1

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

CENTRO DE CIÊNCIAS APLICADAS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Samilly Alexandre de Souza

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO: percepções,

demonstração e algumas aplicações

Rio Tinto – PB

2012

2

Samilly Alexandre de Souza

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO: percepções,

demonstração e algumas aplicações

Trabalho Monográfico apresentado a

Coordenação do Curso de Licenciatura em

Matemática como requisito para obtenção do

titulo de Licenciado em Educação Matemática.

Orientador: Profº. Dr. Carlos Alberto Almeida

Rio Tinto – PB

2012

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Samilly Alexandre de Souza

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO: percepções,

demonstração e algumas aplicações

Trabalho Monográfico apresentado a Coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática

como requisito para obtenção do titulo de Licenciado em Matemática.

Orientador: Profº Dr. Carlos Alberto Almeida

Aprovado em: __/__/__

COMISSÃO EXAMINADORA

__________________________________________________

Profº Dr. Carlos Alberto Almeida – UFPB - DCE

__________________________________________________

Prof.Ms. Agnes Liliane L. S. de Santana - UFPB -DCE

__________________________________________________

Prof. Ms. José Elias dos Santos Filho – UFPB - DCE

4

Dedico este trabalho a minha mãe Ana Lúcia

Alexandre da Silva, que sempre acreditou e

confiou em mim e na realização de minha

formação.

5

AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeço a Deus por me permitir saúde, coragem e perseverança na luta

dos meus sonhos!

Agradeço também aos meus pais Ana Lúcia Alexandre da Silva e Eguinaldo Santos

Souza por me incentivarem sempre e nunca ter me deixado faltar nada, principalmente amor,

coragem e investimento tanto financeiro como afetivo.

Meu muito obrigada a meu orientador Carlos Alberto pela orientação na elaboração

desse trabalho, pela sua paciência com minhas limitações, ajuda e conselhos, em fim, pela

amizade que foi construída.

A todos os meus professores do CAMPUS IV-UFPB que sem duvidas contribuíram

para minha formação, em especial a Givaldo de Lima, Fabrício Lima e Elias Filho, que

sempre me incentivaram e me aconselharam além da sala de aula, Agnes Santana por me

proporcionar a participação em um projeto como aluna bolsista e Cristiane Fernandes por

também ter me proporcionado a participação em dois projetos como aluna voluntária, projetos

esses que contribuíram muito para minha formação profissional.

Não poderia deixar de agradecer aos meus amigos de turma Ana Paula Florencio,

Anaelson Donizete, Ariana Costa, Jaênia Moura, Luciano Júnior, e Roberto Mariano, pelo

companheirismo nos estudos, pelos momentos de descontração através das viagens para

eventos científicos, pelas conversas, festas e partilhas durante todo o curso que foram

essenciais para meu crescimento.

Aos funcionários e técnicos administrativos, em especial a Ricardo Serrano, por toda

ajuda e incentivo. A Ana Karla, João Henrique, Joás e Ana Cristina pelo apoio.

Agradeço a minha família, em especial, a minha irmã Samara Alexandre de Souza e

aos meus tios (as), primos (as) que acreditaram no meu potencial.

Aos amigos verdadeiros que fiz ao longo desses anos, em especial a Bruno Dantas,

Cleidson Cândido, Cinthia Danielle, Erenita Hélida, Janaína Araújo, Jânio Medeiros, Mayara

Ferraz que me acolheram, compartilharam comigo minhas alegrias, tristezas e experiências.

Aos alunos do nosso curso que participaram como sujeitos desta pesquisa.

Enfim, a todos que contribuíram direta ou indiretamente para a realização deste

trabalho.

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“A verdadeira coragem é ir atrás de seus sonhos

mesmo quando todos dizem que ele é

impossível”.

(Cora Coralina)

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RESUMO

A presente pesquisa tem como finalidades a demonstração do Teorema Fundamental do

Cálculo de uma forma mais clara e objetiva e a apresentação de duas aplicações desse

teorema. A justificativa pela escolha do tema se dá pelo fato de ele estabelecer uma ligação

entre derivada e integral, um dos conteúdos fundamentais de um curso de Cálculo Diferencial

e Integral que nos proporciona abstrair percepções e estudar algumas de suas aplicações.

