rutas de aprendizaje

Qu y cmo aprenden nuestros estudiantes?

rea Curricular

3. 4. y 5. grados de Educacin Secundaria

Matemtica

Versin 2015

VIICiclo

2Ministerio de educacin Av. De la Arqueologa, cuadra 2 - San Borja Lima, Per Telfono 615-5800 www.minedu.gob.pe Versin 1.0

Tiraje: 57,400 ejemplares

elaboracin:Pedro David Collanqui Daz, Marisol Edith Zelarayan Adauto, Maria Isabel Daz Maguia, Wendy Betzabel Monteza Ahumada, Nelly Gabriela Rodrguez Cabezudo, Giovanna Karito Piscoya Rojas, Lorena Puente de la Vega, SINEACE-Programa de Estndares de Aprendizaje: Gina Patricia Paz Huamn, Lilian Edelmira Isidro Cmac.

colaboradores:Carlos Ramiro Francisco Febres Tapia, tala Esperanza Navarro Montenegro, Rosa Lourdes Moina Choque, Daniel J. Arroyo Guzmn, Armando Martn Blanco Del Rosario, Hugo Tmara Salazar, Marlene Valdez Damin, Olber Muoz Sols, Luis Hurtado Mondoedo, Manuel ngel Nuez Chumpitazi, Fernando Escudero Ratto, Rodrigo Valera Lynch, Andrea Soto Torres.

cuidado de la edicin:Sofa Rodrguez.

Correccin de estiloMarcos Daz Abanto.

ilustraciones/Fotografas:scar Pablo Casquino Neyra. Vctor Wilfredo Jacinto Ayala, Marisol Quispe Snchez, Vctor Yaro Ulloa. diseo y diagramacin: Silvia Poma Alvarez.

impreso por:Amauta Impresiones Comerciales S.A.CJr. Juan del Mar y Bernedo N 1298Chacra Rios Sur Lima 1 Ministerio de Educacin Todos los derechos reservados. Prohibida la reproduccin de este material por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores. Hecho el depsito Legal en la Biblioteca nacional del Per: n 2015-02063 Impreso en el Per / Printed in Peru

En vista de que en nuestra opinin, el lenguaje escrito no ha encontrado an una manera satisfactoria de nombrar a ambos gneros con una sola palabra, en este fascculo se ha optado por emplear trminos en masculino para referirse a ambos gneros.

3Presentacin ...........................................................................................................................Pg. 5Introduccin ............................................................................................................................. 7

1. Fundamentos y definiciones .......................................................................................................... 8

1.1 Por qu aprender matemtica? .......................................................................................... 8

1.2 Para qu aprender matemtica? ....................................................................................... 11

1.3 Cmo aprender matemtica? ............................................................................................ 13

2. Competencias y capacidades ....................................................................................................... 17

2.1 Competencia matemtica ..................................................................................................... 20

2.2 Capacidades matemticas ................................................................................................... 29

2.3 Cmo se desarrollan las competencias en el VII ciclo?..................................................... 34

2.3.1 Acta y piensa matemticamente en situaciones de

cantidad. Estndar de aprendizaje y matriz ............................................................ 35

2.3.2 Descripcin de algunos indicadores relacionados a la

competencia Acta y piensa matemticamente en

situaciones de cantidad ............................................................................................. 40


regularidad, equivalencia y cambio. Estndar de

aprendizaje y matriz .................................................................................................. 43

2.3.4 Descripcin de algunos indicadores relacionados a la

competencia Acta y piensa matemticamente en situaciones

de regularidad, equivalencia y cambio ................................................................... 48


forma, movimiento y localizacin. Estndar de aprendizaje y matriz .................. 51

2.3.6 Descripcin de algunos indicadores relacionados a la competencia

Acta y piensa matemticamente en situaciones de forma,

movimiento y localizacin ......................................................................................... 56


Gestin de datos e incertidumbre. Estndar de aprendizaje y matriz ................ 59

2.3.8 Descripcin de algunos indicadores relacionados a la competencia

ndice

4 Acta y piensa matemticamente en situaciones de gestin de datos e

incertidumbre ............................................................................................................. 64

2.4 Campos temticos ................................................................................................................. 65

3. Orientaciones didcticas ................................................................................................................ 66

3.1 Orientaciones para desarrollar la competencia Acta y piensa

matemticamente en situaciones de cantidad ................................................................. 66

3.1.1 Prcticas en laboratorio de matemtica .................................................................. 66

3.1.2 Situaciones didcticas de Brousseau ...................................................................... 68

3.1.3 Planteamiento de talleres matemticos .................................................................. 72


matemticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio .................... 74

3.2.1 Aprendizaje basado en problemas de modelacin matemtica ......................... 74

3.2.2 El juego como fuente de aprendizaje de la matemtica ....................................... 80

3.2.3 Empleo de la cruz demostrativa. .............................................................................. 86


matemticamente en situaciones de forma, movimiento y localizacin......................... 89

3.3.1 Modelo de Van Hiele para el aprendizaje de la geometra ................................. 89

3.3.2 Reconocimiento de recursos didcticos para la enseanza

de la geometra .......................................................................................................... 95

3.3.3 La Uve de Gowin ........................................................................................................ 102

3.4 Orientaciones para desarrollar la competencia Acta y piensa en

matemticamente en situaciones de gestin de datos e incertidumbre ........................ 104

(La investigacin escolar)

Mapas de Progreso .............................................................................................................................. 112

Referencias bibliogrficas .................................................................................................................... 116

5PresentacinLas Rutas del Aprendizaje son orientaciones pedaggicas y didcticas para una enseanza efectiva de las competencias de cada rea curricular. Ponen en manos de nosotros, los docentes, pautas tiles para los tres niveles educativos de la Educacin Bsica Regular: Inicial, Primaria y Secundaria.

Presentan:

Los enfoques y fundamentos que permiten entender el sentido y las finalidades de la enseanza de las competencias, as como el marco terico desde el cual se estn entendiendo.

Las competencias que deben ser trabajadas a lo largo de toda la escolaridad, y las capacidades en las que se desagregan. Se define qu implica cada una, as como la combinacin que se requiere para su desarrollo.

Los estndares de las competencias que se han establecido en mapas de progreso.

Posibles indicadores de desempeo para cada una de las capacidades, y que pueden estar presentados por grado o ciclos, de acuerdo con la naturaleza de cada competencia.

Orientaciones didcticas que facilitan la enseanza y el aprendizaje de las competencias.

Definiciones bsicas que nos permiten entender y trabajar con las Rutas del Aprendizaje:

1. Competencia

Llamamos competencia a la facultad que tiene una persona para actuar conscientemente en la resolucin de un problema o el cumplimiento de exigencias complejas, usando flexible y creativamente sus conocimientos y habilidades, informacin o herramientas, as como sus valores, emociones y actitudes.

La competencia es un aprendizaje complejo, pues implica la transferencia y combinacin apropiada de capacidades muy diversas para modificar una circunstancia y lograr un determinado propsito. Es un saber actuar contextualizado y creativo, y su aprendizaje es de carcter longitudinal, dado que se reitera a lo largo de toda la escolaridad. Ello a fin de que pueda irse complejizando de manera progresiva y permita al estudiante alcanzar niveles cada vez ms altos de desempeo.

2. Capacidad

Desde el enfoque de competencias, hablamos de capacidad en el sentido amplio de capacidades humanas. As, las capacidades que pueden integrar una competencia combinan saberes de un campo ms delimitado, y su incremento

6 genera nuestro desarrollo competente. Es fundamental ser conscientes de que si bien las capacidades se pueden ensear y desplegar de manera aislada, es su combinacin (segn lo que las circunstancias requieran) lo que permite su desarrollo. Desde esta perspectiva, importa el dominio especfico de estas capacidades, pero es indispensable su combinacin y utilizacin pertinente en contextos variados.

3. Estndar nacional

Los estndares nacionales de aprendizaje se establecen en los mapas de progreso y se definen all como metas de aprendizaje en progresin, para identificar qu se espera lograr respecto de cada competencia por ciclo de escolaridad. Estas descripciones aportan los referentes comunes para monitorear y evaluar aprendizajes a nivel de sistema (evaluaciones externas de carcter nacional) y de aula (evaluaciones formativas y certificadoras del aprendizaje). En un sentido amplio, se denomina estndar a la definicin clara de un criterio para reconocer la calidad de aquello que es objeto de medicin y pertenece a una misma categora. En este caso, como sealan los mapas de progreso, indica el grado de dominio (o nivel de desempeo) que deben exhibir todos los estudiantes peruanos al final de cada ciclo de la Educacin Bsica con relacin a las competencias.

