5. Determinar la diferencia

entre ellos, sabiendo que se su

suma es 72.

Rpta.:

04) Dos números están en razón

de 3 es a 2. Si la suma de

dichos números excede a la

diferencia de los mismos en 80,

hallar el mayor de los números.

Rpta.:

05) La razón geométrica entre la

suma y la diferencia de dos

números es 5/3. Si la suma del

mayor con el triple del menor

es 14. Hallar la suma de los

cuadrados de los números.

Rpta.:

06) Si

Hallar C:

Rpta.:

07) Si Además:

2a + b + c = 54

Hallar: A = a + 2b + c.

Rpta.:

08) Si calcular

Rpta.:

09) Los ángulos de un triángulo

son entre si como los números

4; 7 y 9. Hallar el menor de los

ángulos.

Rpta.:

10) En una serie de 3 razones

geométricas equivalentes y

continuas, el primer

antecedente es 64 veces el

último consecuente. Hallar el

valor de la constante de

proporcionalidad.



Rpta.:

11) En una proporción aritmética,

la suma de los extremos es

igual a 22. Si los términos

medios se diferencia 2

unidades, el menor de estos

medios es:

Rpta.:

12) En una proporción aritmética

continua, la media diferencial

es igual a 16 si la razón

aritmética de los extremos es

8, hallar el producto de los

extremos.

Rpta.:

13) En una proporción geométrica,

la suma de los términos medios

es 16 y la razón aritmética de

los mismos es 4. Hallar el

producto de los extremos.

Rpta.:

14) La suma de la media

diferencial de 28 y 12 con la

cuarta diferencial de 18, 12 y

10 es igual a ;

Rpta.:

15) Si m es la media proporcional

de 9 y 4; n es la cuarta

proporcional de 8, m y 12.

Hallar m + n.

Rpta.:

16) José y Juan tienen $ 700 entre

ambos, lo que tiene José es lo

que tiene Juan como 4 es a 3.

¿Cuánto tiene José?

Rpta.:

17) En un salón hay 40 varones y

30 mujeres. ¿Cuántas parejas



deben retirarse para que los

varones que quedan sean a

las mujeres que quedan como

7 es a 5?

Rpta.:

18) El producto de los cuatro

términos de una proporción

geométrica es 576. Si el

segundo término es 8. Hallar el

tercer término.

Rpta.:

19) La suma de los extremos de

una proporción geométrica

continua es 15 y su diferencia

es 9. Hallar la media

proporcional.

Rpta.:

20) Dos números son

proporcionales a 2 y 5. Si se

aumenta 175 a uno de ellos y

115 al otro, se obtienen

cantidades iguales. ¿Cuál es el

menor?

Rpta.:



01) La suma, la diferencia y el

producto de dos números

están en la misma relación que

los números 4; 2 y 15. ¿Cuál

es el mayor de los números?

a) 4 b) 10

c) 14 d) 15

e) 16

02) A una fiesta asistieron 140

personas entre hombres y

mujeres. Por cada 3 mujeres

hay 3 hombres. Si se retiraron

20 parejas. ¿Cuál es la razón

entre el número de mujeres y

el número de hombres que se

quedan en la fiesta?

a) 2/3 b) 4/5

c) 1/3 d) 3/4

e) 5/3

03) La razón geométrica de dos

números cuya suma es 65, se

invierte si se añade 17 al

mayor. ¿Cuál es el menor de

dichos números?

a) 31 b) 29

c) 28 d) 25

e) 24

04) Los antecedentes de varias

razones geométricas iguales

son 2; 3; 4 y 5; el producto del

primer antecedente y los

últimos consecuentes es

41160, la suma de los

consecuentes es:

a) 94 b) 98

c) 95 d) 96

e) 97

05) El producto de los 4 términos

de una proporción discreta es

15876. Si el primero de estos

términos es 7, calcular el

producto de los términos

medios.

a) 120 b) 122

c) 126 d) 127

e) 128

06) En una proporción geométrica

la suma de los dos primeros

términos es 20 y la suma de

los dos últimos términos es 25.

Calcular el menor de los

términos medios si la suma de

los consecuentes es 27.

a) 10 b) 12

c) 14 d) 16

e) 18

07) Si

Hallar:

a) 12 b) 24

c) 36 d) 72

e) 8

08) Si con a; b y c

Enteros positivos y

.

Hallar el valor de b.

a) 8 b) 10

c) 12 d) 15

e) 16

09) Si la suma de los 4 términos

de una proporción es 65;

cada uno de los tres últimos es

a los 2/3 del precedente. Cuál

es el último término.

a) 6 b) 7

c) 8 d) 19

e) 10

10) En una proporción

geométrica continua la suma

de los 4 términos es 64 y la

diferencia entre los extremos

es 48. Hallar la suma de los

extremos.

a) 49 b) 72

c) 50 d) 85

e) 63

11) Si se sabe que: y a

+ b = 108; Hallar: b2 – a2

a) 2196 b) 2240

c) 2396 d) 2592

e) 2764

12) Calcular la media proporcional

de la media diferencial de 10 y

14, y la tercera proporcional de

3 y 9.

a) 12 b) 15

c) 16 d) 18

d) 20

13) Si y a2 + b2 = 2664

hallar: b – a

a) 6 b) 8

c) 10 d) 12

e) 16

14) La media diferencial de una

proporción es 24. Hallar la

razón de la proporción si el

primer extremo es el doble del

segundo.

a) 2 b) 4

c) 6 d) 8

d) 10

15) La media geométrica de una

proporción es de 15. hallar la

suma de los extremos si la

razón de la proporción es 1/3.

a) 40 b) 45

c) 50 d) 55

e) 60.