Iniciamos o trabalho por meio de uma pesquisa bibliográfica tanto para apresentar uma

demonstração adaptada do TFC bem como duas de suas aplicações, sendo respectivamente, a

solução de um Problema de Valor Inicial através do cálculo de primitivas e uma aplicação a

Física. Alem da pesquisa, percebemos que seria importante investigar o nível de entendimento

que, especificamente, os alunos do 3º e 7º período do semestre letivo 2011.2, de nosso curso

de Licenciatura em Matemática, Campus IV- UFPB apresentam ao estudar esse teorema. Para

alcançar um dos objetivos específicos, elaboramos e aplicamos um questionário composto

com quatro questões discursivas e em seguida realizamos uma breve analise e discussão do

mesmo. Os resultados obtidos são comentados em nossas considerações finais, onde

entendemos que a base de conhecimento dos alunos é muito importante para que eles

consigam aprender novos conteúdos, porem para amenizar essa deficiência, os docentes

podem se apropriar de vários recursos que auxiliam a aprendizagem dos alunos, entre eles,

destacamos a contextualização de alguns assuntos que inclusive é um dos nossos objetivos

gerais, pois acreditamos que quando determinados conteúdos, principalmente os de uma

disciplina de Cálculo, são trabalhados com aplicações a outras ciências, os alunos conseguem

perceber sua importância em outras áreas do conhecimento.

Palavras-chaves: Teorema Fundamental do Cálculo. Demonstração. Aplicações.

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ABSTRACT

This research has as objectives the demonstration of the Fundamental Theorem of Calculus in

a more clear and objective and the presentation of two application of this theorem. The

justification for the choice of the theme is given by the fact that he establish the link between

derivative and integral, one of the fundamental contents of a course in Differential and

Integral Calculus, which provides us with abstract perceptions and study some of its

applications. We started working through a literature search to present both a demonstration

of TFC as adapted for two of its applications, being respectively the solution of a problem the

Initial Value through the calculation of primitives and an application of Fhysics. Besides

research, we realized that it would be important to investigate the level of understanding,

specifically, students of 3rd and 7th period 2011.2 semester, our course in Mathematics,

Campus IV, UFPB have to study this theorem. For this, we developed and applied a

questionnaire composed of four essay questions and then conducted a brief review and

discussion of it. The results obtained are discussed in our concluding remarks, where we

understand that the knowledge base of students is very important so that they can learn new

content, however to alleviate this deficiency, teachers can appropriate more resources that

assist student learning among them, we highlight some of the issues that contextualization is

also one of our general goals, because we believe that when certain content, especially the

discipline of calculus are worked with applications to other sciences, students can realize their

importance in other areas of knowledge.

Keywords: Fundamental Theorem of Calculus. Demonstration. Applications.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Aluno do 3º período respondendo o questionário ................................ 20

Figura 2 – Gráfico da família de primitivas da função: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 ...................... 27

Figura 3 – Região sobre a curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 ,𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.......................................... 28

Figura 4 – Partição do intervalo 𝑎, 𝑏 em 3 retângulos ........................................ 29

Figura 5 – Refinamento do intervalo [a , b] ........................................................... 30

Figura 6 – Gráfico da área de uma função contínua .............................................. 31

Figura 7 – Teorema do Valor Médio ..................................................................... 49

Figura 8 – Gráfico de uma função 𝑓 contínua no ponto A .................................... 51

10

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Desempenho do questionário aplicado aos alunos do 3º período de Lic em

Matemática ............................................................................................................................

21

Tabela 2 – Desempenho do questionário aplicado aos alunos do 7º período de Lic em

Matemática ............................................................................................................................

21

11

LISTA DE ABREVIATURAS

CDI Cálculo Diferencial e Integral

EDO Equações Diferenciais Ordinárias

Lic Licenciatura

PVI Problema de Valor Inicial

TFC Teorema Fundamental do Cálculo

UFPB Universidade Federal da Paraíba

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 14

1.1 Apresentação do Tema .................................................................... 14

1.2 Problemática e Justificativa ............................................................ 15

1.3 Objetivos da Pesquisa ..................................................................... 16

1.3.1 Geral ....................................................................................... 16

1.3.2 Específicos ............................................................................. 16

1.4 Caracterização da Pesquisa ............................................................. 16

1.5 Estrutura e Organização da Pesquisa .............................................. 17

2 CONSIDERAÇÕES METODOLÓGICAS....................................... 19

2.1 O Questionário ................................................................................ 19

2.1.1 Os alunos................................................................................. 20

2.1.2 Os resultados obtidos em cada questão................................... 21

2.1.3 Discussão e analise do questionário ....................................... 24

2.2 Conceitos básicos para a demonstração do TFC ............................. 25

2.2.1 Primitiva de uma Função........................................................ 25

2.2.2 Integral Indefinida .................................................................. 26

2.2.3Integral Definida ..................................................................... 28

3 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO ............................. 32

3.1 Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1: .................................... 32

3.2 Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2: .................................... 34

13

4 APLICAÇÕES DO TEOREMA FUNDAMENTAL DO

CÁLCULO ...........................................................................................

