Rutas del aprendizaje:Fasciculo primaria matematica iii

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  • 1. Qu y cmo aprenden nuestros nios y nias? Fascculo1 Nmero y OperacionesCambio y RelacionesiII CicloPrimer y segundo grado de Educacin PrimariaHoy el Per tiene un compromiso: mejorar los aprendizajesTodos podemos aprender, nadie se queda atrsMovilizacin Nacional por la Mejora de los Aprendizajes

2. MINISTERIO DE EDUCACINAv. De la Arqueologa, cuadra 2 - San Borja.Lima, PerTelfono: 615-5800www.minedu.gob.peVersion 1.0Tiraje: 196 000 ejemplaresEmma Patricia Salas OBrienMinistra de EducacinJos Martn Vegas TorresVice Ministro de Gestin PedaggicaEquipo Coordinador de las Rutas del Aprendizaje:Ana Patricia Andrade Pacora, Directora General de Educacin Bsica RegularNeky Vanetty Molinero Nano, Directora de Educacin InicialFlor Aidee Pablo Medina, Directora de Educacin PrimariaDaro Abelardo Ugarte Pareja, Director de Educacin SecundariaAsesor General de las Rutas del Aprendizaje:Luis Alfredo Guerrero OrtizEquipo pedaggico:Antonieta Ramrez de Ferro (asesora)Holger Saavedra Salas (asesor)Edith Consuelo Bustamante OcampoGiovanna Karito Piscoya RojasJulio Nemesio Balmaceda JimnezLuis Justo Morales GilNelly Gabriela Rodrguez CabezudoAgradecimientos:Agradecemos la colaboracin de Sonia Ireni Laquita Sandoval, Jos Edgar Zamora Zamora,Betty Serrano Vega, Roxana Das Malpartida, Martina Wong Ancieta, Marlene Valdez Damin,por haber participado en la revisin de este documento.Correccin de estilo: Jorge Alberto Rivera RojasDiagramacin e ilustraciones: Mara Susana Philippon Chang, Gloria Teresa Arredondo CastilloEquipo editor: Juan Enrique Corvera Ormeo, Carmen Rosa Len Escurra, Luis Fernando Ortiz Zevallos.Impreso por:Corporacin Grfica Navarrete S.A.Carretera Central 759 Km 2 - Santa Anita Lima 43.RUC 20347258611Distribuido gratuitamente por el Ministerio de Educacin. Prohibida su venta.Hecho el Depsito Legal en la Biblioteca Nacional del Per: N 2013-01774Impreso en el Per / Printed in Peru 3. ndiceIntroduccin................................................................................................................................................ 5I. Qu entendemos por ensear y aprender Matemtica?....................................... 7II. Qu aprenden nuestros nios con nmero y operaciones, cambio y relaciones?..................................................................................................................... 152.1 Competencias, capacidades, estndares e indicadores, en el dominio de Nmero y Operaciones............................................................................................................ 152.2 Competencias, capacidades, estndares e indicadores en el dominio de Cambio y Relaciones................................................................................................................ 18III. Cmo facilitamos estos aprendizajes?.............................................................................. 213.1 Escenarios para el desarrollo de la competencia matemtica................................................. 213.2 La resolucin de problemas y el desarrollo de capacidades.................................................... 223.3 Qu es una situacin problemtica?......................................................................................... 223.4 Cmo ayudar a los nios para que resuelvan problemas?................................................... 233.5 Cmo podemos acompaar a los estudiantes, para que aprendan a resolverproblemas matemticos?.............................................................................................................. 273.6 Articulamos la progresin del conocimiento matemtico en el III ciclo.................................... 323.7 Cules son los rangos numricos en los nmeros naturales propuestospara Inicial (5 aos), primer y segundo grado?.......................................................................... 433.8 Reconociendo herramientas y condiciones didcticas para el desarrollo de las capacidades matemticas................................................................................................ 453.9 Promocin de las actividades o tareas matemticas................................................................ 533.10 Ejemplos de secuencias didcticas de aprendizaje................................................................... 54IV. Y ahora, cmo evaluamos lo que aprenden nuestros estudiantes?................ 109Bibliografa ................................................................................................................................................ 117todos podemos aprender, nadie se queda atrs3 4. Estimada (o) docente:Queremos saludarte y reiterar el aprecio que tenemos por tu labor. Es por ello que en el Ministeriode Educacin estamos haciendo esfuerzos para comenzar a mejorar tus condiciones laboralesy de ejercicio profesional. Esta publicacin es una muestra de ello.Te presentamos las Rutas del Aprendizaje, un material que proporciona orientaciones paraapoyar tu trabajo pedaggico en el aula. Esperamos que sean tiles para que puedas seguirdesarrollando tu creatividad pedaggica. Somos conscientes que t eres uno de los principalesactores para que todos los estudiantes puedan aprender y que nuestra responsabilidad esrespaldarte en esa importante misin.Esta es una primera versin, a travs del estudio y uso que hagas de ellas, as como de tus aportesy sugerencias, podremos mejorarlas para contribuir cada vez mejor en tu trabajo pedaggico.Te animamos entonces a caminar por las rutas del aprendizaje. Nosotros ponemos a tudisposicin la Web de Per Educa para que nos enves tus comentarios, aportes y creaciones;nos comprometemos a reconocer tus aportes, realizar seguimiento y sistematizarlos. A partirde ello, mejorar el apoyo del Ministerio de Educacin a la labor de los maestros y maestras delPer.Sabemos de tu compromiso para hacer posible que cambiemos la educacin y cambiemostodos en el pas. T eres parte del equipo de la transformacin, junto al director y con lospadres y madres de familia, eres parte de la gran Movilizacin Nacional por la Mejora de losAprendizajes.Te invitamos a ser protagonista en este movimiento ciudadano y a compartir el compromisode lograr que todos los nios, nias y adolescentes puedan aprender y nadie se quede atrs.Patricia Salas OBrien Ministra de Educacin4 movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 5. IntroduccinEl proyecto Educativo Nacional establece en su segundo objetivo estratgico, la necesidad detransformar las instituciones de educacin bsica de manera tal que asegure una educacinpertinente y de calidad, en la que todos los nios, nias y adolescentes puedan realizar suspotencialidades como persona y aportar al desarrollo social. Es en este marco que el Ministeriode Educacin tiene como una de sus polticas priorizadas el asegurar que: todas y todos logrenaprendizajes de calidad con nfasis en comunicacin, matemticas, ciudadana, ciencia,tecnologa y productividad.En el mbito de la matemtica, nos enfrentamos al reto de desarrollar las competencias ycapacidades matemticas en su relacin con la vida cotidiana. Es decir, como un mediopara comprender, analizar, describir, interpretar, explicar, tomar decisiones y dar respuesta asituaciones concretas, haciendo uso de conceptos, procedimientos y herramientas matemticas.Reconociendo este desafo se ha trabajado el presente fascculo, el cual llega hoy a tus manoscomo parte de las rutas de aprendizaje, y busca ser una herramienta para que nuestrosestudiantes puedan aprender. En ste se formulan seis capacidades matemticas quepermiten hacer ms visible el desarrollo de la competencia matemtica y trabajarla de formaintegral. Se adopta un enfoque centrado en la resolucin de problemas desde el cual, a partirde una situacin problemtica, se desarrollan las seis capacidades matemticas en formasimultnea configurando el desarrollo de la competencia.En este fascculo encontrars: Algunas creencias que an tenemos los docentes en nuestras prcticas educativas y que, con espritu innovador, tenemos que corregir. Los estndares de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al trmino del ciclo III de la educacin bsica en dos dominios: Nmero y Operaciones y Cambio y Relaciones. Las competencias, capacidades e indicadores que permitirn alcanzar esos estndares de aprendizaje, con mayor nfasis en el primer dominio. Orientaciones respecto de cmo facilitar el desarrollo de las competencias y capacidades matemticas vinculadas a los dominios de Nmero y Operaciones y Cambio y Relaciones.Esperamos que este fascculo contribuya en tu labor cotidiana y estaremos muy atentos a tusaportes y sugerencias para ir mejorndolo en las prximas re-ediciones, de manera que sealo ms pertinente y til para el logro de los aprendizajes a los que nuestros estudiantes tienenderecho.todos podemos aprender, nadie se queda atrs 5 6. I. Qu entendemos por ensear yaprender Matemtica?La manera como los docentes entendemos la matemtica y como suponemos que nuestros estudiantesaprendern mejor, basados en nuestra experiencia y formacin previa, influyen no slo en nuestraforma de ensear, sino tambin en la forma de enfrentar una situacin problemtica que exhibirnlos estudiantes. Influyen incluso en los procedimientos que se usarn o se evitarn, en el tiempo y laintensidad del trabajo que realizarn.Cada aula es un escenario en el que interactan diversos factores: los docentes que se relacionan conlos estudiantes y estos con sus pares, los propsitos, los mtodos, las actividades, los materiales, laevaluacin y el contexto de la actividad propuesta.La profesora Josefina, por ejemplo, tiene sus ideas sobre la matemtica y cmo debe ensear la resolu-cin de problemas aditivos, un proceso que involucra las nociones de juntar-separar, agregar-quitar ycomparar. Ella hace uso de material concreto y actividades vivenciales para promover los aprendizajesesperados.Los algoritmos son prerrequisitos para resolver problemas?Observemos cmo Josefina, docente de primer grado, desarrolla su sesin de aprendizaje en base ala resolucin de problemas aditivos.Primera parte: Recuerdo que en el S! Dice que inicie laCuaderno de Trabajo sesin a partir de unaHum... maana con Orientaciones para situacin... mis nios deben el Docente, dice que se Me parece difcil.resolver problemasparte de un problema. ...Bueno tratar decon sumas y restas.Entonces, primeroVoy a revisarlo!hacerlo. debo ensear asumar y restar enel tablero. Cul es la concepcin que tiene Josefina sobre la resolucin de problemas? Josefina cambiar sus ideas respecto a los algoritmos con la informacin que le brinda el cuaderno de Trabajo con orientaciones para el docente? Por qu?todos podemos aprender, nadie se queda atrs7 7. Segunda parte:En estas tarjetas estn escritos los nmeros que representan Al retorno de una visita a la granja, Josefina...la cantidad de animales. Cadauno coja una tarjeta.Nios! Qu animales observaron en la granja?Yo cojo el 13,Caballos y porque cont Yo el 8, por-vacas 13 gallinas.que cont 8 caballos.Gallinas Qu podemos Cmo podemosaveriguar utilizando hallar la respuesta?estas dos cantidades?Cuantas gallinas ms Mmm...que caballos hay8138 13En total hay 13, de ah Todos