s10 Ht Ecuación de La Recta Solucionario Mb Adm 2016 i

8/16/2019 s10 Ht Ecuación de La Recta Solucionario Mb Adm 2016 i

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NIDAD IV: INTROD CCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

SEMANA N° 10: Ecuación de la Reca!G"#$ica% de Reca%

i%ia: &':( ()))*+,uu-e*c,. (u%e"(TuCiencia

1) Si la línea recta pasa por esos dos puntos, determine su pendiente y su gráfica:

a)

( ) ( )2;1 4;7 y

SOLUCIÓN:

La pendiente de la recta que pasa por los puntos

( ) ( )2;1 4;7 y

es:7 1 6

34 2 2

m −

= = =−

b)

( ) ( )5; 2 1; 6 y− −

SOLUCIÓN

La pendiente de la recta que pasa por lospuntos

( ) ( )5; 2 1; 6 y− −es:

( )6 2 411 5 4m

− − − −

= = =− −

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 FACULTAD DE NEGOCIOS

MATEMÁTICA BÁSICA


2/16

c)

( ) ( )2;5 4;5 y

SOLUCIÓN

La pendiente de la recta que pasa por los puntos

( ) ( )2;5 4;5 y

es:

02

0

24

55==

−−

=m

d) (−3 :2 ) (−3;7 )

SOLUCIÓN

La pendiente es:

0

5

33

27=

−−−−

=m

2) Halle la gráfica y el punto de las líneas rectas:

a)1 2:5 11 0 : 3 1 0 L x y L x y− − = ∧ + + =

SOLUCIÓN

Resolver simultáneamente las ecuaciones:

5 11 0 .................. (1)

3 1 0 ................. (2)

x y

x y

− − = + + =

Multiplicamos a la primera ecuación por 3


3/16

1: 5 11 0 L x y− − =

2 : 3 1 0 L x y+ + =

1 0

3 0

5 3

1

33 x y

x y

− − =

+ + =

Sumando las ecuaciones tenemos:

16 32 0 x − =

2 x =

Luego sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones

!eamos en la segunda ecuación:2 3 1 0 y+ + =

1 y = −

"l punto donde se cortan las rectas es

( )2; 1 P −

b)1 2: 2 5 0 : 2 10 0 L x y L x y+ − = ∧ − − =

SOLUCIÓN:Resolver simultáneamente las ecuaciones:

2 5 0 .................. (1)

2 10 0 ................. (2)

x y

x y

+ − = − − =

Multiplicamos a la segunda ecuación por #:


4/16

2 5 0

4 2 20 0

x y

x y

+ − = − − =


5 25 0 x − =

5 x =


!eamos en la primera ecuación: 5 2 5 0 y+ − =

0 y =


( )5;0 P

c)1 2: 0,2 0,1 1,1 : 3 18 L x y L x y+ = ∧ + =

SOLUCIÓNResolver simultáneamente las ecuaciones:


5/16

0,2 0,1 1,1 .................. (1)

3 18 ................. (2)

x y

x y

+ = + =

Multiplicamos a la segunda ecuación por $%,#

0, 2 0,1 1,1

0, 2 0,6 3,6

x y

x y

+ =− − = −


0,5 2,5 y− = −

5 y =


!eamos en la segunda ecuación:

( )3 5 18 x + =

3 x =


( )3;5 P


6/16

3) Halle &'(, si se sa)e que la línea recta:

( ) ( ): 2 3 4 14 0 L k x k y k + − − + − =

pasa por el punto

( )2; 2−

SOLUCIÓN

Si la línea recta

( ) ( ): 2 3 4 14 0 L k x k y k + − − + − =

pasa por el punto

( )2; 2− entonces tal punto

satisface la ecuación* esto es:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 2 4 14 0

2 4 6 2 4 14 0

4 4 0

1

k k k

k k k

k

k

+ − − − + − =

⇒ + + − + − =⇒ − =

⇒ =

4) Halle &'(, si se sa)e que la línea recta:

( ) ( ): 3 3 7 0 L k x k y k + + − + + =

tiene pendiente +

SOLUCIÓN

Se tiene que la línea recta

( ) ( ): 3 3 7 0 L k x k y k + + − + + =

tiene pendiente +

ero

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

3 7: 3 3 7 0 :

3 3

37

3

3 7 3

3 21 7

6 24

4

k k L k x k y k L y x

k k

k

k

k k

k k

k

k

− + ++ + − + + = ≡ = −

− −

− +⇒ =

−

⇒ − − = −

⇒ − − = −

⇒ =

⇒ =


7/16

5) Halle la ecuación de la línea recta &L( cuya pendiente sea $# y pase por el punto de intersecciónde las líneas rectas:

1 2: 2 8 : 3 2 9 0 L x y L x y+ = ∧ − + =

SOLUCIÓNHallando el punto de intersección:

( )( )

2 8

3 2 9

2 2 8 4 2 16 1

3 2 9 3 2 9 6

1; 6

: 6 2 1

: 6 2 2

: 2 8

x y

x y

x y x y x

x y x y y

L y x

L y x

L y x

+ =

− = −

+ = + = = ⇒ ≡ ⇒

− = − − = − =

⇒⇒ − = − −

⇒ − = − +

⇒ = − +

6) Halle la ecuación de la línea recta &L(, que pase por el punto

( )2;3− y por la intersección de las

líneas rectas:1 2: 5 2 0 : 4 5 7 0 L x y L x y+ + = ∧ + − =

SOLUCIÓNHallando el punto de intersección:

( )

5 2

4 5 7

5 2 5 2 3

4 5 7 4 5 7 13; 1

x y

x y

x y x y x

x y x y y

+ = − + =

− + = − − − = = ⇒ ≡ ⇒

+ = + = = − ⇒ −

&L( pasará por los puntos:

( )2;3−y

( )3; 1−

Hallaremos su pendiente:


8/16

7)

( )

( )

1 3 4

3 2 5

4: 3 2

5: 5 15 4 8

: 4 5 7

m

L y x

L y x

L x y

− − −= =

− −

−⇒ − = +

⇒ − = − −⇒ + =

"ncuentre y grafique para cada caso la línea ecuación de la recta que

satisface la condición dada

a- asa por el punto

( )3;2

y tiene pendiente .SOLUCIÓN

La ecuación de la recta es:( )1 1 y y m x x− = −

"ntonces la ecuación de la recta que pasa por el

( )3;2

y tiene pendiente . es:

( )2 5 3

5 13

y x

y x

− = −

= −

)- asa por el punto

( )1;5

y tiene pendiente %SOLUCIÓN

La ecuación de la recta es:

( )1 1 y y m x x− = −

"ntonces la ecuación de la recta que pasa por el

( )1;5

y tiene pendiente % es:


9/16

( )5 0 1

5

y x

y

− = −

=

c- asa por el punto

( )2;3− y no tiene pendiente

SOLUCIÓN

La recta que pasa por el punto

( )2;3−y no tiene pendiente tiene por ecuación:

2−= x

d- asa por los puntos

( )2;1

y

( )3;4

SOLUCIÓN

rimero /allaremos la pendiente de la recta que pasa por los puntos

( )2;1

y

( )3;4

* esto es:

31

3

23

14==

−−

=m


10/16

"ntonces la ecuación de la recta es

( )1 3 2

3 5

y x

y x

− = −

= −

e- 0iene pendiente # y el intercepto con el e1e 2 es

SOLUCIÓN

Si el intercepto con el e1e 2 es entonces la recta pasa por el punto

( )0;4, por tanto la

ecuación de la recta sería

( )4 2 0

2 4

y x

y x

− = −

= +


11/16

: 2 1 L y x= − +

1 : 2 10 L x y+ =

: 2 1 L y x= +

1 : 3

2

x L y = − +

f- asa por el punto

( )1;3− y es paralela a la línea recta

2 10 x y+ =

SOLUCIÓN

Si la recta

1 L

:

2 10 x y+ = ó

2 10 y x= − + tiene pendiente

2m

= − , entonces la pendiente de larecta &L( que se )usca y a la ve4 paralela a la anterior de)e tener pendiente $#

Luego utili4ando la ecuación de la recta

( )( )

( )

: 3 2 1

: 3 2 1

: 2 1

L y x

L y x

L y x

⇒ − = − − −

⇒ − = − +

⇒ = − +

g- asa por el punto

( )2;5 y es perpendicular a la línea recta

2 6 0 x y+ − =

SOLUCIÓN

Si la recta

1 L

:

2 6 0 x y+ − = ó

32

x y = − +

tiene pendiente

1

2m = −

, entonces la pendiente dela recta &L( que se )usca y a la ve4 perpendicular a la anterior de)e cumplir:

1. 1

1. 1

2

2

L L

L

L

m m

m

m

= −

⇒ − = − ÷

⇒ =

Luego utili4ando la ecuación de la recta:

( ): 5 2 2

: 5 2 4

: 2 1

L y x

L y x

L y x

⇒ − = −

⇒ − = −⇒ = +


12/16

/- asa por el punto

( )1;3

y es paralela a la línea recta

032 =+− y x

SOLUCIÓN

Si la recta1

L

:

2 3 0 x y− + = ó

2 3 y x= − tiene pendiente

2m =, entonces la pendiente de la

recta &L( que se )usca y a la ve4 paralela a la anterior de)e tener pendiente #


( ): 3 2 1

: 3 2 2

: 2 1

L y x

L y x

L y x

⇒ − = −

⇒ − = −⇒ = +

i- asa por el punto

( )3;4

y es perpendicular a la línea recta

0422 =+− y x

SOLUCIÓN

Si la recta1

L

:

2 2 4 0 x y− + = ó

2 y x= + tiene pendiente

1m =, entonces la pendiente de la

recta &L( que se )usca y a la ve4 perpendicular a la anterior de)e cumplir:

( )

1. 1

. 1 1

1

L L

L

L

m m

m

m

= −

⇒ = −

⇒ = −


( ) ( ): 4 1 3: 4 3

: 7

L y x L y x

L y x

⇒ − = − −⇒ − = − +⇒ = − +


13/16

1- asa por el punto

( )0; 1− y es paralela a la línea recta determinada por los puntos

( )3;5

y

( )1;13

SOLUCIÓN

La recta que pasa por los puntos

( )3;5

y

( )1;13

tiene pendiente:

42

8

31

513−=

−=

−−

=m

Si la recta &L( pasa por el punto

( )0; 1− y es paralela a la recta de pendiente m5$, entonces su

pendiente tam)i6n será de m5$

7/ora su ecuación es:

( ) ( ): 1 4 0

: 1 4

: 4 1

L y x

L y x

L y x

⇒ − − = − −

⇒ + = −

⇒ = − −


14/16

8) Halle las ecuaciones de las líneas rectas de pendientes -3/4 que forme con los ejescoordenados un triángulo de área de 24 unidades de supercie.

SOLUCIÓN

Por dato:

m=−3

4

→ b

−a=

−4

5

5b=4a


15/16

e tiene que el área del triángulo es de 24:

( )

( ) ( )2

242

48

3 3 48

4 3 48

36

6

ab

ab

ab

b b

b

b

⇒ =

⇒ =

⇒ =

⇒ =

⇒ =

⇒ = ±

( )

( )

1 : 6

0;6

3: 6 0

4

:4 24 3

:3 4 24 0

caso b

L y x

L y x

L x y

° =

⇒

⇒ − = − −

⇒ − = −

⇒ + − =

( )

( )

2 : 6

0; 6

3: 6 0

4

:4 24 3

:3 4 24 0

caso b

L y x

L y x

L x y

° = −

⇒ −

⇒ + = − −

⇒ + = −

⇒ + + =

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