Los estndares de aprendizaje no son un instrumento para homogeneizar a los estudiantes, ya que las competencias a que hacen referencia se proponen como un piso, y no como un techo para la educacin escolar en el pas. Su nica funcin es medir logros sobre los aprendizajes comunes en el pas, que constituyen un derecho de todos.

4. Indicador de desempeo

Llamamos desempeo al grado de desenvoltura que un estudiante muestra en relacin con un determinado fin. Es decir, tiene que ver con una actuacin que logra un objetivo o cumple una tarea en la medida esperada. Un indicador de desempeo es el dato o informacin especfica que sirve para planificar nuestras sesiones de aprendizaje y para valorar en esa actuacin el grado de cumplimiento de una determinada expectativa. En el contexto del desarrollo curricular, los indicadores de desempeo son instrumentos de medicin de los principales aspectos asociados al cumplimiento de una determinada capacidad. As, una capacidad puede medirse a travs de ms de un indicador.

Estas Rutas del Aprendizaje se han ido publicando desde 2012 y estn en revisin y ajuste permanente, a partir de su constante evaluacin. Es de esperar, por ello, que en los siguientes aos se sigan ajustando en cada una de sus partes. Estaremos muy atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorndolas en las prximas reediciones, de manera que sean ms pertinentes y tiles para el logro de los aprendizajes a los que nuestros estudiantes tienen derecho.

7El presente fascculo te proporciona pautas para qu ensear y cmo ensear? Qu ensear relacionado con los contenidos y capacidades y el cmo ensear relacionado con la variedad de estrategias y recursos que te permitirn generar aprendizajes significativos en tus estudiantes. La matemtica cobra mayor significado y se aprende mejor cuando se desarrolla en situaciones de la vida real. Nuestros estudiantes desarrollaran aprendizajes significativos cuando vinculan sus experiencias y saberes con la realidad que lo circunda. Por ello, podramos expresar una prctica matemtica para la vida, donde el aprendizaje se genera en el contexto de la vida y sus logros van hacia ella.

Asimismo, la sociedad actual requiere de ciudadanos crticos, creativos y emprendedores capaces de asumir responsabilidades en la conduccin de la sociedad, en ese sentido la educacin matemtica debe ser un medio para tales propsitos. Por ello, es importante reconocer tu rol como agente mediador, orientador y provocador de formas de actuar y pensar durante las actividades matemticas. Conscientes de la responsabilidad que tienes con tus estudiantes, te brindamos el presente fascculo como una herramienta pedaggica. Para tal efecto se adopta un enfoque centrado en la resolucin de problemas, el cual orienta el sentido de desarrollar competencias y capacidades matemticas.

En el presente fascculo encontrars:Captulo I: La fundamentacin, que est redactada en torno al por qu y para qu aprender matemtica. Captulo II: La organizacin curricular por competencias, considerando en ella los estndares de aprendizaje, el cual expresa las metas de aprendizaje para el VII ciclo. Captulo III: Orientaciones didcticas que ofrecen propuestas para promover el logro de aprendizajes con la matemtica.

La intencin del presente fascculo es propiciar la reflexin de las prcticas educativas con tus estudiantes y esperamos que contribuya en tu labor profesional. Asimismo, estaremos atentos a tus aportes y sugerencias de la experiencia vivida con este material, lo que nos llevar a seguir mejorando de manera que sea lo ms pertinente y til para el logro de los aprendizajes a los que nuestros estudiantes tienen derecho.

Introduccin

81.1 Por qu aprender matemtica?

Vivimos en un escenario de constantes cambios e incertidumbres que requieren una cultura matemtica

La matemtica est presente en diversos espacios de la actividad humana, tales como actividades familiares, sociales, culturales o en la misma naturaleza. El uso de la matemtica nos permite entender el mundo que nos rodea, ya sea natural o social.

En la anatoma del ser humano, por ejemplo, se observa formas, patrones, estructuras, redes, grafos, dibujos y otros, que debemos entender si pretendemos alcanzar un equilibrio con la naturaleza, y somos nosotros quienes desarrollamos estos saberes y conocimientos en base a la experiencia y la reflexin.

Por otro lado, resulta complicado asumir un rol participativo en diversos mbitos del mundo moderno sin entender el papel que la matemtica cumple en este aspecto, su forma de expresarse a travs de un lenguaje propio y con caractersticas simblicas particulares ha generado una nueva forma de concebir nuestro entorno y actuar sobre l.

La presencia de la matemtica en nuestra vida diaria, en aspectos sociales, culturales y de la naturaleza es algo cotidiano, pues se usa desde situaciones tan simples y generales como cuantificar el nmero de

1. Fundamentos y definiciones

9integrantes de la familia, hacer un presupuesto familiar, desplazarnos de la casa a la escuela, o ir de vacaciones, hasta situaciones tan particulares como esperar la cosecha de este ao sujeta al tiempo y los fenmenos de la naturaleza, hacer los balances contables de negocios estableciendo relaciones entre variables de manera cuantitativa, cualitativa y predictiva, o cuando practicamos juegos a travs de clculos probabilsticos de sucesos, de tal manera que tener un entendimiento y un desenvolvimiento matemtico adecuados nos permite participar del mundo que nos rodea en cualquiera de los aspectos mencionados.

La matemtica se ha incorporado en las diversas actividades humanas, de tal manera que se ha convertido en clave esencial para poder comprender y transformar nuestra cultura. Es por ello que nuestra sociedad necesita de una cultura matemtica para aproximarse, comprender y asumir un rol transformador en el entorno complejo y global de la realidad contempornea, esto implica desarrollar en los ciudadanos habilidades bsicas que permitan desenvolverse en la vida cotidiana, relacionarse con su entorno, con el mundo del trabajo, de la produccin, el estudio y entre otros.

Es un eje fundamental en el desarrollo de las sociedades y la base para el progreso de la ciencia y la tecnologa

En este siglo la matemtica ha alcanzado un gran progreso, invade hoy ms que nunca la prctica total de las creaciones del intelecto y ha penetrado en la mente humana ms que ninguna ciencia en cualquiera de los periodos de la historia, de tal manera que la enseanza de una matemtica acabada, sin aplicaciones inmediatas y pensada para un mundo ideal se ha ido sustituyendo por una matemtica como producto de la construccin humana y con mltiples aplicaciones. Hoy en da, las aplicaciones matemticas ya no representan un patrimonio nicamente apreciable en la fsica, ingeniera o astronoma, sino que han desencadenado progresos espectaculares en otros campos cientficos. Especialistas mdicos leen obras sobre la teora de la informacin, los psiclogos estudian tratados de teora de la probabilidad, la sociologa, la lingstica y otra gran parte de las humanidades usan la matemtica, que camuflada con el nombre de cliometra, se ha infiltrado en el campo histrico. Existen tantas evidencias, que los ms ilustres pensadores y cientficos han aceptado sin reparos que en los ltimos aos se ha estado viviendo un acusado periodo de apreciacin de la matemtica.

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Comenta Carl Sagan (1982) que hay un lenguaje comn para todas las civilizaciones tcnicas, por muy diferentes que sean, y este es el de la ciencia y la matemtica. La razn est en que las leyes de la naturaleza son idnticas en todas partes. En este sistema comunicativo-representativo est escrito el desarrollo de las dems ciencias; gracias a ella ha habido un desarrollo dinmico y combinado de la ciencia-tecnologa que ha cambiado la vida del ciudadano moderno.

Se requieren ciudadanos responsables y conscientes al tomar decisiones

El desarrollo de una sociedad democrtica requiere de ciudadanos participativos capaces de tomar decisiones responsables. Esto implica superar problemas que no son exclusivamente los de orden poltico y econmico. Un aspecto importante, que atraviesa cualquier proceso de democratizacin, es el de la distribucin equitativa del poder. Ella implica mayores canales de participacin de la poblacin en la toma de decisiones en todos los niveles.

Por ello, una distribucin desigual de los conocimientos matemticos juega tambin un rol en la estructuracin de la sociedad, en la construccin de una democracia real. Por una parte, existe una tendencia a fundar el poder en la matemtica, en la demostracin, en la invocacin al razonamiento y hasta la intimidacin por la actividad matemtica. Por otro lado, mientras ms se complejiza nuestra sociedad, un nmero cada vez mayor de decisiones se toman en nombre de la racionalidad, el uso ptimo y conveniente. Sin embargo, esta racionalidad parece ser propiedad de los expertos, en tanto la gran mayora de la poblacin permanece alejada de ella; mientras ms cientfica es la poltica, entendida en trminos amplios que incluyen, por ejemplo las decisiones econmicas, menor es la posibilidad de regulacin democrtica de la sociedad, pues el individuo no tiene suficientemente asegurado el acceso al conocimiento, y as el

ciudadano puede perder su derecho a la decisin.