TEMA: RELACIONES Y FUNCIONES

Para estudiar este tema tenemos que recordar:

PRODUCTO CARTESIANO

Dados dos conjuntos A y B no vacíos, el producto Cartesiano A x B es

otro conjunto de todos los pares ordenados (a; b) que se puedan formar con

los elementos de ambos conjuntos donde a A y b B.

Si escribimos por comprensión el conjunto Producto Cartesiano,

tendremos:

A x B = (a; b) / a A b B

Recordemos que respecto de los pares ordenados, se cumple que:

(a; b) ≠ (b; a)

Es decir, el orden es importante; por ejemplo:

(5, 9) ≠ (9; 5)

Asimismo, si: (a; b) = (c; d)

Entonces: a = c b = d

Veamos un ejemplo de producto cartesiano:

Dados los conjuntos A = 1; 2; 3 y B = 4; 5 el producto cartesiano A

x B será:

A x B = (1; 4), (1; 5), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5)

Gráficamente A x B se representa por medio del siguiente Diagrama

Sagital o de Flechas:

RELACIÓN .

Una Relación R de A en B (o También R: A B), es un subconjunto del

Producto Cartesiano A x B, de modo que R A x B.

Aquí el conjunto A se llama Conjunto de Partida y el conjunto B se

llama Conjunto de Llegada.

En A x B del ejemplo anterior podemos establecer las siguientes

relaciones:

R1 = {(1; 4); (2; 5)}

R2 = {(2; 4); (3; 5)

R3 = {(3; 4)}

Si seguimos observando el ejemplo veremos que:

En R, la segunda componente de cada par resulta de sumar 3 a la

primera componente, o:

y = x + 3 ¡Regla de correspondencia!

En R2, la segunda componente de cada par resulta de sumar 2 a la


y = x + 2 ¡Regla de Correspondencia!

En R3, la segunda componente de cada par resulta de sumar 1 a la


y = x + 1 ¡Esta es la Regla de Correspondencia!

Los diagramas sagitales de las relaciones R1; R2 y R3 serán:

Recordemos que al conjunto de las primeras componentes de los pares

ordenados en una relación se le llama DOMINIO DE LA REALCION (R)

Así mismo al conjunto de las segundas componentes de los pares

ordenados en una relación se llama RANGO DE LA RELACION R (R)

FUNCIÓN

Si en una Relación R: A B ocurre que no existen dos o más pares

ordenados con la misma primera componente; tal Relación recibe el nombre

de Función f.

Expresado de otro modo:

R1

R2 R3

Una función f es una correspondencia entre dos conjuntos A y B tales

que a cada elemento a A le corresponde un único elemento de B.

Ejemplo:

Como la función es también una relación, será también un conjunto de

pares ordenados. En este caso, según la gráfica, la función f será:

f = (7; t), (5; r), (1; t)}

Recordemos también que el DOMINIO de una función f o simplemente

D (F) es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados

de la función.

En el ejemplo: D (F) = {7; 5; 1}

Así mismo, el RANGO de una función f o simplemente R (F), es el

conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la

función.

En el ejemplo: R (F) = {t; r}

Veamos otro ejemplo:

Dados los conjuntos A = {5; 9} y B = {1; 5}, entonces el diagrama sagital de

la función f: A B con regla de correspondencia y = x – 4 es:

Podemos observar que cada elemento del rango le corresponde un único

elemento del dominio, entonces se denomina FUNCIÓN INYECTIVA.

También el rango de f es el mismo conjunto de llegada, entonces se trata de

una FUNCIÓN SOBREYECTIVA; luego por ambas características, la

función se denomina BIYECTIVA.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.

Siendo f una función real de variable real, la gráfica de f esta formada

por el conjunto de puntos del plano que representa al conjunto de pares

ordenados de la función.

5.

9.

.1

.5Dominio

de fRango

de f

Conjunto de partida

Conjuntode llegada

Debemos considerar que la gráfica de una función en el plano

cartesiano es un trazo continuo sólo si la función es real de variable real. Si

no es así, la gráfica esta formada por puntos que no conforman un trazo

continuo.

Ejemplo: Graficar la función:

F = {(x; y) / x e y R y = x + 1}

Establezco una tabla de valores de x (dominio) y determinemos los

correspondientes valores de y (rango).

x -4 -3 -2 -1 1 2 3

y -3 -2 -1 0 2 3 4

Graficamos los puntos determinados en el cuadro y se tendrá:

Y

La gráfica quedaría así, si se nos hubiera dicho que la función es f: Z Z; pero como la función es f: R R, entonces debe ser una línea continua; así:

FUNCIONES ESPECIALES.

1. Función lineal.

Es aquella cuya gráfica siempre es una línea recta y cuya regla de

correspondencia tiene la siguiente forma general:

y = a x + b Función Lineal o a fin.

Donde: a, es la pendiente de la recta

b, es el intercepto de la gráfica con el eje y.

