S2 Material Teorico Ecuaciones

5/22/2018 S2 Material Teorico Ecuaciones

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Universidad Cesar Vallejo

Facultad de Ciencias EmpresarialesMatemtica Superior

1

Una ecuacin es una proposicin que indica que dos

expresiones son iguales. Las dos expresiones que

conforman una ecuacin son llamados sus lados omiembros, y estn separadas por el signo de igualdad.Uno

o ambos miembros de la ecuacin debe tener al menos una

variable o letra, llamada incgnita.

Este problema se resuelve a travs de una ecuacin lineal, entonces recordemos

qu es una ecuacin? qu es una ecuacin lineal? y cmo se resuelvenecuaciones lineales?

.

1.1. ECUACIONES

1.1.1. DEFINICION

Ejemplos: (Ejemplos de ecuaciones)

200 0.8I S

60 4 80q

29 8 0w w

1. ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS

MOTIVACION

Un empresario que pretende abrir una empresa, despus de

hacer un estudio de mercado para la zona en que lo pretende

hacer, encuentra que los costos variables por mano de obra y

materia prima son de $22.50. Los costos fijos de produccin

se determinaron en $250 000.

Adems en el estudio de mercado se encontr que el precio

que el cliente est dispuesto a pagar por el producto que se

fabricar en la empresa es de $30.00 Determine la

cantidad mnima de productos que deben venderse

para no tener prdidas.


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2

2( 4) 7 2p p

5 62 4

7 7

yy

1.1.1. SOLUCIN DE UNA ECUACIN.

Un nmero real es una solucin de una ecuacin, si al ser sustituido por la variable

en la ecuacin hace verdadera la afirmacin de igualdad. Tambin se le suele

llamar raz de la ecuacin.

Ejemplo:

La ecuacin: 3 8 10x slo se cumple para 6x , ya que si sustituimos dichovalor en la ecuacin se tiene una afirmacin verdadera: 10 = 10. Por lo tanto,

decimos que 6x es la solucin de la ecuacin dada. De hecho, es la nica

solucin.

Si usramos, por ejemplo, 2x , resultara 2 10(un absurdo).

Ejercicio:

Determine si el valor propuesto para la incgnita es solucin de las ecuaciones

mostradas.

Valor dela

incgnita

Ecuacinpropuesta

Reemplazo Respuesta

210P 20

600 20003P

20600 .210 2000

3

210 es solucinde la ecuacin.

6R 300 5000100R

4

1

t

t 264 80 16t t

2x 2 18 6x x


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3

Una ecuacin puede tener ninguna, una o varias soluciones.

Ejemplo:

5 9 1x es una ecuacin con una incgnita con una solucin, 2x .2 2

5 0x y es una ecuacin con dos incgnitas sin solucin, pues la suma de

dos cuadrados es un nmero positivo, a partir del cual no se puede obtener 0

sumndole 5.

2 3 15x y es una ecuacin con dos incgnitas que tiene infinitas soluciones,

como: 0 y 5x y ; 3 y 3x y ; 30 y 15x y .

Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incgnita: polinmicas,

racionales, exponenciales, trigonomtricas

Las ecuaciones polinmicas son de la forma ( ) 0P x , donde ( )P x es un polinomio

en x , que al trasponer trminos y simplificar adoptan esa expresin.

Ejemplo:

3 23 5 3 2 0x x x , es una ecuacin polinmica.

El grado de la ecuacin polinomial es la mxima potencia de la variable queaparece en la ecuacin.

Entre las ecuaciones polinmicas tenemos.

1.2. ECUACIONES LINEALES

1.2.1. DEFINICION

Una ecuacin lineal en la variable x es una ecuacin que

puede escribirse en la forma:

ax b c

donde , ya b c son constantes y 0a .


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4

Tambin se le conoce como ecuacin de primer grado o ecuacin de grado

uno, ya que la potencia ms alta de la variable que aparece en la ecuacin es la

primera.

1.2.2. RESOLUCIN DE ECUACINES DE PRIMER GRADO

Para resolver una ecuacin de primer grado se recomienda que las incgnitas estn

en un mismo miembro y las cantidades numricas o conocidas en el otro y as se

podr despejar ms fcil.