hallaron separo 8 y los 5 que la respuesta?Hasta aqu, tengo 8 y quedan son las gallinascon los dems llegoque hay ms que S!...a 13.caballos. Cmo lo hicieron? Yo, dibuj los caballos y lasgallinas, a cada caballo lo junt con una gallina y me sobraron 5 gallinas.8movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 8. Reflexiones:Qu dificultades nos muestra Josefina en la primera parte?Josefina, muestra una de las ideas que tenemos muchos docentes: que los estudiantes antesde resolver problemas deben dominar los algoritmos (procedimientos conocidos y mecaniza-dos). Por este motivo muchas veces nuestras sesiones de matemtica se centran en ejercitarun determinado algoritmo. Adems, se hace de manera mecnica, alejada de la realidad yusando slo la pizarra, el lpiz y el papel.Cules son los aspectos positivos en la manera de actuar de Josefina?Josefina revisa su programacin y al encontrarse frente a una duda busca una alternativade solucin. En este caso, consulta el Cuaderno de Trabajo con Orientaciones para el Do-cente, material que tiene a su alcance. A pesar de tener dudas, Josefina decide experimentar una nueva forma de conducir la se- sin de clase. Ella elige la resolucin de problemas y la construccin de nociones a partir de una situacin cotidiana. La docente hace uso de material concreto y de grficos como recursos de apoyo para la bsqueda de diversas estrategias en la resolucin de problemas. Josefina logra que sus estudiantes participen activamente en el desarrollo de la actividady que de manera natural encuentren diversos caminos para hallar la respuesta. Para esoutiliza las nociones de adicin, sustraccin y correspondencia uno a uno. Estos resultados demuestran que los algoritmos no son prerrequisitos para resolver problemas.todos podemos aprender, nadie se queda atrs 9 9. Por qu un algoritmo no es prerrequisito para resolver problemas? La actividad de resolver problemas es fundamental si queremos conseguir un aprendizaje significativo de las matemticas, es ms que la aplicacin de un algoritmo, puesto que para resolver un problema, el estudiante requiere movilizar muchas capacidades y transitar por un camino que implica de un an- lisis cuidadoso que implica: comprender el problema, disear o adaptar una estrategia de solucin, poner en prctica la estrategia planificada y reflexionar sobre el proceso de resolucin del problema. Para resolver problemas, lo fundamental es comprender la situacin, determinar la incgnita o qu es lo que se pide conocer. Esto ayuda a discriminar la informacin ms importante de la que no lo es. Quienes no hayan comprendido con claridad el problema, tendrn dificultades para proponer una estrategia de solucin, lo que afectar todo el proceso resolutivo. Cuando los procedimientos que se deben aplicar para resolver un problema no son rutinarios, los estudiantes pueden descubrir nuevas y diferentes estrategias de resolucin, nuevas relaciones entre las nociones matemticas que intervienen y reflexionan sobre el sentido y alcance de las propiedades. Por ejemplo, en el problema planteado, el estudiante necesita usar material concreto o dibujos para desarrollar una estrategia adecuada. Sin embargo, para resolver un problema no basta que los estudiantes tengan la capacidad para com- prenderlo y conozcan estrategias para resolverlo. Requieren adems, una motivacin para realizar el esfuerzo, que proceda de una actividad que les genere inters, autoconfianza y perseverancia. As, la resolucin de problemas implica retos tanto para el maestro como para el estudiante. La resolucin de problemas implica tenertiempo para pensar y explorar, cometer errores, descubrirlos y volver a empezar. En la primera parte de este fascculo mencionamos que la forma en que concebimos la matemtica y el proceso de su enseanza y aprendizaje, influyen en el aprendizaje de los estudiantes y vimos el caso de Josefina. Ahora veremos el caso de Jos y Mara.10 movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 10. Podr el juego ayudar a construir las nociones de equivalencia?Veamos lo que sucede con los docentes de segundo grado de la I.E "Virgen Milagrosa" cuandotrabajan las nociones de equivalencia entre dos expresiones aditivas: Primera parte: Jos, no s cmo Por qu ensearles a misMara? nios esto de lasequivalencias.Ayer dibuj una balanzaen la pizarra y expliquMara! Qucmo hallarcoincidencia, hoyequivalencias. Luego les har mi sesin de las dej cinco ejercicios y equivalencias y tengo solo tres niosplanificado iniciarresolvieron dos.con el juego de los trencitos. Jugar en el aula? Mara! En el juego se No puede ser, losmuestran muy interesa-nios haran muchados y lo que aprenden bulla y me demorarano lo olvidan.ms tiempo.Jos, crees que el juego ayudar a tus S Mara, despusnios para que logrendel recreo puedeshallar expresionesvisitar mi aula.equivalentes?todos podemos aprender, nadie se queda atrs 11 11. Segunda parte: Y despus del recreo... Nios, hoy nos toca jugar en parejas formandotrencitos con las regletas. La profesora Mara nos acompaar. El juego... El juego consiste en: -Juntar dos regletas para formar trencitos de igual tamao cada vez.S! - Gana el que forme ms trencitos deigual tamao sin repetir.Bien!Bien! Ya tienen sumaterial. Ahorainiciemos el juego. Humm Yo voy a juntar la Me pareceregleta amarilla queYo form el treninteresante.vale 5 y la verde queque vale 8 con dos vale 3, para formarregletas rosadas queel tren que vale 8.valen 4 cada una. Gracias Jos. Ya s, Claro Mara! Te vas a yo les har jugar a sorprender de lo quela tiendita con ladescubren los nios a balanza.travs del juego.Melisa, te distecuenta que 5 + 3S Fermn. Es que 5 +3 eses igual a 4 + 4?8 y 4 + 4 tambin es 8. Ahora formemos otros.12movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 12. Reflexiones: Cules son las dificultades que enfrenta la docente en esta historieta? En la primera parte vemos que la docente Mara est preocupada porque sus estudiantesno logran aprender lo que haba planificado. Inici su sesin con una situacin alejada dela realidad y de los intereses de los estudiantes, se aprecia que no tuvieron la oportunidadde vivenciar ni manipular el material concreto, y considera que una metodologa activa,como el juego, genera desorden y prdida de tiempo en el aula. Cules son los aspectos positivos a rescatar de esta situacin? Asumir la creatividad como un impulsor de la mejora de nuestro quehacer docente, lo que ayuda a incorporar nuevas maneras de ensear, en este caso, utiliza el juego como metodologa para generar aprendizajes con calidad y calidez humana. Ser un docente reflexivo desde la propia prctica, exige apertura, flexibilidad mental y emocional, "dejarse ayudar". Estas actitudes contribuyen a emprender procesos continuos de mejora con compromiso tico docente, en la direccionalidad a brindar una formacin educativa integral y de calidad. Desterrar del imaginario de los estudiantes que la matemtica es "difcil" de aprender,conlleva considerar el juego como una herramienta didctica que permite aprendercon gusto, "querer lo que uno hace", con esprtu ldico, sin dejar de ser por ello crtico,autocrtico y responsable en la consecucin de los objetivos. Considerar el juego como una manera natural de aprender, lo que fortalece laconstancia, el respeto, el autogobierno, la cooperacin, el compaerismo, la audacia,entre otros valores y actitudes que hacen de la formacin matemtica un asunto mshumano e integral.todos podemos aprender, nadie se queda atrs 13 13. Por qu es importante considerar al juego como estrategia para la enseanza y aprendizaje de la matemtica? El juego es un recurso pedaggico valioso para una enseanza y aprendizaje de la matemtica con sentido vivencial, donde la alegra y el aprendizaje, la razn y la emocin se complementan. Seleccionar el juego apropiado para los distintos momentos y objetivos de la enseanza de la matem- tica es un criterio que se debe tener en cuenta. Un juego bien elegido contribuye a que la resolucin de problemas sea un desafo divertido y exitoso. El juego, entre otras cosas permite: Motivar al estudiante, toda vez que las situaciones matemticas las percibe como atracti-vas y recreativas. Desarrollar habilidades y destrezas en forma divertida, donde el estudiante encuentrasentido y utilidad a lo que aprende. Provocar en el estudiante la bsqueda de estrategias, movilizar su imaginacin y desarro-llar su creatividad. Desechar la prctica de ejercicios matemticos mecnicos y descontextualizados. Desarrollar nociones matemticas con comprensin, que permitan utilizar la matemticaen la resolucin de problemas. Ser respetuoso con los estilos y ritmos de aprendizaje de los estudiantes, con sus habilida-des de partida, reconocer la diversidad humana y cultural en el aula. Construir un clima de aula adecuado, que se caracterice por interrelaciones basadas enla solidaridad, el trabajo compartido, superando toda prctica educativa que fomente elindividualismo y el egosmo cognitivo. Favorecer el dilogo intercultural, la escucha activa, la tolerancia y la comprensin de lasdiferencias. Descubrir y aprender el mundo en el cual se vive de manera natural, desde el movimiento,el color, el sonido, donde matematizar la realidad se hace jugando."Posiblemente ninguna otra estrategia acercar a una persona ms a lo que constituye un quehacer interno de la Matemtica como un juego bien escogido"Miguel de Guzmn14movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 14. II. Qu aprenden nuestros nios con nmero y operaciones, cambio y relaciones?El fin de la educacin es lograr que los estudiantes desarrollen sus competencias. Las competenciasson definidas como un saber actuar en un contexto particular en funcin de un objetivo y/o solucin aun problema. Este saber actuar debe ser pertinente a las caractersticas de la situacin y a la finalidadde nuestra accin. Para tal fin, se selecciona o se pone en accin las diversas capacidades y recursosdel entorno. En este fascculo se trabajan dos competencias matemticas, referidas a los dominios de:Nmero y Operaciones y Cambio y Relaciones.2.1 Competencias, capacidades, estndares e indicadores, en el dominio de Nmero y OperacionesMatematiza situacionesque involucran cantidadesy magnitudes en diversoscontextos. Representa Comunica situaciones situaciones que que involucren involucran cantidades ycantidades y magnitudes Resuelve situacionesmagnitudes. en diversos contextos.problemticas de contexto real y matemtico queimplican la construccin del significado y uso de losnmeros y sus operaciones,empleando diversasestrategias de solucin,justificando y valorando susElabora diversas Argumenta el uso procedimientos y resultados.estrategias de resolucinde los nmeros y sus haciendo uso deoperaciones.los nmeros y sus operaciones.Utiliza expresiones simblicas,tcnicas y formales de losnmeros y las operaciones en la resolucin de problemas. Al trmino del III ciclo se espera que los estudiantes logren alcanzar el siguiente estndar de aprendizaje en el dominio de Nmero y Operaciones:Cuenta, compara, establece equivalencias entre diez unidades con una decena y viceversa y entre nmeros naturaleshasta 100. Agrupa objetos que tienen caractersticas comunes, y al interior los organiza reconociendo subclases, sin de-jar objetos fuera de las colecciones formadas. Explica los criterios que us para clasificar, interpreta y ejecuta consignascon las expresiones todos, algunos, ninguno. Estima, compara y mide la masa de objetos empleando unidades noconvencionales y el tiempo empleando unidades convencionales como das o semanas. Resuelve, modela y formulasituaciones problemticas de diversos contextos referidas a acciones de separar, agregar, quitar, igualar o comparardos cantidades1, usa distintas estrategias de solucin y explica cmo lleg a la respuesta y si esta guarda relacin conla situacin planteada. Se aproxima a la nocin de multiplicacin mediante adiciones repetidas y a la nocin de mitadcomo reparto en dos grupos iguales (Mapa de Progreso de Matemtica: Nmero y Operaciones).