Finalmente, es importante considerar que toda persona est dotada para desarrollar aprendizajes matemticos de forma natural; y que sus competencias matemticas se van desarrollando de manera progresiva en la educacin formal y no formal. Asimismo, decimos que la persona redescubre y construye sus conocimientos cientficos con la ayuda de la matemtica en el sentido que las disciplinas cientficas usan como lenguaje y representacin de lo factual los cdigos, procesos y conceptos de un cuerpo de conocimiento matemtico.

11

1.2 Para qu aprender matemtica?

La finalidad de la matemtica en el currculo es desarrollar formas de actuar y pensar matemticamente en diversas situaciones que permitan al estudiante interpretar e intervenir en la realidad a partir de la intuicin, planteando supuestos, haciendo inferencias, deducciones, argumentaciones, demostraciones, formas de comunicar y otras habilidades, as como el desarrollo de mtodos y actitudes tiles para ordenar, cuantificar, medir hechos y fenmenos de la realidad, e intervenir conscientemente sobre ella.

En ese sentido, la matemtica escapa de ser ciencia de nmeros y espacio para convertirse en una manera de pensar. Mejor que definirla como la ciencia de los nmeros, es acercarse a ella en la visin de un pensamiento organizado, formalizado y abstracto, capaz de recoger elementos y relaciones de la realidad, discriminndolas de aquellas percepciones y creencias basadas en los sentidos y de las vicisitudes cotidianas.

El pensar matemticamente implica reconocerlo como un proceso complejo y dinmico resultante de la interaccin de varios factores (cognitivos, socioculturales, afectivos, entre otros), el cual promueve en los estudiantes formas de actuar y construir ideas matemticas a partir de diversos contextos (Cantoral, 2013). Por ello, en nuestra prctica, para pensar matemticamente tenemos que ir ms all de los fundamentos de la matemtica y la prctica exclusiva de los matemticos y entender que se trata de aproximarnos a todas las formas posibles de razonar, formular hiptesis, demostrar, construir, organizar, comunicar, resolver problemas matemticos que provienen de un contexto cotidiano, social, laboral o cientfico, entre otros. A partir de ello, se espera que los estudiantes aprendan matemtica en diversos sentidos:

Funcional, ya que encontrar en la matemtica herramientas bsicas para su desempeo social y la toma de decisiones que orientan su proyecto de vida. Es de destacar aqu la contribucin de la matemtica a cuestiones tan relevantes como: los fenmenos polticos, econmicos, ambientales, de infraestructuras, transportes, movimientos poblacionales; los problemas del trfico en las ciudades; la necesidad y formacin de profesionales cualificados; los suministros bsicos; el diseo de parques y jardines; la provisin de alimentos; la economa familiar o la formacin en cultura matemtica de las nuevas generaciones.

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Por ejemplo, en el

campo biolgico, muchas

de las caractersticas

heredadas en el nacimiento

no se pueden prever de

antemano: sexo, color de

pelo, peso al nacer, estatura,

etc.. La probabilidad permite

describir estas caractersticas.

En este sentido, la matemtica posee unos valores formativos innegables, tales como:

Formativo, ya que le permitir desarrollar estructuras conceptuales, procedimientos y estrategias cognitivas tanto particulares como generales, caractersticas de un pensamiento abierto, creativo, crtico, autnomo y divergente.

La capacidad para desarrollar el pensamiento del estudiante con el fin de determinar hechos, establecer relaciones, deducir consecuencias, y, en definitiva, potenciar el razonamiento y la capacidad de accin simblica, el espritu crtico, la tendencia a la exhaustividad, el inconformismo, la curiosidad, la persistencia, la incredulidad, la autonoma, la rigurosidad, la imaginacin, la creatividad, la sistematicidad, etc.

La utilidad para promover la expresin, elaboracin, apreciacin de patrones

y regularidades, que combinados generan resultados eficaces y bellos para muchos; la matemtica ha de promover el uso de esquemas, representaciones grficas, fomentar el diseo de formas artsticas, la apreciacin y creacin de belleza.

La creatividad que fomenta, pues dentro de sus fronteras bien delimitadas se observa una libertad absoluta para crear y relacionar conceptos, incluso de manera artstica.

La potencialidad para desarrollar el trabajo cientfico y para la bsqueda, identificacin y resolucin de problemas.

La honestidad, pues no se puede engaar a otros sin engaarse uno mismo. Eso en matemtica no se puede, las falsedades no tienen lugar en un ambiente matemtico.

Instrumental, de manera que la matemtica sea reconocida como el idioma en el que est escrito el desarrollo de las dems ciencias; gracias a ella ha habido un desarrollo

dinmico y combinado de la ciencia-tecnologa que ha cambiado la vida del ciudadano moderno.

Todas las profesiones requieren una base de conocimientos matemticos y, en algunas, como en la matemtica pura, la fsica, la estadstica o la ingeniera, la matemtica es imprescindible.

En la prctica diaria de las ciencias se usa la matemtica. Los conceptos con que se formulan las teoras cientficas son esencialmente los conceptos matemticos.

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1.3 Cmo aprender matemtica?

Donovan y otros (2000), basado en trabajos de investigacin en antropologa, psicologa social y cognitiva, afirman que los estudiantes alcanzan un aprendizaje con alto nivel de significatividad cuando se vinculan con sus prcticas culturales y sociales.

Por otro lado, como lo expresa Freudenthal (2000), esta visin de la prctica matemtica escolar no est motivada solamente por la importancia de su utilidad, sino principalmente por reconocerla como una actividad humana; lo que implica que hacer matemtica como proceso es ms importante que la matemtica como un producto terminado.

En este marco se asume un enfoque centrado en la resolucin de problemas con la intencin de promover formas de enseanza y aprendizaje a partir del planteamiento de problemas en diversos contextos. Como lo expresa Gaulin (2001), este enfoque adquiere importancia debido a que promueve el desarrollo de aprendizajes a travs de, sobre y para la resolucin de problemas.

A travs de la resolucin de problemas y del entorno del estudiante, porque esta permite construir significados, organizar objetos matemticos y generar nuevos aprendizajes en un sentido constructivo y creador de la actividad humana.

Sobre la resolucin de problemas, porque explica la necesidad de reflexionar sobre los mismos procesos de la resolucin de problemas como: la planeacin, las estrategias heursticas, los recursos, procedimientos, conocimientos y capacidades matemticas movilizadas en el proceso.

Para resolver problemas, porque involucran enfrentar a los estudiantes de forma constante a nuevas situaciones y problemas. En este sentido la resolucin de problemas y el proceso central de hacer matemtica, y de esta manera vive como un proceso ms que como un producto terminado (Font 2003), asimismo es el medio principal para establecer relaciones de funcionalidad de la matemtica en diversas situaciones.

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La resolucin de problemas como expresin adquiere diversas connotaciones, ya que puede ser entendida como una competencia que implica un proceso complejo; una capacidad, que involucra movilizar conocimientos y procesos de resolucin para un fin de aprendizaje ms superior; una estrategia en la caracterstica que muestra fases y procesos que le dan identidad respecto a otras estrategias. Al respecto, a continuacin expresaremos la resolucin de problemas como un enfoque, que orienta y da sentido

a la educacin matemtica, en el propsito que se persigue de resolver problemas en el "Actuar y pensar matemticamente" para orientar el proceso de la enseanza y aprendizaje de la matemtica.

En nuestro sistema educativo, este enfoque de resolucin de problemas orienta la actividad matemtica en la escuela, de tal manera que le permite al estudiante situarse

Un problema es

un desafo, reto o

dificultad a resolver

y para la cual no se

conoce de antemano

una solucin.

Actuar y

pensar

MatemticamenteResolucin de

problemas

Enseanza

Aprendizaje

Enfoque centrado en la resolucin de

problemas

"A travs de"

"Sobre la"

"Para la"

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en diversos contextos para crear, recrear, investigar y resolver problemas; involucrando la prueba de diversos caminos de resolucin, el anlisis de estrategias y formas de representacin, la sistematizacin y comunicacin de los nuevos conocimientos, entre otros.

Los rasgos ms importantes de este enfoque son los siguientes:

La resolucin de problemas debe plantearse en situaciones de contextos diversos, pues ello moviliza el desarrollo del pensamiento matemtico. Los estudiantes desarrollan competencias y se interesan en el conocimiento matemtico, si le encuentran significado y lo valoran, y pueden establecer la funcionalidad matemtica con situaciones de diversos contextos.

La resolucin de problemas sirve de escenario para desarrollar competencias y capacidades matemticas. Es a travs de la resolucin de problemas, que los estudiantes desarrollan competencias matemticas y capacidades matemticas.

