Robortella Vol 04 Óptica Geométrica- completo

8/16/2019 Robortella Vol 04 Óptica Geométrica- completo

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Pobortdb

AvdinocETGdson



A coleção consta deoito volumes:

/ Mecânica: Cinemática

Mecânica: Dinâmica

JS^VIecânica: Estática , Hidrostática e Gravitação

^ 7 Óptica Geométrica

S) Termologia

C') Oscilações, Ondas e Acústica

7 Eletricidade: Eletrodinâmica

f S Eletricidade: Eletrostática e Eletromagnetismo

Cada capítulo apresenta asseguintes partes:

0. Introdução Teórica

L Questões ResolvidasC Questões Propostas

d Respostas



»l»;

. Introdução à

Optica Geométrica



A luz é essencial para todo tipo de vida que há sobre a Terra.Podemos até mesmo dizer que a vida na Terra é regulada pela luz.É graças a ela que o homem sobrevive, que as plantas se desenvol-vem armazenando energia do Sol e que podemos perceber movi-mentos. formas e cores. Enfim, todos os seres vivos são afetadosdireta ou indiretamente pela luz.

A visão é o único sentido que nos permite estabelecer um quadrodetalhado do que ocorre nas nossas proximidades e em lugares maisafastados de nós. Por sua vez. a visão também depende fundamental-mente da luz: se há luz, podemos ver; se não há luz, não podemos ver.

A óptica * é a parte da Física que estuda o comportamento da luz.

Portanto:

Luz — ► EnergiaÓptica — ► Estudo do comportamento da luz

P d b ó i f t d t fí i l



Óptica Geométrica

Muitos fenômenos observados na Natureza, em que participa oagente físico luz, podem ser analisados com o auxilio da Geometria.

Esse estudo é feito na Óptica Geométrica através de um modelo sim-ples: o raio de luz. Tal análise dispensa o conhecimento das teoriasque explicam a natureza da luz.

Raio de luz

Em Óptica Geométrica, representamos o caminho percorrido pelaluz por intermédio de raios de luz. Um raio de luz consiste em umalinha associada a um sentido de propagação.

Pincel de luz

Raio de luz ♦

Representação gráfica da propagação da luz

Um conjunto de raios de luz representa uma região do espaço naqual a luz se propaga. Esta região é chamada pincel de luz.

Utilizando uma lanterna podemos observar uma região iluminadado espaço. Esta região é o pincel de luz.

Em óptica Geométricarepresentamos os fenô-menos que observamos

com a luz. por moio dcum elemento simples:o raio de luz. Representaçãotíe um pincel

l



Os pincéis de luz são classificados em:

• Pincel cônico divergente — ê uma região cônica do espaço naqual a luz se propaga, onde os raios de luz divergem de um ponto.

Representação gráfica deum pincel cônico divergente

A '•eprescntação da prop8gaçaoda luz em Óptica Geométrica éfeita sempre com o auxilio

dos raios de luz



• Pincel cônico convergente — É uma região cônica do espaço naqual a luz se propaga, onde os raios de luz convergem para um ponto.

O pincel cônico convergentecorresponde a una concentraçãoda energia luminosa.



12

• Pincel cilíndrico — É uma região cilíndrica do esoaço na qual a luz se propaça. onde os raios de luz são paralelos.

Pince!

lI

III

cilíndrico IIIIIi

Representação

gráfica de um

cilindro de luz♦ Pincel cilíndrico

(raios paralelos)



W ,3

Fontes de luz

São todos os corpos que emitem luz. As fontes de luz podem

ser classificadas em:• Fontes primárias ou corpos luminosos — São corpos que pro-

duzem a luz que emitem; portanto, emitem luz própria.

Exemplos:

O Sol ó a mais importante fonte Uma lâmpada acesa é uma fonte

primária de luz para a Terra. primária de luz.



14

• Fontes secundárias ou corpos iluminados — As fontes secundárias

de luz enviam luz às suas vizinhanças, mas não produzem a luz que

emitem. Elas enviam ao espaço parte da luz que recebem de uma

fonte primária.

Exemplo:

O papol 6 uma fonte secundária de luz. fcle recebe luz de uma fonteprimária (uma lâmpada, por exemplo) e envia aos olhos do observador parted l b O t l d f t dá i



15\ f í - x

Os conceitos de fonte primária e fonte secundária expostos anteriormente são conceitos relativos. Dependendo das condições físicas em que se encontra,

um corpo pode ser classificado como uma fonte primária ou comouma fonte secundária.

Exemplo:

Lâmpada acesa (fonte primária de luz). O farol do automóvel, quando aceso,é uma fonte primária de luz.

Lâmpada apagada (fonte secundária de luz). O farol do automóvel, quandoapagado. 6 uma fonte secundária de luz.

© Complemento

As fases da Lua

A Lua dá uma volta completa cm torno da Terra em 27.2 dias (movimento detranslação), no mesmo sentido em que a Terra gira em torno do seu próprio eixo.

Neste mesmo intervalo de tempo, a Lua também executa uma volta completaem torno de seu eixo (movimento de rotação).

Assim, sendo os períodos de rotação e translação da Lua iguais. e'a sempre nosapresenta a mesma face. Todavia, como a Lua é uma fonte secundária de luz. nós

vemos desta face apenas a região que está sendo iluminada pelos raios solares, eque envia luz à Terra.

Na ilustração a seguir podemos acompanhar a jornada da Lua ao redor da Terraem um mês.

Um observador localizado na Terra verá a região iluminada da Lua de diferentesformas, de acordo com a posição do satélite em relação ao planeta.

Como consequência teremos, então, as diversas fases da Lua.



16

Meios transparentes, translúcidos e opacos

A luz se comporta de diferentes modos ao atravessar as diversas

substâncias encontradas na Natureza. Dependendo do modo como a

luz se comporta podemos distinguir três tipos diferentes de meios.

• Meio transparente — Permite que a luz se propague por distân-

cias consideráveis. Além disso, através dele podemos ver objetos

com nitidez. Isto ocorre porque a propagação da luz em um meio

transparente é regular.

Luz proveniente Vidro

A água. o vidro e o ar são exemplos dc meios transparentes. Atravésdeles, a luz se propaga de modo regular o os objetos são identificados com



• Meio translúcido — Permite a propagação da luz, embora não seja

possível através dele visualizar nitidamente a fonte de luz. Isso ocorre

porque a propagação da luz em um meio translúcido é irregular.

O vidro fosco, o vidro leitoso das lâmpadas fluorescentes, as nuvens, asporcelanas finas e o papel vegetal são exemplos de meios translúcidos. A luzemitida pela chama (fonte primária) caminha no ar, no papel e atinge osolhos do observador Entretanto o observador não tem uma visão nítida das



18

• Meio opaco — A luz praticamente não se propaga neste tipo de

meio. Exemplos de meios opacos: um pedaço de madeira, uma placa

de metal.

• Meio homogêneo — Um meio é homogêneo quando possui as

mesmas propriedades em todas as porções de volume que tomamos

para estudo.

Os conceitos ce transparência, translucidez e opacidade são conceitosrelativos. Assim, uma única folha de papel celofane é transparente; já ummaço pouco espesso de folhas desse mesmo papel pode ser consideradotranslúcido, enquanto que um pacote bastante espesso de folhas de

papel celofane pode ser considerado opaco. Neste caso. a espessuraé importante para caracterizar o meio quanto à propagação da luz.

Visão dos objetos

Utilizando os raios de luz. façamos uma representação esquemá-

tica de diversas situações que encontraremos ao longo de nosso

estudo (figura seguinte).

Podemos concluir, através dessa figura, que para um objeto

ser visto por um observador duas condições simultâneas devem ser

satisfeitas:

• o objeto deve ser uma fonte de luz (primária ou secundária);



Este observadorvê a fonte, poisesta envia luzaos seus olhos.

Este observadorvê a fonte poisela envia luz aosseus olhos.

iste observador

náo vê a fente.pois a luz emitidapor esta rãochega aos seus olhos.

Este observador nãovê a fonte, pois aluz emitida por elanão chega aos seusolhos.

meio opaco

Luzp'ovementeda fonteprimária(chama)

Vidro:transparente

secundária

Este observador

vê a fonte secundáriapois ela enviaaos seus olhos parteda Ilz que recebe deuma fonte pr mária



20

Complementos

• A luz emitida por uma fonte luminosa pode ser recebida por um observadorsituado nas proximidades da fonte ou bastante afastado dela. A posiçào em queum observador se encontro em relação à fonte é bastante importante para caracte-

rizar o pincel de luz. Observe o esquema o seguir:

Fonte

Angulo deaberturado pincel.

Pincelcônicodivergente.

próximo ã fonte.

Observadorbastanteafastado

da fonte.

Pincel praticamentecilíndrico * raios de luzpraticamente paralelos.

• Para o observador bastante afastado da fonte, os raios de luz que este recebeconstituem um pincel de luz de abertura muito pequena. Ou soja. os raios de luzrocebidos pelo observador muito afastado da fonte podem ser considerados prati-camente paralelos. Ouando a fonte se encontra muito afastada, dizemos, em óptica,quo a fonte está no infinito em relação ao observador.

A fonte está

no infinito.

____________________________________________________________<• Aplicação

Os raios de iuz provenientes de uma ostrela (o Sol. por exemplo), ao atingiremuma região da Terra, podem ser considerados praticamente paralelos, pois provémde uma fonte luminosa muito distante.

Fenômenos ópticos

Ouando a luz atinge a super-

fície S que separa dois meiosquaisquer podemos observar di-

versos fenômenos, que apresen-

taremos a seçuir:



• Reflexão da luz — Ouando um pincel cilíndrico que se propaga

no ar atinge a superfície plana e polida (lisa) de um metal, obser-

vamos experimentalmente que o pincel de luz retorna ao meio no

qual se propagava, também de forma'cilíndrica. Este fenômeno échamado reflexão regular da luz, ou simplesmente reflexão da luz.

Dizemos que a luz foi refletida. A superfície metálica em estudo re-

cebe o nome de superfície refletora ou espelho.

A luz sofre reflexão om um espelho. Representação gráfica da reflexão daluz. utilizando raios de luz.

• Difusão da luz — Se a super-

fície que a luz atinge é rugosa

(por exemplo, uma folha de pa-

pel branco), a luz retorna aomeio de origem, propagandose

em todas as direções do espaço.

Este fenómeno é chamado difu-

são da luz.

Representação gráfica da difusão da luz. utilizando raios de luz

Aplicações

1. é costume pintar com tinta branca a letra X nos vidros transparentes das janelas

dos prédios em construção Esse recurso tem por finalidade fazer com que a luzsofra difusão na superfície branca e evitar que algum operário cm circulação,náo percebendo a existência do vidro transparente venha a colidir com eld



22

• Refração da luz — Quando um pincel cilíndrico que se propaga

no ar atinge a superfície plana de um bloco de vidro transparente,

observamos que o pincel de luz passa a se propagar no vidro ainda

de forma cilíndrica. A passagem da luz de um meio transparente (ar)

para outro meio transparente diferente (vidro) é denominada refração

da luz. Dizemos que a luz foi refratada.

Um exemplo dc refração da luz. Representação gráfica da refração daA passagem da luz do ar para o vidro. luz. utilizando raios de luz.

Aplicação

O vidro do párabrisa de um automóvel é um meio transparente A luz prove-niente dos objetos situados na estrada sofre refração no pára-brisa o atinge osolhos do motorista, permitindo que olo erxergue os objetos.

• Absorção da luz — Quando

a luz atinge a superfície netjra

de um corpo (S). observamos que

a maior parte dela não é refle-

tida. difundida ou refratada. Di-zemos. então, que a Itiz é absor-

vida pela superfície. Nesse caso.

a energia luminosa será incor-

porada à superfície na forma de

energia térmica, provocando a

elevação da temperatura do corpo,

dc roupas escuras no verão, pois essas roupas absorvem a luz e. con

seqüentemcnte. aumentam a temperatura. Devido à absorção da luz,

no verão o interior de um carro preto é mais quente do que o de

um carrq branco. Já as superfícies brancas difundem predominante-

mente a luz e. por isso. é interessante o uso de roupas claras em dias

As superfícies negras absorvem a energialuminosa.

Superfície negra

Pnr isso à inennvftniftnte n uso



23

A Óptica Geométrica tem interesse em estudar apenas os fenô-menos reflexão da luz e refração da luz. As superfícies onde ocor-rem esses fenômenos são chamadas de sistemas ópticos. Dessa

forma, analisaremos o comportamento dá luz ao atingir um sistema óptico refletor ou um sistema óptico refrator.

Princípios da Óptica Geométrica

Já discutimos em Mecânica o significado dos princípios da Dinâ-

mica. Os princípios são ieis físicas de caráter geral, confirmadaspela experiência, embora não sejam demonstráveis matematicamente.O estudo da Óptica Geométrica está baseado em três princípios:•

• Principio da propagação retilínea dos raios de luz

Nos meios homogêneos c transparentes a luz



24

Comprovemos a veracidade deste princípio através de alguns

exemplos:

1} O ar de uma sala de projeções é um meio homogêneo e trans-

parente. A luz emitida pelo projetor ilumina as partículas em sus-

pensão (poeira) que se encontram no ar. Desta forma, constatamos

a propagação retilínea da luz.

2) Por meio de uma fresta em uma janela a luz penetra na sala. Através das partículas em suspensão no ar podemos observar a

propagação retilínea dos raios de luz.

Aplicações

t. Sombras e penumbras

A formação de sombras evidencia que:

• a luz não se propaga em meios opacos a ela.

• a luz so propaga em linha reta num meio homogêneo e transparente.



Assim, se colocarmos um objeto opaco entre uma fonte pontual e um anteparo, ocontorno da sombra projetada no anteparo será semelhante ao do objeto opaco

»

Sombra projetadano anteparo

Ouando tivermos mais de uma fonte pontual notaremos no anteparo a formaçãodas seguintes regiões:

1) região totalmente iluminada;

2) região parcialmente iluminada (penumbra);3) região totalmente escura (sombra).

Esta região recebe luz deapenas uma fonte Ê parcialmenteIluminada (penumbra).

Esta região recebe luzdas duas fontes(totalmente iluminada).

-----

Esta região nãorecebe luz (sombra).

Uma fonte extensa pode ser entendida como um conjunto de fontes pontuais.

Neste caso, a região que não recebe os raios de luz é reduzida consiceravelmente.2. Eclipse

Como o Sol é uma fonte primária extensa e a Terra um corpo opaco, temos aformação de regiões de sembra e de penumbra



Se em vez da Terra, S Lua interceptar cs raios solares, teremos ura eclipse do

Quando uma região da Torra se encontra no cone de sombra da Lua. dizemos que,para um observador ali postado, está ocorrendo um eclipse total do Sol.

Quando uma região da Terra se encontra na penumbra da Lua. dizemos que. paraum observador ali postado, está ocorrendo um eclipse parcial do Sol.

• Principio da independência dos raios de luz

Os raios de luz são independentes; ao se interceptarem, cada

um mantém o seu caminho, como se os outros não existissem.

Na figura seguinte, a moça vê a chama B porque esta envia luz

aos seus olhos, e o rapaz vê a chama A porque esta envia luz aos

lh



Os raios de luz são independentes, pois. ao se cruzarem, não

alteram a sua direção de propagação.

Na região em que ocorre a intersecção de pincéis de luz. veri-

ficase eventualmente um reforço na iluminação, mas não há desvio

na direção de propagação de nenhum dos pincéis.

• Principio da reversibilidade dos raios de luz

A trajetória seguida pelos raios de luz

não depende do sentido de propagação.

Observe a montagem abaixo.

A fonte colocada em A emite luz que, após refletir nos dois es-

pelhos, chega à tela, em D.

Fonte

Espelho



♦ >

28

Colocando a fonte em D. a iuz percorre o caminho inverso e chega

à tela, em A.

Graças a este princípio, quando no trânsito um motorista A vê

pelo espelho retrovisor outro motorista B. ele sabe que o motorista

B também tem condições de enxergálo.

Da mesma forma, usando o espelho retrovisor, um motorista de

táxi pode conversar com um passageiro sentado no banco traseiro,

sem desviar totalmente sua atenção do trânsito.

Complementos

• Comentários sobre a velocidade da luz1. Quando a luz se propaga ao longo de um meio, cia o faz com uma certa veloci-

dade. Essa velocidade de propagação da energia luminosa ó altíssima quandocomparada com as velocidades registradas nos fenómenos cotidianos. No vácuo,por exemplo, a luz caminha com uma velocidade da ordem do 300 000 km/s, ou

seja:

v l t ** «o »ácuo c 300 000 km /s 300 000 000 m /s = 3,00 . 10s m/s

Este é também o valor aprox mado da velocidade da luz no ar A velocidade com quo a luz caminha depende do meio em que ela se propaga.No vácuo, a velocidade da luz é máxima, sendo menor nos meios materiais trans-

parentes Esta característica da luz será abordada mais detalhadamente no capí

Fonte



Sendo d = distância média da Terra ao Sol = 1,50 . 1011 m e V —c = velocidadeda luz no vácuo - 3.00 . 10® m/s. temos:

V = ^ c = J L At At

Logo:

d 1.50 . 10» i m At = — ------------------------ =>

c 3,00 . 10® m/sOu seja: \ At =---: 8.3 min [ .

IAt - 500 s

2. Um ano-luz é a distância percorrida pela luz no vácuo durante o intervalo detempo de um ano. Note que ano-luz é uma medida de comprimento pois é amedida de uma distância.

Assim:

At = 1 ano = 365.2 dias = 3.156 . 107 sV = c = 3,00 . 10® m/s

1 ano-luz = c . A t = 3.00 . 10® . 3.156 . 107 =>

=> h ano-luz <==9.47 . 10*5 m|

1. ITA — A sombra de uma nuvem sobre o solo tem a mesma forma

e tamanho que a própria nuvem porque os raios solares são:

a) praticamente paralelos.

b) muito divergentes.

c) pouco numerosos.

d) todos convergentes para um mesmo ponto.e) muito numerosos.

Resolução: Devido à grande

distância que o Sol está da

Terra, os raios solares, ao atingirem uma região do nosso

planeta, podem ser considera

dos pruticamcntc paralelos. As

sim, as sombras projetadasdevido aos raios solares têm as

mesmas dimensões do objeto.



30

2. CESCEA — Entre uma fonte pontual e um anteparo colocase umobjeto opaco de forma quadrada e de 30 cm de lado. A fonte e ocertro da placa estão numa mesma reta que. por sua vez, é per-pendicular ao anteparo. O objeto encontrase a 1.50 m da fonte e

a 3.00 m do anteparo. A área da sombra do objeto, produzida noanteparo, em rrr, é:

a) 0,18. c) 0.81. e) 0.60.

b) 0,36. d) 0.54.

Resolução: A fonte pontual projeta no anteparo uma sombra cujo con-

torno é uma figura semelhante ao do objeto opaco. Assim, a área da

sombra do objeto será a área do quadrado de lado L representado na

figura.

Fontepontual



Da semelhança dos triângulos FAB e F'A'B\ podemos escrever:

FO FO'

AB A'B'

Substituindo as distâncias pelos valores numéricos,

1,50 4,50 m 4 ,5 0 .0 ,3 0= =* Z — =>

0,30 m i 1,50

A sombra do objeto terá área:

S _ P = (0,90)2 S = 0,81 m2

vem:

( = 0,90 m

Resposta: alternativa c.

3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura abaixo estão repre-sentados um morro, uma árvore e um observador (O). A alturada árvore é de 50 m e a distância entre ela e o observador, de300 m. A distância entre o observador e o ponto M é de 800 m.

Qual é aproximadamente a altura (H) do morro, se. do ponto devista do observador, o topo da árvore e o topo do morro estão

Resolução: Inicialmente, observemos que a altura do observador é con-

siderada desprezível em relação às alturas do morro e da árvore (enun-

ciado). Assim, o olho do observador será admitido ao nível do solo.

O morro e a árvore são fontes secundárias de luz. O observador en-xerga o topo da árvore c o topo do morro, pois eles enviam luz aos

seus olhos.



32

Quando o topo da árvore e o topo do morro estão alinhados com oobservador, os raios luminosos atingem o olho O segundo a mesma reta,

como é representado na figura anterior l emos, então, a formação dc

dois triângulos retângulos semelhantes: AOMN c AOPQ.

Portanto, podemos escrever:

MN _ MO H 800

PQ ~ PO 50 ~ 300

Resposta: alternativa a.

4. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Uma fonte luminosa projeta luz

sobre as paredes de uma sala: um pilar intercepta parte dessaluz. A penumbra que se observa é devida:

a) ao fato de a fonte luminosa não ser pontual.

b) ao fato de a luz não se propagar rigorosamente em linha reta.

c) aos fenômenos de interferência da luz, depois de, tangenciaras bordas do pilar.

d) aos fenômenos de difração.

e) à incapacidade do globo ocular de concorrer para uma diferen-

ciação eficiente da linha divisória entre luz e sombra.Resolução: Observando o esquema abaixo, notamos que a formação de

penumbra decorre do fato de a fonte de luz primária não ser pontual

(fonte extensa). Note que na região em que ocorre a penumbra uma

parte da luz emitida pela fonte é recebida na parede.

Penumba

Sombra

Penumbra

Observação: A única fonte extensa que não produz penumbra é aquela queemite raios de luz paralelos.

H 133 m



5. PUC (SÀO PAULO) — Num eclipse total da Lua, a posição rela-tiva dos três astros Sol, Lua e Terra é:

a) ® © © d) ' ( s j © ©

b)©

©

© *> © ©©c) © © ©

Resolução: Num eclipse total da Lua, esta deve estar no cone de som-

bra da Terra. Assim, a Lua deixará dc ser uma fonte secundária de

luz c não poderá ser vista.

Eclipse total da Lua

Cone de

sombra

Resposta: alternativa d.

8. CESCEA — Uma câmara escura de orifício tem um anteparofosco quadrado de 10 cm de lado. A distância do orifíc io até oanteparo é de 30 cm. Quando se focaliza uma árvore de umacerta distância, sua imagem excede 2 cm do tamanho da alturado anteparo. Aumentando em 1,50 m a distância entre a árvoree a câmara, a imagem adquire o mesmo tamanho do lado do ante-paro. A altura da árvore é de:a) 7.5 m.

b) 9 m.

d) 6 m.

e) 4,5 m.



34

Resolução: A câmara escura de orifício c corístituída basicamente de

uma caixa dc paredes opacas, com um pequeno orifício que permite

a passagem de luz. Na parte posterior podemos colocar uma folha dc

papel vegetal, que é um material translúcido. Os raios de luz que

partem do ponto A atravessam o orifício O da câmara c atingem o papel translúcido no ponto A', como indica a figura:

Observador

Folha de papelvegetal (anteparo)

O observador verá, então, uma mancha luminosa no ponto A'. Quando

um objeto extenso AB for colocado diante da câmara, a cada ponto

do objeto corresponderá um ponto projetado sobre o papel vegetal, da

mesma forma que o ponto A analisado anteriormente. Teremos, então, projetada sobre a folha, uma figura semelhante ao objeto c invertida

em relação a este. Esta figura é também chamada dé “imagem” doobjeto AB.



35

Aplicação numérica no exercício:

Situação inicial — O tamanho da imagem (yi — 12 cm) excede cm

2 cm a altura do anteparo (10 cm). '

Situação final — Afasta-sc a câmara 1,50 m = 150 cm da árvore:

y* _ x 10 30Y X + 1 5 0 Y X + 150

(II) .

De (II), vem 10 . (X 4 150) = 30Y => X + 150 = 3Y =*

X - 3Y - 150Igualando (III) c (IV):

(IV)-3 Y - 150 =2 ,5Y3Y - 2,5Y = 150



36

7. FUVEST — Uma estrela emite radiação que percorre a distância

de 1 bilhão de anos-luz até chegar à Terra c ser captada por um

telescópio. Isto quer dizer que:

a) a estrela está a 1 bilhão de quilômetros da Terra.

b) daqui a 1 bilhão de anos a radiação da estrela não será mais

observada na Terra.

c) a radiação recebida hoje na Terra foi emitida pela estrela há

1 bilhão de anos.

d) hoje a estrela está a 1 bilhão de anos-luz da Terra.

e) quando a radiação foi emitida pela estrela ela tinha a idade

de 1 bilhão de anos.

Resolução: Um ano-luz é a distância percorrida pela luz, no vácuo,durante um ano/

Assim, sc a estrela emitiu uma radiação que percorreu uma distância

de 1 bilhão dc anos-luz, até chegar à Terra, isto significa que o iníciodesta emissão foi há 1 bilhão dc anos atrás.

Note que, ao receber esta luz, um astrônomo está recebendo informações I bilhão dc anos atrasadas sobre a estrela. Vale dizer: “olhar

para as estrelas é olhar para o passado”.


1. FMU — O vidro leitoso é um corpo:

a) transparente. d) luminoso. b) translúcido. c) Nenhuma das respostas anteriores.c) opaco.

2. UNIVERSIDADE DO ESPIRITO SANTO — Um raio de luz, ao sc refletirsobre uma superfície, apresenta-se refletido difusamente. Isto mostra que:

a) a superfície refletora é plana. b) a superfície refletora é côncava.c) a superfície refletora é convexa.d) a superfície refletora absorve parcialmente a luz incidente,c) a superfície refletora é rugosa



.V FMU — O fato dc que a luz proveniente elo Sol nos atinge, prova que a luz:a) se propaga cm linha reta.

b) necessita dc um corpo material para sc propagar.c) sc propaga no vácuo.

d) se propaga em grande velocidade,c) tem caráter ondulatório.

4 ESCOLA TÉCNICA DE CAMPINAS — No vácuo c cm qualquer meio detransporte que seja opticamcnte homogêneo, a luz sc propaga seguindo umatrajetória:a) circular.

b) parabóhca.

c) sinuosa.d) retilínea.c) diversa de qualquer uma das acima especificadas.

5 FACULDADES DO INSTITUTO ADVENTISTA - A formação dc som bras evidencia que:a) a luz se propaga cm linha reta.

b) a velocidade da luz não depende do referencial.C) a temperatura do obstáculo influi sobre a luz que o atravessa.

d) a luz sofre difração.c) a luz é necessariamente fenômeno de natureza corpuscular.

ft UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Um menino de 1,50m dcaltura observa, num dia de sol, as sombras dc uma torre de rádio-emissorac u sua própria. Não dispondo dc fita métrica ou de trena, ele toma umcordão, mede sua sombra c a compara com a da torre, verificando ser esta10 vezes maior do que a sua. Assim, o menino conclui que a altura datorre:

ii) é dc 15 m. b) é superior a 15 m.0 6 inferior a 15 m.il) depende da inclinação dos raios solares.c) só poderia ser calculada sc ele dispusesse de uma escala para medir sua

sombra.

7 MEDICINA DA SANTA CASA — Durante um cclipsc do Sol:

a) uma pessoa no Hemisfério Sul poderá ver as estrelas que à noite são visíveis no Hemisfério Norte. b) não poderão ser vistas estrelas.c) o Sol seria invisível para um cosmonauta que estivesse na face da Lua



38

8. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Na figura abaixo vemos uma íon;edc luz. com a forma dc letra F, situada em frente a um pequeno orifícionuma caixa fechada.

A imagem da letra formada no fundo da caixa tem a seguinte forma:

9. PUC (SÀO PAULO) — Um ano-luz é uma medida de:a) tempo. d) aceleração. b) comprimento. c) intensidade luminosa.c) velocidade.

10. FEI — A luz demora 10 minutos para vir do Sol à Terra. Sua velocidadeé de 3 . 105 km/s. Qual a distância entre o Sol c a Terra?1

1. b 2. e 3. c 4. d 5. a S. a 7. c 8. c 9. b



CfiríTULO

Introdução aos ôistemas

Ópticos-Gspelho Plano



40

No capítulo anterior vimos que a luz, ao atingir uma superfície(sistema óptico), pode apresentar dois tipos de fenómenos: reflexãoe refração.

Esquema gráfico de um raio Esquema gráfico de um raiosofrendo reflexão. sofrendo refração.

Neste capitulo nossa preocupação estará voltada para a caracterização de duas situações:

• Como a luz se propaga antes de atingir um sistema óptico?• Como a luz se propaga^depois de atingir um sistema óptico e

de ter sofrido um fenômeno óptico (reflexão ou refração)?

As soluções destas questões estarão diretamente associadas adois conceitos fundamentais da Óptica Geométrica: pontoobjeto epontoimagem.

Por sua vez. os conceitos de pontoobjeto e pontoimagem estãoassociados aos vértices dos pincéis incidentes e dos pincéis emer

gentes, em relação a um dado sistema óptico.Um pincel de luz é incidente em relação a um sistema óptico

S quando seus raios de luz se aproximam de S.

Um pincel de luz é emergente em relação a um sistema ópticoS quando seus raios de luz se afastam de S.



y

41

Estudo geral dos pincéis incidentes

Um pincel incidente num sistema 'óptico pode ser divergente,

convergente ou cilíndrico.• Pincel incidente cônico divergente — Colocandose um pontolumlroso diante de um sistema óptico, a luz emitida pela fonte incide no sistema na forma de um pincel cônico divergente.

Luz incidindo em diversos sistemas ópticos:

Superfície plana,motéllca o

polida — espelho.IRlatema refletor)

Superfície esféricametálica e

polida espelho.ÍSistema refletor) Lente de vidro(Sistema refrator)

Pincel incidente no sistema. /

Pincel incidente no sistema.

Vértice dopincel que incide

no espelho.


no espelho.


na lente.

An trôs situações podem ser representadas simplificadamcnte. da forma esque-matizada abaixo.

Vértice dopincel de luzque incide no sistema.

Pincel

Representaqualquer umdos sistemasem que a luzincide



42

• Pincel incidente cônico convergente No figura abaixo, mostra*

mos como se pode obter um pincel incidente cônico convergente em

relação a um sistema óptico S.

Pincel incidenteno sistema óptico S s

Após sof'errefração no vidro,o pincel convergepara este ponto

Sistema óptico estóo

Este pinceicilíndrico incidena iente

LU 2

incidenteem S.------------►

A situaçáo discutida acima

pode ser representadasimplificadamcnte.da formaesqjemati;adaao lado.

Este ponto é ovórtice do pincelcônico convergent«

que incide em S.Neste caso.o vértice só temexistênciageométrica.



Plncol Incidente cilíndrico — A luz também pode incidir em um

«lelnma óptico na forma de um pincel cilíndrico. Observe os exem

nbiilxo: •

•u(t«Hfote plana.« polida — espelhe

lMiet«ma refletor)

Lenre de vidro.(Sistema refratorj

Superficie esférica

metálica epolida — espelho.(Sistema refletor]

provém deuma fonte muitodistante do sistema(no infinito).

Quando a fonte de luz está muito afastada do sistema dizemosnu® o fonte está no infinito, em relação ao sistema. Os raios rece-

bidos pelo sistema são praticamente paralelos.

Iloprenentaçào gráficaalmpllflcada:

Este pincelcilíndrico está incidindo no sistema óptico S

Reprosentaçào deum sistema ópticoqualqjer.



44

Ponto-objeto

Em relação a um sistema óptico, definimos ponto-objeto como

sendo o vértice do pincel de luz incidente neste sistema. De acordo com o tipo de pincel incidente, o ponto-objeto pode ser real, virtual

ou impróprio. Observe o quadro abaixo: ,

no sistema.

Resumindo: i

Ponto- Incidência dc iuz no

-objeto sistema óptico



Estudo geral dos pincéis emergentes

Após incidir no sistema óptico o pincel de luz sofre um fenô-

meno óptico, reflexão ou refração. dependendo da superfície emestudo

Em seguida, os raios de luz se afastam do sistema, constituindo

um pincel de luz emergente. Este pincel pode ser divergente, con-

vergente ou cilíndrico, e depende:

• do tipo de pincel que incide no sistema:

• das características do sistema óptico (tipo de espelho, tipo de

lente, etc.).

• Pincel emergente cônico convergente — Observe as ilustrações

obalxo. onde os pincéis emergentes são cônicos convergentes:

As duas situações podem ser representadas simplificadamente,

iia forma esquematizada abaixo:

O pincelconverge paraeste ponto.

O pincel convergopara este ponto.

Luz

S

Representa qualquer

um dos sistemas deonde a luz emerge.

---------Vértice òo pincelp* de luz que emerge

do sistema



46

• Pincel emergente cônico divergente — Nas ilustrações a seguir

representamos situações onde os pincéis emergentes são cônicos

divergentes:

Representação gráfica simplificada:

Este pontoé o vértice geométricodo pincel divergenteque emerge dosistema.

Reprosenta qualquer um

Pincel emergente do sistema(pincel côniccr divergente).



• Pincel emergente cilíndrico — A luz também pode emergir de

um sistema na forma de um pincel cilíndrico. Observe os exemplosabaixo:

Superfície esférica,metálica o pol da — espelho.(Sistema refletor)

Lente de vidro.(Sistema rc?rator)

. \Esto pmcelestá emergindodc sistema.

Superfície plana.e polida —

espelho.(Sistema refletor)

Representação gráfica simplificada:

Representaum sistemaóptico qua quer.

Pincel emergentedo sistema(pincel cilíndrico).



48

Ponto-imagem

Em relação a um sistema óptico, definimos ponto-imagem como

sendo o vértice do pincel de luz emergente deste sistema.

De acordo com o tipo de pincel emergente, o ponto-imagem pode

ser real. virtual ou impróprio.

Observe o quadro abaixo:

Sistema

Resumindo:

Ponto imagemEmcrgóncla de luz



o Complemento

• Pontos conjugados f

Observe o exemplo abaixo. Nolo estão representados um sistema óptico,o pincelInciderte no sistema e o pincel emergente do mesmo. Apliquemos ao exemplo osconceitos de pontoobjeto e pontoimagem.

Como podemos observar, se um pincel do luz incide em um sistema óptico,hnveró sempre em correspondência um pincel de luz que omerge do sistema. Aovórtice do pircel incidente (objeto) corresponde o vértice do pincel emergonte (ima-gem). O pontoobjeto e o pontoimagem são chamados de pontos conjugados. No

exemp o ilustrado, dizemos que P' é a imagem do objeto P. conjugada pelo sistemaóptico S.

Leis da reflexão

Nas considerações anteriores estudamos os sistemas ópticos emgorai e, em relação a estes, aplicamos os conceitos de ponto-objeto

o ponto-imagem. A nossa atenção agora estará voltada para o estudo

inols detalhado dos sistemas ópticos refletores (ou espelhos). O



50

partida, podemos explicar como se formam as imagens nos espelho

e seu significado físico. A seguir, descreveremos a reflexão de um

raio de luz em um espelho e os elementos mais importantes asso

ciados ao fenômeno.

Faceespelhada

Espelho plano

Face •espelhada

Espelho curvo

Representação de uma superfície refletora da luz (espelho).

• Elementos associados ao fenômeno da reflexão de um raio de lu

— Em relação à superfície refletora (espelho) podemos definir osseguintes elementos:

• Raio de luz incidente * a

• Raio de luz refletido » b

• Ponto de incidência —* I (ponto no qual o raio incidente atingea superfície)

• Plano tangente à superfície passando pelo ponto I > r.

• Reta normal N (reta perpendicular à superfície passandopelo ponto I)

• Plano de incidência (definido pela reta normal e pelo raio incdente) a

• Ângulo de incidência —►i (ângulo que o raio incidente formacom a normal)

• Ângulo de reflexão * r (ângulo que o raio refletido forma coma normal)

*



51

• Leis da reflexão — A experiência nos mostra que. para uma

•Uperfície refletora:

1/ Lei

O raio'incidente, o raio refletido e a normal pertencem

ao mesmo plano (plano de incidência).

2: Lei

O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência.

i = r

Apliquemos as leis da reflexão a alguns casos particulares:

O raio de luz incide no espc ho. reflete c volta sobre si mesmo.Ob t i i id t i fl tid l id



52

Importante: Lembrese que os ângulos i e r são medidos em re

lação à normal, e não em relação à superfície.

Incidência rasante: i = r 90’

Espelho plano

A uma superfície plana, me-tálica e polida chamaremos es-pelho plano.

Esses espelhos são de gran-

de utilidade na prática, como po-

deremos comprovar, logo a seguir,

no estudo de suas propriedades.

• Formação da imagem de um ponto em um espelho plano —

Na sequência de figuras a seguir

estudaremos a formação da ima-

gem de uma fonte de luz pontuallh l

* p

Fonte deluz pontual

Espelho plano

I



53

0 ponto P emite luz. que incide no espelho. Podemos representar

o pincel de luz incidente por meio de dois raios de luz. O ponto P é

um pontoobjetoreal (POR), pois o pindel incidente é cônico diver-

gente.

a — raio de luz incidente.normal à superfície,

a' — raio de luz Incidente,oblíquo à superfície.

O pincel de luz sofre reflexão no espelho e emerge do mesmo.

Podemos visualizar o pincel refletido no espelho, aplicando as leisda reflexão aos raios incidentes: a e a'. O raio a volta sobre si mes-

mo (incidência normal). Para o raio a', temos uma incidência oblíqua.

O vértice P' do pincel emergente do espelho pode ser obtidoprolongandose os raios de luz. (Nesse caso, o vértice está “atrás"

do plano que contém o espelho.) O ponto P' é um pontoimagem virtual (PIV), pois o pincel emergente é cônico divergente.



54

Ooserve que todos os raios de luz refletidos no espelho pareceprovir do ponto P\

• Significado físico da imagem virtual — O observador colocado e

O recebe os raios de luz como se viessem do ponto P\ Se o ponP é uma fonte luminosa pontual (uma pequena lâmpada), para o obse

vador tudo se passa como se enxergasse uma lâmpada colocad

"atrás" do plano do espelho. O observador, na realidade, enxerga

imagem virtual do ponto P. Dizemos também que o observador e

xerga o ponto P por reflexão. Fisicamente, isto pode ser explicad

da seguinte forma: se não existisse o espelho e no ponto P' co

cássemos uma pequena lâmpada, o globo ocular do observador rec

beria um pincel de luz idêntico àquele que recebe depois da reflexãda luz no espelho. Portanto, o efeito óptico para o olho do observad

é o mesmo nos dois casos. Devido a isso. para o observador parec

existir uma lâmpada atrás do espelho.

da



55

• Relação entre as distâncias do objeto ao espelho e da imagem

•o espelho— Na figura abaixo, seja P um pontoobjetoreal em relação

no espelho plano e P' o correspondente 'pontoimagemvirtual.

Os triângulos retângulos PAB e P'AB são congruentes, pois têmdois ângulos iguais e um lado comum (AB).

Portanto, PA = P'A.

Assim, o pontoobjeto e o pontoimagem estão sempre à mesma

distância do plano do espelho.

Dizemos, então, que o pontoobjeto e o pontoimagem são simé-

tricos em relação ao plano do espelho.



56

• Objeto virtual em relação a um espelho plano — Com o auxílio

de uma lente de vidro podemos obter um pincel de luz cônico conver-

gente. Façamos este pincel incidir num espelho plano E e analisemos

o seu comportamento.Observando a figura notamos que, em relação ao espelho, o ponto

P é um pontoobjetovirtual (vértice de um pincel incidente cônico

convergente).

O espelho plano conjuga, nesse caso. um pontoimagemrea

— vértice de um pincel emergente cônico convergente.

Portanto, a um pontoobjetovirtual P o espelho plano conjuga um

pontoimagemreal P'. simétrico de P em relação ao plano do espelho.

• Objeto impróprio em rela-

ção ao espelho plano — Raios deluz paralelos, ao atingirem um

espelho plano, o fazem com ân-

gulos de incidência iguais. Pela

2.* lei da reflexão, os ângulos de

reflexão também serão iguais en-

tre si. originando raios de luz re-

fletidos paralelos. Assim, quan-do um pincel incidente no espe-

lho plano for cilíndrico (ponto

objetoimpróprio). o pincel emer-



• Estigmatismo de um espelho plano — 0 espelho plano é um sis-

tema óptico que a um ponto-objeto conjuga um único ponto-imagem.

Dizemos, então, que o espelho plano é urrj sistema estigmático. Do

ponto de vista prático, isto significa que os espelhos planos forne-

cem sempre imagens nítidas dos objetos. Existem muitos outrossistemas ópticos, como veremos adiante, que a um pontoobjeto não

conjugam somente um pontoimagem, mas. sim, uma mancha (vários

pontos). Nesse caso. a imagem não é nítida, e o sistema óptico é

denominado astigmático.

• Imagem de um objeto extenso — Na maioria das situações prá-

ticas os objetos colocados diante de um espelho plano não são fontes

pontuais, mas. sim, objetos extensos, isto é, possuem dimensões não

desprezíveis.

O objeto extenso pode ser entendido como um conjunto de

pontosobjeto. Para determinarmos a imagem de um objeto extenso,

determinamos a imagem de cada ponto do objeto. Portanto, o objeto

n a Imagem são simétricos ponto por ponto em relação ao plano que

contém o espelho.

Da simetria do objeto e da imagem ponto por ponto em relaçãono plano do espelho, podemos concluir que:

As dimensões da imagem são iguais às dimensões do objeto,



58

êj$ôW JO (% teâ------------------ ---------------------

1. Como podemos observar na figura, para um espelho plano o objeto e aimagem têm sempre a mesma orientação. (No exemplo abaixo, o objeto e imagem estão de “ cabeça para cima’ .) Dizemos, então, que a imagemé direita em relação ao objeto.

2. Devido à simetria ponto por ponto do objeto o da Imagem em relaçãoao espelho plano, o laco direito da imagom é imagem co lado esquerdo doobjeto, e vice-versa. Este fenômeno é chamado reversão.

wComplementos

Campo de um espelho plano — Sabemos que a imagem de um ponto-objeto emum espelho plano é simétrica em relação ao plano que contém o espelho. Os ralosde luz que partem do oonto P são refletidos pelo espelho plano e retornam ao meioinicial de propagação, "como se viessem do ponto-imagem’ P\ Na figura seguinteos observadores, cujos olhos estão posicionados na região delimitada pelos raiosa e a', enxergam a magem do ponto P. pois a luz refletida pelo espelho atinge os

seus olhos. Os observadores cujos olhos estão colocados fo'a desta região nãoenxergam a imagem do ponto P. pois a luz refletida não atinge seus olhos.

Estes observadores enxergam



Se um observador 0 colocar o o ho no lugar do ponto P. pelo princípio do cami-nho Inverso só poderá receber a luz refletida pelo espelho dos pontos que estãono reglfio delimitada pelos raios a e a Portanto só poderá ver per reflexão ospontoe que estão dentro desta regão. A regiáo delimitada pelos 'aios a e a' é

i linmnda de campo visual do espelho para a posição do observador O.