(1) Segn clasificacin de los PAEV: Cambio 3 y 4, Combinacin 2 y Comparacin e Igualacin 1 y 2.todos podemos aprender, nadie se queda atrs 15 15. 16A continuacin, te presentamos el cartel de capacidades e indicadores desde el nivel Inicial 5 aos hasta el segundo grado de primaria referidoal dominio de Nmero y Operaciones. Esto orientar tu trabajo pedaggico hacia el logro del estndar de aprendizaje que tendrs que aseguraral trmino del III ciclo. CAPACIDADES E INDICADORESCapacidades5 aosPrimer gradoSegundo gradoMatematiza situa- Construccin del significado y uso de los Construccin del significado y uso de los nmeros naturales Construccin del significado y uso de los nmeros naturales en situacio-ciones que involu-nmeros naturales en situaciones pro- en situaciones problemticas referidas a agrupar, ordenar, nes problemticas referidas a agrupar, ordenar, contar y medir.cran cantidades y blemticas referidas a agrupar, ordenar y contar y medir.magnitudes en di- contar.versos contextos. Explora situaciones cotidianas referidas Describe situaciones cotidianas que impliquen clasificar una Describe situaciones cotidianas que impliquen clasificar objetos deRepresenta situacio-a agrupar una coleccin de objetos decoleccin de objetos de acuerdo a un criterio perceptual3. acuerdo a dos criterios, formando clases y subclases.nes que involucranacuerdo a un criterio perceptual2. Expresa con material concreto, dibujos o grficos (diagra- Expresa con material concreto, dibujos, grficos y tablas de doble en-cantidades y mag- Expresa con material concreto, dibujosmas de Venn y tablas simples de doble entrada), la clasifi-trada la clasificacin de objetos de acuerdo a uno y dos criterios anitudes en diversos o grficos, la agrupacin de una colec-cacin de una coleccin de objetos de acuerdo a un criteriopartir de situaciones cotidianas.contextos.cin de objetos de acuerdo a un criterio perceptual. Explica los criterios de clasificacin de una coleccin de objetos en cla-Comunica situacio-perceptual. Explica los criterios de clasificacin de una o ms coleccio-ses y subclases, usando los cuantificadores: todos, algunos, ninguno.nes que involucran Dice con sus palabras los criterios de nes de objetos, usando los cuantificadores: todos, algunos, Explora situaciones cotidianas que impliquen el uso de los nmeroscantidades y mag- agrupacin de una o mas coleccionesninguno. ordinales en relacin a la posicin de objetos o personas, consideran-nitudes en diversos de objetos usando los cuantificadores Formula y describe situaciones cotidianas que impliquen or-do un referente hasta el vigsimo lugar.contextos.muchos, pocos, ninguno, ms que, me- denar una coleccin de hasta 10 objetos segn el tamao, Usa los nmeros ordinales para expresar la posicin de objetos o per-nos que. longitud, grosor, valor numrico y otros.sonas, considerando un referente hasta el vigsimo lugar.Elabora diversas es- Explora situaciones cotidianas referidas Construye usando material concreto o grfico, una colec- Explora el uso de los nmeros naturales hasta 100 para contar, medirtrategias haciendoa ordenar una coleccin de hasta 3 ob- cin ordenada con criterio perceptual de hasta 10 objetos(usando la cinta mtrica), ordenar, comparar, leer y escribir a partir deuso de los nmerosjetos de grande a pequeo, de largo asegn su propio criterio.situaciones cotidianas.y sus operaciones Explora situaciones cotidianas que impliquen el uso de los Expresa con material concreto, dibujos o smbolos los nmeros natu-corto, de grueso a delgado.para resolver pro- nmeros ordinales en relacin a la posicin de objetos o rales hasta 100, a partir de situaciones cotidianas. Construye usando material concreto oblemas.personas, considerando un referente hasta el dcimo lugar. Explica la relacin mayor que, menor que o igual que, para expresar lagrfico, una coleccin ordenada de has- Usa los nmeros ordinales para expresar la posicin de comparacin de nmeros naturales hasta 100 a partir de situacionesUtiliza expresio- ta 3 objetos segn su propio criterio. objetos o personas, considerando un referente hasta el d- cotidianas.nes simblicas, Explora situaciones cotidianas que impli- cimo lugar. Utiliza descomposiciones aditivas y el tablero de valor posicional paratcnicas y formales quen el uso de los nmeros ordinales en Explora el uso de los nmeros naturales hasta 20 paraexpresar los nmeros naturales hasta 100.de los nmeros yrelacin a la posicin de objetos o per- contar, medir, ordenar, comparar, leer y escribir a partir de Utiliza los signos >, < o = para expresar los resultados de la compa-las operaciones sonas, considerando un referente hastaen la resolucin de situaciones cotidianas.racin de nmeros naturales hasta 100 a partir de situaciones coti-el quinto lugar. Expresa con material concreto, dibujos o smbolos los n-dianas.problemas. Dice los nmeros ordinales para expre- meros naturales hasta 20, a partir de situaciones cotidianas. Estima la masa de objetos (mayor o menor cantidad de masa) y elArgumenta el usosar la posicin de objetos o personas, Explica la relacin mayor que, menor que o igual que, para paso del tiempo (das y semanas) utilizando su propio cuerpo e instru-de los nmeros yconsiderando un referente hasta el expresar la comparacin de nmeros naturales hasta 20 amentos de medicin, a partir de situaciones cotidianas.sus operaciones quinto lugar.partir de situaciones cotidianas. Describe una secuencia de actividades cotidianas usando referentespara resolver pro- Explora el uso de los nmeros naturales Utiliza descomposiciones aditivas y el tablero de valor posi-temporales: da, semana, mes.blemas. hasta 10 para contar, en situaciones co- cional para expresar los nmeros naturales hasta 20.tidianas. Estima la masa de objetos (mayor o menor cantidad de Expresa con objetos o dibujos una colec- masa) y el paso del tiempo (rpido, lento) utilizando su pro-cin de hasta 10 objetos en situacionespio cuerpo e instrumentos de medicin, a partir de situacio-cotidianas.nes cotidianas. Describe una secuencia de actividades Describe una secuencia de actividades cotidianas de hastacotidianas de hasta tres sucesos utili-cuatro sucesos usando referentes temporales: antes, du-zando referentes temporales: antes, du-rante, despus y usando los das de la semana.movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajesrante, despus. 16. Capacidades 5 aos Primer grado Segundo grado Matematiza situa-Construccin del significado y uso Construccin del significado y uso de las operacio-Construccin del significado y uso de las operaciones en ciones que involu- de las operaciones en situacionesnes en situaciones problemticas referidas a agre- situaciones problemticas referidas a agregar-quitar6, jun- cran cantidades yproblemticas referidas a agre-gar-quitar, juntar, avanzar-retroceder.tar-separar7, comparar e igualar8. magnitudes en di-gar-quitar4 y juntar5. versos contextos. Representa situa- Explora en situaciones cotidia- Describe en situaciones cotidianas las acciones Describe en situaciones cotidianas las acciones de jun- ciones que involu-nas las acciones de juntar, agre-de juntar, agregar-quitar, avanzar-retroceder de tar-separar, agregar-quitar, avanzar-retroceder de n- cran cantidades y gar-quitar, hasta 5 objetos. nmeros naturales con resultados hasta 20. meros naturales con resultados hasta 100. magnitudes en di- Dice con sus palabras lo que Formula el enunciado de problemas cotidianos versos contextos. comprende al escuchar el enun- que implican acciones de juntar, agregar-quitar, Formula el enunciado de problemas cotidianos que ciado de problemas cotidianosavanzar-retroceder, doble y triple, con cantida- implican acciones de juntar- separar, agregar- quitar, Comunica situa- avanzar-retroceder, doble, mitad y triple, con cantidades ciones que involu-referidos agregar-quitar y juntardes hasta 20, con apoyo de material concreto o hasta 5 objetos, presentados engrfico. hasta 100, con soporte de material concreto y grfico. cran cantidades y magnitudes en di- forma verbal y concreta. Dice con sus palabras lo que comprende al es- versos contextos. Usa estrategias de conteo (con-cuchar o leer enunciados de problemas cotidia- Dice con sus palabras lo que comprende al leer y escu- teo de uno en uno y agrupando) nos con resultados hasta 20, presentados en di-char enunciados de problemas cotidianos con resultados Elabora diversashasta 100, presentados en diferentes formatos (grficos, estrategiasha- para resolver problemas de con-ferentes formatos (grficos y cuadros, y en forma texto cotidiano que implican ac- escrita y verbal). cuadros, esquemas, y en forma escrita y verbal). ciendo uso de los nmeros y sus ciones de agregar-quitar y juntar Utiliza diversas estrategias de conteo, clculo operaciones paracon resultados hasta 5 objetos.escrito, mental y de estimacin para resolver Utiliza diversas estrategias de conteo, clculo escrito, resolverproble- Menciona los procedimientosproblemas de contexto cotidiano (cambio 1,2; mas.mental y de estimacin para resolver problemas de con- usados al resolver problemas decombinacin 1 y doble) con resultados hasta 20.todos podemos aprender, nadie se queda atrs texto cotidiano (cambio 3,4; combinacin 1,2; compara- Utiliza expresio- contexto cotidiano que implican Expresa con material concreto, grfico y simbli- cin e igualacin 1,2; doble, mitad y triple) con resultados nes simblicas, las acciones de agregar-quitar y co problemas de contexto cotidiano (cambio 1,2; hasta 100. tcnicas y forma- juntar hasta 5 objetos, con apoyocombinacin 1 y doble) con nmeros naturales les de los nmerosde material concreto.hasta 20. Expresa con material concreto, grfico y simblico proble- y las operaciones Comprueba y explica los procedimientos usa-mas de contexto cotidiano (cambio 3,4; combinacin 1,2; en la resolucin dos al resolver problemas de contexto cotidianocomparacin e igualacin 1,2; doble, mitad y triple) con de problemas.(cambio 1,2; y combinacin 1 y doble) con nme-nmeros naturales hasta 100. Argumenta el uso ros naturales hasta 20, con apoyo de material de los nmeros y concreto o grfico. Comprueba y explica los procedimientos usados al resol- sus operaciones ver problemas de contexto cotidiano (cambio 3,4; com- para resolver pro-binacin 1,2; comparacin e igualacin 1,2; doble, mitad blemas. y triple) con nmeros naturales hasta 100, con apoyo de material concreto o grfico. La lectura de los indicadores debe hacerse como un todo integrado e interrelacionado que aporta de manera conjunta en el logro de las seis capacidades matemticas. Es decir no se deben leer de manera separada, ni hacer correspondencias unilaterales con las capacidades. Un indi- cador se relaciona con ms de una capacidad. ( 2 ) Criterio perceptual: color, forma y tamao ( 3 ) Criterio perceptual: color, tamao, forma, grosor, etc. ( 4 )Segn clasificacin de los PAEV: Cambio 1 y 2 ( 5 ) Combinacin 1 ( 6 ) Cambio 3 y 4 ( 7 ) Combinacin 1 y 2 ( 8 ) Comparacin e igualacin 1 y 217 17. 