La matemtica se ensea y se aprende resolviendo problemas. La resolucin de problemas sirve de contexto para que los estudiantes construyan nuevos conceptos matemticos, descubran relaciones entre entidades matemticas y elaboren procedimientos matemticos, estableciendo relaciones entre experiencias, conceptos, procedimientos y representaciones matemticas.

Los problemas deben responder a los intereses y necesidades de los estudiantes; es decir, deben ser interesantes y constituir desafos genuinos para los estudiantes, que los involucren realmente en la bsqueda de soluciones.

Finalmente, desde la mirada de Lesh & Zawojewski (2007), la resolucin de problemas implica la adquisicin de niveles crecientes de capacidad en la solucin de problemas por parte de los estudiantes, lo que les proporciona una base para el aprendizaje futuro, para la participacin eficaz en sociedad y para conducir actividades personales. Los estudiantes necesitan aplicar lo que han aprendido en nuevas situaciones. El estudio centrado en la resolucin de problemas por parte de los estudiantes proporciona una ventana en sus capacidades para emplear el pensamiento y otros acercamientos cognoscitivos generales, para enfrentar desafos en la vida.

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El enfoque es el punto de partida

para ensear y aprender matemtica

REsoluCIn dE

pRoblEMas

ECONMICO

SOCIal

CIENtfICO

MatEMtICO

la resolucin de problemas orienta al desarrollo de competencias y capacidades matemticas.

Sirve de contexto para comprender y establecer relaciones entre experiencias, conceptos, procidimientos y representaciones matemticas.

los problemas deben responder a las necesidades e intereses de los estudiantes.

la resolucin de problemas debe de plantearse en situaciones de contextos diversos lo que desarrolla el pensamiento matemtico.

Rasgos ms importantes de la

resolucin del problema

Problemas en diversos

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Nuestros adolescentes necesitan enfrentarse a retos que demanda la sociedad, con la finalidad de que se encuentren preparados para superarlos, tanto en la actualidad como en el futuro. En este contexto, la educacin y las actividades de aprendizaje deben orientarse a que los estudiantes sepan actuar con pertinencia y eficacia en su rol de ciudadanos, lo cual involucra el desarrollo pleno de un conjunto de competencias, capacidades y conocimientos que faciliten la comprensin, construccin y aplicacin de una matemtica para la vida y el trabajo.

Los estudiantes a lo largo de la Educacin Bsica Regular desarrollan competencias y capacidades, las cuales se definen como la facultad de toda persona para actuar conscientemente sobre una realidad, sea para resolver un problema o cumplir un objetivo, haciendo uso flexible y creativo de los conocimientos, las habilidades, las destrezas, la informacin o las herramientas que tenga disponibles y considere

pertinentes a la situacin (Minedu 2014). Tomando como base esta concepcin es que se promueve el desarrollo de aprendizajes en matemtica explicitados en cuatro competencias. Estas, a su vez, se describen como el desarrollo de formas de actuar y de pensar matemticamente en diversas situaciones.

2. Competencias y capacidades

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De otro lado, pensar matemticamente se define como el conjunto de actividades mentales u operaciones intelectuales que llevan al estudiante a entender y dotar de significado a lo que le rodea, resolver un problema usando conceptos matemticos, tomar una decisin o llegar a una conclusin, en los que estn involucrados procesos como la abstraccin, justificacin, visualizacin, estimacin, entre otros

(Cantoral 2005; Molina 2006; Carretero y Ascencio 2008).

Las competencias propuestas en la Educacin Bsica Regular se organizan sobre la base de cuatro situaciones. La definicin de estas cuatro situaciones se sostiene en la idea de que la matemtica se ha desarrollado como un medio para describir, comprender e interpretar los fenmenos naturales y sociales que han motivado el desarrollo de determinados procedimientos y conceptos matemticos propios de cada situacin (OECD 2012). En este sentido, la mayora de pases han adoptado una organizacin curricular basada en estos fenmenos, en la que subyacen numerosas clases de problemas, con procedimientos y conceptos matemticos propios de cada situacin. Por ejemplo, fenmenos como la incertidumbre, que pueden descubrirse en muchas situaciones habituales, necesitan ser abordados con estrategias y herramientas matemticas relacionadas con la probabilidad. Asimismo, fenmenos o situaciones de equivalencias o cambios necesitan ser abordados desde el lgebra; las situaciones de cantidades se analizan y modelan desde la aritmtica o los nmeros; las de formas, desde la geometra.

Usar el lenguaje matemtico para comunicar sus ideas o argumentar sus conclusiones; es decir, para describir elementos concretos, referidos a contextos especficos de la matemtica, hasta el uso de variables convencionales y lenguaje funcional.

Cambiar de perspectiva o punto de vista y reconocer cundo una variacin en este aspecto es incorrecta dentro de una situacin o un problema dado.

Captar cul es el nivel de precisin adecuado para la resolucin de un problema dado.

Identificar estructuras matemticas dentro de un contexto (si es que las hay) y abstenerse de usar la matemtica cuando esta no es aplicable.

Tratar la propia actividad como materia prima para la reflexin, con miras a alcanzar un nivel ms alto de pensamiento.

Segn Freudenthal (citado por Bressan 2004), el actuar matemticamente consistira en mostrar predileccin por:

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Por las razones descritas, las competencias se formulan como actuar y pensar matemticamente a travs de situaciones de cantidad; regularidad, equivalencia y cambio; forma, movimiento y localizacin; gestin de datos e incertidumbre.

Por tanto, las cuatro competencias matemticas atienden a estas situaciones y se describen como actuar y pensar matemticamente, lo que debe entenderse como usar la matemtica para describir, comprender y actuar en diversos contextos; siendo una de las caractersticas en ellas el plantear y resolver problemas.

Acta y piensa matemticamente en

situaciones de cantidad

Acta y piensa matemticamente en

situaciones de gestin de datos e incertidumbre

Acta y piensa matemticamente en situaciones de forma,

movimiento y lo calizacin

Acta y piensa matemticamente

en situaciones de regularidad, equivalencia y

cambio

MATEMTICA

20

2.1 Competencias matemticas

En nuestra sociedad actual, la utilidad que tienen los nmeros y datos es prcticamente infinita. Estamos bombardeados por titulares que utilizan medidas cuantitativas para reportar aumentos de precios, los riesgos de ser propensos a una enfermedad, y el nmero de personas afectadas por desastres naturales. Los anuncios publicitarios utilizan nmeros para competir en ofertas de telefona celular, para promocionar bajo inters en prstamos personales, de pequea empresa, hipotecarios etc. En el mbito tcnico profesional, los agricultores estudian mercados donde ofertar sus productos, analizan el suelo y controlan cantidades de semillas y nutrientes; las enfermeras utilizan conversiones de unidades para verificar la exactitud de la dosis del medicamento; los socilogos sacan conclusiones a partir de datos para entender el comportamiento

humano; los bilogos desarrollan algoritmos informticos para mapear el genoma humano; los empresarios estudian los mercados y costos del proyecto utilizando las TIC.

La competencia Acta y piensa matemticamente en situaciones de cantidad implica desarrollar modelos de solucin numrica, comprendiendo el sentido numrico y de magnitud, la construccin del significado de las operaciones, as como la aplicacin de diversas estrategias de clculo y estimacin al resolver un problema.

http://www.fisiodia.es/wp-content/uploads/2014/10/2014-10-03-17.39.53.jpg

competencia

acta y piensa matemticamente en situaciones de cantidad.1

https://coveclinica.wordpress.com/enfermedades-de-vigilancia-epidemilogica/eventos-de-notificacion-inmediata/dengue/

DAS DE ENFERMEDAD

TEMPERATURA

EVENTOS CLNICOSPOTENCIALES

CAMBIOS DE LABORATORIO

SEROLOGAY VIROLOGA

1 2 3 4 5 6 7 8 9

ShockHemorrgico

Falla de rganos

Reabsorcinde lquidos

Viremia

Hematocrito

40

Deshidratacin

IgM/lgG

Curso de la enfermedad Fase febril Fase crtica Fase de recuperacin

FIGURA 1: EVOLUCIN DE LA ENFERMEDAD DEL DENGUE

Adapted from WCL yp, 1980 by Hung NT, Lum LCS, Tan LH

21

Esta competencia se desarrolla a travs de las cuatro capacidades matemticas las que se interrelacionan para manifestar formas de actuar y pensar en el estudiante. Esto involucra la comprensin del significado de los nmeros y sus diferentes representaciones, propiedades y relaciones, as como el significado de las operaciones y cmo estas se relacionan al utilizarlas en contextos diversos.

La necesidad de cuantificar y organizar lo que se encuentra en nuestro entorno nos permite reconocer que los nmeros poseen distinta utilidad en diversos contextos.