Assim, para a determinação do campo visual do espelho para a posição do olho0 dovemos:

• determinar o ponto simétrico do olho em relação ao plano co espeiho (O );

• inlr O’ aos pontos extremos do espelho, obtcndosc o campo visual oara a posi-ção O do observador.

O observador em O só poderá ver. por reflexão, os objetos que estão dentro do

niunpo visual.



1. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um objeto pontual está emfrente a um espelho plano e a 20 cm dele. O olho de um observado' está a 30 cm do espelho e sobre a mesma linha que ligao objeto à imagem do objeto. A que distância do olho do observador se forma a imagem do objeto?a) 10 cm d) 40 cmb) 20 cm e) 50 cm

c) 30 cm

R e s o l u ç ã o : Para um ponto-objeto-real ( P ) , o espelho plano conjuga un i

ponto-imagem-virtual ( P ' ) . O objeto e a imagem são s i m é t r ic o s em

relação ao plano do espelho. Como o observador está situado a 30 cm

do espelho, a distância entre o seu olho c a imagem P ' é de 50 cm(veja a figura).

O oojeto pontual (P) está em frente ao espelho plano. Portanto, é um pontoobjetoreal.



61

2. ESCOLA POLITÉCNICA DA USP — Uma pessoa de altura H achase defronte a um espelho plano retangular e vertical. Sendo h

a distância do olho do observador ao chão, determine:

a) a menor altura d que esse espelho deve ter para que o obser-vador possa mirarse da cabeça aos pés no espelho:

b) a distância r da borda inferior do espelho ao solo.

R e s o l u ç ã o : Uma pessoa dc altura H é considerada um o b j e t o e x t e n s o .A imagem conjugada pelo espelho plano c simétrica do objeto, ponto

por ponto, em relação ao plano do espelho. A imagem c o objeto são

sempre do mesmo tamanho.

1’uru que o observador possa mirar-se da cabeça aos pés no espelho,

deve enxergar através do espelho a imagem dos pontos extremos de■eu corpo. Assim, podemos construir o percurso de dois raios de luz:

• o raio dc luz que parte de P é refletido pelo espelho e atinge o

hH

T



62

Portanto, como mostra a ilustração, MN é a menor altura que o espel

deve ter para que o observador possa mirar-se da cabeça aos pés.

a) Os triângulos OMN e OC'P' são semelhantes.

Logo:

MN OK d _ x

C P ' OO' H _ 2x ^

A altura do espelho deve ser metade da altura do observador.

b) Os triângulos NGP' e OPP' são semelhantes.

Logo:

NG

OP

GP'

PP' 2x

A distância da borda inferior do espe ho ao solo deve ser a mtade da distância do olho do observador ao chão.

Observe que os resultados obtidos são válidos q u a l q u e r q u e s e ja a d

tâ n c i a d o o b s e r v a d o r a o e s p e l h o ( x ).



63

I I NGENHARIA DE SAO CARLOS (USP) — Um homem aproximase

de um espelho plano e depois se afasta. Qual dos gráficos repre-

senta o tamanho real h de sua imagem em função do tempo?

I t cNnlução : A imagem de um objeto obtida através de um espelho plano

lt m N c m pre o m e s m o t a m a n h o d o o b j e t o . Assim, quando um homem

aproxima do espelho e em seguida se afasta, o tamanho da imagem

u i a constante e sempre igual ao tamanho do próprio indivíduo.

«»ii seja, o gráfico h X t será uma reta paralela ao eixo dos tempos.

d, d.

Oii«l(|uor que seja a distância do oajeto ao espelho plano, o tamanho dalin«U«m Boró igual ao tamamo do objeto.



64

Observações complementares

ao exercício número 3Ângulo visual

Muitas vezes, o sentido da visão pode conduzir-nos a algumas coclusões erradas a respeito das situações que nos envolvem. Somos gerarnente traídos por certas “ilusões ópticas". Na questão de número em que um observador se aproxima do espelho e depois se afasta, ta m a n h o d a im a g em p e rm a n e c e c o n s ta n t e . Entretanto, para o obsevador, p a r e c e que a imagem aumenta de tamanho quando o objeto aproxima do espelho, c que diminui quando se afasta. Este fato po

ser compreendido através do conceito de â n g u l o v i s u a l .

Quando observamos um objeto AB, todos os seus pontos enviam luaos nossos olhos. Os pontos extremos do objeto enviam aos nossolhos os raios que definem o â n g u l o v i s u a l sob o qual contemplamo objeto (veja a figura).

0 observador O contempla o objeio AB sob o ângulo visual a



65

Como podemos observar, quanto mais perto do objeto o observador se

encontra, m a i o r se r á o â n g u l o v i s u a l correspondente. Consequente

mente, embora o tamanho do objeto seja sempre o mesmo, parccc querir fica maior à medica que o observador se aproxima dele, e menor

.1 medida que se afasta. Na figura, o objeto tem altura constante. Sendoi j t y os ângulos visuais do objeto cm relação aos olhos do obser

vador, podemos escrever: I T > 3 > a

\ ln i v A o : Quando o observador se aproxima do espelho plano, o ta-

luiiulu) da sua imagem permanece constante e igual a h. Entretanto,

quanto mais perto do espelho se encontra fo observador, maior será o

Angulo visual (y > 3 > *) com que este contempla a sua imagem. Devido a isto, quando o observador sc aproxima do espelho, c!c tem a

ImpressAo de que o tamanho de sua imagem aumenta, mas na realidadeii que aumenta c apenas o ângulo visual.



66

4. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA — O observador O verá atravésdo espelho plano E os objetos:

1

E

=□

• 4d) 1. 3.

e) 3. 4.

Resolução: O observador poderá ver através do espelho a imagem dos

objetos que estiverem dentro do campo visual do espelho, para a posi-

ção do observador O.

Unindo o ponto O' (simétrico de O) às bordas do espelho, definimosa região do espaço que constitui o campo visual do espelho.

Portanto, o observador O poderá ver através do espelho apenas os

objetos que estiverem dentro deste campo visual. No exercício emquestão, o observador só poderá enxergar através do espelho os objetos

1 e 3, como podemos ver no esquema abaixo. Note que o campo visualdepende do tamanho do espelho e da posição do observador cm relação

a este.

• 5

a) 1. 2, 3.

b) 1, 3. 5.

c) 3. 5.




Ô / / / m w 67

UNDAÇÂO CARLOS CHAGAS — Um observador O encontra-senumo posição fixa a 10 cm de um espelho plano móvel. Quando

»»to se afasta para uma nova posição, paralela à primeira, verifi-««moa que a imagem do observador se deslocou para uma novapoilçâo I, a 17 cm do espelho. Concluímos, então, que a imagemno dnslocou. em relação à sua posição inicial, de:

(r<ioluvfio: na figura, notamos que quando o espelho plano E é transadado dc uma distancia d. a imagem correspondente do objeto Pnmhcm é transladada, no mesmo sentido, de uma distância II.

*tijli|n lixoaiiiiicito

ImIi ImÍ

Posição Inicial g

do espelho

Ob)oto lixoDeslocamento do

P espelho

7 ï

•Ihiftçlo

final

Posiçáo inicial

y y / i,ra9em

'Deslocamento daimagem

Posição finaldo ospolho.

Posição final da

imagem

intipArando as duas situações ilustradas, podemos escrever:



68

C o n c l u s ã o : Quando um espelho plano é transladado lateralrr.ente

uma distância d, numa direção perpendicular ao seu plano, a image

correspondente a um objeto fixo translada-se, no mesmo sentido,

uma distância 2 d.

■ ■ - - = =

No exercício em questão temos os seguintes elementos:

a = 1 0 cm

b = 17 cm

d = b — a — 17 — 10 = 7 cm

D = 2d = 3

D = ?

D — 14 cm

R e s p o s t a : alternativa b .

Observação: Tomando o objeto como referencial, note que em um mesmintervalo de tempo A t o deslocamento (2d) da imagem é o dobro do deslo

mento (d) do espolho.

P

Cbjeto fixo Imagem cmmovimento

Espelho emmovimento

Sendo V. = velocidade do espelho em reiaçáo ao objeto = ------ e V, -At

2 d= velocidade da imagem em relação ao objeto --------- , então

At

Vs= 2 .

Portanto:

d \

w= 2Ve.

V, - 2V. A velocidade da imagem é Igual ao dobro davelocidade do espelho (em relação ao objeto].



• Aplicações

I (Juando um automóvel movimentasse com uma velocidade V emrclução a um observador fixo no solo, o observador vê a sua própriaimiigem no espelho retrovisor movimentando-se com uma velocidade2V em relação a ele.

Espelho (retrovisor)em movimento

Imagem emmovimento

A velocidade da imagem em relação ao espelho ou em relação aomotorista poderá ser obtida a partir das velocidades cm relação

no solo:

Velocicade do motorista Velocidade da imagem

Velocidade da imagem cm relaçãoao motorista — 2V — V —V

I templo:



70

6. FEI — Um objeto pontual O encontra-se em frente a um espelhoconforme mostra a figura. Se o espelho girar em torno do eix

A. com velocidade angular constante o>. qual será a velocidade

escalar da imagem?

• o

□ x o * —

Resolução:

Quando um espelho plano gira de um ângulo a em torno de um eixoÀ contido no seu próprio plano, a imagem de um objeto O gira deum ângulo 2a em torno do mesmo eixo c no mesmo sentido (vejaesquema abaixo).

im r Dados

OA = 20 cm

0 ) = 0.5 rad/s

Angulo derotação do espelho

A

Objeto fixo

Posição inicialdo espelho

Posição finaldo espolho

Posição inicial

da imagem

Deslocamentoda imagem

Angulo de rotaçãoda imagem

Durante certo intervalo de tempo, o espelho gira de um ângulo a emtorno do eixo A. Em cada posição que o espelho se encontra, a imagem será simétrica do objeto em relação ao plano do espelho. A imagem dcsloca-sc de ()' até O"

Sendo O' o simétrico dc O, vem

a posição final do espelho vem



71

O ponto-objeto O c as imagens obtidas cm cada posição distam igual-mente do ponto A. Portanto, as imagens c o ponto-objeto encontram-

sobre uma circunferência de centro rA. Nesta circunferência po

demos observar que:• é o ângulo central que subentende o arco Ó ^ " .• a é o ângulo inscrito na circunferência que subentende o mesmo

urco CVO".

Portanto, da Geometria vem } = 2%

I timbrando que o>e = velocidade angular do espelho =deslocamento angular do espelho a------- ;-----------------------------------= e o), = velocidade an

imer valo de tempo-----------------Atdeslocamento angular da imagem £gulnr da imagem =

2a

intervalo de tempo At

At-, temos ü>i — 2 . CO»— 2o>c

At

I ogo, to, = 2 .0 ,5 =$ w, = l,0rad/s.

I > j i Cinemática angular: V = wr.

I ogo:V, o),r,, onde rs— AO = AO' = AO" = 20 cm

V, 1 . 20 => Vj = 20cm/s ou V; = 0,2 m/s

Itriposta: A velocidade escalar da imagem será de 0,2 m/s.

1 I AU - - Determine o desvio sofrido pelo raio refletido por um

nipnlho plano, que gira de um ângulo 0, em torno de um eixo

ixintldo em seu plano.

Eixo qjeItrHolução: A figura pertence«Iralío representa um dõ espelho('•púlho plano que girade um Angulo 0 em torno dc um eixo r con

tido cm seu plano, des-I«k iiiiclo-se de uma po-mIvA» inicial até umaIMHilva» final.



72

Quando o espelho plano está na posição inicial, o raio dc luz incideno ponto I e sofre reflexão.

Quando o espelho plano está na posição final, o raio de luz incide no ponto r c sofre reflexão.

Os raios refletidos em I e I ' definem o ângulo x, que corresponde aodesvio sofrido pelo raio refletido.

Vejamos qual a relação entre 0 e a.

Vamos analisar os triângulos obtidos no esquema simplificado:

A O IK - AMI'K=>0 = p (1)

Pela lei angular de Thaïes, V == î+ P=>3=î'-î (2)

Pela lei angular dc Thales, 2i,*=

= 2 ? -M = > a = 2 ( í '- í ) (3)

Substituindo (3) por (2), temos

x = 2p. Da relação (1), vem |~~ g — 20

Resposta: Quando o espelho plano girar de um ângulo 0, o raio refletido sofrerá um desvio de 20.



73

I I I NDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Qual das seguintes figuras representamelhor um raio de luz refletido por um espelho plano (E)?

ii) sempre virtual c simétrica do objeto.H) icmpre real.• ) ical ou virtual, dependendo da distância entre o espelho c o objeto,d) Nenhuma das alternativas anteriores.

i UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA — A imagem de uma pessoa for-iinulu cm um espelho plano é, em relação à pessoa:o) direita. d) aumentada.l o

invertida. e) Nenhuma das alternativas anteriores.. >reduzida à metade.

4 UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA — Voltando à questão anterior, pndomos afirmar que:ii) ii distância da pessoa ao espelho é igual à distância da imagem ao espelho,lo n distância da pessoa ao espelho é maior que a distância da imagem ao

espelho.. ) a distância da pessoa ao espelho é menor que a distância da imagem ao

espelho.d l Nmla podemos afirmar.•) Nenhuma das respostas anteriores.



74

6 UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA Coloca-sc a ponta dc um lápisapoiada em um espelho plano fixo de 2 mm de espessura. A distância entrea ponta-objeto c a ponta-imagem será de:a) 10 mm. d) 2 mm.

b) 20 mm. e) 4 mm.c) I mm.

7. FUVEST Maria e Joana são gêmeas e têm a mesma altura. Maria estáse olhando num espelho vertical e encontra-se a 5 m deste. O espelho 6 retirado e Maria ve Joana na mesma posição e com as mesmas dimensões comque via sua própria imagem. A distância d entre Maria e Joana, nestas condições, é de:

5 m _____ d

a) 5 m. b) 7,5 m.

c) 10 m.d) 15 m.c) 20 m.

8. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA Um observador com 1,6 m dealtura encontra-se dc pé em um piso espelhado. Distante 2,0 m dele há uma

parede c, sobre ela. um quadro dc 1,0 m de altura, cujo lado inferior estáa 60 cm do piso. O observador vê o quadro através do piso. A altura da

imagem do quadro no piso espelhado mede:a) 100 cm. d) 45 cm. b) 90 cm. c) 30 cm.c) 60 cm.

9. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Um observador localizado no ponto1* está olhando no espelho plano a imagem do objeto O. conforme a figuraabaixo. O raio de luz que permite ao observador ver a imagem no espelhosofre reflexão no ponto:a) U. Espelho

b) T.c) S. Q R S T U#d) R. 1e) Q.

10. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS (USP) — Um observador (CP) de alturaII encontra-se em frente a um espelho plano AB. retangular e vertical. Adistância do olho do observador ao solo é h.



I Determine a altura v do espelho, bem como a distância u de sua bordainferior B ao solo. a fim de que o observador veja sua imagem em corpointeiro, mostrando também que u e v independem da distância do obser

vador ao espelho. b) l ntre o observador e o espelho coloca-se uma mureta MN de espessura

desprezível c altura ni (m < u). cuja distância ao espelho é d Determine a menor distância do observador à mureta. com a condição dcque esta não reduza a visibilidade da imagem vista pelo observador.

1 1 I liVliST — Na figura estão representados um ponto luminoso P c um espelho plur.o E. Desenhe a região dentro da qual deve estar o olho do observador para que ele veja a imagem do ponto P.

• P

7777/

\ i t i StjR AN RIO — Olhando para o espelho plano E. o observador O vê asImagens dos objetos:

e m .

a) I, 2 e 3.li) 4.• ) J, 4 e 5.ill I o 4.iM I, 3 c 4.

H M SCI A — Um feixe dc luz propagando-se na direção definida pela retaVO incide num espelho plano Elt de forma que o raio refletido OB seja per

pendicular a AO. conforme mostra a figura a seguir. Um outro espelho plano Eb deve ser colocado dentro do retângulo pontilhado, dc forma quei* ínxc OB seja novamente desviado para a direção AO, com o mesmo sentido (feixe CD).

A



76

14. MEDICINA DA ESP — O ângulo formado por dois espelhos planos ED c a. Um raio de luz incide em E e, depois de sofrer reflexão, incide cD, sofrendo nova reflexão. Volta, então, a incidir cm E. Sendo p o ângu

15. ENGENHARIA DE ITAT1BA — Quando um observador se aproxima dum espelho plano com velocidade V, sua imagem:

a) aproxima-se do espelho com velocidade 2V. b) permanece fixa.c) aproxima-se do observador com velocidade 2V.d) aproxima-se do observador com velocidade V.

16. FILOSOFIA DA USP — Um objeto é colocado cm frente a um espelh plano, a uma distância de 10 m deste. Se o espelho sofre uma translaçãoafastando-se 2 m do objeto, a distância entre o objeto e a imagem varia da) 4 m. d) 1m.

b) 2 m. e) 8 m.c) 1/2 m.

17. FACULDADE DE ENGENHARIA SÀO PAULO Uma partícula cverticalmente sobre um espelho plano horizontal, que está com sua fac

polida voltada para cima. A aceleração da partícula em relação à sua imgem no espelho vale, aproximadamente:a) 10m/s2. d) 15 m/s2.

b) 20 m/s2. e) 0 m/s2.c) 5 m/s2.

IH. FEI — Quando giramos um espelho plano de um ângulo a em torno de umeixo perpendicular ao plano do espelho, a imagem:a) gira de um ângulo 2a em torno do mesmo eixo.

b) gira de um ângulo 3a em torno do mesmo eixo.c) não se altera.d) também gira dc um ângulo a cm torno do mesmo eixo.

19. PUC (SÃO PAULO) — Um raio luminoso incide em um espelho plano, formando com a normal um ângulo de 30°. Girando o espelho no ponto d

incidência, de tal modo que na nova posição cie fique perpendicular ao raiorefletido anteriormente, qual será o novo ângulo dc reflexão?a) 15° d) 60°

b) 30° e) 90°



H» MACKENZIE — Seja E um espelho que pode girar em torno do eixoil' «cu plano, com velocidade angular constante, como mostra a figura.4 o ponto iluminado, quando o espelho está na posição E, e X é o pontoIluminado, quando o espelho está em outra posição, de modo que OM = MN.

I )i no modo. dizemos que o espelho girou de um ângulo £ igual a:«I n rad.

b) rad.4

u) rad.2

dl 2it rad.

»1 — rad.R

• I MAC KENZIEU,1 » paru ir üc

n I - rad/ s.4

lu -ir. rad/s.

' i * rad/s.

2

— Em relação ao teste anterior, se o ponto iluminado levouM ate N, a velocidade angular do espelho ç de;

d) —— rad/s.5

e) Nenhuma das anteriores.

2

c



îrJBÉr SS*

CRfïïULO

3

Gspelhos Gsféricos



O que é um espelho esférico

Neste capítulo analisaremos a formação de imagens em espelhos

<ujni superfícies refletoras da luz são esféricas ou, mais propria-

rnante, calotas esféricas.

Uma calota esférica pode ser obtida seccionando-se uma esfera

Nlritvés de um plano. Submetendo a calota esférica a um espelha-

»!'*•!ito teremos um espelho esférico.

Calotaesférica

corta a esfera

Quando a superfície espelhada é a parte interna da calota o esl»'.liit» naférlco é chamado de espelho esférico côncavo.



Quando a superfície espelhada é a parte externa da calota

espelho esférico é chamado de espelho esférico convexo.

80 _____________________________________________________________

Elementos geométricos de um espelho esférico

Os elementos que caracterizam a geometria do espelho são o

elementos associados à geometria da esfera. Assim, podemos defin

diversos elementos geométricos do espelho esférico:

• centro de curvatura (C) — é o centro de curvatura da esfera qu

contém a calota esférica;

• raio de curvatura (R) — é o raio de curvatura da esfera qucontém a calota esférica:

• vértice do espelho (V) — é o pólo da calota esférica;

Eixoprincipal

Calotaesférica



• eixo principal — é a reta que contém o centro C e o vértice V

do espelho;

• eixo secundário — qualquer reta que contém o centro C, mas

não contém o vértice V do espelho;

• ângulo de abertura (a) — é o ângulo x, de vértice localizado em

C. e cujos lados passan pelos pontos A e B (pontos extremos do

contorno da calota e simétricos em relação ao eixo principal);

• plano frontal — qualquer plano perpendicular ao eixo principal;

no caso da figura, um plano frontal seria perpendicular ao plaio

da página do livro;

• plano meridiano — qualquer plano que contém o eixo principal;o plano da página do livro contém o eixo principal e é, portanto,

um exemplo de plano meridiano.

Reflexão de um raio de luz em um espelho esférico

Quando um raio de luz incide em um ponto de um espelho es;é

rico sofre reflexão, obedecendo às duas leis da reflexão já estudacas

anteriormente. No entanto, no caso especial da superfície esférica,

algumas particularidades são significativas:• A reta normal em um ponto da superfície esférica pode ser ob-

tida unindo este ponto ao centro de curvatura da esfera.

/



82

• Os raios de luz incidentes no espelho pertencem a um plano de

incidência que coincide com um plano meridiano. (No nosso caso,

é o próprio plano da página do livro.)

Guando o raio de luz incidir no espelho esférico, passando pelo centrode curvatura, coincidirá com a normal no ponto de incidência.Então, após sofrer reflexão no espelho, ele voltará sobre si mesmo, passando novamerte pelo centro de curvatura.

Note que no caso do espelho convexo é o prolongamento do raio de luz que



Condições de Gauss *

Restrições práticas na utilização dos espelhos esféricos

No capitulo anterior introduzimos o conceito de sistema óptico estigmático.

Vimos que este sistema fornece imagens nítidas dos objetos, ou seja. a cada pontoobjeto o sistema óptico conjuga um só pontoimagem (6 o caso do espolho plano).Podemos voriflear cxperimentalmcnto que nesse sistema óptico as imagens obser-vadas são nítidas e sem distorções: a imagem de uma figura plana é também umafigura plana.

Ao contrário dos espelhos planos, a experiência mostra que as imagens apre-sentamse distorcidas numa esfera espelhada. (Observe, por exemplo, a imagem deseu rosto cm uma “ bola de Natal’ .)

Podemos então concluir que. nos espelhos esféricos, a imagem dc um ponto

nào é um único ponto, mas, sim. uma mancha som n tidez. e a imagem do umafigura pana apresentase encurvada Estas aberrações na formação do imagens sãoocasionadas pola esfericidade da superfície. Dai receberem o nome de aberraçõesesféricas.

Entretanto, sob certas condições, os espe hos esféricos podem ser utilizados demodo satisfatório, fornecendo imagens praticarncnte sem aberrações. Essas condi-ções foram vorificadas expenmentalmontc por Gauss e. por isso. recebem o nomede condições de nitidez de Gauss:

1. O ângulo dc abertura (a) deve ser pequeno, no máximo 10’ . Ou seja. a < 10"

Superfícieplana

Guardo o ângulo de abertura é ocquenofx <. 10’). o comportamento do espelhoesférico aproximase do comportamento do espelho plano quanto á nitidez daImagem. Assim, as aberrações esféricas diminuem



84

2. Os raios de luz devem estar próximos do eixo principal e pouco Inclinados emrelação ao mesmo eixo. Nessas condições, os raios de luz são chamados deraios paraxiais.

Eixoprincipal

Os espelhos esféricos que obedecem a essas condições são chamados de espe-lhos esféricos de Gauss. Todas as considerações a respeito da reflexão da luz nosespelhos esféricos serão feitas daqui oor diante, supondo que o espelho esféricoobedece às condições de Gauss. que sáo as condições de interesse prático para autilização dos espelhos esféricos.

Foco principal de um espelho esférico de Gauss

Quando um pincel de luz cilíndrico incide paralelamente ao eixo

principal de um espelho esférico de Gauss, a experiência mostra que

o comportamento óptico do espelho côncavo é diferente do compor-tamento do espelho convexo. Analisemos as duas situações:

• Ao refle tir o pincel cilíndrico, o espelho esférico côncavo dá

origem a um pincel cônico convergente. O pincel de luz emer-

gente converge para o ponto F. sobre o eixo principal. O espelho

côncavo “transforma" um pincel cilíndrico num pincel conver-

gente. Devido a isso, dizemos, então, que o espelho côncavo é

um sistema óptico convergente.



Ao ’■efletir o pincel cilíndrico, o espelho esférico convexo dá ori-gem a um pincel cônico divergente. O pincel de luz emergentediverge e o vértice do pincel encontrase sobre o eixo principal,

no ponto F. Neste caso. o vértice F só tem existência geomé-trica (prolongamento de raios de luz). O espelho convexo “ trans-forma" um pincel cilíndrico em um pincel divergente. Devido aisso, dizemos, então, que o espelho convexo é um sistema óptico

Observando a reflexão do pincel cilíndrico nos espelhos côncavo»»convexo, podemos notar que. quando o objeto está no infinito (pontoobjetoimpróprio) e sobre o eixo principal, a imagem se localiza sobreD ponto F De maneira geral em Óptica quando o pincel incidente



86

pelho côncavo, o foco é um elemento real. pois o sistema é conver-

gente. No caso do espelho convexo, o foco é um elemento virtual,

pois o sistema é divergente. Aplicando o princípio do caminho in-

verso a um objeto colocado no foco F, o espelho irá conjugar uma

imagem no infinito (Piso).



Tanto no caso do espelho côncavo como no caso do espelho

convexo, a experiência nos mostra que o foco principal F é aproxima-

damente o ponto médio da distância entre o centro de curvatura C

e o vértice do espelho V. A distância FV é chamada de distânciafocal. Esta propriedade só é válida para os espelhos esféricos deGauss. (Veja Leitura Complementar I.)

forma" um plncol cilíndrico em um pincel convergente. Podemos, dessa forma,

aproveitar a energia solar para aquecer um recipiente ou construir um isqueiro.



88

2. Colocando uma lômpads sobro o foco F do espelho côncavo obtemos um pinc

cilíndrico. Esta propriedade pode ser utilizada na construção do uma lanter

ou de um farolete.

No quadro a seguir, resumimos tudo o que foi estudado até agora sobre es

lhos esféricos

Quadro I — Espelhos esféricos de Gauss

Espelho côncavoLuz

Classificação geométrica Luf pEspelho conve

C J V

A superfície interna

da calotaé espelhada.

Eixo Eixo

principal principal y l C

A superfície exter

da caloé espelhad

Classificação física Comportamento óptico



Propriedades dos raios incidentes nos espelhosesféricos de Gauss

•

A partir dos vários exemplos vistos anteriormente sobre areflexão da luz nos espelhos esféricos, podemos estabelecer algu-

mas propriedades básicas dos raios incidentes. O conhecimento

dessas propriedades é fundamental para que se possa fazer a cons-

trução gráfica das imagens nos espelhos esféricos de Gauss.

©

Quadro II — Propriedades dos raios incidentes

nos espelhos esféricos de Gauss

Todo raio de luz que incide paralelamente ao exo principal do espolho é

refletido, passando pelo foco principal.



90

Construção gráfica de imagens nos espelhos de GaussColocando um objeto diante de um espelho esférico, e com au

lio das propriedades resumidas no Quadro II. podemos determin

graficamente as características da imagem conjugada através d



91

Torremos, como exemplo, o espelho côncavo e o objeto A mos-

trados na figura abaixo. A técnica a ser desenvolvida neste exemplo

ó válida para outras posições do objeto em relação ao espelho e inde-

pende do tipo de espelho (côncavo ou convexo).

• Seqüência para determinação gráfica da imagem

1. A luz que parte do pontoobjeto A incide no espelho, na forma de

pincel de luz.Representamos o pincel incidente por meio de dois raios de luz.

obedecendo às propriedades do Quadro II. O ponto A é o vértice de um pincel incidente cônico divergente Portanto, é um ponto

•objetoreal (POR). No exemplo, os dois raios de luz que definem

o pincel incidente são:

• raio incidente paralelo ao eixo principal:

• raio incidente que passa pelo foco.



2. O pincel incidente sofre reflexão. Aplicando as propriedades

Quadro II aos raios que representam o pincel incidente, podemo

visualizar o pincel refletido. O ponto A' é o vértice do pincel eme

gente cônico convergente. Portanto, é um pontoimagemreal (PIR

3. Para determinar a imagem de um objeto AB frontal (perpendicul

ao eixo) e com uma extremidade sobre o eixo principal (ponto Bé suficiente determinar a imagem do ponto A Sendo o espelh

esférico de Gauss. a imagem será também perpendicular ao eix

Unindo o ponto A' ao eixo principal, determinamos a imagem A'B

4. Observe que se utilizássemos um terceiro raio incidente, a im

gem determinada graficamente apresentaria as mesmas caracteríticas. como você pode ver no esquema abaixo.



Conclusão: Para o exemplo analisado, podemos escrever:

Natureza da imagem: A imagem é de natureza real.

Posição da imagem em relação ao espelho: A imagem encon-trase entre o centro de curvatura (C) e o foco principal (F).

Tamanho da imagem: A imagem é menor do que o objeto.

Orientação: Dizemos que a imagem é invertida em relação ao

objeto, pois o objeto e a imagem estão em lados opostos do

eixo principal.

A imagem de um pontoobjeto B local zado sobre o eixo principal encontrasetambém sobre esse mesmo eixo.

• Construções gráficas no espelho côncavo para diversas posições



94

A imagem é real, maior

Objeto entre o centro ■ que o objeto c

c o foco “ invertida, e está além

do centro C.



95

• Construção gráfica no espelho convexo — Para um objeto colo-

cado diante dc um espelho convexo de Gauss, façamos a construção

gráfica da respectiva imagem.

Pincel

Imagem virtual, menor que o objeto e direita.

Objeto diante do w O espelho convexo conjuga de um

nupelho (real) objeto real uma imagem sempre virtual



96

• Conclusões gerais — Analisando as diversas construções gráfi-

cas estudadas anteriormente, podemos tirar algumas conclusõesgerais para os espelhos côncavo e convexo, as qua:s apresentamos

no quado a seguir.

I Apiicacão

Devido ao fato de seu campo visual ser maior do que o do espe ho plano, o

espelho convexo é usado como retrovisor de motocicletas cu de grandes veículos.



Ôh///yy ^ 9y

Quadro III — Conclusões gerais — Espelhos de Gauss

• Os elementos reais (objeto e imagem) estão sempre na frento da .superfície

espelhada, e os elementos virtuais estão sempre ‘'atrás* da superfície espe-lhada.

Os objetos luminosos sào sempre reais e estão colocados sempre na frentedo espelho.

• Quando <> objeto e a imagem têm a mesma natureza (por exemplo, objeto real

e imager» tambóm real), a imagem é sempre invertida.

• Quandr o objeto e a imagom têm naturezas opostas (por exemplo, objeto real

e imajem virtual), a imagem é sempre direita.



98

• O elemento (objeto ou imagem) mais distante do espelho é sempre o elemen

de maior tamanho. (Exemplo: Se a distância da imagem ao espelho 6 maior d

que a distância do objeto ao espelho, então o tamanho da imacem é rnaior d

quo o do objeto.) So o objeto e a imagem estão à mesma distância do esplho. então eles têm o mesmo tamanho (objeto sobre o centro)

Importante:

Só as imagens reais podem ser projetadas em anteparos (telas). Na figur

a imagem real A'B' é definida pela convergência dos raios no ponto A '. Os rai

de luz atingem o anteparo e a imagom pode ser recebida sobre elo.

Estudo analítico dos espelhosesféricos de Gauss

• Referencial de Gauss — Através das construções gráficas est

dadas anteriormente podemos determinar diversas i aracterística

das imagens conjugadas pelos espelhos esféricos. Podemos saber

a imagem conjugada é real ou virtual, ou seja. se está 'ocalizada n

frente ou “ atrás" do espelho, se é maior ou menor do que o objee sc é direita ou invertida. Quando desejamos determinai numeric

mente as características da imagem conjugada pelo espelho (distânc

da imagem ao espelho e tamanho da imagem), utilizamos um process

analítico, com o auxílio das seguintes equações:

• equação de conjugação dos pontos (equação de Gauss);

• equação do aumento linear transversal.

As equações mencionadas acima utilizam um referencial padefinir a posição do objeto e a posição da imagem em relação a

espelho. Esse referencial é chamado de referencial de Gauss e ap

senta as seguintes características:

• origem — vértice (V) do espelho;

• eixo das abscissas — coincidente com o eixo principal do e

pelho e orientado no sentido contrário ao da luz incidente. Po

tanto, a região positiva do eixo estará sempre na frente do e

pelho. e a região negativa do eixo estará sempre “ atrás" d

espelho. Em conseqüência disto:

— os elementos reais terão abscissas positivas, pois estão se



• eixo das ordenadas — eixo vertical orientado no sentido ascen-

dente. As ordenadas positivas correspondem à região acima do

eixo principal. As ordenadas negativas correspondem à região

abaixo do eixo principal

Abscissaspositivas

Sentido da

luz incidente \ ( Eixo das

Abscissasnegativas

_ - ♦

Região dos elementosreais objeto eimagem.

“t"

I ordenaüas

________ * ________

Região dos elementosvirtuais — objetoe imagem.

Origem

^ Eixo dasabscissas

V

Referencial de Gauss — Espelho côncavo

Referencial de Gauss — Espelho convexo



100

-Para um referencial de Gauss. adota-se a seguinte convenção:

p — abscissa do objeto;

p' — abscissa da imagem;f — abscissa do foco principal;

y — ordenada do ponto extremo do objeto (ponto A);

y' — ordenada do ponto extremo da imagem (ponto A').

Observe os exemplos seguintes:

1. Objeto diante de um espelho côncavo.

De acordo com a convenção adotada, temos:

AB —►objeto real —» abscissa p positiva p > 0

A'B' -►imagem real -► abscissa p' positiva ->■ p' > 0

Espelho sistema óptico foco abscissa f — y —> —>

côncavo convergente real positiva

Objeto acima do eixo principal -» y > 0

Imagem abaixo do eixo principal -* y' < 0



2. Objeto diante de um espelho convexo.

f < 0

De acordo com o que foi exposto, temos:

AB -+ objeto real ► abscissa p positiva > p > 0

A B' > imagem virtual > abscissa p' negativa ►p' < 0

Espelho sistema óptico foco abscissa f —► —► —>

convexo divergente virtual negativa

Objeto acima do eixo principal y > 0Imagem acima do eixo principal —►y' > 0

• Equação de conjugação dos pontos (equação de Gauss) — Util i-

zando o referencial de Gauss, podemos estabelecer uma relação entre

obscissas p, p' e f. Tal relação é expressa através da equação de

conjugação dos pontos.

Provase que, para um espelho de Gauss:



• Equação do aumento linear transversal — Definese aumento

linear transversal (A) como:

y

Utilizando o referencial de Gauss. podemos estabelecer uma re-

lação entre y, y \ p e p'. Tal relação é expressa através da equação

do aumento linear transversal.

Provase que:

(Veja Leitura Complementar III.)

£ ^ i • Aplicação

A eq jação do aumento linear transversal apresenta uma relaçáo linear bastante

importante entro o tamanho da imagem e o tamanho do objeto e as distâncias

desses elementos ao espelho.

Em módulo, temos:

Tamanho da imagem Distância da imagem ao espelho

Tamanho do objeto Distância do objeto ao espelho

"O tamanho da imagem está para o tamanho do objeto, assim como a distância

da imagem ao espelho está para a distância do objeto ao espelho ”

Exemplo:

Se a distância da imagem ao espelho é duas vezes maior que a distância do

objeto ao ospelho, então o tamanho da imagem também é duas vezes maior que o

tamanho do objeto. Genericamente, podemos dizer que. em relaçáo ao espelho, o

tamanho da imagem será tantas vezes maior que o tamanho do objeto, quantasvezes ela estiver mais longe do espelho que o objeto Analogamente, se a imagem

estiver mais perto do espelho que o objeto, será menor do que esto. mantendo

também a relação linear.



Resumindo:

Sinal dasabscissas

• Todo elemento real(objeto cu ln»gom)

-

Abscissa

positiva

abscissa do

P objeto

• Todo elemento virtualfcbleto ou imaçeml

-

Abscissa

negativa

, ^ ^b s c is sa da

imagom

• Espelho côncavo

- \ / »'»toma fococonvor

gente ,ea'

f > o

^ (B jib scissa do

foco

1 + 1 1P P' f

• Espelho convexo

sistome focotíiver. ♦ virlufi|gente

-

f < 0

Sinal de y, y' edo aumento (A)

objeto

(ordenada)

imagem

(ordenada)

Aumento

► lineartransversal

• Acima do eixo principal(ob je to ou imagem]

Abaixo do eixo principal( c b | e t o o u i m a g o m )

Imagem invertidaO obje to e a Imagem est io

om lados opostos do eixo

p r i c lpa l . y n y ' têm s ina is

opostos.

Exemplo:

A= J l “* ©" V - ©

— y

Imagem direitaO ob.eto e a imngem estêo

do mesmo lado do e ixo pr in-

c ipa l . y e y ' tem o mesmo

s l ra l .

Ordenada

posit va

Ordenada

negativa

Aumentonegativo

A < 0

Aumentopositivo A > 0



Na figura abaixo, uma fonte F em te um ralo de luz paralclamer.te ao e

principal de um espelho côncavo, onde são válidas as condições de Gauss. Após reflexão no ponto I, o raio de luz cruza o eixo principal no ponto F, fo

principal do espelho côncavo.

Sendo R o raio do espelho esférico, determinemos o valor do sua distânc

focal f.

Observando o triângulo IFC. notamos que ele é isósceles (os ângulos da ba

sáo iguais a i)

Logo, IF = FC (1).Nas condições de Gauss. o ponto de incidência I deve scr muito próximo

vértice V.

Assim, praticamonte. teremos IF = VF (2).

Comparando (1) e (2), temos: VF = FC (3)

Sendo R - VF + FC. e suostituir.do (3) vom:R = VF + VF => R = 2VF

Como VF - f (distância fecal), então R = 2f =>

Leitura Complementar I — A distância focal num espelho esférico de Gauss

Leitura Complementar II — Focos secundários de um espelho esférico de Gauss

Como observamos anterio-mente do ponto de vista óptico, a distinção entreespelho esférico côncavo e o espelho esférico convexo está no fato ce o espel

côncavo ser um sistema óptico convergente c o espelho convexo, um sistema óptidivergente. Ambos os sistemas conjugam de um objeto no infinito (pincel cilíndricuma imagem no foco. No espelho côncavo, o foco é real; no espelho convexo,foco é virtual. Verificamos essas propriedades quando, nos exemplos dados,pincel cilírdricc incidente era paralelo ao ei o principal do espelho



No espè, ho côncavo o pincel refletido converge para o ponto Ff sob'e o eixo

secundário. \

No espelho convexo o pincel 'efletido diverge e o vértice encontrase no pento

F, sobre o eixo secundário

Este ponto Ff é chamado, oortanto. do foco secundário do espelho.

Eixo

Eixo

V principal Eix0

Sobre o eixo principal do espelho loca izamos o foco principal F; e sobre cada

alxo securdáio do espelho localizamos um foco secundário Ft.

O único foco principal F e os Inúmeros focos secundários F, definem uma super-

fície que. no caso dos espelhos de Gauss, é aproximadamente plana Por isso rece-bem o nome de plano focal. O plano focal é um plano perpendicular ao eixo prin-

cipal do espelho.

Sobre o eixo principal localizamos o foco principal.



106

Leitura Complementar lli — Equação de conjugação dos pontos o equação do aumento linear transversal

• A figura abaixo representa o objeto real AB. o espelho esfériço côncavo e a

imagem real A B' conjugada pelo espelho.

Na figura, os triângulos ABV e A'B'V são semelhantes entre si. Podemosestabelecer, então, a relação de proporcionalidade entre os lados homólogos:

A 'B '_ B'V

ÃB ~ W

Introduzindo na relação acima as abscissas p e p' e as ordenadas y e y'. temos:

í A 'B ' = - y '

^ AB = y - y ' _

b v = p' y p

BV = p

Equação doaumento linear

transversal

• Na figura, os triângulos ABC e A 'B'C são semelhantes. Daí decorre que

A B ' B'C

Ã F “— . onde

A 'B ' = - y' AB = y



Dividindo os dois membros por pp'f:

PP’ pf p 'f

pp'f pp'f pp'f

1

7

1

p

Logo:1 1

— + —P P'

Equação de conjugação dos pontos

Leitura Complementar IV — As aberrações esféricasEm todas as cons iderações anteriores, admitimos que os espelho s esféricos

am estudo obedeciam às condições de nitidez de Gauss. Observamos que se oAngulo de abertura do espelho não ultrapassasse 10®, o espelho poderia forneceri ítid d bj t t d i i t ó ti ti



108

A diferença de comportamento entre um espelho osfé-ico de Gaus A e um espelho esférico de grande abertura pode ser observada quando um pincel cilíndricoincide pa ralea m ente ao eixo principal de sse s sistem as No espelho de Gauss, a

imagem é conjugada em um único ponto: o foco principal F do espelho. No espelho

esférico de grance abertura angular, os ra os de luz, após refletirem no espelho, nãoconvergem para um único ponto sobre o eixo principal, formando, desse caso. uma

mancha luminosa.

Em um espelho esférico de Gauss ( a < 10°) o pincel c ilíndrico converge para

o ponto F (foco principal).

Nos espelhos esfé ricos de grande abertura angular o pincel refle tido, associadoa um pincel cilíndrico incidontc. não converge para um único ponto FOs raios de luz refletidos se interceptam cm diversos pontos, dando origem

a inúmeros pontos-imagem, pertencentes a uma superfície chamada



, • Aplicação,

Devido às propriedades geométricas de uma parábola, nos espelhos pa-

rabólicos rodos qs raios paralelos, apóssofrerem reflexã^, passam pelo foco F.qualquer que seja a abertura do espe

lho. O único incónveniente dos espe lhos parabólicos é que eles são difí

ceis de serem construídos. Por isso.são usados apenas em aparelhos espe

ciais. como holofotes e alguns tipos detelescópios.

' t f / m 109

Parábola

| lí V

1. MACKENZIE — O raio de curvatura do espelho de um telescópio

mede 200 cm. A distância entre a imagem que este espelho con-

juga do Sol e o vértice do espelho é de. aproximadamente:

a) 80 cm. d) 200 cm.

b) 100 cm. e) 125 cm.c) 150 cm.