2.2 Competencias, capacidades, estndares e indicadores en el dominio deCambio y RelacionesMatematiza situaciones de regularidad, equivalencia y cambio en diversoscontextos.Comunica lasRepresenta condiciones deResuelve situacionessituaciones deregularidad, equivalencia problemticas de contexto regularidad,y cambio en diversos equivalencia y cambio.real y matemtico quecontextos. implican la construccindel significado y uso delos patrones, igualdades,desigualdades, relaciones y funciones, utilizandodiversas estrategias de Elabora diversasArgumenta el solucin y justificandoestrategias parauso de patrones, sus procedimientos y resolver problemasrelaciones y resultados.haciendo uso de los funciones.patrones, relaciones y funciones. Utiliza expresiones simblicas, tcnicas y formales para expresar patrones, relaciones y funciones en laresolucin de problemas. Al trmino del III ciclo se espera que los estudiantes logren alcanzar el siguiente estndar de aprendizaje en el dominio de Cambio y Relaciones: Identifica patrones aditivos con nmeros naturales de hasta dos cifras y patrones de repeticin con dos criterios perceptuales, completa y crea sucesiones grficas y nu- mricas y explica si un trmino pertenece o no pertenece a una sucesin. Interpreta la igualdad entre dos expresiones equivalentes con adiciones y sustracciones hasta 20 usando material concreto; explica que la equivalencia entre dos expresiones se man- tiene si se agrega o quita una misma cantidad a ambas partes de la igualdad. Deter- mina el valor desconocido en una igualdad que involucra adiciones y sustracciones, y explica su procedimiento. Establece, describe y representa grficamente relaciones entre objetos de dos colecciones (Mapa de Progreso de Matemtica: Cambio y Rela- ciones).18 movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 18. A continuacin, te presentamos el cartel de capacidades e indicadores desde el nivel Inicial 5 aos hasta el segundo grado de primaria referido al dominio de Cambio y Relaciones. Esto orientar tu trabajo pedaggico hacia el logro del estndar de aprendizaje que tendrs que asegurar al trmino del III ciclo.CAPACIDADES E INDICADORESIncor Capacidades5 aosPrimer grado Segundo grado Matematiza situacio-Construccin del significado y uso de los Construccin del significado y uso de los patrones de repeti- Construccin del significado y uso de los patrones de repeticin y aditi- nes que involucranpatrones de repeticin en situaciones pro- cin y aditivos en situaciones problemticas que involucran vos en situaciones problemticas que involucran regularidades. regularidades, equi-blemticas que involucran regularidades. regularidades. valencias y cambio en diversos contextos. Contina y menciona secuencias con pa- Explora y describe patrones de repeticin de hasta 4 ele- Explora y describe patrones de repeticin con ms de 4 elementos Representa situacio-trn de repeticin de hasta 3 elementosmentos en diversos contextos (movimientos corporales, rit-en diversos contextos (movimientos corporales, ritmo en la percusin, nes que involucran en diversos contextos (movimientos cor-mo en la percusin, con objetos o grficos).sonoridad musical10, ritmo en la danza, con objetos o grficos). regularidades, equi- porales, sonidos onomatopyicos9, ritmo Contina y explica patrones de repeticin de hasta 4 ele- Contina y explica patrones de repeticin con ms de 4 elementos valencias y cambio enen la percusin, con objetos o grficos).mentos en diversos contextos (movimientos corporales, rit-en diversos contextos (movimientos corporales, ritmo en la percusin, diversos contextos. Construye secuencias con patrones de mo en la percusin, con objetos o grficos).sonoridad musical, ritmo en la danza, con objetos o grficos).repeticin dado o propuesto por l, de Construye secuencias con patrones de repeticin de hasta Construye secuencias con patrones de repeticin con ms de 4 ele- Comunica situaciones que involucranre-hasta 3 elementos, en diversos contextos 4 elementos en diversos contextos (movimientos corporales,mentos en diversos contextos (movimientos corporales, ritmo en la gularidades, equiva- (movimientos corporales, sonidos ono-ritmo en la percusin, con objetos o grficos). percusin, sonoridad musical, ritmo en la danza, con objetos o gr-todos podemos aprender, nadie se queda atrs lencias y cambio enmatopyicos, ritmo en la percusin, con Contina y describe secuencias numricas ascendentesficos). diversos contextos.objetos o grficos). hasta de 2 en 2 y descendentes de 1 en 1 con nmeros natu- Contina y describe secuencias numricas ascendentes y descenden- rales hasta 20, a partir de diversos contextos. tes de 2 en 2, de 5 en 5 y de 10 en 10, con nmeros naturales hasta Elabora diversas es- Propone secuencias numricas ascendentes hasta de 2 en100, a partir de diversos contextos. trategiashaciendo uso de los patrones,2 y descendentes de 1 en 1, partiendo de cualquier nmero, Propone secuencias numricas ascendentes y descendentes de 2 en relaciones y funcionesen situaciones de diversos contextos. 2, de 5 en 5 y de 10 en 10, partiendo de cualquier nmero, en situacio- para resolver proble- nes de diversos contextos. mas. Utilizaexpresiones simblicas, tcnicas y formales de los patro- nes, relaciones y fun- ciones para resolver problemas. Argumenta el uso de los patrones, relacio- nes y funciones para resolver problemas. ( 9 )Sonido onomatopyico: de animales, personas, del entorno, etc. ( 10 )Sonoridad musical: silbar, cantar, tocar instrumentos.19 19. 20CAPACIDADES E INDICADORESCapacidades5 aos Primer gradoSegundo gradoMatematiza situacio-Construccin del significado y uso de la Construccin del significado y uso de la igualdad en situacio- Construccin del significado y uso de la igualdad en situaciones proble-nes que involucranigualdad en situaciones problemticas de nes problemticas de expresiones aditivas equivalentes.mticas de expresiones aditivas equivalentes.regularidades, equi-expresiones aditivas equivalentes.valencias y cambio endiversos contextos. Experimenta y describe situaciones cotidianas en las que se Experimenta y describe situaciones cotidianas en las que se agrega oRepresenta situacio-agrega o quita objetos para establecer la equivalencia entrequita objetos para establecer la equivalencia entre dos colecciones denes que involucrandos colecciones de hasta 10 objetos.hasta 20 objetos.regularidades, equi- Expresa en forma concreta y grfica una igualdad entre ex- Expresa en forma concreta, grfica y simblica una igualdad entre ex-valencias y cambio en presiones aditivas de dos trminos con nmeros hasta 10.presiones aditivas de dos trminos con nmeros hasta 20.diversos contextos. Describe el procedimiento para establecer la equivalencia Describe el procedimiento para establecer la equivalencia entre dosentre dos expresiones aditivas que tengan dos trminos, expresiones aditivas que tengan dos trminos, con nmeros hasta 20.Comunica situacionesque involucranre- con nmeros hasta 10. Usa diversas estrategias heursticas (ensayo y error, diagramas, reali-gularidades, equiva- Usa diversas estrategias (ensayo y error, diagramas, realizaza simulaciones, etc.), de clculo y estimacin, para encontrar el trmi-lencias y cambio en simulaciones, etc.) para encontrar el trmino desconocido no desconocido en una de las dos expresiones aditivas equivalentesdiversos contextos. en una de las dos expresiones aditivas equivalentes con con resultados hasta 20.resultados hasta 10. Explica que la equivalencia entre dos expresiones aditivas se mantie-Elabora diversas es- Explica por qu son equivalentes las diferentes descompo- ne, si se agrega o quita una misma cantidad a los dos trminos detrategiashaciendouso de los patrones,siciones aditivas de un nmero de hasta 10. una igualdad con soporte concreto y grfico.relaciones y funciones Plantea el enunciado de problemas que implican encontrar un trmi-para resolver proble- no desconocido para establecer la equivalencia de dos expresionesmas.aditivas con resultados hasta 20.Utilizaexpresionessimblicas, tcnicas y 5 aos Primer gradoSegundo gradoformales de los patro-nes, relaciones y fun-Construccin del significado de diversos Construccin del significado de diversos tipos de relaciones Construccin del significado de diversos tipos de relaciones lgicas, es-ciones para resolvertipos de relaciones lgicas, espaciales, nu- lgicas, espaciales, numricas y relaciones de cambio en si- paciales, numricas y relaciones de cambio en situaciones cotidianasproblemas.mricas y relaciones de cambio en situacio- tuaciones cotidianas reales.reales.nes cotidianas reales.Argumenta el uso delos patrones, relacio- Explora y menciona relaciones de paren- Experimenta y describe la variacin entre dos magnitudes Experimenta y describe la variacin entre dos magnitudes en situacio-nes y funciones para tesco, utilidad y espaciales entre paresen situaciones reales cercanas a su entorno (variacin denes reales cercanas a su entorno (variacin de la temperatura, asis-resolver problemas. de objetos que cumplan una relacin a la temperatura, asistencia a la escuela y el crecimiento detencia a la escuela, el crecimiento de una planta, estatura, etc.) partir de consignas dadas en situacionesuna planta). Registra y explica las razones del cambio entre dos magnitudes (lon- de su contexto cultural, natural, etc. Explora y describe relaciones de parentesco, utilidad, espa- gitud-tiempo, tiempo-temperatura, cantidad de asistentes-das, etc.). Usa cuadros de doble entrada simples yciales, de comparacin y pertenencia entre objetos de dos Usa cuadros de doble entrada, diagrama de flechas y de rbol, para diagrama de flechas para sealar rela-colecciones a partir en situaciones de su contexto cultural, sealar relaciones entre conjunto de objetos ciones entre conjunto de objetos. natural, etc. Describe la relacin existente entre dos nmeros de dos conjuntos Usa cuadros de doble entrada y diagrama de flechas paranumricos. sealar relaciones entre conjunto de objetos Describe una relacin existente entre objetos de dos co- lecciones.La lectura de los indicadores debe hacerse como un todo integrado e interrelacionado que aporta de manera conjunta en el logro de las seiscapacidades matemticas. Es decir no se deben leer de manera separada, ni hacer correspondencias unilaterales con las capacidades. Unmovilizacin nacional por la mejora de los aprendizajesindicador se relaciona con ms de una capacidad. 