Treffers (citado por Jan de Lange 1999) hace hincapi en la importancia de la capacidad de manejar nmeros y datos, y de evaluar los problemas y situaciones que implican procesos mentales y de estimacin en contextos del mundo real. Por su parte, The International Life Skills Survey (Policy Research Initiative Statistics Canada 2000) menciona que es necesario poseer un conjunto de habilidades, conocimientos, creencias, disposiciones, hbitos de la mente, comunicaciones, capacidades y habilidades para resolver problemas que las personas necesitan para participar eficazmente en situaciones cuantitativas que surgen en la vida y el trabajo.

acta y piensamatemticamenteen situaciones de

cantidad.

Matematiza situaciones

Expresar problemas diversos en modelos

matemticos relacionados con

los nmeros y operaciones.

Comunica y representa ideas matemticas

Expresa el significado de los nmeros y operaciones de manera oral y escrita, haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemtico.

Justificar y validar conclusiones, supuestos, conjeturas e hiptesis

respaldados en significados y propiedades de los nmeros y

operaciones.

Razona y argumenta generando ideas matemticas

Planificar, ejecutar y valorar estrategias heursticas, procedimientos de clculo, comparacin, estimacin, usando diversos recursos para resolver problemas.

Elabora y usa estrategias

CapaCIdadEs dE la CoMpETEnCIa

22

Lo dicho anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes asociados a la idea de cantidad, siendo algunas caractersticas las siguientes:

Conocer los mltiples usos que les damos. Realizar procedimientos como conteo, clculo y estimacin de cantidades. Comprender y usar los nmeros en sus variadas representaciones. Emplear relaciones y operaciones basadas en nmeros. Comprender el Sistema de Numeracin Decimal. Utilizar nmeros para expresar atributos de medida reconocidas en el mundo real. Comprender el significado de las operaciones con cantidades y magnitudes.

En nuestro alrededor se manifiestan diversos fenmenos que tienen caractersticas de cambio, pudindose reconocer, por ejemplo, cmo ciertos organismos van variando a medida que crecen, el movimiento de flujo y reflujo de las mareas, los ciclos de empleabilidad en un sistema econmico, los cambios climticos regidos por las estaciones, fluctuaciones burstiles, el cambio de temperatura a lo largo del da, crecimiento de la poblacin respecto al tiempo (aos), tiempo de distribucin de un producto, costo para inmunizar al x por ciento de una poblacin contra una epidemia, velocidad de un mvil en movimientos uniformemente acelerados o retardados, recibos de la luz, agua o telfono en funcin del gasto, el movimiento de un cuerpo en el espacio, o cmo ha evolucionado en los ltimos aos la preferencia del pblico frente a un producto con determinada campaa publicitaria.

En este sentido, aprender progresiones, ecuaciones y funciones relacionadas a estas situaciones desarrolla en el estudiante una forma de comprender y proceder en diversos contextos haciendo uso de la matemtica.

La competencia Acta y piensa matemticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio implica desarrollar progresivamente la interpretacin y generalizacin de patrones, la comprensin y el uso de igualdades y desigualdades, y la comprensin y el uso de relaciones y funciones. Toda esta comprensin se logra usando el lenguaje algebraico como una herramienta de modelacin de distintas situaciones de la vida real.

competencia

acta y piensa matemticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.2

http://www.monografias.com/trabajos93/energia-mareomotriz/energia-mareomotriz.shtml

23

Esta competencia se desarrolla a travs de las cuatro capacidades matemticas, que se interrelacionan para manifestar formas de actuar y pensar en el estudiante, esto involucra desarrollar modelos expresando un lenguaje algebraico, emplear esquemas de representacin para reconocer las relaciones entre datos, de tal forma que se reconozca un regla de formacin, condiciones de equivalencia o relaciones de dependencia, emplear procedimientos algebraicos y estrategias heursticas para resolver problemas, as como expresar formas de razonamientos que generalizan propiedades y expresiones algebraicas.

Lo expuesto muestra la necesidad de reconocer la manifestacin de cambio en fenmenos reales, en los que es posible identificar dos o ms magnitudes y estudiar la forma como varan para tener una comprensin y control de ellos a partir de establecer relaciones permanentes o temporales entre dichos fenmenos.

De acuerdo con el Dr. Cantoral, este aprendizaje es parte del pensamiento matemtico avanzado y comprende las relaciones entre la matemtica de la variacin y el cambio, por un lado, y los procesos del pensamiento, por el otro. Implica la integracin de los dominios numricos, desde los naturales hasta los complejos, conceptos de variable, funcin, derivada e integral; asimismo sus representaciones simblicas, sus



regularidad,equivalencia y

cambio.


asociar problemas diversos con modelos

que involucran patrones, igualdades, desigualdades

y relaciones.


Expresa el significado de patrones, igualdades, desigualdades y relaciones de manera oral y escrita, haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemtico.

Justificar y validar conclusiones, supuestos, conjeturas e hiptesis

respaldados en leyes que rigen patrones, propiedades

sobre relaciones de igualdad y desigualdad y las relaciones.


Planificar, ejecutar y valorar estrategias heursticas, procedimientos de clculo y estimacin, usando diversos recursos para resolver problemas.


EMPRESAS DEBERN INFORMAR A BANCOS SOBRE LOS LTIMOS SEIS SUELDOS DE L

Cunto puede retirar

En el 2011

EJEMPLO

Quines pueden recibir?. Trabajadores que laboran4 horas al da o 20 horassemanales como mnimo.

La parte intangiblede ls CTS ser el importede seis remuneracionesbrutas...

Por lo que lacantidad de libredisposicin sera:

. Trabajadores que no pertenecen alrgimen de contrato administrativode servicio (CAS).

. Trabajadores de empresaspblicas sujetas al rgimenlaboral de la actividad privada.

Desde mayo hasta el fin del vnculo laboral, podra disponer del 70% del excedentede seis remuneraciones brutas

y en su cuentaCTS tienedepositadoS/. 10.000

...+30%del saldo

Fuente: Ministerio de TrabajoS/. 6.000 S/. 1.200

Segn los bancos, el 97% de las cuentas no cumple con losrequisitos para poder disponer de la CTS en mayo del 2011.

Gobierno reglamentamedidas que bloquearretiro parcial de la CTS

S/. 2.800

Si su remueracinbruta es deS/. 1.000

Por lo que lacantidad de libredisposicin sera:

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24

A diario, en nuestro entorno cotidiano se nos presentan diversas oportunidades para enfrentarnos a problemas espaciales. A travs de estas, vamos construyendo un conjunto de referencias que nos permiten ubicarnos y ubicar cuerpos. As, por ejemplo, montar una bicicleta, ajustar una pieza de mobiliario, ordenar un equipo de msica o poner un ventilador de techo involucra retos como reconocer instrucciones, palabras que expresan referentes de direccin de arriba y abajo, adelante y atrs, etc., objetos fsicos entre otros.

Asimismo, muchos descubrimientos clsicos y procedimientos cotidianos de la ciencia se basan en gran parte en el reconocimiento de formas y cuerpos geomtricos, por ejemplo, uno de los grandes descubrimientos de la ciencia moderna, el modelo de la doble hlice de Watson de la estructura del ADN. Otro aspecto a considerar es que, en las ltimas dcadas, se est experimentando una abundancia de informacin con el apoyo de tecnologas: sensores (como sismgrafos e hidrfonos de alta resolucin), dispositivos (como el mar profundo y las tecnologas de perforacin de ncleos de hielo), satlites de muestreo (incluyendo imgenes multiespectrales y sistemas de posicionamiento global GPS), y plataformas (tales como el telescopio Hubble y el sumergible Alvin). Esto ha involucrado el desarrollo y la prctica de pensamiento espacial; por ejemplo, mapas, tcnicas de anlisis (anlisis de superficie de tendencia), y sistemas de representacin (diagramas espectrales).

competencia

acta y piensa matemticamente en situaciones de forma, movimiento y localizacin.3

propiedades y el dominio de la modelacin elemental de los fenmenos del cambio. (Dolores, Guerrero, Martnez y Medina 2002: 73).

Lo expuesto anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes asociados a la idea de patrones, equivalencia y cambio. Son algunas caractersticas:

Comprender las regularidades que se reconocen en diversos contextos, incluidos los propiamente matemticos.

Expresar patrones y relaciones usando smbolos, lo que conduce a procesos de generalizacin.

Comprender la igualdad o desigualdad en condiciones de una situacin. Hallar valores desconocidos y establecer equivalencias entre expresiones

algebraicas. Identificar e interpretar las relaciones entre dos magnitudes. Analizar la naturaleza del cambio y modelar situaciones o fenmenos del mundo

real, con la finalidad de resolver un problema o argumentar predicciones.