R e s o l u ç ã o : D e v id o à g r a n d e d i s tâ n c i a q u e o S o l s e e n c o n t ra d a T e r ra ,

o s r a i o s d e l u z d e l e p r o v e n i e n t e s , e q u e a t in g e m o e s p e l h o c ô n c a v o

d e u m t e le s c ó p io , p o d e m s e r c o n s i d e r a d o s p ra t ic a m c n t c p a r a le l o s .



r

Portanto, o espelho conjuga uma imagem rea! do Sol sobre o foco principal F , cuja distância ao vértice do espelho corresponde à metade

do raio de curvatura R . Sendo R = 200 cm, a distância entre a ima-

gem e o vértice do espelho será f = ------= 100 cm.2

R e s p o s t a : alternativa b .

2. PUC (SAO PAULO) — Em alguns automóveis têm sido empre-

gados espelhos retrovisores convexos, em vez dos espelhos

planos usuais. A fina idade desta substituição é:

a) obter imagens mais claras.

b) aumentar a nitidez da imagem.

c) diminuir o campo do espelho.

d) aumentar o campo do espelho.

e) obter imagem real e não virtual.

R e s o l u ç ã o : Comparando a formação de imagens nos espelhos planos enos espelhos convexos, podemos concluir que:

• os espelhos planos c os espelhos convexos conjugam de objetos reais

imagens sempre virtuais;

• nos espelhos planos, o objeto c a imagem estão sempre à mesma

distância do espelho (simetria);

• nos espelhos convexos, a distância da imagem ao espelho é sempremenor que a distância do objeto ao espelho.

no ___________________________________ l _____

Lembrando que para um espelho esférico côncavo; onde/são válidas

as condições de Gauss, os raios de luz incidentes paralelos ao eixo principal refletem-se passando pelo foco principal F , temos:

----------------------------------------------- |

Objeto no.— 1\ Imageminfinito v no foco



111<01

Para una posição O do olho de um observador, o campo visual de

um espelho esférico pode ser determinado de modo análogo ao dc um

espelho plano. Ou seja:

• detcrmina-sc a imagem O' do olho O, cm relação ao espelho;

• une-se O' aos pontos extremos do espelho, obtendo o campo visual

para a posição O do observador;

• o observador colocado cm O só poderá ver as imagens dos objetos

que estiverem dentro do campo visual do espelho.

Comparando o campo visual do espelho plano com o do espelho convexo, podemos concluir que, sc a posição do olho O for mantida fixac sc substituirmos o espelho plano por um espelho convexo de mesmo

tamanho, o campo visual do espelho aumentará.

Campo visual doespelho convexo

Olho

Espelho convexo

j Imagem



112

3. MACKENZIE Um espelho côncavo fornece de um objeto virtualuma imagem: /

a) real. direita e menor que o objeto.

b) virtual, direita e menor que o objeto.

c) virtual, invertida e menor que o objeto.

d) real. direita e maior que o objeto.

e) real. invertida e menor que o objeto.

R e s o l u ç ã o : Na figura que segue representamos um p in c e l c ô n ic o c o n

v e r g e n t e de v é r t i c e A . Se colocarmos o espelho côncavo E interrom

pendo o caminho da luz, os raies de luz não mais passarão pele ponto

A . Assim, esse ponto não existirá mais fisicamente, só geometricamente. O ponto A é o v é r t ic e d o p i n c e l i n c i d e n t e c ô n i c o c o n v e r g e n t e ,

em relação ao espelho. Portanto, é um p o n to - o b je to - v i r tu a l ( P O V ) .

Aplicando as propriedades dos raios incidentes podemos caracterizar o

pincel refletido pelo espelho. O ponto A ' c o v é r t ic e d o p i n c e l e m e r

g e n t e c ô n i c o c o n v e r g e n t e , em relação ao espelho. f-, portanto, um

p o n to - im a g e m -r e a l (P 1 R ) . Assim, a partir da construção gráfica, podemos observar que, cm relação ao espelho côncavo, temos:



4. PUC (RIO DE JANEIRO) — Um objeto luminoso está a 60 cm de

um espelho côncavo, cuja distância focal é de 20 cm. Determine

a distância da imagem ao vértice do espelho e o aumento linear

transversal.

R e s o l u ç ã o : De acordo com o enunciado, podemos definir as caracte-rísticas do objeto e do espelho:

A b s c is s a d o o b j e t o ( p )



114

Aplicando a e q u a ç ã o d e c o n j u g a ç ã o d o s p o n t o s para uny espelho dHélice /Gauss, teremos:

P P' f

1 1

1 1

6 0 p' 20

3 - 1 2

20 60 60 60

y' p 'Sabemos que A = — = ------ .

Como p = + 60 cm

p' — -f-30 cm

P

=> A =+30

+60

---

í

! I I

1 i

2 : j

T T

O módulo do aumento indica a relação entr

o tamanho da imagem c o tamanho do objeto

Como o módulo do aumento v a l e 1 / 2 , o ta

manho da imagem será igual à m e t a d e d o

ta m a n h o d o o b j eto .

O s i n a l n e g a t i v o indica que a i m a g e m é i n v e r

t i d a cm relação ao objeto.

Imagem T a m a n h o d a im a g em :

invertida metade do tamanho do objeto.

R e s p o s t a : A distância da imagem ao vértice do espelho é igual a 30 cm

e o aumento linear transversal é d e ------ .



f v ,

f / y / ú r / 115

5. FEI — Deseja-se formar, através de um espelho, a imagem real

de um objeto sobre uma tela que dele dista 5 m. A distância do

objeto aó espelho deve ser igual a 15 cm e a altura do objeto é

de 2 cm. Determinar:

a) o tipo do espelho:

b) o tamanho da imagem e se é direita ou invertida.

R e s o l u ç ã o :

a) Na figura, representamos o objeto AB, a tela que se encontra a

5 m (500 cm) do objeto e a posição em que o espelho deve ser

colocado. Posição em ?

■HTp.a que se deve •i d colocar o \ ■A. espelho ^ svJ

[ B' Eixo principal f

!

I

:

I

B

Imagem real

A' 500 cm 15 cm

Distância do objeto ã tela Distância doobjeto ao espelho

Distância da irragem ao espelho = 515 cm

Para um objeto real situado a 15 cm do espelho, podemos escrever:

^ p = +15 cmObjeto

real

Imagem projetada

em tela

Imagem

real p' = +515 cm

Aplicando a equação de conjugação para um espelho de Gauss,

temos:

1 1 1 1 — 4 — = — = > ------4

P P' f 15

1

515 + 15

15 . 515= — => f

f

1------= — =*515 f

515 . 15

5 3 0

A distância focal do espelho ó igual a



116

b) Supondo o objeto acima do eixo principal, temos y —2 cm.

O objeto c a imagem têm a mesma natureza, pois ambos são reaiPortanto, a imagem será invertida em relação ao objeto.Calculando o aumento linear transversal, temos:

_

y P 2

y ' = £ 68.7 cm

Imagemabaixo do

eixo principal.

+515------------- =>

+ 15

O tamanho da imagem c igual a 68,7 cO sinal negativo de y' indica que a imgem está abaixo d» eixo principal. Como objeto e a imagem estão em lados opotos do eixo, a imagem é invertida c

relação ao objeto.Atenção: Não tem significado físico expressão tamanho negativo. Lembre-de que todo sinal de uma grandeza físicdeve ser interpretado fisicamente.

Resposta: a) O espelho será côncavo, b) A imagem terá 68,7 cm dtamanho, e será invertida em relação ao objeto.

6. MEDICINA DE TAUBATÉ — Um objeto situado em frente a u

espelho côncavo, cujo raio de curvatura mede 1 m. encontra-sa 25 cm de distância do espelho. Este objeto tem uma imagem

a) real, a 25 cm do espelho.

b) real, a 100 cm do espelho.

c) virtual, a 20 cm do espelho.

d) virtual, a 50 cm do espelho.

e) situada no infinito.

Resolução: De acordo com o enunciado, podemos definir as caractrísticas do objeto e do espelho:Ábscissa do objeto (p)

Obj



Ab.scis.sa do foco (f)

R = 5 l m = 100 cm (raio de curvatura)

. R 100Distancia focal = — = ------

= 50 cm2 2

Espelho

côncavof = +50 cm Espelho côncavo com

distância focal igual a

50 cm.

Aplicando a equação de conjugação dos pontos para espelhos de Gauss,

temos:

1 1 1 1 1 1---- 1-----= — = » --------- 1-----= ------- => p p' f 25 p' 50

l i i 1 -,2 1

p'~~ 50 25 ~ 50 ~ 50

A imagem encontra-se a 50 cm do espelho.

O sinal negativo indica que a imagem é vir

tual. Portanto, está “atrás” do espelho.

POR

p' = :3 '’50 cm

Imagem virtual

A imagem é virtual, encontra-se a 50 cm do espelho, é maior que



f

118

Observação: Observe que. calculando o aumento inear transversal, podemosobter:

A =y' P

y p

p - -f 25 cm

p' = -50 cm A = -

50

T iT= +2

O medulo do aumento indica a relação entre otamanho da imagem c o tamanho do objeto Comoo módulo do aumento vale 2, o tamanho da ima*gem será duas vozes maior que o tamanho doobjoto.O sinal positivo indica que a imagem é direita emrelação ao objeto.

Tamanho daimagem:

duas vezesmaior que otamanhodo objete.


7. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS — Raios convergentes incidemcm um espelho côncavo, cuja distância focal é f = 24 cm. O pontoB fica a 12 cm do espelho. O ponto A. para onde convergem osraios, encontra-se a uma distância x do espelho. Supondo quesejam válidas, nesse caso, as condições de Gauss. o valor de xserá: E

c) 20 cm.

Resolução: Em relação ao espelho côncavo E, temos:

• O pomo B é um ponto-objcto-virtiial. pois é o vértice do pincel inci

dente cônico convergente. Como podemos observar na figura, o



Portanto:

Objeto

virtual

p = —12 cm (abscissa do objeto)

O ponto A é um ponto-imagem-real, pois c o vértice do pincel emer

gente cônico convergente. Como podemos observar na figura, o

ponto A cncontra-se na frente do espelho c a uma distância x dele.

Portanto:

Imagem

real= x (abscissa da imagem)

Para o espelho côncavo E, temos:

foco

real

Espelho

côncavof — +2 4 cm

Como as condições de Gauss são válidas, aplicando a equação da

conjugação dos pontos, vem:

1 1 1 1 1 1-----

1-----

= — = * ------------

1-----

= -------

=> p p' f - 1 2 x 241

1 1 1 1 1 + 2 3=> — = -------- 1-------- => — = ----------- = ------

x 24 12 x 24 24x — 8 cm =>

O ponto A (imagem real) encontra-se a

8 cm do espelho. O sinal positivo indica

que a imagem é real.

esposta: alternativa d.

ACULDADE ESTACIO DE SÁ (RIO DE JANEIRO) — Um espelhosférico convexo tem distância focal igual a 30 cm. Colocamosma seta luminosa de 10 cm de altura a 30 cm do vértice do es-elho. A imagem formada tem as seguintes características:

Está distante do espelho 15 cm e é virtual.

Está distante do espelho 15 cm e é real.Está distante do espelho 10 cm e é virtual

Está distante dovértice 30 cm e é real.

p' x = + 8 cm



120

Abscissa d« objeto (p)

Objeto

luminoso

Objeto

real p = 4-30 cm Objeto real a 30 cm

do espelho.Abscissa do foco (f)

♦ f — —30 cm Lspelho convexo com dis

tância focal de 30 cm.

Aplicando a equação de conjugação dos pontos para espelhos nas con

dições de Gauss, temos:

1 _1_ _1_ ^ 1 | 1 _______1_ ^

f 30 p' ~ 30 ~>

1 1 1 2

^ p7 _ 30 30 ~~ 30

A imagem encontra-se a 15 cm do espelho.O sinal negativo indica que a imagem é vir

tual



Observação: Observe que. calculando o aumento linear transversal, podemosobter:

A -JÜ .-J Üy

p

p = +30 cm

p' = —15 cm=> A =

15

+ 30

1= + — =>

2

O módulo do aumento indica a relação entre otamanho da imagem e o tamanho do objeto Comoo módulo do aumento vale 1/2. o tamanho da ima-gem será igual à metade do tamanho do objeto.O sinal positivo indica quo a imagem ó direita emrelação ao objeto.

Tamanho da

Imagem;metade dotamanhodo objoto.


UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO — Um objeto de 4 cm decomprimento, colocado no eixo principal de um espelho côncavo,

forma uma imagem de 2 cm de comprimento. Sabendo que o

objeto é normal ao eixo principal do espelho e que a distância

entre o objeto e a imagem é de 60 cm, calcule a distância focal

do espelho.

Resolução: Como o tamanho da imagem (2 cm) é menor que o tamanho

do objeto (4 cm), a imagem deve encontrar-se mais próxima do espelho

do que o objeto. Para o caso de uni objeto real, esse fato ocorre quandoo objeto é colocado além do centro de curvatura do espelho. Isso pode

ser verificado através da construção gráfica da figura. Como a distância

entre o objeto e a imagem vale 60 cm, temos:

P — p' = 60 (I)



122

Temos:

f y = -f 4 cm -> o objeto tem 4 cm de comprimento; o s i n a l p o s i t i v o

indica que este encontra-se a c i m a d o e ix o p r in c i p a l;

y' — 2 cm -» a imagem tem 2 cm de comprimento; o s i n a l n e g a

t i v o indica q u e esta encontra-se a b a i x o d o e ix o p r i n

c i p a l .

Então:

a u m e n t o l i n e a r tr a n s v e r sa l

+ 4 p 2 p 2

Através desta expressão, podemos concluir quea d i s tâ n c i a d a i m a g e m a o e s p e lh o é ig u a l à m e

t a d e d a d i s tâ n c i a d o o b j e t o a o e s p e l h o . Isso cra

de se esperar porque o ta m a n h o d a im a g e m c

ig u a l à m e t a d e d o ta m a n h o d o o b j e to .

Substituindo a expressão (II) em (I), vem p — = 60 =» — = 60 =>

p = 4 2 0 cm

Como p' =P

2P'

120

2

p' = 60 cm .

Aplicando a equação dc conjugação dos pontos para espelhos de Gauss,

determinaremos a distância focal do espelho:

-L _L__LP P' f

1 1 1

120 60 ~~ f

1-1-2 1

120 ~ f

Espelho côncavo com distân

cia focal igual a 40 cm.



$ ? //m W 123

10 . UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA — Um objeto real está colo-

cado a 100 cm de um espelho côncavo e sua imagem é Invertida

c 5 vezes maior do que o objeto. A distância entre o objeto e

a sua imagem é de:

a) 400 m. d) 4 cm.

b) 40 cm. e) n.r.a.

c) 4 m.

R e s o l u ç ã o : De acordo com o enunciado, podemos definir as características do objeto c o aumento linear transversal.

O b j e to

r e a l p = -f lOOcm Objeto real a 100 cm do espelho

concavo.

O módulo do aumento indica a re-'lação entre o tamanho da imagem c

o tamanho do objeto. Como o ta

manho da imagem c 5 v e z e s m a i o r

q u e o t a m a n h o d o o b j e t o , o módulo

do aumento c igual a 5.

Como a i m a g e m c i n v e r t i d a , o au

mento tem s i n a l n e g a t i v o .

Como A = ------ , temos------ = —5

P P

Como p = -j-100 cm, vem:

P' = 5

A - L

Imageminvertida

Tamanho

da imagem: c i n c o

v e z e s maior

que o tamanho

d o o b j e t o .

P' = 5p

100 p' = +500 cm Imagem real a 500 cm do

espelho.

A imagem é i n v e r t i d a cm relação ao objeto, pois o o b j e to e a i m a g e m

tê m a m e s m a n a t u r e z a (ambos são reais). Objeto e imagem encontram-

-se na frente da superfície refletora.

Imagemreal



124

A distância (d) entre o objeto c a imagem c:

d = p' — p => d = 500 — 100 => d = 400 cm =>


11 . UNIVERSIDADE DO PARANA — É dado um espelho esférico côn-cavo cujo raio de curvatura é igual a 12 cm. Em frente ao mesmocolocase um segmento luminoso frontal, de tal forma que a ima-gem formada pelo espelho seja virtual. Pedese determinar aposição do segmento luminoso para que sua imagem tenha o dobrodo tamanho do objeto.

R e s o l u ç ã o : De acordo com o enunciado, podemos definir as caracterís

ticas do espelho e o aumento linear transversal.

A b s c i s sa d o f o c o ( f)R = 12 cm (raio de curvatura)

Distância focal =

*•Espelho

côncavo

R _ 12

2 2

f = -f-6 cm

= 6 cm

A u m e n to l in e a r (A )

O segmento luminoso em relação ao espelho ó um o b j e t o r e a l , Como

o espelho deve formar uma i m a g e m v i r tu a l , a i m a g e m s e r á d i r e it a cm

relação ao objeto, pois o objeto e a imagem terão n a t u r e z a s o p o s t a s .

Resumindo:



Para as condições de Ciauss, na equação do aumento linear transversal

e na equação de conjugação teremos:

A = - ^ = + 2 ^P

1 -f 1 1 =>P P' f

P' = —2p (01 1 1

=>

p p ' 6

Substituindo (1) em (II), teremos:

(II)

p —2p 6 p 2p 6

=>1 2

2p 6

*

P - C 3 cmf

Objeto real

O objeto encontra-se a 3 cm

do espelho.

( ) s i n a l p o s i t i v o indica que o

objeto é real.

Note que sc substituirmos o valor de p em ( I ) teremos:

p' — —2p — —2 . 3 = —6 cm =>

A imagem encontra-sc a 6 cm do espelho. O

s i n a l n e g a t i v o indica que a im a g e m c v i rtu a l .

Imagemvirtual

R e s p o s t a : O segmento luminoso deve estar a 3 cm do espelho.



126

12. MEDICINA DE SANTOS — Mediante um espelho localizado a

1,80m de urn objeto luminoso frontal, desejase ooter uma ima-

gem direita e cuja grandeza seja 2/3 da do objeto. O tipo de es-

pelho a adotar e sua distância focal são:

a) convexo e f = —3.60 m.b) côncavo e f = 0.72m.

c) plano.

d) côncavo e f — 3.60 m.

e) convexo e f = —0.72 m.

R e s o l u ç ã o : De acordo com o enunciado, podemos defin:r as características do objeto c o aumento linear transversal.

A b s c i ss a d o o b j e to ( p )

Objeto

luminoso p = -f-l,80m Objeto real a 1,80 m

do espelho.

A u m e n t o l in e a r t ra n s v e r s a l (A )

O módulo do aumento indica arelação entre o tamanho da ima

gem e o tamanho do objeto. Como2

o tamanho da imagem é — d o

3ta m a n h o d o o b j e to , o módulo do

. . . 2aumento e ig u a l a — .

3Como a i m a g e m é d i r e i t a , o au

mento tem s i n a l p o s i t i v o .

Sendo \ = ------ , teremos:

P

Como p = -f-1,80 m, vem p '= — . 1,80 m r=>

p' = —1,20 mImagem virtual a

1,20 m do espelho.



Aplicando a equação de conjugação para um espelho de Gauss, teremos:

1 1 1 1 1 1-----1-----= — = > ---------1----------- = — =>

p p' f 1,80 —1,20 f 1 1 1 2 - 3 1

=>-----------------=r — => ---------- = — =£ f = —3,60 m1,80 1,20 f 3,60 f

A distância focal do espelho é igual a 3,60 m.O s i n a l n e g a t i v o de f indica que o espelho é

c o n v e x o , pois nesse tipo de espelho o f o c o é

v i r tua l .


ITA — Um espelho esférico côncavo com raio de curvatura R

recebe um raio de luz paralelo ao seu eixo principal e distante

R \ ~3do eixo. O raio refletido:

a) passa pelo vértice do es-

pelho.

b) passa pelo foco do es-

pelho.

c) refletese segundo um ân

Rvr3



128

R e s o l u ç ã o : Sabemos que, desde que o espelho obedeça às condiçõesdc nitidez de Gauss, todo raio de luz que incide no espelho paralela-mente ao seu eixo principal reflete, passando pelo foco principal. Parao raio dc luz paralelo ao eixo principal do espelho e distante deste

------R, não são validas as condições de nitidez de Gauss, porque:2

• o raio de luz n à o está p r ó x im o d o eixo p r in c ip a l (não c paraxial);• o ângulo de abertura do espelho é maior que 10°, como podemos

observar na demonstração abaixo:o ângulo 9 corresponde à metade do â n g u l o d c a b e r t u r a do espelho,

pois 0 = i (ângulos alternos internos), onde i é o ângulo de incidência no ponto I.

C LDo triângulo retângulo ILC, vem sen i — ------ =>Cl

^ I R

. 2 V T => sen i = ------------ = ------- => i = 60°.

R 2

Logo, Ö_ 60°

Portanto, o ângulo de abertura deste espelho vale 20 = 120". Paraobedecer às condições de Gauss, a abertura deveria ter, no máximo.10°. Não tem, portanto, o menor significado dizer que o raio refletido

passará pelo foco, pois este espelho não obedece às condições de Gauss.Vejamos, então, qual a localização do ponto K (intersecção do raiorefletido com o eixo principal).

Reta normal



6 // & W 129

No triângulo ÍKC, temos:r — i = 6()° c 6 = 60°

0 - f r - h 3 — 180° => £ = 60°

C o n c l u s ã o : O triângulo IKC é cqüilátero (9 — r = p = 60°).

Logo, IK = IC = CK.d).Como IC = R, vem

Porém,

CK = R

CV = R (2).

CK _ CV ou seja, o ponto K IX* (1) c (2), podemos escrevercoincide com o próprio vértice do espelho.Portanto, o r a i o r e f l e t i d o v a i p a s s a r p e l o v é r t i c e d o e s p e l h o .

Por simetria, podemos construir o percurso completo do raio de luz.

R e s p o s t a : alternativa a .

1. UNIVERSIDADE DO ESPI-RITO SANTO — A figura re

presenta um feixe de luz proveniente de uma fonte pontual F ,

que incide em um sistema ópticorepresentado pelo retângulo. Ofeixe é refletido na forma de

raios paralelos. O sistema que produz este efeito c:a) uma lâmina de faces paralelas.

b) um prisma.



130

2. UNIVERSIDADE DO PARÁ — Ura objeto está localizado no centro decurvatura de um espelho côncavo. Podemos dizer que:a) a imagem é real e maior do que o objeto.

b) a imagem c rca! c do tamanho do objeto.c) a imagem é real c menor do que o objeto.

d) a imagem évirtual e maior do que o objeto.c) o espelho côncavo funciona como um espelho plano.

3. ITA — Determine graficamente a imagem dc um objeto OA colocado diantede um espelho côncavo, esférico, dc raio R. A distância cio centro dc cur-vatura C ao objeto é igual a 2R/3. A seguir, assinale a alternativa correta.z\ imagem é:a) virtual, direita e menor que o objeto.

b) real. invertida e maior que o objeto.

c) real, invertida e menor que o objeto.d) real, direita c maior que o objeto.e) virtual, direita e maior que o objeto.

4. UNIVERSIDADE DO RIO DEJANEIRO — Nas regiões dcclima frio, principalmentc du-rante o inverno, é comum o usode aquecedores elétricos dc ambiente (radiadores térmicos). Um

dos modelos de tais aquecedoresconsiste csscncialmente de umresistor de fio enrolado cm tornode um cilindro de porcelana,disposto ao longo do eixo deum espelho esférico côncavo, o qual permite direcionar a radiação térmica(na realidade, apenas uma parte dela) produzida pelo resistor, de maneiraa ter um feixe divergente que cubra uma extensão razoável do ambiente aser aquecido. Nas figuras abaixo, F c O sào, respectivamente, o foco c o centro do espelho

côncavo e P é o cilindro de porcelana em torno do qual está enrolado oresistor. A posição em que sc deve colocar P. dc forma a obter um feixedivergente de radiação, é dada por:

oF



5. MEDICINA DE SANTOS — Quando aproximamos um objeto de um espelho côncavo:a) sua imagem real se afasta do espelho.

b) sua imagem virtual se afasta do espelho.

c) sua imagem real diminui.d) sua imagem virtual aumenta.c) Nenhuma das respostas anteriores.

6. MACKENZIE — Um indivíduo cncontra-sc em frente de um determinadoespelho E e observa a sua imagem diminuída e direita. O espelho E 6 então:a) plano.

b) convexo.c) côncavo.d) côncavo ou convexo, dependendo da distância entre o indivíduo e o

espelho.c) Nenhuma das anteriores.

7. MEDICINA DO ABC — Com relação às imagens conjugadas a objetosreais por espelhos esféricos, c correto afirmar que:a) são sempre virtuais para um espelho côncavo.

b) são sempre reais para um espelho convexo.

c) são reais c invertidas, quando o objeto é colocado sobre o foco de umespelho côncavo.d) são sempre direitas e virtuais, quando o objeto c colocado a uma dis

tância do espelho menor que a distância focal.e) reduzem-se a um ponto, quando o objeto é colocado a uma distância do

espelho igual ao raio de curvatura.

8. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Dispõe-se de três espelhos: X. V c Z.O espelho X é plano, o espelho Y é côncavo c o espelho Z é convexo. Para

conjugar, a um objeto real qualquer, sua imagem real e ampliada, que espe-lho(s) poderá(ão) ser utilizado(s)?a) Somente o espelho X.

b) Somente o espelho Y.c) Somente o espelho Z.d) Necessariamente os espelhos X e Z.e) Necessariamente os espelhos Z e Y.

9. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — O espelho de grande aber

tura que melhor reflete os raios paralelos ao seu eixo principal, quando umafonte pontual é colocada no seu foco, c:a) plano.h) convexo c esférico



132

10. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA — Um espelho esférico côncavotem raio de curvatura igual a 80 cm. Um objeto retilíneo cc 2,0 cm é colo-cado perpendicularmcnte ao eixo principal, a 120 cm do espelho. Nestecaso, teremos:a) uma imagem real e invertida de 1.0 cm ca 60 cm do espelho.

b) uma imagem virtual e direita de 1.0 cm ea 10 cm do espelho.c) uma imagem virtual e invertida do 1.0 cmea 10 cm do espelho.d) uma imagem real c direita de 40 cm e a 60 cm doespelho.e) Nenhuma das respostas anteriores.

11. ESCOLA TÉCNICA DE CAMPINAS — O esquema abaixo representa umespelho esférico convexo e um objeto real AB.

1cm

Com base no enunciado, marque certo ou errado para as frases abaixo:I) O tamanho da imagem e sua distância ao espelho medem, respectiva-

mente, I cm e 1 cm.II)III)

II) O aumento linear vale ----- .2

III) A imagem é virtual e direita.Agora, assinale a alternativa correspondente:a) Certo, certo, errado. d) Errado, errado, certo.

b) Certo, certo, certo. e) Errado, errado, errado.c) Certo, errado, certo.

12. UNIVERSIDADE DQ ESPIRITO SANTO A distância focal dc um espe-lho convexo mede 5,0 cm. Uma imagem real situada a 20 cm do vértice doespelho corresponde a um objeto:a) real e situado a 25 cm do espelho.

b) virtual c situado a 15 cm do espelho.c) virtual e situado a 6,66 cm do espelho.d) real e situado a 4 cm do espelho,c) virtual e situado a 4 cm do espelho.



. MACKENZIE Um homem de altura H está cm pé. em frente a umespelho esférico côncavo, de distância focal f, a uma distância x do vérticedo espelho. Para que o espelho conjugue uma imagem real do homem, dc

XJ

altura-----

. o valor de x deve ser igual a:3

a) 3f.

b) 4f.

c) f/3.

d) 2f.

e) Nenhuma das alternativas anteriores.

4. ARQUITETURA (RIO DE JANEIRO) — A distância entre um objeto reale a imagem conjugada por um espelho côncavo c d. A imagem é invertidae cinco vezes maior do que o objeto. Determinar o raio de curvatura do

espelho. Dado: d = 48 cm.

5. CESCEA — A que distância de um espelho esférico côncavo de 120 cm deraio um homem deve ficar em pé. para ver a imagem dc seu rosto quatrovezes maior?

a) 150 cm b) 120 cm

c) 105 cm

d) 90 cm

e) 45 cm

6. UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO SUL — Um ohjcto colocado

diante de um espelho esférico côncavo, com raio de curvatura de 60 cm, provoca a formação de uma imagem três vezes menor que o objeto. Quantoscentímetros e em que sentido o objeto deve ser deslocado para que a imagemseja real c três vezes maior que o objeto?

7. PUC (RIO GRANDE DO SUL) — Utilizando um espelho esférico ces.eja-scobter uma imagem I de um determinado objeto O. Sabendo que a imagemdeve ser direita c reduzida a 1/5 da altura do objeto, c que deve ficar localizada a 12 cm do espelho, pode-se afirmar que o espelho utilizado deve ser:

a) côncavo, com raio dc curvatura igual a 60 cm.

b) côncavo, com raio de curvatura igual a 10 cm.

c) con e o comraio de c r at ra ig al a 10 cm



134

18. MEDICINA DE ITAJUBÀ — Qual dentre os gráficos abaixo pode repre-sentar a distância x de um objeto ao foco de um espelho côncavo, em funçãoda distância x' da imagem do referido objeto ao foco do espelho?

1. e 2. b 3. e 4. a 5. a 6. b 7. d 8. b 9. o 10. a11. b 12. c 13. b14. R = 20 cm

15. e16. O objeto deve ser deslocado de 80 cm, aproximandose do espelho.17. d 18. b

Da figura, vem p = x f f e p' = x' + f.Substituindose na equação dc Gauss. lomos:1 + _ i_ _ _ j _ _ > 1 1 1

p p' f X + f x; + f f Lembrando que f2 = cte., a expressão x . x ' = f2 será representada graficamentepor uma hipérbole equilátera.

Observação: A expressão acima deduzida é também conhecida como equação deNewton.

x . x' = P



ariíULO

4Kefração da Luz



136

No capítulo de Introdução à óptica Geométrica, apresentamos o»

diversos fenômenos que ocorrem com a luz quando esta atinge u

superfície de separação de dois meios diferentes. Observamos nn

quela ocasião o comportamento de um pincel cilíndrico de luz quo,

após propagar-se no ar. atingia a superfície plana de um bloco do

vidro, passando em seguida a propagar-se neste último meio. A pua

sagem da luz de um meio transparente [por exemplo, ar) para outromeio transparente [por exemplo, vidro) é denominada refração da lus

Representação gráfica da refraçáo «I» luz. utilizando raios de luz.

Um exemplo de refração da luz: apassagem da luz do ar para o vidro.

O estudo da refração da luz pode ser desenvolvido descrevendo-se o comportamento do raio de luz ao incidir em uma superfície. A

partir desse conhecimento básico, poderemos explicar uma sério da

fenômenos que ocorrem na Natureza e que tornarão o nosso estudofascinante.

Conceitos básicos

Antes de tomarmos conhecimento das leis que regem o fenômenoda refração da luz. devemos fixar alguns conceitos básicos impot

tantes para o desenvolvimento do nosso estudo.



tntrotanto. a luz solar é composta de várias cores, e o olho humano

(Mtarprota subjetivamente esta mistura de cores como uma simples

«nr, dovldo à incapacidade de separá-las. Todavia, podemos observar

it «itporação da luz branca em suas cores componentes, através deiitttii experiência bastante simples, utilizando-se urn prisma óptico.

•iUm <h íi peça de vidro ilustrada na figura seguinte. Passando a luz

iiilnr através de um prisma podemos separar (dispersar) a luz branca

iiiirii oapectro de cores. As cores que constituem a luz branca sáo:

nrtntlho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta.

Cnda uma dessas cores componentes da luz branca é chamada

11ii liu monocromática ou radiação monocromática. Como a luz branca

-i uma mistura dessas cores, é chamada de luz policromática.

Vermelho Alaranjado Amarelo v

Verder

(,° Azul AnilVioleta

Espectro

cores

lm> Miilnr (luz branca) pode ser decomposta num espectro do cores. Isto evidencioi i i lu/ branca não é monocromática.«Ih • omponento da luz branca é chamado de luz monocromática Este fenômeno"inin RO dispersão da luz branca.

Hosumindo:

Luz branca (policromática)

Monocromáticas

i l t



138

w>a£fieô

1. No volume destinado ao estudo da Físico Ondulatória e Oscilações

entraremos em contato com a tecria ondulatória, que explica a naturezada luz; o conceito de luz monocromática será então alvo de novas considerações2. Como você poce perceber, o o no humano não é sensível igualmentco tocas as cores. Cada cor do espectro produz uma sensação visual diferente.Nós somos mais sensíveis às coros centrais do espectro (próximas doamarelo) do que às cores extremas (vermelho e violeta). Todos esses fatosestão re acionados com as características quo definem a natureza da luz.Observaremos que a característica ‘ ísica que define uma radiaçãomonocromática é a sua freqüência.

• Meio refringente — Tomemos, como exemplo, o conjunto dos

meios homogêneos c transparentes, ar e água. separados por uma

superfície plana, ilustrado na figura abaixo. Sabemos que a luz. ao

se propagar em um certo meio. o faz com uma certa velocidade. Uma

característica dos meios envolvidos no exemplo é que a velocidade

de propagação de uma dada luz monocromática náo depende da di

reção em que se propaga. Um meio óptico, em que uma luz mono

cromática se propague com a mesma velocidade em todas as dire

ções. é dito opticamente isótropo. No exemplo, tanto o ar como a

água são meios homogéneos, transparentes e isótropos Dizemosentão que esses são meios refringentes.

Ao conjunto dos dois meios refringentes. separados por uma

superfície, chamamos dioptro.

Lu-----



• índice de refração — Todas as radiações monocromáticas propa-

gamse no vácuo com a mesma velocidade (c = 300 000 km /s). que

é o lim ite máximo de velocidade conhecido pelo homem. A luz ca-

minha, nesse caso, sem a presença de um meio material. Ncs meiosmateriais transparentes, a velocidade de propagação da luz monocro-

mática é sempre menor que no vácuo, e depende das propriedades

do meio material no qual ela se propaga. Ou seja. um meio pode ser

caracterizado opticamente pela velocidade com que uma dada luz

monocromática se propaga nele.

Quando a luz penetra em um meio material, ocorre uma mudança

na sua direção de propagação. O fato de a luz mudar de direção ao

passar de um meio a outro está associado â mudança de velocidade

Quanto mais acentuada for a mudança de velocidade, mais acen-

tuada será a mudança de direção. A refração do raio luminoso pode

ser então caracterizada através de um índice de refração, que exprime

a mudança de velocidade da luz ao mudar de meio.

índice de refração absoluto (n) de um meio. para uma dada luz

monocromática, é a relação entre a velocidade da luz no vácuo (c) c

a velocidade da luz (V) no meio considerado. Assim:

velocidade da luz no vácuo cn — = —

velocidade da luz no meio V

Portanto, o índice de refração indica quantas vezes a velocidade

da luz, em um certo meio. é menor do que a velocidade da luz no

vácuo



140

Apresentamos, em seguida, os valores dos índices de refraçãode diversas substâncias, para o caso da luz monocromática amarela.

Material Indice de refração ( n =

Ar 1,0003Golo 1.31 Água 1,33 Álcool etílico 1.36Vidro crown 1.52Vidro flint 1,66Diamante 2,42

1. üizer que o indico do refração do diamante [para a luz amarela] valendiamante ~ 2.42 signillca quo a velocicade da luz amarela nosso material 6 2.42vezes menor que a velocidade com que ela se propaga no vácuo.

2. No caso do vácuo, o índice de refração será:

n v á c u o — n v á c u o — *1

3. A velocidade de propagação ca luz no ar é muito próxima de suavelocidade de propagação no vácuo. Portanto, teremos:c

n*r - — ----

V., => nar ~ 1

V „ % c

• Aplicações

1. Por que a luz branca so separa num espectro de cores?Já observamos que a mudança de dlroçáo do raio de luz. ao passar de um melo

a outro, está associada à mudança de velocidade de propagação. Quanto maisacentuada for a mudança de velocidade, mais acentuado será a mudança dedireção.

•niclal , prop

-Z^doçso



141

Verificase experimentalmente que quando a luz branca penetra no v dro as volocidades de propagação das diversas radiações monocromáticas componentes são

diferentes, ou seja:

luz vermelha -> maior velocidade de propagação no vidro;

luz violeta -* menor velocidade de propagaçáo no vidro.

Ao passar para o vidro, a luz violeta sofre uma redução de velocidade mais acen-tuada que a luz vermelha. Portanto, a luz violeta sofrerá maior desvio e a luzvermelha sofrerá menor dosvio. em relação à direção inicial de propagação.Devido às diferentes velocidades de propagaçáo de cada uma das radiaçõesmonocromáticas no vidro, a luz branca so separa num espectro de cores, é o

fenômeno da dispersão da luz branca.

2. Um corpo pode tornarse invisível?

Sabemos que um meio pode ser caracterizado opticamente pela velocidade comque uma dada radiação se propaga nele. Quando dois meios tèm índices de refração diferentes, as velocidades de propagação da luz são diferentes nesses meios.

Ao passar de um meio para outro, a luz sofre desvio c, corseqüentGmcnte. 3superfíclo de separação entre eles pode ser observada. C o caso do vidro e daágua. Colocandoos em contato, a parte co vidro imersa na água continua visível

como no ar.

_______ _ __________ _ _________________________ (

As duas barras de vidro, transparentes e idênticas, são mergulhadas na água eno tetracloroetileno. A parte do vidro, imersa na água. continua visfvol como noar. A parte imersa no tetracloroetileno fica completamente invisível, isto ocorreporque o vidro e o tetracloroetileno têm o mesmo índice de refraçáo. apresen-

tando. portanto, o mesmo comportamento óptico.

Quando dois meios que apresentam o mesmo indice de refraçáo são postos emcontato, a luz não sofre qualquer desvio. Não há mudança de direção dos raiosluminosos o a superfície de separação não pode ser observada. Os dois meioscomportamse opticamente como se constituíssem um único melo. f- o caso dovidro e do tetracloroetileno. O vidro tornase invisível dentro do tetracloroeti-

leno, pois ambos apresentam o mesmo índice de refraçáo.

Leis da refraçáo



142

• Elementos associados ao fenômeno da refração de um raio de luz

• Raio de luz monocromática incidente na superfície S propa-gandose no meio (1) — a

• Raio de luz monocromática refratado propagandose no meio(2) b

• Ponto no qual o raio incidente atinge a superfície (ponto deincidência) — I

• Plano tangente à superfície e passando pelo ponto I — r.

• Reta perpendicular ã superfície passando pelo ponto I (retanormal) — N

• Plano de incidência (definido pela reta normal e pelo raio inci-dente) — a

• Angulo de incidência (ângulo que o raio incidente forma com areta normal) — i

• Ângulo de refração (ângulo que o raio refratado forma com areta normal) — r

• índice de refração absoluto do meio (1) — m

• índice de refração absoluto do meio (2) — n

Quando a superficie de separação entre os dois meios réfrin-gentes (1) e (2) for uma superfície curva, teremos o esquema a seguir:



Leis da refração — A experiência nos mostra que:

1/ lei

O raio incidente, o raio refratado e a normalpertencem ao mesmo plano.

2.' lei — lei de Snell *

Quando uma radiação monocromática passa de um me<o

para outro, é constante o produto do seno do ângulo

formado pelo raio com a normal e o correspondente

índice de refração do meio. Assim, para os meios (1) e (2) podemos escrever:

sen i . m — sen r . n2

A expressão sen i . m = sen r . n* pode ser escrita na forma

onde ---- é denominado índice de refração rela-m

tivo do meio (2) em relação ao meio (1) (nai).

sen i hii

sen r ni

Como n2 = - ^ - (índice de refração absoluto do meio © ) e n>. —V2

— (índice de refração absoluto do meio (T)). teremos então:V,

c

n2 V,n2i — ---- = -------=>

m c

V,

* Willebrord van Roijen Snell (1591-1526) — Astrônomo e matemático holandês.D b i 1621 di t áfi d t i ã d i

na V:

~ m V-.



144

• Refringência de um meio — Dados os meios réfringentes (2} e (1),se na > ni dizemos que o meio (2) é mais réfringente que o meio (1).

Lembremos que:

n2 = ---- => n2 . Va = cV*

m — — => ni . Vi = cV,

Portanto. índice de refração e velocidade da luz são grandezasinversamente proporcionais.

n_>V2 - mV,

Como naV2 = n,V- = constante = c. se n_<> ni então V-.- < V,. Ou

seja, no meio de maior índice de refração. a velocidade de propagação

da luz é menor.

Concluindo:

Maior índice de refração absoluto

(maior refringência)

Menor velocidade

da iuz



• Comportamento de um raio

de luz após a refração — Ana-

lisemos a refração de um raio

luminoso, abordando os três ca-

sos dc interesse para o nosso

estudo:

— Passagem da luz do meio

menos réfringente para o meio

mais réfringente — Supondo que

o raio luminoso propaguese ini-

cialmente no meio menos réfrin-

gente (1), e passe em seguida

a propagarse no meio mais ré-fringente (2) aplicando a lei de

Snell. teremos:

sen i . m = sen r . n2 _________ _ _ _________ , S __________ _ __________ J ------ V------ v

meio (1) meio (2)

Como n2 > ni, então sen r <

< sen i; portanto, r < i (no 1.°

quadrante trigonométrico). Ob-

servando a direção inicial de

propagação do raio incidente, o

raio refratado encontrase mais

próximo da normal que o raio in-

cidente.

Em resumo:

O raio luminoso se aproxima danormal ao passar para o meiomais refringente.

Meio menos

refringente

Meio mais

refringente

0 raio luminoso se aproxima da normal.

— Passagem da luz do meio mais refringente para o meio menos re-

fringente — Supondo que o raio luminoso propaguese inicialmente no

meio mais refringente (2). e passe em seguida a propagarsc no meio

menos refringente (1). a trajetória do raio luminoso pode ser obtida,

li d i í i d i h i i l i d



146

Observando a direção inicial de propagação do raio incidente, o raio

'efratado encontrase mais afastado da normal que o raio incidente.

O raio luminoso se afasta da normal ao passar para o meio menos refringente.

Resumindo:

Meio mais \ Meio menos

refringente - t V refringente

O raio luminoso se afasta da normal.

— Incidência normal — Neste caso, o raio luminoso incidente coin-

cide com a normal. Portanto, o ângulo de incidência vale i = 0!. Ana-

lisando a passagem da luz do meio (1) para o meio (2], e ap içando

a lei de Snell, teremos:

sen 0° . rii = sen r . n*s e n j . ni = sen^r . n2.

meio (1) meio (2)Como sen 0: = 0, temos sen r . ns = 0, e, portanto, sen r = ü =>

r 0a



Importante: Lembrese de que

Vi •/ V_. e, portanto, a luz mudou

de comportamento ao passar de

um meio para outro. Houve re-tração sem desvio.