36

4.1 Solução do Problema de Valor Inicial ............................................ 36

4.2 Trabalho .......................................................................................... 39

4.2.1 Trabalho realizado por uma Força Constante ......................... 39

4.2.2 Trabalho realizado por uma Força Variável ........................... 41

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................. 43

REFERÊNCIAS .................................................................................. 46

APÊNDICE A ...................................................................................... 48

APÊNDICE B ...................................................................................... 51

APÊNDICE C ...................................................................................... 52

ANEXO ................................................................................................ 54

14

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 Apresentação do Tema

Vem dos tempos mais remotos a necessidade de se determinar a solução para

problemas que envolviam movimentos e variações. Como por exemplo, o problema de

calcular a inclinação da reta tangente a um gráfico de uma função e o problema de calcular a

área de uma região sob o gráfico de uma função. Para resolver esses e outros tipos de

problemas, diversos estudiosos desenvolveram e aperfeiçoaram o estudo do Cálculo desde o

século XVII, desenvolvendo regras e procedimentos que com o passar dos séculos foram

sendo sistematizados até culminarem no que conhecemos hoje como Cálculo Diferencial e

Integral (CDI). Esses dois conceitos que acabamos de citar, respectivamente a derivada e a

integral, são considerados os conceitos fundamentais para um curso de Cálculo.

Em um primeiro momento, parece não haver relação alguma entre conceitos de

derivada e integral. De acordo com (STEWART, 2011), quem primeiro descobriu que estes

dois problemas estão na verdade relacionados foi Isaac Barrow (1630-1677), o professor de

Newton em Cambridge, mas os primeiros que realmente entenderam e exploraram foram

Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), que de forma

independente foram considerados os fundadores do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).

Eles viram que o Teorema Fundamental do Cálculo os proporcionava calcular áreas e

integrais de uma maneira mais fácil, diferente da que era feita antigamente, onde elas eram

calculadas como limites de somas, constituindo-se um dos instrumentos mais eficazes para a

resolução de problemas matemáticos e fenômenos físicos.

Estudantes de Matemática ou de outros cursos superiores da área de ciências exatas

geralmente deparam-se com situações que envolvem o cálculo de áreas. Entretanto, sabemos

que não é tão fácil resolvê-los, principalmente quando ocorrem situações em que

necessitamos encontrar a área de uma região curva não usual. Esses e outros tipos de

problemas fazem parte da rotina de um curso de Cálculo e devem ser trabalhados e explorados

pelos professores com riqueza de detalhes principalmente quando tratados em um curso

superior em Matemática ou Licenciatura em Matemática.

15

1.2 Problemática e Justificativa

O (CDI) é uma das disciplinas oferecidas na maioria dos cursos de ciências exatas e

geralmente é estudada no inicio da graduação como um pré-requisito para outras disciplinas.

Segundo (BALDINO, 1995, p. 1 apud Ronaldo Pereira Campos, 2007?), as disciplinas de

Cálculo: “São as disciplinas internacionalmente reconhecidas como as de maior dificuldade

para os alunos, onde os índices de reprovação são os mais altos.” Concordamos com o autor,

pois vivenciamos a reprovação de vários colegas ao longo do curso e os índices mais altos de

reprovação foram justamente no inicio quando estavam estudando as disciplinas de cálculo.

Com isso pudemos observar alguns motivos que levaram nossos colegas a apresentarem um

desempenho insatisfatório em relação ao estudo de (CDI). Entre eles destacamos a não

preocupação que os alunos apresentam em relação a construção dessa disciplina e a questão

de sua aplicabilidade a outras ciências, ou seja, a maioria dos alunos não conseguem perceber

como os conceitos do Cálculo foram criados ao longo dos anos e como eles podem ser

aplicados as mais diversas ciências.

Por ser um tema introdutório para a Matemática e um dos principais teoremas usados

no estudo do Cálculo, o Teorema Fundamental do Cálculo, que envolve derivação e

integração uma como sendo o inverso da outra, possui aplicações em diferentes áreas do

conhecimento, desde a própria matemática até as ciências físicas, engenharias, ciências

sociais e biológicas.

