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1UNCP REGULAR 2009 - II TEMA 5 / RAZ. MATEMTICO

SERIESRAZONAMIENTO MATEMTICO - TEMA 5

I. SERIE NUMRICAUna serie numrica es la adicin indicada de los trminosde una sucesin numrica. Y a la suma de dichostrminos se le llama el valor de la serie. Es decir:

Si la sucesin es:t1, t2, t 3, t4, ..., t n

Entonces, la serie numrica respectiva es:t1 + t2 + t3 + t4 + ... + tn

Ejemplo:Sucesin: 1, 4, 9, 16, 25Serie: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

Suma

(Valor de la serie)

A. Serie aritmticaLa serie aritmtica se origina a partir de la adicinde los trminos de una progresin aritmtica.

Ejemplo:Dada la siguiente sucesin de 20 trminos,determine la suma de todos sus trminos:

7, 10, 13, 16, ... , 61, 64

Solucin:Nos piden:

ObservacinSe observa que la suma de cada pareja de trminosque equidistan de los extremos nos da una sumaconstante. Luego, como hay 20 sumandos, entoncestendremos 10 parejas y cada una suma 71.

\ S = (71)(10) = 710

EL INVENTO DEL AJEDREZEl Rey de la india, en reconocimiento al ingenioso inventopor Lahur Sessa, decidi darle una recompensa, para lo cualmand llamar al inventor. El invento constaba de un tablerode 64 cuadrculas y 32 piezas, el inventor de dicho juegopidi que se le diese 1 grano por el 1.er casillero y por cadacasillero siguiente el doble de la cantidad anterior, hastaterminar con los 64 casilleros. El Rey orden que se leentregue lo pedido por Lahur Sessa. Al cabo de un tiempolos calculistas del palacio comunicaron al rey que tal pedidoera imposible.Para conseguir dicho volumen se afirma que la Tierraconvertida de norte a sur en un sembrado con una cosechapor ao, tardara 450 siglos en producir semejante cantidad,y que si por simple pasatiempo, contaramos los granos detrigo del montn a razn de 5 granos por segundo, contando

da y noche sin parar dedicaramos a esta tarea 1170 millonesde siglos. Series es un tema que est estrechamenterelacionado con el tema de sucesiones. Esto significa queel estudiante, hasta aqu, debe haber aprendido, porejemplo, cmo reconocer una sucesin polinomial de 1.er

Orden, 2.o Orden, 3.er Orden, as tambin reconocer unaprogresin geomtrica. Adems de reconocer el tipo desucesin, tambin debe saber hallar su respectivo trminoensimo (tn) y el nmero de trminos de la sucesin (encaso de ser sta una sucesin finita).

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2TEMA 5 / RAZ. MATEMTICO UNCP REGULAR 2009 - II

m Si una serie artimtica tiene un nmero impar detrminos (n: impar) entonces la suma se calculamultiplicando el trmino central (tc) por el nmero detrminos (n).

si n es impar

Ejemplo:Hallar la suma de una serie aritmtica de 13 trminosdonde su trmino central es 30.

Solucin:Como la serie tiene 13 trminos (n es impar):

S = tc . n

S = 30.13 = 390

B. Serie geomtrica finitaLa serie geomtrica se origina a partir de la adicinde los trminos de una progresin geomtrica (P.G.)y la suma se calcula as:

t + 1 t + t + ... + t = 2 3 n

xq xq

n1t .(q 1)

q 1

-

-

t1: primer trminoq: raznn: nmero de trminosdonde: q 1; q 0

Ejemplo:Calcular la suma de los 12 primeros trminos de lasiguiente serie:

3 + 6 + 12+ 24 + ...

