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GRUPO DE GRUPO DE INVESTIGACION EN INVESTIGACION EN CONTROL CONTROL INDUSTRIALINDUSTRIAL

LINEA DE INVESTIGACION EN

CONTROL DE PROCESOS

Profesores: Edinson Franco Mejía y Jesús A. González

http://eiee.univalle.edu.co/~gici


Por que identificar?


http://eiee.univalle.edu.co/~gici

Un modelo representa tres tipos de

conocimiento

Estructura (Ecuaciones, diagramas de

bloque o de flujo, conexión de matrices,

etc.)

Valores de parámetros

Valores de los estados en cierto instante o

como funciones de tiempo.


Esquema general de la identificación

PROCESO

Algoritmo de Identificación

Modelo Matemático

Entradas Salidas


Elementos de la Identificación

Experimento

Clases de modelos

Criterios


Representaciones No Paramétricas

ej. : respuesta al impulso, respuesta de

frecuencia, respuesta al escalón. Paramétricas

ej. : función de transferencia, ecuación

diferencial o ecuación de diferencias.


Metodología de la Identificación

Planificación experimental Selección de la estructura de modelos Formulación de un criterio Estimación de parámetros Validación del modelo obtenido


Metodología de la Identificación


Preparación del experimento

Protocolo de la toma de datos :

la entrada debe reunir las siguientes características:

•Tener un valor DC conocido para ubicar el proceso en unadecuado punto de funcionamiento.

•Ser limitada en amplitud, para no sacar el proceso de su punto de funcionamiento.

•Ser rica en contenido frecuencial.


Secuencia binaria pseudoaleatoria (SBPA).

S1 Si Sj SN

Suma módulo 2

La longitud máxima de una secuencia es 2N-1



n Bits a operar Longitud

2 1 y 2 3

3 2 y 3 7

4 3 y 4 15

5 3 y 5 31

6 5 y 6 63

7 6 y 7 4 y 7 127

8 2,3,4 y 8 255

Tabla No. 1



La magnitud de la SBPA es un aspecto importantísimo, valores muy grandes pueden perturbar demasiado al proceso, sacándolo de su punto de funcionamiento, mientras valores muy pequeños producen efectos sobre la salida que pueden ser ocultados por el ruido, según las pruebas efectuadas esta magnitud puede ser entre el 10% y 20%, dependiendo de la relación señal / ruido presente en cada proceso.


(SBPA)

La magnitud de la SBPA es un aspecto importantísimo, valores muy grandes pueden perturbar demasiado al proceso, sacándolo de su punto de funcionamiento, mientras valores muy pequeños producen efectos sobre la salida que pueden ser ocultados por el ruido, según las pruebas efectuadas esta magnitud puede ser entre el 10% y 20%, dependiendo de la relación señal / ruido presente en cada proceso.

Amplitud de la secuencia


(SBPA)

Para fines prácticos se selecciona como frecuencia de reloj para la SBPA. un múltiplo de la frecuencia de muestreo

Frecuencia de la secuencia

ffe

ppSBPA ; , , ,.......1 2 3

Se recomienda escoger .

p 4


(SBPA)

Se recomienda que sea tal que se pueda:

• Realizar una identificación básica con la primera tercera

parte de los datos.

• Con el segundo tercio, realizar la identificación.

•Con la última parte realizar una validación de la

identificación.

Longitud de la toma de datos


Preprocesamiento básicode los datos

• Se debe remover las tendencias de la señal.

• Si la toma de datos fue realizada a un alta rata de

muestreo, hay que considerar la posibilidad de hacer un

filtrado de los datos, considerese que puede haber efectos

de solapamiento de datos. Lo mas complicado es detectar

si existen señales de ruido indeseables que deban ser

filtradas en el preprocesamiento.


IDENTIFICACION OFF-LINE

ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DE

UN MODELO EN TIEMPO DISCRETO A

PARTIR DE DATOS DE ENTRADA-

SALIDA LIBRES DE RUIDO



H za a z a z

b z b z

m

mm

m

0 1

11

1

1

..

...

H(z)Uk Yk

z est T Periodo de muestreo

x k a u b xi

i

m

k i i k ii

n

0 1

. .

x x iTi i u u iTi



U U U U X X X

U U U U X X X

U U U U X X X

a

a

a

a

b

b

b

k

k k k k m

k p k p k p k p m

o

m

n

k k k m k k k n

k k k n

k p k p k p n

1 2 1 2

1 1

2 3 1

1 1 1

1 2 3 1

1

2

1

2

... ...

...

x

x

x

k

k

k p

1

1



A

U U U U X X X

U U U U X X X

U U U U X X X

K

k

k k k k m

k p k p k p k p m

k k k m k k k n

k k k n

k p k p k p n

1 2 1 2

1 1

2 3 1

1 1 1

1 2 3 1

... ...