Partimos do pré-suposto que o (TFC) não recebe a devida atenção por alguns

estudantes, devido a análise que foi feita a partir do questionário aplicado aos alunos

ingressantes e da fase final do curso de Licenciatura em Matemática da UFPB, Campus IV.

Então pretendemos pesquisar como esse teorema pode contribuir para que os professores

trabalhem de forma contextualizada através de aplicações dele a própria Matemática e

também a outra ciência que está inteiramente relacionada a ela, a Física, pois acreditamos que

quando os alunos estudam determinados conteúdos matemáticos e conseguem observar sua

aplicação direta eles sentem-se estimulados e acabam desenvolvendo a curiosidade em

aprendê-los.

16

1.3 Objetivos da Pesquisa

1.3.1Geral

Demonstrar o Teorema Fundamental do Cálculo e pesquisar algumas aplicações para

ele.

1.3.2 Específicos

Discutir sobre os resultados obtidos a partir de um questionário aplicado aos alunos

ingressantes e da fase final do Curso de Licenciatura em Matemática da UFPB, Campus IV,

na cidade de Rio Tinto;

Apresentar alguns conceitos básicos do CDI como definições, observações,

proposições e alguns exemplos necessários para a demonstração do Teorema Fundamental do

Cálculo;

Mostrar duas aplicações do TFC, uma para cada versão.

1.4 Caracterização da Pesquisa

Para a realização desse trabalho, desenvolvemos nossos estudos através de uma

pesquisa exploratório-bibliográfica, pois percebemos que apesar de estarmos inseridos em

uma sociedade que acompanha o desenvolvimento das Tecnologias de Informação, o livro

didático ainda é muito utilizado na pesquisa sobre abordagens de determinados assuntos,

servindo como referencial tanto para os professores como para os alunos. Ainda sobre a

questão do livro didático, (BARUFI, 1999, p. 5, apud Ronaldo Pereira Campos, 2007?),

afirma que a escolha do livro pelo professor pode direcionar de alguma forma, a maneira

como o aluno irá aprender uma determinada noção. Portanto, além dos professores, os alunos

17

também acabam utilizando as bibliografias que lhes são recomendadas para que possam ter

uma maior facilidade no estudo de determinados conteúdos. Então entendemos que quanto

menos formal for a apresentação de determinados conceitos matemáticos mais simples será

seu entendimento.

Segundo (MEDEIROS, 2010), pesquisa bibliográfica significa o levantamento da

bibliografia referente ao assunto que se deseja estudar. O autor ainda apresenta as quatro

etapas de uma pesquisa bibliográfica: identificação, localização, compilação e fichamento.

Para o estudo e apresentação da demonstração do TFC realizamos uma pesquisa

bibliográfica com o intuito de identificar como esse teorema é abordado nos livros didáticos.

Logo apos a localização dos livros, fizemos uma compilação deles, que é a reunião do

material necessário. Com isso pudemos verificar quais desses livros apresentavam a

demonstração do TFC em duas versões de forma mais clara e como resultado encontramos em

(FLEMMING; GONÇALVES, 2006) uma demonstração mais plausível. A partir daí

estudamos e desenvolvemos essa demonstração de forma mais “destrinchada”.

Nosso trabalho também foi embasado em um questionário que produzimos com o

objetivo de tentar identificar as concepções que, especificamente os alunos do 3º e 7º período

do semestre letivo 2011.2, tem em relação a alguns conceitos que antecedem o estudo desse

teorema, como as relações entre o conceito de integral definida, sua demonstração, o conceito

de área e algumas aplicações do Teorema Fundamental do Cálculo.

Para alcançar um dos objetivos gerais desse trabalho, traremos duas aplicações do

TFC, uma para cada versão. Para a aplicação da primeira versão desse teorema, usamos como

guia (FIGUEIREDO, 1997), pois nele o autor traz a solução de um Problema de Valor Inicial

através do cálculo de primitivas que é trabalhado na primeira versão do TFC. Para a segunda

versão, traremos uma aplicação do TFC ao trabalho realizado tanto por uma força constante

como por uma força variável, exemplificando ambos os casos e para isso nos baseamos na

forma como (FLEMMING; GONÇALVES, 2006) e (STEWART, 2011) apresentam esse

assunto.