20. III. Cmo facilitamos estosaprendizajes?3.1Escenarios para el desarrollo de la competen-cia matemtica Laboratorio matemtico Desarrollar la competencia matemtica implica la movili- zacin o puesta en accin de las capacidades de los es- tudiantes. En este sentido, el docente debe crear, ofrecer,Escenarios para el desarrollo de la brindar, facilitar las condiciones adecuadas para que, de competencia manera efectiva desarrollen las competencias matemti-matemtica cas. Esto supone que el ambiente de aprendizaje de laProyecto de Taller dematemtica matemtica matemtica sea enriquecedor y desafiante en la medida que se presenten actividades de aprendizaje dinmicas, integradoras que permitan asumir a los estudiantes un rol ms activo. Una educacin matemtica que pretenda desarrollar competencias para resolver problemas de la vida cotidiana, demanda a la escuela ampliar sus escenarios de aprendizaje. En este fascculo planteamos los siguientes escenarios: Laboratorio matemtico Es un espacio donde el estudiante, tiene la oportunidad de vivenciar, experimentar de mane- ra ldica la construccin de los conceptos y propiedades matemticas, buscando regularida- des para generalizar el conocimiento matemtico. Taller de matemtica Es un espacio de aprendizaje matemtico, en el cual los estudiantes ponen en accin sus ha- bilidades y destrezas adquiridas durante un periodo curricular. Es decir, tienen la oportunidad de transferir lo aprendido a nuevas situaciones. En el taller se despliegan diversos recursos (procedimentales, cognitivos y actitudinales) orien- tados a resolver situaciones problemticas, mediante el uso de diversas estrategias. Proyecto de matemtica Hoy se demanda a la escuela, que brinde una educacin matemtica realista, autntica, es de- cir, para la vida. Por ello, se requiere ofrecer espacios educativos que acerquen los contenidos escolares a las situaciones del contexto social, cultural, econmico y ecolgico de los estudian- tes. Esto conlleva implementar proyectos de aprendizaje donde los estudiantes realicen activi- dades articuladas que los incite a movilizar sus conocimientos matemticos, para resolver pro- blemas del contexto cotidiano y, as desarrollar las competencias matemticas. De ese modo, los estudiantes aprenden actuando en la realidad, con base en la continua autorreflexin.todos podemos aprender, nadie se queda atrs21 21. 3.2La resolucin de problemas y el desarrollo de capacidades Durante el proceso de aprendizaje de la matemtica, es fundamental la resolucin de problemas para el desarrollo de capacidades. Estas capacidades implican la matematizacin, representa- cin, comunicacin, elaboracin de estrategias, utilizacin del lenguaje matemtico y la argu- mentacin para resolver situaciones problemticas de la vida cotidiana. Qu es una situacin problemtica? Zoraida ensea en una escuela ubicada a 5 kilmetros del distrito donde vive. Normalmente va a la escuela a pie y algunas veces en microbs. Un da se queda dormida y enfrenta un problema: cmo llegar a tiempo? Ella evala esta situacin para buscar una solucin: "Son las 7:30h y debo entrar a la escuela a las 8:00h "Si voy caminando llegar tarde a la escuela" "Si voy en microbs, llegar a tiempo a la escuela" Identifica la situacin problemtica Cmo llego a tiempo?Son las 7:30h ydebo llegar a las 8:00h. Tengo solo Evala posibles alternativas de solucin 30min para llegar. Ejecuta la alternativa seleccionadaVoy en microbsy llegar a tiempoa la escuela.22 movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 22. Reflexiona sobre la situacin Tom la mejor decisin.As como Zoraida, un estudiante tambin enfrenta situaciones problemticas a diario. Por ejem-plo, no sabe cmo hacer su tarea escolar, no sabe cmo combinar colores para obtener otroscolores, etc.UNA SITUACIN PROBLEMTICA ESUna situacin nueva y de contexto real, para la cual no se dispone de antemano deuna solucin.La dificultad de una situacin problemtica exige a los estudiantes explorar, investigar, repre-sentar, matematizar, evaluar, perseverar, adems de ensayar y validar estrategias de solucin.Trabajar a partir de situaciones problemticas de contexto real, motiva a los estudiantes y per-mite que se construyan conceptos, procedimientos y se identifiquen regularidades matemticas.3.3 Cmo ayudar a los estudiantes para que resuelvan problemas?La resolucin de problemas requiere una serie de herramientas y procedimientos como com-prender, relacionar, analizar, interpretar, explicar, entre otros. Se apela a todos ellos desde elinicio de la tarea matemtica, es decir, desde la identificacin de la situacin problemtica hastasu solucin. Es necesario ayudarlos a transitar por las fases que se requiere para llegar a lasolucin del problema, generar un ambiente de confianza y participacin en clase, y hacer unaevaluacin sistemtica de sus esfuerzos. No perder de vista que lo principal no es llegar a la "so-lucin correcta", sino posibilitar el desarrollo de las capacidades matemticas de los estudiantespara resolver problemas.Las fases que se pueden distinguir para resolver un problema, son:1. Comprensin del problema2. Diseo o adaptacin de una estrategia3. Ejecucin de la estrategia4. Reflexin sobre el proceso de resolucin del problematodos podemos aprender, nadie se queda atrs23 23. El planteamiento del problema La experiencia de un estudiante en Matemtica ser incompleta mientras no tenga la ocasin de re- solver un problema que l mismo haya inventado (Polya). Mediante la formulacin de problemas se contribuye a la solidez de los conocimientos, se desarrolla la expresin oral y escrita, el anlisis y la sntesis, la abstraccin y la generalizacin. Formular un problema implica buscar informacin, valorar las relaciones matemticas que hay entre los datos, expresar el problema de manera clara y precisar la incgnita. Esta puede hallarse a partir de los conocimientos adquiridos y mediante la aplicacin de diversos procedimientos. El planteamiento de un problema puede realizarse de dos formas: Cuando acompaamos a nuestros estudiantes para que formulen el problema. Debemos: -Ayudar a plantear la situacin inicial y formular el enunciado, siguiendo el proceso de produccin de textos. -Ayudar a evaluar la calidad del problema, considerando la demanda cognitiva. Cuando formulamos el problema que presentaremos a nuestros estudiantes. Debemos: - Considerar que la situacin sea cercana a la realidad de los estudiantes. - Elaborar preguntas teniendo en cuenta el nivel de aprendizaje de los estudiantes yla demanda cognitiva creciente. - En el caso de las escuelas multigrado, a partir de una misma situacin se puedeplantear preguntas diferenciadas para cada ciclo o grado. El planteamiento de un problema se debe realizar utilizando diversos formatos: textuales, audiovisua- les e cono-verbales entre otros. CONSIDERACIONES A TENER EN CUENTA EN EL PLANTEAMIENTO DE LAS SITUACIONES PROBLEMTICAS Las situaciones problemticas deben surgir de un contexto real Las situaciones problemticas a plantear en clases deben surgir de la propia experiencia del es- tudiante, considerar datos de la vida real planteados por l mismo. Hay unaTambin 5vaca.cuyes.24movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 24. Completa la tabla.ANIMALES NMERO DE ANIMALES En total hay................................ animales en el corral. Aqu hay ms ................................... que ............................................. Las situaciones problemticas deben ser desafiantes Las situaciones problemticas que se plantean a los estudiantes deben ser desafiantes e incitar- les a movilizar toda la voluntad, capacidades y actitudes necesarias para resolverlas. Ejemplo: Usando cubos, realiza las siguientes construcciones: ... En la primera construccin usamos un cubo, en la segunda construccin 3 cubos y en la tercera construccin 5 cubos. Responde: Cuntos cubos necesitaremos en la cuarta construccin? Cuntos cubos necesitaremos en la quinta construccin? Cuntos cubos necesitaremos en la sexta construccin? Escribe la secuencia numrica hasta el dcimo trmino.todos podemos aprender, nadie se queda atrs 25 25. Las situaciones problemticas deben ser motivadorasLas situaciones problemticas que se plantean a los estudiantes deben ser motivadoras, debendespertar su curiosidad y el deseo de buscar soluciones por s mismos.Ejemplo: Construye collares con cuentas de colores. Usa el siguiente patrn: negra, blanca yblanca.Cuntas cuentas tienes en tu collar?Cuntas cuentas son blancas?Cuntas son negras?Hay ms cuentas blancas que negras o ms negras que blancas? Las situaciones problemticas deben ser interesantesLas situaciones problemticas a plantear a los estudiantes han de ser interesantes para ellos, afin de comprometerlos en la bsqueda de su solucin.Ejemplo: Construyamos con bloques lgicos todo lo que vimos en el parque.Qu has construido con los bloques lgicos?Qu figuras geomtricas utilizaste para tus construciones?Cuntos tringulos usaste en tus construciones?Cuntos cuadrados?Hay ms ............................ que................................... Rosita, con estos tringulos podrsformar el cuadradoRecuerda que necesitas?Maestra, me faltaun cuadrado paraEl problema planteado debeformar la ventanaser factible de resolverse por de mi casita.los estudiantes del grado co-rrespondiente, sin exagerarla dificultad a fin de evitarlesfrustraciones. Pero, al mismotiempo, necesita ser desafian-te, retar su capacidad de pen-sar, a fin de evitar su desinte-rs y aburrimiento.26movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 26. 3.4 Cmo podemos acompaar a los estudiantes, para que aprendan a re- solver problemas matemticos?El desarrollo de la competencia de resolucin de problemas, requiere movilizar una serie de ca-pacidades y procedimientos como; comprender, relacionar, analizar, interpretar, explicar, entreotros. Estas capacidades se involucran desde el inicio del proceso de resolucin del problema.El docente debe prestar ayuda pedaggica oportuna, adecuada y pertinente al nio, durante elrecorrido por las distintas fases que requiere la resolucin del problema, generando un ambien-te de confianza y seguridad, donde no se juzgue el error, se acepte las diferentes maneras deabordar la situacin problemtica, se reconozca y aliente el esfuerzo por resolver el problema,y donde la evaluacin sirva para ayudar a seguir aprendiendo. Todo ello, sin perder de vista eldesarrollo de las capacidades matemticas.Todo ello demanda un docente que sea cordial y dialogante, y que permita: Establecer un ambiente de aprendizaje basado en una relacin cordial con los estudiantes y entre ellos. Brindar confianza y libertad para que los estudiantes pregunten, exploren y decidan por s solos las estrategias de solucin a los problemas planteados. Dialogar y conversar con los estudiantes hasta estar seguro que han comprendido el problema. Formular ms preguntas que respuestas.Fases de la resolucin de un problemaResolver un problema, comprende transitar por un conjunto de fases, que se complementan entre s,es decir, es un proceso recurrente de idas y vueltas entre la comprensin del problema, el diseo oadaptacin de una estrategia, la ejecucin de la estrategia y la reflexin sobre el proceso de resolucindel problema.FASE 1: Comprensin del problemaEsta fase est enfocada en la comprensin de la situacin planteada. El estudiante debe leer atenta-mente el problema y ser capaz de expresarlo con sus propias palabras (as utilice lenguaje poco con-vencional). Una buena estrategia es hacer que explique a otro compaero, de qu trata el problemay qu se busca, qu se conoce, o que lo explique sin mencionar nmeros. Es importante respetar elritmo de aprendizaje de cada estudiante, promoviendo el trabajo en pequeos grupos y evitando quecompitan