...

p : Número de datos o muestras tomadas

A xk k1

Para realizar la estimación se debe coleccionar p=m+n+1

datos y se debe cumplir que det[A’k] diferente de cero


Representación de Sistemas Dinámicos en el dominio del tiempo

Esquema General para sistemas LTI

kTeqHkTuqGkTy ,, 11

Caso general

keqD

qCku

qF

qBqyqA


Representación de Sistemas LTI

Donde

na

i

ii

nn qaqaqaqaqA a

a

1

22

11 1....1

inb

ii

nn qbqbqbqbqB b

b

1

22

11 ....

inc

ii

nn qcqcqcqcqC c

c

1

22

11 1....1

ind

ii

nn qdqdqdqdqD d

d

1

22

11 1....1

inf

ii

nn qfqfqfqfqF f

f

1

22

11 1....1


Representación...-casos particulares- EstructurasModelo FIR (Respuesta al impulso Finita)

1),(),()()( 11 qHqFqDqCqADonde:

y G(q)=B(q)

kekuqBky


Representación...-casos particulares- Estructuras

Modelo OE (Output Error)

kekuqF

qBky

)(

Donde:

y G(q)=B(q)/F(q)

1),()()( 1 qHqDqCqA



Modelo BJ (Box Jenkins)

Donde:

y

1)( qA

keqD

qCku

qF

qBky

)()( qHqG (no tienen parámetros comunes)



Modelo ARMAX(Auto Regressive Moving Average)

Donde: 1)()( qFqD

keqA

qCku

qA

qBky


Representación...-casos particulares- Estructuras Modelo ARX(AutoRegressive with eXternal input)

Donde: 1)()()( qFqDqC

ke

qAku

qA

qBky

1


IDENTIFICACION POR MINIMOS CUADRADOS

Mínimos Cuadrados Lineales

y dada la estructura del modelo, pero con parámetros desconocidos, se debe encontrar el que minimiza :

El problema: Dado un conjunto de N pares de medidas de entrada salida,

Nkuky )}(),({

^

N

N

kN ke

NJ

1

2 ,1



ND

N Jminu

arg^

Vector de parámetros estimados

kky T,^

Modelo de regresión lineal para FIR y ARX

2

1

1

N

k

TN kky

NJ Para modelos de regresión lineal

02

1

N

k

TN kkykN

J

La solución óptima

kkykkky TT

22 El termino interno de la

sumatoria



N

k

TN

kN kyk

Nkk

N1

1

1

^ 11

La solución optima podrá ser calculada siempre y cuando el factor sea invertibleLa solución optima podrá ser calculada siempre y cuando el factor sea invertible

02

1

N

k

TN kkykN

J

N

k

TN

k

kykN

kkN

11

11

N

kN

TN

k

kykN

kkN

1

^

1

11


Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados Lineales

La solución optima podrá ser calculada siempre y cuando el factor sea invertibleLa solución optima podrá ser calculada siempre y cuando el factor sea invertible

Supongase un sistema real dado por: kvkky T00

N

k

TTN

kN kvkk

Nkk

N1

00

1

1

^ 11

N

k

N

k

TTN

kN kvk

Nkk

Nkk

N1 1

00

1

1

^ 111

N

k

TN

kN kvk

Nkk

N1

0

1

10

^ 11



La ecuación solo es válida cuando se conoce de modo exacto

la estructura del modelo

La ecuación solo es válida cuando se conoce de modo exacto

la estructura del modelo

Donde:

N

k

dN kvk

NR

10

10

^ 1

Matriz de covarianza del vector de regresión kk

NR T

N

k

d

1

1

d es la cantidad de parámetros a estimarR es una matriz de covarianza cuadrada dxd



Para estimación exacta debe cumplirse que:

1- sea una matriz invertible, esto se logra usando excitación u(k) con persistencia de orden n.

dR

2- 01

10

N

k

kvkN

Para N )}()({1

10 kvkEkvk

N o

N

k

Donde E{.}=0 si se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes:




i) Si vo(k) es una secuencia de variables aleatorias inde-pendientes con media cero, su valor no dependerá de lo que pase antes del instante t = k. Y por tanto ya que solo contiene información de u(l) y y(l) hasta el instante .

0)}()({ kvkE o

.1kl




ii) solo contenga valores de u(k), y(k) y vo(k) que sean estadísticamente independientes

)(k


Mínimos Cuadrados Pseudo-Lineales

Para el caso de las estructuras ARMAX, OE y BJ los modelosde regresión no son lineales en :

El cálculo de no puede hacerse derivando e igualando a cero a porque el vector de regresión también es función de :

N̂

,,^

kky T

)(NJ),( k

2

1

,1

N

k

TN kky

NJ

La estimación se realiza mediante algoritmos de optimizaciónbasados en métodos numéricos


Algritmo de los Mínimos Cuadrados

y =(y1, ...., yN)T : conjunto de N medidas : valores calculados a partir de mediante el modelo adoptado para el sistema.

N

iii yyyyJ

1

22 ˆˆ

TNyyy ˆ,...,ˆˆ 1

Problema: Determinar un vector de “d” parámetros (constantes en el tiempo) utilizando una serie de N medidas yT = (y1, ...., yN) sobre la salida del sistema linealestático:siendo M una matriz de N filas y “d” columnas.

