8/18/2019 RPM 76- Vale a Pena Ver de Novo

1/1

CONCEITOS E CONTROVÉRSIAS

Elon Lages LimaRPM 01

Zero é um número natural?

Sim e não. Incluir ou não o número 0 no conjunto dos números naturais é uma questão de preferência pessoal ou, mais objetivamente, de conveniência. O mesmo professor ou autor podcircunstâncias, escrever 0 ou 0 . Como assim?

Cons ulte mos um trat ado de Álge bra. Prat icam ente em todo s e les enco ntra mos = {0, 1, 2, ...}. Vejamos um livro de Análise. Lá acharemos quase sempre = {1, 2, 3, ...}.

Por que essas preferências? É natural que o autor de um l ivro de Álgebra, cujo principal interesse é o estudo das operações, considere zero como um número natural, pois isso lhe dará um elemadição de números naturais e permitirá que a diferença x – y seja uma operação com valores em não somente quando x > y, mas também se x = y. Assim, quando o algebrista considera zero como númnatural, está facilitando a sua vida, eliminando algumas exceções.

Por outro lado, em Análise, os números naturais ocorrem muito frequentemente como índices de termos numa sequência. Uma sequência (digamos, de números reais) é uma função x: , cujo domínio é conjunto dos números naturais. O valor que a função x assume no número naturaln é indicado como a notação xn (em vez de x(n)) e é chamado o "n-ésimo termo" da sequência. A notação ( x1, x2, ..., xn, ...) éusada para representar a sequência. Aqui, o primeiro termo da sequência é x1, o segundo é x2 e assim por diante. Se fôssemos considerar = {0, 1, 2, ...}, então a sequência seria ( x0, x1, x2, ..., xn, ...), na quao primeiro termo é x0, o segundo é x1, etc. Em geral, xn não seria on-ésimo termo e sim o (n + 1)-ésimo termo. Para evitar essa discrepância, é mais conveniente tomar o conjunto dos númeroscomo = {1, 2, 3, ...}.

Para encerrar este tópico, uma observação sobre a nomenclatura matemática. Não adianta encaminhar a discussão no sentido de examinar se o número zero é ou não "natural" (em oposição anomes das coisas em Matemática não são geralmente escolhidos de modo a transmitirem uma ideia sobre o que devem ser essas coisas. Os exemplos abundam: um número "imaginário" não éexistente do que um número "real"; "grupo" é uma palavra que não indica nada sobre seu significado matemático e, finalmente, "grupo simples" é um conceito extremamente complicado, a pseus exemplos mais famosos serem chamados (muito justamente) de "monstros".

Qual é o valor de 0 0?

A resposta mais simples é: 00 é uma expressão sem significado matemático. Uma resposta mais informativa seria: 00 é uma expressão indeterminada.

Para explicar essas respostas, talvez seja melhor examinar dois exemplos mais simples de fórmulas desprovidas de significado matemático, que são e . De acordo com a definição dec

significa quea = b.c . Portanto, se escrevêsssemos = x e = y essas igualdades significariam que 0 = 0. x e 1 = 0. y. Ora, TODO número x é tal que 0. x = 0 e NENHUM número y é tal que 0. y = 1. Por isso s

diz que é uma "expressão indeterminada" e que é uma "divisão impossível". (Mais geralmente, toda divisão do tipo , coma 0, é impossível.)

Voltando ao símbolo 00, lembramos que as potências de expoente zero foram introduzidas a fim de que a fórmula =a m-n, que é evidente quandom > n, continue ainda válida param = n. Pondoam = b,

teremos então =b0 , logob0 = 1 seb 0. No casob = 0, a igualdade = b 0 tomaria a forma = 00, o que leva a considerar 00 como uma expressão indeterminada. Essa conclusão é ainda reforçad

seguinte argumento: como 0 y = 0 para todo y 0, seria natural pôr 00 = 0; por outro lado, como x0 = 1 para todo x 0, seria também natural pôr 00 = 1. Logo, o símbolo 00 não possui um valor que se imponnaturalmente, o que nos leva a considerá-lo como uma expressão indeterminada.

As explicações acima têm caráter elementar e abordam o problema das expressões indeterminadas a partir da tentativa de estender certas operações aritméticas a casos que não estavam definições originais dessas operações. Existe, porém, uma razão mais profunda, advinda da teoria dos limites, em virtude da qual e 00 (bem como outras fórmulas análogas) são expressões indeterminada

Escreve-se f ( x) = A para significar que o número A é o limite para o qual tende o valor f ( x) da função f quando xse aproxima dea . Sabe-se que, se f ( x) = A e g ( x) = B, então = , desde que B

0. Por outro lado, quando f ( x) = 0 e g ( x) = 0, então nada se pode garantir a respeito do limite do quociente quando x se aproxima dea . Dependendo das funções f e g que se escolham, pode-

conseguir que o quociente tenha como limite qualquer valorc dado de antemão, ou mesmo que não tenda para limite algum. Por exemplo, se tomarmos f ( x) = c( x – a) e g ( x) = x – a , então =c para

todo x a , logo =c. Por esse motivo se diz que é uma expressão indeterminada.

Analogamente, dadoa priori qualquer número realc > 0, podemos achar funções f , g tais que f ( x) = 0, g ( x) = 0, enquanto f ( x) g ( x)= c. Basta, por exemplo, tomar f ( x) = x e g ( x) =

; isso faz com que f ( x) g ( x) = = c para todo x > 0, logo f ( x) g ( x) = c. (Para convencer-se de que = c tome logaritmos de ambos os membros dessa igualdade.) Portanto, quando f ( x) = 0 e

g ( x) = 0, então f ( x) g ( x) pode ter qualquer valorc, dado de antemão, desde que escolhamos convenientemente as funções f e g . Então se diz que 00 é uma expressão indeterminada.

O QUE VAI POR AÍ

Na 52ª Olimpíada Internacional de Matemática (IMO), realizada entre os dias 16 e 24 de julho em Amsterdã, Holanda, o Brasil conquistou três medalhas de prata e três de bronze. Os estudantBraga (Belo Horizonte – MG), João Lucas Camelo Sá (Fortaleza – CE) e Henrique Fiúza do Nascimento (Brasília – DF) conquistaram as medalhas de prata, enquanto Débora Barbosa Alves Maria Clara Mendes Silva (Pirajuba – MG) e Gustavo Lisbôa Empinotti (Florianópolis – SC) conquistaram medalhas de bronze.

Com esse resultado, o Brasil classificou-se em vigésimo lugar entre 101 países participantes, o primeiro entre os países latino-americanos.

A China obteve a primeira colocação, à frente dos EUA. Os destaques individuais foram para a alemã Lisa Sauermann, que fez a pontuação máxima e conseguiu a quarta medalha de participações, e o peruano Raúl Chávez, de apenas 13 anos, que, em sua segunda participação, conseguiu a sexta posição geral. Em 2012, a IMO será realizada na Argentina.

Vale a Pena Ler de Novo

76- Vale a Pena Ver de Novo http://rpm.org.br/cd

1 13/03/2