1.5 Estrutura e organização da Pesquisa

18

O presente trabalho encontra-se estruturado em cinco capítulos. Apresentaremos no

primeiro um breve comentário sobre a origem do Cálculo e um de seus teoremas mais

importantes, o Teorema Fundamental do Cálculo e, baseando-nos em algumas dificuldades

encontradas em suas diversas aplicações foi que justificamos a escolha do tema de pesquisa e

apresentamos os objetivos que queremos alcançar assim como a metodologia ao longo de

nossa pesquisa.

No segundo capítulo apresentaremos as considerações metodológicas que são a analise

e discussão de um questionário aplicado aos alunos do curso de Licenciatura em Matemática

da UFPB, Campus IV acerca das concepções que eles apresentam em relação ao (TFC) e

alguns conceitos básicos do (CDI) como definições, observações, proposições e alguns

exemplos que são necessários para a demonstração do Teorema Fundamental do Cálculo.

No terceiro capítulo traremos a demonstração do Teorema Fundamental do Cálculo

em suas duas versões.

No quarto capítulo mostraremos duas aplicações do (TFC), ambas relacionadas

respectivamente a primeira e a segunda versão do teorema.

Por fim, no quinto e último capítulo, faremos as considerações finas sobre a respectiva

pesquisa, bem como trazemos as referências, os apêndices e o anexo.

19

CAPÍTULO 2

CONSIDERAÇÕES METODOLÓGICAS

Introduziremos neste capítulo as metodologias utilizadas para alcançar os objetivos

tanto gerais como específicos. No primeiro momento apresentaremos um comentário sobre o

questionário aplicado, identificando os alunos envolvidos e os resultados obtidos em cada

questão. Em seguida, veremos alguns conceitos como o de primitiva de uma função,

integração indefinida e a integral definida, que é o conceito básico do cálculo integral, bem

como ela foi criada pelo método da soma de Riemman para resolver problemas de cálculo de

áreas de regiões curvas. Logo depois veremos as proposições necessárias para a demonstração

do (TFC). O objetivo principal desse capítulo é discutir sobre os resultados do questionário

aplicado e apresentar alguns conceitos básicos como pré-requisitos necessários para o

entendimento da demonstração do Teorema Fundamental do Cálculo em suas duas versões.

2.1 O questionário

O questionário, o qual está no anexo, foi aplicado a um grupo de alunos do curso de

Licenciatura em Matemática da Universidade Federal da Paraíba- Campus IV- Litoral Norte.

Contem 4 questões cada uma como um pré-requisito para a próxima. O objetivo principal

deste questionário é inicialmente colher informações a respeito do nível de entendimento de

um dos principais teoremas da matemática, o Teorema Fundamental do Cálculo e investigar

sobre a identificação da relação oposta entre a derivação e a integração, a manipulação de

conceitos utilizados na demonstração do (TFC) como continuidade, derivabilidade e

integrabilidade, a aplicação desse teorema na resolução de um problema relacionado ao

cálculo de áreas e por fim, a identificação de algumas situações onde o (TFC) possa ser

aplicado. Em seguida, discutir sobre as concepções dos alunos que estão tanto em fase inicial

de aprendizagem de cálculo como os que hipoteticamente apresentam um amadurecimento

maior em relação ao Teorema Fundamental do Cálculo.

Para isso, pedimos aos professores dessas respectivas disciplinas, Cálculo Diferencial

e Integral III e Introdução a Álgebra Abstrata, um tempo de 20 minutos de suas aulas para que

20

os alunos pudessem resolver as questões. Durante a aplicação do questionário, pedimos aos

alunos que mesmo que não soubessem responder as questões justificassem-nas para uma

melhor tabulação dos dados, não sendo necessário se identificar. No total participaram do

questionário 18 alunos.

2.1.1 Os alunos

Para a realização da aplicação do questionário escolhemos os alunos que estão

cursando o 3º e 7º períodos do semestre letivo 2011.2, respectivamente as disciplinas de

Cálculo Diferencial e Integral III e Introdução à Álgebra Abstrata. A justificativa para essa

escolha é que os alunos do 3º período já estudaram as disciplinas de (CDI) I e II, onde eles

são apresentados pela primeira vez à teoria de integral e consequentemente ao Teorema

Fundamental do Cálculo. Já os alunos do 7º período, supomos que já haviam estudado a

disciplina de Introdução à Análise Real, que é vista em um período anterior, onde os alunos

também estudam o Teorema Fundamental do Cálculo, agora com um grau de maturidade

matemática maior que no 3º período.