My


Algritmo de los Mínimos Cuadrados

Solución de problemas:

Caso 2: N “d”

En este caso no existe inversa

Caso 1: N = “d”

Suponiendo que M es de rango completo, det [M] 0, el problema podría resolverse de forma inmediata:

yM 1


N<npN<np

Existen más incógnitas que ecuaciones. hay infinitas soluciones, la solución es una variedad lineal. Sin embargo, seleccionando la estimación:

M* : "matriz inversa generalizada”.

La solución obtenida es la de la mínima norma, que verifica la relación:

siendo 1 cualquier otra solución.

10

yM *0


Si las N filas de M son linealmente independientes (matriz M de rango máximo), la estimación será:

En donde M*D se denomina inversa generalizada por la derecha, ya que verifica:

MM*D = I

yMMMyM TTD 1*0


N > npN > np

En este caso se tienen más ecuaciones que incógnitas. En general, no existe solución. Se demuestra que si M es de rango máximo, el método de los mínimos cuadra dos puede utilizarse para encontrar la solución.

Se trata de obtener la estimación que minimiza el índice:2

yMJ


02

MyMJ T

2yMJ

0 yMM T

yMyMMM ITT *1

M*I se denomina inversa generalizada por la izquierda

M*IM = I


Caso hipotético:

Considérese el sistema monovariable en tiempo discreto:

y(k) + a1 y(k-1) + ... + an y(k-n) = b1 u(k-1) + ... + bn u(k-n)

y el vector de medidas:

m(k) = [ - y(k-1), ... , - y (k-n), u(k-1), ... , u(k-n)]


El error de predicción de salida puede escribirse como:

e(k) = y(k) - m(k)

donde m(k) es la predicción de la salida en el instante k

Coleccionando datos desde k = n hasta N E(N) = Y(N) - M(N)

NYNMNMNMN TT 1ˆ


ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS

Sea la ecuación después de N observacionesY(N) = M(N)

My N̂

Ny

y

NY

Nm

m

NM 1

;

1

NYNMNMNMN TT 1ˆ

1ˆ11 NNMNY

1

1;1

1Ny

NYNY

Nm

NMNM



La estimación resultante es:

11111ˆ 1

NYNMNMNMN TT

11

*111ˆ 1

NyNmNYNM

NmNmNMNMNTT

TT

Definiendo la matriz

1

1

111

NMNMNP

NMNMNP

T

T



De donde:

NNmNyNKNN ˆ)1()1()(ˆ1ˆ

con

)1()1()(1 11

1

NmNmNPNP

NMNMNPT

T

luego

)()]1()([)1(

)1()()1()1()(11

NPNmNKINP

NmNPNmINmNPNK TT



ComienzoSeleccione los valores de P y ; haga N=0Mientras no se cumpla condición de fin de hacerComienzo leer nuevas medidas en N+1; formar m con nuevas medidas; calcular ganancia mediante K P*mT*(I+m*P*mT)-1;

actualizar estimación mediante +K*(y-m* ); actualizar matriz P mediante P P-K*m*P; hacer N N+1 finfin


Herramientas para

Identificacion

El SITB de Matlab


Funciones para Simulacion y prediccion

IDINPUT: Genera los datos de entrada para propósitos de simulación.

IDSIM: Simula un sistema lineal general PREDICT: Calcula las predicciones de la

salida del modelo

Edinson Franco Mejía, M.Sc.


Funciones para Manipulación de datos

DTREND: Sirve para remover tendencias IDFILT: Para realizar filtros a los datos del

proceso.



Funciones para Estimación Paramétrica

AR: Estima un modelo AR ARX: Estima un modelo ARX ARMAX: Estima un modelo ARMAX BJ: Estima un modelo BOX JENKINS IV4: Estima un modelo ARX usando el método

de la variable instrumental de cuatro etapas.



Funciones para Estimación Paramétrica

CANSTART: Estima modelos multivariables en forma canónica de espacio de estado; generalmente usado junto con N4SID.

N4SID: Estima modelos de espacio de estado usando un método de subespacio

PEM: Estima un modelo lineal general.



Funciones para Conversion entre modelos

IDMODRED: Reduce un modelo a un orden inferior THC2THD: Transforma un modelo de tiempo

continuo en tiempo discreto THD2THC: Transforma un modelo de tiempo

discreto en tiempo continuo TH2ARX: Transforma los datos del modelo

que están en formato theta a parámetros arx

TH2SS: Transforma los datos del modelo en formato theta a matrices de espacio

de estado..



Funciones para Presentación de modelos

PRESENT: Muestra modelo paramétrico en pantalla.

IDPLOT: Muestra los datos de entrada y salida en pantalla

BODEPLOT: Gráfica el diagrama de Bode del modelo ZPPLOT: Presenta en pantalla el diagrama de

polos y ceros del modelo



Funciones para Validación

COMPARE: Compara la salida simulada o predicha con la salida del modelo

PE: Calcula los errores de predicción



Ejercicio FIN!!!


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