Solucin:

S = 3 + 6 + 12 + 24 + ...

x2 x2

t = 3q = 2n = 12

1

Reemplazamos:

123.(2 1)S S=122852 1

- = -

C. Serie geomtrica decreciente de infinitostrminosEl valor de esta serie, conocida como suma lmite,se calcula as:

t + 1 t + t + ... = 2 3

xq xq

1t

1 q-

suma lmite

t1: primer trminoq: razndonde: 0 < q < 1

Ejemplo:Hallar el valor de la siguiente serie infinita:

436 12 4 ...3

+ + + +

Solucin:

S = 36 + 12 + 4 + + ...

x

43

13

x 13

x 13

t = 36

q =

1

13

Reemplazamos:

36S 54113

= =-

II. SERIES Y SUMAS NOTABLES

1)n(n 1)1 2 3 4 ... n

2++ + + + + =

2) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1)

SUGERENCIAS

En general en toda serie aritmtica:

t + 1 t + t + ... + t = (t + t).2 3 n 1 n

+r +r

n2

t1: primer trminotn: ltimo trminon: nmero de trminos

Ejemplo:Hallar el valor de la siguiente serie de 25 trminos:

19 + 23 + 27 + 31 + ...

Solucin:Tenemos t 1 = 59; n = 25 y nos falta el ltimo trmino, t 25.

19 , 23 , 22 , 31 , ...

+4 +4 +4 tn = 4n + 15

t25 = 4(25) + 15 = 115 n 0... t rn a= +

Luego, reemplazamos:

(19 115).25S 16752

+\ = =

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Solucin:Primero hallamos tn:

4, 11, 22, 37, 56, ...

7 11 15 19

4 4 4 (2 orden)

4a 2

2= = ; b = 7 - 2 = 5; c = 4

tn = 2n2 + 5n + 4

Una vez que conocemos tn, la suma de los nprimeros trminos (Sn), se calcula directamente,as:

nn(n 1)(2n 1) n(n 1)

S 2. 5. 4(n)6 2

+ + += + +

t = 2n + 5n + 4n2

Para los 20 primeros (n = 20), la suma es:

2020(21)(41) 20(21)S 2. 5. 4(20)

6 2 = + +

S20 = 2(2870) + 5(210) + 4(20) = 6870

III. SUMATORIASSea la serie: S = t1 + t2 + t3 + ... + tn

Si queremos representar la serie numrica en formaabreviada, usaremos el operador matemticosumatoria ( ).

As:S = t1 + t2 + t3 + ... + tn

n

kk 1

S t=

=

Se lee: "Sumatoria de los trminos de la forma t k, desdek = 1 hasta k = n".

3) 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n-1) = n2

4) 2 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1)1 2 3 4 ... n6

+ ++ + + + + =

5)2

3 3 3 3 3 n(n 1)1 2 3 4 ... n2+ + + + + + =

6)n(n 1)(n 2)1x2 2x3 3x4 4x5 ... n(n 1)

3+ ++ + + + + + =

7) 1x2x3+2x3x4+3x4x5+4x5x6+...+n(n+1)(n+2)

m Para sumar en una serie polinomial, primero se tieneque calcular su trmino ensimo, y luego a partir deeste se calcula directamente la suma.

SUGERENCIAS

=n(n 1)(n 2)(n 3)

4+ + +

8) 1 1 1 1 n...1x2 2x3 3x4 n(n 1) n 1+ + + + =

+ +

Observacin

En todos los casos n es el nmero de trminos.

A. Suma de trminos de una serie polinomialUna serie se dice que es polinomial cuando sutrmino ensimo (tn) tiene la forma de un polinomio.

Si: tn = an + b ... (1.er orden)

tn = an2 + bn + c ... (2.o orden)

tn = an3 + bn2 + cn + d ... (3.er orden)

Ejemplo:Calcular la suma de los 20 primeros trminos de:

11 + 22 + 37 + 56 + ...

m El operador sumatoria es un smbolo que es de usosimple. Ten en cuenta que hay un parmetro "k" quetoma un valor inicial (entero) y que se reemplaza enlos trminos "tk"en forma consecutiva para obtenertodos los sumandos. En algunos casos hay un valorfinal (series finitas) y en otros no (series infinitas).