25

En este sentido, aprender geometra relacionada a estas situaciones desarrolla en el estudiante una forma de comprender y proceder en diversos contextos haciendo uso de la matemtica. La competencia Acta y piensa matemticamente en situaciones de forma, movimiento y localizacin implica desarrollar progresivamente el sentido de la ubicacin en el espacio, la interaccin con los objetos, la comprensin de propiedades de las formas y cmo estas se interrelacionan, as como la aplicacin de estos conocimientos al resolver diversas problemas.

Esta competencia se desarrolla a travs de las cuatro capacidades matemticas, que se interrelacionan para manifestar formas de actuar y pensar en el estudiante, esto involucra desarrollar modelos expresando un lenguaje geomtrico, emplear variadas representaciones que describan atributos de forma, medida y localizacin de figuras y cuerpos geomtricos, emplear procedimientos de construccin y medida para resolver problemas, as como expresar formas y propiedades geomtricas a partir de razonamientos.



forma, movimiento ylocalizacin.


asociar problemas diversos con modelos referidos a

propiedades de las formas, localizacin y movimiento

en el espacio.

Justificar y validar conclusiones, supuestos, conjeturas e hiptesis respecto a las propiedades de las

formas, sus transformaciones y la localizacin en el espacio.



Expresa las propiedades de las formas, localizacin y movimiento en el espacio, de manera oral o escrita, haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemtico.

Planificar, ejecutar y valorar estrategias heursticas y procedimientos de localizacin, construccin, medicin y estimacin, usando diversos recursos para resolver problemas.


26

Investigaciones en el campo de la didctica de la geometra, Villiers (1999), Moreno (2002), Duval (1998), Herscowitz y Vinner (1987), han llevado a reconocer que el aprendizaje de la geometra es un proceso complejo que pone en tensin ciertos polos del desarrollo cognitivo: Los procesos cognitivos de visualizacin, as Gutirrez (1996) en relacin a la

enseanza de la geometra define la visualizacin como la actividad de razonamiento basada en el uso de elementos visuales o espaciales.

Los procesos de justificacin de carcter informal o formal. El estudio del razonamiento est constitutivamente ligado al estudio de la argumentacin (Godino y Recio, citados por Bressan 1998).

Los procesos de dar significado a los objetos y propiedades geomtricas. Los dominios empricos y tericos de la geometra, a travs del desarrollo de

habilidades de dibujo y construccin.

Lo expuesto anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes asociada a la idea de formas, posicin y movimiento. Algunas caractersticas son:

Usar relaciones espaciales al interpretar y describir en forma oral y grfica trayectos y posiciones para distintas relaciones y referencias.

Construir y copiar modelos hechos con formas bidimensionales y tridimensionales. Expresar propiedades de figuras y cuerpos segn sus caractersticas para que los

reconozcan o los dibujen. Explorar afirmaciones acerca de caractersticas de las figuras y argumentar sobre

su validez. Estimar, medir efectivamente y calcular longitudes, capacidades y pesos usando

unidades convencionales.

Nos encontramos en la actualidad en un contexto de una sociedad cambiante e impredecible, en la que estamos avanzando a pasos agigantados tanto en el

desarrollo de la ciencia como la tecnologa, por ello contamos con las TIC, cada vez ms potentes, reconocemos sistemas de transporte y procesos de comunicacin altamente eficientes, lo que ha trado como consecuencia que estamos enfrentados a un mundo saturado de informacin y datos. Es en este contexto en que nos ha tocado vivir, que nos sentimos inseguros sobre cul es la mejor forma para tomar desiciones; por ejemplo, nos enfrentamos a resultados

competencia

acta y piensa matemticamente en situaciones de gestin de datos e incertidumbre.4

http://focoblanco.com.uy/2014/05/aumentan-las-posibilidades-de-fenomeno-climatico-el-nino-para-america-del-sur/

27

electorales inciertos, ciertas edificaciones colapsan, se manifiestan cadas en los mercados de valores, tenemos condiciones meteorolgicas cuyas previsiones no son fiables, predicciones de aumento o disminucin del crecimiento de la poblacin, los modelos econmicos que no muestran una constante y, por tanto no expresan una linealidad, y muchas otras manifestaciones de la incertidumbre de nuestro mundo.

En este sentido, aprender estadstica relacionada a estas situaciones desarrolla en el estudiante una forma de comprender y proceder en diversos contextos haciendo uso de la matemtica.

La competencia Acta y piensa matemticamente en situaciones de gestin de datos e incertidumbre implica desarrollar progresivamente las formas cada vez ms especializadas de recopilar, el procesar datos, as como la interpretacin y valoracin de los datos, y el anlisis de situaciones de incertidumbre.

Esta competencia se desarrolla a travs de las cuatro capacidades matemticas que se interrelacionan para manifestar formas de actuar y pensar en el estudiante, esto involucra desarrollar modelos expresando un lenguaje estadstico, emplear variadas representaciones que expresen la organizacin de datos, usar procedimientos con medidas de tendencia central, dispersin y posicin, as como probabilidad en variadas condiciones; por otro lado, se promueven formas de razonamiento basados en la estadstica y la probabilidad para la toma de decisiones.



Planificar, ejecutar y valorar estrategias heursticas y procedimientos para la recoleccin y procesamiento de datos y el anlisis de problemas en situaciones de incertidumbre.

Expresa el significado de conceptos estadsticos y probabilsticos, de manera oral y escrita, haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemtico.



asociar problemas diversos con modelos estadsticos y

probabilsticos.

Justificar y validar conclusiones, supuestos, conjeturas e

hiptesis, respaldados en conceptos estadsticos y

probabilsticos. acta y piensamatemticamenteen situaciones degestin de datose incertidumbre.


28

Investigaciones en el campo de la estadstica, como Holmes (1980), destacan que la estadstica es una parte de la educacin general deseable para los futuros ciudadanos, pues precisan adquirir la capacidad de lectura e interpretacin de tablas y grficos estadsticos que aparecen con frecuencia en medios informativos. Para Watson (2002), el pensamiento estadstico es el proceso que debera tener lugar cuando la metodologa estadstica se encuentra con un problema real.

El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en estadsticos aficionados, puesto que la aplicacin razonable y eficiente de la estadstica para la resolucin de problemas requiere un amplio conocimiento de esta materia y es competencia de los estadsticos profesionales. Tampoco se trata de capacitarlos en el clculo y la representacin grfica, ya que los ordenadores hoy da resuelven este problema. Lo que se pretende es proporcionar una cultura estadstica, que se refiere a dos componentes interrelacionados: a) capacidad para interpretar y evaluar crticamente la informacin estadstica, los argumentos apoyados en datos o los fenmenos estocsticos que las personas pueden encontrar en diversos contextos, incluyendo los medios de comunicacin, pero no limitndose a ellos, y b) capacidad para discutir o comunicar sus opiniones respecto a tales (Gal citado por Batanero y otros 2013).

Desarrollar una comprensin de los conceptos bsicos de probabilidad y estadstica, sus alcances y limitaciones, la confianza y la experiencia, escribir y hablar de ellos.

Interpretar informacin estadstica presentada en una variedad de formas y para comunicar su interpretacin por informe escrito u oral.

Apreciar que los datos son adecuados para el anlisis estadstico, se aplican tcnicas pertinentes y ser capaz de hacer deducciones e inferencias sobre la base de ellos.

Desarrollar la confianza y la capacidad para llevar a cabo una investigacin prctica. Ser conscientes de la importancia de la informacin estadstica en la sociedad. Adquirir una base de conocimientos, habilidades y comprensin adecuada a las

aplicaciones de la probabilidad y la estadstica todos los das.

29

2.2 Capacidades matemticas

Es la capacidad de expresar un problema, reconocido en una situacin, en un modelo matemtico. En su desarrollo se usa, interpreta y evala el modelo matemtico, de acuerdo a la situacin que le dio origen.

Por ello, esta capacidad implica:

Reconocer caractersticas, datos, condiciones y variables de la situacin que permitan construir un sistema de caractersticas matemticas conocido como un modelo matemtico, de tal forma que reproduzca o imite el comportamiento de la realidad.

Usar el modelo obtenido estableciendo conexiones con nuevas situaciones en las que puede ser aplicable; ello permite reconocer el significado y la funcionalidad del modelo en situaciones similares a las estudiadas.

Contrastar, valorar y verificar la validez del modelo desarrollado o seleccionado, en relacin a una nueva situacin o al problema original, reconociendo sus alcances y limitaciones.

modelo matemtico

Econmico social

Contrasta, valora y verifica la validez del modelo con la situacin original, lo que supone modificarlo en caso

sea necesario.

Identifica qu elementos o variables del modelo lo hacen aplicable a otras

situaciones.