Aplicamos o questionário em dois encontros e contamos com a colaboração de todos

os alunos e com a presença dos professores das disciplinas citadas.

Figura 1- Aluno do 3º período respondendo o questionário.

Fonte: Elaboração do autor

21

2.1.2 Os resultados obtidos em cada questão

Os resultados obtidos serão apresentados nas tabelas a seguir:

Tabela 1- Desempenho do questionário aplicado aos alunos do 3º Período de Lic. em

Matemática

Respostas dos alunos

do 3º Período

Não sei Resposta

correta

Resposta

parcialmente

correta

Resposta

incorreta

Total de

alunos

1ª questão 7 0 5 1 13

2ª questão 13 0 0 0 13

3ª questão 8 0 0 5 13

4ª questão 13 0 0 0 13

Fonte: Arquivo pessoal

Tabela 2- Desempenho do questionário aplicado aos alunos do 7º Período de Lic. em

Matemática

Alunos universitários

do 7º Período

Não sei Resposta

correta

Resposta

parcialmente

correta

Resposta

incorreta

Total de

alunos

1ª questão 2 0 3 0 5

2ª questão 4 0 1 0 5

3ª questão

4ª questão

3

2

0

1

0

2

2

0

5

5

Fonte: Arquivo pessoal

Obs.: Na categoria não sei, estão incluídas também as respostas: Não lembro, não e esqueci.

A partir de agora apresentaremos cada questão com seu respectivo objetivo e também

a citação de apenas algumas respostas dadas. Os alunos participantes foram indicados pelas

letras do alfabeto de A a R. Vejamos os resultados.

22

Questão 1: Explique de maneira bem objetiva o que você entende por derivação e

integração.

Na primeira questão, pretendíamos verificar qual a noção que os alunos tem a respeito

da derivada e integral e também se percebem que esses conceitos básicos do (CDI) são

operações inversas uma da outra.

Olhando para a tabela 1 podemos verificar que 7 alunos responderam: “não sei”.

Dentre esses, o aluno A citou: “É complicado falar em palavras, até porque o professor não

foi um dos mais pacientes. Sinceramente, não sei”. Os outros 5 alunos deram respostas

consideradas parcialmente corretas. Aluno B: “derivação você tira, integração você coloca”.

Aluno C: “Derivação serve para o estudo da função. Integração é utilizada para calcular

áreas”. Aluno D: “Derivada é o inverso da integral”. O aluno O apresentou uma resposta

incorreta: “Entendo que derivadas são aliadas na Geometria Analítica que através delas

podemos calcular. É também a taxa de derivação de uma função. É também o coeficiente

angular da reta secante e tangente. Já integral não lembro”.

De acordo com a tabela 2, verificamos que 2 alunos responderam “não sei”, um deles,

o aluno M, respondeu: “EXQUECI”. Os outros 3 alunos apresentaram respostas consideradas

parcialmente corretas. Aluno I: “Integrar é o inverso de derivar. Usado para calcular área”.

Aluno J: “Integral está relacionada ao cálculo de área”. Aluno L: “Integração=cálculo de

áreas”.

Questão 2: Você sabe o enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo? Se sim,

enuncie-o.

Na questão 2, quando perguntamos se os alunos sabem o enunciado do (TFC),

pretendíamos que eles citassem pelo menos uma das versões deste teorema, não

necessariamente que as respostas estivessem matematicamente corretas, visto que não se trata

de uma questão fácil, mas que pelo menos eles citassem algumas condições para que esse

teorema seja enunciado, como por exemplo que a função tem que ser contínua. Outra

expectativa nossa era de que eles utilizassem algum procedimento geométrico como, por

exemplo, um desenho que representasse o enunciado do (TFC).

Na tabela 1 vemos que todos os 13 alunos responderam “não sei”. Destes, os alunos

A, B e G, responderam “não”, o aluno C respondeu: “não vi o conteúdo”, o aluno D: “não

lembro” e o aluno N: “Não, nunca ouvi falar é a primeira vez. E se ouvi eu não lembro”.

23

Na tabela 2, 4 alunos responderam “não sei”, sendo que destes, os alunos J e M

responderam: “não lembro”, o aluno M: “não” e o aluno I: “ No momento não estou

lembrado”. Apenas o aluno K apresentou uma resposta considerada incorreta: “ 𝑓 𝑥 =𝑏

𝑎

𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥”.