1 2 3 4 ...... -4 -3 -2-1 -1-2-3-4

4321

1 2 3 4 ...... -4 -3 -2-1 -1-2-3-4

4321

X

Y

X

2. Función Constante.

Es aquella cuya representación gráfica es una línea paralela al eje de

las abscisas y cuya regla de correspondencia es:

y = c; c es constante

y = ax + bb

x

y

D = RR = R

D = RR = {c}

3. Función Identidad.

Es aquella cuya regla de correspondencia es la siguiente:

f (x) = x ó y = x

Es decir todos los puntos de su representación gráfica tienen la forman

(h ; n) para todo n R; veamos:

4. Función Valor Absoluto.

Recordemos que: * Entonces la función valor

Absoluto será:

x = Y = x ó f (x) =x

Donde:

F (x) =x =

Gráficamente:

2 3 -1

1

32

x

y = xD = RR = R

5. Función Cuadrática.

La forma general de la regla de correspondencia de la función

cuadrática es:

y = ax2 + b x + c; a ≠ o

* Si a 0 * Si a < 0

Las coordenadas del vértice se determinan mediante:

6. Función Máximo Entero.

Es aquella en la que a cada número real x se le asocia un número

entero n, por medio de la notación x de la siguiente manera:

y

x y = -x y = x

x

Y

v

VÉRTICE

x

D = RR = 0; +

y

n x n + 1 x = n

Su representación gráfica es:

1 2 3 -2-1 -1-2

2

1X

YD = RR = Z


01) Sean los conjuntos: A

= {1; 2; 3; 4};

B = {1; 2; 3; 4; 5; 10} y la

relación R = {(a; b)

A x B/ b = a2 + 1}.

Determinar el número de

elementos del rango de dicha

relación.

Rpta.:

02) Para qué valor de a, la

relación: R = {(7; a), (3a2– 1, -

3), (7; 8 - 3a)} es una

fracción:

Rpta.:

03) Sea la relación: R = {(3; y + 5),

(6; x – 3), (x; 1 +3y), (6; 6 – 2x)}

Determinar el valor de :

S = x2 + y2 si es una función:

Rpta.:

04) Determinar el área de la

Región determinada por las

gráficas de las funciones:

Y = 3; Y = X, con el eje de

coordenadas.

Rpta.:

05) Determinar el área del

triángulo que se genera al

interceptar los gráficos de las

relaciones: X = 4; Y = 2; Y

= 2x.

Rpta.:

06) Dada la función:

f:(x)= x + 3 - x + 6 Hallar:

f (5) – f (-5)

Rpta.:

07) Si se sabe que f es una

fracción lineal, tal que;

f(5) = 27; f (-2) =6 Determinar:

f(1) + f(2)

Rpta.:

08) Determinar el rango de la

siguiente función: f(x) = x + |x|

Rpta.:

09) Indicar el mínimo valor de la

función cuadrática f si:

f(x) = 2(2x2 – 6x + 7)

Rpta.:

10) Si una función cuadrática es

tal que: f (0) = 2; f (1) = 6; f

(2)=16 .Determine: f (3) + f (4).

Rpta.:

11) Cuál es el máximo valor que

puede tomar la función:

f(x) = 24x – 7 -9x2

Rpta.:

12) Sea F la función tal que:

F(x + 1) = 3x + F(x). Además:

f (5) = 6; Hallar f (3)

Rpta.:

13) Para qué valor de m; la

relación: A = {(5 – m; 6);

(8; 3m – 5); (23; m + 13)}.

Resulta una función.

Rpta.:

14) Indicar el valor de a, si se sabe

que: B = {(2; m – 1); (3; a); (2;

5 – m); (m; 5) } es una función:

Rpta.:

15) Se da la relación:

F = {(5 + n; n2 – 12), (9; 6 + n),

(5 + n; n(n – 3))}. Hallar el

valor de: R = (1 – nn) 1/2 Si F

es una función.

Rpta.:

16) El rango de la función

mostrada es: E = {(6; n + 5),

(6; 9 – 3n) , (n; n)}

Rpta.:

17) Cuántos pares ordenados

conforman la relación R,

si: R = {(a; b) / a b Z+ a

+ b = 12}

Rpta.:

18) Sabiendo que: f(x) =

Hallar: f(4) + f(5) + f(6)

Rpta.:

19) Si la relación:

Es una función; determinar su

Rango:

Rpta.:

20. Sea la función F, cuya regla de

correspondencia es: Y = ax +

b; si los valores de la función

para X = 5 y x = 1 son 22 y 10

respectivamente. Hallar:

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA01) Calcular el rango de la función

mostrada:

a) {4; 8} b) {1; 2; 3}

c) {1; 4; 8} d) R

e) {1; 8}

02) Determinar el Rango de la

Función F, si:

a) {5} b) {25}

c) {50} d) {}

e)

03) Determinar la función lineal

que pasa por el origen de

coordenadas y por el punto

(3; 15).

a) X = 5Y b) Y = 5x

c) Y = X c) X = 2Y

e) Y = X + 5

04) Si el punto (2, 0) pertenece a

la gráfica de la función cuya

regla de correspondencia es: Y

= 5x – mx2 + 6. Hallar el valor

de A = 19 – m2

a) 3 b) 4

c) 16 d) 9

e) 4

05) Hallar el punto de intersección

de las gráficas de las

funciones lineales: Y = 4x + 6;

Y = 2x – 8; Dar como

respuesta la ordenada.

a) -20 b) -60

c) 0 d) -7

e) -22

06) Hallar la regla de la

correspondencia de la función

lineal que pasa por los puntos:

(-2; 3); (4; 33)

a) x = 5y + 13 b) x = 13y

c) x = 5y + 1 d) y = 5x + 13

e) y = x + 5

07) Se sabe que le punto (3; 38)

pertenece a la gráfica de la

función: Y = 3x2 + 2x + a.