Resumindo:

Incidência normal

O raio retrata sem sofrer desvio.

Aplicação

A retração na Natureza — Em um meio transparente, porém não-homogéneo, avelocidade ce propagação da luz varia à medida que esta caminha ao longo do meio.

Quando um raio de luz altera a sua velocidade ce propagação sua d ireção do pro

pagação também se altera. Se a velocidade da luz varia oo ponto a ponto, o raio

luminoso sof'e sucessivas mudanças de direção, de modo que sua trajetória apresen ta-se não-rctilínea. Portanto, a oropagação re tilínea dos raios ce luz não ocorrecm um meio não-homogéneo.

Resumindo:

Meio não-homogéneo

♦A velocidade da luz

varia ao longo do meio

▼0 índice de refração r Meio não-homogéneo

varia ao longo do meio

+

A trajetória dos raios de luz énão-retilineo (curvilínea)

O fato de o raio luminoso descrever uma trajetória curvilínea explica interes

santes efeitos ópticos que ocorrem na Natureza, os quais descreveremos a seguir:

Refração na atmosfera (altura aparente dos astros) — Verlfica-se que.para ummesmo meio. quanto menor a sua densidade, menor o seu índice de refração. é

o caso da atmosfera. A densidade do ar na atmosfera diminui gradu alm erte com

a altura relativa ao nível do mar e. em correspondência, o seu indice de refração

também diminui Quando um raio umlnoso proveniente de uma es tre la per e tra na



148

Podemos supor a atmosfera constituída de camadas de ar, tanto maisréfringen tes quanto mais próximas da superfície da Terra. Ao penetrar naatmosfera , um raio luminoso sofre sucessivas refrações aproximando-se da

normal. O obse rvador em O vè a irnsgem da es trela na posição aparente.

Menor indicede refração

Posição

aparente

Posição real

linha do horizonte om O

Observação: Outro efeito bastanto interessanto ocorre devido às correntesmóveis de ar quonte e ar frio da atmosfera . Essas cam adas de ar movem-scem todas as direções, alterando a direção do raio luminoso provenienteda estre la. Temos, então, a Impressão de que a estrela es tá altornandode posição rapidamente. A estre la en tão cintila

A imagem do Sol ó vista, mesmo quando este astro já se encontraabaixo da linha do horizonte do observador. Este fato 6 explicado pelarefração dos raios solares ra atmosfera.

Observação: O achatamento da imagem, observado durante o pôr-do-sol. 6

devido às aberrações na formação desta imagem.

\

do \

I

I

Linna do horizonte



Reflexão total da luz (ângulo-limite)

Quando um raio de luz monocromática sofre refraçào, propagan-dose inicialmente no meio menos refringente e passando em seguida

para o meio mais refringente, temos:• se a incidência for normal (i — CP), o raio luminoso não so-

frerá desvio:•

• se o raio luminoso não coincidir com a normal (i / 0:). apóssofrer refraçào o raio luminoso aproximase da normal (r < i).

No quadro I, observemos a sequência A de raios luminosos,cesde a incidência normal até a incidência rasante. O ângulo de inci-

dência i varia no intervalo de 0° a 90®. À medida que o ângulo deincidência i aumenta, o correspondente ângulo de refraçào r tambémaumenta: porém, temos sempre r < i. Observemos que, quando atin-gimos i — 90°. o ângulo de refraçào vale r = L. Como o ângulo de



150

Da sequência A. podemos então concluir:

Quando o raio de uz propaga-se inicialmente no meio menos

réfringente e incide rasante, após sofrer refraçáo ele penetra no

meio mais réfringente com o máximo ângulo de refração possível:o ângulo-limite L.

Scqüéncia A de raios luminosos: A luz propaga-se inicialmente no meio menosréfringente (menor ndice do refração). passando em seguida a propagar-se nomeio mais refringente (maior índice ce rc f'açao). Observe que se i ^ 0% o raiosem pre se aproxima da normal (r < i). Ouando o raio incide rasante (i —90 ).o ângulo de refração a tinge o seu rraior valor possível (r _ L). sendo chamadode ángulo-limite.

Sequência B de raios luminosos: Apliquemos c princípio do caminho inverso aosraios luminosos da seqüôncia acima (A). A luz propaga-se inicialmente no meiemais refringente (maior índice de refração). passando em seguida a propagar--se no meio menos refringente (menor 'ndice de refração). Observe que se1^ 0°. o raio luminoso se afa sta da normal (r > i). Ouando o raio incide corro ángulo-limite (i - L). emerge rasante (r - 90°). O que acontece rá s e o ângulode incidência for maior que o ángulo-limite (i > U?



A passagem da luz do meio mais reMngente para o meio menos

réfringente pode ser estudada com o auxilio do princípio do caminho

inverso (reversibilidade). A cada raio da seqüência A é possível

fisicamente admitir um raio luminoso que faz o caminho inveso. pas-

sando do meio mais réfringente para o meio menos refrirgente. Po-

demos construir, então a seqüência B de raios luminosos e observara refraçáo da luz. à medida que o ângulo i aumenta.

Quando o raio de luz propagase inicialmente no meio mais réfrin-

gente e incide com o ângulolimite (i — L). após sofrer retração ele

emerge rasante (r = 90") no meio menos réfringente.

Quando o ângulo de incidência for superior ao ângulolimite

(i > L). não existe raio luminoso no meio menos refringente que

satisfaça o princípio do caminho inverso. Neste caso. ocorre o fenô-

meno da reflexão total da luz: nenhuma parcela da luz incidente con-segue escapar para o meio menos refringente. Quando ocorre o fenô-

meno ce reflexão total da luz. a superfície S comportase como uma

superfície cxclusivamente refletora: não há. portanto, retração da luz.

S



152

• Cálculo do ângulolimite —

Na figura A, aplicando a lei de

Snell. temos:sen i . ni = sen r . nj* ____ _ ____ / V ____ _ _____ >v------ vmeio (1) meio (2)

Quando i — 90°, teremos

r = L.

Logo:

sen 90° . ni = sen L . n? =>

=> 1 . ni — sen L . na =>

Indice do / refraçéo mener

=> sen L —ni

n_>

Indice derefraçao malor

Genericamente, temos:

sen LniiH-nor

Hirnl«'

Ou seja, o seno do ângulo*

limite é o quociente entre os

indices de refração dos meios

menos réfringente e mais ré-

fringente.

Através do sen L, podemosdeterminar o valor do ângulo

limite L.

Resumindo:

Reflexão total

O fenômeno da reflexão to-

tal da luz só ocorre se forem

satisfeitas duas condições simul-tâneas:

• O raio luminoso deve propa-

i i i l t i

!

Meio menos

Meio menos

!



153

O ângulo de incidência deve ser maior que o ángulolimite (i > L),

onde:

sen L f lm i lo í

Observe na figura a seguir o comportamento dos raios lumino-

sos emitidos por uma lâmpada colocada no fundo de uma piscina:

I

1. Fibras ópticas

Uma fibra óptica consiste basicamente de um filamento longo e delgado, devidro ou plástico transparente. Guando a luz penetra na fibra em uma de suasextremidades, atinge a sua parede interior com um angulo superior ao ângulo•llmite, ocorrendo então reflexão total. A luz caminha dentro da fibra óptica semescapar, devido às sucessivas reflexões totais, só saindo pc'a outra extremidadeda fibra

As fibras ópticas apresentam grande aplicação na Medicina. O interior do

estômago pode ser fotografado acoplandose um gastroscópio de fibras a umacâmara fotográfica. A luz é enviada pela fibra óptica ató o estômago o. apóssofrer reflexào. retorna à câmara .novamente pela fibra, de modo que o estômago

do paciente pode ser fotografado. As fibras ópticas são também introduzidas emartérias chegando até o coração co paciente: desta forma podese analisar a



154



Em dias de sol intenso, a superfície terrestre sofro urn aquecimento acen-tuado. Devido a isso. as camadas de ar nas proximidades do solo encontramsemais aquecidas que as camadas que se encontram a alturas maiores. Essas varia-

ções de temperatura acarretam mudanças na densidade do ar e. como conse-quência. variações do seu índice de refração. As regiões mais quentes sãomenos densas, e. portanto, menos refringentes. Os raios dc luz que partem deum objeto, ao passarem de uma camada de ar mais refringente para outra menosrefringente. afastamse da normal. Ouando o ângulo de incidência for superiorao ângulolimite estes raios de luz sofrerão rcf.exáu total. C o que oco're comum automóvel numa estrada num dia quente. Podemos obsovar a sua imagematravés da reflexão total, e temos a ilusão dc que a reflexão da luz ó ocasionadapor poças tíe água na estrada, daí entáo o chão parecer estar molhado Isso

ocorre também nas regiões desérticas, onde obsorvamos áreas brilhantes que nosdão a impressão de guardes lagos sobre a areia Esses fenômenos são conheci

0 observador vê a imagem do objeto, como se houvesse reflexão da Ilz numa poçade água. Isso ocorre porque a luz sofre reflexão total. Esse fenômeno é chamadode miragem

3. O arcoíris

Um dos maiores espetáculos de cores na natureza é o arcoíris. No arco•íris intervêm os fenómenos já estudados anteriormente: a dispersão da luzbranca, a refração e a reflexão da luz. Podemos observar um arcoíris quandoestamos de costas para o Sol e temos gotas de chuva no ar acima de nós. Asgotas de chuva agem como pequenos prismas separando a luz branca num espec-



Formaçào de uma faixa colorida do arcoíris

Todas as gotas que enviam uma determinada cor de luz ao olho do observadorestão sobre urra circunferência.

Devido a isso, o observador vê o arcoíris de forma circular.

Oircção doo

raVos soí*«5

Ouando o raio de luz solar (branca) incide numa gota de chuva, penetra nela

separandose num espectro ce cores. C o fenômeno da disporsào da luz branca.Os raios luminosos coloridos sào, em seguida, refletidos internamento na gotae posteriormente emorgcm dela na forma divergente. Somente um raio luminosocolorido de cada gota penetra no olho do observador, como indica a figura acima.Todas aquelas gotas que formam um determinado ângulo visual com o olho e adireção dos raios solares contribuem para a formaçào dc uma certa cor no arco ris. Cstas gotas estáo sobre uma circunferência: é a circunforôncia que obser-

vamos no arcoíris para uma dada cor. As out'as coros do arcoíris formamsede modo análogo, com gotas que estão mais abaixo ou mais acima em relação

à circunferência referente a uma determinada cor.

Luz branca (solar)

Gota de chuva Faixa colorida

Violeta do arcoiris



Faixa

Faixavioleta

Violeta

Azul

Verde

Amarelo

Alaranjado

Vermelho

1. ESCOLA TÉCNICA DE CAMPINAS — Sabendose que a velocidadede uma radiação na água é 3/4 da velocidade dessa mesma ra-diação no vácuo, podemos afirmar que o índice de refração abso-luto da água, para essa radiação, é:

a)

b)

c) 3.d) 4.

e) n.d.a.

R e s o l u ç ã o : Sendo c = velocidade da luz no vácuo c V^KIU— velocidade

da luz na água = — c, temos:

a»V>in— n*>gua



158

2. UNIVERSIDADE DO ESPÍRITO SANTO — O índice de refração deuma substância x em relação a uma substância y é 4/3; o de yem relação a z é 3/2. O índice de refração da substância x emrelação à substância z é:

a) 8/9. d) 3/2.b) 9/8. e) 4/3.

c) 2.

Resolução: O índice de refração da substância x em relação a substânciay (nx, y) 6 o quociente de seus índices de refração absolutos. Assim:

n — — — (D

O índice de refração da substância \ em relação à substância z c dado

então por:

ny I

I

n* 2

( I I )

Dessa forma, podemos calcular o índice de refração da substância x em

relação à substância z (nx J:

n*nx. z = —n*

n*Multiplicandose (I) por (11), teremos — . —

4 3

3 ’ 2— = 2.

nx

Portanto,n,

3.


AMAN — Um raio luminoso amarelo incide com um ângulo deincidência de 30° e refratsse fomando um ângulo de 60° com anormal. O índice de refração do meio que contém o raio retra-tado. em relação ao meio que contém o raio incidente, é:

a) 1. V TV3 d) — '

, v Te) --------.

b)

c)2 _V 2



159

R e s o l u ç ã o : Na figura ao lado,o raio incidente propaga-se nomeio (I), c o raio refratado

propaga-se no meio (II)Sendo n, e nu, rcspcctiva-rnente, os índices de refração

dos meios (I) e (II), podemosaplicar a lei de SnelI:sen i . nt = sen r . nn

Para i = 30° e r = 60°, vem:

sen 30° . ni

«ii

= sen 60° . nn => —2

1 V T

nt V T 3

Portanto,n,: V T

Ui, - = ------ = ------ é oni 3

V T

. n-,

c o índice de refração do meio

(II) (que contém o raio refratado) cm relação ao meio (I) (que con

tém o raio incidente).R e s p o s t a : alternativa c .

. PUC (CAMPINAS) — Um raio luminoso incide sobre uma super-

fície com um ângulo de 45°. passando para o outro meio. Sabendo

se que o índice de refração do segundo meio em relação ao pri-

meiro é V 2. o ângulo de refração será:

a) 45°. d) 38'.

b) 90°. e) n.d.a.

c) 15°.

R e s o l u ç ã o : De acordo com o enunciado, temos o índice de refração do

meio (2), cm relação ao meio (1), ou seja:

n2 —n2l i = — = V 2

nt



160

Aplicando a lei de Snell, vem: sen i . n, sen r . na

Para i = 45°, temos:

nosen 45° . iii — sen r . n2 => sen 45° = sen r . -

n»

n y/T Como — = VT, então: ------= sen r . V T =s>

Portanto, o ângulo de refração será

Resposta: alternativa e.

r 30°

1sen r = —

2

5. MACKENZIE — No caso da refração da luz, podemos impor a

condição de que — = n*. i, sendo i o ângulo de incidência e r or

ângulo de refração, quando:

a) a incidência é praticamente rasante.

b) a incidência é praticamente normal.

c) o índice de refração é muito pequeno.

d) o índice de refração tem valor elevado.

e) é grande o ângulo de refração.Resolução: Para ângulos muito pequenos (de 0o a 5°44'), praticamente

haverá coincidência entre o seno do ângulo e o valor do próprio ângulo

medido cm radianos, ou seja:

ü sCa 5°44' =» sen a « a (em radianos) .

Assim, quando a incidência do raio luminoso for próxima à normal, de

forma que i e r sejam pequenos, podemos escrever:

sen i i

■■» — sen r r

sen i n2Como --------- = ------- = r\2, i, entao



6. UNIVERSIDADE DE SÂO CAR-LOS — Um raio de luz passado vácuo para um meio ma-terial transparente e homo-gêneo, formando os ângulosa e j3 com a superfície deseparação, conforme mostraa figura ao lado. A relaçãoentre a velocidade da luz novácuo c e a velocidade V daluz no meio material é:

ã) V sen a = c cos (3.

b) V sen a _ c sen .3.c) V sen .3 = c sen a.

d) V cos a c cos (3.

e) V cos a = c sen j3.

Resolução: Para o raio luminoso que se propaga inicialmente no vácuo,c passa para o meio material, temos:

Normal

Ângulo de incidência: i — 90 a (O ângulo de incidência é sempremedido em relação à reta normal.)

Ângulo de refração: r = 90 — £ (Ângulo entre o raio refratado e a

reta normal.)Aplicando a lei dc Snell no ponto dc incidência 1, temos:

csen i . nv*cuo ~~ sen r . n^io, onde — c nVÍ'cl>0— 1.

V

Portanto, sen (90 — a) . 1 = sen (90 — (3) . —.V

Como sen (90 -—a) = cos a e sen (90 — p) = cos p, temos:

cos a = cos 3 . — => V cos % — c cos *3V



162

7. FAAP — Um raio luminoso que se propaga num dado meio incide

na superfície de separação desse meio com o ar, fazendo um

ângulo de 30° com a normal à superfície. Sabendose que o índice

de refração do ar é 1.0, que a velocidade de propagação da luzno vácuo é de 3 . 106m/s e que o ângulo que o raio refratado faz

com a normal é de 45°. determine a velocidade de propagação da

luz no dado meio.

Resolução: Na figura abaixo representamos o raio incidente e o corres-

pondente raio refratado, onde i = 30° (ângulo de incidência) e r = 45°

raeiono vácuo = 3 . 10* m/s e = velocidade da luz no meio.

Logo:

sen 30° . naeic = sen 45° . nar =>1

2

c

v ra<io

v T

2

=* V —

t

i 1 > í

o

. V T3 . 10* —*■ *rocio

V T 2 2

Portanto, Vnklo ** 2,1 . 10* m/s

Resposta: A velocidade de propagação da luz no meio será

2,1 . 10* m/s.

8. ITA — Os índices de refração da água e do vidro relativamente

ao ar são. respectivamente. 4/3 e 3/2. Logo, concluise que a

velocidade de propagação da luz no vidro é maior do que a velo-

cidade correspondente na água. Julgar se a afirmativa é falsa

ou verdadeira.Resolução: A partir do enunciado, podemos determinar os índices de

refração absolutos da água e do vidro, pois:

4 3



Como n,r ** 1, teremos — 1,33 C Hv id ro — 1*5 |

Sendo j.-ua — . Vi 'd-,, j , temos que:

flviiiro ^ a ' iu Vvjárt* *C^

Conclusão: Como o índice de refração do vidro é maior que o índice

de refração da água, a velocidade da luz no vidro é menor que a velo

cidade da luz na água, pois índice dc refração e velocidade da luz são

grandezas inversamente proporcionais.

Resposta: A afirmativa é falsa.

9. MAPOFEI — Ao incidir sobre a superfície plana de separação de

um cristai com o vácuo, um raio de luz branca se abre em iequemulticor de luz visível, de ângulo de abertura p, limitado pelosraios 01 e 02. O raio 01 está contido no plano de separação dosdois meios. A tabela fornece os índices ce refração absolutosdo cristal para as diferentes luzes monocromáticas qje compõema luz branca.

a) Calcule os ângulos a e (Aceitase. como resposta, uma fun-ção trigonométrica de cada ângulo, cm lugar do seu valor.)

b) A que cores correspondem os raios 01 e 02? Justifique.

Luzesmonocromáticasque compõem a

luz branca

Índices derefração

(n)

Violeta 1.94 Azul 1,60

Verde 1.44

Amarola 1.35 Alaranjada 1.30Vermelha 1.26

Resolução: Quando a luz branca propaga-se no interior do cristal, as

velocidades de propagação das diversas radiações monocromáticas

componentes são diferentes. Portanto, o índice de refração do cristal

para a luz violeta (n — 1,94) é diferente do índice de refração do mes

mo cristal para a luz vermelha (n = 1,26). O índice dc refração dc

um meio pode ser associado ao desvio sofrido pelo raio luminoso narefração. Isto é:

maior índice de refração I maior desvio



164

Dessa forma, o raio luminoso

violeta sofrerá o maior desviona refração (n = l ,94) c o raio

luminoso vermelho sofrerá omenor desvio (n = 1,26), ao

passarem do cristal para ovácuo.

Portanto, o raio luminoso 01corresponde à luz violeta e o

raio luminoso 02 corresponde

à luz vermelha.

Para o raio dc luz 01 (violeta),

apliquemos a lei dc Snell:sen i . n = sen r . nv'cu„

Luzbranca

Sendo o ângulo de incidência i = a e o ângulo de refração r = 90°, para n = 1,94 e n ^ 0 = 1, temos:

sen x . 1,94 = sen 90° . 1 —> sen a — 1,94

sen i . n = sen r . n.

— 3. para n = 1,26 e n^ .^ = 1, vem:

Como sen a 0,52, temos cos 3 ~ 0,52 . 1,26

sen x 0,52

de Snell:

refração r = 90

. 1,26

C O S 3 0,66

Resposta: a) sen a *= 0,52 e cos 3 » 0,66. b) O raio luminoso 01 cor-responde à luz violeta; o raio luminoso 02 corresponde à luz vermelha.

10. UNIVERSIDADE DO ESPÍRITO SANTO — Um vidro tem índice derefração n = \HT em relação ao ar. O ãngulo-limite de incidênciapara que um raio luminoso passe do vidro para o ar é:

a) 45°. d) 90°.b) 30°. e) n.r.a.

c) 602



Resolução: Quando um raio luminoso propaga-se inicialmcntc no meio

mais refringente (maior índice de refração) c incide com o ângulo-limitc(i = L) na superfície dc separação, após sofrer refração ele emerge

rasante (r = 90°) no meio menos réfringente.

i

O ângulo-limitc é dado por:

( I ) .

t t v i d r o

Do enunciado, temos nvi J r o , a r

Corno nar ** 1, temos nvidlu = \CZ

na

Substituindo em (I), vem:

1

sen L = ------

=íV Tsen L =

7 T

VT

Logo, L — 45° (no l.° quadrante trigonométrico).


11. MAPOFEl — Um raio de luz monocromática passa de um meio (I)a um meio (II), ambos homogêneos e transparentes e cuja super-

fície de separação é plana. O ângulo de incidência é 30: e o raio

emerge no meio (II), formando um ângulo de 60° com a normal.a) Determine o comportamento de um raio de luz da mesma cor,

que forma, no meio (I). um ângulo de 60° com a normal. •



166

Resolução: Determinemos ini

cialmente os índices de refra-

ção relativos dos meios (I) e

(II). O raio luminoso repre

sentado na figura ao lado satisfaz as condições do enunciado.

Sendo i ^ 30° (ângulo de in

cidência) e r = 60° (ângulo de

refração), pela lei de Snell,

vem:sen i .

— . n,2

Portanto,

sen r . nu =3

. v'T

2

ni - v/Tnn

me o (1)

-----y---------- '

meio (II)

nu 1 V T

ni \ T 3

Observe que n, > nu; o meio (I) é mais réfringente que o meio (II).

a) Como o meio (I) é mais réfringente que o meio (II) (n, > nn), po

derá ocorrer reflexão total do raio luminoso desde que o ângulo de

incidência (i — 60°) seja superior ao ângulo-limitc (i > L).Determinemos o valor do ângulo-limitc:

V Tsen I . =

"n

n,sen L =

v 'T

Para o ângulo de incidên

cia i = 60°, temos:

sen i = sen 60°V ?

Como sen 60° > sen L, podemos concluir que 60° >

> L (no I.° quadrante tri

gonométrico).

Logo, i > I '

Como o raio incidente en

contra-se no meio mais

refringente, e o ângulo deincidência é maior que o

ângulo-limitc (i > L), ocorrerá reflexão total da luz



b) Para o raio incidente (i — 30°) que sc propaga inicialmente no meio (II), podemos escrever a lei de Sncll:

sen i>rJ lü =meio (II) meo (I)

=> sen 30° . nn =

= sen r . 0 | =í

1=> — . nn = sen r . ni

=>

sen r =

nu

ni

Comonu

ni

sen r =V T

V T

31

2

sen r =V T

O raio luminoso sofre refração, formando no meio (1) um ângulo

r, cujo seno é dado acima, ou: r = arc sen

Resposta: a) Um raio de luz incidindo sob um ângulo de 60° e propa

gando-se no meio (I) sofrerá reflexão total, b) Um raio de luz incidindo

sob um ângulo dc 30° no meio (II) sofrerá refração.

12. ESCOLA POLITÉCNICA DAUSP — Uma pequena lâmpa-da achase 1 m abaixo da su-perfície livre da água contidanum tanque exposto ao ar.O índice de refração da água

4é igual a — para a luz emi

3tida pela lâmpada. Qual oraio mínimo (R) de um discoopaco colocado junto à su



168

.Resolução: Dos raios luminosos emitidos pela lâmpada, só conseguem

passar da água para o ar aqueles cujos ângulos de incidência não

ultrapassem o ângulo-limilc L. Se o ângulo de incidência for superiorao ângulo-limite (i > L) ocorrerá reflexão total, pois a água c mais

refringente que o ar (ntt-KUH> n,r). A figura a seguir ilustra esta situação.Portanto, os raios luminosos que partem da lâmpada F e sofrem refra-

■ção na superfície da água estão situados em um cone de vértice F e

ângulo dc abertura 2L. Colocando-se um disco opaco na região cmque os raios luminosos sofrem refração (AB), impediremos que qualquer raio de luz possa emergir para o ar. Fora da região AB em que

se encontra o disco, os raios dc luz sofrerão reflexão total.

' F x

Observando a figura, temos, no triângulo retângulo FOB: tg L

Portanto, R = h tg L; para h = 1m: R = tg L .



Logo, sen L — — 4

Como cos L = V 1 — sen2 L, então

3

sen L 4

cos L _ VT

Portanto, tg I----3 VT

cos L VT vT

4

Assim, tg L3 V T

Sendo R = tg L, então R — 3 VT

Resposta: O raio mínimo do disco vale

1. MEDICINA DE TAU BATE •— O índice de refraçâo absoluto dc um meio é:

a) diretamente proporcional à velocidade de propagação da luz no seuinterior.

b) inversamente proporcional à velocidade de propagação da luz no seuinterior.

c) dirctamente proporcional ao ângulo de incidência da luz.d) inversamente proporcional ao ângulo de incidência da luz.e) diretamente proporcional ao seno do ângulo de convergência.

2. UNIVERSIDADE DO ESPIRITO SANTO O índice dc refraçâo de umasubstância pura e transparente:



170

3. MACK.ENZIE — Sabendo-se que a velocidade da luz num determinadocristal é igual a 3/5 da velocidade da luz no vácuo, podemos afirmar queo índice de refraçào do cristal c:

d) 2/3.e) Não sei.

4. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Dois recipientes de vidro trans parente contêm respcctivamentc água c tetracloroetileno. ambos completa-mente transparentes. Duas barras de vidro, transparentes, idênticas, são mer-

idas nos recipientes. A parte imersa na água continua quase que tão;l como fora. A parte imersa no tetracloroetileno fica completamenteívcl. O vidro fica invisível porque:

dice de refraçào do vidro é maior que o do ar. b) o índice de retração do vidro é menorque o da água.c) o índice de refraçào do tetracloroetileno é muito menor que c do vidro.d) o índice de relração do tetracloroetileno é igual ao do vidro.c) oíndice de refraçào do tetracloroetileno é muito maior que o do vidro.

5. UNIVERSIDADE DO PARÁ Assinale a alternativa certa:

O índice de refraçào de um meio em relação a outro é dado pela relaçãoentre:a) o seno do ângulo de incidência c o seno do ângulo de refraçào.

b) o ângulo de refraçào c o dc incidência.c) o seno do ângulo dc refraçào e a tangente do ângulo dc incidência.d) o seno do ângulo de incidência e o seno do ângulo dc reflexão.e) a tangente do ângulo de incidência e o seno do ângulo de refraçào.

6. UNIVERSIDADE IX) ESPÍRITO SANTO — Na figuraao lado, S c uma fonte luminosano interior de uma placa devidro de índice de refraçào n == 1,5. A relação entre os ângulos de incidência e refraçào é:

a) 0, 1d)

0, n

b) 9i = n. e)0,

sen 0l 1c)sen 01» n

sen 02

cos Oi

cos 0;.

i



%

W 171

7. PUC (BAHIA) — Para se cal

ular o índice de refração absolutoc uma substância foram feitas, noácuo, diversas medidas do ângulo defração lí), dc um raio de luz moocromática, em função do seu ânulo de incidência (i) sobre uma placaesta substância. Os senos destesngulos foram registrados no gráficoo lado:

ual c o valor do índice de retraçãobsoluto da substância?

a) 0,50b) 1,0

c) 1.5

stos dados se referem às questões 8 e 9.m raio luminoso passa de um meio (1) a um meio (2), de índices de refração

bsolutos, respectivamente, m e p,a (ver figura).

d) 2,0

e) 2,5

Meio (2)

8. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O índice de refração do meio (2) cmrelação ao meio (1) é dado por:

a) |ia /|i j.

b) (|iv)2/({A,)-.

c) Hi / hj».

d) 1 -

e) 1 +

Hi_

V-2

Hl

. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS É válida a seguinte relação:

1*2PT Ha Hl



172

10. PUC (CAMPINAS) — Com o auxílio de um aparelho especial foi possívelmedir a velocidade ce um feixe de luz monocromática dentro de dois sólidostransparentes. No sólido A a velocidade da luz é maior que no sólido B.

Nestas condições, o índice de refração:

a) do sólido A c maior que o do sólido B.

b) do sólido A é menor que o do sólido B.

c) não pode ser determinado porque não é suficiente o conhecimento dasduas velocidades.

d) do sólido A deve ser igual ao de B por se tratarem de dois sólidos trans parentes.

c) A pergunta é absurda porque a velocidade da luz é uma constante un

versal.

11. UNIVERSIDADE DE PONTA GROSSA — Quanto maior o índice derefração absoluto de um meio:

a) maior a velocidade de propagação da luz no seu interior.

b) menor a velocidade de propagação da luz no seu interior.

c) maior será o ângulo de refração.

d) maior será o ângulo de incidência.

e) n.d.a.

12. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE IORA — Sabendo-se que os índices derefração de um cristal c da água são. rcspectivamentc. 5/4 e 4/3, a rciaçãoentre a velocidade da luz no cristal c a velocidade da luz na água c:

a) 20/19.

b) 16/15.

c) 15/14.

d) 11/16.

e) n.r.a.

13. UNIVERSIDADE DO CEARA — Considere a figura ao lado.O índice de refração do meio(2) é que o índicedo meio (1) c a velocidade daluz no meio (2) é .................

que a velocidade no rneio (1).Assinale a opção que completana ordem c corretamente as lacunas acima:

a) maior, maior.



14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O círculo da figura cconstituído por dois semidiscos,

dc lucite (n, - 1,4) e dc vidroespecial (n2 = 1.6). justapostos pelo plano diametral (AC). Estãoainda representados três raios: ^incidente, refletido c retratado.Pode-se considerar que:

1 — ACD c o semidisco dc lucite.II — Ji pode ser um raio incidente.

I I I — u i não pode ser o raio retratado.

15. CESGRANRIO — Dentre asdireções indicadas pelas letrasA, B, C. I) e E de um raioluminoso que passa do vidro para o ar. qual a única que poderepresentar a situação real. sa

bendo-se que o raio emergentetem a direção xy indicada nafigura?

a) A b) Bc) Cd) Dc) E

16. CESGRANRIO — Uma fonteluminosa S está imersa na águade uma piscina. Considere oraio SI emitido pela fonte.

Qual das figuras propostas representa corretamente o raio refletido e o raio refratado, na superfície da água?

Ar



174-

17. UNIVERSIDADE DF VIÇOSA

— A figura ao lado mostra umraio de lu/ monocromática quese propaga no ar incidindo nocentro de um hemisfério de vidrotransparente sob um ângulo deincidência 0-A figura que melhor representa a direção tomada pelo raio refratado apósincidir sobre o hemisfério dc vidro é:

18. CF.SGR.ANRIO — Um raio dcSol (S) incide em P sobre umagota de chuva esférica (o centroda gota é O).Qual das opções oferecidas re

presenta corretamente o trajeto

do raio luminoso através dagota?a) I

b) IIc) IIId) IV

c) V

19. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Das trajetórias tracejadas para o raioluminoso, as possíveis são: 4a) 1 e 4.

b) 1 c 6.Ar

c) 2 c 5.d) 3 4

6------

1



% 175

20. MACKENZIE — Seja E umespelho esférico dc pequena abertura mergulhado num líquido deíndice dc refração n. Seja S

uma fonte de luz que envia umiaio lumino&o paralelo ao eixo

principal do espelho, como mostra a figura.Esvaziando a cuba. o raio refletido passará por um ponto do eixo principal,cuja distância ao vértice V é f':

a) igual à distância f anterior. b) maior que a distância f anterior.c) menor que a distância f anterior.

d) Nada podemos concluir sem o conhecimento dc n.e) n.d.a.

21. ENGENHARIA DE SÂO CARLOS — Sabemos que a imagem do Sol évista mesmo quando esse astro, efetivamente, já se encontra abaixo da linhado horizonte do observador. Isto se explica, levando-se em conta:

a) a reflexão dosraiossolares pelo céu. b) a reflexão dosraiossolares pela Lua.c) a refração dosraiossolares pela atmosfera.

d) a rotação da Terra.c) a reflexão dosraiossolares pela atmosfera.

O enunciado abaixo refere-se à questão de número 22.O índice de refração (n) de um gás depende de sua pressão (P). conformeo gráfico seguinte:

22. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Qual dos seguintes gráficos melhor



17C

23. UNIVERSIDADE DE FORTALEZA — São dados dois meios transparentes (1) e (2 ). cujos índices de refração guardam a relação: na = 2 n,. Oângulo-li mi te dc refração do meio (2 ), relativamente ao meio (I), é:

a) 15°. c) 45°.

b) 30°. d) 60°.

24. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Um raio luminoso que se propaga em um meio (A) atinge a superfície que separa esse meio de outro(B), e sofre reflexão total:

a) (A) é menos refringente que (B) e o ângulo dc incidência é menor doque o ãngulo-limite.

b) (A) c mais refringente que (B) e o ângulo de incidência é maior do queo ângulo-limite.

c) (A) é mais refringente que (B) e o ângulo dc incidência é menor do queo ângulo-limite.

d) (A) é menos refringente que (B) e c ângulo de incidência é maior cioque o ângulo-limite.

e) Nenhuma das proposições precedentes se aplica.

25. UNIVERSIDADE DE PELOTAS — Um raio luminoso monocromáticoestá passando de um meio (1) para um meio (2). Sendo Vr e V2 as velocidades da luz nesses meios c nx e n., os índices dc refração correspondentes,a reflexão total poderá ocorrer, se:.

a) V, < Vo.

b) n, < n2.

c) Vo < Vj.

d) Vo = V, - 1.

e) V,n, = V2na.

26. PUC (SAO PAULO) — Dada a tabela:

Material fndicc de refração absoluto

Gelo 1,309

Quartzo 1,544

Diamante 2,417

Rutilo 2.903

c possível observar reflexão total com luz incidindo do:

a) gelo para o quartzo,

h) gelo para o diamante.

c) quartzo para o rutilo.

d) rutilo para o quartzo.

e) gelo para o rutilo.



27. MEDICINA DA SANTA CASA — Um raio de luz se propaga num líquidode índice de refração 1,4, aproximando-se da superfície de separação entreesse líquido e o ar, segundo um ângulo de incidência a, tal que ser. x = 0 ,8 .

Assinale a afirmação que melhor sc aplica ao enunciado.a) É impossível predizer o comportamento do raio de luz com base apenas

no enunciado.

b) O seno do ângulo de refração do raio emergente será menor que 0 .8 .

c) Ocorrerá reflexão total do raio incidente.

d) O seno do ângulo de refração do raio emergente será maior que 0 .8 .

e) O raio será totalmcnte absorvido.

28. ENGENHARIA MALÁ Paramedir o índice dc refração deum líquido em relação 3 0 ar,coloca-se uma pequena quantidade dele sobre um hemisfériode vidro, dc modo a formaruma fina película, como indicadona figura ao lado. Fazendo-se

incidir um raio de luz sobre ohemisfério, mede-se o ângulo deinclinação £ para o qual sc dáa reflexão total. São dados: nv==- índice dc refração do vidroem relação ao ar =1,52; jU== ângulo de incidência para reflexão total = 45°; sen 45° == cos 45° —0,71. Determine:

a) o índice de refração do líquido usado; b) a faixa de valores de índices de refração que se podem medir com

esse processo, utilizando-se esse hemisfério.

29. CTA (COMPUTAÇÃO) — Um prato circular de 20 cm de diâmetro bóianuma lagoa dc águas transparentes. O índice dc refração da água é 1,33.O cone, dentro do qual o peixe podo nadar sem ser avistado por alguémfora da água, tem ângulo da secção plana que passa pelo vértice do cone

e pelo centro do prato:a) igual ao ãngulo-limite.

b) igual ou maior que o dobro do ângulo-limite.

Pe icula



30. 1TA — O índice de retração do ar é função crescente da densidade domesmo. Assinale qual ou quais afirmações abaixo são justificadas pela pro -priedade citada.

a) A posição das estrelas é mais elevada que a real.

b) A posição aparente das estrelas é menos elevada que a posição real.c) A ilusão de óptica de existência de poças de água cm estradas asfaltadas

em dias quentes c secos.d) A profundidade de uma piscina é maior que a observada visualmcntc.e) Nenhuma das anteriores.

31. FU NDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O arco íris é produzido por:

a) retração e reflexão da luz vinda diretamente do Sol por gotículas deágua.

b) refração e reflexão da luz solar direta por vapor de água.c) reflexão da luz solar difusa por vapor de água.

d) espalhamento da luz solar difusa por pequenas partículas suspensas naatmosfera.

e) interferência da luz solar vinda dirctamente do sol. devido à diferençadc comprimento de onda de luz das diversas cores.

1. b 2. a 3. b 4. d 5 a 6. c

9. a 10. b 11. b 12. b 13. b

14. 1 — errade;

II — certo;III — certo.

15. c 16. a 17. d

25. a 26. d 27. c

28. a) :iL 1,08;

b) 1 < nL <1.52.

29. b

18. C 19. e 20. g 21. c 22. c 23. b 24. b



Dioptro plano é o conjunto formado por dois meios réfringentes

diferentes, separados por uma superfície plana.

Na figura abaixe, o ar e a água da piscina são dois meios réfrin-

gentes diferentes, e a superfície S que os separa é plana. O conjunto

desses dois meios réfringentes e a superfície S constitui o dioptro

plano ar-água.

O ar, a água e a superficieplana S constituem um diop-tro plano

Superficie plana

s /

O comportamento de um raio de luz, ao sofrer refração. já foi

estudado através da lei de Snell. Vamos agora analisar o comporta-

mento de um pincel de luz ao sofrer refração na superfície S. O diop-

tro plano será estudado como um sistema óptico, e em relação a ele

interpretaremos a formação de imagens. Como exemplo ilustrativo,

consideremos o dioptro plano arágua, representado nas figuras que

seguem:• 1.# caso: Objeto na água — A luz que parte do pontoobjeto P,

imerso na água, incide na superfície S na forma de pincel de luz. Re-

presentamos o pincel incidente através de dois raios de luz. O pontoP é o vértice de um pincel incidente cônico divergente: é, portanto,

um ponto-objeto-real (POR) em relação a S. No exempio, os dois

raios de luz que definem o pincel incidente são:

• raio incidente perpendicular à superfície (incidência normal);

• raio incidente oblíquo à superfície.O raio de luz que incide perpendicularmente â superfície refrata

sem sofrer desvio, e o raio que incide obliquamente refrata afastando

se da normal Podemos então “visualizar" o pincel refratado O



* 181

Menosréfringente

S Ar

Maisréfringente Água

p A

Pincel emergente

do sistema S

Pincel incidentesistema S

p /V " Ponto-objeto-real

(POR)

_L «^cPonto-i mage m-virtual (piv)

POR

Em suma. o observador colocado em O não enxerga o objeto naprofundidade d; enxerga a imagem P' na profundidade aparente d'.•

• Aplicações

Devido à retração da luz, um peixe é visto, por um observador fora da água.numa profundidade aparente, menor que a sua orofundidade real.

O dioptro plano fornece de cada ponto do lápis imerso na água uma imagemmais próxima da superfície. Um observador fora da água. o lápis, veráo mesmo'desviado para cima“. O lápis parece estar quebrado, devido ã refraçãoda luz. —



182

• 2.* caso: Objeto no ar — A luz que parte do pontoobjeto P. imersono ar. incide na superfície S O ponto P é um pontoobjetoreal (POR) em relação a S. p

O raio de luz que incide perpendicularmente à superfície refratasem sofrer desvio, e o raio que incide obliquamente refrata aproxi-mandose da normal. Podemos, então, “ visualizar” o pincel refratado.O ponto P' é o vértice do pincel emergente cônico divergente; é. por-

tanto, um pontoimagemvirtual (PIV) em relação a S.

Ò observador colocado dentro da água em O não enxerga o objetona altura d. e sim. a sua imagem na altura aparente d'.

• 3.° caso: Objeto virtual — Através de uma lente de vidro (sistemaauxiliar), podemos obter um pincel de luz cônico convergente. Opincel cônico convergente obtido passa a incidir na suoerfície S. Oponto P é um pontoobjetovirtual (POV) em relação a S. pois é o vér-

tice do pincel incidente cônico convergente em S.



Os raios incidentes na superfície S refratam aproximandose da

normal. O ponto P' é o vértice do pince emergente cônico conver-

gente: é. portanto, um ponto-imagem-real (PIR) em relaçáo a S.

Ó Conclusão: A partir dos três casos anteriores, podemos genera-

lizar:

0 objeto e a imagem estão sempre situa-

Dioptro ■k dos no mesmo meio.

plano ■r Quando o objeto é real, a imagem é virtual.

Quando o objeto é virtual, a imagem é real.

• Equação de conjugação do dioptro plano — Façamos agora o es-

tudo analítico de um dioptro plano. Na figura, a luz propagase inicial-

mente no meio (2), passando em seguida a se propagar no meio (1).

= IU

= n i

1 S

2

Sendo d' a distância da imagem à superfície S. d a distância doobjeto ã superfície S, n,„ o índice de refração do meio que a luz se

propaga inicialmente, antes de sofrer refração. e np8„, o índice de

refração do meio para o qual a luz passa, após sofrer refração, prova

se que:

d' np„*a

d nin

Equação de conjugação do dioptro plano

Importante: A equação de conjugação do dioptro plano só é válda para peque-



184

Complemento

Lâmina de faces paralelas é o corpo transparente que possui duas faces planas

e paralelas. Nas f :guras seguintes representamos uma lâmina de laces paralelas

de vidro e o caminho descrito peo raio luminoso morocromático. ao penetrar e

emergir da lâmina, sofrendo duas relrações sucessivas. A lâmina encontrase

imersa no ar.

• O raio de luz prepagase no ar e incide na lâmina, sob ângulo do incidência i.

• O raio de luz penetra na lâmina aproximando se da normal, pois n idru > nJf

No ponto A. pela lei de Snell, temos:

• O raio de luz atinçe em seguida o ponto C. formando tamoém o ângulo r com

a reta normal. 'As retas normais em A e C são paralelas.)

