S9-Planos en El Espacio_2015_I

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GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ALGEBRA Distancia de un punto a una recta La ecuación del plano en R 3

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TEORÍA PARA COMPRENDER EL TEMA DE PLANOS EN EL ESPACIO

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  • GEOMETRA ANALTICA Y ALGEBRA

    Distancia de un punto a una recta

    La ecuacin del plano en R3

  • Se desea construir el techo a cuatro aguas mostrado en la figura, sabiendo que la distancia de G a H es 8 m, la altura del techo es 6 m y de las paredes es de 4 m. Determinar las ecuaciones de los planos que contienen las caras de dicho techo y de la estructura que lo sostiene BGHCF.

    A

    B C

    E

    F

    G H

    16 m

    D

    ?

    CASO 01:

  • Vectores en 3.

    Ecuacin de la recta en el espacio.

    Qu necesitas recordar?

  • LOGRO DE LA SESIN

    Al finalizar la sesin, el estudiante resuelve ejercicios y

    problemas vinculados a la ingeniera sobre distancia de un

    punto a una recta y la ecuacin del plano , usando la

    definicin y sus propiedades en forma correcta.

  • 5

    Distancia de un punto a una de recta

    Sea la direccin de la recta que pasa por el punto P(x; y; z). La distancia de un punto Q a una recta en el espacio esta dada por

    u

    u

    uPQ

    D

  • Ejemplo1

    Halla la distancia del punto Q=(3;-1;4) a la recta dada por

    tztytx 412;32 y

  • Ecuacin del Plano

    y

    x

    z

    P(x; y; z)

    n

    P0(x0; y0; z0) 00P P

    n

    0;;;;000

    zzyyxxcba

    0000

    zzcyybxxa

    El conjunto de puntos P(x;y;z) tal que el producto escalar del vector n y el vector P0P es cero determina la ecuacin del plano.

    a; b; c

  • General:

    Normal:

    Paramtricas:

    Donde m,n son parmetros

    00

    nPP

    0 dczbyax

    Las ecuaciones de un plano son:

    Planos en el espacio

    nm

    nm

    nm

    330

    220

    110

    bazz

    bayy

    baxx

  • Ejemplo 2

    Determine una ecuacin del plano que pasa por el punto P0(2; 4; -1) con un vector normal n = 2; 3; 4 .

  • Halle la ecuacin del plano determinado por los tres puntos A(2; 1; 1), B(2; 0; 3) y C(1; 4; 0)

    Ejemplo 3

  • Dos planos S1 y S2 con vectores normales n1 y n2 . a) S1 y S2 son perpendiculares si n1.n2 =0 b) S1 y S2 son paralelos si n1 y n2 son paralelos.

    Planos perpendiculares y paralelos

  • Halle la ecuacin del plano que pasa por el punto (4; 5; 2) y es paralelo al plano 3x-2y+7z-10=0

    Ejemplo 4

  • Halle la ecuacin del plano que por los puntos A(1; -1; 2) y B(3; 1; 1) y es perpendicular al plano x-2y+3z-5=0.

    Autoevaluacin

    Determine una ecuacin del plano que pasa por el punto P(2; 4; -1) y sea perpendicular a cada uno de los planos.

    0 y 2 4 5 0x y z x y z