Determinar el valor de a.

a) 3 b) 4

c) 6 d) 5

e) 8

08) Si los puntos (2; 11) y (3; 18)

pertenecen a la gráfica de la

función cuya regla de

correspondencia es:

Y = x2 + nx + m; hallar

R = m2+ n2 – m n.

a) 6 b) 7

c) 8 d) 9

e) 10

09) Si una función lineal f es tal

que su gráfica pasa por los

puntos (1; 5) y (3; 1); hallar:

R = f (2) + f (4).

a) 2 b) 3

c) 4 d) 5

e) 6

10) Se sabe que la gráfica de la

función cuya regla es:

Y = ax2 + b x + 2; contiene a

los puntos (2; 22) y (3; 47):

hallar el valor de: S = ab +2a.

a) 10 b) 12

c) 26 d) 13

e) 28

11) Determinar el rango de la

función mostrada: {(2; 3),

(5; 7), (2; a + 1), (a; b +2)}

a) {3; 7} b) {5}

c) {7} d) {2}

e) {2; 5}

12) Si una función lineal f pasa por

el origen de coordenadas y por

el punto (2; 8); determinar:

f (1) + f(3) + f(5) + f(7)

a) 48 b) 60

c) 56 d) 64

e) 60

13) Si un punto de la

representación gráfica de la

función; P(x) = 2x2 + 3x + m;

es (m; 12); hallar: (m + 1)2.

a) 5 b) 6

c) 7 d) 8

e) 9

14) Si: (m; n) pertenece a la

gráfica de la función

f (x) = 3x2 + 5. Hallar:

a) 9 b) 6

c) 4 d) 2

e) 12

15) Hallar el punto de intersección

de la función lineal: Y = x + 6

con la función constante:

Y = 4.

a) (4; 0) b) (6; 2)

c) (-2; 4) d) 1

e) 0

TEMA: RAZONAMIENTO GEÓMETRICO

En este tema recordaremos los conceptos básicos de la geometría:

Segmento: Es la porción de recta, determinada entre dos puntos que se

encuentran en la misma.

Recta L

Ángulos: Es la porción de un plano situado entre dos semirectos,

llamados lados, que tiene un origen común, denominada vértice.

Ángulono convexo

Ánguloconvexo

Clasificación:

Llano Recto

Agudo

Obtuso

Ángulos entre Rectos Paralelos: Según la figura:

Si L1 // L2

a b

cd

e f

g h

P

L

L 2

1

Entonces:

a; b; g; h ángulos exteriores.

c; d; e; f ángulos interiores.

a y h; b y g ángulos alternos externos.

Donde: a = h y b = g

c y f; d y e ángulos alternos internos.

Donde: c = f y d = e.

a y g; b y h ángulos conjugados externos.

Donde: a + g = 180° y b + h = 180°

c y e; d y f ángulos conjugados internos.

Donde: c + e = 180° y d + f = 180

a y e; b y f; c y g; d y h ángulos correspondientes.

Donde: a = e; b = f; c = g; d = h

EJERCICIOS PARA LA CLASE

01) En la figura:

A B C D

¿Qué figura resulta de:

Rpta.:

02) En la figura:

A B C

AC = 48 y AB = 2BC; calcular

BC

Rpta.:

03) En la figura mostrada:

BC = 3AB y AC = 20; Hallar

AB

Rpta.:

04) En la figura, M es punto medio

de ; calcular el valor de x:

Rpta.:

05) Los puntos P, Q, R y S son

colineales y consecutivos.

PQ = RS = QR + 2 y PS = 37

Calcular QR:

Rpta.:

A B

F MX - 2 10 - x

06) Calcular “x” en el siguiente

gráfico:

x52° 70°

Rpta.:

07) Calcular “x” si:

127°X

Rpta.:

08) En el gráfico calcular “x”.

Rpta.:

09) Calcular “x” si: . Bisectriz

del BOC.

Rpta.:

10) Calcular “x” en el gráfico

siguiente:

Rpta.:

11) Calcular “x”: Si L1 // L2

Rpta.:

12) Hallar “x” en: Si L1 // L2

A 0 C

X160°

B

M

L

L2

156°

51°X

160ºX 125º

X + 20º X 0

Rpta.:

13) En el gráfico hallar “x”:L1 // L2

Rpta.:

14) Hallar “x” en: Si L1 // L2

Rpta.:

15) Calcular “x” en el gráfico

siguiente Si L1 // L2

Rpta.:

16) Las longitudes de todas las

aristas de un cubo suman 36 cm.

¿Cuánto mide cada arista?

Rpta.:

17) Un prisma tiene en total 20

vértices. ¿Cuántas caras tiene

en total?

Rpta.:

18) ¿Cuál es el área total de un

cubo cuya arista mide 2 cm?

Rpta.:

19) Una pirámide tiene en total 12

aristas. ¿Hallar el número total

de caras?

Rpta.:

20) ¿Cuántas caras tiene una

pirámide cuya base es el

pentágono?