No ponto C. pela lei de Snoll. temos:

S e n r • " v id ro = S e " >' • " a r 0 0 ___________

De (I) e (II). vem: sen I . nar = sen V . nar= ^ sen i sen i' => [ i — í' l

Conclusão: Numa lâmina de faces paralelas, onde os meios de incidência e

emergência da luz são idênticos, o raio de luz emerge da lâmina paralelamente ao

raio incidente. O raio de luz nào sofre desvio angular, sofro apenas um desloca-l l d

Vidro

Ar

Ar

sen i . nar = sen r . nvldl (I). onde r é o ângulo de rofração.

Vidro

Ar

-

Ar



Cálculo do deslocamento lateral (d) — Calculemos o deslocamento^ ^ (-n(j[ ce

de um raio de lur. ao incidir o emergir de uma lãrrina de facei [><* taj que

de refração nL. espessura e e ime'sa num meio de índico dc rC u

"m< ni- i

=> d = AC . sen (i - r) (I).

No triângulo retângulo ABC. temos: cos r - => AC = - (II). AC

cos r

Substituindo (II) em (I). vem:

O deslocamento lateral d depende:

• co ângulo de incidènc;a do raio luminoso (i):

d d lâ i ( )



186

Análise da expressão do deslocamento lateral — Uma análise matemática rninuciosa da expressão do deslocamento lateral nos mostra que:

1) Quanto maior o angulo de incidência i, maior será o deslocamento latera d.

Assim, quando i = 0“ teremos r = 0“. Consequentemente, sen' (i - r) = 0 =>=> d = 0 (deslocamento mínimo).

| N

Quando I —90* (incidência rasante), o deslocamento lateral será máximo (d = e).

I - 90* j L —ángulo-limlte

i

ii

2) Fixados o ângulo de incidência e os índices de refraçáo da lâmina e do meioexterno, quanto maior a espessura da lâmina, maior será o deslocamento lateral



i

Lâmina

Meio

Meio

e» > oi.=> d* >d:

3) Fixados o ângulo dc incidência o a espessura da lâmina, quanto maior o irdicede refração da lãmira em relação ao meio externo, maior sorá o deslocamento

lateral.

• Aplicações

I. Observe a figura a seguir:



138

2. Ao olharmos através de uma vidraça (lâmina de vidro) a imagem de um objetoé observada ma s próxima do observador que o próprio objeto.

ObjetoPontoimagom•virtual

(imagemconjugadapola lâmina)

Vidro

Observador

3. Se o írdice de refraçâo absoluto do meio (nM) onde a luz se propaga inicial-mente for maior que o (ndice de refraçâo absoluto da lâmina (n,). isto é. nM> nL.teremos o seguinte esquema:

Meio

Lâmina

Melo

Nesto caso, a expressão do deslocamento lateral é obtida de modo

do caso anterior (ouando nM < n ,), e é a seguinte:

sen (r i)(i< D

cos r

análogo ao

1. PUC (RIO DE JANEIRO) — Um objeto encontrase no fundo de

uma piscina na qual a profundidade da água é de 2.6 m. O índice

4de refraçâo da água é — . Um observador fora da água, na vertical

que passa pelo objeto, visa o mesmo. Determinar a elevação



Resolução: O observador posicionado cm O enxerga a imagem P' na

profundidade aparente d'.

Temos: d —distância do objeto à superfície S = 2,6 m; d ' = distância4

da imagem à superfície S = ?; n,„ = na?U3 =—

(índice de ref ração do

meio que a luz se propaga inicialmente, antes de sofrer refração);

npav>i = nar ««* I (índice de refração do meio para o qual a luz passa,

após sofrer refração). o

Pela equação do dioptro plano, para pequenos ângulos dc incidência,

temos:

d Upanj d' n,r d' 1

d nin d ttijjua 2,6 4/3

0 dioptro plano fomccc

=> d '= 2,63

4=> d' = 1,95 m <

uma imagem virtual (P') si

tuada a 1.95 m da super-

fície S.

Para o observador O, o objeto parece estar a uma profundidade d'. Esta

profundidade c aparente, pois o observador enxerga a imagem P', e não

o objeto.

Portanto, o objeto sofre uma elevação aparente, onde:.

elevação aparente —d — d '— 2,6 1,95 = 0,65 m



190

2. MACKENZÍE — Consideremos para um determinado instante aseguinte situação:

1) A seja uma andorinha que se encontra a 10 m da superfícielivre do líquido;

2) P seja um peixe que se encontra a uma profundidade h dasuperfície S:

3) n = 1,3 seja o índice de refração da água,podemos afirmar que:

a) o peixe verá a andorinha só se estiver a 10 m de profundidade.

b) o peixe verá a andorinha a uma altura aparente de 5 m.c) o peixe verá a andorinha a uma altura aparente dc 13 m.

d) o peixe não verá a andorinha, pois a luz não se propaga de ummeio mais refringente para outro de menor refringência.

e) o peixe verá a andorinha a uma altura aparente de 26 m.

Resolução: Vamos admitir que

os ângulos dc incidência c re-fração sejam pequenos. Desta / j

forma, c válida a equação deconjugação do dioptro plano:

P

Agua

Ar

%

Admitindo-se que:

No caso do peixe observandoa andorinha, o trajeto do raio

luminoso é o esquematizado a

seguir, onde npaJsa = n*^, =

= 1,3; nin = nir I; d == 10 m.

d nin

Acuo

Ar

P



Assim:cl' ■agua d'

10

1,3

d' _ 13 m {O dioptro plano fornece uma imagem virtual(A') a 13 m da superfície S. Portanto, a altura

aparente da andorinha vale 13 m.


ENGENHARIA MAUÁ — Umafonte luminosa pontual Pestá colocada em um líquido

de índice de refração nL = 2e na posição indicada na fi-gura. sendo as distânciasmedidas em metros. O raiode luz PO. após sofrer refra-ção. tem o seu prolonga-mento passando por Pi. Cal-cular o alçamento PPi = D.

Resolução: No esquema abaixo, representamos o raio de luz Pt) e seu

angulo de incidência i.

Do triângulo retângulo PIO:

IO 0,5 m _ 1

~ 2sen t —

PO 1,0 m

Como sen i = —

2i = 30°

Como o ângulo de incidênciavale 30°, não podemos aplicar

a equação do dioptro plano,

que é válida somente para pe-

quenos ângulos. Aplicando a

lei dc Snell para o raio de luzincidente no ponto O. temos:

sen i . nL= sen r . nar



192

Portanto, o raio de luz emergirá do líquido, rasante à superfície dcseparação ar-líquido. O ponto P | estará então sobre a superfície dcseparação. Portanto, D = PP, _ \/ 0,75 m.

Resposta: O alçarnento PP, c igual a D = \/~Ó,75 m.

4. ESCOLA POLITÉCNICA DA USP — Uma lâmina de faces paralelastem 8 cm de espessura e seu índice de retração é N. Esta lâminaestá mergulhada num meio de índice de retração n. Sabe-se queN/n — 1,5. Determinar o deslocamento lateral que experimentaum feixe estreito de luz quando o ângulo de incidência dos raiosé igual a 30°. Supõe-se q je se trata de luz monoc-omática.

Resolução:

• Ap!icando‘a lei de Snell no ponto I, vem:N

sen i . n = sen r . N => sen i = sen r . — n

NSendo i = 30° e ------= 1,5, temos:

n

• O deslocamento lateral d para a lâmina dc faces paralelas é dado

por à — c .

sen (i —- r)

cos r

Para i = 30° e e — 8 cm, vem d = 8 . sen (30° —r)cos r

(2).



Calculemos os valores de sen (30° — r) e cos r:

':4W fàZ W 193

Apêndice matemático

------- I------------------- ------------ '-------- --------------

sen* r -f- cos- r — 1—

cos2 r = 1 - sen2 r => cos r = y/ 1 —sen2 r

Para sen r = — (ver expressão 1), vem:3

cos r = / , - ( ! ) s' = / cos r — 2 v T

sen {i — r) = sen i . cos r — sen r . cos i

1 2 V TPara i = 30°, sen r = — e cos r = --------- , vem:

3

1 2 \ T 1sen (30° — r) = — . ----------------

2 3 3

3

v T

-------------- ~ Vt v T

3 6

Voltando na expressão (2), podemos escrever:

\ T VT

= 4

V 't 6 / x /Td = 8 .

( •? ?»\ T

d6 v 2

v t

4



194

5. ITA — Um raio de luz incide

sobre uma lâmina transpa-

rente de faces paraíelas. de

espessura a e índice de re

fração n. Calcular o deslo-camento sofrido pelo raio

de luz, ao atravessar a lâ-mina, supondo que o ângulo

de incidência a seja peque-

no. (Utilizar as aproxima-

ções: sen a « a e cos a »

~ 1 . )

a) x =« aa (Y f — )

b) x ax(1 — n).

c) x «=«aa 1 — J .

d) x <=* aa(1 f n).

e) x ** aa(n — 1).

Resolução: O deslocamento lateral que o raio de luz sofre ao atravessara lâmina c dado por: ,

sen (i — r)d = e . ---------------

, ondecos r

d =

e =

Logo, x = a .sen (a — r)

x

a

a

cos r

Para pequenos ângulos, o seno do ângulo e o valor do ângulo em radia-nos sào praticamente iguais.

Sendo a pequeno, r também o será. Dessa forma, sen (a — r) ^ (a — r)

e cos r w 1.

Portanto,a . (a - r)

1

Apliquemos a lei de Snell no ponto I: sen a . nar = sen r . n (nar ^ 1).

aPara pequenos ângulos, vem x . 1 r . n r = —.

n

Substituindo-sc em (I), temos:

x «*> a . =» x aa ( 1 1 )V n / V n '




6. MAPOFEI — Uma estufa é coberta com uma lâmina de vidro(n = 1.3) horizontal, de espessura 10 mm e de faces paralelas.

Existe algum ângulo de inclinação do Sol, em relação à vertical

do lugar, para que o mesmo não seja visível a um observador

postado dentro da estufa? Justifique.

Resolução:

• Uma estufa consta funda-

mcntalmcntc dc um am

biente com telhado de vi

dro. A incidência da luz

solar (raios paralelos) permite o aquecimento do ar

interno à estufa. Como o ar

interno é mais quente que o

ar externo, o índice de re-

fração do ar interno será

menor que o do ar externo.

Isto ocorre porque o ar

mais quente é menos denso,c quanto menor a densidade

do ar, menor seu índice de

refração. O raio luminoso

não emergirá da lâmina

paralelamcnte ao raio inci-

dente, pois os índices de

refração dos meios de inci

dência e emergência do raio

dc luz são diferentes

(n * r externo ^ a r interno)*

Raios sola-esparalelos Ar oxterno

• Apliquemos a lei de Snell nos pontos I c I':

ponto I: sen i . n„ olcrxlo = sen r . n

ponto I': sen r . n = sen V . nar :nlern(>

I ortanto, sen i . n*, r«tcmo — sen i . n.r intento*

Para i' = 90°, temos i = i (figura).



196

Assim, sen T . nar„ !eiIK, = sen 90° . nmr lntern0 => sen i =

. n ar imerno=> i = arc sen ------------ .

n^r externo

n«r Interno

^ar externo

A partir das condições an

teriores, sc o raio de luz

incidir no ponto I com i > I,o ângulo r ultrapassará o

ângulo-limite na passagemvidro -> ar interno e, por

tanto, ocorrerá a reflexão

total. Dessa forma, o obser

vador interno à estufa não

terá condições de ver o Sol.

Resposta: Para ângulos de inclinação do Sol, em relação à vertical do

lugar, maiores que i, ele não será visível para um observador internoà estufa.

7 Y ©

1. FII.OSOFIA (USP) — Suponhamos que você queira acertar, com uma lançaum objeto que esteja no fundo dc um lago relativamente raso. Você deveatirar a lança:

a) acima do ponto onde você vê o objeto.

b) diretamente no ponto onde você vê o objeto.c) acima ou abaixo do ponto onde você vê o objeto, dependendo da dis

tância em que ele sc encontra.d) abaixo do ponto onde você vê o objeto.



2. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Um observador, situadoem um meio transparente de ín

dice de refração n,, observa o ponto P, que está à distância xda superfície de separação dedois meios. Sendo na o índicede refração do meio (2), e analisando se a figura ao lado, qualdas seguintes afirmações é verdadeira? (Dj c n2 finitos.)a) Se n, < n2, o observador “vc” o objeto mais próximo da superfície de

separação. b) Se n, < no, o observador “vê” o objeto mais distante da superfície de

separação.c) Se n, ;> n , o observador “vê” o objeto mais próximo da superfície de

separação.d) Se n, > n2, o observador “vc” o objeto no infinito.e) Se n, = n2, o observador não “vc" o objeto.

3. PUC (SÀO PAULO) — Uma barra MN é colocada num recipiente prismático, conforme indica o esquema (ai. A seguir, coloca-se agua no recipiente

até a altura h, esquema lb). Urn observador O observa a barra antes cdepois de ser introduzida água no recipiente. Para ele, a barra em (b) parece:

.t) quebrada e a extremidade N b) quebrada e a extremidade Nc) retilínea e com comprimentod) retilínea c com comprimentoa) retilínea e com comprimento

deslocada para cima.deslocada para baixo,igual ao dc (a), maior que o de (a), menor que o de (a).

4 MLDICINA DA SANTA CASA — O índice de refração da água em relação ao ar é 4/3. Uma moeda, no fundo de uma piscina dc 1,80 m de profundidade, vista do ar, segundo uma linha dc visada vertical, aparenta estari) profundidade de:



198

5. UNIVERSIDADE DO ESPIRITO SANTO — O índice derefração do meio (I) c menorque o do meio (2): nj < na. Um

raio luminoso que incide de (1)cm (2), conforme a figura, seguirá o caminho:

a) A. d) D. b) B. e) E.c) C.

(i. MEDICINA DA SANTA CASA — Sabe-se que os índices dc refraçãoabsolutos do ar, benzeno c luciie são, rcspectivamcnte, 1,00, 1,50 e 1,50, para uma luz alaranjada, no vácuo. Um raio de luz alaranjada atravessaum tanque de vidro contendo um bloco de lucite que está imerso em benzeno. O diagrama que melhor representa a trajetória do raio luminosoesquematizado é:

7. FUVEST — No esquema abaixo, temos uma fonte luminosa F no ar,defronte a um bloco de vidro, após o qual se localiza um detetor D.

Observe as distâncias e dimensões indicadas no desenho.São dados: índice de refração do ar = 1,0, índice de refração do vidro emrelação ao ar = 1,5 c velocidade da luz no ar = 300 000 km/s.

a) Qual o intervalo dc tempo para a luz se propagar de F a D? b) Represente graficamente a velocidade da luz, em função da distância, a

contar da fonte F.

i

1 m

í____ ______

Vidro dJ



8. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA Duas camadas dc faces paralelas, feitas dc material transparente de índices de refração 1.45 c 1.60.são justapostas c imersas no ar. Um raio luminoso penetra na primeiracamada, com ângulo dc incidência igual a 30°. Ao emergir da segundacamada, o ângulo de refração é igual a:a) 90°. d) 45°. b) 30°. e) 60°.c) 15°.

0 enunciado a seguir se refere às questões do 9 a 11.É dada a seguinte tabela, de índices de refração aosolutos de diversas substâncias:

Substância Indice absoluto de

refraçaoVidro 1.5 a 1,9

Ouartzo fundido 1.46

Ouartzo cristalino 1.54

Diamante 2.42

Glicerina 1.47

Álcool etílico 1.36

Acido oiéico 1.45

Água 1.33

9 IT \DAÇÃO CARLOS CHAGAS — É possível, dc acordo com a trajetóriados raios acima, com a > p, que os meios (I), (II) c (III) sejam, respecti-



200

10. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Pode ocorrer reflexão Cotai quandoa luz atravessa a interface S se:a) (1) for água e (II) diamante.h) (I) for diamante c (II) for álcool etílico.

C) (I) for água e (II) vidro.d) (I) for glicerina e (II) vidro.e) Somente se uma hipótese diferente das anteriores ocorrer.

11. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Para que se tenha sempre raio emer-gente r" e r" / / r:a) basta que os meios (I) e (III) tenham mesmo índice absoluto de retra-

ção e (II) seja mais réfringente que (1). b) basta que (II) seja mais réfringente que (1).c) basta que (II) seja menos réfringente que (1).

d) basta que (II)* seja menos réfringente que (I), e (III) e (I) tenhammesmo índice absoluto de refração.

e) Não é suficiente nenhuma das condições anteriores.

1. d 2 . s 3. a 4. e 5. d 6. e7. a) AtFD = 2,5 10-* s;

b) V(m/s)

3.10*

2.10*

10*

d ( m )



202

Prismas

No estudo da Óptica, chamamos de prisma o corpo transparenteque possui duas faces planas não-paralelas. As duas faces planasdo prisma interceptam-se numa reta denominada aresta do prisma.O ângulo formado entre as faces do prisma (A) é chamado de ângulo de abertura do prisma, ou ângulo de refringência. A intersecção do



203

Requisitos de Geometria para o estudo dos prismas ópticos

a) Os planos i ; ; e determinam o ângulo A.Traçandose as retas respectivamcntc perpendiculares a 7ti e 7 1 nos pontosI e I'. elas determinam em N 0 mesmo angulo A

b) No triângulo NII' podemos escrever, para 0 ângulo A (angulo externo não-adjacente aos ângulos r e r'):

Marcha de um raio de luz em um prisma

Todo raio de luz que atravessa um prisma sofre uma mudança

na sua direção de propagação; sofre, portanto, um desvio. Nas fi -

guras que seguem, representamos a seção principal de um prismae o caminho descrito por um raio de luz monocromática ao penetrar

0 emergir do mesmo. O raio de luz sofre, portanto, duas refrações

sucessivas Analisemos então a seqüència de figuras supondo que

Reta nornrno ponto

r



204

• O raio de luz propagase ini-

cialmente no meio (1) e in-

cide sob ângulo i em uma das

faces do prisma (ponto I).

• O raio de luz sofre refração

no ponto I e propagase no in-

terior do prisma. Sendo r o

ângulo de refração, aplique-

mos a lei de Snell:

sen i . ni — sen r . n2

Após propagarse no interior

do prisma, o raio de luz in-

cide na sua outra face, onde

r' é o ângulo de incidência no

ponto I'.

No triângulo H'N, temos:

A = r -- r'

• O raio de luz emerge do pris-ma no ponto r, retornando ao

meio (1). Sendo i' o ângulo

de refração, apliquemos a lei

de Snell:

sen V . m = sen r' . n2

Desvio de um raio de luz no interior de umObserve que o raio de luz,

ao atravessar o prisma, sofre um

desvio angular (D).

O desvio angular (D), sofrido por umraio de luz ao atravessar um prisma,é o ângulo formado pelas direções doraio luminoso, antes de penetrar no

prisma e depois de emerger deste .

Meioexterno

prismaDireção inlclnlde propagaçAo

D —desvio

angular

Direçfio

fino!do

propagaçAo

Prisma



Calculemos este desvio tomando como base a figura abaixo.

Para o triângulo MH', temos:

D = í l - r ) + ( i ' - r ' ) => D = i + i' — (r + r') (1)No triângulo NII' podemos escrever A = r 4- r' (2).

Marcha de um raio de luz em um prisma

Seqüência para determinação dos diversos elementos

Dados: I, nx, n2, A

I Inalldade: determinação do desvio angular D sofrido pelo raio de luz ao atra-

veainr o prisma.

I) Cál l d â l t I i 2



IV) Cálculo do desvio — D D = i - i ' A

■ - X - - Í ------V/ / \

ângulo ângulo ângulo

do de de“ entrado* 'sa ída ' abo-lu^a

Complemento

Reflexão total da luz no interior de um prisma a

Na figura ao lado, representamos

a trajetória do um raio de luz ao inci- / A , \dir e se propagar no interior de um / \prisma. Quando o raio de luz atinge v /

o ponto I'. só terá condições de emer- / \ >>/

gir do prisma se o ângulo de incidên-cia (r') não ultrapassar o ângulo-limite i r 9 x > *(L). Jà que o prisma é mais réfringente \

que o meio externo (n2 > n j . Se o / \

ângulo r ' for superior ao ângulo-limite / \(r' > L). o raio dc luz sofrerá reflexão / \total no ponto I'. n( Z ____ _______ n* ____________ \ n»

Analisemos a seqüència de figuras seguinto. onde podemos observar em que

condições um raio do luz sofre reflexão total no interior co um prisma.

• Oiminuindo-sc o ângulo de incidência i. o ângulo dc refração r também diminui.

Como o ângulo de abortura dc prisma (A) é constante, lembrando que A —r + r'.quando r diminui, o ângulo r ' necessariamente aumenta. Ou seja:

• Fxiste. então, um ângulo do incidência i = i0, que implica em r ' atingir o ângulo--limite L (r' = L). Neste caso . o raio do luz emerge rasa nte do prisma.

I diminui ^ r ' aumenta

i = ia = > r ' = L

Emergência rasante



• Ouando o ângulo do incidência for menor que i0 (i < i0). o ângulo r' serâ euperlor ao ângulo-i mlte (r ' > L). Portanto, ocorrerá reflexão total do raio do lux

Reflexãototal

I < io r > L

Determinação do valor do ângulo i0.

Na figura ao lado, i0 é o ângulo

de incidência na face S, que ocasionaemergência rasante na face S'.



y

208

Conclusão:

Se I - »0 -♦ O raio de luz incidente ern S emerge rasanto na face S'.

Se í > i0 * O raio de luz Incidente em S emerge do prisma na face S'.

Se i < i0 O raio do luz incidente em S sofre reflexão na face S'.Para melhor compreensão do que foi exposto até aqui. analisemos um exemplo:

é dado um prisma com ângulo de refringência igual a 75a. Qual deve ser omínimo ângulo de incidência para que um raio de luz possa emorgir do prisma?O prisma encontrase imorso no ar (nsr s; 1 ) e seu indico de refração absoluto é

" p m m * V T

Resolução: O mínimo ângulo de

incidência a sor determinado é o án

Lombrando que A r + r', para A = 75‘ e r ' — L = 45a. temos:

75a= r -V 45a =>

r 30a

Aplicando a lei do Snell no pontoI. temos:sen i0 . nar = sen r . npriirna

=0 sen l0 . 1 = sen 30a. VT =>

sen i0 = — . VT

sen L =

2

VT

• Se i > 45". o raio de luz emerge em

S'.• So I < 45". o raio de luz sofre refle-

ã t t l S'



&Vô0VClÇâ0'

0 ângulo U ooderio ser determinado diretamente, através da expressão

n» , ,sen i» ---------. sen (A — L).

n»

Para A = 75’ e L = 45’. vem:vr y _ 1

sen i* = ----- . sen (75* — 45a) ==> sen i» = V 2 . sen 30" = v 2 . -------=>1 2

v T=> sen i, = => i> = 45’

2

Variação do desvio com o ângulo de incidência

O desvio (D) sofrido por um raio de luz monocromática ao atra-

vessar um prisma varia com o ângulo de incidência (i). Essa variação

pode ser determinada experimentalmente, e é representada no dia-

grama abaixo:

O diagrama desvio (D) X ângulo de incidência (i) para um prisma

só tem significado para ângulos de incidência superiores a io, pois

para i < io ocorre reflexão total no interior do prisma. Analisando o

diagrama D X i. podemos concluir:

• Ouando i = i», o desvio é máximo (Draâx).

• Aumentandose o ângulo de incidência i, o desvio inicialmente

di i i té ti i l í i (d i í i D ^ )



Note que para um determinado valor do desvio (D) podemos asso-ciar dois ângulos de incidência (i e i') diferentes. Esta conclusão,obtida do diagrama D X i. pode ser interpretada de cuas formas:

a) Analisando-se somente a face do prisma onde ocorre a incidência da luz. Observe que dois raios de luz distintos podem provocar omesmo desvio D

Desvio

Ângulo deincidência

b) Analisando-se o comportamento de um raio de luz ao atravessar o prisma

Observe a figura ao lado.Para o raio de luz A, temos:

i — ângulo de incidência;

i' — ângulo de emergência:

D — desvio. Aplicando o princípio do ca-

minho inverso ao raio dc luz A. teremos, para o raio de luz B:

i' — ângulo de incidência;

i — ângulo de emergência;

D — desvio.

Conclusão: Para um raio luminoso, no diagrama D X i. a um valor

do desvio D correspondem os dois ângulos i e i'. Se i é o ângulo de incidência, i' é o ângulo de emergência, e viceversa.



Desvio mínimo

Observandose o diagrama D X i. notamos que quando a curva

atinge o seu valor mínimo (desvio mínimo — DmjB) os ângulos de inci-

dência e emergência assumem o mesmo valor (i = i' = im). Como

consequência, pela lei dc Snell, isso ocorrerá também com os ângulos



212

Resumindo: os ângulos de incidên-

cia e emergência são

iguais.

Condição dedesvio mínimo em

um prisma

r — r — r,„ —

(prisma

no ar)

imerso

Variação do desvio com o ângulo de abertura

Fixados o ângulo de incidência do raio luminoso e o índice derefração do prisma, verificase experimentalmente que o desvio so-

frido pelo raio luminoso aumenta com o ângulo de abertura.

Podemos supôla comoum prisma do ângulode abertura nulo.



Variação do desvio com o índice de retração

0 índice de refração de um meio indica quantas vezes a velo-

cidade da luz nesse meio é menor que a velocidade da luz no vácuo

(ou no ar). Quanto maior é o índice de refração de um meio, maleacentuada é a mudança de velocidade da luz, ao passar do ar para o

referido meio. Como conseqüência. maior será a mudança de direção

do raio de luz ao refratar, ou seja, maior será o desvio.

Fixados o ângulo de incidência e o ângulo de abertura, verifica

se experimentalmente que o desvio sofrido por um raio de luz, ao

atravessar um prisma, aumenta com o seu índice de refração.

Dispersão da luz branca num prisma

As radiações monocromáticas que compõem a luz branca propa-

gamse com diferentes velocidades no vidro. A velocidade de propa-

gação da luz vermelha é a maior de todas, e a velocidade de propa-

gação da luz violeta é a menor de todas. Como o índice de refração

de um meio é inversamente proporcional à velocidade de propagação

da luz. podemos concluir:

Luz vermelha

Velocidade de

propagação émaior

Velocidade deo

Menor índice

de refração

Maior índice



Como o desvio sofrido pelo raio de luz ao atravessar o prisma

aumenta com o índice de refração. temos:

Luz vermelha

Menor desvio ao

atravessar o prisma

Luz violeta ►Maior desvio ao

atravessar o prisma

As cores intermediárias do espectro sofrerão desvios entre os

Para o vidro:

Luz vermelha •Luz violota ■

ComplementoPrismas corretores

Chamados também do prismas of

tálmicos, são utilizados na prática comfins corretores como. por exemplo,ncs problemas da musculatura externado olho. Estes prismas apresentampequeno ângulo de rcfringència. rormalmente não ultrapassando A = 1 0 .Trabalham com incidência praticamentenormal (i < 5o). Neste caso. para pe-

quenos ângulos, podemos confundiros valores dos senos dos ângulos comos próprios ánguios. expressos em radianos. Ou seja:

sen I ^ i sen i' ^ i'sen r ^ r sen r' r'

(ângulos medidos em radianos)

Aplicando a lei de Snell. temos:face de entrada: i n . r

face de safda: i ' n . r '

Lembrando que pa^a o desvio

D = i + I' A. podemos escrever:D = n . r + n . r ' A = >=> D = nír 4 rM A = o

A --------------------

D A A > D ( 1)

Menor índice de refração ■Maior índice de refração <

Me.nor desvioMaior desvio



Prismas de reflexão total

Os prismas de retlexâo total são muito usados em binóculos e periscópios

-3* .

Caminho descrito por um raio de luz

em um binóculo.

Caminho descrito pelos raios deom um periscópio

1. Um prisma cie vidro tem ân-

gulo de abertura A = 75° c

índice de refração n = V 2.

O prisma encontrase imer-

so no ar. Determinar a tra- jetória de um raio de luz que

incide em uma das faces do

prisma sob ângu o de 45 .



216

Resolução:

• Para o raio dê luz incidente no ponto I, po<icmos apIicar a lci dcSnell:

sen i . nar == sen r . n

Para i = 45°, I c n = \~T, vem:

sen 4 5 0 . 1 = sen r . v T => - l i = sen r . vT => sen r = — =>

2 2

r — 30°

• Como A — r -4- r \ para A _ 75° c r = 30°, temos:

7 5 0 = 30° + r ' => r ' - 45°

Assim, O raio de luz incide no ponto I', com r' = 45°. Aplicando

a lei de Snell, podemos escrever:sen r' . n = sen i' . n*,

Sendo r' = 45°, n = y T e nar 1, vem:

v Tsen 45° . v T = sen i' . 1 . V T = ssen 1 =>

=> sen V — 1 => i' == 90°

Conclusão: O raio dc luz emerge rasante do prisma.

Ar

• O desvio (D) sofrido pelo raio dc luz (ângulo formado pelas direçõesdos raios incidente c emergente) é dado por:

D = i -f i' — A => D = 45° — 90° — 75° => D = 60°

Resposta: O desvio sofrido pelo raio de luz ao atravessar o prisma éigual a 60°.



2. ITA — No desenho, qual

deve ser o índice de retra-

ção do prisma para que o

raio mostrado sofra reflexão

total na face S?

Resolução: O raio de luz incide normaimcnte à superfícieno ponto I; portanto, refratasem sofrer desvio. A incidência no ponto I' é feita com ângulo de 45°, já que a seção

transversal do prisma é umtriângulo retângulo isósceles.Ao incidir no ponto I', o raiode luz encontra-se no meiomais refringente, pois o prismaé mais refringente que o ar.Ocorrerá reflexão total no ponto I' se o ângulo dc incidênciafor superior ao ângulo-limitc.

Ou seja:Reflexão total no ponto V ->-> Ângulo dc incidência > ângulo-limitc -> 45° > L

ô t/á z ? ^ 217

A partir da conclusão anterior, podemos escrever:sen 45° > sen L (1)

Como sen L e lembrando que nnr 1, então‘prisma

sen L ^1

(II).ttp riíjn a

Substituindo (II) em (I), vem:

1sen 45° >

•prisma >

•priMtia

2 \T

VT 1-----> ----------

2 npri4Ica•prisma

> v T

•prssma > VT => nprfcia > 1,41



218

3. ESCOLA POLITÉCNICA DA USP — Um feixe de luz branca incidenormalmente numa das faces de um prisma, cuja seção trans-versal é um triângulo retângulo isósceles. O prisma está imersono ar e é constituído por uma substância sólida transparente que

apresenta para cada uma das sete radiações monocromáticas men-cionadas na tabela (pela sua tonalidade) o índice de refraçào nindicado. Observase que nem todas as radiações atingem umanteparo destinado a receber o espectro. Perguntase quais sãoas radiações recebidas no anteparo.

Tabela

Radiações n

Violeta 1,48

Anil 1.46

Azul 1.44

Verde 1,42

Amarelo 1,40

Alaranjado 1.39

Vermelho 1.38

Resolução: A luz branca é composta de sete radiações monocromáticas.

Uma mesma substância pode apresentar diversos índices de refração,

pois o índice de refração de uma substância depende da luz monocro-mática que a atravessa.

Observando a tabela dada, notamos que, se utilizarmos luz violeta no

prisma, o seu índice de refração será 1,48. Sc utilizarmos luz vermelha,

o índice de refração do prisma será 1,38, e assim por diante.

A condição para que um raio de luz monocromática sofra reflexão total,

incidindo normalmente numa das faces de um prisma, cuja seção trans-

versal é un triângulo retângulo isósceles, foi determinada no exercícioanterior:

Vermelho Alaranjado Amarelo



Portanto, as radiações que satisfizerem esta condição de reflexão total

no ponto I (n > 1,41) não emergirão do prisma e não atingirão o ante

paro. ê o caso das radiações verde, azul, anil e violeta. (Os índices

de refração são dados na tabela.) As radiações que não satisfizerema condição de reflexão total conseguirão emergir do prisma, ê o caso

das radiações amarela, alaranjada e vermelha, pois seus índices de

refração são menores que 1,41.

Resposta: As radiações recebidas no anteparo são: vermelha, alaran

jada c amarela.

4. ENGENHARIA DE OURO PRETO — O ângulo de refringência de

um prisma de vidro, imerso no ar, mede 60c. Um raio luminosomonocromático atravessa esse prisma, satisfazendo a condição de

desvio mínimo, quando o seu ângulo de incidência é de 50c. O

índice de refração co vidro, em relação ao ar, é igual a:

a) V T d) 1,50

b) V 3* e) 2,00

c)

Resolução: Na condição dc desvio mínimo em um prisma, os ângulosde incidência (i) e emergência (i') são iguais. Como conseqiiência, os

ângulos r e r' também o serão:

Condição dc desvio mínimo => \I r = r

Lembrando que A = r - f r \ então quando r = r' teremos A = r -f- r =>

. . A=> A = 2r r — ------.

2

Para A — 60°, vem r 60°----- =>

2



220

Aplicando a lei de Snell no ponto I, temos:sen i . n,r = sen r . nvldro

Para i = 60° e r = 30°, vem:

sen 60° . nar = sen 30° . nvidn>

t vidro

n«\ T ^vidro. ar — V

Resposta: alternativa b.

1• tlvidro —r

2

5. CESCEA — Abaixo temos os gráficos dos desvios dos raios inci-

dentes em função dos ângulos de incidência (i). para dois prismas

de índices de refração diferentes.Desvio Desvio

«jL-X— 7— AZ.Prisma (II]Prisma (I) 1

Supondo os ângulos dos prismas iguais e ambos imersos no ar.

o que podemos dizer sobre os índices de refração n t do prisma(I) e nu do prisma (II)?

a) ni > nu. d) Nada podemos concluir.

b) ni < nu. • e) Não sei.c) ni = nu.

Resolução: Dado um prisma de ângulo de abertura A. o índice de re-

fração n pode ser determinado a partir das condições de desvio mínimo:

onde D c o desvio mínimo fornecido

pelo prisma.

Como os dois prismas têm o mesmo ângulo de abertura A, da expressão

acima podemos concluir que o prisma que apresenta o menor desviomínimo (Dmln) é aquele que tem o menor índice de refração n.

Do enunciado, podemos escrever (ver gráficos):

Para o prisma I: Dm,n( = 0!

Para o prisma II: DmIr,n = 02

Como 0, < 02, então Dn(l,t < Dmln„.Consequentemente, os índices de refração obedecerão à relação

n, <.n,j



1. UNIVERSIDADE DE SÀO CARLOS — Um feixe de luz monocromáticadc raios paralelos incide em uma das faces de um prisma. Podemos afirmarque o feixe emergente:a) diverge.

b) converge.c) continua paralelo.

d) diverge se o índice de refração do prisma c menor que um (1) e converge sc c maior que um (1).c) diverge sc a luz é de curto comprimento de onda e converge sc é dc

longo comprimento de onda.

Este enunciado referese aos testes denúmeros 2 e 3.Sobre a face AB de um prisma ABCde ângulo de refringência a incideum raio de luz sob ângulo de incidên-cia 30’ . Sendo o índice dc refraçao do

material de que 6 feito o prisma, em

relaçao oo ar. n = —- e sabendo que

o ralo emergente é perpendicular òfaco AB:

2. PUC (SÂO PAULO) — O valor do ângulo I' será:a) oc.

b) 90° - a.c) 120° - a .

d) 60° —«.c) 30° 4- a.

3. PUC (SAO PAULO) — O valor do desvio sofrido pelo raio será:a) 30°. d) 60°.

b) Depende do valor de a. c) 45°.c) 90a.

4. ESCOLA POLITÉCNICA DA USP — Um raio luminoso incide num prisma

de índice de refração n c ângulo A, imerso no ar. A condição para que odesvio sofrido pelo raio seja mínimo é:a) que o ângulo de incidência seja igual à metade dc À.

b) que o ângulo de incidência seja igual ao ângulo-limitc.



222

5. UNIVERSIDADE DE CAMPI NAS — Sendo i o ângulo deincidência de um raio monocromático numa face de um prismade lucitc, de índice de retração

n e de ângulo de vértice A, omínimo desvio A c dado por:

a) A = n sen i —A. b) A = 2i - A.

c) A = — - A.2

d) A = cotg i —n sen i.c) A = 2r..

6. UNIVERSIDADE 1)0 RIO DE JANEIRO — Um prisma óptico de abertura 90° não permite que se obtenham desvios menores do que 3()° sobreos raios luminosos que o atravessam no ar. O índice de retração desse prisma cm relação ao ar vale:

a)

b)

c)

vHir

2

4

“3 'VjT

2

c) Nenhuma das anteriores.

7. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um prisma de índice de refraçãov^T possui um ângulo de refringência de 60°. O ângulo de incidência que

produz desvio mínimo é: (O prisma está imerso no ar.)a) zero. d) 60°.

b) 30°. e) n.d.a.c) 45°.

8. MEDICINA DE SANTO AMARO — (Com relação à questão anterior.)Esse desvio mínimo é:a) zero.

b) 30°.c) 45°.

9. ENGENHARIA DE SÀO JOSE DOS CAMPOS — O ângulo dc desvio

mínimo dc um prisma dc 60° e índice de refração 1,414 é:a) 90°. d) 45°. b) 30°. c) 75°.c) 60°.

d) 60°.e) n.d.a.



lo. MEDICINA DA SANTA CASA- Um raio de luz monocromá

tica incide numa das faces dc um prisma de vidro sob ângulo dc

incidência i. A direção co raioemergente na outra face formaum ângulo A com a direção doraio incidente. Ao se fazer variar i, obteve-se o gráfico (aolado) do ângulo A resultante.Se o ângulo dc incidência numaface for 64°, o ângulo de emergência na outra face será aproxi

madamente:a) 3 7 0 .

b) 40**.

c) 50°.

d) 64°.

e) Nenhuma das anteriores.

11. FUVESI — Um prisma isóscc-les de ângulo 120® e índice derefração v,r3 tem sua base BCespelhada. Um raio luminoso,

contido num plano de seção retado prisma, paralelo à base e distando desta de d. incide sobre aface AB.

a) Esboce o caminho do raio nointerior do prisma e depois deemergir deste.

b) Qual é o ângulo de incidência do raio luminoso sobre aface espelhada?

12. FU VES I Alguns instrumentos de óptica utilizam prismas“de reflexão total" como espelhos, como no caso da figura aolado.O mínimo valor do índice derefração do vidro deste prisma

deve ser, aproximadamente:a) 2,00.

b> 1,73.



224

13. CESCEA — Abaixo estão esquematizados quatro prismas dc formas geométricas iguais, sobre os quais incidem raios luminosos normais às faces AB.

Os prismas são feitos de material óptico de índices dc refração: nt = —-—;

1,5 2 3 °n , —

\T i - — i nIV = —

Em quais dos prismas o raio emergente sai pela face BC?

(sen 45? = ——; V~2 — 1,4)

A A

a) Em I e II. b) Somente em III.c) Somente cm IV.

d) Em III e IV.c) Não sei.

14. PUC (CAMPINAS) — Um prisma, cuja secção transversal tem ângulos de base iguais a 45°, é feito de material de índice de refração n] = 1,5. Sua face

4BC está em contato com a água, cujo índice dc refração é n2 = —— .

L'm raio de luz (1) vindo da água incide normalmente à facc BC, entre I)e B (ver figura). Neste caso, esse raio:

A



a) emerge no ar pela face AB, formando com ela um ângulo dc 90°. b) sofre reflexão total no prisma c volta à água, segundo uma trajetória

paralela ao raio incidente (1) na água.

c) emerge no ar pela face AC, formando com cia o ângulo de 45°.d) 6 refletido totalmente peia face BC, voltando à água, seguindo o mesmotrajeto que (1).

e) c em parte refletido por CB. e cm parte emerge no ar pela face AB,não sofrendo desvio algum.

í Dados: sen 45° := cos 45° =

5. PUC (SÀO PAULO) — A luz branca, ao passar por um prisma, apresentaum espectro semelhante ao do arco-íris. Este fenômeno é denominado:a) reflexão da luz. d) polarização da luz.

b) dispersão da luz. c) absorção da luz.c) ilusão de óptica.

6 UNIVERSIDADE DO ESPIRITO SANTO — Luz branca, ao incidir sobreum prisma, sofre dispersão com aparecimento das cores do espectro visível.

A cor que mais se desvia da direção do feixe de íuz branca é:a) vermelho. d) verde. b) violeta. c) azul.c) amarelo.

7, UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Considere o arranjo abaixo:

P, c Pj são prismas ópticos, F é um anteparo com uma pequena fenda cA é um anteparo dc observação.Pode-se concluir corrctamcnte que:



226

18. MEDICINA DA SANTA CASA — O ângulo dc um prisma de vidro vgle30°. Um pequeno pincel paralelo de luz branca incide normalmente numadas faces do prisma, emergindo na outra um pincel divergente de luz visível.Os índices de refração do vidro para as diferentes cores são:

vermelho 1,414

alaranjado 1,520

amarelo 1,590

verde 1,602

azul 1,680

anil 1,701

violeta 1,732Admitindo-se o prisma imerso no ar, podemos afirmar que o ângulo deabertura do pincel emergente e a cor que sofre maior desvio são. respectivamente:

a) 15°; vermelha. d) 60°; violeta.

b) 30°; violeta. e) Nenhuma das anteriores.

c) 45°; vermelha.

t

b) 60'

12. C

13. c 14. b 15. b 16. b 17. a 18. e



Lentes Csféricas



228

Neste capítulo, analisaremos a formação de imagens através de

lentes esféricas. Uma lente esférica pode ser definida como o con-

junto de três meios homogêneos e transparentes e que são separados

por duas superfícies esféricas ou uma superfície esférica e outra

plana, como é ilustrado na figura:

Superfíciees*érica

Ar

Uma lente de vidro imersa no ar. Os meios externos à lente são iguais(ar); é o caso mais importante na prática. Entendendo o funcionamento daslentes esféricas, estaremos aptos a compreender como funcionam osdiversos irstrumentos ópticos, tais como: lentes de aumento, projetoresde slides e cinema, microscópios, lunetas, etc.



Elementos de uma lente esférica

Os elementos que caracterizam a geometria da lente são os ele-

mentos associados à geometria da esfera. Assim, podemos estabe-

lecer diversos elementos geométricos da lente esférica:

• Centros de curvatura cias faces esféricas: Ci e C_>.

• Raios de curvatura das faces esféricas: Ri e R2.

• Eixo principal: reta definida por Ci e C_».

• Vértices: Vi e V2 (intersecção do eixo principal com as faces esfé-

ricas).

• Espessura da l e n t e o — ViVy (distância entre os vértices Vi e Va).