entre ellos. El docente debe indicarle que lea el problema con tranquilidad, sin presiones, niapresuramientos, que juegue con los datos del problema, que ponga ejemplos concretos de cada unade las relaciones que presenta, que pierda el miedo inicial. Tambin debe tener presente la necesidadde que el estudiante llegue a una comprensin profunda (inferencial) de la situacin y de lo intil que espara la comprensin el repetirlo, copiarlo o tratar de memorizarlo.todos podemos aprender, nadie se queda atrs 27 27. FASE 2: Diseo o adaptacin de una estrategia Durante esta fase los estudiantes comienzan a explorar qu camino elegir para enfrentar el proble- ma. Es aqu donde conocer variadas estrategias heursticas es til para la resolucin de problemas. Dependiendo de la estructura del problema y del estilo de aprendizaje de los estudiantes, se elige la estrategia ms conveniente. Esta es una de las fases ms importantes en el proceso resolutivo, pues depende de la base de habilidades y conocimientos que tengan el estudiantes, as como de las rela- ciones que puedan establecer no solo con lo que exige el problema, sino adems, con sus saberes y experiencias previas. Contar con un buen conjunto de estrategias "potencia" los conocimientos con los que cuenta el estu- diante, al momento de resolver problemas. Algunas estrategias heursticas para el III ciclo son:a. Realizar una simulacin: consiste en representar el problema de forma vivencial y con ma-terial concreto.b. Hacer un diagrama: implica realizar representaciones grficas (icnicas, pictricas y sim-blicas) en las que se relacionen los datos o elementos del problema.c.Usar analogas: implica comparar o relacionar los datos o elementos de un problema, generando razonamientos para encontrar la solucin por semejanzas.d.Ensayo y error: consiste en tantear un resultado y comprobar si puede ser la solucin del problema. Si la comprobacin es correcta, se habr resuelto el problema, de otra forma, se contina con el proceso.e. Buscar patrones: consiste en encontrar regularidades en los datos del problema y usarlasen la solucin de problemas.f. Hacer una lista sistemtica: consiste en realizar una lista con los elementos del problemapara identificar datos y relacionarlos.g.Empezar por el final: consiste en resolver problemas en los que conocemos el resultado final del cual se partir para hallar el valor inicial. A continuacin, presentamos algunos ejemplos en los que se evidencia el uso de estrategias. Ejemplo 1: Tres nios se distribuyen el costo de un regalo en partes iguales. Cada uno de ellos puso cinco nuevos soles. Cul fue el precio del regalo? El precio del regalo se representa pintando cinco cuadraditos de un color diferente por cada nio. Cada parte representa a los cinco nuevos soles que da cada uno. En este ejemplo se usa la estrategia, hacer un diagrama.28 movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 28. Ejemplo 2: Alberto paga con un billete de S/.20 el precio de un carrito. Si el carrito cuesta S/.16 Cuntorecibe de vuelto? Melisa, cbrate los S/.16 del S Alberto, 17, 18, 19, 20.carrito y dame mi vuelto. Aqu tienes S/.4En este ejemplo se usa la estrategia, hacer una simulacin.Ejemplo 3: Hilda tiene cinco bolsas con tres naranjas cada una. Elena tiene tres bolsas con cinco naran-jas cada una. Cuntas naranjas tienen cada una de ellas?Supongamos que se dispone de material concreto no estructurado que representa las naranjas queaparecen en el problema. Podemos expresar las dos condiciones del problema con la ayuda del ma-terial concreto de la siguiente manera: La solucin se obtiene contando las naranjas quetiene cada una de ellas.En este ejemplo se usa la estrategia, hacer una simulacin.Ejemplo 4: Estas son las galletas que tengo, hoy comer la mitad y maana la otra mitad Cuntasgalletas comer hoy?Los estudiantes realizan la representacin grfica para resolver el problema.Galletas parahoyGalletas paramaanaEn este ejemplo se usa la estrategia, hacer un diagrama.todos podemos aprender, nadie se queda atrs29 29. Ten en cuenta lo siguiente: El docente debe procurar que el clima emocional del aula brinde la tranquilidad necesariapara que los estudiantes puedan pensar en el procedimiento o la operacin que utilizarnpara resolver el problema. Creo que ya resolvimosHacemos laPueden usar la un problema parecido.simulacin delestrategia queproblema?deseen.S, yupi! Los estudiantes decidirn libremente la estrategia que usarn para resolver el problema,con apoyo de material concreto y grfico. El docente estar pendiente del proceso de resolucin del problema que siguen los estu-diantes y orientar, sobre todo a quienes ms lo necesitan. FASE 3: Ejecucin de la estrategia Luego que el estudiante comprende el problema y decide por una estrategia de solucin, se procede a ejecutar la estrategia elegida. Es aqu donde el acompaamiento al estudiante se vuelve imprescindi- ble, para ayudarlos a salir de todo tipo de bloqueos. Se debe promover en los estudiantes actitudes positivas para resolver problemas, como despertar cu- riosidad, tener confianza, tranquilidad, disposicin para aprender, y gusto por los retos. Adems, se debe orientar que al ejecutar la estrategia de solucin, compruebe cada uno de los proce- dimientos usados; que sea perseverante en no abandonar cada aspecto examinado, y si las cosas se complican, que sea flexible en intentar por otro camino. Si el problema ha sido resuelto, es importante preguntar a los estudiantes: Ests seguro que es la respuesta? Cmo lo compruebas? Como hemos visto, hay diversas estrategias a las que los estudiantes pueden recurrir para resolver un problema. Algunos harn simulaciones, otros harn diagramas, buscarn patrones, usarn analogas, o el ensayo y error, empezarn por el final, etc.30movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 30. El docente monitorea de modo permanente el aprendizaje de sus alumnos, brindndoles oportuna-mente el apoyo que requieran.Por ejemplo, en el problema. Alberto paga con un billete de S/. 20 el precio de un carrito. Si el carritocuesta S/.16 Cunto recibe de vuelto? Jos, yo tendrLuis, usa ellos S/.20 y t mePint un material Base Diez cuadradito porvendes el carrito. para representar elcada S/.1. dinero.FASE 4: Reflexin sobre el proceso de resolucin del problemaEste momento es muy importante, pues permite a los estudiantes reflexionar sobre el trabajo realiza-do, reflexionar acerca de todo lo que han venido pensando [metarreflexin]. En est fase el estudian-te conoce los procesos mentales implicados en la resolucin, sus preferencias para aprender y lasemociones experimentadas durante el proceso de solucin. El docente posibilitar que en parejas ogrupos, los estudiantes comparen las estrategias que usaron y las respuestas que obtuvieron duranteel proceso de resolucin. Nios, cmoQu pasos resolvieron el siguieron? problema? Rosita y yousamos billetes y Mi estrategiamonedas de papel.es ms sencilla,us 20 semillas yYo tuve que canjear Ella me di S/.4una barrita por 10de vuelto.separ 16.unidades. Luegoquite 4 unidades.1 101 11De este modo, los estudiantes desarrollan sus capacidadespara comunicar y justificar sus procedimientos y respuestas.todos podemos aprender, nadie se queda atrs 31 31. Tener en cuenta lo siguiente: La identificacin de la respuesta correcta y de la estrategia ms eficaz, se realiza con la participacin de los estudiantes. Se debe pedir a los estudiantes que expliquen las estrategias que siguieron para resolver el problema. n caso de que algn estudiante hubiese cometido algn error, se corrige con la parti- E cipacin de los mismos estudiantes, cuidando de reconocer el esfuerzo de quienes se equivocaron. 3.5Articulamos la progresin del conocimiento matemtico en el III cicloDesarrollar la competencia matemtica en los estudiantes es desarrollar progresiva y articu-ladamente un conjunto de capacidades y conocimientos matemticos a travs de situacionesproblemticas en contextos muy diversos. En este sentido, representamos la articulacin de losconocimientos referidos a los dominios de Nmero y Operaciones, y Cambio y Relaciones.A. NMERO Y OPERACIONESEl cuadro siguiente muestra la articulacin de los conocimientos numricos desde el final del IIciclo hasta el comienzo del IV ciclo de Educacin Primaria. Los estudiantes ingresan al III ciclo dela Educacin Bsica Regular habiendo construido nociones bsicas acerca de los nmeros natu-rales. En el III ciclo complementan sus conocimientos sobre los nmeros naturales hasta de doscifras, en sus diversas formas de representacin.CICLOSCONOCIMIENTOSIIIIIIV 5 aos 1.o2.o3.o Significado de los nmeros naturales: agrupacin, clasificacin, seriacin, el nmero como ordinal y como cardinal. Representacin, comparacin y orden de los nmeros naturales. Operaciones con nmeros naturales: acciones referidas a juntar, agregar y quitar. Operaciones con nmeros naturales: acciones referidas a avanzar y retroce- der. Operaciones y propiedades con los n- meros naturales: adicin y sustraccin. 32 movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 32. Para que el estudiante del III ciclo construya exitosamente las nociones de nmero y operaciones y lasuse con propiedad en situaciones de la vida cotidiana es indispensable que: Realice clasificaciones y seriaciones Reconozca la posicin de los objetos en un arreglo lineal Cuente los objetos de una coleccin Compare cantidades de objetos de dos colecciones Junte o separe, agregue o quite cantidades en situaciones propias de su contextoSIGNIFICADO DE LAS NOCIONES MATEMTICAS EN NMERO Y OPERACIONES:Este es un Este tambin, entoncesLA CLASIFICACIN consiste en agrupar o separartringulo. deben estar juntos.objetos a partir de la observacin de semejanzasy diferencias. Para esto se elige un criterio o carac-terstica a tener en cuenta al momento de realizarlas agrupaciones: color, tamao, forma, grosor,textura, utilidad, etc.Como parte del proceso de clasificar objetos, elestudiante distingue si un objeto tiene o no la ca-racterstica que debe formar parte de la coleccin.As, establece si el objeto es parte o no de esa co-leccin en particular. Estos son los pequeos,de los cuales unos son Al finalizar el III ciclo, el estudiante debe identi-rojos y otros de color ficar que una coleccin es parte de otra ms gris. grande o cundo se forma una nueva coleccin dentro de otra. A la coleccin ms amplia se le llama clase y a la coleccin incluida se le llama subclase. Ejemplo: La coleccin de tiles escolares est for- mada por lpices, cuadernos, borradores, etc. En este ejemplo, los tiles escolares constituyen la clase y los lpices, cuadernos y borradores las subclases.LA SERIACIN consiste en ordenar cuantitativamente, es decir, de menos a ms o de ms a menos, unacoleccin de objetos, atendiendo a las diferencias en una caracterstica determinada: tamao, grosoro intensidad de color, etc. La nocin de seriacin sienta las bases para entender la posicin de los n-meros segn su ubicacin. Para desarrollar la nocin de seriacin los estudiantes no solo deben hacerarreglos horizontales, sino tambin en forma vertical.todos podemos aprender, nadie se queda atrs 33 33. Yo orden los Yo hice una torre.cubos de pequeoOrden los cubosa grande.de grande apequeo. LA ORDINALIDAD se pone de manifiesto cuando los estudiantes ordenan linealmente