Evalael modelo matemtico

usar y aplicarel modelo a otras situaciones

Identificardatos y condiciones de la situacin

Familiar

Cientfico ... y otros

Matematiza situacionescapacidad 1

30

Es la capacidad de comprender el significado de las ideas matemticas, y expresarlas en forma oral y escrita usando el lenguaje matemtico y diversas formas de representacin con material concreto, grfico, tablas, smbolos y recursos TIC, y transitando de una representacin a otra.

La matematizacin destaca la relacin entre las situaciones reales y la matemtica, resaltando la relevancia del modelo matemtico1, el cual se define como un sistema que representa y reproduce las caractersticas de una situacin del entorno. Este sistema est formado por elementos que se relacionan y de operaciones que describen cmo interactan dichos elementos; haciendo ms fcil la manipulacin o tratamiento de la situacin (Lesh y Doerr 2003).

La comunicacin es la forma de expresar y representar informacin con contenido matemtico, as como la manera en que se interpreta (Niss 2002). Las ideas matemticas adquieren significado cuando se usan diferentes representaciones y se

es capaz de transitar de una representacin a otra, de tal forma que se comprende la idea matemtica y la funcin que cumple en diferentes situaciones.

Por ejemplo, un estudiante puede representar en un diagrama sagital, en una tabla de doble entrada o en el plano cartesiano, la relacin de la cantidad de objetos vendidos con el dinero recaudado, reconociendo que todas estas representaciones muestran la misma relacin.

Para la

construccin del significado

de los conocimientos

matemticos es recomendable

que los estudiantes realicen

y transiten en diversas

representaciones, partiendo

de aquellas que son

vivenciales hasta llegar a las

grficas o simblicas.

Comunica y representa ideas matemticascapacidad 2

1. Es importante reconocer que no todos los sistemas matemticos funcionan como modelo. Para que sea un mode-lo, el sistema debe imitar otro sistema, considerando las ideas de Lesh y Doerr 2003.

31

El manejo y uso de las expresiones y smbolos matemticos que constituyen el lenguaje matemtico se van adquiriendo de forma gradual en el mismo proceso de construccin de conocimientos. Conforme el estudiante va experimentando o explorando las nociones y relaciones, los va expresando de forma coloquial al principio, para luego pasar al lenguaje simblico y, finalmente, dar paso a expresiones ms tcnicas y formales que permitan expresar con precisin las ideas matemticas, las que responden a una convencin.

Dibujos e conos.

tablas de conteo, listas, cuadros de doble entrada, etc.

Estructurados: bloques lgicos, tangram, cubos, cuentas, etc.No estructurados: semillas, piedritas, palitos, tapas, chapas, etc..

acciones motrices:Juegos de roles y dramatizacin.

Smbolos, expresiones matemticas.

Representacin pictrica

Representacin con material concreto

Representacin grfica

Representacin simblica

Representacin vivencial

dIFEREnTEs FoRMas dE REpREsEnTaR

Adaptacin: Discover strategies Young math students in competently using multiple representations de Anne Marshall (2010)

32

Las estrategias se definen como actividades conscientes e intencionales, que guan el proceso de resolucin de problemas; estas pueden combinar la seleccin y ejecucin de procedimientos matemticos, estrategias heursticas, de manera pertinente y adecuada al problema planteado.

Por ello, esta capacidad implica:

Elaborar y disear un plan de solucin.

Seleccionar y aplicar procedimientos y estrategias de diverso tipo (heursticas, de clculo mental o escrito).

Valorar las estrategias, procedimientos y los recursos que fueron empleados; es decir, reflexionar sobre su pertinencia y si le es til.

Es la capacidad de planificar, ejecutar y valorar una secuencia organizada de estrategias y diversos recursos, entre ellos las tecnologas de informacin y comunicacin, emplendolas de manera flexible y eficaz en el planteamiento y resolucin de problemas, incluidos los matemticos. Esto implica ser capaz de elaborar un plan de solucin, monitorear su ejecucin, pudiendo incluso reformular el plan en el mismo proceso con la finalidad de llegar a la meta. Asimismo, revisar todo el proceso de resolucin, reconociendo si las estrategias y herramientas fueron usadas de manera apropiada y ptima.

Elabora y usa estrategiascapacidad 3

33

Es la capacidad de plantear supuestos, conjeturas e hiptesis de implicancia matemtica mediante diversas formas de razonamiento (deductivo, inductivo y abductivo), as como el verificarlos y validarlos usando argumentos. Esto implica partir de la exploracin de situaciones vinculadas a la matemtica para establecer relaciones entre ideas, establecer conclusiones a partir de inferencias y deducciones que permitan generar nuevas conexiones e ideas matemticas.

Por ello, esta capacidad implica que el estudiante:

Explique sus argumentos al plantear supuestos, conjeturas e hiptesis.

Observe los fenmenos y establezca diferentes relaciones matemticas.

Elabore conclusiones a partir de sus experiencias.

Defienda sus argumentos y refute otros en base a sus conclusiones.

Razona y argumenta generandocapacidad 4ideas matemticas

Inductivo

Deductivo

Abductivo

34

2.3 Cmo se desarrollan las competencias en el VII ciclo?

2.3.1 Acta y piensa matemticamente en situaciones de cantidad

Desarrollar esta competencia en el VII ciclo implica que los estudiantes se desenvuelvan desarrollando y practicando la matemtica mediante acciones compartidas con pares, en la resolucin de problemas; tomando como referencia variadas fuentes de informacin, como por ejemplo, periodsticos, revistas cientficas, registro de datos; todas ellas relacionadas a modelos financieros, de reparto proporcional, uso de la notacin cientfica y uso de unidades de medida.

En este ciclo, cuando se vinculen con nmeros grandes y pequeos, reconocern que estos se presentan en el campo de las ciencias. Son ejemplos el nmero de Avogadro (6,02 x 1023) en qumica, o los nmeros pequeos que miden el tamao de los virus. Asimismo, es una caracterstica que los estudiantes vinculen las unidades de medida con representaciones de los nmeros reales en la recta numrica y viceversa. En ese sentido tambin ser un espacio para mostrar formas de razonamiento de las propiedades que se cumplen en algunos sistemas numricos, as como relaciones entre medidas basadas en una razn, entre otros.

Por otro lado, conforme se enfrenten a situaciones de investigacin diversas, los estudiantes sern conscientes de desarrollar un plan coherente de trabajo de varias etapas que involucra organizar el tiempo, recursos, estrategias y momentos para realizar trabajos de investigacin con cantidades y magnitudes. Es as que sern capaces de decidir si un problema requiere una estimacin o una respuesta exacta, y saber elegir una estrategia heurstica, de clculo, y ser efectivos con cada uno de ellos.

35

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ener

aliz

acio

nes

refe

ridas

a c

once

ptos

y

prop

ieda

des

de lo

s n

mer

os ra

cion

ales

, las

just

ifica

o re

futa

ba

snd

ose

en a

rgum

enta

cion

es q

ue e

xplic

iten

el u

so d

e su

s co

noci

mie

ntos

mat

emt

icos

.

Ana

liza

dato

s de

va

riada

s fu

ente

s de

in

form

aci

n,

defin

e la

s re

laci

ones

o

rest

ricci

ones

de

si

tuac

ione

s re

ferid

as a

det

erm

inar

can

tidad

es e

xpre

sada

s m

edia

nte

loga

ritm

os;

y la

s ex

pres

a m

edia

nte

oper

acio

nes

en

dife

rent

es s

iste

mas

num

ric

os y

una

com

bina

cin

de

mod

elos

fin

anci

eros

. Fo

rmul

a m

odel

os s

imila

res

a lo

s tra

baja

dos,

y e

val

a la

per

tinen

cia

de l

a m

odifi

caci

n

de u

n m

odel

o re

cono

cien

do s

us a

lcan

ces

y lim

itaci

ones

. Ex

pres

a us

ando

ter

min

olog

as,

reg

las

y co

nven

cion

es

mat

emt

icas

su

com

pren

sin

sob

re: p

ropi

edad

es d

e lo

s n

mer

os y

las

ope

raci

ones

en

los

sist

emas

num

ric

os.

Rela

cion

a re

pres

enta

cion

es

de i

deas

mat

emt

icas

e

iden

tific

a la

repr

esen

taci

n m

s

ptim

a. D

ise

a y

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

la i

nves

tigac

in

o la

sol

uci

n de

pr

oble

mas

, us

ando

un

ampl

io r

eper

torio

de

recu

rsos

, es

trate

gias

heu

rstic

as y

las

prop

ieda

des

de lo

s n

mer

os

y o

pera

cion

es e

n lo

s di

fere

ntes

sis

tem

as n

umr

icos

. Ev

ala

la e

ficac

ia d

el p

lan

en fu

nci

n de

la o

ptim

izac

in

de lo

s re

curs

os, p

roce

dim

ient

os y

est

rate

gias

que

util

iz.