Estabelecidas as principais características geométricas da lenteOifórlca, é importante definir fisicamente o material que constitui a

Itnte e o meio externo em que a lente está imersa. Isto é possível

através dos índices de refração da lente e do meio externo a ela: nt.

Indice de refração da lente; nw — índice de refração do meio ex

torno.

Classificação geométrica das lentes esféricas

Ainda em relação ã geometria da lente podemos estabelecer aMyulnte distinção:

» uno A — lentes de bordos finos — São lentes que apresentam as



230

As lentes de bordos finos (a) e de bordos grossos (b) são ilus-

tradas na figura seguinte:

a) Lentes de bordos finos b) Lentes de bordos grossos

Convexocôncava

A nomenclatura da lente é estabelecida através do seguinte cri-tério:•

• Para um observador externo à lente, as faces podem ser definidascomo côncavas ou convexas.

Analisemos o exemplo ilustrado abaixo:

O observador 1 vê uma face

côncava, enquanto que o obser-

vador 2 vê uma face convexa.

• Definemse as faces queapresentam o maior raio de cur-vatura e o menor raio de curva-

tura.



No exemplo dadc, a face côncava tem raio maior; a face convexa,

raio menor.

• Indicase a face que apresenta o maior raio de curvatura em pri-meiro lugar.

Nesse mesmo exemplo, a lente da figura é côncavoconvexa

i i

raio raiomaior menor

Note que a nomenclatura cas lentes de bordos finos termina sempre com apalavra ‘ convexa', enquanto que a nomenclatura das lentes de bordos grossostermina sempre com a nalavra ‘ côncava*.

Lente delgada

Vimos, no estudo dos espelhos esféricos, que um espelho de

Gauss é utilizado na prática por não apresentar aberrações na for-mação de imagens. Da mesma forma, para evitar aberrações na

formação das imagens nas lentes esféricas, são feitas algumas res-

trições na sua utilização. Para isso, definiremos ss lentes delgadas.

Quando a espessura da lente esférica é pequena em comparação

com os raios dc curvatura das faces, a lente é chamada de lente esfé-

rica delgada.

Utilizandose raios de luz paraxiais. uma lente delgada será umsistema óptico estigmático: as imagens conjugadas serão nítidas

(Isentas de aberrações).

Classificação física das lentes esféricas delgadas

Quando fazemos incidir um pincel de luz cilíndrico paralelamente

no eixo principal das diversas lentes esféricas delgadas, a experiência

evidencia o aparecimento de dois comportamentos ópticos distintos:

• Lentes delgadas convergentes — As ientes de bordos finos,

quando apresentam índice de refração maior que o do meio externo

(n > nM) dão origem a um pincel cônico convergente O pincel



Lentes delgadas convergentes

As lentes delgadas convergentes são representadas por um segmento de reNa extremidade do segmerto rep^escnta-sc a forma da extremidacede uma lente de bordos finos.



233

• Lentes delgadas divergentes — As lentes de bordos grossos,

quando apresentam índice de refração maior que o do meio externo

(nL > üm). dão origem a um pincel cônico divergente. O pincel de

luz. após atravessar a lente, diverge, e o vértice do pincel encontra-se sobre o eixo principal no ponto Fit de acordo com a figura seguinte.

Neste caso. o vértice Fi só tem existência geométrica (prolongamento

de raios de luz). Essas lentes ‘ transformam" um pincel cilíndrico

num pincel divergente. Devido a isso. são chamadas de lentes del-

gadas divergentes.

Representação das lentes delgadas divergentes:

An lentes delgadas divergentes são representadas por um segmerto do reta.

Lentes delgadas divergentes

F,



Conclusão: Dessa forma, uma lente biconvexa de vidro imersa noar é convergente (n-. idro > nar) e uma lente bicôncava de vidro imersano ar é divergente ( n v id ro > n ar) .

Sc o índice de refraçáo da lente for menor que o do meio externo (nL < nM).

o comportamento óptico das lentes será oposto em relação ao casoestudado, ou seja

• as lentes de bordos finos serão divergentes;

• as lentes de bordos grossos serão convergentes.

É o caso de uma lente de vidro (n. = 1.5) imersa no sulfureto de carboro(nM= 1.63).

nv!d io nM " vid ro < n M

Lente divergente Lente convergente



Resumindo:

Podemos relacionar a geometria da iente, o índice de refração e

o comportamento óptico na tabeia:nicnte nrneió n>ente Ojuclfl

Lentes de bordos

finosConvergentes Divergentes

Lentes de bordos

grossosDivergentes Convergentes

• Aplicação

A ente convergente é um sistema óptico convergente, pois transforma umpincel cilíndrico em um pincel convergente. Podemos aproveitar dessa forma a

imergia solar, concentrando-a num ponto e obtendo grandes intensidades de energia.



236

Focos principais de uma lente esférica

• Focoimagem — Observando a refração do pince. de luz cilín-

drico nas lentes convergente e divergente, podemos notar que:

a) A lente convergente conjuga um pontoimagemreal no ponto

F,. quando o objeto está no infinito (pontoobjetoimpróprio). O ponto

Fi é chamado de focoimagem da lente. Como o focoimagem está

posicionado sobre o eixo principal, ele é chamado de focoimagem

principal. Na lente convergente o focoimagem é um elemento real,

porque o sistema óptico é convergente.

Sistema óptico convergente

PO x

(pontoobjeto

impróprio)

Lente convergente * Foco real

b) A lente divergente conjuga um pontoimagemvirtual no ponto

Fi, quando o objeto está no infinito (POx). O ponto Fj nesse caso é

o focoimagemprincipal da lente divergente. Na lente divergente o

focoimagem é um elemento virtual, porque o sistema óptico é diver-

gente.Sistema (

Luz

POoc

(pontoobjeto•impróprio)

F, = PIV

(ponto magemvirtual)

Lente divergente -* Foco virtual



• Foco-objeto — P^ra as lentes convergente e divergente anallsfidnn

anteriormente e mantendose o mesmo sentido da luz incidente no

sistema, a experiência mostra que se colocarmos uma pequena IAm

pada (pontoobjetoreal) sobre o ponto F0I simétrico de Fi cm relaçAoh lente convergente, o pincel emergente da lente será cilíndrico «

paralelo ao eixo principal. Portanto, para um objeto em F0. a lento

fornece urna imagem no infinito (pontoimagemimpróprio).

O ponto F.„ simétrico de Fi em relação à lente, é chamado de

foco-objeto-principal da lente. Na lente convergente, o foco-objeto ó

um elemento real.

Lente convergente — Foco eal

Na lente divergente, quando o objeto sobre o ponto F„ é virtual,

o pincel emergente será cilíndrico.

O

ponto Fo nesse caso é of o c o - o b j e t o - p r i n c i p a l ( F 0 )

da lente diver-gente. Na lente divergente o f o c o - o b j e t o é um elemento v i r t u a l .

Lente divergento — Foco virtual

Luz

T

PI:

F. F„



238/

Z _

• Aplicação

Esquema básico de uma lanterna

Uma pequena lâmpada é colocada no focoobjeto da lente convergente, quecoincido com o centro do espelho Os raios emergem da lanterna na forma de um

pincel cilíndrico.

Centro óptico da lente esférica delgada A intorsecção da lente esférica delgada com o seu eixo principal dofine o aonto

0, que é o centro óptico da lonto. O centro óptico da lente apresenta urra proprie-dade muito importante, utilizada na construção de Imagens:

Todo raio de luz que incide no centro óptico da lentedelgada refrata sem sofrer desvio.

1. Tanto no caso da lente convergentecomo no da lente divergente, osfocos F0 c Ft estão à mesma distância

do centro óptico O. As distânciasF,0 = F O sào enamadas de distâncias

focais da lente

2. Note que se compararmos umalente convergente a uma lentedivergente de iguais distâncias focais,para um mesmo sentido da luzincidente, os focos objeto e imagemna lente divergente estãc trocados emrelação à lente convergente.

Luz

i Distância focal Distância focal

” i

! F°iii

0 F* !iiii

i

Luz

iii

Distância focal Distância focal

i

F. 0 k



ëh/ÀTM ^ 0 23U

ites delgadas — Resumo

Classificação geométrica

Lentes de bordos finos

Os seus bordes sãc mais finos que sua parte centrai.

São convergentes quando o índice de refrsção da lente é maior que oíndice de réfração do meio externo (n, > nM).

Em caso contrário (nL < nM), são divergentes.

Representação Biconvexa Plano-convexa Côncavo-convexo

Lentes de bordos grossos

Os seus bordos sáo mais grossos que a sua parte central.

São divergentes qjande o índice de ref'açãc da lente é maior que c índice

ce réfração do meio externo (nL > nM).

Em caso contrário (n, < nN<), são convergentes

Representação Bicôncava Piano-côncava Convexo-côncava

Classificação fisica

Lente convergente

Comportamento óptico

Sistema óptico convergente

▼Os focos são elementos reais

Lente divergente

▼Sistema óptico divergente

▼

Os focos sáo elementos virtuais

Luz

(foco-imagem)

— -------------------

• o ^(foco-objeto)

( foco-imagem)

Propriedades dos

Fo e F, estão sobre o eixo principa c sãosimétricos em relação à lente.



/

Propriedades dos raios incidentes nas lentes delgadas

A partir dos diversos exemplos abordados anteriormente, envo

vendo a retração da luz nas lentes esféricas, podemos estabelec

algumas propriedades básicas importantes dos raios incidentes, quserão de vital importância para o desenvolvimento da teoria que s

segue.

I) Todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal d

lente retrata passando pelo focoimagemprincipal.

240 ___________________________________________ j _______________

Lente convergente

Note que na lente convergente o raio de luz, ao retratar, pass

pelo focoimagem, enquanto que na lente divergente é o prolo

gamento do raio de luz que passa pelo focoimagem.

II) Iodo raio de luz que incide na lente passando pelo focoobjetprincipal refrata paralelamente ao eixo principal.

Lente convergente Lente divergente

III) Todo raio de luz que incide no centro óptico da lente refrata se

sofrer desvio.



\

Construção gráfiòa de imagens nas lentes delgadas

Colocandose um objeto diante de uma lente esférica, podemos

determinar graficamente as características da imagem conjugada atra-

vés da lente, com o auxílio das propriedades estudadas anteriormente.

\ /

' K

FO F.

Lente convergente

A,

Tomemos como exemplo a lente convergente representada na

figura e o pontoobjeto A. A técnica a ser desenvolvida neste exemplo

" válida para as outras posições do objeto em relação à lente e inde-

pendente do tipo de lente (convergente ou divergente).

• Pontos antiprincipais Os pontos A0 e A», representados na

figura, estão situados a urna distância da lente igual ao dobro dadistância dos focos à lente. Sáo usados muitas vezes domo referênciapura localizar a posição dos objetos e das imagens, sendo denomi-

nados:

A„ pontoantiprincipalobjeto:

A, pontoantiprincipalimagem.

• Seqüência para determinação gráfica da imagem

n) A luz que parte do pontoobjeto A incide na lente na forma de pin-cel de luz. Representamos o pincel incidente através dc dois raios

de luz: um paralelo ao eixo principal e outro passando pelo centro

óptico da lente. O ponto A é um pontoobjetoreal (POR).



//

b) O pincel incidente sofre refração na ente. Aplicando as proprie-

dades estudadas relativas aos raios que representam o pincel inci-

dente. podemos visualizar o pincel emergente de vértice A'. O

ponto A' é um pontoimagemreal (PIR).

c) Para determinarmos a imagem de um objeto AB frontal (perpen-

dicular ao eixo) e com uma extremidade sobre o eixo principal

(ponto B). é suficiente determinarmos a imagem do ponto A como

foi fe ito acima. Unindose o ponto A' ao eixo principal, determi-

namos a imagem A B'. Observe que se utilizássemos um terceiro

raio incidente, a imagem determinada graficamente apresentaria

as mesmas características.

Conclusão: Para o exemplo analisado, podemos escrever: ______

Natureza da imagem: A imagem é de natureza real.

Posição da imagem em relação à lente: A imagem encontrase

entre o focoimagem (F() e o pontoantiprincipalimagem (Ai).

Tamanho da imagem: Menor que o tamanho do objeto.

Orientação: Dizemos que a imagem é invertida em relação ao

objeto, já que o objeto e a imagem estão em lados opostos do

eixo principal.



-

• Construções gráficas na lente convergente para diversas poalçOss

do objeto



244

Construção gráfica na lente divergente — Para um objeto rea

colocado diante de uma lente divergente, façamos

fica da respectiva imagem:a construção grá

Objeto real diante

da lente

Objeto real i

A —Y

Imagem virtual, menor

que o objeto, direita

e posicionada entre o

focoimagem (F,) e o

centro óptico (0).

A lente divergente conjuga de um objeto

f ' .....

virtual 1

B F, B' 0

real uma imagem

sempre virtual.*

Lente divergente

• Conclusões gerais — Analisando as diversas construções grá

ficas estudadas anteriormente, podemos tirar algumas conclusõe

gerais para as lentes convergente e divergente, apresentadas n

quadro a seguir.

Conclusões gerais — Lentes delgadas• O objeto roal está sempre do lado cue a luz incide na lente, e a imagem rea

está sempre do lado que a luz emerge da lente

Os objetos luminosos são sempre reais.

• Quando o objeto e a imagem têm a mesma natureza (ex.: objeto real e imagem

real), a imagem é invertida.

• Ouando c objeto e a imagem têm naturezas opostas (ex : objeto roal c imagem

virtual), a imagem 6 direita.

Lado que a luzincide na lente

Lado que a uzemerge da lente

Lado que a luzincide na lente

Lado que a luzemerge da lente

T

Laco do objeto

real Lado da irr.agem

realLado da imagem

virtual ,•

Lado do objeto

real

Ladc da imagem

virtual

Lado da imaqem

real

• O elemento (objeto ou imagem) cuja distância ã lente é maior é sempre o ele

mento de maior tamanho (ex.: se a distância da imagem â ente é maior qu

a distância do objeto à lente, então o tamanho da imagem é maior que o tamanh

do objeto)



245%

• 8ó as imagens reais podem ser projetadas em anteparos (telas).

A projeção de imagens em antepa-ros é muito utilizada na prática, em

Instrumentos como projetores cine-matográficos e de slides e máquinasfotográficas (que projetam imagensem um filme, que é um anteparo•onsível à luz). Estes instrumentos•Ao chamados tíe instrumentos ópti-co» de projeçào, porque projetamImagens reais.

Objeto realImagem real Mesmanaturezak Imageminvertida

Imagem projetada sobre anteparo ^ Imagem real

A

An Imagens virtuais não podem serlirojotadas em anteparos. A figuraropresenta uma lente de aumentoou lupa. que forma uma imagemvirtual. A lupa 6 um instrumentoda observação; os instrumentos deobservação fornecem imagens vir-tuais. É o caso. na prática, de mioroacópios. lunetas e telescópios.•

• Aplicações• Ai»avés de uma lerte convergente c de um objeto luminoso (real) podemos obter

umn imagem projetada sebre um anteparo (imagem real). A imagem ó invertida•m relação ao objeto.



246

2. Princípios de funcionamento da câmara fotográfica

Um exemplo de instrumento óptico de projeção é a máquina fotográfica. Os raiosde luz partem do objeto real AB. A lente convergente que recebe os raios de luzdo objeto é chamada de objetiva A imagem conjugada A'B' é real. A imagem

é recebida sobre um filme, que é basicamente um anteparo sensível a luz fpelí-cula foto-sensível). Aproximardo-se o objeto da lente, esta ceve ser posicionadaconvenientenente de forma que a imagem seja recebida rovamente sobre o filme.Se a lente não for posicionada convenientemente, como indica a figura, a imagem

O objeto real (slide) é posicionado d ante da lente convergente (objetiva). Atrásdo objeto, colocam-se uma lâmpada e um espelho côncavo, de modo que o objeto

possa ser iluminado e enviar luz á lente objetiva. A imagem conjugada é real emaior que o objeto (muitas vezes maior), e é recebida sobre uma tela (anteparo).



Estudo analítico das lentes esféricas delgadas

• Referencial de Gauss — Através das construções gráficas estu-

dadas anteriormente, podemos determinar diversas características dasimagens conjugadas pelas lentes esféricas. Podemos saber se a ima-

gem conjugada é real ou virtual, se é maior ou menor que o objeto,

ui! é cireita ou invertida. Quando desejamos determinar numerica-

mente as características da imagem conjugada pela lente [distância

•li! Imagem à lente, tamanho da imagem), utilizamos um processo ana-

lítico com auxílio das equações: equação de conjugação dos pontos

(equação de Gauss) e equação do aumento linear transversal.

Essas equações utilizam um referencial para definir a posição do

objeto e a posição da imagem em relação à lente. Tal referencial é

chamado de referencial de Gauss, e apresenta as seguintes caracte

iiHticas:

• Origem: centro óptico (O) da lente.

• Eixo das abscissas: coincidente com o eixo principal da lente, eorientado com sentido contrário ao sentido da luz incidente, para a

medida das abscissas dos objetos (p).

Para a medida das abscissas das imagens Cp'), o eixo coincide

Oorr o eixo principal da lente e é orientado com o mesmo sentido

<l,i luz incidente.

Os objetos reais e as imagens reais terão sempre abscissas

positivas.

Os elementos virtuais terão sempre abscissas negativas.

• Eixo das ordenadas: eixo vertical orientado no sentido ascendente.

Amordenadas positivas correspondem à região acima do eixo principal.

As ordenadas negativas correspondem à região abaixo do eixo prin-cipal.

Notação: y — ordenada do ponto extremo do objeto (ponto A);



248

Eixo das ordenadas

f +



Eixo das ordenadas

Lente divergente

Objeto real (AB)Imagem virtual (A'B')

Objeto

real

Imagem

virtual

Lente

divergente

Objeto acima

do eixo principal

Abscissa ppositiva

Abscissa p'

negativa

Os focos são

virtuais

y > 0

p > o

p' < o

Abscissa fnegativa

(f < 0 )



250

• Equação de conjugação dos pontos (equação de Gauss) — Utili

zando o referencial de Gauss, podemos estabelecer uma relação entre

as abscissas p. p' e f. Tal relacionamento é expresso através da

equação de conjugação dos pontos.

Provase que, para uma lente esférica de gada,

(veja Leitura Complementar II).

• Equação do aumento linear transversal Definese aumento li

near transversal (A) como sendo A —

Utilizando o referencial de Gauss, .podemos estabelecer uma

relação entre y, y', p e p'. Tal relacionamento é expresso através da

equação do aumento linear transversal.

Provase que (veja Leitura Complementar II)

A equação do aumento linear transversal apresenta um significado

físico bastante importante. Existe uma relação linear entre os tama

nhos da imagem e do objeto e as respectivas distâncias dos mesmos

à lente.

Em módulo, terr.os:

Tamanho da imagem Distância da imagem ã lente

Tamanho do objeto Distância do objeto à lente

▼'O tamanho da imagem está para o tamanho do objeto, assimcomo a distância da imagem à lente está para a distância doobjeto à lente."

Exemplificando:

Se a distância da imagem a lente é duas vezes maior que a dis

tância do objeto à lente, então o tamanho da imagem é também duas

vezes maior que o tamanho do objeto. Genericamente, podemos

dizer que, em relação à lente, “ o tamanho da imagem será tantas vezes

maior que o tamanho do objeto, quantas vezes essa imagem estive

mais longe da lente que o objeto". Analogamente, se a imagem es

tiver mais perto da lente do que o objeto será menor do que este

mantendo também a relação linear.



f ■S

251

Em resumo, teremos:

Sinai dasabscissas

P 4

P ' 4

f ♦

Abscissa do

objeto

Abscissa da

imagem

Abscissa dos

focos

1 I 1 1P p' f

Todo elemento real Abscissa

(objeto ou imagem) ♦ positiva

Todo elemento virtual Abscissa

(objeto ou imagem) negat va

Lente convergente

^ S i s tema^ . Focos

conver mr reais

gente♦ f > 0

Lente divergenteSistema

Focosdíver tk

virtuaisgente

f < 0

Sinai de y,y' e do

aumento (A)

y 4

i 4

Objeto

(ordenada)

Imagem

(ordenada)

Aumento A 4 lineartransversal

Acima do eixo principal

(objeto ou imagem)

Abaixo do eixo principal(objeto ou imagem)

Imagem invertida

O objeto e a imagem estàoem lados opostos do eixoprincipal, y e y ' tèm sinaisopostos.

Exemplo:

♦

Ordenada

positiva

Ordenadanegativa

A = + | |VLento

w

Imagem direita

Aumento

negativo A < 0

O objeto e a imagem estão

do mesmo lado do eixo prin-cipal. y e y' têm o mesmosinal.

Exemplo: y'

AumentopositivoA > 0



252

Fórmula dos fabricantes de lentes

Foi proposta por Edmond Halley * e mostra que a abscissa focalde uma lente (f) pode ser calcu ada a partir de duas características

importantes que definem a lente esférica.• Característica física — É importante conhecer o material de queé fabricada a lente e o meio em que a lente está imersa. Isto podeser feito através do índice de refração da lente (ni.) e do índice derefraçáo do meio (nM). Os índices de refração dependem da luz mono-cromática utilizada.

• Característica geométrica — Geometricamente, a lente é definidaatravés dos raios de curvatura de suas faces (Ri e R2).

Adotemos a seguinte convenção de sinais para os raios de cur-vatura Ri e R*:

* Edmond Halley (16561742) — Astrônomo e matemático inglês. Desenvolveutrabalhos astronômicos de alto nível que culminaram com a publicação da Sinopse

da Astronomia dos Cometas, em 1705, na qual descreve as órbitas de diversoscometas, ertre os quais aquele que hoje leva seu nome: o famoso cometa de Halley.Contribuiu para a publicação dos Principia de Newton e teve papel proeminenteno desenvolvimento da Teoria da Gravitação.

Facc côncava raio negativo (R < 0)

Face convexa —>raio positivo (R > 0)

é válida, então, a fórmula de Halley:



(‘■ A sjw /cd r

Ouando uma das faces da lente é plana podemos supor que o seu raiode curvatura 6 muito grande (raio tendendo ao infinito: R+oc], Nesse caso.'

1 / 1o te rm opara a face plana pode ser considerado nulo I ------- -* 0

R V R

Então, a fórmula de Halley ficará assim:

" m / " «

n ,

• Convergência (ou vergència) de uma lente — Na figura seguinte,

Mipresentamos duas lentes esféricas convergentes que recebem pini ois ci l índrico s de luz paralelos aos seus eixos p rincip ais . A lente

Inferior é a mais convergente das duas. pois nela o pincel de luz con-

verge m ais após atrave ssála. No te que a len te que é mais conver-

gente apresenta menor distância focal.



254

Portanto, o poder de convergência de uma lente está relacionadinversamente com a sua distância focal. É devido a isso que a covergência (C) de uma lente é definida como sendo o inverso de sudistânc a focal:

1

~ f

Ouando a distância focal for medida em metros, a unidade d

C será o inverso do metro (m1 ) A unidade = m1 é denomina _____ _ _ _ m

dioptria (di), ou seja, 1 di :—1 m ‘

O sinal de C acompanha o sinal de f:

Lente convergente C > 0

Lente divergente * C < 0

• Lentes justapostas — Muitos instrumentos ópticos utilizam made uma lente esférica de modo que a distância entre elas sejapratcamente nula. Dizemos que as lentes nesse caso constituem um

associação de lentes por justaposição. Logo. podemos admitir quduas ou mais lentes justapostas comportamse como uma só lenteque chamaremos de lente equivalente. A convergência da lente equvalente (C) pode ser calculada através da soma algébrica das convegências das lentes associadas.

Assim, para uma associação de duas lentes justapostas, teremo

C — Ci Ca

Para n lentes, vem: C — Cl f C' j C.1 f . . . Ca

Observe o exemplo ilustrado a seguir:

Lente 1: lente convergente



Se nesse exemplo tivermos fi — 4-10 cm ( ente convergente do

distância focal 10 cm) e U — - 20 cm (lente divergente de distância

local 20 cm), poderemos calcular a distância focal f e a convergência

<: das duas lentes justapostas (lente equivalente).

1 _ 1

10 cm 0,1 m10 - i i

«üp

dfoptria

1

U —20 cm 0.2 m- s m =*. -

dioptria

= —5 di

<3

A lente equivalente será dada através da convergência C, tal quo

Ci — Ca => C = 10 — 5 =í> C — + 5 di . As duas lentes Justa

pontas comportam-se como uma única lente convergente de | 5 dl.

I I I U B



256

• Aplicação

A distância focal de uma lente depende do índice de refração do material qa constitui Como o índice de refração depende da luz monocromática, o desvsofrido por um ••aio de Itz. ao atravessar uma ente. depende da luz monocromátique Incide sobre ela. Ouando um raio de luz branca incide na lente, ele scfre d

persão de modo some nante ao que ocorre em um prisma, já estudado anteriomente. Como a I j z branca apresenta sete componentes fundamentais de cor. ca

cor focalizará nun ponto diferente. A lento, portanto, terá sete focos.

As objetivas das câmaras fotográficas, por serem lentes, apresertam esse p

blema. pois a luz branca que parte do objeto fomará diversas imagens em focdiferentes, cada um correspondendo a i r a ccr. Após a revelação do filme, oodem

observar este fenómeno, pois a foto apresentase com uma série de contornos coridos. Esse defeito é chamado de aberração cromática

Luz branca

Aberração cromática

em uma lente simples.

Foco dovioleta

Foco dovermelho

As máquinas mais modernas corrigem esse defeito com uma justaposição lentes, de modo que o feixe luminoso dispersado pela primeira lente (crown) recomposto pela segunda lento (fl in tl. Este método de remoção da aberração cmática foi descoborto cm 1729 pelo inventor inglês Chester Hal .

Lente acromáticapara evitar aberração esférica

Dessa forma, a luz branca que parte do oojeto atingirá o filme sem dispersãO corjunto das duas lentes justapostas é chamado de lente acromática.



Leitura Complementar I — Focos secundários de uma lente esterica delgada

Como observamos anteriormento. a distinção entre a lente corvorgcntc c alonte divergente, do ponte de vista óptico, é que uma é um sistema óptico conver-gente enquanto a outra c um sistema óptico divergente. Ambos os sistemas con-

jugam de um pontoobjeto no infinito (pincel cilíndrico) um pontoimagem no foco.Na lente convergente o foco é real: na lente divergente o foco 6 v rtual. Verifica-mos tais propriedades quando o pincel cilíndrico incidente é paralelo ao eixo prin-cipal da lente.

Tais características sào verificadas, também quando o pincel cilindrico incidenu lente oaralclamente a um eixo secundário (qualquer reta que passa pelo centroóptico e não coincide com o eixo orincipal) da mesma.

Na lente convergente, o pincel refratado converge para o porto fSj sobre o

•Ixo secundário. Este ponto c chamado, portanto, tíe tocosecundárioimagem da

lente. Sobre o mesmo eixo secundário encontrase o focosecundárioobjeto (F5 ).•Imótrico de Fs .

Na lente divergente, o pincel refratado dive'ge e o vértice encontrase no pontol , ( sobre o eixo secundário Este ponto è chamado, portanto, de focosecundário

Imogern da lente.



258

Em resumo, sobre o eixo principal da lente localizamos os focos principais F0e F,. e sobre cada eixo secundário da lente localizamos os focos secundáros Fs

Os focos principais F„ e F, e os inúmeros focos secundários Fs e Fs def

nem superfícies que no caso das lentes delgadas são aproximadamente planos: daessas superfícies roccberem o nome de planos focais. Os planos focais objeto eimagem são perpendiculares ao eixo principal da lente delgada.

Luz

„ IX , Fs

I \i

Fo

X -Planofocal•imagem

0TI X ! f'I I

Planofocal S F.<objoto

I

Planofocal•imagem Luz

•4.S

\

Lente convergenteN t -

Planofocal•ob.eto

II

'-V F8

Lente divergente

Leitura Complementar II — Dedução da equação do aumento linear transversal e dequação de conjugação dos pontos

1) Observando a figura abaixo, onde L é uma lente delgada convergente. Aé um objeto real e A'B' é a correspondente imagem real. notamos que os triânguloretângulos ABO e A'B '0 são semelhantes. Podemos, então, estabelecer a relaçãde proporcionalidade entre lados homólogos:

A'B ' = y ' A'B'

AB

B'O

BO ‘onde

AB = y

B'O = p'BO = p



Assim, podomos escrever:

-V

y

p ' = ,y' p'

P y PEquação do aumento linear transversal

2) Ainda obsorvondo a figura, vemos que os triângulos retângulos ABF0 e POF0' pó = - y

•lo semelhantes. Dai decorre quePO OFr

AB BF„-, onde

AB = y

OF„ = f

. BFa = p - f

p'(p - f) = pf => p'p - p'f = pf P' _ fP P - f

■> pf + p'f = p 'p

pf p'f p'p



260

Leitura Complementar III — Aberrações esféricas

As lentes podem aposentar aberrações esféricas quando os 'aios de luz irei-dentes forem demasiado afastados do eixe principal (raios não paraxiais) ou quandoa espessura das lentes não for desprezível em comparação com os ralos de curvo

tura das faces (lertes não-delgadas).

Nestas condições, quando os raios de luz paralelos ao eixo principal de uma

lente convergente ncídem perto dos bordes (extremidades) eles refratam e não

convergem para um único ponto sobre o eixo principal. Ocorre então, a lorrração

de uma mancha luminosa em vez de uma imagem nítida. Temos ai um exemplo daaberração de esfericidadc.

Lente convergente delgada Haios retratados convergeme raios incidentes paraxiais ^ pa-a um único ponto do eixooaralelos ao eixo princ pai. principa .foco-imagem F,).

Lentes convergentes Os raios retratados convergem

não-delgadas e raios incidentes ^ para pontos do eixo orincipa tãoa£astados rio eixo pnncipa'. mais próximos da lente quanto maisafastados cio eixo principal forem

_ _ ______________________ os raios incidentes. __________________



261

Se os raios incicirem ob iquamente na lente convergente nàodelgada. a aber-ração esférica acentuase de maneira notável. As imagens formadas se apresentammi forma dc caudas. Essa aberração esférica ó denominada coma.

Raios incidentes oblíquos Aberração esféica *err cauda"em lente nãodelgada. fcoma).

Quando os raios do luz provenientes ce um ponto luminoso A afastado do eixoprincipal Incidirem na lente e refratarem convergindo para pontos distintos A t e A2.dependendo do plano de incidência, temos a aberação esférica denominada astignintlimo.

Raios de luz incidindona lente no plano vertical(plano da página)refratam e convergem

para A».

Raios dc luz incidindona lente no planohorizontal refratam cconvergem pars At.



1. MEDICINA DE SANTOS — Um objeto de 5 cm de altura está dis-posto perpendicularmente ao eixo principal e a 12 cm diante de

uma lente convergente de 8 cm de distância focal. O tamanho

da imagem e sua posição são, respectivamente:

a) 10 cm de altura e 24 cm do centro da lente.

b) 5 cm de altura e 12 cm do centro da lente.

c) 20 cm de altura e 50 cm do centro da lente.

d) 4 cm de altura e 6 cm do centro da lente,

c) Faltam dados para calcular.

Resolução: Como o objeto cneontrase diante da lente, podemos es-

crever:

Ab.scis.sa do objeto (p)

p = 12 cm (Objeto real a 12 cm da lente.)

Absdssa dos focos (f)

í = f8cm (Lente convergente de distância focal 8 cm.)

Aplicando a equação dc conjugação para lentes delgadas nas condições

de Gauss, vem:l t l _ 1 _ 1 1 1 i _ 1 1

p p' ~~ t * * 12 p ' ~~ 8 ^ p' ~~ 8 12 ~

A imagem está posicionada

a 24 cm do centro óptico da

lente. O sinal positivo indica

que a imagem c real.

5 — 1

24 24p' — f24 cm

—



Apliquemos a equação do aumento linear transversal:

Sendo p' = 4-24 cm, p = -\-\2 cm e y = + 5 cm, —

y' = — 10 cm

então:

A imagem terá 10 cm de tamanho. O sinal negativo indica que a ima

gem localiza-se abaixo do eixo principal. Como o objeto está acima

do eixo principal, a imagem é invertida em relação ao objeto.Resposta: alternativa a.

UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Desenhe na figura a ima-gem do objeto O formada pela lente convergente L, e caracterizea

quanto à natureza, orientação e tamanho em relação ao objeto.

Resolução: De acordo com o enunciado, temos:

Abscissa do objeto (p)

♦ P = + 2 f

Abscissa dos focos (f)f -+ abscissa focal da lente convergente

Objeto

real

Aplicando a equação dc conjugação dos pontos para lentes delgadas



Façamos então a construção gráfica da imagem:

p n

Aumento linear transversal: A = ------ 7 -5 A = --------- =>P 2f

O módulo do aumento indica a relação entre o tamanho da imagem

c o tamanho do objeto. Como o módulo do aumento vale 1, o tamanhoda imagem será igual ao tamanho do objeto. O sinal negativo indica

que a imagem é invertida em relação ao objeto.

Observação: A partir deste exercício, podemos tirar uma conclusão importante:

‘ Ouando o objeto encontrase sobro o pontoantiprincipalobjeto A0 (p = 2f).

a imagem encontrase sobre o pontoaníiprinclpalimagem A, íp ’ —2f). Como 0

objeto e a imagem estáo ã mesma distância da lente (p — p' —2f),terão necessariamente o mesmo tamanho’ .

Resposta: A imagem é real, invertida em relação ao objeto c do mesmo

tamanho que o objeto.

3. UNIVbRSIDADE DE JUIZ DE FORA — Temse uma lente conver-

gente de d stância focal igual a 10 cm. que fornece uma imagem

nítida de um objeto sobre um anteparo. O anteparo dista da lente

60 cm. A imagem em relação ao objeto fica ampliada:

a) 6 vezes. d) 3 vezes.

b) 5 vezes e) 2 vezes.

c) 4 vezes.



Resolução: Como a imagem é formada sobre um anteparo, então elaé real. A distância da imagem à lente é igual à distância do anteparo

à lente. Portanto:Abscissa da imagem (p')

Imagem

real p '= 4-60 cm (Imagem real a 60cm da lente.)

Abscissa dos focos (f)

Lenteconvergente

Focosreais

f = 10 cm

Aplicando a equação de conjugação dos pontos para lenles delgadas

r.as condições de Gauss, vem:

1 11 1 1-----1-----= — =>P P' f

6 - 1 5

I 1

60

1 1

10 10 60

60 60112

p — I 12 cm ( Objeto real a 12 cm

da lente.)

AB = Objeto real



266■■ — - - - - - - 1 — - 1

4. MAPOFEI — Uma lente delgada convergente de distância focal30 cm deve ser colocada entre uma fonte luminosa pontual e uma

tela, de modo que sobre esta se forme a imagem da fonte. A

distância entre a fonte luminosa e a tela é de 1.50 m. Determine

a posição da lente, em relação à fonte luminosa.

Resolução: A figura abaixo ilustra a situação descrita no enunciado:

PIR

Da figura, temos que p -f p' = 150 =* p' = 150 — p.

Aplicando a equação dc conjugação dos pontes para lentes delgadas

nas condições dc Gauss, c lembrando que a lente é convergente (f =

— -f 30 cm), temos:

1 1 1

1 , 1----- 1-----= — = > ------1--------------- p p' f p 150 — p 30

150 —p -f p 1P" — 150p -f 4 500 = 0

p( 150 — p) 30

Resolvendo a equação, obteremos as raízes

I p = 108,5 cin

p — 41,5 cm

Resposta: Existem duas posições em que a lente pode scr colocada para

que a imagem se forme sobre a tela: a 41,5 cm e a 108.5 cm da fonteluminosa.

5. UNIVERSIDADE DE VIÇOSA — Um objeto real é colocado oerpen-

dicularmente ao eixo principal de uma lente delgada convergente,

de distância focal 30 cm, a 20 cm da mesma. A imagem é:

a) virtual, invertida, maior que o objeto.

b) virtual, direita, menor que o objeto.

c) real. invertida, maior que o objeto.

d) real, invertida, menor que o objeto.

e) virtual, direita, maior que o objeto.



Resolução: Através da solução gráfica abaixo, podemos estabelecer ascaracterísticas da imagem:

Conclusão: A imagem será virtual, maior que o objeto c direita em

relação a ele.


Observação: O exercício poderia ser resolvido analiticamente. 68 quiséssemosdeterminar numericamente as características da imagem

(ObjCto real a 20 cm da lento.)

+ 30 cm

Aplicando a equação de conjugação dos pontos para lentes delgadas nascondições de Gauss. vem:

I+

P

— => —f 20

1 1 _ 1 1

30 p' 30 20

p' -- —60 cm(A imagem encontra-se a 60 cmda lente. O sinal negativo

indica que a imagem é virtual.)y ' p '

Aumento linear transversal: A = -------------------

y P



268

6. CESCEA — Um objeto real está situado sobre o eixo principal d

uma lente divergente de distância focal igual a 30 cm. O objeto

está a 20 cm da lente. Quanto ao valor absoluto da posição p' da

imagem e sua natureza, pode-se afirmar que:

a) p '— 12 cm; imagem virtual e direita.b) p' = 30cm; imagem virtual e direita.

c) p' = 30 cm; imagem virtual e invertida.

d) p' = 60 cm; imagem real e direita.

e) p '— 60 cm; imagem virtual e direita.

Resolução: De acordo com o enunciado, temos:

Abscissa do objeto (p)

Aplicando a equação dc conjugação para lentes delgadas dc Gauss

vem:

Objetoreal

p_ - f - 20 c m (Objeto real a 20 cm da lente.)

Abscissa dos focos (f)

Lente

divergente

Focos

virtuaisf = —30 cm

F,

1 1 1 i l— I— = — => — — H—

1 1 l

p p' f 20 p' 3030 ^ p' 30 20

- 2 - 3 5 (A imagem encontra-s

a 12 cm da lente. O

sinal negativo indicque a imagem c virtua

60 60



' / / / m 'H t 269

Podemos também calcular o valor tio aumento linear transversal:

A _

P

(O tamanho da imagem é 0,6 vezes o

tamanho do objeto.)

A imagem é direita em relação a ele, pois o sinal do aumento é positivo.


O enunciado seguinte referesc às questões 7 e 8.Uma câmara fotográfica, com uma objetiva constituída por uma lentedelgada de 10 cm de distância focal, produz uma imagem sobre umlllme de 8.0 X 8.0 cm*. É utilizada para fotografar documentos situa-dos a uma distância de 60 cm da objetiva.

7 FUVEST — A que distância da objetiva se encontra o f ilmc?

Resolução: Na câmara fotográfica, a objetiva é constituída por uma

lente convergente. Assim, f — -f-10cm.

Num esquema simplificado da câmara fotográfica,temos:

() documento AB é um objeto real; assim, p = + 60 cm.

Aplicando a equação de conjugação para ler.tes delgadas dc Gauss, vem:

1 1 1 1 1 1 1 I

p p' ~ f 60 p '~ 10 p '~ 10 60

6 - ! _ 5 _ 1

60 60 ~~ 12 p' — +12 cm (A imagem A'B' está



270

8. FUVEST — Ouais são as dimensões do maior documento que s

pode fotografar com essa câmara nas condições descritas acima?

Resolução: O maior documento possível de se fotografar formará uma

imagem que ocupará as dimensões máximas do filme.

Sendo — — y

P —, entao y =

P

Hm valor absoluto:

y — 40,0 cm

Resposta: O maior documento que pode ser fotografado tem a form

de um quadrado dc 40,0 cm de lado.

9. MAPOFEI — Um objeto real frontal com altura igual a 2,0 cm

situase a 60 cm de uma lente convergente. A imagem é recebid

sobre um anteparo e tem o dobro do tamanho do objeto. Dete

minar a distância focal da lente.

Resolução: De acordo com o enunciado, podemos definir as caracterís

ticas do objeto c o aumento linear transversal.

p = - f 6 0 c m (Objeto real a 60 em da lente.)

Lembremo-nos de que uma imagem recebida num anteparo é uma ima

gem real.

Sendo o objeto e a imagem reais (mesma natureza), a imagem é inve

tida em relação ao objeto.

O tamanho da imagem é o dobro do tamanho do objeto; portanto,

módulo do aumento é igual a 2.

A imagem é invertida; então o aumento tem sinal negativo.

Assim, podemos escrever:

Objeto

real

p' p _ Como A = ------ , então ------ = —2 => p 'r- 2p .

Como p = +60 cm, vem: _______

p '= 2 . 60 => I p' - — 120cm j (Imagem real a 120cm da lent



Aplicando a equação dc conjugação para lentes delgadas de Gauss, vem:

1 1 1 2 - 1 1-------- 1-------- = — => ---------- = — =>

60 120 f 120 f

3

1 1 _ 1

P P' f

= — => f f — • 40"cm 1. A distância focal da lente é120 f ------ ---------

igual a 40 cm. O sinal positivo indica que a lente c convergente.

Resposta: A lente é convergente com distância focal igual a 40 cm.

10. FAAP — A distância focal de uma lente divergente é de 25 cm.

Onde se deve colocar um pequeno objeto luminoso perpendicular

ao eixo principal para que sua imagem seja 1/6 do tamanho doobjeto?

Resolução: O enunciado nos fornece o módulo do aumento linear trans-versal.

Lembremos também queObjeto

luminoso

Objeto

real

A lente divergente fornece de objetos reais imagens sempre virtuais.

Como o objeto e a imagem têm naturezas opostas (real e virtual), po-demos escrever:



272■ _ — ■ - ■

Portanto, podemos estabelecer o aumento linear transversal:

( Imagem direita c com tamanho igual a — do tamanho

do objeto.)

I p'Portanto, A = \-----= ------- =>

6 p

Como a lente é divergente, teremos f = —25 cm.

Aplicando a equação de conjugação, temos:

p — { 1 25 c m (Objeto real a 125 cm

divergente.)

1

25

da lente

R e s p o s t a : O objeto deve ser colocado a 125 cm da lente.

11 . INATEL — Os raios de curvatura das faces de uma lente bicon-

vexa de vidro medem 20 cm. O índice de refração do vidro é 1,5.

Achar a distância focal da lente, quando o meio externo a ela

for o ar.

R e s o l u ç ã o : A distância focal dc uma lente depende dos raios de curva-

tura das suas faces e dos índices dc refração da lente e do meio externoa cia. A distância focal f é dada pela f ó r m u l a d o s fa b r i c a n t e s (Halley):



Lente biconvexa

Em relação à lente biconvexa fornecida, temos:

R a io s d e c u r v a t u r a d a s f ac e s

R, - R-: =r + 20 cm

1 _ Faces convexas

í n d i c e s d e r e f r a ç ã o

n,. = nvidro _ 1 ,5 (a lente é de vidro)

nM= njr 1,0 (a lente está imersa no ar)

Aplicando a fórmula de Halley:

í» | f =■--- | 20 c m | (A lente biconvexa tem uma distância focal de

20 cm. O sinal positivo indica que a lente éconvergente.)