Rpta.:


01) En la figura:

X

135°

L

L2

1

L3

L1L3

2x L1

L23x80°

L1

L2X

105°

L

L2

1

70°

X

A que es igual:

a) b)

c) d)

e)

02) En el siguiente gráfico calcular

“x”:

: Bisectriz del AOC; :

Bisectriz del COE

a) 72° b) 71°

c) 70° d) 69°

e) N. A

03) Hallar “x” en: L1 // L2

a) 90° b) 91°

c) 92° d) 93°

e) 94°

04) Un prisma tiene en total 10

caras ¿Cuántos lados tiene la

base?

a) 8 b) 7

c) 6 d) 5

e) 4

05) El área de un cuadrado es

81 cm2. Calcular el perímetro.

a) 34 cm. b) 36 cm.

c) 38 cm. d) 32 cm.

e) N. A.

06) En la figura:

EF = DE + 10 y DF = 60

Calcular: DE

a) 23 b) 24

c) 25 d) 26

e) 27

07) En el gráfico:

PQ = QR = RS y PR + QS =

100 Calcular: PS

x160°

L1

L2

X +12°

200° - X

D E F

P Q R S

a) 73 b) 75

c) 77 d) 79

e) N. A.

08) Hallar “x” en: Si : bisectriz

AOB

a) 35° b) 36°

c) 37° d) 38°

e) N. A.

09) En la figura hallar “x”,Si L1 // L2

a) 31° b) 32°

c) 33°° d) 34°

e) 35°

10) La base de un prisma es un

pentágono regular, ¿Cuántas

aristas tiene dicho prisma?

a) 14 b) 15

c) 5 d) 10

e) N. A.

11) ¿Cuántos vértices tiene una

pirámide cuya base es un

hexágono?

a) 7 b) 8

c) 9 d) 16

e) N. A.

12) A, B y C son tres puntos

consecutivos de una recta. AC

= 120 y AB = BC + 10 Calcular

BC.

a) 65 b) 75

c) 60 d) 55

e) 50.

13) Calcular “x”:

a) 58° b) 68°

c) 69° d) 59°

x 3xA 0 E

BM

160ºx

2x 33º 72º

L1

L2

x

112°

e) N. A. 14) En el gráfico calcular “x”

L1 // L2

a) 75° b) 80°

c) 85° d) 90°

e) N. A.

15) ¿Cuántas caras tiene un

cubo.?

a) 4 b) 6

c) 8 d) 10

e) 2.

40°L1

L260°

X

b

h

h

b

d

D

TEMA: ÁREAS SOMBREADAS

Para solucionar problemas sobre áreas sombreadas es necesario conocer algunas

formulas de áreas de algunas figuras para lo cual te presentamos una lista de figuras

con sus respectivas fórmulas, para luego solo ponernos a aplicar dichas fórmulas.

AREAS DE FIGURAS PLANAS

01. TRIANGULO 06. CUADRADO

2

.hbA

02. TRIANGULO RECTANGULO 07. RECTANGULO

2.ca

A

03. T. FORMULA TRIGONOMETRICA 08. PARALELOGRAMO (Romboide)

04. TEOREMA DE HERON 09. ROMBO

))()(( cpbpappA Donde:

p =

P: semiperimetro

05 TRIÁNGULO EQUILATERO 10. TRAPECIO

b

h

c

a

b

a

b

a C

1

1

d

2Senb.a

A

hl

B

m

b

°

r

l

D

ra b

c

a b

c

AP

Donde:

11. POLIGONO REGULAR 17. LONGITUD DE CIRCUNFERNCIA Donde: p: Semiperimetro Ap: Apotema

12. CÍRCULO18. L. DE ARCO DE

CIRCUNFERENCIA

Donde:

13. SECTOR CIRCULAR 19. T. EN FUNCION DEL INRADIO

Donde: P = a + b + c

2

14. SEGMENTO CIRCULAR20. T. EN FUNCION DEL

CIRCUNRADIO.

15. CORONA CIRCULAR 21.TRIANGULO RECTANGULO

D

r

r°r

°

r

l

4

32lA

3

32hA

B

rR

Ar

m n

R

16. TRAPECIO CIRCULAR 22. TRIANGULO RECTANGULO

En donde veremos algunas aplicaciones:

Ejemplo:

* Hallar el área de la siguiente figura si:

R = 7 y r = 4

Solución:

Sabemos que: A = (R2 – r2)

A = (72 – 42)

A = 33


r

R

O

°

r

R

A

B C

DE

Calcular el área de la región

sombreada, en cada uno de los

siguientes casos:

01)

Rpta.:

02) Si AE = ED

Rpta.:

03)

Rpta.:

04)

Rpta.:

05)

Rpta.:

06) Si AD = 3 y AF = 1

Rpta.:

07)

Rpta.:

A

B C

DE

S1

S2 S3

A B

CD

E

a

2

08)

Rpta.:

Hallar el área sombrada, si el lado

de los cuadrados de las figuras

siguientes mide 4 cm.

09)

Rpta.:

10)

Rpta.:

11)

Rpta.:

12) hallar el área de la región

sombreada, si el área del

cuadrado es 24

Rpta.:

13)

Rpta.:

14)

Rpta.:

15) Hallar el área sombreada, si el

diámetro mayor es 4 cm.

Rpta.:


área del triangulo es 16 u2.

Rpta.:


lado del rombo mide 6 cm. Y

su menor ángulo es 60°.