Questão 3: Encontre a área limitada pela parábola 𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟒 e o eixo dos 𝒙.

Com essa questão tentamos verificar se os alunos conseguem relacionar a integral

definida com a área da região plana, utilizando o (TFC) para resolver a questão proposta.

Como visto na tabela 1, 8 alunos apresentaram respostas que se enquadram na

categoria não sei. Os alunos D, P, Q, O e R tentaram resolver, apresentando as seguintes

respostas incorretas:

Resposta do aluno D: 𝐴 =2.4

2= 4, 4.2 ≅ 8.

Resposta do aluno P: 𝑦 = −𝑥2 − 4 = −2𝑥 = −2

Resposta do aluno Q: −𝑥2 + 4 = 𝑥−3

3+ 4𝑥 =

Resposta do aluno O: −2𝑥

Resposta do aluno R: 𝑦 = −2𝑥

De acordo com a tabela 2, 4 alunos responderam “não sei”. Dentre esses, o aluno I

respondeu o seguinte: “Não sei. Não lembro agora, mas se desse uma olhadinha poderia

lembrar”. Já o aluno L, “Só da pra fazer se ver o material”. Os outros 2 alunos deram

respostas consideradas incorretas. O aluno J não apresentou os cálculos, apenas responde “1”.

Já o aluno K realizou os cálculos de maneira incorreta:

= −𝑥2 + 4𝑑𝑥

2

−2

= −𝑥3 + 4𝑥|−22

= [− −2)3 + 4.2 − [− 2)3 + 4 ⟹ −8 + 8 − 8 + 4 = −4”,

apresentando erros aritméticos na resolução da integral.

Questão 4: Cite um exemplo de uma situação onde o Teorema Fundamental do

Cálculo possa ser aplicado.

24

Nessa questão o objetivo era verificar se os alunos identificam alguma aplicação do

(TFC) à outros conteúdos estudados ao longo do curso de matemática bem como em alguma

outra ciência.

Por fim, na tabela 1 temos que todos os 13 alunos apresentaram a resposta: “não sei”.

Destacamos os alunos C e H que responderam respectivamente: “não vi o conteúdo” e “não

sei, pois não vi o professor resolver situações deste tipo”.

Já na tabela 2, podemos constatar que 2 alunos apresentaram respostas que se

enquadram no tipo “não sei”. Destacamos o aluno M que respondeu: “Infelizmente esqueci,

pois só lembrava mesmo p/ a prova”. Tivemos 2 alunos que citaram “para calcular áreas”,

são eles, os alunos I e J cujas respostas se enquadram na categoria resposta parcialmente

correta, pois não especificaram a questão da área. Apenas o aluno K apresentou uma resposta

considerada correta, que foi: “Na situação acima, no cálculo de área entre os gráficos de

uma função”.

2.1.3 Discussão e analise do questionário

Para analisar as dificuldades de aprendizagem em matemática é necessário um estudo

mais aprofundado tanto por parte dos alunos como dos professores. Então iremos nos deter a

um breve comentário a respeito de algumas dificuldades que constatamos momentaneamente

após a aplicação do questionário.

De acordo com os dados apresentados nas duas tabelas podemos constatar que a

maioria dos alunos adquire uma ideia insatisfatória a respeito da definição tanto de derivada

como de integral o que leva a um não entendimento do significado de integração indefinida

que é o processo de obter uma função a partir de sua derivada e consequentemente de integral

definida.

Outro ponto bastante forte e que merece devida atenção é em relação ao enunciado do

TFC, pois nenhum dos 18 alunos participantes souberam pelo menos rabiscar algo sobre o

enunciado desse teorema, apenas 1 deles ainda tentou enunciá-lo de forma algébrica, mas

apresentou uma resposta incorreta. Portanto esses estudantes ainda apresentam dificuldades na

25

aprendizagem dos conceitos referentes ao (TFC), o que se torna um processo mecânico sendo

levado em algumas situações a uma aplicação de forma errônea.

A questão 3 foi a que consideramos a mais fácil, onde os alunos não teriam muitas

dificuldades para respondê-la, já que no próprio questionário informamos que todas as

questões se referiam ao (TFC). Mas de acordo com as respostas dadas, percebemos que os

alunos ainda não conseguem relacionar a noção de área de regiões curvas com a integral

definida.