Ejemplo:

Resolver

a. 5 6 3x x b. 2( 4) 7 2p p Resolucin: Resolucin:

c.6

4

89

2

37 xx

Resolucin:

d. 2 1 5

3 4 12

x x

Resolucin:


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ECUACION COSTO, INGRESO Y UTILIDAD

Todo negocio, consiste bsicamente en satisfacer necesidades y

deseos del cliente vendindole un producto o servicio por ms

dinero de lo que cuesta fabricarlo.

La ventaja que se obtiene con el precio, se utiliza para cubrir

los costos y para obtener una utilidad.

La mayora de los empresarios, principalmente de

pequeas empresas definen sus precios de venta a partir

de los precios de sus competidores, sin saber si ellos

alcanzan a cubrir los costos de sus empresas. La

consecuencia inmediata derivada de sta situacin es que

los negocios no prosperan. Conocer los costos de la

empresa es un elemento clave de la correcta gestin

empresarial, para que el esfuerzo y la energa que seinvierte en la empresa den los frutos esperados.

Tipos de costos

Es necesario clasificar los costos de acuerdo a categoras o grupos, de manera tal

que posean ciertas caractersticas comunes para poder realizar los clculos, el

anlisis y presentar la informacin que puede ser utilizada para la toma de

decisiones.

a. Costos Fijos ( FC )

Son aquellos costos cuyo importe permanece constante, independiente del nivel

de actividad de la empresa. Dichos costos deben ser solventados por la empresa.

Por ejemplo:

Alquileres, amortizaciones o depreciaciones, seguros, impuestos fijos, sueldo y

cargas sociales de encargados, etc.


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6

b. Costos Variables ( VC )

Son aquellos costos que varan en forma proporcional, de acuerdo al nivel de

produccin o actividad de la empresa.

Por ejemplo:

Mano de obra directa (a destajo, por produccin o por tanto), materias Primas

directas, envases, embalajes y etiquetas.

Los costos totales son iguales a los costos fijos mas los costos variables:

Costo total = costo variable + costo fijo

V FC C C

Ingresos o total de ventas (I)

Para encontrar el ingreso total se multiplica el nmero de unidades que se ha

previsto vender de cada artculo por su precio de venta unitario.

Ingreso total = (precio por unidad) (nmero de unidades vendidas)

Utilidad (U)

Es el ingreso total menos el costo total.

Utilidad = ingreso total costo total.U I C

Ejemplo:

1.La muebleraIKASA vende en su sede del centro de Lima muebles de oficina,

en donde se tienen los siguientes costos de un modelo nuevo que se est

ofreciendo en esta sede:

COSTOS FIJOS

Alquiler del local de ventas S/.1,900 Sueldos y jornales vendedora S/. 800 Energa elctrica S/. 400 Telfono S/. 100 Impuestos S/. 473 Honorarios Contador S/. 827

TOTAL S/4, 500

COSTOS VARIABLES

Costo por unidad de cada juego de muebles S/.1, 500(mat. Prima y mano de obra)


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7

Por otro lado, el juego de muebles se est vendiendo a S/. 2,000. En este primer

mes la gerencia se ha propuesto obtener una utilidad de S/. 20,000. Por lo tanto,

cuntos juegos de muebles debe vender para obtener la utilidad propuesta?

Solucin:

Cul es nuestra incgnita?........................................................................

As, sea x :...............................................................................................

Por lo tanto, la inversin total o Costo Total si se producen x juegos es igual a:

.........................................................................................C

Ingreso o Venta: Cada juego de muebles se vende a S/. 2,000 por lo cual si sevenden un total de x juegos de muebles, se obtendr un ingreso de:

.............................................................................................I

Teniendo en cuenta ello, por los x juegos de mueble que produce y vende se

obtendr una ganancia de:

......................................................................................G

Por otro lado, la gerencia se ha propuesto obtener un ganancia total de S/. 20.000.

Por lo tanto reemplazando:

00020..............................................................................G

As el nro. de juegos de muebles a producir y comprar es:.....................

2.Lucas incursiona en el ensamblado y venta de bicicletas. Para ello determina queel costo variable de cada bicicleta asciende a $180,00; mientras que el costo fijode fabricacin es de $4200,00.

a. Si qes la cantidad de bicicletas producidas, determine su costo total.

b. Si Lucas decidi vender cada bicicleta a $300,00 cul es su ingreso total?