R e s p o s t a : A distância focal da lente é de 20 cm.

C o m e n t á ri o a d i c io n a l a o e x e r cí cio n . ° 1 1 :

Sabemos que a distância focal de uma lente depende do meio em que

a lente está imersa. Para a lente do exercício anterior, se a colocarmoscm um líquido cujo índice de refração vale nM= 2, a distância focalda mesma será dada por:



274

Como a geometria da lente não sofreu alteração, o termo

í 11

^ R, R>

será o mesmo q

1( 1,5

f ^ 2l) ■ ( — ) = > - = ( - 0 ,2 5 ) . ( — )f V 20 / f V 20 /

f = —40 cm (A l e n t e b í c o n v e x a , quando imersa no líquido

índice de refração nM= 2 (nL< nM), comport-se como uma l e n t e d i v e r g e n t e de distância foc

igual a 40 cm.)

12. MEDICINA DO ABC — Uma lente bicôncava de raios de curvatu

iguais a 10 cm. com índice de refração 1,5, tem convergência d(Supor a lente imersa no ar.)

a) -f-10 dioptrias. d) —10 dioptrias.

b) -f-5 dioptrias. e) —15 dioptrias.

c) —5 dioptrias.

Resolução: Em relação à lente bicôncava dada (admitida delgad

temos:

Raios de curvatura das facesRt = R;; _ —10 cm

t--------- Faces côncavas

í n d i c e s d e r e f r a ç ã o

n, = 1,5 (índice de refração da lente)

nM— nar 1 (lente imersa no ar)

Lente bicôncava \

Face côncava



» -

Aplicando a fórmula dc Halley, temos:

(A lente bicôncavn Irtu iinmdistância focal dc 10 cm

sinal negativo indica i|Uf >ilente é divergente.)

10f — .—10 cm

1 A convergência da lente é dada por C = — .

Portanto, C = ------------ => C = --------- . ------- — 10 cm 10 m

100 1

10 mC - —10 m -1

100

10 di ______________


C o m e n t á rio a d i c i o n a l a o e x e r c i d o n .° 1 2 :

Se colocarmos a lente do exercício anterior cm um meio cujo índice

dc refração vale nM= 2, a distância focal da mesma será dada por:

Fator geométrico

O fator geométrico independe do meio cm que a lente está imersa,sendo o mesmo tanto no ar como no novo meio considerado (nM= 2).

Assim:1

f 7 = ( - 0,25) . ( - - L . )

$



276

13. ENGENHARIA DE OURO PRETO — Uma lente esférica de vid

delgada, convexo-côncava, tem o raio da superfície côncava gu

a 5.0 cm e o da convexa igual a 20,0 cm. Sendo o índice de r

fração do vidro, em relação ao ar, n = 1,50. a convergência dess

lente é igual a:

a) +7,5 dioptrias. d) —7,5 dioptrias.

b) +15,0 dioptrias. e) —0.075 dioptria.

c) —15,0 dioptrias.

R e s o l u ç ã o : Em relação à lente c o n v e x o - c ô n c a v a dada, temos:

R a i o s d e c u r v a t u r a d a s f ac e s

F a c e c o n v e x a : R; = ~ 20 cm

F a c e c ô n c a v a : R| = —5 cm

f n d i c e s d e r e f r a ç ã o

— índice de refração do vidro em relação ao ar =. 1,5nar

Aplicando a fórmula de Halley, temos:



f

C M m as

A convergência da lente é o inverso de sua distância í<hui r* ..........

_ 1 1,5 1 1,5 1 130 I

f 20 cm 20 m 20 in

=> C = -7 ,5 m -1100

C _ 7,5 di


14. FEI — O índice de refração de um cristal está reloclonndo com

a coloração da radiação incidente, conforme indica a tabolli nhnixn.

Uma lente convergente é construída com esse material o vorlflcn

-se que, para a radiação monocromática azul. sua convmijrtm.lii rtde 2 dioptrias. Oual a distância focal dessa lente quando nnln

incidir um raio.de luz monocromática vermelha? Conftldar« n

lente imersa no ar.

Cor vermelho laranja amarelo verde azul vlolota

n 1,617 1,622 1,627 1,631 1,638 1,649

Resolução: Vamos admitir, inicialmcnte, que a lente dada seja iltlgada

A distância focal de uma lente delgada depende de sua geometria

(raios de curvatura das faces) e dos índices de refração da lente c domeio externo. Como sabemos, o índice de refração depende da luz

monocromática analisada na refração.

Para o caso da luz azul, temos C ^ i — -f 2 di c n ^ i = 1,638 (tabela).

Sendo C Millf.

l —-----h e n t ã o :V nar } VRi R, /

metria da lente c a mesma, portanto o termoV R, R, /

é o



278

Substituindo (I), vem:

1

fvermelho

= 0,617 .2 0,638 1

---------=> Ucm>C'.*,o = ----------. — = 0,51 / =>0,638 0,617 2

--------

-

" ' —

L e ií rt rl ho — 0 w 17 m

Resposta: A distância focal da lente para a !uz vermelha vale 0,517

15. ITA — Temos 4 lentes delgadas com as seguintes distânciafocais: f i = —5 cm, U — 10 cm. Í3 = —20 cm e f i — 40 cm.Combinamos tais lentes duas a duas. Determinar a vergência cada uma das associações por justaposição:

a) f i e f2; c) f i e

b) fa e h; d) fa e f*.

Resolução: Determinemos a vergência (ou convergência) de cada um

das lentes, lembrando que c = i

____ f

• Para a lente dc distância focal fi = —5 cm:

1 I 1 100 1C, -

f i 5 cm m

100

m

Logo, Ci = -2 0 ;m -, ‘ C, — -2 0 di (Lente divergente)

D i o p t ri a

• Para a lente dc distância focal f2 — 10 cm:

1 1 1 100 1C, -

f. 10 cm 10 10 m

100

m

Logo, C2 = -t-1 0m -1 ---------------- n

Cj — ~f U) di ( Lente convergente)



279

• Para a lente de distancia focal f3 = —20 cm:

1 1 1 100 1C,

fa 20 cm 20

10020 mm

= - 5 diLogo, C3 = —5 m -1 =>

• Para a lente de distância focal f4 = 40 cm:

1 1 1 100 1

(Lente divergente)

C4= f4 ' 40 cm

Logo, C4 = -f 2,5 m_1

40

100

40 mm

Ci — —2,5 di (I-cntc convergente)

A vergência das associações pode ser calculada através da soma algé

brica das vergências das lentes associadas.

Analisemos, então, cada um dos casos pedidos:

a) f, e f2:

C = C, -f C2 = —20 + 10 = - 1 0

"Portanto:

(As duas lentes comportam-sc como uma só lente

de vergência —10 di: divergente.)

b) f2 e f3:

C = C2 + C8 = + 1 0 - 5 = -f 5

Portanto:

(As duas lentes comportam-se como uma só lente de

vergência -1-5 d i: convergente.)

C) fi e f3:

C = Ci + C3 = -2 0 — 5 = -2 5

Portanto:

( As duas lentes comportam-se como uma só lente

de vergência —25 di: divergente.)

d) k c f4:



280

C o m e n t á r i o a d i c i o n a ) a o e x e r c íc i o n . ° 15 :

Quando duas lentes, uma convergente c outra divergente, d e m e s m a d is

t â n c i a f o c a l , são associadas por justaposição, o s i st e m a a s s o c i a d o nã

converge nem diverge o pincel cilíndrico incidente. Um pincel cilíndricincidente emerge cilíndrico, após atravessar as duas lentes.

No exemplo abaixo, temos:

j fi = -f lO cm (convergente)

v f2 = —10 cm (divergente)

r r r 1 1 , 1U = C-i -f- — = ----- 1-----=?f fl f,

1

f

I

10-------= 0 = >

10

1 6 . MEDICINA DE SANTOS — Calcular a distância focal do sistemn

composto da justaposição de duas lentes delgadas, uma plano

-convexa de raio 60 cm e índice de refração 1,8 e outra plano-côn

cava de raio 80 cm e índice de refração 1,5.

a) 15 m d) 1.36 m

b) 7,5 m e) n.r.a.

c) 1,41 m



R e s o l u ç ã o : Podemos calcular as distâncias focais das duas lentes fornecidas através da fórmula de Halle', supondo as lentes imersas no ar:

• L e n t e p la n o -c o n v e x a

Pela equação de Hallcy, vem:

± = (_Lf i V n „ v R i

11= (1 ,8 - 1 ) .

+ I)60

' 1 10 => — = 0,8 . -----

u 60 600

1 _ 1

• L e n t e p la n o - c ô n c a v a

Face côncava: Ri = —80 cm , ^ace plana:1

rT

—> 0



282

Quando as duas lentes são associadas por justaposição, a associaçã

formada tem uma convergência C dada por:

As duas lentes associadas comportam-se como uma única lente con

vergente de distância focal de, aproximadamente, 1,41 m.

1. CESCP'A — Uma lente biconvexa dc vidro 6 colocada inicialmente em u

meio (1) de índice dc refração nlt em seguida num meio (2) dc índice drefração n2 e, finalmente, num meio (3) de índice dc refração n3. Obscvou-se que a lente era divergente cm (1), convergente cm (2) e não desviava luz quando imersa cm (3). Se nv for o índice de refração do vidro, coclui-se que:

a) n2 < nv = n3 < nv d) n2 < nv < n3 < nt . b) n, < nv = n3 < n2. c) Não sei.c) nv= n3 < nj < n2.

2. C ESC EA — Nas condições da questão 1, sc a lente fosse bicôncava teríamo

a) n2 < nv = n3 < nt. d) n2 < nv< n3 < nt.

C = C| 4- Cu => —-— —

1 1=>------= -----

” f 75

160 - 75 85

160 160 . 75 160 . 75

160 . 75f 141,18 cm f -1 1,41 m=> f = -------

85

f «1.41 m

F


b) n, < nv= n3 < n2.c) nv= n3 < nj < n2.

e) Não sei.



1283

3, FUVEST — Dcseja-se determinar a distância focal dc uma lente convergente. Faça o esquema de uma montagem adequada para determinar expe-ri mental mente o valor da distância focal da lente, justificando a solução

proposta e indicando o material utilizado. (O índice de refraçSo da lente

é desconhecido.)

■I FUVEST — Na figura está representada uma lente delgada convergente e3 raios paralelos incidentes. Complete a trajetória dos raios luminosos.

í FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um objeto é colocado diante de umalente convergente cuja distância focal é f, num ponto entre f c 2f. com sua

base sobre o eixo principal da lente. A imagem c, neste caso:u) real, invertida ede tamanho maior que o objeto.

b) real. invertida ede tamanho igual ao objeto.c) virtual, direita ede tamanho maior que o objeto.d) virtual, direita cde tamanho menor que o objeto.c) virtual, invertida c de tamanho menor que o objeto.

I UNIVERSIDADE DF. SF.RGIPE — Na figura abaixo está representado oeixo óptico (X) de uma lente convergente, um objeto (O) e sua imagem (I),conjugada pela lente. Aproximadamente, cm que ponto do eixo óptico deve

estar localizada a lente?



284

Este enunciado refere-se às questões dc números 7 e 8.Uma lente biconvcxa 6 iluminada por uma vela que se encontra sobreo seu eixo óptico; uma imagem real e invertida ó conjugada pela lente. Doisobservadores O e O' olham pa-a a magem formada, conforme indica afigura. O está colocado no eixo óptico da lente, enquanto queO' está numa linha perpendicular ao eixo:

7. FUNDAÇÃO CARI.OS CHAGAS Se não se colocar nenhum anteparna posição da imagem e se o ar for puro (isento de fumaça, pó. etc.), pode-M

dizer que:a) os observadores O c O não podem ver a imagem.

b) ambos os observadores O c O' podem ver a imagem.

c) o observador O' pode ver a imagem, mas o observador O não pode vea imagem.

d) o observador O pode ver a imagem, mas o observador O não pode va imagem.

e) Nenhuma das afirmações anteriores é correta.

8. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Coloca-se uma folha de papel tlseda fino. bem translúcido, na posição da imagem, inclinado a 45° cm relaçâo ao eixo óptico da lente. Neste caso:

a) ambos os observadores O e O' podem “ver" a imagem.

b) os observadores O c O' não podem “ver" a imagem.

c) o observador O' pode "ver” a imagem, mas o observador O não potl<“ver" a imagem.

d) o observador O pode “ver" a imagem, mas o observador O não pod

“ver" a imagem.e) Nenhuma das afirmações anteriores é correta.

LenteImagem

Parede

O



-

Ó //& U W ' 285

V. UNIVERSIDADE DE FORTALEZA A figura representa as posiçõesrelativas de um objeto, uma lente convergente, um anteparo de vidro foscoe o o’ho dc um observador. A lente projeta no anteparo a imagem real do

objeto. Na montagem da experiência, o objeto aparece dc perfil, isto é. perpendicularmente ao plano da figura. A esquerda, vê-se o objeto dc frente.

Objeto (frento) Objeto (perfil) Lente Anteparo Observador

10 ITA — Temos abaixo uma lente delgada I.. de focos f e f , e uma fonte



286

11. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — O esquema abaixo representaum objeto diante de uma lente que funciona como lupa.

A alternativa que nomeia corretamente as partes identificadas da figura c:a) 1: objeto; 2: imagem; M. distância focal.

b) I: objeto; 2: imagem; N: distância focal.

c) 2: objeto; 1: imagem; P; distância focal.d) 2: objeto; 1: imagem; N: distância focal,c) 1: objeto; 2: imagem; P: distância focal.

12. FMU — A lupa é um instrumento óptico, formado por uma lente convergente que fornece, de um objeto real. uma imagem:a) real, inversa, igual. d) virtual, inversa, maior.

b) real, direita, maior. c) virtual, direita, maior.c) real, inversa, maior.

13. ENGENHARIA DE SANTOS — Uma lente delgada convergente associauma imagem a um objeto linear normal ao eixo principal.a) Se o objeto e a imagem forem ambos reais, a imagem é invertida.

b) Se o objeto e a imagem forem ambos reais, a imagem é direta.c) Em caso algum pode a imagem ser maior do que o objeto.d) Se o objeto for virtual, a imagem c real e maior do que o objeto.e) n.d.a.

14. ENGENHARIA DE TAUBATÉ — Uma lente divergente pode formarimagem real:

a) quando o objeto é virtual. b) em nenhum caso.c) em todos os casos.d) quando o objeto é real c está além do foco.

15. ENGENHARIA DE SAü JOSÉ DOS CAMPOS — Um objeto com 0,06 mde altura é colocado a 0,45 m dc uma lente convergente com 0,15 m dcdistância focal. A altura da imagem, cm metros, e sua natureza são:a) 0,03: real, invertida. d) 0,18; virtual, invertida.

b) 0,06; virtual, não-invertida. e) Nenhuma das respostas anteriores.

c) 0,12; real, não-invertida.



287

6, UNESP — Uma lente delgada convergente possui distância focal f = —(1/4) m. Diante da lente situa-se um objeto real; sua distância à lente

é |p = — m, sua altura é |y = 3 0 mm.

a) A imagem forma-se à distância |p' = (2/5) m da lente, tem grandeza|y'| = 18 mm. é real c invertida.

b) Idcm, idem, real e direita.

c) Idem, idem, virtual e direita.

d) Idem, idem, virtual e invertida.

e) n.d.a.

7. MEDICINA DO ABC— A lente convergente L conjuga ao ponio-objeto--rcal A, distante 10 cm da lente, o ponto-imagcm-virtual A', distante 12 cm

sua imagem de 2,00 cm ce altura, conjugada por uma lente convergente,6 de 30.0 cm. Qual c a distância do objeto à lente?

a) 15,0 cm d) 22,5 cm

b) 17,5 cm e) 25,0 cm

c) 20,0 cm

’> MAPOFEI — Um ponto-objeto O está inicialmcnte a 50 cm dc uma lentedelgada convergente, de 6 dioptrias, e situa-se no eixo óptico da mesma.Sua imagem I forma-se a 25 cm da lente. Qual será a velocidade da imagemse o objeto dcslocar-sc perpcndicularmcntc ao eixo da lente, com velocidadeV = 6 m/s?

tt CESCEA — Um objeto luminoso está a uma certa distância 1.7^0 dc umanteparo. Foi colocada uma lente convergente de distância focal f entre oobjeto e o anteparo, de tal modo que a imagem real do objeto localizou-seno anteparo. Qual é a relação entre L e f. de modo que haja apenas uma



288

21. ACAFE (SANTA CATARINA) — Um objeto dc 4 cm de altura está 10 cm dc uma lente, formando uma imagem real e 3 vezes maior. Então

podemos afirmar que:a) a lente é convergente e a distância focal é 3,6 cm.

b) a lente é divergente e a distância focal é 7,5 cm.c) a lente é divergente c a distância focal é 15 cm.d) a lente c. convergente c a distância focal c 7,5 cm.e) a lente c convergente e a distância focal é 30 cm.

22. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES Um projetor tem. numdado instante, uma distância entre objeto (diapositivo) e lente igual a 2 cm.Sc a imagem é 10 vezes maior que o objeto e invertida, a distância focaldessa lente é de:a) 10 cm.

b) 2 cm.

. 20c) ----- cm.11

d)

e)

u20

10

3

cm.

cm.

23. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Uma lente convergente delgada con juga ao objeto O uma imagem I, como se mostra na figura abaixo.

a) 1.1 cm b) 2,1 cmc) 3,1 cm

d) 4,1 cme) 5,1 cm

24. CESGRANRIO Você fotografa um objeto,imagem do objeto fotografado se formar:a) na frente da lente da máquina. b) sobre a lente.c) entre a lente e o filme.

d) sobre o filme.e) atrás do filme.

A fotografia será nítida se u



tl. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Uma máquina ...................

constituída por uma lente de distância focal de 10 cm c uma t Im|«u Mo gráfica, como mostra a figura.

1« MEDICINA DE SANTOS — Uma lente plano-convexa, cuja face convexa«cm curvatura igual a lOcme cujo índice dc refração é 1.516, c imersa nom e na água; o índice dc refração da água é igual a 1,333. Calcular asdistâncias focais da lente no ar e na água.u) 0,194 m c .0,730 m. d) 11,37 m c 5,16 m.

b) 5,16 m e ll,37m. e) n.r.a.c) 0,730 m e 0,194 m.‘

1' I L'NDAÇÃO CARI.OS CHAGAS — Qual das seguintes lentes biconvexascom faces de mesmo raio tem menor distância focal, quando mergulhadasno ar? (R = raiodas faces; n = índice de refração emrelação ao ar.)

a) l.a lente: R = 2,0 cm; n = 1,5. d) 4.a lente: R = 1,8 cm; n = 1.4. b) 2.a lente: R = 3,0 cm; n = 1,8. e) 5.a lente: R= 1,0 cm; n = 1,5.c) 3.a lente: R= 2,5 cm;n= 1,6.



290

29. 1TA — Uma lente duplamcntc convexa tem raios de curvatura dc 25 cmíndice dc refração 1,50. Calcular a posição da imagem (I) dc um objetcolocado sobre o eixo, a 60 cm da lente:1. °) quando a lente se acha no ar;2. °) quando imersa na água.

São dados os índices de refração: m,, 1,00; niglU= 1,33.Ar Aguaa) q = 25,00 cm

b) c = 42,86 cmc) q = 42,86 cmd) q = 12.25 cm

q _ 73,52 cmq = —155,25 cmq = 155,25 cmq = 0,01 cm

e) Nenhuma das afirmações acima está correta.

30. MEDICINA DE SANTO AMARO Uma lente convergente de distâncfocal dc 20 cm possui a convergência dc:

a) 10 dioptrias. d) 0,5 dioptria. b) 5 dioptrias. c) 0.2 dioptria.c) 2 dioptrias.

31. MEDICINA DE SANTO AMARO — A convergência, em dioptrias. de mnlente divergente de 200 cm de distância focal é:a) -0,15. d) 0,05.

b) -0,5 . e) n.r.a.c) 0,5.

32. ENGENHARIA DE TAUBATÊ — Um objeto real encontra-se a 10 cde uma lente convergente dc 20 dioptrias.a) A sua imagem c real e maior que o objeto.

b) A sua imagem c real e menor que o objeto.c) A sua imagem c virtual e maior que o objeto.d) A sua imagem c real e igual ao objeto.

33. ESCOLA DE BELAS ARTES (SÀO PAULO) — Duas lentes biconvcxdelgadas, perfeitamente idênticas, tendo cada uma distância focal iguul

10 cm e raio dc curvatura 8 cm, acham-se justapostas. A associaçãoser substituída por uma única lente do mesmo material:a) de distância focal 20 cm. c) de distância focal 8 cm.

b) dc distância focal 10 cm. d) de distância focal 5 cm.

34. MEDICINA DE SANTOS — Calcular a distância focal do sistema compo pe'a justaposição de duas lentes delgadas, uma plano-convexa de raioc índice de refração 1,8 e outra plano-côncava de raio 80 cm c índice refração 1,5.a) 15 m d) 1,36 m

b) 7,5 m c) n.r.a.



}S. MEDICINA DE MARILIA — Três lentes foram construídas com ummesmo tipo de vidro, no qual a velocidade da luz amarela é de 200 000 k n vAs 3 lentes podem ser consideradas delgadas. Uma delas é biconvexn, com

3 dioptrias. A segunda é plano-côncava com 25 cm de distância focal. Aúltima é plano-convexa com raio de 1m.Justapomos essas 3 lentes e vamos usá las no ar (índice dc refração praticamente igual ao do vácuo) com luz amarela.A convergência dessa associação, em dioptrias. e o tipo dc associação são,respectivamente: Nota: a velocidade da luz no vácuo é de 300 000km/s.

a) 99/25; convergente. d) 1; convergente. b) 1; divergente. e) 1/2; divergente.

c) 299/100; divergente.

I i>



292

14. a

ANa figura representamos em relação ã lente divergente:pincel incidente cônico convergente -* ponto-objeto-virtualpincel emergente cônico convergente-* ponto-imagem-real

15. a 16. a 17. e 18. e

19. V, = 3 m/s

20. d 21. d 22. c 23. c 24. d 25. a 26. c 27. e 28. d 29. c 30. b 31. b

32. d 33. d 34. c 35. e



cnriTULO

8Complementos



Neste capitulo estudaremos inicialmente as associações de sitemas ópticos e suas aplicações práticas (microscópio, luneta, telecópio. etc.), complementando a seguir com o estudo da óptica dvisão, fotometria e cores.

Associação de sistemas ópticos

• Apresentação — Nos capítulos anteriores, estudamos os problmas que envolviam os diversos sistemas ópticos isoladamente (epelhos. lentes, etc). Analisaremos agora os oroblemas que envolvemais de um sistema óptico. É o caso de muitos instrumentos ópticotais como microscópios, lunetas, telescópios, onde os elementos bsicos que os compõem constituem uma associação de sistemas ópcos. Observe os exemplos seguintes:

1) Na figura I representamos uma fonte de luz P, diante de umlente convergente Li. A luz emitida pela fonte atravessa a lente converge para o ponto P„. Portanto, em relação à lente convergentLi (1.° sistema), temos:

P( == Pontoobjetoreal (pincel incidente cônico divergente);

P., Pontoimagemrea (pincel emergente cónico convergente

Se irtroduzirmos a lente convergente U (2.° sistema), a luz qu

emerge da lente Li passa a incidir na lente L2. O pincel incidente nlente L_. tem como vértice o ponto P2 e. após atravessar essa lenteo pincel converge para o ponto Pa.

Portanto, em relação à lente convergente U (2.° sistema), temos

P„ s= Pontoobjetoreal;

P. sá Pontoimagemreal.

Observe que a imagem conjugada pelo 1.° sistema (P2) funcion

como objeto para o 2.° sistema.Portanto, objeto e imagem são conceitos relativos; dependem d

sistema óptico analisado.



Figura I

En relaçáo à lente L,:

= POR

= PIR

2.® sistema

En relação

à lente U:= POR= PIR

Representação:

1*1 U,

p / P;

| n t8 l ' | p I I I I

I I I

T J

~ 0

=

S

/

I P,. = POR

Ler,te u- i p:=PIR



296

2) Na figura II representamos uma fonte de luz P, diante de uma

lente convergente L,. A luz emitida pela fonte atravessa a lente e

converge para o ponto P... Portanto, em relação à lente convergente

Li (1 .° sistema), temos:

P, = Pontoobjetoreal:

Pa =s Pontoimagemreal.

Se introduzirmos a lente divergente L? (2.3 sistema), a luz que

emerge da lente Li passa a incid ir na lente L*. Se não houvesse o

sistema 1.,, o pincel que emerge ca lente La convergiria diretamente

para o ponto P2. Agora, o pincel incidente na lente L_. tem como vér-

tice o ponto P„ e, após atravessar essa lente, o pincel diverge com

vértice no ponto P3.

Portanto, em relação à lente divergente L2 (2.° sistema), temos:P2 = Pontoobjetovirtual (pincel incidente cônico convergente):

P3= Pontoimagemvirtual (pincel emergente cônico divergente).L,



>

£22 297

Aplicações

I. Espelhos angulares

Quanco dois espelhos planos formam entre si um ângulo 0, observamos a for

mação de uma série de imagens, associadas a um objeto colocado entre as suaslaces refletoras.

E,

Tomemos por exemplo dois espelhos E, e E.,. formando entre si um ângulo

0 «= SfX-, e o objeto P en tre as suas faces refleto ras. O espelho Ex conj uga a imagem

virtual Pj. simétrica do objeto P em relação ao plano do espelho . O s raios de luz

'i "> partem do objeto P, após refletirem no espelho Ex. passam a incidir no espelho

t a, ‘como se v iessem " do ponto PV Em relação ao espelho Ea. o pon to P' é um

ponto-objeto-real. O espelho E2 conjuga entãc a imagem virtual P '\ Note que o

pincel refletido no espelho E;, afa sta-se da asso ciação, não incidindo mais em nenhum

dos dois espelhos, não dardo origem a mais nenhuma Imagem. Isto ocorre q jsndo

a última imagem formada nesta série localiza-se no ângulo oposto ao ângulo fornindo pelos espelhos. Este ângulo ó chamado dc ângulo morto.

De maneira análoga, teremos a formação de uma sér ie de magens a partir da

primeira reflexão da luz no espelho E.,.



298

Como as imagens estão posicionadas simetricamente em relação a E, c r.2, edistam igualmente do ponto O. pertencerão a uma circunferência de centro O eraio OP.

Portanto no caso de 0 —90'. teremos três imagens conjugadas. já que P-' e P"

são coincidentesPara alguns ângulos 0. o número ce imagens conjugadas (N) pode ser obtido

através da expressão:

f 360°

0

for um número par. para qualquer posi-

válida se ^çào do objeto.

360’

0

for um número ímpar, desde que o

Exemplo:

Se 0 =- 90- => N =360--

90=

360'

objeto esteja no plano bissetor do ângulo 0.

- 1 = 4 1 => N = 3 imagens.



Espelhos angularesEspelhos paralelos

Quando os espelhos Ex e E.. são paralelos, e um objeto P é Colocado entro as

»uns faces rofletoras. temos também a formação de duas séries de imagens:

• Dovido ã primeira reflexão da luz no espelho Ex. formase a imagem virtual P',

lo ponto P. Essa Imagem P' funciona como objeto real para o espelho E2. forman-

dose então a imagem virtual P", que funcionará como objeto real cara o espelho

l!|, e assim por diante, dando origem a uma infinidade de imagens.

• Devido à primeira reflexão da luz no espelho E2. formase a imagem virtual P ',

■lo ponto P. Essa imagem P' funciona como objeto real para o espelho E,. dando

•riflem também a uma infinidade do imagens



/

300

Ei fu



301

•J Microscópio compostp

O microscópio composto ó um instrumento óptico que pemite obter imagensvirtuais de pequenos objetos com bastante ampliação, superando os aumentos•ornecidos pelas lupas, qiie sôo simples lentes de aumento. Os componentes bósi

o08 de um microscópio composto são duas lentes convergentes: a objetiva, dirigida«os objetos, e a ocular, orientada para o olho do observador.

Vejamos como é o funcionamento do micrcscópio composto:

• A objetiva (lente 1). posicionada diante do objeto. forma uma imagem real e

•tmpliada do mesmo, é uma lente de pequena distância focal (da ordem de algunsmilímetros).

Assim:

AB + objeto real em relação ã objetiva:

A'B' *■ imagem real cm relação ã objetiva.

• A ocular (lente 2) funciona como uma lupa. com distância focal da ordem de■Iguns centímetros. A imagem fornecida pola objetiva localizase entre o focoobjetoh o centro óptico da ocular, de modo que a ocular forme uma imagem virtual c

•impliada da imagem formada pola objetiva. Isto c

A'B' -*■ objeto real em relação à ocular;

A"B" * imagem virtual em rolação à ocular (imagem final formada pelo mi-

croscópio).

Microscópio composto

AB —* objeto real em relação à objetiva — lente 1;

A'B' * imagem real em relação à oojetiva — lente 1;



/

302

O microscópio composto é um instrumento óptico de ooservaçàc fornecendo

uma imagem final virtual. O aumento fornecido pelo microscópio pode ser cal-

culado a pa'tir dos aumentos fornecidos pelas lentes objetiva e ocular.

3ela def inição de aumento linear transversa de um« lente, temos:

Aumento linear transversal

da objetiva:

Aumento linear transversa l

da ocular:

Aob-y '

d) =y'

(«D

Aumento linear transversa l do microscópio (A)

O aumento tota fornecido pelo microscópio será:

• Imagem final

Objeto

Podemos então escrever:

y" y' v A y " y'-----

. -----

=> A =y y' y' • y

Substituindo (I) c (II) vem:

A = A oc • A ub A = A o h • A I V

O aumento linear transversal (A) fornecioo pelo microscópio composto é obtido

pelo produto dos aumentos iinearos transversais da objetiva e da ocular

4. Lunetas

As lunetas são instrumentos ópticos util zados para observação de objetos n

grandes distâncias do sistema óptico. De modo análogo ao microscópio composto,

são utilizacas duas lentes convergentes, a objetiva e a ocular. No caso ca lunot»

astronômica os raios de luz paralelos provenientes d«: um astro são focalizados no

^ccimagem da objetiva. A segunda lente, a ocular, amplia a imagem anterior pir«

a observação final.

A objet iva apresenta grande dis tância focal (da ordem dc alguns metros) o «

ocula', pequena distância focal (da ordem de alguns centímetros) (fig. 1).

Ouando o focoimagcm da objetiva coincide com o focoobjeto da ocular, o plnonl

emergente da uneta será também cilínd rico. A luneta transforma o p ncel incidenl»

cilíndrico em um pincel emergente também cilíndrico, serdo chamada, devido a lato,

de luneta afocal (fig. 2).



0 aumento angular (ou visual) de uma lunota é definido por:" 3 — ângulo visual da imagem observada através do

luneta.

onde i ^ — ângulo visual do objeto, observado sem instru-H 0 2 ~ tg a



304

//

5. Telescópio

O telescópio funciona de modo análogo a uma luneta astronómica. Nesse cao lente objetiva é substituída por um espelho parabólico côncavo, como mostrafigura, para evitar as abcrraçõos apresentadas pelas lentes Os raios de luz palelos provenientes de um astro incidem no espelho colocado no fundo do tubo cidrico rígido. A scqüôncia da formação dc imagens no caso do telescópio é ap

sentada a seguir.

Formação de imagens no telescópio: /Tubo cilíndrico rígido

( Aqç *■ pontoobjotoimpróprlo (objeto no infinito) em relaçào ao espelho

parabólico.

A'B' * imagem real em relação ao espelho parabólico.

IA'B' * objeto virtual em relação ao espelho plano.1A"B" > imagem real em relaçào ao espelho plano.IA"B" objeto real em relação à ocular.' A"'B" ' -*■ imagem virtual em relação à ocular (imagem final do telescópio).

Óptica da visão

• A estrutura do olho humano — A visão é o único sentido que n

dá a capacidade de estabelecer um quadro detalhado daquilo qu

ocorre nas nossas proximidades e cm lugares mais afastados de nó

A maravilhosa capacidade de enxergarmos o mundo que nos rode

é garantida por um sistema óptico e fisiológico bastante complicad

o globo ocular humano, que converte a energia luminosa nas sens

ções visuais. A figura seguinte representa o esquema de um ol

humano e seus diversos componentes



Outras cédulas

____ _

nervosas

Músculociliar

Globo ocular humano Células receptoras EPitéll° Pi9men,ado

Humor aquoso

/ B O i \ u

87 7/_. \ Humor ^

Luz 1 1 Lente) vítreo

Pupila(abertura)

Córnea

Retina

Fóvea

Eixo

óptico

Nervoóptico

Vasossanguíneos

Retina Epitóllo

pigmentado Esclerótica

O globo ocular é constituído de diversos meios transparentes

(córnea, humor aquoso, cristalino, humor vítreo), separados entre si

por superfícies que são aproximadamente esféricas. Exteriormente, a

vista humana é um corpo esferoidal, rodeado quase completamente

por uma membrana opaca branca chamada esclerótica. A córnea é a

parte anterior da esclerótica, sendo mais acentuadamente convexa e

transparente. A íris é um diafragma, cuja abertura é a pupila, pelaquai a luz penetra no olho. O cristalino é uma lente biconvexa elás-

tica,' acionada pelos músculos ciliares. O cristalino divide a região

Interna do olho cm duas câmaras, que contêm os meios humor aquoso

» humor vítreo. A retina é uma membrana delgada transparente, sen-

sível à luz. que faz o papel de um anteparo, formandose sobre a

mesma as imagens dos objetos observados pelo olho. Na retina

localizamse células receptoras sensíveis à luz. situadas sobre um

opitélio pigmentado. O pigmento negro do epitélio (coróide), como a

pintura negra das superfícies interiores de uma câmara fotográfica,

nerve para reduzir a difusão da luz no interior do olho. A parte central

do retina, chamada de fóvea, apresenta sensibilidade máxima a luz,



306

• O olho como sistema óptico — Do ponto de/vista óptico, o olho

humano pode ser analisado através de um modelo simples, que equi-

vale opticamente aos efeitos produzidos pela córnea, pelo cristalino

e pelos humores aquoso e vítreo. Tal sistema é chamado de olhoreduzido, sendo constituído basicamente por uma lente que repre

senta os diversos meios ópticos que constituem o olho, e um ante

paro que representa a retina.

O funcionamento do olho humano é muito semelhante ao funcio

namento de uma câmara fotográfica. De um objeto real situado diante

da lente L (objetiva), o sistema óptico conjuga uma imagem real sobre

um anteparo sensível à luz (retina).



•307

Quando o objeto varia sua distância em relação à lente, a ima

flem continua se formando sobre a retina. Isso é possível devido à

ação dos músculos ciliares, que alteram as curvaturas das faces co

Cristalino. Este mecanismo de ajuste da imagem sobre a retina échamado de acomodação visual. Graças à acomodação visual, as ima-

gens do objetos situados a diferentes distâncias sempre se situam

nobre a retina.

Quando o objeto se situa muito longe do olho (objeto no infi-

nito > ponto remoto), o focoimagem da lente coincide com a retina.

I sta situação corresponde ao estado de repouso do olho. isto é. à

ausência de tensão nos músculos ciliares; portanto, o objeto é obser-

vado sem esforço visual. Devido a este fato, é bastante repousantenbservar uma paisagem a distância.

Objeto no infinito

O ponto remoto 6 o ponto mais afastado do olho que pode scr visto nitidamente.Para o olho normal, o ponto remoto situaso no infinito.

Se o objeto observado se aproximar mais e mais do olho, cie

pode ser visto com nitidez, devido ao mecanismo de acomodação, até

hegar a uma distância em que aparece desfocalizado. A distânciamínima, a partir da qual o olho não é capaz de focalizar nitidamente•• imagem sobre a retina, é chamada de distância mínima de visão

ill tinta e nesse caso a tensão dos músc los ciliares é má ima na



O ponto próximo é o ponto mais próximo do olho que pode ser visto nitidamente.Paro o olho normal, o ponto próximo situase a 25 cm do olho.

Para o caso do olho normal, o ponto remoto situasc no infinito (pR » * ) :

1

portanto, ----- -* 0.

Pr

Nesse caso:

• Defeitos do olho — Até agora analisamos o princípio de funcio-namento do olho humano como sistema óptico, para o caso do olho

normal, ou emetrope. Porém, o olho humano pode apresentar defeitos.



Sem utilização de entes corretoras (óculos), o olho miope não tem condiçõesde enxergar nitidamente os objetos entre o seu ponto remoto e o infinito,mas apenas os objetos dentro de sua zona de acomodação.



— Hipermetropia — A hipermetropia é uma anomalia da visão, onde

os raios paralelos que provém de um objeto no infinito formam o seu

foco em um ponto atrás da retina; isto ocorre devido à pouca con-vergência do cristalino. Se um hipermetrope observa um objeto no

infinito, para que a imagem se forme sobre a retina, ele deve exe-

cutar um esforço visual através dos músculos ciliares, utilizando, por-

tanto. o mecanismo da acomodação visual. A correção da hiperme-

tropia é feita através de lentes convergentes, de modo que. asso-

ciando ao olho uma lente convergente, a convergência da associaçãoaumenta. O ponto próximo de um hipermetrope encontrase mais

afastado do olho do que no caso de um olho normal.

Olho hipermetrope corrigido: O ponto próximo do hipermetrope

está mais afastado do olho do que no caso do olho normal. No caso

de um objeto (A) colocado a 25 cm do olho. a lente convergente for-

nece uma imagem virtual (A) situada sobre o ponto próximo do hiper-

metrope.



0 o no hipermetrope tem o seu ponto próximo, mais afastado que o olho normal

— Presbiopia — A presbiopia costuma ocorrer em pessoas de idade

avançada (dai o fato de este defeito ser comumente conhecido po

“vista cansada").Fundamentalmente, o fenômeno consta de um aumento gradativo

na distância mínima de visão distinta, conseqüência da diminuição da

elasticidade do cristalino e dos músculos ciliares.

Uma lente convergente corrige o defeito, fazendo com que obje

tos próximos ao presbita sejam vistos com nitidez. Assim, é comum

que uma pessoa idosa necessite usar óculos com lentes bifocais: a

parte inferior, de natureza convergente, corrige a presbiopia; a parte

superior corrige outro tipo de defeito.— Astigmatismo — O astigmatismo é uma anomalia da visão, carac

terizada pela forma nãoesférica da córnea. O olho astigmático forma

sobre a retina as imagens dos objetos sem nitide ocasionando por



0 olho astigmático pode scr comparado.a um balão esférico comprimido.

-------------------------------------------------------------------------------

1. 0 fato de um sólido tornar-se invisível quando mergulhado num moio fluidoce mesmo índice de rcfração foi aproveitado pelo escritor de ficçãoH. G. Wells em sua estória “O homem invisível". Essa estória fala de umhomem que logrou tornar invisível seu corpo ^azendo com que seu índicede refraçáo se tornasso çual ao índice de refração do ar para qualouc-radiação monocromática Entrotanto. se tal homem existisse realmente eleseria cego. pois seus o;nos (çue se comportam como lentes) não poderiamrefratar os raios do luz e formar imagens na retina.

2. Há uma moléstia dos olhos denominada catarata na qual o cristalinotorna-sc opaco, impedindo a visão. A visão, neste caso. pode ser restauradapela retirada do cristalino, compensando-so sua perda com uma lentede vidro convenionte externa ao olho.

3. A rotina apresenta dois tipos de células fotossensíveis: os cones e osbastonetes Os cones acumuiam-se na região central funcionam somente com

luz forte e permitem a percepção de cores. Os bastonetes acumulam-sena periferia, funcionam com luz fraca e permitem a visão em branco e preto.Nos bastonetes há um pigmento, a rodopsina. indispensável àvisão em ambiente escuro.

4. A -ocalização simultânea de um objeto pelos do;s olhos (visão binocular)



314

Fotometria

A luz emitida por uma lâmpada transporta energia ao longo do

meio cm que sepropaga. Esta energia provoca sensação visual num olho

normal: c a energia luminosa.

O ramo da ciência que se preocupa em medir as quantidades de

energia luminesa é chamado de fotometria. Definiremos a seguir

alguns elementos básicos da fotometria.

• Fluxo luminoso — Consideremos uma fonte pontual de luz. A

energia luminosa emitida pela fonte propagase através do espaço.

O pincel de luz transporta energia luminosa.

O quociente entre a energia luminosa emitida e o correspon-

dente intervalo de tempo de emissão é denominado fluxo luminoso.

Ou seja, , onde ó é o fluxo luminoso. W é a energia

luminosa emitida c At, o intervalo de tempo de emissão da energia

luminosa.

No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de fluxo

luminoso é o lúmen (lm).

• Intensidade luminosa de uma fonte — Definese intensidade lumi-

nosa de uma fonte pontual como o quociente entre o fluxo luminoso

emitido e o correspondente ângulo sólido de emissão.

Ou seja. onde í é o fluxo luminoso e a, o ângulo



f . É■ê7 ///U 3V 315

Prancha matemática

Ângulo sólido (a) — Ao elemento de área A da esfera corres-ponde o ângulo sólido a.

Centro

Nessas condições, a medida do ângulo sólido a, em esterradianos.

é obtida através da expressão

No Sistema Internacional de Unidades ÍSI), definese um esterradiano (sr) como sendo o ângulo sólido que, tendo vértice no centro de uma esfera, faz corresponder na sua superfície uma

área igual ao quadrado do raio da esfera.Note que se duas fontes luminosas enviam ao espaço pincéis

de luz com o mesmo ângulo sólido de abertura, o pincel que trans-



316

• Aciaramento (ou iluminamento) — Quando o fluxo luminoso incide

numa superfície definimos como aciaramento (E) o quociente entre o

fluxo luminoso e a área da superfície iluminada.

Ou seja. , onde 4>é o fluxo luminoso e A. a área na

qual incide o fluxo luminoso ò.

Quando o aciaramento é o mesmo em todas as porções de área

da superfície em estudo, dizemos que o aciaramento é uniforme, ou

seja. a área é iluminada uniformemente.

No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de aciara-

mento é o lux (lx).