Rpta.:


diámetro mayor es 8 cm.

Rpta.:

19) Hallar el área sombreada, si

el lado del sector circular

mayor es 8 cm.

Rpta.:


lado del sector circular mayor

es 4 cm.

Rpta.:


01) Hallar el área de la región

sombreada

Rpta.:

a) b) c) d) e)

02) Hallar el perímetro de la región

sombreada.

Rpta.:


sombreada. El lado del

cuadrado es 6 cm.

Rpta.:


sombreada, si el lado del

cuadrado mide 8m.

Rpta.:


sombrada, si el lado del

triangulo equilátero mide 8 cm.

Rpta.:


sombreada.

Rpta.:

4

18

8

2

2

22

8

12

07) Si el lado del cuadrado es 4

cm., hallar el área de la región

sombreada.

Rpta.:


sombreada, si el lado del

cuadrado es 4 cm.

Rpta.:


sombreada.

Rpta.:


sombreada.

Rpta.:

11) El área sombreada es al área

del cuadrado ABCD como:

Rpta.:

12) El área sombreada es 2. ¿Cuál

es el área del paralelogramo

ABCD?

Rpta.:

13) Calcular el área de la región

sombreada; si el lado del

cuadrado mide 4.

53°

37°

100

A

D

B C

13

3

1 3

1

A B

CD

Rpta.:

14) Calcular el área de la región

sombreada.

Rpta.:


sombreada.

Rpta.:

6U

6U

a

c

d

e

b

0 r

r

A

r B

0

TEMA: PERÍMETROS

Para solucionar problemas de este tipo es necesario saber que el

perímetro viene a ser la distancia que hay alrededor de cualquier figura.

Por lo tanto tendremos:

1. El primer perímetro de un polígono es la suma de longitudes de todos

sus lados:

P = a + b + c + d + e

2. La longitud de un circunferencia de radio “r” es:

L = 2 x x r

3. La longitud de un arco AB, de ángulo central con medida “” en una

circunferencia de radio “r” es:

4. Al semiperímetro se le cono con una letra “P” y representa la mitad del

perímetro.

360

xrx2ABL

Ósea:

Ahora veamos algunos ejemplos:

El Perímetro de un cuadrado es 24 cm. Calcular la longitud de la

circunferencia inscrita.

Solución:

Grafiquemos la figura:

Sea el cuadrado ABCD, si P = 24

Entonces el lado es = 6 Entonces el diámetro = 6

a. Si el lado = 6 Donde el radio = 3

En consecuencia: L = 2 x x r

L = 2 x x 3

L = 6

0 r

A B

CD


01) Hallar el perímetro de un

rectángulo cuya base es doble

de la altura, sabiendo que esta

última mide 5 cm.

Rpta.:

02) Hallar el perímetro de un

rectángulo, cuya altura mide

10 cm. y la base 3 cm. más.

Rpta.:

03) Dos lados de un cuadrado

miden (12 – 3x) cm. y (14 – 4x)

cm. Calcular el perímetro.

Rpta.:

04) El área de un rectángulo es 24

cm2 y la altura mide 4 cm.

Calcular el perímetro.

Rpta.:

05) Dos lados de un triángulo

equilátero miden (x + 3) cm. y

(2x – 7) cm. Calcular el

perímetro.

Rpta.:

06) El área de un rectángulo es 15

cm2 y sus lados tienen por

longitudes números enteros de

cm. Hallar el perímetro de

dicho rectángulo, sabiendo

que es el mayor posible.

Rpta.:

07) Calcular la longitud de una

circunferencia de diámetro

cm.

Rpta.:

08) Calcular el perímetro de la

figura sombreada.

1 cm.

Rpta.:


figura sombreada, si las

semicircunferencias tienen

radios iguales a 2 cm.

Rpta.:


región sombreada, si r = 2 cm.

Rpta.:

11) Calcular el perímetro de:

Rpta.:

12) Hallar el perímetro del

cuadrado ABCD; si M es punto

medio del lado CD y AM =

Rpta.:

13) El área de la cruz de la figura

formada por cuadrados iguales

es 80 cm2. ¿Cual es el

perímetro de la cruz?

Rpta.:

14) En la figura se muestran los

cuadrados A, B y C Hallar:

Perímetro de A + Perímetro de B

Perímetro de C

r

rr

3

4

B C

M

A D

Rpta.:

15) Dado el cuadrado ABCD y el

triangulo Isósceles EGF de

lados EF = FG = a. Hallar el

perímetro de la región

sombreada en la figura.

Rpta.:

16) Hallar el perímetro de la figura

sombreada, si ABCD es rectángulo.

Rpta.:

17) En la figura la razón entre el

perímetro del rectángulo

ABCD y el perímetro del

rombo ECFD es:

Rpta.:


sombreada si las semi

circunferencias son iguales.

Rpta.:

19) Si el perímetro de la figura es

45, el lado mayor mide:

Rpta.:

C

B

A

a a

a

a a

A

B C

Da

R

2X +7

X

X + 82X

A

B C

D

E F

G

P

Q

A

B C

D

EF

30°

20) El perímetro de un rombo

es 60 cm. ¿Cuánto mide el

área del cuadrado cuyo

lado es la tercera parte

del lado del rombo.