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8

c. Si vende todo lo que produce Cuntas bicicletas vendi si obtuvo unaganancia de $2400,00?

d. Cul es el punto de equilibrio? Interprete

Solucin:

Cul es nuestra incgnita?........................................................................

a. El Costo Total si se producen q bicicletas es igual a:

Costo fijo (Cf) :..

Costo variable (Cf):..

Costo total (C):

.........................................................................................C

b. Cada bicicleta se vende a $ 300,00. ElIngreso por la venta de q bicicletases igual a:

Precio de venta unitario: ..

.............................................................................................I

c. Si obtuvo una ganancia de $2400,00 por la venta de q unidades de

bicicletas, entonces

Ganancia= Ingreso Costo total

G=.

Adems si G=2400

Entonces:


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9

2400............................................................................................

d. El punto de equilibrio, est determinado por la cantidad de unidadesproducidas y vendidas para la cual el ingreso y el costo son iguales, es decirpara tal volumen mnimo de produccin (VMP) la empresa no gana ni pierde,o lo que es lo mismo que la utilidad es cero; y el valor obtenido alreemplazar el VMP en la ecuacin del costo o ingreso.

Ganancia= 0

. = 0

..

..

Por lo tanto q=..

Reemplazamos el valor de q en la ecuacin de ingreso o costo total

Ingreso = . o Costo total:..

Ingreso=.. o Costo total:..

Ingreso=.. o Costo total:..

Punto equilibrio= ( , )

ACTIVIDAD 1.1

Instrucciones. A continuacin te presentamos algunos ejercicios deaplicacin en cada uno de ellos t mismo eres el protagonista.


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10

a) 0=10

x-

2

3x+2-

5

3x b) 3=

5+x

4x+3+

5+x

10

c)1-x

2+2x=

1+x

3+x-

1-x

2+x2

d)4

1-5x=

4

1-3x-

6

3-7x

e) 1-3

2-4x=

4

1-3x-

6

3-4x f)

12

7x-3+2x=x+

6

3+x-

4

1)+(x3

ACTIVIDAD 1.2

Problemas de aplicacin de ecuaciones lineales

1. Una ejecutiva de la compaa Electronic S.A. tiene un salario mensual ms un

bono por fiestas patrias del 12.5% de su salario mensual. Si gana un total de97 300 dlares al ao, cul es su salario mensual?

2. Una firma tiene un costo de $4000 para personal, planta y equipo y un costode $300 para cada unidad adicional producida. Cul es el costo total C defabricar (a) 25 unidades y (b) 40 unidades?

3. Halle el nivel de ganancia de una fbrica que tiene un costo fijo de S/. 750, uncosto de S/. 80 y un precio de venta de S/.95, cuando vende (a) 40 artculosy (b) 60 artculos.

4. Una firma que tiene unos costos fijos de S/. 15 000 y un costo de S/. 200 porunidad. Por otro lado, se ha propuesto una ganancia de S/. 50 por cadaunidad. Halle el ingreso de vender (a) l5 unidades y (b) 20 unidades Cuntosunidades debe vender si desea obtener un ingreso de S/. 80 000?

5. Una fbrica recibe $25 por cada unidad de su produccin vendida. Tiene uncosto de $ 15 por artculo y un costo fijo de $ l 200. Cul es el nivel deingresos, si vende (a) 200 artculos, (b) 300 artculos y (c) 100 artculos?.

6.7. Se compran 25 lpices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por

ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, ms $ 20 ycada lpiz cuesta el doble de cada goma, ms $ 8. Cunto cuesta cadamaterial?

8. La pyme INKAR PER S.A.C importa manzanas chilenas por cajas a uncosto unitario de $15. Si los costos fijos correspondientes a alquiler mensualen el mercado mayorista son de $300 y por otro lado gastos de transporte ypersonal suman $800 por mes.

Por otro lado, esta empresa vende cada caja de manzanas en el mercadomayorista a $20, determine el nmero de cajas que debe comprar y venderal mes de tal manera que obtenga utilidad igual a $15 000.