una coleccin de objetos y pueden asociar el nmero 1 con el primer objeto de una coleccin, el nmero 2 con el siguien- te, y as sucesivamente hasta acabar con los objetos que se debe ordenar. Es posible que sepan con- testar preguntas como: Qu posicin ocupa?, cul de ellos est en tal o cual lugar?, o ubica la pelota en el cuarto lugar. Cuando realizan este tipo de actividades estn usando el nmero como ordinal, que se refiere a indicar la posicin relativa de un objeto con respecto a un referente.AprateLeo! Ya ests en segundolugar! LA CARDINALIDAD se ve expresada cuando el estudiante es capaz de sealar con precisin cuntos objetos forman una coleccin, apoyado en el conteo que requiere de un proceso. Es decir, cuando es capaz, por un lado, de establecer una correspondencia uno a uno entre la secuencia numrica verbal correlativa y cada uno de los objetos de la coleccin que est contando; y por otro, de desarrollar no- ciones bsicas como la inclusin numrica (el nmero mayor incluye a los menores). Uno, dos, tres, cuatro, cinco. Hay cinco El hecho de que los estudiantes reciten la secuenciabolitas. numrica es apenas un pequeo logro. Recin cuan- do construyen la nocin de la inclusin numrica y de la cardinalidad, se puede decir que han construido la nocin de conteo.34 movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 34. Aqu, hay msEN LA COMPARACIN de cantidades los estudian- bolasY aqu , hay tantastes de los primeros grados pueden establecer conamarillas quebolas rojas como azules. amarillas.facilidad dnde hay ms o dnde hay menos ele-mentos u objetos, de manera intuitiva, sin necesi-dad de tener como referencia un cardinal. Cuan-do la diferencia entre la cantidad de objetos queforman las colecciones a comparar no es notoria,es necesario que utilicen la correspondencia "unoa uno" entre los objetos de las colecciones. Esteproceso les facilitar: Entender que a una coleccin le "faltan" o "sobran" elementos para tener tantos como la otra. gregar elementos a una coleccin para que tenga tantos como otra o quitar elementos A a una coleccin que tiene ms que la otra para obtener una coleccin con igual cantidad de objetos. ntender si dos colecciones tienen igual cantidad de elementos, por lo tanto, son iguales. E Si estas nociones se trabajan previamente a la comparacin de nmeros, los estudiantes no tendrn dificultades para utilizar correctamente las expresiones "mayor que", "menor que" o "igual a" y sus respectivos smbolos.LA ADICIN comprende dos significados:a) Como incremento, implica la transformacin de una cantidad inicial por acciones de agregar,avanzar, recibir, ganar, comprar, etc. Ejemplo, Mara tena tres polos y en su cumpleaos le re-galaron dos polos. Cuntos polos tiene ahora Mara?b) Como parte-todo que est vinculado a las acciones de juntar o unir las partes en un todo. Paranombrar al todo se requiere recurrir a la nocin de inclusin de clase. Ejemplo, Josefina compr8 manzanas y 12 melocotones. Cuntas frutas compr Josefina?LA SUSTRACCIN aparece de manera natural vinculada a las acciones de dar, perder, bajar, disminuir,etc., que son transformaciones que tienen significado por s mismas. Un buen aprendizaje de la sus-traccin pasa por la comprensin del carcter inverso de la adicin.En este sentido, para el aprendizaje de la adicin y la sustraccin, se debe tener en cuenta que estasforman parte de un mismo concepto que puede ser trabajado desde distintos significados, de manerasimultnea e integradas para lo cual se recomienda utilizar los problemas de estructura aditiva: cam-bio, combinacin, comparacin e igualacin.Los Problemas Aritmticos de Enunciado Verbal (PAEV)Para que los nios puedan consolidar la nocin aditiva y sus habilidades en la resolucin de problemas,cuando ingresen a la escuela, es necesario que resuelvan situaciones de su vida cotidiana asociadas aacciones de agregar, quitar, juntar, separar, comparar e igualar, que en la didctica de la Matemticase organizan como Problemas Aritmticos de Enunciado Verbal (PAEV por sus siglas). Los PAEV se tra-ducen en problemas de Combinacin, Cambio o Transformacin, Comparacin e Igualacin, los cualespresentan distintas posibilidades en su interior.todos podemos aprender, nadie se queda atrs 35 35. Los problemas aditivos que se abordan en el III ciclo son:Combinacin 1:Se conocen las dos partes y se preguntaSituaciones depor el todo. CombinacinCombinacin 2:Se conocen el todo y una de sus partes.Se pregunta por la otra parte.Cambio 1:Se conoce la cantidad inicial y luego se la aumenta. Se pregunta por la cantidad final.Cambio 2: Se conoce la cantidad inicial y luego se la hace disminuir. SituacionesSe pregunta por la cantidad final. de cambioCambio 3: Se conocen la cantidad inicial y la final (mayor).Se pregunta por el aumento.Cambio 4: Se conocen la cantidad inicial y la final (menor).Se pregunta por la disminucin.Comparacin 1:Se conocen la cantidad referente y la comparada.Situaciones deSe pregunta cunto ms es la diferencia.ComparacinComparacin 2:Se conocen la cantidad referente y la comparada.Se pregunta cunto menos es la diferencia.Igualacin 1:Se conocen las dos cantidades. Se pregunta por el au-mento de la cantidad menor para igualar a la mayor.Situaciones deIgualacinIgualacin 2: Se conocen las dos cantidades. Se pregunta por la disminucin de la cantidad mayor para igualar a la menor. La tabla muestra los tipos de problemas aditivos que se aborda en primer y segundo grado.GradoPrimer gradoSegundo gradoTipos de problemas Combinacin11, 2 Cambio1, 21, 2, 3, 4 Comparacin 1, 2 Igualacin1, 236movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 36. A continuacin, se definen situaciones con problemas de estructura aditiva:Situaciones de combinacinSe trata de problemas que se plantean a partir de "combinar" dos cantidades, las cuales se diferen-cian en alguna caracterstica, en los que podemos desconocer una parte o el todo.Lus tiene 6 camioncitos y Jos 8 trompos. Cuntos juguetes tienen losdos juntos? Si los juntamos Jos, yo tengo cuntos juguetes 6 camioncitos.habr en total?Y yo tengo 8 trompos.TodoPartePartePAEV de combinacin 1.Situaciones de cambioSe trata de problemas en los que se parte de una cantidad, a la que se aade o se le quita otra de lamisma naturaleza.CambioCantidadCantidad inicialfinalNaty tena 12 caramelos. Pedro le dioPedro tena 9 lpices. Dio algunos a Rosa.algunos ms. Ahora tiene 20 caramelos. Ahora tiene 6. Cuntos lpices le dio aCuntos caramelos le dio Pedro? Rosa?Tengo 12Te regalo algu- Tena 9 lpices y te Cuntos me caramelos.nos, ahora tienesregal algunos. diste?20. Cuntos te regal? algunos algunos 12 2096Cantidad inicialCantidad finalCantidad inicial Cantidad final PAEV de cambio 3.PAEV de cambio 4.todos podemos aprender, nadie se queda atrs37 37. Situaciones de comparacin En esta categora se comparan dos cantidades. Los datos son las cantidades y la diferencia que existe entre ellas. De estas dos cantidades, una es la comparada y la otra es la referencia. La diferencia es la distancia que se establece entre ambas. Roger tiene 11 nuevos soles. Oscar tiene 16. Luis tiene 12 aviones de papel y Jos tiene Cuntos soles tiene Oscar ms que Roger?8. Cuntos aviones tiene Jos menos queLuis?118ReferenciaComparada16 Comparada12 Referencia PAEV de comparacin 1. PAEV de comparacin 2. Situaciones de igualacin Se trata de problemas que contienen dos cantidades diferentes sobre una de las cuales se acta au- mentndola o disminuyndola hasta hacerla igual a la otra. De estas dos cantidades una es la can- tidad a igualar y la otra es la cantidad referente. La transformacin que se produce en una de dichas cantidades es la igualacin. Ana tiene 11 fichas y Mariela tiene 6. Cun-Jos tiene 9 caramelos. Julio tiene 5 cara- tas fichas ms tiene que ganar Mariela paramelos, cuntas caramelos le falta comer tener tantas como Ana? a Jos, para tener tantos caramelos comoJulio? 11 9 Referencia Comparada 65 ComparadaReferencia Diferencia Diferencia PAEV de igualacin 1. PAEV de igualacin 2.38movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 38. A continuacin, ms ejemplos de tipos de problemas aditivos.Situaciones de combinacin 1En el aula hay 14 varones y 6 mujeres. Cuntos estudiantes hay en total? 2En el aula hay 16 estudiantes, de los cuales 9 son varones. Cuntas mujeres hay? Situaciones de cambio 1Teresa tena 9 muequitas de papel. Le regalan 8 ms. Cuntas muequitas tiene ahora? 2Jos tiene 16 figuritas, luego pierde 5. Cuntas figuritas le quedan? 3Rosa tena 12 lpices de colores. Su pap le compra algunos ms. Ahora tiene 20 lpices. Cuntos lpices de colores le regal su pap? 4Yarina tena 9 carritos y prest algunos a su hermano Jos. Ahora tiene 6. Cuntos carritos prest a su hermano?Situaciones de comparacin 1Miguel ahorr 11 nuevos soles. Kusi ahorr 16. Cuntos soles ms que Miguel ahorr Kusi? 2Luis tiene 15 chapitas, Karito tiene 12. Cuntas chapitas menos que Luis tiene Karito?Situaciones de igualacin 1Pedro tiene 18 canicas. Yarina tiene 12. Cuntas canicas tiene que ganar Yarina para tener tantas como Pedro? 2Marta ha ganado 6 rompecabezas. Gisela gan 10. Cuntos rompecabezas debe regalar Gisela para tener tantos como Marta?todos podemos aprender, nadie se queda atrs 39 39. B. CAMBIO Y RELACIONES El fenmeno del cambio se observa a nuestro alrededor. Por ejemplo, la variacin del tamao en los seres vivos est relacionada con el paso del tiempo. Asimismo, el tiempo que emplea una persona al desplazarse desde su casa al colegio est en funcin a su velocidad. Lo que es comn en ambos ejemplos es la relacin que se establece entre dos cantidades. El nio puede apreciar estas relaciones de manera intuitiva. Por ejemplo, puede darse cuenta que mientras ms aos tiene, ms alto es, o que mientras ms lejos tiene que desplazarse, demora ms tiempo. Cuando el nio adquiere nociones matemticas, est en condiciones de establecer una rela- cin definida o un modelo para estas situaciones. Para que los estudiantes del III ciclo descubran por s mismos los cambios y las relaciones que se pro- ducen en el mundo real de manera natural, necesitan analizar continuamente situaciones cotidianas en las que puedan descubrir patrones, como en los tejidos o en las canastas de paja. Tambin descu- brir equivalencias, por ejemplo, al jugar el sube y baja, o las relaciones directas en juegos como el del baile de la silla, donde a cada nio le corresponde una silla, entre otras. El siguiente cuadro muestra la articulacin de los conocimientos referidos a cambio y relaciones desde el final del II ciclo, hasta el comienzo del IV ciclo de Educacin Primaria. CICLOS CONOCIMIENTOS IIIIIIV 5 aos 1.o2.o3.oPatrones de repeticin de movimientoscorporales Patrones de repeticin con criterio deritmo en la percusin Patrones de repeticin con criterio desonoridad musical Patrones de repeticin con materialconcreto Patrones de repeticin grfica Patrones de repeticin con criteriode ritmo en la danza Patrones aditivos Igualdad de expresiones aditivasequivalentes 40movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 40. SIGNIFICADO DE LAS NOCIONES MATEMTICAS EN CAMBIO Y RELACIONESPATRN es una sucesin de movimientos, sonidos, objetos, figuras o smbolos que se ordenan paraformar un todo que al repetirse varias veces da como resultado una secuencia. Hay dos tipos depatrones: Un patrn de repeticin est formado por una sucesin de movimientos, sonidos, objetos, grficos o smbolos de acuerdo con uno o ms criterios que puede ser color, forma, tamao, etc. los mismos que al repetirse varias veces dan origen a secuencias de objetos o grficas.Miguel, cmo hasformado tu secuencia?Con bolitas amarillas,rojas y azules. Y qu se repite en tu secuencia?Humm...Una amarilla, una roja y una azul. Un patrn aditivo est formado por un nmero asociado a una operacin que se da entre un trmino y el siguiente para dar origen a secuencias numricas.Abigal, qu regleta no Cuando pongo esta regleta roja corresponde en la encima de la verde, alcanzo a la secuencia? Por qu?amarilla Y cuando la pongo sobre la amarilla alcanzo a la negra.MmmLa ltima est mal.8 Debe ser la azul7que vale 9. Porque5aumentan de 2 en 2.3 amarillo marrn rojo negro verdetodos podemos aprender, nadie se queda atrs41 41. EQUIVALENCIA se refiere a dos o ms objetos o expresiones nmericas distintas entre s, pero que tie-nen igual valor. Por lo tanto, dos expresiones aditivas son equivalentes cuando tienen igual resultado. Nios, hagan paredes usando dos regletas en cada fila.Y si suman las dosregletas de cadafila, qu cantidad se obtiene?Son iguales maestra,En la ma, 4 + 4 esporque 7 + 1 es igual igual a 3 + 5.a 6 + 2. Maestra! En todas las filas la suma es igual a 8. 