SUGERENCIAS

m En algunos casos, se presentan series notables incompletas,como por ejemplo:

112 + 122 + 132 + ...+202

En este caso lo que se hace es "completar" lo que faltadesde 12 hasta 102 y luego "restar" lo que se complet. As:(12+22+...+102+112+...+202) - (12+22+...+102)

SUGERENCIAS

IDEAS FUERZA

m La serie numrica: t1 + t2 + t3 + ...+ t n , es polinomialsi se cumple que:

t = polinomion



Problema 1La suma de los 20 trminos de una P.A.creciente es 650. Si el producto de lostrminos extremos es 244, hallar la razn.A) 3 B) 5 C) 4D) 6 E) 7

Resolucin:Dado: t1 + t2 + ... + t20 = 650Es decir:

1 201 20

t t20 650 t t 65

2+ = + =

...(1)

adems: 1 20t x t 244= ...(2)

Resolviendo (1) y (2):

1

20

t 4

t 61

=

= como t 20=t1+19r

61=4+19r\ r = 3

Respuesta: A) 3

Problema 2Calcular el valor de E en la siguienteexpresin:

"n" cifras

E 11 101 1001 10001 ... 1000...01= + + + + + 14243

A)n 110 9n 10

9

+ - +

B)n10 9 109

+ +

C)n10 9n 10

9+ +

D)n10 9n 10

9+ -

E)n 110 9n 10

9

+ + -

Resolucin:Reescribiendo convenientementetendremos:

Ejemplo:Desarrollar las siguientes sumatorias:

a)4

2

k 1S (k 1)

== +

S = (12 + 1) + (22 + 1) + (32 + 1) + (42 + 1)

b)12

n 8A (2n 5)

== +

A= n 8 n 9 n 10 n 11 n 12

(21) (23) (25) (27) (29)= = = = =

+ + + +

A. Propiedades

1. Cantidad de trminos

b

k a a 1 a 2 bk a (b - a + 1) trminos

t t t t ... t+ +=

= + + + + 14444244443

2. Sumatoria de una constante

b

k ac (n a 1).c

== - +

Donde: c es constante (no depende de k)

E=(10+1)+(100+1)+(1000+1)+...+"n" cifras(100...00 1)+14243

Reagrupando y sumando las unidadesnos queda:

E=10 +1

10 +10 +...+10+n2 3 n

Suma de todaslas unidades

Aplicando en la serie geomtrica:

( )n10E 10 1 n9= - +n10 1E 10 n

10 1 -= + -

Respuesta: E) n+110 +9n-10

9

3.

b

k=a

(c.t) = c.k

b

k=a

tk

Donde: c es constante.

4.b

k=a(t + P) =k k

b

k=atk +

b

k=aPk

5.b m b

k k kk a k a k m 1

t t t= = = +

= +

Donde: a < m < b

m En algunas series especiales, se tiene sumandos que tienenforma de fraccin, y en cuyos denominadores aparecendos nmeros que se multiplican.

m Lo que se hace es descomponer cada trmino como sumao diferencia de fracciones unitarias. As por ejemplo:

-3 1 1=4x7 4 7

-2 1 1=3x5 3 511 1 1= +4x7 4 7

8 1 1= +3x5 3 5

SUGERENCIAS

SERIES Academias Exigimos ms!Pamer


Problema 3Un obrero ha abonado este mes 178soles y tiene con esto S/. 1410 en lacaja de ahorros, habiendoeconomizado cada mes S/. 12 ms queel mes anterior. Cunto ahorr elprimer mes?A) 13 B) 10 C) 14D) 16 E) 17

Resolucin:er do er

er

178 (190 12n) .n1410

2+ - =

Resolviendo:n = 15

\ El 1.er mes ahorr:

190 12 (15) = 10

Respuesta: B) 10

1. Hallar el valor de la siguiente serie:

S = 4 + 7 + 10 + 13 + ..... + 67

A) 500 B) 650C) 640 D) 600E) 781

2. Si : 40 sumandos

3 5 7 9 ... abcd+ + + + =144424443

Calcular "a + b + c"A) 11 B) 18C) 15 D) 19E) 12

3. Calcular el valor de "n" si se cumpleque:

"n" trminos

"n" trminos

1 3 5 7 ... 404 7 10 13 ... 7n

+ + + + =+ + + +

644474448

144424443

A) 8 B) 10C) 12 D) 9E) 11

4. Calcular el valor de la serie:

R = 5 + 10 + 20 + ... + 15120

A) 2048 B) 10235

C) 2047 D) 5135

E) 5185

5. El quinto trmino en una sucesinlineal es 23 y el dcimo tercero es55. Hallar la suma de los 20 primeros

trminos.

