CAPITULO 10:

ROTACION DE UN OBJETO RIGIDO ENTORNO A UN EJE FIJO

10.1Posicion velocidad y aceleración angular:

1. Posición angular

Ubicación de una partícula, cuerpo o cuerpo con respecto a un punto origen o un eje rotacional de un sistema circular. Puede ser expresado como un vector el cual tiene como punto de aplicación el punto fijo central o eje de rotación del sistema circular, respectivamente se encuentra una punta de flecha indicando la posición en donde se encuentra la partícula, objeto o el cuerpo del que se está hablando.El ángulo que está formado por el vector anterior y la horizontal o ángulo cero se le denomina posición angular, el cual se puede calcular por la división del arco formado por las dos posiciones de la partícula, objeto o cuerpo y el valor de la magnitud del vector la cual normalmente será expresada igual al radio del sistema circular.

Observe la imagen anterior, el objeto que se mueve se encuentra en la posición P en el instante t, la posición angular de este punto está dado por el ángulo θ que se forma por el punto p el centro de la circunferencia y el ángulo cero, de manera que cuando el objeto móvil se encuentra en la posición P’ en el instante t’, la nueva posición del objeto está dada por el ángulo θ’, que se forma entre el punto P’, el centro de la circunferencia y el ángulo cero.En base a lo anterior, se puede deducir que el objeto se ha desplazado una distancia dada por la siguiente expresión:

En el intervalo de tiempo dado por la siguiente expresión matemática:

Saber la posición angular de un objeto moviéndose de manera circular, será muy útil para encontrar ya que podremos calcular el desplazamiento angular de este, su velocidad angular y su aceleración angular.

2. Velocidad angular

La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado por una unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega ω. Su unidad en el Sistema Internacional es el radián por segundo (rad/s).Aunque se la define para el movimiento de rotación del sólido rígido, también se la emplea en la cinemática de la partícula o punto material, especialmente cuando ésta se mueve sobre una trayectoria cerrada (circular, elíptica, etc.).

Movimiento de rotación. Trayectoria circular de un punto del sólido alrededor del eje de rotación.

La velocidad angular es la rapidez con la que varía el ángulo en el tiempo y se mide en radianes / segundos.(2 π [radianes] = 360°)

Por lo tanto si el ángulo es de 360 grados (una vuelta) y se realiza por ejemplo en un segundo, la velocidad angular es: 2 π [rad / s]. 

Si se dan dos vueltas en 1 segundo la velocidad angular es 4 π [rad / s].

Si se da media vuelta en 2 segundos es 1/2 π [rad / s].

La velocidad angular se calcula como la variación del ángulo sobre la variación del tiempo.

Considerando que la frecuencia es la cantidad de vueltas sobre el tiempo, la velocidad angular también se puede expresar como:

3. Aceleración angular

Se define la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa α. Al igual que la velocidad angular, la aceleración angular tiene carácter vectorial.

Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2

, ya que el radián es adimensional.

En el movimiento circular uniforme se puede presentar la aceleración angular instantánea y aceleración angular media.

La aceleración angular media, es la variación de la velocidad angular inicial y final y el tiempo en que transcurre. Se aplica la siguiente formula

La aceleración instantánea se representa cuando un cuerpo en trayectoria circular, tiene intervalos de tiempo considerados muy pequeños y tiende a cero

10.2

10. 6 Momento de Torsión .

Se ha definido la fuerza como un tirón o un empujón que tiende a causar movimiento. El momento de torsión se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotacional. En algunas ocasiones también se le llama momento de fuerza.

El movimiento rotacional se ve afectado tanto por la magnitud de una fuerza como por su brazo de palanca, por lo tanto definiremos el momento de torsión como el producto de una fuerza por su brazo de palanca. 

Momento de torsión = Fuerza × brazo de palanca.= Fr

Cuando  sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen la misma línea de acción o no se intersecan en un punto común, puede haber rotación. En este capítulo se ha presentado el concepto de momento de torsión como una medida de la tendencia a girar. Los principales conceptos se resumen a continuación:

El brazo de palanca de una fuerza es la distancia perpendicular que hay entre la línea de acción de la fuerza y el eje de rotación.

El momento de torsión con respecto a un eje determinado, se define como el producto de la magnitud de una fuerza por su brazo de palanca:

Momento de  =   fuerza  x   brazo detorsión                              palanca

Positivo si tiende a producir movimiento en sentido  contrario al avance de las agujas del reloj y negativo si el movimiento se  produce en el mismo sentido de las agujas del reloj. 

El momento de torsión resultante  con respecto a un eje particular A es la suma algebraica de los momentos de torsión producidos por cada fuerza.

Equilibrio rotacional:  Un cuerpo en equilibrio rotacional no tiene un momento de torsión resultante que actúe sobre él. En tales casos, la suma de todos los momentos de torsión respecto a cualquier eje debe ser igual a cero. Los ejes pueden elegirse en cualquier parte puesto que el sistema no tiene tendencia a girar respecto a cualquier punto. Ésta se llama segunda condición de equilibrio y puede escribirse como:

                        S T = 0            La suma de todos los momentos de torsión respecto a                                                  cualquier punto es cero.  

El equilibrio total  exite cuando se satisfacen la primera y la segunda condiciones de equilibrio. En tales casos, se pueden escribir tres ecuaciones independientes:

               (a)  S  Fx = 0                       (b)  S Fy =0                     (c)   S T = 0           Escribiendo estas tres ecuaciones para una situación específica se pueden determinar fuerzas, distancias y movimientos de torsión desconocidos.  

 El centro de gravedad de un cuerpo es el punto a través del cual actúa elnpeso resultante, independientemente de cómo esté orientado el cuerpo. Para las aplicaciones que incluyen momentos de torsión, se puede considerar que el peso total del objeto actúa en este punto.