88 7 135 6 24 4 RELACIN es una nocin muy general, ya que existen relaciones entre objetos en el espacio, entre canti-dades, entre fenmenos biolgicos, sociales y psicolgicos, etc. Las relaciones se pueden establecerentre dos, tres o ms objetos. Se representan usando el lenguaje natural, diversos esquemas (sagi-tal, tablas de doble entrada, entre otros) o el lenguaje formal a travs de expresiones algebraicas. En Primer Grado desarrollaremos la nocin de relaciones entre dos colecciones de objetos. Por ejemplo: Ejemplo 1: Los estudiantes establecen relaciones entre objetos de su entorno y sectores del aula.Nios, dnde guardare-mos los materiales? SECTOR DE SECTOR DEBIBLIOTECA ASEO MATEMTICALas toallas lasguardar en elsector de aseo.CDULas regletas, lasguardar en el sec-tor de matemtica. Y los cuentos,en la biblioteca.42 movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 42. Ejemplo 2: Los estudiantes establecen relaciones segn la utilidad de los objetos.Une con flechas los objetos con el cartel que corresponda.Sirve para limpiarSirve para cocinarEn Segundo Grado desarrollaremos las nociones de relacin entre objetos de colecciones numricas yno numricas, por ejemplo:a) Relaciones no numricasKillaObserva la imagen y escribeel nombre de cada nia en elrecuadro.Killa est a la derecha deNina y Asiri a la derecha deKilla.b) Relaciones numricasEs mayor que+2 7 4 4 6 3 8 5 5 9 10 3 7 6 93.6 Cules son los rangos numricos en los nmeros naturales propuestos para Inicial (5 aos), primer y segundo grado?La construccin de la nocin de nmero en los nios y nias se adquiere gradualmente en lamedida en que ellos tengan la oportunidad de pensar en la cantidad asociada a los nmeros,de representarlos y de usarlos en contextos significativos.En ese sentido, el nio puede contar, leer, escribir o identificar nmeros mayores que 100, sinembargo para comprenderlos y utilizarlos reflexivamente requiere de un trabajo progresivo, porello se propone un rango numrico menor para el desarrollo de capacidades ms complejas.todos podemos aprender, nadie se queda atrs 43 43. A continuacin te mostramos la infografa del rango numrico para Inicial (5 aos) y el primer y segundo grado.Inicial (5 aos)Primer gradoSegundo grado1, 2, 3,...99, 100 1, 2, 3,...999, 1000 1, 2, 3,...10 Cuenta Hasta el 5 Hasta el 20 Hasta el 100 4138 ComparaHay ms bolas grises que naranjas. 38 es menor que 41 y Hay ms bolas 41 es mayorgrises que 815 que 38. naranjas. 8 es menor que 15. Hasta el 5Hasta el 20Hasta el 100haba quedan23 + 64 =23 20 + 364 60 + 4 Suma y80 + 7 = 87 restaCuntas manzanas menosCuntashan quedado?37 + 45 = manzanas hay 37 + en total? 5 ___ = 44582 Hasta el 5 Hasta el 20 Hasta el 100 Juan se lleva 2 manzanasJuan tena 13 figuritas. Su her-Tena S/.20. Luego, Representa de esta bolsa. Cuntasmano le regal algunas ms,compr el avin. Cunto y resuelve manzanas quedan en lay ahora tiene 34. Cuntas fi-bolsa? dinero me queda? guritas le regal su hermano? problemas de adicin y sustraccin44movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 44. 3.7 Reconocemos herramientas y condiciones didcticas para el desarrollo de las capacidades matemticas A. Capacidad: MATEMATIZA Matematizar implica desarrollar un proceso de transformacin que consiste en trasladar a enun- ciados matemticos, situaciones del mundo real y viceversa. Durante la experiencia de hacer esto, debemos promover la construccin y puesta en prctica de los conocimientos matemticos. A continuacin te presentamos situaciones y condiciones que favorecen la matematizacin.Situaciones CondicionesActividades vivenciales del entorno.Favorecer: Actividades dinmicas, ldicas, de La indagacin y experimentacin.experimentacin. Por ejemplo elLa simulacin y puesta en prctica. juego: El banco matemtico, en cuntos minutos hierve el agua, etc. Actividades con apoyo de materialgrfico (boletas de venta, recibos, recortes periodsticos, lminas, afiches, etc.) B. Capacidad: COMUNICA La comunicacin es un proceso transversal en el desarrollo de la competencia matemtica. Im- plica para el individuo, comprender una situacin problemtica y formar un modelo mental de la situacin. Este modelo puede ser resumido y presentado en el proceso de solucin. Para la construccin de los conocimientos matemticos es recomendable que los estudiantes verbalicen constantemente lo que van comprendiendo y expliquen sus procedimientos al hallar la solucin de los problemas. Algunas preguntas que pueden ayudar en la comunicacin matemtica pueden ser:Fases de la resolucin de problemas PreguntasComprensin del problemaDe qu trata el problema?Las interrogantes estn orientadas Cmo lo diras con tus propiaspara que los estudiantes puedanpalabras?movilizar sus saberes previos, Has visto alguna situacin parecida?establecer relaciones entre losdatos del problema y verbalizar la Cules son los datos?situacin problemtica. Qu es lo que te piden? Cules son las palabras que no conoces en el problema? A qu crees que se refiere cada una de las palabras?todos podemos aprender, nadie se queda atrs45 45. Fases de la resolucin de problemas Preguntas Diseo o adaptacin de una Cmo resolvemos el problema? estrategia Qu deberamos hacer primero? Las interrogantes estn orientadas Debemos considerar todos los datos? a que cada estudiante explo- re, proponga planteamientos y Cmo haramos para llegar a la diversas estrategias en la solucin respuesta? de problemas. Es aqu donde se Has resuelto algn problema parecido? elige el camino para enfrentar la situacin. Imagina un problema ms sencillo. Cmo lo desarrollaras? Qu materiales debes utilizar para resolver el problema? Ejecucin de la estrategia Consideras que los procedimientos utilizados te ayudarn a encontrar la Las interrogantes estn orientadas a que respuesta? los estudiantes desarrollen su estrategia, comprueben sus avances y que acten Habr otros caminos para hallar la con flexibilidad al resolver problemas; esrespuesta? Cules? decir si las cosas se complican demasia- Cul es la diferencia entre el procedi- do, que intenten otros caminos. miento seguido por y el tuyo? Ests seguro de tu respuesta? Cmo la compruebas? Reflexin sobre el proceso de resolucin Cmo hiciste para hallar la respuesta? Las interrogantes buscan que losExplica tu estrategia. estudiantes den una mirada retrospec- Por qu ese camino te llev a la tiva de los procesos vivenciados y de los solucin? resultados obtenidos, expresando sus Qu te dio la pista para elegir tu emociones asi como explicando y argu- estrategia? mentando sus aciertos y desaciertos a partir de las actividades desarrolladas. En qu se parece este problema a otros trabajados anteriormente? Te fu fcil o difcil resolver el proble- ma?, por qu? Crees que el material que utilizaste te ayud?, por qu?46 movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 46. As como estamos proponiendo interrogantes estratgicas que faciliten la comunicacin del sentidode cada fase, es importante tambin motivar al estudiante con afirmaciones positivas respecto a losesfuerzos que van desplegando: CriteriosAfirmaciones del docente Valorar los esfuerzos de los estudiantes. Has mejorado mucho porque te has esforzado. Muy bien!, cada vez lo haces mejor. y ms rpido. Estimular el inters y la motivacin del Has venido trabajando con mucho estudiante. esfuerzo. Tu pregunta es muy buena, les interesa a todos. Valorar la habilidad del estudiante. Eres muy bueno para hacer estos procedimientos. Tu explicacin es clara y valiosa. Te felicito! Dar energa y esperanza de aprender. Parece que no tienes dificultades para entender el problema. Muy bien!, cada vez lo haces mejor. No te preocupes. T puedes hacerlo! Yo te ayudar. Valorar la contribucin de los estudian- Gracias a tu pregunta hemos podido tes.reconocer ciertas dudas que tienen todos. Porque explicaste tu idea con precisin, tus compaeros entendieron el problema.todos podemos aprender, nadie se queda atrs47 47. C. Capacidad: REPRESENTA La representacin es un proceso y un producto que implica seleccionar, interpretar, traducir y usar una variedad de esquemas para expresar una situacin, interactuar con el problema o pre- sentar un resultado. Para la construccin de los conocimientos matemticos es recomendable que los estudiantes realicen diversas representaciones desde la vivenciacin hasta llegar a las representaciones grficas y simblicas. Representacin pictogrfica Representacin conmaterial concreto Representacin grfica RepresentacinRepresentacin vivencial simblica48movilizacin nacional por la mejora de los aprendizajes 48. A continuacin presentamos las formas de representacin: Las representaciones vivenciales son acciones motrices, puede ser: -Dramatizaciones -Juego de roles Representaciones apoyadas en material concreto, que pueden ser: - Estructurados: Material Base Diez, baco, regletas de colores, balanza, etc. -No estructurados: semillas, piedritas, palitos, tapas, chapas, etc. Representaciones pictogrficas: -Dibujos -conos Representaciones de grficas: -Tablas simples y de doble entrada - Diagrama de rbol -Diagrama de flechas -Diagramas lgicos - Esquemas parte todo Representaciones simblicas: - Expresiones con smbolos matemticosD. Capacidad: ELABORA DIVERSAS ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Esta capacidad consiste en seleccionar o elaborar un plan o estrategia sobre cmo utilizar las matemticas para resolver problemas de la vida cotidiana, y cmo implementarlo en el tiempo. Esta capacidad matemtica puede ser exigida en cualquiera de las fases del proceso de reso- lucin de problemas. Los saberes previos del estudiante de los primeros grados son limitados respecto al manejo de estrategias heursticas, por lo que desde el aula debemos darle la opor- tunidad de apropiarse de estrategias variadas.todos podemos aprender, nadie se queda atrs49 49. A continuacin, te proponemos algunas estrategias heursticas para el III ciclo: Estrategias heursticasCondiciones Realizar simulaciones Dejar q