Sistemas de ecuaciones linealescon un parámetro

Discute y resuelve:

a

a

z

az

ya

y

y

xa

1

03

)1(

2

)2(

Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada según los valores de a

010

312

20

a

a

a

A

Hallamos el determinante de A:

|A| = a·(a – 1)·(a – 2)

Solución:

Si |A| es distinto de cero el rango de A (y el de A') será 3

Vamos a estudiar que ocurre si |A| = 0

aa

a

aa

A

1010

0312

20

Discute y resuelve:

a

a

z

az

ya

y

y

xa

1

03

)1(

2

)2(

|A| = 0 a·(a – 1)·(a – 2) = 0

2

1

0

a

a

a

Veamos que ocurre en estos casos:

Si a = 0

Solución:

Si a = 0 el sistema es incompatible

1

0

0

3

2

2

z

y

y

y

x es incompatible y = 0

y = –1

Discute y resuelve:

a

a

z

az

ya

y

y

xa

1

03

)1(

2

)2(

Si a = 1

Solución:

Si a = 1 el sistema es compatible indeterminado.Solución: x = 3 – 5, y = , z = 1 – 2

0

0

1

3

0

2

z

z

y

y

y

x

0

1

3

2

z

z

y

y

x

Resulta un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, compatible indeterminado

y

y

z

z

x

21

3 zx

z

y

3λ

λ21

λ

λ21

λ

λ53

z

y

x

Discute y resuelve:

a

a

z

az

ya

y

y

xa

1

03

)1(

2

)2(

Si a = 2

Solución:

Discute y resuelve:

a

a

z

az

ya

y

y

xa

1

03

)1(

2

)2(

1

0

2

3

22

0

z

z

y

y

y

xes incompatible

2z = 4

3z = 1

Si a = 2 el sistema es incompatible

Podemos ver que la matriz A' tiene rango 3

101

031

222

= –6 + 0 + 0 – 6 + 2 – 0 = –10 0

Si a 0, a 1 y a 2

Solución:

Por lo tanto, rg(A) = rg(A') = 3 = nº de incógnitas

Si a 0, a 1 y a 2 el sistema es compatible determinado

|A| = a·(a – 1)·(a – 2) 0

Discute y resuelve:

a

a

z

az

ya

y

y

xa

1

03

)1(

2

)2(

Es un sistema escalonado, podemos resolverlo despejando las incógnitas en el orden adecuado:

Solución:

aa

zyaaa

x2

;1 ;)2(62

:Solución

a 0, a 1 y a 2

Discute y resuelve:

a

a

z

az

ya

y

y

xa

1

03

)1(

2

)2(

a

a

z

az

ya

y

y

xa

1

03

)1(

2

)2(

11

1

aa

y

2 aaza

az

2

zxa 31)2( a

a 631

aaa 63

)2(62

aaa

x