A) 900 B) 910C) 890 D) 880E) 920

6. Los nmeros x, x + 4, x + 16, sonlos tres primeros trminos conse-cutivos de una progresin geom-trica. Hallar la suma de sus 10primeros trminos.A) 59049 B) 59048C) 56048 D) 57046E) 59047

7. Los tres primeros trminos de unaprogresin geomtrica son: x + 1,x + 4, x + 10. Hallar la suma de los15 primeros trminos.A) 3(215-1) B) 2(215-1)C) 5(215-1) D) 3(216-1)E) 3(214-1)

8. La suma de 20 nmeros enterosconsecutivos es 430. Cul es lasuma de los 20 siguientes?A) 430 B) 800C) 860 D) 680E) 830

9. Halle:

27 27 27S 27 ...2 4 8

= + + + +

A) 27 B) 36C) 62 D) 54E) 56

10.Una pelota se suelta desde unaaltura de 17 m. Si en cada rebotealcanza una altura igual a los 2/3de la altura anterior. Calcular ladistancia total recorrida por lapelota hasta detenerse.A)80 B)84C)120 D)81E)85

11. Calcular:

1 1 1 1S ...5x10 10x15 15x20 100x105

= + + + +

A) 4/105 B) 5/104C) 3/109 D) 3/110E) 4/106

12. Hallar el valor de la siguiente serie:E = 1 x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 + 4 x 6 +... + 20 x 22A) 1595 B) 2950C) 2490 D) 2320E) 3290

13. Dada:Sn = 1 + 2 + 3 + + (n + 1)Hallar: S = S1 + S2 + S3 + + S30A) 2680 B) 5310C) 5480 D) 5430E) 5455

14. Hallar el resultado de efectuar laserie:

S = 5+6+7+9+9+12+11+15+

Sabiendo que tiene 100 sumandos.A) 6675 B) 6645C) 6895 D) 6915E) 6924

15. Calcular "M":

2 3 41 2 3 4

M ...5 5 5 5

= + + + +

A)54 B)

164 C)

45

D)3

16 E)5

16



1. Sumar los 20 primeros trminos:S = 7 + 10 + 13 + 16 + ...

_______________________________________

2. Sumar: S = 64 + 48 + 36 + 27 + ...

_______________________________________

3. En una serie geomtrica finita la suma se calcula as:

_______________________________________

4. Sumar: 1 1 1 1S ...4x7 7x10 10x13 19x22

= + + + +

_______________________________________

5. Si se suelta una pelota desde una altura de 30 m yen cada rebote alcanza una altura igual a 2/5 de laaltura anterior. Hallar el recorrido total de la pelotahasta que se detiene.

_______________________________________

6. Calcular: 1 + 3 + 5 + 7 + ...+ 49

_______________________________________

7. Calcular: 112 + 122 + 132 + ... + 202

_______________________________________

8. Sumar: 20

k 1S (4k 1)

== +

_______________________________________

9. Si en una serie polinomial de 2 orden su trminoensimo es: t n = 2n

2 - 3n + 5. Calcular la suma de los20 primeros trminos.

_______________________________________

10. Sumar todos los nmeros.

1

2

3

4

2

3

4

3

4

4 20

20

20

20

20

_______________________________________

16. Hallar el valor de:

=20

3

k 6k

A) 43857B) 43900C) 43895D) 44100E) 43875

17. Calcule el valor de:

=+

20

k 1k(k 1)

A) 3050B) 1540

C) 3300D) 3080

E) 3100

18. Determina el valor de:18 4

k 1

k 1k 1=

-+

A) 27285B) 26170C) 28140D) 27150E) 27385

19. Dada:"x" sumandos

f(x) 102 104 106 ...= + + +644474448

Calcular:S = f(1) + f(2) + f(3) + + f(49)A) 134 560B) 164 150C) 136 420D) 230 400E) 143 250

20. Calcula: 10

k

k 1(2 4k 3)

=- +

A) 2046B) 2200C) 1856D) 1023E) 480

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