Fo

rmul

a hi

pte

sis

sobr

e g

ener

aliz

acio

nes

y re

laci

ones

en

tre c

once

ptos

y p

roce

dim

ient

os d

e di

fere

ntes

dom

inio

s de

la

mat

emt

ica;

y l

as

just

ifica

con

dem

ostra

cion

es y

a

trav

s de

arg

umen

tos

mat

emt

icos

par

a co

nven

cer

a ot

ros.

1. C

onve

ncio

nes

mat

emt

icas

: p.e

j: co

nven

ir qu

e el

cer

o es

ml

tiplo

de

todo

s lo

s n

mer

os.

A c

ontin

uaci

n le

s pr

esen

tam

os u

na m

atriz

que

mue

stra

de

man

era

inte

grad

a el

est

nda

r de

apr

endi

zaje

(map

a de

pro

gres

o), a

s c

omo

los

indi

cado

res

de d

esem

peo

de

las

capa

cida

des

para

el d

esar

rollo

de

la c

ompe

tenc

ia e

n el

cic

lo.

Los

nive

les

de lo

s m

apas

de

prog

reso

mue

stra

n u

na d

efin

ici

n cl

ara

y co

nsen

suad

a de

las

met

as d

e ap

rend

izaj

e qu

e de

ben

ser l

ogra

das

por t

odos

los

estu

dian

tes

al c

oncl

uir u

n ci

clo

o pe

riodo

det

erm

inad

o. E

n es

e se

ntid

o, s

on u

n re

fere

nte

para

la p

lani

ficac

in

anua

l, el

mon

itore

o y

la e

valu

aci

n,

pues

nos

mue

stra

n el

des

empe

o g

loba

l que

deb

en a

lcan

zar

nues

tros

estu

dian

tes

en c

ada

una

de la

s co

mpe

tenc

ias.

Las

mat

rices

con

los

indi

cado

res

de d

esem

peo

de

las

capa

cida

des

son

un a

poyo

par

a di

sea

r nue

stra

s se

sion

es d

e en

sea

nza

apre

ndiz

aje;

son

til

es ta

mbi

n p

ara

dise

ar i

nstru

men

tos

de e

valu

aci

n, p

ero

no n

os o

lvid

emos

de

que

en u

n en

foqu

e de

com

pete

ncia

s, a

l fin

al, d

ebem

os g

ener

ar in

stru

men

tos

que

perm

itan

evid

enci

ar s

u de

sem

peo

inte

gral

. En

resu

men

, am

bos

inst

rum

ento

s no

s ay

udan

tant

o a

la

plan

ifica

cin

com

o a

la e

valu

aci

n, p

ero

uno

nos

mue

stra

des

empe

os

ms

aco

tado

s (in

dica

dore

s de

des

empe

os)

, mie

ntra

s qu

e el

otro

nos

mue

stra

un

dese

mpe

o c

ompl

ejo

(map

as d

e pr

ogre

so).

Hem

os c

oloc

ado

el n

ivel

ant

erio

r y

post

erio

r al

cic

lo c

orre

spon

dien

te p

ara

que

pued

an id

entif

icar

en

qu

nive

l de

dese

mpe

o s

e en

cuen

tra n

uest

ros

estu

dian

tes,

y a

s d

ise

ar

activ

idad

es a

decu

adas

par

a ca

da u

no d

e el

los.

Ma

TRIZ

: aC

Ta

Y p

IEn

sa M

aTE

M

TIC

aM

EnTE

En

sIT

ua

CIo

nEs

dE

Ca

nTI

da

d.

2.

sec.

3.

sec.

4. s

ec.

5.

sec.

MaTEMaTIZa sITuaCIonEs

Re

laci

ona

dato

s en

situ

acio

nes

de m

edid

as y

pl

ante

a m

odel

os re

ferid

os a

pot

enci

aci

n de

ba

se 1

0 co

n ex

pone

nte

posi

tivo

y ne

gativ

o.

Re

cono

ce la

per

tinen

cia

de m

odel

os re

ferid

os a

la

pot

enci

aci

n en

det

erm

inad

os p

robl

emas

.

O

rgan

iza,

a p

artir

de

fuen

tes

de

info

rmac

in,

mag

nitu

des

gran

des

y pe

que

as a

l pla

ntea

r mod

elos

con

no

taci

n e

xpon

enci

al, m

ltip

los

y su

bml

tiplo

s de

l S.

I.

Re

cono

ce la

per

tinen

cia

de m

odel

os

en d

eter

min

adas

situ

acio

nes

que

expr

esan

rela

cion

es e

ntre

mag

nitu

des.

Se

lecc

iona

info

rmac

in

de fu

ente

s,

para

org

aniz

ar d

atos

que

exp

resa

n m

agni

tude

s g

rand

es o

peq

uea

s,

al p

lant

ear u

n m

odel

o re

ferid

o a

la

nota

cin

exp

onen

cial

y c

ient

fica

.

C

ontra

sta

mod

elos

al v

incu

larlo

s a

situ

acio

nes

que

expr

esan

rela

cion

es

entre

mag

nitu

des.

Re

laci

ona

dato

s a

parti

r de

cond

i-ci

ones

con

mag

nitu

des

gra

ndes

o

pequ

eas

, al p

lant

ear u

n m

odel

o re

ferid

o a

la n

otac

in

expo

nenc

ial y

ci

entf

ica.

Ex

amin

a pr

opue

stas

de

mod

elos

par

a re

cono

cer s

us re

stric

cion

es a

l vin

-cu

larlo

s a

situ

acio

nes

que

expr

esen

ca

ntid

ades

gra

ndes

y p

eque

as.

Re

cono

ce re

laci

ones

no

expl

icita

s en

pro

blem

as

aditi

vos

de c

ompa

raci

n e

igua

laci

n c

on d

eci-

mal

es, f

racc

ione

s y

porc

enta

jes,

y lo

s ex

pres

a en

un

mod

elo.

U

sa m

odel

os a

ditiv

os q

ue e

xpre

san

solu

cion

es

con

deci

mal

es, f

racc

ione

s y

porc

enta

jes

al p

lan-

tear

y re

solv

er p

robl

emas

.

I d

entif

ica

dos

o m

s re

laci

ones

ent

re

mag

nitu

des,

en

fuen

tes

de in

form

a-ci

n,

y pl

ante

a un

mod

elo

de p

ropo

r-ci

onal

idad

com

pues

ta.

D

ifere

ncia

y u

sa m

odel

os b

asad

os

en la

pro

porc

iona

lidad

com

pues

ta a

l re

solv

er y

pla

ntea

r pro

blem

as.

O

rgan

iza

dato

s a

parti

r de

vinc

ular

in

form

aci

n, e

n si

tuac

ione

s de

m

ezcl

a, a

leac

in,

des

plaz

amie

nto

de m

vile

s, y

pla

ntea

un

mod

elo

de

prop

orci

onal

idad

.

In

terp

ola

y ex

trapo

la d

atos

hac

ien-

do u

so d

e un

mod

elo

rela

cion

ado

a la

pro

porc

iona

lidad

al p

lant

ear y

re

solv

er p

robl

emas

.

O

rgan

iza

dato

s, a

par

tir d

e vi

ncul

ar

info

rmac

in

y re

cono

ce re

laci

ones

, en

si

tuac

ione

s de

mez

cla,

ale

aci

n, d

es-

plaz

amie

nto

de m

vile

s, a

l pla

ntea

r un

mod

elo

de p

ropo

rcio

nalid

ad.

Ex

trapo

la d

atos

, par

a ha

cer p

redi

c-ci

ones

, hac

iend

o us

o de

un

mod

elo

rela

cion

ado

a la

pro

porc

iona

lidad

al

plan

tear

y re

solv

er p

robl

emas

.

Reco

noce

rela

cion

es n

o ex

plic

itas

en p

robl

emas

m

ultip

licat

ivos

de

prop

orci

onal

idad

y lo

exp

resa

en

un

mod

elo

basa

do e

n pr

opor

cion

alid

ad d

irec-

ta e

indi

rect

a.

D

ifere

ncia

y u

sa m

odel

os b

asad

os e

n la

pro

-po

rcio

nalid

ad d

irect

a e

indi

rect

a al

pla

ntea

r y

reso

lver

pro

blem

as.

Re

laci

ona

cant

idad

es y

mag

nitu

des

en s

ituac

io-

nes,

y lo

s ex

pres

a en

un

mod

elo

de a

umen

tos

y de

scue

ntos

por

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