Rpta.:

EJERCICIOS PARA LA CASA

01) El perímetro del cuadrado es

28 cm. ¿Cuánto mide el lado

de un rombo, si excede el lado

del cuadrado en 12 cm?

a) 48 cm. b) 76 cm.

c) 19 cm. d) 18 cm.

e) 20 cm.

02) ¿Cuánto mide el área del

rectángulo donde el largo es el

doble del ancho y que

perímetro es 36 cm?

a) 32 cm2 b) 64 cm2

c) 128 cm2 d) 16 cm2

e) 72 cm2

03) Hallar el área de un cuadrado

cuyo perímetro es 28 cm.:

a) 7 m2 b) 9 m2

c) 16 m2 d) 37 m2

e) 49 m2

04) Hallar el área del rectángulo

en el cual el largo excede en

12 cm. al ancho y su

perímetro es 56 cm.

a) 100 m2 b) 120 cm2

c) 60 m2 d) 120 m2

e) 110 m2

05) ¿Cuánto mide el lado de un

triangulo equilátero cuyo

perímetro mide 63 m?

a) 69 cm. b) 21 cm.

c) 60 cm. d) 29 cm.

e) N. A.

06) El perímetro de un triángulo

equilátero cuyo lado mide 1/6

m es:

a) 0,5 m b) m

c) m d) cm

e) 2 m.

07) Los lados de un cuadrilátero

son 4 números consecutivos y

su perímetro mide 26 cm. El

lado mayor mide:

a) 6 cm. b) 9 cm.

c) 7 cm. d) 8 cm.

e) 10cm.

08) Si el perímetro de un triángulo

equilátero mide 12 cm., su

lado tiene:

a) 3 cm. b) 36 cm.

c) 4 cm. d) 6 cm.

e) 8 cm.

09) Los lados de un triángulo

miden: x/2, x – 7 y x/3 y su

perímetro 15. Su lado mayor

mide:

a) 12. b) 6

c) 5 d) 4

e) 9

10) Hallar el área de un cuadrado

cuyo lado mide igual que el

lado de un triángulo equilátero

cuyo perímetro es 9m.

a) 4 m2 b) 6 cm2

c) 81 m2 d) 16 m2

e) 9 m2

11) Los lados de un triángulo

miden: a, a + 2 y a – 3 y su

perímetro 20. ¿Cuánto mide el

lado menor?

a) 4 b) 9

c) 7 d) 5

e) 3

12) Las medidas de los lados de

un triángulo son números

enteros consecutivos cuya

suma es 54. ¿Cuánto mide el

lado intermedio del triángulo?

a) 17 b) 19

c) 16 d) 18

e) 20

13) Un terreno de cultivo tiene

60m de largo por 40m de

ancho. ¿Cuántas parcelas

cuadradas de 5m de lado se

podrán obtener?

a) 94 b) 95

c) 96 d) 98

e) 97

14) El perímetro de un triángulo

equilátero mide 36 cm.

¿Cuánto mide en metros el

perímetro de un rectángulo

cuyo ancho es igual al lado del

triángulo y cuyo largo es el

triple de su ancho?

a) 0,95 m b) 0,92 m.

c) 0,94 m. d) 0,96 m.

e) 0,90 m.

15) Los lados de un cuadrilátero

miden: x – 1, x + 3, 2x + 1 y

2x – 3 y su perímetro 48.

¿Cuánto mide el lado mayor?

a) 13 b) 17

c) 11 d) 7

e) 8

MISCELANEAS DE PROBLEMAS

01) La edad de Marco es los 2/3

de 1/4 de 144 y la de Andrea

es ¾ de 1/6 de 128. ¿Qué

edad tenia Marco cuando

Andrea nació?

a) 8 b) 6

c) 4 d) 2

e) 9

02) Al tesorero de una sección le

falta 1/7 del dinero que se le

confío. ¿Qué parte de lo que le

queda restituirá lo pedido?

a) 6/49 b) 1/6

c) 1/7 d) 1/8

e) 1/5

03) Rosario gasta en alimentos la

mitad de lo que gana y los 2/3

de lo que resta lo gasta en

otras necesidades. Al cabo de

dos años, ahorró S/. 1600.

¿Cuánto gana por mes?

a) S/. 500 b) S/. 400

c) S/. 450 d) S/. 350

e) S/. 470

04) En 5 y 8 manzanas pesan un

kilogramo. ¿Cuánto pasearán

como mínimo 8 docenas de

manzanas?

a) 10 Kg. b) 8 Kg.

c) 5 Kg. d) 12 Kg.

e) 13 Kg.

05) Si se duplicara tu estatura y

tus otras dimensiones: ¿Por

cuánto habría que multiplicar

tu peso?

a) 2 b) 8

c) 6 d) 4

e) 5

06) Yéssica es la hija de la esposa

del hijo único de mi abuela. ¿Qué

parentesco me une a Yéssica?

a) Es mi prima

b) Es mi cuñada

c) Es mi esposa

d) Es mi amiga

e) Es mi hermana

07) Si la base de un rectángulo

mide 16 cm y su altura los ¾ de la base, el perímetro del

rectángulo mide:

a) 28 cm b) 56 cm

c) 30 cm d) 60 cm

e) 58cm

08) En la figura adjunta, el

semiperimetro mide:

a) b)

c) d)

e)

09) Si la longitud de una

circunferencia mide 31,40 cm,

entonces su radio mide:

b

a

( = 3,14)

a) 8 cm b) 6 m

c) 5 m d) 4 cm

e) 4,5 cm

10) Dos números son entre si

como 5 es a 8, si la suma de

sus cuadrados es 712 su

diferencia es:

a) b)

c) d)

e)