9. Una Multinacional est tratando de captar a los mejores agentes de ventaspara su empresa, para ello se entera que su competencia est pagando al ao

$12,600 ms una comisin del 2% sobre sus ventas anuales. Mientras questa paga solo un comisin del 8% sobre sus ventas anuales. Para qu nivel


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11

de ventas anuales la multinacional es superior en $5500 a su competencia? , Qu le permitir hallar ello?

10. El precio alcanzado por cierto tipo de obras de arte en una subasta, P enmiles de soles, est relacionado con el nmero de asistentes que estninteresados en su adquisicin, a travs de la siguiente igualdad:

P = 5x+ 50Si el precio es de 95 mil soles cual es el nmero de asistentes?

11. Esteban piensa abrir una lavandera, calcula que por alquiler del local pagaraS/. 500 y pago por energa elctrica ser S/. de 200 al mes. Segn localculado, el costo por prenda en detergente, agua y energa es de S/. 0.15.Si el servicio se ofrece a S/. 0.40, cuntas prendas debe lavar si desea unautilidad de $5,000 semanales?

12. Videos ACME sede en Lima, quiere saber cuntos videos puede reproducirhasta fin de ao, si solo cuenta con un capital de S/. 28 500. Adems, por

concepto de alquiler de local paga S/. 1000, al personal de ventas paga untotal de S/. 5 500 y energa elctrica S/. 500 todos ellos de forma mensual. Lareproduccin le cuesta a Videos ACME S/. 1.50.

13. El fabricante de cierto producto puede vender todo lo que fabrica al precio de$50 cada artculo. Le cuesta $35 producir cada artculo por los materiales y lamano de obra, y tiene un costo adicional de $15,000 al mes con el fin deoperar la planta. Cuntas unidades debe producir y vender para obtenerutilidades de $11,500? (Redonde a la unidad ms cercana).


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12

1.3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

En una frutera se venden un promedio de 55 kilogramos por da cuando el precioes de S/. 9 por kilogramo. Las ventas aumentan 4 kilogramos diarios por cadaS/. 0.50 que se disminuye en el precio.

Encontrando una ecuacin para el ingreso

Xnmero dedisminuciones

Soles

Ingreso

0 55(9)=4951 (55 + 4x1)(9 - 0.50x1) = 501.52 (55 + 4x2)(9 - 0.50x2) = 504 x (55 + 4x)(9 - 0.50x)=

4955.82 2

xx

As la ecuacin par el ingreso sera: 4955.82 2 xxingreso Cunto le ingresa

si el precio lleg un da a S/. 5.5? Cunto fue el precio, un da en que hubo uningreso de S/ 490?

1.3.1. DEFINICION

Qu es un ecuacin cuadrtica?

MOTIVACION


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13

Llamadas tambin ecuaciones CUADRTICAS, son aquellas ecuaciones que

presentan la siguiente forma general:

02 cxbxa . . . . . . . . . . . (1)

Rcbaya ,,0

donde a , b y c son llamados coeficientes.

El coeficiente a se llama coeficiente cuadrticoo de segundo grado.

El coeficiente b se llama coeficiente linealo de primer grado y

El coeficiente c se llama trmino lineal.

Si los coeficientes a, b y c son diferentes de cero, la ecuacin de segundo grado se

llama completa y si b c o ambos, son ceros, la ecuacin de segundo grado se

llama incompleta.

Toda ecuacin de segundo grado presenta dos races o soluciones, llammoslas, 1x y 1x .

Estas races se pueden obtener mediante dos mtodos:

1.3.2. METODOS DE SOLUCION:

2

2 3 8 0x x 23 5 10 0x x

Ecuacin de PrimerGrado Completa

TTiippoossddeeEEccuuaacciioonneessddeeSSeegguunnddooGGrraaddoo

2

2 3 0x x 2

3 10 0x

Ecuacin de PrimerGrado Incompleta

Es un tipo de ecuacin particular en la cual lavariable o incgnita est elevada al cuadrado,

es decir, es de segundo grado.