Podemos estabelecer uma relação entre as grandezas estudadasanteriormente:

E (aciaramento nasuporfície)

Fonte deintensidade I



317

E =

* = E . A = I . a

Como a = — (supondo pequena a área A. pois o ângulo sólidor2

foi definido a partir da superfície esférica), vem:

E . A = I . — => E —

Para uma incidência luminosa normal a uma superfície, o aclara-

mento é diretamente proporcional à intensidade da fonte e inversa*

mente proporcional ao quadrado da distância da fonte à superfície.

1. Variação do aclaramento com a distância à fonte

Aj = 9A

O ângulo sólido a ó constante. A intensidade luminosa I é constante.

Para as superfícies (1), (2) e (3) temos:

(20* '-

(30*J J W1

r* ’ "* 4r* “J 9r*

E-



318

Exemplo: Corro a área A3 é quatro vezes maior que a área A, e o fluxoluminoso é constante, a área A^ terá urn aclarsmento quatrovezes menor que a área A .

I2. Caso a incidência n5o seja normal, deveremos escrever E = ------ . cos v.

r*onde y ó o ângulo do incidência da radiação luminosa.

Cores

• introdução — A principal fonte de luz na natureza é o Sol, que

emite luz branca (policromática), a qual se decompõe em sete radia-ções monocromáticas que impressionam a nossa retina: vermelho,

alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta.

Cada uma das cores componentes da luz branca constitui uma

cor espectral. As cores espectrais são puras, isto é. não podem

ser decompostas em outras cores componentes. Assim, por exem-plo. se analisarmos a cor componente verde da luz solar, não pode-

remos decompôla em outras cores.



A luz branca poco ser decomposta pelo prisma A luz monocromática verdenão pode ser decomposta.

As cores componentes da luz solar podem recompor a luz branca através doum processo aditivo.

• Mistura aditiva de luzes coloridas — Luzes coloridas (monocro-

máticas) de diferentes lâmpadas podem n r superpostas em um ante-

paro branco, como mostra a figura.



320

As cores componentes que atingem o anteparo são em seguida

difundidas. Assim sendo, a luz difundida pelo anteparo é uma mis-

tura de luzes coloridas, sendo composta de uma parcela da cor A.

uma parcela da ccr B e uma parcela da cor C.

A mistura de cores toma lugar na mente do observador, através

da formação de uma cor composta d ferente cas anteriores (luz “ resul-

tante ' da mistura das três cores). O processo descrito anteriormente

é um processo aditivo. Uma grande variedade de cores compostas

de luz pode ser obtida por esse processo.

Se utilizarmos a luz vermelha, a luz verde e a luz azul nas lâm-

padas conseguiremos obter a mais ampla variedade de cores com-

postas, dosando a properçáo de cada uma dessas cores componentes.Quaisquer outras três cores ce luz utilizadas na experiência nos

forneceriam uma menor variedade de cores resultantes.

Dessa forma, com essas cores de luz podemos obter a mais ex-

tensa variedade de cores (embora não seja possível obter todas as

cores existentes na natureza). Devido a isso. as cores vermelha,

verde e azul são consideradas cores primárias ou cores de luz pri-

márias.

Mistura de luzes

Circunferência que represento a transição das diversas colorações. As cores opostas, ligadas por uma rota que passa pelo centro, sãocomplementares: misturadas cm proporções adecuadas resultam no branco.Por exemplo, são complementares amarelo e azul. vermelho e verdeazulado, e verde e púrpura.



Duas cores de luz são complementares quando, misturadas, ofe-

recem ao olho a mesma Impressão que ele teria se fosse atingido

pela luz branca. Para que o nosso olho tenha a sensação de branco

não é necessário misturar, portanto, todas as cores do espectro.

Existe na natureza uma infinidade de pares de cores de luz com-

plementares. Por exemplo, a cor verde (pura) do espectro é comple-

mentar da cor púrpuraavermelhada (ou magenta). Da mistura das

duas resulta o branco.

• Processo subtrativo das cores — Assim como o termo mistura

aditiva descreveu o processo de adição de luzes coloridas, o processo

de mistura subtrativa está relacionado à remoção de parte da luz

que incide sobre um objeto.

O processo peloqual a luz pode ser removida inclui em primeira

análise * o fenômeno de absorção, que está associado aos “ pigmen-

tos" que definem a coloração de uma superfície. Os pigmentos são

pequenos grãos que. de acordo com a sua natureza, absorvem uma

determinada cor de luz.

Portanto, os pigmentos subtraem de uma luz incidente composta

uma determinada cor. Assim, certos pigmentos absorvem um tip o de

luz colorida, c outros tipos de pigmento absorvem outras cores de

luz. Este é um processo subtrativo.

A cor de um objeto é determinada pela cor da luz que este envia

aos nossos olhos. O objeto envia aos nossos olhos as cores que os

seus pigmentos não conseguem absorver. Assim, no exemplo se-

guinte. os pigmentos da superfície absorvem a luz colorida C; a luzenviada ao olho do observador será a mistura das cores A e B.

* O fenômeno do espalhamento da lu? [scattering) não está sendo considerado neste



322

Pigmentosque absorvema

O observador recebe em seu olho a mistura de luzes coloridas A e B.

A partir do que foi exposto, concluímos que a cor de um corpo depende da luz nele incidente.

Os exemplos abaixo apresentam uma idéia muito simplificada doprocesso subtrativo dc luzes coloridas:

1) Corpos coloridos

Luzsolar

incidonto

Olho

luz difundida

A luz solar incide num determinado corpo. Se o corpo puder absorver todasas luzes monocromáticas, com exceção da verde, só a luz verde serádif did ti i á lh d b d N



Neste caso. a cor do corpo seria vermelha.

2) Corpo branco e corpo negro

Neste caso. o corpo difunde todas as cores que incidem sobre ele.



324

vermelhoalaranjadoamareloverde

azuianilvioleta

Luzsolar incidente

Corponegro

Neste caso. o corpo absorve todas as cores que incidem sobre ele.O observador não recebe luz no seu olho. Dizemos, então, que o corpo tem "cornegra" (na realidade, o corpo é desprovido do cor).

A rigor, a análise das luzes coloridas e cores dos corpos é bas-tante complexa, e muitas considerações fogem ao objetivo do nosso

estudo. Entretanto, a idéia simplificada exposta anteriormente émuitas vezes utilizada em questões de caráter didático.

Existe uma relação entre as cores do luz incidente em uma superfície e ospigmentos que determinam a sua coloração. Cada cor primária de luz. ao incidir

na superfície, é subtraída pelo pigmento que tem a sua cor complementar. Assim, o pigmento púrpura (magenta) absorve predominantemente a luzverde, o pigmento amarelo absorve a luz anil e o pigmento vcrdeazuladoabsorve a luz vermelha.

A partir desse mecanismo, podemos dizer quo existem três pigmentosque “controlam” as três luzes primárias: o pigmento púrpura, o pigmentoamarelo e o pigmento verde azulado. É devido a esse fato que muitosafirmam erroneamente que as cores primárias são o vermelho (confundesevermelho com púrpura), o amarelo e o azul. Esse erro decorre do fatode se desconhecer que mistura de luzes c mistura de pigmentossão dois processos muito diferentes.

• Filtros — O vidro transparente de uma janela permite que todasas cores de luz componentes da luz solar possam atravessálo. Issonão ocorre com os “vidros coloridos’' ou filtros. Estes só permitem

d t d l i id t



Assim, em primeira análise *• quando o fil tro é submetido a uma

luz policromática incidente cie só permite a passagem de uma deter-

minada cor de luz.

Em um semáforo, temos um exemDlo de um processo subtrativo de luzespor absorção, com o auxílio de filtros vermeho. amarelo e verde. Quando osinal está vermelho, o filtro vermelho subtrai por absorção todas as corescomponentes da luz branca, com exceção da sua própria cor, o vermelho.

Os filtros de cores são bastante utilizados nas fotografias empreto e branco. Por exemplo, se utilizarmos um filtro amareloescuro

diante das lentes da máquina fotográfica ele absorverá a faixa de

cores do espectro entre o azul e o violeta, de modo que os objetos

dessa cor fiquem mais escurecidos. Dessa forma, devido ao con-

traste. as nuvens brancas ficarão mais nítidas tendo como fundo um

céu mais escuro.

* Aqui, estamos novamente considerando um caso ideal, dentro das limitações

do nosso estudo. O fenômeno de espalhamento (scattering) não está sendo levadoem conta. Sabemos também que, na prática, um corpo que tem pigmentosde determinada cor controla, em termos de absorção, a luz que tema sua cor complementar.Assim um filtro amarelo absorve predominantemente a luz azul (cor



326

• Espalhamento da luz (a cor do céu) — Quando através da fresta

de uma porta os raios solares penetram em uma sala escura, podemos

visualizar o pincel de luz graças à presença de partículas de pó em

suspensão no ar. As pequenas partículas refletem a luz em todas as

direções; a luz refletida atinge, então, os nossos olhos. Este fenô-

meno é um exemplo de espalhamento da luz (scattering).

O primeiro estudo das leis do espalhamento da luz por pequenas

partículas foi feito por Lord Rayleigh * em 1871.

Espalhamento da luz. As pequenas partículas refletem a luz em todas asdireções. As partículas iluminadas permitemnos definir a formado pincel de luz.

O fenômeno do espalhamento da luz pode ocorrer também para

as moléculas de ar. Como nesse caso as "partículas” são extrema-

mente pequenas (muito menores que as partículas de pó), o fenômeno

só poderá ser observado se o número de moléculas for altíssimo,

como por exemplo na atmosfera terrestre.

Rayleigh observou que praticamente toda a luz que nós recebe-

mos em um dia de céu claro é devida ao seu espalhamento pelas

moléculas de ar. Se não houvesse atmosfera, o céu seria completa-

mente negro, mesmo durante o dia. à exceção da direção que unenossos olhos ao disco solar.

Rayleigh verificou que a luz da região azul do espectro solar é

espalhada pelas moléculas de ar dez vezes mais que a luz da região

vermelha. Isto explica por que, em um dia claro, ao olharmos parao céu (não diretamente para o Sol), ele se apresenta com a coloração

azul, devido ao espalhamento da luz azul (observador A).



O mesmo fenômeno de espalhamento explica a coloração averme-

lhada do céu no poente. No pôrdosol o caminho percorrido pelos

raios de luz até atingirem nossos o hos (observador B) é aumentado

consideravelmente. Durante esse percurso, a !uz azul sofre sucessivos

espalhamentos e é quase que totalnente removida da luz branca. Océu apresenta, então, para o observador B. uma coloração averme



328

1. CESCEA — Temse um espelho plano Inclinado de 45c sobre o eixo

principal de um espelho convexo, como mostra o diagrama. Um

pontoobjeto P encontrase na perpendicular ao eixo e a 30 cm do

mesmo. A posição da imagem de P que o espelho convexo for-

nece ao receber os raios do espelho plano é determinada pelas

coordenadas: (Dados: h = 30cm; d = 20 cm: | f | = 50 cm.)

a) p' = — 14,3 cm; y' = 30 cm.

b) p' = 0 : y ' = 0.

c) p ' = —25 cm; y ' — 0.

d) p' = —14.3 cm; y' = 0 .

e) Não sei.

R e s o l u ç ã o : Analisemos inicialmentc a formação da imagem do ponto

objeto P no espelho plano E j .

• E s p e lh o p l a n o ( E i ) :

P(Ei): pontoobjetorcal;

P'(Ei): pontoimagemvirtual.

A imagem P' é obtida por simetria.

• E s p e lh o c o n v e x o (E ^ ):

A imagem conjugada no l.° sistema Ei funciona como objeto para



Conhcecndose as características do espelho e do objeto podemos

determinar as características da imagem conjugada pelo espelho

convexo.

Temos:

o b j e t o r e a l p = f 50 cm;

e s p e l h o c o n v e x o > f = —50 cm.

Então, podemos escrever:

p p' f 50 p' 50

— = --------------------- = -----------=> p' = —25 cmp' 50 50 50

Assim:

A imagem conjugada (P") pelo espelho con-

vexo é virtual, localizandosc a 25 cm do mes-mo. A imagem P" encontrase sobre o eixo

principal, porque o objeto P' também sc en-

contra sobre o eixo principal

p' i r —25 cm



I

2. MAPOFEI — Uma fonte de luz pontual, colocada na base de um

tanque de água de 20 cm de profundidade, é vista por um obser-vador que está na normal à superfície que passa pela fonte.

São dados:

n„, 1.00;

4n.;*,,» — I

3

nVidro fllnt — 1 ,58

Arco

(grau)Seno

Arco

(grau)Seno

Arco

(grau)Seno

46 0,719 51 0,777 56 0.829

47 0,731 52 0.788 57 0.839

48 0.743 53 0.799 58 0.848

49 0.755 54 0.809 59 0,857

50 0.766 55 0.819 60 0.866

Nestas condições, responda às questões de a a e:

a) Calcule a profundidade aparente desta fonte.

b) A profundidade aparente é a mesma, caso o observador não

esteja situado na normal à superfície? Por quê?

c) Sob que ângulo, medido a partir da normal, o observador fora

do tanque deixaria de ver a fonte?

d) Se um bloco retangular de vidro flint de 10 cm de espessura

é colocado sobre a fonte luminosa, qual passa a ser a profun-

didade aparente da fonte?

e) Qual é o ângulo de reflexão crítica (reflexão total) no bloco de

vidro?

Resolução:a) Como o observador situa-se na normal à superfície que passa pela

fonte, os ângulos envolvidos são pequenos c, nesse caso, podemos

aplicar a equação do dioptro plano: —-— =d nin

P = POR



I

\\ 331

Como a luz propagase inicialmente na água e passa para o ar,

d' nir d' 1temos: ------ = ----------- => -------= ------- =>

d na?ua 20 4/3

d' — 15 cm A imagem conjugada é virtual (P'). locali-

zada a 15 cm da superfície.

A p r o f u n d id a d e a p a r e n t e d a f o n te é i gu a l a 1 5 c m .

b) A equação anterior de conjugação do dioptro plano só é válida no

caso de in c i d ê n c i a p r a t ic u i n e n t e n o r m a l (pequenos ângulos de inci-

dência). Para um observador O, que se situa afastado da normal

à superfície que passa pela fonte, podemos escrever:

e . . átg i = — => tg i . d = 2

Portanto, a posição d ' da imagem dependerá do ângulo de inci-

dência i e, para cada ângulo de incidência i diferente, a profundi-

dade aparente d ' será diferente.

P o r ta n t o , a p r o f u n d i d a d e a p a r e n t e n ã o s e r á a m e s m a d o c a s o a n -

t e r i o r

d

tg r . d' = tg i . d =>d' tg i

d t g r



Portanto, o observador fora do tanque sempre enxergará a fonte,nunca deixando de vc-Ia.

d) Na passagem da luz do vidro para a água, analisemos a formaçãode imagem através- da superfície Sj (dioptro plano):

di ‘ajtua d'i 4/3

d;

=>

t t v l d ro 10 1,58d',

10 . 4/3

1,58

d; 8,44 cm ( Imagem virtual a aproximadamente 8,44 cmda superfície Sj.)



333

Em relação ao diopíro plano (vidro-água) SJt temos:

P h POR

P'BB PIVA'imagem conjugada pelo sistema Si funciona como objeto para

o sistema seguinte, S2 (dioptro ar-água).

A equação do dioptro plano fornece:

d2 di 1

níjuo 18,44 4/3

d» ~ 13,83 cm

ds — . 18,44 =>4

O. dioptro plano ar-água fornece unia imagem virtual situada a

13,83 cm da superfície Sy. Nesse caso, a profundidade aparente dafonte será de 13,83 cm.

e) Para o dioptro plano vidro-água, temos:

_ 4 _ flmer.r.r — 4gu» “ — 1,33

3

Umaior~ tlvidro = I « 8

O ângulo de reflexão crítica (ângulo-Iimitc) c dado por:

sen LUmer-or

^maior tlvidro

1,33

1,58=$ sen L

Da tabela decorre que L ~ 57° .

0,841

Resposta: a) 15 cm; b) Não, pois a profundidade aparente depende do

ângulo de incidência; c) O observador fora do tanque enxergará a fonteem qualquer posição que esteja; d) 13,83 cm; c) L « 57°.

3. MAPOFEI — Dispõese de um feixe de luz monocromática, para-

lelo. de secção circular com 1 centímetro de diâmetro e de uma

lente delgada convergente de distância focal 1 metro. Desejasetransformar o feixe dado em outro feixe paralelo, de secção cir-

cular .com 1 milímetro de diâmetro.

a) Determinar a característica e a posição de:a1) uma lente delgada divergente que, associada à lente dada.

permita obter o feixe desejado:



3 3 4

R e s o l u ç ã o :

a) D e t e r m i n a ç ã o d a s c a r a c t e r í s t ic a s d a s l e n te s c o n v e r g e n t e c d i v e r g e n te

a-1) L e n t e d i v e r g e n t e : O pincel de luz incidente na lente conver

gente (1), após sofrer refração, converge para o foco-imagem da

lente (F§1). Posicionando-sc a lente divergente (2), de tal modo queo foco-imagem da lente (1) coincida com o seu foco-objeto, teremos:

lente (2): Objeto no foco-objeto (F0n sa POV) Imagem no infi

nito (pincel cilíndrico). Nesse caso, devemos obter A'B' = 1 mm = 0,1 cm.

‘Lente convergente A

Y Lente divergente

(D

A-

o.

B'

AB - 1 cm V -100 cm

Da semelhança dos triângulos ABF c A'B'F, temos:

fo 2 FO, i f I 100

I

f = 1 0 cm

x = 90 cm

A'B' AB 0,1

Como f + x = 100 cm :

A l e n t e d i v e r g e n t e d e v e t e r u m a d i s tâ n c i a f o c a l ig u a l a 1 0 c m e

s e r c o l o c a d a a 9 0 c m d a l e n te c o n v e r g e n t e d a d a .

a-2) L e n t e c o n v e r g e n t e : Nesse caso, também, o foco-imagem da

lente (1) coincide com o foco-objeto da lente convergente.

I *ite convergente Lente divergente

B'

A'

AB = 1 cm



\

100A'B'

Como f

AB

100 cm = x

1f — 10 cm

x — 110 cm

335

Nesse caso, devemos obter também A 'B '—- 0,1 cm.

Da semelhança dos triângulos ABF e A'B'F, temos:

FO , FOi f ---------

= ----------

=> •-------

0,1

A l e n te c o n v e r g e n t e a s s o c i a d a d e v e t e r u m a d i s tâ n c i a f o c a l ig u a l

a 1 0 c m e s e r c o l o c a d a a 1 1 0 c m d a l e n te c o n v e r g e n t e d a d a .

b) No caso ( a - 1 ) , em que a lente associada é divergente, as imagens

obtidas serão direitas. Observe que os raios de luz provenientes doobjeto distante, que se encontram a c im a do eixo principal, conti

nuam a c im a do eixo principal após atravessar o sistema. No caso( a - 2 ) , cm que a lente-associada é convergente, as imagens obtidas

serão invertidas. Observe que os raios de lu7. provenientes do objeto

distante, que se encontram a c im a do eixo principal, caminham a b a i x o

do eixo principal após atravessar o sistema.

R e s p o s t a : a-1) Lente divergente de distância focal de 10 cm. colocada

a 90 cm da lente dada; a-2) Lente convergente de distância focal de10 cm, colocada a 110 cm da lente dada; b) Lente divergente; imagens

direitas; lente convergente: imagens invertidas.

4. ITA — Consideremos o seguinte arranjo, em que a lente conver-

gente tem distância focal de 30 cm. A imagem do objeto O:

Lonte

a) será real e formarseá a 50 cm da lente.



Resolução: A luz emitida pelo objeto O sofre refração na lente e incideno espelho plano. Após sofrer reflexão nô espelho, a luz retorna sofrendo uma segunda refração na lente. Portanto, analisemos a associaçãode sistemas:

• Lente (fig. 1)

Lm relação à lente convergente, temos: O (ponto-objeto-rcal) -+ p == -f50 cm.

Sendo a lente convergente, vem: f = 4-30 cm.

Podemos então escrever:

1 1 1-------1-------- = ------- =>50 p' 30

1 __ 1 1 _ 5 - 3

p' ~ 30 50 ~ 150

1 _ 2

p' ~ 150 ^

p' = 4-75 cm

Devido à l.a refração na lente, forma-se uma imagem real (O'), si

tuada a 75 cm da mesma.

I50 cm i 75 cm

r"--------------------------------------------------------- Ii ! 1

• Espelho (fig. 2)

A imagem conjugada pelo l.° sistema (lente) funciona como objeto para o sistema seguinte (espelho).

Portanto, em relação ao espelho plano temos: O' = POV.



Nesse caso, o ponto O" funcionará como objeto real para a lente.

A distância do objeto à lente vale 25 cm.

Portanto, p = 25 cm e f = 30 cm. Podemos então escrever:

1 1 1 1 1 1-----1-------- — — =>--------- 1-------- = ------- =>p p ' f 25 p' 30

1 1 1 1 2 5 - 3 0=>------= ------------------ => --------= -------------

p' 30 25 p ' 25 . 30

- 5 _ 1

25 . 30 ~~ 150 p ' — 150 cm

Portanto, a imagem final conjugada pela lente é virtual c situadaa 150 cm da lente convergente.



338

O enunciado a seguir refere-se às questões de 5 a 7.

A objetiva de um microscópio tem uma distância focal de 6 mm e aocular, uma distância focal de 24 mm; um objeto está a 6.1 mm do

centro óptico da objetiva.

5. MEDICINA DE SANTOS — A distância d da imagem A'B' do objeto AB em que se deve colocar a ocular para que a imagem definitiva A''B " se faça a 25 cm da ocular é:

a) 11 mm. d) 250 mm.

b) 24 mm. e) Nenhuma das alternativas

cj $ mm acima é correta.

6. MEDICINA DE SANTOS — O aumento da ocular é:

a) 4. d) 100.

b) 10.

c) 25.

e) Nenhuma das alternativasacima é correta.

7. MEDICINA DE SANTOS — O aumento do microscópio é:

a) 600. d) 800.

b) 150.

c) 100.

e] Nenhuma das alternativasacima é correta.

Resolução das questões 5, 6 c 7:

5. Na figura seguinte, é representado o esquema fundamental de ummicroscópio. A imagem conjugada pela objetiva funciona comoobjeto para a ocular. Ou seja:

objetiva

AB == objeto real

A'U' == imagem real

í A'B' se objeto realocular <!

\ A"B" =s imagem virtual

Hm relação à ocular, temos:

A'B' (objeto real) -► p<* = d

A"B" (imagem virtual) -> p' = —25 cm = —250 mm



1 1 1

é h â a i W 339

Portanto,

Ir=> —d

P... L

1 1+

I 1 1= > -----1------------— ------

d —250 24

274

250 24

24 -f 250 _1_ ________ __

2 5 0 .2 4 d 250 . 24

d *=- 21,9 mm

6. O aumento linear transversal da ocular é dado por:

P'

Acc = —250

Aoc 11 >4Poc 21,9


7. Hm relação à objetiva, temos:

A13 objeto real -> pob=-f-6,1 mm

lente convergente -> fol) =r -f-6 mm

1 1Hntão,--------1------

p:

i i

ob ob ob 6,1

1 1-----= — => p' 6

1 6 ,1 - 6

ó T ~ 6,1 . 6

1 _ 0,1

P ÍT " 6 ,1 .6

A objetiva fornece uma imagem real



O aumento da objetiva é dado por:

p;oò AoJj ——

P<*

366

zr Aob = - 6 0 Imagem invertida.

O aumento do microscópio é dado por

Portanto, A = (—60) . (11,4) =3


A = Avb . A:;

A = -68 4

Esta explicação se refere às questões 8 e 9.

Um míope enxerga perfeitamente objetos compreendidos entre 5 cme 50 cm do olho.

8. MEDICINA DE SANTOS — Este míope deverá usar lentes:

I) convergentes.

II) divergentes.

III) Nada se pode dizer.

Resolução: O olho míope considerado tem o seu intervalo de visãonítida de 5 cm do olho até 50 cm do olho.

Portanto, nesse caso o ponto próximo (PP) locaüza-se a 5 cm do olhoc o ponto remoto (PR) cncontra-sc a 50 cm do olho.

A-correção da miopia é feita através de lentes divergentes, de modoque o seu foco-imagem (F,) coincida com o ponto remoto do olho míope.



9. MEDICINA DE SANTOS — Para enxergar objetos mais afastados,

o míope deverá usar lentes com distância focal de:

I] 5 cm.II) 5 0 cm.

Ilf) 50 cm.

Resolução: A lente corretora no caso da miopia é divergente. Comoo ponto remoto do míope encontra-se a 50 cm do olho c o foco-imagem

da lente divergente deve coincidir com o ponto remoto, podemos con-cluir que a lente corretora deverá ter distância focal I f — —50 cm 1 .

O sinal negativo indica que a lente é divergente.

Resposta: alternativa II.

0, MEDICINA DE TAUBATé — A figura mostra a formação da ima-gem, num olho. de um ponto P distante 1 m do mesmo. (A figura

não está em escala.)

O cristalino, nessa situação, está abaulado ao máximo. Conside-rando que na visão normal enxergase com nitidez desde 20 cm

do distância até o infinito, que lente deve ser usada para corrigira visão desse olho. se for o caso?

a) Uma lente divergente de —1 di (dioptria).

b) Uma lente divergente de —2 di.

c) Uma lente convergente de 1di.

d) Uma lente convergente de 4 di.

e) Não é preciso lente: o olho é emetrope.

Resolução: O cristalino está na condição de máximo esforço visual(abaulado ao máximo). Assim, para objetos situados a uma distânciamenor que 1 metro, o olho não é capaz dc formar imagem na retinaatravés do processo dc acomodação visual Neste caso o ponto pró



342

Do objeto real A, a lente convergente L fornece a imagem virtual A'.Sendo p — +2 0 cm (abscissa do objeto real A) e p ' - 100 cm (abscissa da imagem virtual A'), e aplicando a equação de conjugação deGauss, temos:

1

P5 — 1

100

f

1

P'

1

f

25 .

1 1 1 1= — = > ------------ >— = — =>

f 20 100 f

1 __ 4 _ 1

f ~ 100 ~ 25 cm

1 100 1--------

= -----------

=>m 25 m

10O

A lente convergente apresenta uma convergência de + 4 di.


11. FAAP — Uma fonte luminosa pjntifo rm e de 30 cd ilumina um disco

circular plano de raio 2 m. A fonte estando situada a uma dis-

tância de 10 m do disco sobre o seu eixo. qual será o valor dofluxo luminoso e do aclaramento?

Resolução: Lembrando que para a intensidade luminosa I podemos es-

<r >

crever 1= —, onde ^ é o fluxo luminoso e a é o ângulo sólido, entãoa

«6= 1 . a (1).

Calculemos o ângulo sólido a:

tiR*a = onde R = 2m c r= 1 0 m .r-

a Tz22 4;: TC

sr (esterradiano)



ò = 30 .TC

25

6tc<i =

------

lumens </>«= 3,77 lumens

Para o aclaramento E temos E = — .A

6íc 6tc

Logo, E =TC . R3 TC. 22

E = 0,30 lux

Observação: Note que poderíamos calcular o aclaramento a partir da loi doinverso do quadrado da distância:

E - —r"

=> E =30

102E = 0.30 lux

Resposta: O fluxo luminoso valerá aproximadamente 3,77 lumens e o

aclaramento será de 0,30 lux.

12. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — A figura abaixo indica

um fotômetro de Bunsen, onde 11 = 14 cd. ri = 20 cm e r* —

A intensidade L> será:



344

R e s o l u ç ã o : Os fotômctros são dispositivos utilizados para se compararaclaramentos produzidos por duas fontes diferentes. As fontes de luzF, e Fo iluminam duas superfícies dc mesma natureza (por exemplo, a

frente e o verso de uma folha de papel, como mostra a figura). Visual-mente, podemos determinar as posições dc F t e F2 que produzem o mesmo aclaramento.

Sendo li e I8 as intensidades luminosas das fontes, c Ei e E2 os aclara-

mentos nas superfícies, temos

Quando os aclaramentos forem iguais, teremos:

Hi = E2 =>

Substituindo-se os valores numéricos, determinaremos a intensidadeluminosa !•_. da fonte Fa:

14 _ [2 j _ 14.(120)*(20)2 ( 120)2 ~ 2 ~~ (20)2

—

I2 - 504 cd—



13. MEDICINA DE ITAJUBA — Uma folha A opaca reflete apenas a

cor componente verde da luz branca; e uma folha B opaca absorve

todas as cores componentes da luz branca, exceto a cor compo-

nente azul. Sc você iluminar as folhas com luz branca e observálas através de um filtro vermelho:

a) ambas parecerão pretas.

b) ambas parecerão vermelhas.

c) ambas parecerão brancas.

d) A parecerá ter uma cor resultante da superposição da luz verde

com a luz vermelha.

e) B parecerá ter uma cor resultante da superposição da luz azul

com a luz vermelha.

Resolução; Observe os esquemas abaixo:

Nos dois casos, o filtro vermelho impedirá a passagem das radiações

verde e azul. Assim, nenhuma radiação chegará ao observador, que



346

1. FAAP — Dois espelhos planos formam entre si um ângulo de 30°. Calcularo número de imagens formadas de um objeto situado entre eles.

2. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS (USP) Dois espelhos planos, verticais, são montados em angulo reto como na figura. O observador seguraum livro de Física, L. aberto na posição normal de leitura e por cima deleobserva a imagem L' refletida, na qual lê:a) A3I8I=1.

b) VDISId.

c) FlSICA. f lf f l l L zr L'

d) ACISIF.

e) LI2ICV.

3. MEDICINA DE 1TAJUBÁ — Um objeto O é colocado entre dois espelhos planos A e B. separados por uma distância d. Se o objeto dista de A umterço de d, então a segunda imagem, formada no espelho B, dista do objeto

O de:a) d. b) 2 d.

3c) •— d.

2

d) 3d.5

c) — d.2

i _________ L _

4. CESGRANRIO — Você olha por meio de um periscópio (associação dedois espelhos planos paralelos) um painel com a letra R. Qual das figuras

5. FEI Dispõe-se de uma lâmina de faces paralelas dc índice de refraçãon = 1,5 e espessura e = 6,0 mm. Um pomo luminoso P encontra-se a 2,0 cmde uma das faces da lâmina. Determinar a .distância entre esse ponto e suaimagem produzida por essa lâmina



~ 5 -7x

fÓL347

6 . 1TA — Um feixe de luz monocromática incide paralelamente a«o eixo principal de uma lente convergente de distância focal A, num meio de índicede refração absoluto igual a 1 (um). O feixe c cilíndrico e tem diâmetro 2A.

Dispõe-se de uma lâmina dc faces paralelas, espessura E = — e índice de4refração absoluto igual a 1,4 (um inteiro e quatfo décimos). Nestas condições, pode-se afirmar que:

a) se a lâmina for intercalada entre a fonte de luz e a lente, ter-se-á quea distância focal do sistema, medida a partir do centro da lente, será, E sen 15°f = A ----------------- .

0,5

b) se a lâmina for intercalada entre a lente e seu foco, então a distânciafocal do sistema, medida a partir do centro da lente, seráE sen 15°

f = A0,5

c) se a lâmina for intercalada entre o loco e a lente, então a distância focaldo sistema, medida a partir do centro da lente, será f = 1,2A.

d) se a lâmina for intercalada entre o foco c a lente, então a nova distânciafocal do sistema, medida a partir do centro da lente, será f = 4A.

e) qualquer que seja a posição da lâmina intercalada entre a fonte dc luze a lente, cia não alterará a distância focal do sistema, medida a partirdo centro da lente.

UNIVERSIDADE DO CEARÁ Têm-se duas lentes delgadas, convergentes. de mesma distância focal f, separadas por uma distância d. Uma con-dição necessária para que um feixe de raios paralelos, incidindo sobre osistema, conforme indica a figura, continue paralelo após atravessá-lo é:a) d = f.

b) d = 2 f.c) d = 3f.d) d = 4f.

8 . CESCEA Um feixe paralelo dc raios de luz, ocupando uma área de 1cm2, precisa ser concentrado em um feixe também paralelo de área 1 mm2. Paraisto dispõe-se dc lentes esféricas delgadas convergentes (I.t e JL^) de abscissasfocais f i = 20 cm c f 2 = 5 cm, bem como de uma lente esférica delgadadivergente (I.3) dc |f;i = 2 cm. Para conseguirmos esse objetivo, devemosmontar:a) La a 25 cm de L, e não usar L3.

b) La a 25 cm dc L, c L3 a 27 cm de L,.



348

9. MEDICINA DA SANTA CASA — Os focos da lente I.j são F, e F2 c osda lente L2 são F., c F3 = F2. Se F, é centro do feixe de luz indicado nafigura abaixo, o sistema conjuga a F, um ponto-imagem situado em:a) F,.

b) Fa.c) F*.

d) O.e) O'.

10. UNIVERSIDADE DO CEARÁ — Considere duas lentes delgadas convergentes c um objeto A arranjados como mostra a figura abaixo:

10 _ i° - L ™ - L _ 15 j 5 : 5 J cmIm

I

t . tF1 F, F« F*

A imagem resultante desta combinação de lemes será, em relação ao objeto A:

a) menor e invertida. d) igual e invertida.

b) menor e direita. c) maior c invertida.c) igual e direita.

II. CESGRANRIO — (Método experimental de determinação de f.) Um objeto pontual O está situado sobre o eixo óptico de uma lente convergente, e dista20 cm da lente.

Um espelho plano perpendicular ao eixo óptico está situado atrás da lente,como indica a figura. Obscrva-sc que, qualquer que seja a distância lente--cspclho, a imagem final fornecida por esse sistema óptico coincide com oobjeto. Concluímos que a distância focal da lente é:a) 5,0 cm. d) 40 cm.

b) 10 cm. c) 60 cm.c) 20 cm.



12. PUC (SÃO PAULO) — Um sistema óptico c constituído por uma lente con-vergente de distância focal 0.5 m e de um espelho plano situado a uma dis-tância d da lente pcrpendicularmcntc a seu eixo. Um objeto é colocado a0.75 m diante da lente. Sabendo que a imagem final fornecida pelo sistemaapós refração na lente, reflexão no espelho e nova refração na lente é rejei-tada para o infinito, podemos concluir que a distância d vale, cm cm:a) 50.

13. PUC (SÀO PAULO) — Numa luneta astronômica cujo aumento c 30 cusada uma ocular de distância focal 5 cm. O comprimento da luneta deveser de:a) 25 cm. d) 150 cm.

b) 30 cm. c) 155 cm.c) 35 cm.

14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O globo ocular é, essencialmente,uma lente que deve fornecer do objeto observado uma imagem sobre aretina. A lente c a imagem são, respectivamente:a) divergente e virtual.

b) convergente c virtual.c) divergente e real.d) convergente e real.e) lente convergente e. dependendo da distância do objeto, imagem real

ou virtual.15. FUVEST — Na formação das imagens na retina da vista humana normal,

o cristalino funciona como uma lente:



16 . M E D I C I N A D E S A N T O S — N a a n o m a lia d a v is ão c h a m a d a m i o p ia , o

g l o b o o c u l a r é m a i s a l o n g a d o n o s e n t i d o â n t e r o -p o s t e r i o r . em r e l a ç ã o à s u a

c o n v e r g ê n c i a . A l e n t e c o r r e t o r a d a m i o p i a d e v e s er :

a ) c o n v e r g e n t e . d ) p a r a b ó l i c a .

b ) d iv e rg e n te . e) N e n h u m a d a s re sp o s ta s a c im a é

c ) c i l índr ica . co r r e ta .

17. U N IV E R S I D A D E D E M O G I D A S C R U Z E S — U m a pe ss oa qu e é m ío pe

n ã o v ê c o m n i t id e z o b j e t o s q u e e s t e j a m a l é m d e 5 0 c m . As l e n t e s q u e c ia

d e v e u s a r d e v e m l e r, r e s p c c ti v a m c n t e , d i s tâ n c i a f o c a l c c o n v e r g ê n c i a : ( a

m e n o s d o s i n a l )

a ) 5 0 c m ; 0 , 5 d i o p t r ia . d ) 5 0 c m ; I d i o p t r i a .

b ) 5 0 c m ; 5 0 d io p tr ia s . c) 1 0 0 c m ; 1 d io p tr ia .

c ) 5 0 c m ; 2 d i o p t r ia s .

18. E S C O L A T É C N I C A D O P A R A N Á V o c ê p o ss ui p ro b l em a s d e v is ão e

c o n s u l t a u m o f t a lm o l o g i s ta . E l e r e c o m e n d a le n t e s e s f é ri c a s d c 0 , 5 0 ° ( e q u i

v a l e n t e a — 0 . 5 0 d i ). E n t r e a s a l t e r n a t iv a s a b a ix o , s e le c i o n e a q u e l a c m q u e

f igure o seu de fe i to de v i são e a d i s tânc ia foca l da l en te .

a ) M i o p i a c 2 ,0 m . d ) M i o p i a c 0 , 5 0 m .

b ) H ip e rm c tro p ia c 0 ,5 0 m . e) A s tig m a tism o c 0 ,5 0 m .

c ) H i p e r m c t ro p i a c 2 , 0 m .

19. U N I V E R S I D A D E D E M O G I D A S C R U Z E S — U m a g aro ta fo i a oocul i s ta , po i s t inha p rob lem as dc v isão . A o sa i r d e l á , leu na r ece i ta que

o s ó c u lo s q u e c ia d e v e r á u s a r te r ã o l e n t es d c + 1 , 5 g r a u s . E s s a g a r o t a s o tr e

de:

a ) m iopia . d ) p r esb iop ia .

b ) a s tig m a tism o . e) n .r .a .

c ) h i p e r m c t r o p i a .

2 0 . U N I V E R S I D A D E D E B R A S Í L I A — O o lh o h u m a n o p ossu i u m a l en te c o n

v e x a ( o c r i s t a l i n o ) , e o s m ú s c u l o s d o o l h o s ã o r e s p o n s á v e i s p e l a s v a r i a ç õ e s

d a c u r v a t u r a d e s ta le n te . Q u a n d o c o m p a r a d o c o m o o l h o n o r m a l , o c r i st a

l in o d o o l h o m í o p e c m u i t o m a i s co n v e x o , a o p a s so q u e o d o o l h o p r e s b i ta

é m e n o s c o n v e x o e p o u c o e l ás ti co . C o m b a s e n a i n f o rm a ç ã o a c i m a c n o s eu

c o n h e c i m e n t o d e ó p t i c a , v o c ê p o d e a f i r m a r q u e :

a ) q u a n d o u m o b j e t o e s tá i n f i n i ta m e n t e l o n g e d e u m o l h o n o r m a l , s u a

i m a g e m f o r m a r - s e - á a t r á s d a r e t i n a .

b ) q u a n d o o o b je to e s tá p ró x im o d c u m o lh o n o rm a l, o s m ú sc u lo s o c u la re s

r e d u z e m a c u r v a t u r a d o c ri st a li n o p a r a a i m a g e m se f o r m a r e x a ta m e n t e

na r e t ina .

c ) p a r a o b j e t o s m u i t o d i s t a n t e s , a c u r v a t u r a d o c r i s t a l i n o f i c a m u i t o a c e n t u a d a , p a r a a i m a g e m s e f o r m a r e x a t a m e n t e n a r e t i n a .

d ) p a r a o b j e t o s p r ó x i m o s , o o l h o p r e s b i t a n ã o é c a p a z d c f o r m a r a i m a g e m

e x a t a m e n t e n a r e t i n a .



2 1 . U N I V E R S I D A D E D E B R A S Í L IA — B a se an d o-s e n o en u n c ia d o d a q u e stã o

an t e r io r , você pode a f i rmar que :

a ) p a r a u m o b j e t o s i tu a d o m u i to lo n g e d e u m o l h o m í o p e , s u a im a g e m

formar - sc -á após a r e t i na .

b ) a s p essoa s q u e so frem d e m io p ia dev em u sa r ó c u lo s d e le m e s c o n v e r

gen t es .

c ) a s pes soas p resb i ta s p rec i sam usa r ócu los de l en t es conv ergen t es pa ra

ver bem os ob j e tos d i s t an t es .

d í p a r a o b j e t o s p r ó x i m o s , o s m ú s c u l o s d o o l h o n o r m a l a u m e n t a m a c u r v a

t u r a d o c r i s t a l i n o , p a r a a i m a g e m s e f o r m a r e x a t a m e n t e n a r e t i n a .

2 2 . F U N D A Ç Ã O C A R L O S C H A G A S — A le nte d o o l h o (c ris ta lin o ) e a s le nte s

p a ra c o rr ig ir o s d e fe i to s 1 e II são , re sp ec tiv a m en te :

a ) convergen t e , d ive rgen t e e d ive rgen t e ,

h ) d ive rgen t e , convergen t e c d ive rgen t e .c ) convergen t e , convergen t e c d ive rgen t e ,

d ) d ive rgen t e , d ive rgen t e c convergen t e ,

c ) convergen t e , d ive rgen t e e convergen t e .

2 3 . C E S G R A N R I O — A q u a n t id a d e d e e n e rg ia l um i n o sa i n c id e n te p o r u n id a d e

d e á r e a , e m i l u m i n a ç ã o normal, var i a na ra7ão inversa do q u a d r a d o d a

d i s t ânc i a da super f í c i e à fonte . Sabendo-se que o raio d a ó r b i t a d e P l u t ã o

c 4 0 vezes maior q u e o raio d a ó r b i t a d a Terra, a q u a n t i d a d e m e d i a d e

e n e r g i a s o l a r i n c i d e n t e s o b r e P l u t ã o , p o r m - , c m r e l a ç ã o à i n c i d e n t e p o r m -

n a T e r r a , é , a p r o x i m a d a m e n t e :a ) 40 vezes maio r .

b ) 4 0 vezes m e n o r .

c) (40)3 vezes menor .

2 4 . M E D I C IN A D E T A L

J i l u m i n a ç ã t ^ p a r á c o n d i '

Ifcgráficâ c p a ra u m u b j

d) (40)2 vezes maior ,

c) igual.

m f o t ó g r a f o a j u s t a s e u e q u i p a m e n t o d e

c e x p o s i ç ã o p a r a u m a d a d a c h a p a f o t o -

3 ,3 m d a c â m a r a f o to g r á f i c a . E n t r e ta n t o ,

e le r es o lv e d u p l ic a r a d i s tâ n c i a p o r r a z õ e s d c o r d e m e s té ti c a . Q u a l d e v e r á

Robortella Vol 04 Óptica Geométrica- completo

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