11) En una proporción geométrica

discreta la diferencia entre los

medios es 14. hallar uno de los

términos medios si se sabe

que el producto de los cuatro

términos de la proporción es

2601.

a) 4 b) 2

c) 1 d) 3

e) 5

12) La suma, la diferencia y el

producto de dos números

están en la misma relación que

los números 11; 3 y 560. hallar

uno de los números.

a) 85 b) 90

c) 110 d) 120

e) 140

13) Dados los conjuntos:

A = { 2; 3; 4; 5 } y

B = { 3; 6; 7; 10 } con la

relación:

R = { (x, y) A x B / “y” divide

a “x” exactamente }

. Los pares ordenados que

satisfacen la relación R son:

a) (3 ; 3) (2 ; 6) (2 ; 10) (5 ; 10)

b) (3 ; 4) (6 ; 4)

c) (4 ; 7) (4 ; 10)

d) (4 ; 3) (3 ; 3) (5 ; 3)

e) (4 ; 7) (5 ; 6) (3 ; 7) (3 ; 10)

14) Dados los conjuntos:

A = { 1; 2; 3; 4 } y

B = { 1; 4; 6; 9 } y la relación:

R = { (x , y) A x B / y = x2 }

¿Cuántos pares ordenados

satisfacen la relación “R”?

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

15) Hallar: “a” para que el conjunto

de pares ordenados.

F = { (2 ; 3) , (-1 ; -3) ,

(2; a + 5) }

Se una función:

a) 2 b) -2

c) 1 d) 3

e) N.A

16) Calcular el área del AMN de

la figura si: ABCE es un rombo

con M y N puntos medios y

cuya área es igual a 16 m2.

a) 4 m2 b) 6 m2

c) 8 m2 d) 10,6 m2

e) Faltan datos

17) Hallar el área del trapecio

ABCD; si: el área del ABH =

8 m2, además

a) 20 m2 b) 24 m2

c) 30 m2 d) 32 m2

e) 16 m2

A

B

C

E

M N

A B

CD H

18) Calcular “x” si los cuadrados

son congruentes.

a) 30° b) 37°

c) 53° d) 16°

e) 15°

19. Hace 10 años la edad de

César era el triple que la de

Carlos. Si actualmente César

dobla en edad a Carlos.

¿Cuál será la edad de César

dentro de 12 años?

Rpta.:

20. El Señor López y su hijo

tienen edades cuya suma es

10 años. Si la edad del señor

López es disminuida en 20

años se obtendría el doble

de la de su hijo. ¿cuántos

años cumplió su hijo el año

pasado?

Rpta.:

21. Dentro de 8 años la edad de

José será el doble de la de

Jorge. Si actualmente la

edad de José es el triple de

la de Jorge; hallar la edad

actual de Jorge.

Rpta.:

22. Si la edad de Felipe es 3

veces la de Pablo y juntos

suman 52 años; dentro de

cuántos años, será la edad

de Pablo la mitad de la

Felipe.

Rpta.:

23. Hace 30 años la sexta parte

de la edad que tiene ahora.

¿Qué edad tendrá dentro de

4 años?

Rpta.:

24. Dentro de 40 años, Arturo

tendrá el quintuple de su

X

edad actual. ¿Qué edad

tenía hace 3 años?

Rpta.:

25. Manuel tiene el triple de la

edad de Sara que tiene 12

años. ¿Cuántos años

pasarán para que la edad de

Manuel sea el doble de la

edad de Sara?

Rpta.:

26. Dentro de 4 años, el

cuadrado de la edad de

Javier será 4 veces la edad

que tiene aumentada en 28

años. ¿Cuál es su edad de

Javier?

Rpta.:

27. La edad de Diana dentro de

4 años será un cuadrado

perfecto. Hace 8 años su

edad era la raíz de ese

cuadrado perfecto. ¿Qué

edad tendrá Diana dentro de

8 años?

Rpta.:

28. Actualmente tengo el triple

de tu edad, pero dentro de

12 años tendré solo el doble.

¿Qué edad tienes?

Rpta.:

29. Yo tengo el doble de tu edad,

pero él tiene el triple de la

mía, si dentro de 56 años él

va a tener el cuadruple de tu

edad. ¿Dentro de cuántos

años tendré 30 años?.

30. Cuando Yo nací, mi padre

tenía 38 años. ¿Qué edad

tiene mi padre, si

actualmente nuestras edades

suman 80 años?

31. Dentro de 10 años tendré 3

veces la edad que tenía hace

10 años. ¿Cuántos años

tenía hace 5 años?

Rpta.:

32. Si sumo de dos en dos las

edades de mis tres hijas

obtengo 13, 17 y 24 años.

¿Qué edad tiene Nataly,

siendo ella mayor?

Rpta.:

33. La edad de un padre y su

hijo suman 35 años si el

padre tuviera 17 años menos

y el hijo 8 años más; los dos

tendrían la misma edad.

Determinar cuántos años

tiene el padre?

Rpta.:

Índice

Fracciones 03

Razonamiento Lógico 11

Razones y Proporciones 19

Relaciones y Funciones 29

Razonamiento Geométrico 47

Áreas Sombreadas 55

Perímetros 65

RM. 3ro sec IIT

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