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14

1.3.2.1.METODO DE LA FORMULA GENERAL:

La frmula general para resolver una ecuacin cuadrtica de la forma

2 0ax bx c

donde a,b,cnmeros reales, con a 0 es:

a

acbbx

2

42

2,1

siendo: aacbbx

24

2

1

. . . . . . . . . . . (3)

a

acbbx

2

42

2 . . . . . . . . . . .(4)

La expresin b2 4ac, se llama discriminante y se le denota por , as

acb 42

Anlisis del discriminante = b24ac

Ejemplos:

a.2

3 5 0x x b.29 12 4 0x x

Solucin Solucin

Discriminante Interpretacin

0 La ecuacin cuadrtica tendr dos soluciones o racesrealesx1,x2, es decir el C.S. = {x1;x2}

0

La ecuacin cuadrtica tendr slo una solucin o raz

realx1, es decir el C.S. = {x1}

0 La ecuacin cuadrtica no tiene solucin o raz real, esdecir el C.S. = {}, o bien C.S. = .


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15

2

3

1

5

( 1) 4(3)(5) 59 0

. .

a

b

c

C S

2

1;2

9

12

4

( 12) 4(9)(4) 0

( 12) 0 12

2(9) 18

2. .

3

a

b

c

x

C S

1.3.2.2.METODO DE FACTORIZACION:

Consiste en factorizar el polinomio de segundo grado:2 0ax bx c siempre y

cuando se pueda.

Los pasos de este mtodo son los siguientes:

Se trasladan todos los trminos a un slo miembro dejando el otro miembro

igual a cero.

Se factoriza este miembro por el mtodo del aspa simple.

Para obtener las races de la ecuacin, se iguala cada factor a cero.

Discusin de las races de una ecuacin de segundo grado.

Por diferencia de cuadrados: 2Si 0,a x a x a x a

a.2

5 45 0,x b.

23 4 0,x

Solucin Solucin

2

2

2

5 45,

45,

5

9,

9 9

3 3

. . 3,3

x

x

x

x x

x x

C S

2

2

4 3,

3,

4

3 3

4 4

3 3. . ,

2 2

x

x

x x

C S

Por factor comn:


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16

Ejemplos:

a.2

5 45 0,x x b.23 4 0,x x

Solucin: Solucin:

5 ( 9) 0

0 9 0

0 9

. . 0,9

x x

x x

x x

C S

(3 4 ) 0

0 3 4 0

30

4

3. . 0,

4

x x

x x

x x

C S

Poraspa simple

Ejemplos:

a.25 13 6 0x x b. 26 17 12 0x x

Solucin: Solucin:

25 13 6 0

5 2 2

1 3 15

13

(5 2)(1 3) 0

5 2 0 3 0

23

5

2. . 3,

5

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

C S

26 17 12 0

3 4 82 3 9

17

(3 4)(2 3) 0

3 4 0 2 3 0

4 3

3 2

4 3. . ,

3 2

x x

x xx x

x

x x

x x

x x

C S

1.3.3. PROPIEDADES DE LAS RACES DE UNA ECUACIN DE

SEGUNDO GRADO.

Sea la ecuacin de segundo grado:2 0ax bx c , a0 y sus races 1x y 2x

tendremos las siguientes propiedades:
http://www.youtube.com/watch?v=VfQaOeZALwc&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=VfQaOeZALwc&feature=related


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17

a) Suma de races:

a

bxx 21

. . . . . . . . . . . . . . . .(7)

b) Producto de races:

a

cxx 21.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .(8)

c) Diferencia de races:

a

acbxx

42

21

. . . . . . . . . . . .(9)

d) Suma de cuadrados de las races:

2

22

2

2

1

2

a

acbxx. . . . . . . . . . . .(10)

e) Identidad de Legendre aplicada a las races:

21

2

21

2

21 .4)()( xxxxxx . . . . .(11)

Problemas de Aplicacin

Se recuerda los pasos a seguir para la modelacin.

Ejemplos

3.La empresa Nail S.A. que se dedica a la produccinde zapatos, tiene un costo fijo mensual de S/. 300y un costo variable por unidad producida de S/. 10.Adems, se sabe que su ingreso est dado por:

1. Comprensin del problema: es preciso leer bien el problema y elegir lavariable

2. Planteamiento: establecer relaciones entre la variable y los datos

3. Resolucin: es la parte operativa del problema. Es bueno verificar losresultados obtenidos.

4. Anlisis de respuesta y respuesta completa: se debe reflexionar sobre

el sentido de los nmeros obtenidos y escribir una la respuesta completa.No olvidar de indicar las unidades.


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18

xx,xI 10010 2

donde x es el nmero de artculos que produce y vende la empresa

mensualmente. (Recordemos que xCxIxU )

a. Determinar la utilidad mensual de la empresa en funcin de x .

b. Hallar la utilidad que obtendr la empresa si produce y vende 200 artculos.

2.Produccin. Una pequea empresa que produce cerealespara el desayuno ha determinado que sus costos e ingresos(en cientos de soles), estn dados por las expresiones

2 18 26C q q e 260 2I q q respectivamente, donde qes la cantidad producida y vendida en miles de unidades. Sise sabe que la produccin no puede sobrepasar las 10 000unidades.

a. Determine la ecuacin de la utilidad

b. Cunto ser la utilidad de la empresa por la produccin y venta de 5 000unidades?


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19

cc.. Qu cantidad se debe vender para que la utilidad sea igual a S/. 9 400?

dd..Cul es el punto de equilibrio? Interprete

ACTIVIDAD 1.3

I. Resolver:

1. (x + 2)(x 1) = 0

2. (2x + 1)(4 3x) = 0

3. 10x2x 3 = 0

4. 5x27x + 2 = 0

5. 2)1)(31()43(2 xxxx


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20

II. problemas de aplicacin: Instrucciones.A continuacin te presentamos algunos ejercicios de aplicacin encada uno de ellos t mismo eres el protagonista.

1. Alguien regala US$ 525 para repartirlos entre los nios de Comas delcuarto ao del nivel primario de un centro educativo. Como 25 niosestaban ausentes, cada uno de los nios presentes obtuvo US$ 0,50 ms.De cuntos nios se compona el cuarto ao del nivel primario?

2. Dmaris compr cierto nmero de objetos en $ 300. Podra habercomprado 10 objetos ms, si cada uno hubiese costado $ 5 menos.Cuntos objetos compr Dmaris?

3. El taller artesanal La pastorcita S.A. est especializado en la produccin

de cierto tipo de muebles finos. Los costos de fabricacin,C

en soles,estn relacionados con el nmero de muebles fabricados, x , a travs de la

siguiente expresin 250000200010 2 xxxC si el precio de venta de

cada juguete es de 8,000 soles.a) Plantear la ecuacin de ingresos que obtiene el taller con la

venta de los juguetes producidos.b) Plantear la ecuacin de utilidades, entendidos como diferencia

entre ingresos y costos de fabricacin.c) Cuntos juguetes debe fabricar para tener 650,000 de

utilidades?

4. La empresa El Porvenir. S.A. ha estimado que los ingresos y los gastosanuales (en soles) que genera la fabricacin y venta de x unidades de undeterminado producto, vienen dados por las funciones:

7000001200044

36000282

2

xxxC

xxxI

Determina, justificando las respuestas:a) la ecuacin que define las utilidades anuales.b) el nmero de unidades que hay que vender para que la utilidad sea

300,000.c) Cuntas unidades podr fabricar si slo tiene un capital de 1 500 000

5. T eres el asesor financiero en jefe de una empresa propietaria de uncomplejo de oficinas que cuenta con 50 suites. Se puede rentar cada unade ellas en $400 semanales. Sin embargo por cada $20 de aumento pormes habr dos de ellas desocupadas, sin posibilidad de rentarlas.cuntas habitaciones debe rentar para que sus ingresos asciendan a $ 24500?

6. La entidad financiera Crecer lanza al mercado un plan de inversin cuyarentabilidad, R(x) en miles de soles., viene dada en funcin de la cantidadque se invierta, x en miles de soles., por medio de la siguiente expresin:R(x) = 0.001x2+ 0.5x + 2.5.

Deducir razonadamente qu cantidad de dinero le conviene invertir aun cliente en dicho plan si la rentabilidad es de 65 mil soles.


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21

7. Gerardo, un granjero, obtiene un beneficio de x soles. por cada (x + 5)huevos que pone su gallina. Si su beneficio fue de 84 soles, determina elnmero de huevos que puso su gallina.

Cualquier cosa que valga la pena tener merece que se trabaje por ella.(Andrew Carnegie)

S2 Material Teorico Ecuaciones

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