Quanto a ultima questão foi colocada propositalmente em nosso questionário com o

intuito de verificar se os alunos enxergam que o (TFC) esta inteiramente ligado a diversos

conteúdos matemáticos e também de outras ciências, mas concluímos que esses alunos ainda

não perceberam as diversas aplicações que esse teorema oferece.

Após a analise das respostas, percebemos que a base de conhecimento dos alunos é

muito importante para que eles consigam aprender novos conteúdos. Quando preparamos o

questionário e aplicamos as duas turmas distintas, é evidente que não esperávamos que os

alunos usassem a definição formal para responder as questões. Mas em contrapartida,

esperávamos que pelo menos a maioria apresentasse uma resposta parecida com a considerada

correta, principalmente os alunos que estavam em um nível mais avançado, que era os do 7º

período, por possuírem um grau de maturidade matemática maior que os do 3º período. Mas o

que aconteceu foi o contrario. Foi uma minoria que respondeu de maneira parcialmente

correta.

2.2 Conceitos básicos para a demonstração do TFC

2.2.1 Primitiva de uma Função

Definição1: Uma função 𝐹 𝑥 é chamada uma primitiva da função 𝑓 𝑥 em um

intervalo 𝐼 (ou simplesmente uma primitiva de 𝑓 𝑥 ), se, para todo 𝑥 ∈ 𝐼, temos 𝐹′ (𝑥)= 𝑓(𝑥).

26

Exemplos:

𝒊 𝐹 𝑥 =𝑥3

3é uma primitiva da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2, pois 𝐹′ (𝑥)=

1

3. 3𝑥2 = 𝑥2 = 𝑓 𝑥 .

𝒊𝒊 As funções 𝐺 𝑥 = 𝑥3

3+ 4, 𝐻 𝑥 =

1

3 (𝑥3 +3) também são primitivas da função

𝑓 𝑥 = 𝑥2,𝐺 ′ 𝑥 = 𝐻′(𝑥) = 𝑓 𝑥 .

Na função 𝐺 𝑥 = 𝑥3

3+ 4, do exemplo 𝒊𝒊 , no lugar de 4 podemos tomar uma

constante qualquer 𝑐, que ainda assim obtemos uma primitiva da função 𝑓(𝑥).

Observações:

Uma primitiva da função 𝑓 no intervalo 𝐼 é uma função 𝐹 tal que 𝑑𝐹

𝑑𝑥 𝑥 = 𝑓(𝑥) para

todo 𝑥 de 𝐼.

De acordo com os exemplos 𝒊 e 𝒊𝒊 , uma mesma função admite mais de uma

primitiva. Isso implica que se 𝐹 é uma primitiva de 𝑓 em um intervalo, 𝐹 adicionada

de uma função constante também é uma primitiva de 𝑓 nesse intervalo.

Quando falamos em primitivas de uma função 𝑓 devemos sempre especificar qual é o

intervalo. Quando nos referirmos a duas primitivas da mesma função 𝑓 e quando não

explicitarmos o intervalo, entendemos que essas funções são primitivas de 𝑓 no

mesmo intervalo 𝐼.

2.2.2 Integral Indefinida

Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é encontrar

a própria função. Por exemplo, conhecendo a velocidade de um corpo em movimento, pode-

se querer calcular a sua posição em um momento qualquer.

O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação

ou integração indefinida.

Definição 2: Se 𝐹 𝑥 é uma primitiva de 𝑓 𝑥 , a expressão 𝐹 𝑥 + 𝑐 é chamada

integral indefinida da função𝑓 𝑥 e é denotada por:

27

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐 (1)

A equação 1 deve ser lida como “ a integral indefinida de 𝑓 em relação a 𝑥 é igual a 𝐹 𝑥 +

𝑐”.

Observações:

O símbolo ʃ é chamado sinal de integração;

𝑓 é chamada de integrando ou função integranda;

𝑥 é a variável de integração;

A constante 𝑐 é a constante de integração ou constante arbitraria.

Com a definição de integral indefinida podemos concluir que:

(i) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐 ⇔ 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥).

(ii) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da função

integrando).

Na figura abaixo, temos um exemplo de um gráfico onde existe uma família de

primitivas da função integrando 𝑓 𝑥 = 𝑥3. Nela, podemos observar que o valor da constante

assumiu os valores 𝐶 = −3,−2,−1,0,1,2,3.

Figura 2- Gráfico da família de primitivas da função: 𝑓 𝑥 = 𝑥3

Fonte: FLEMMING; GONÇALVES. 2006, pág. 242

28

2.2.3 Integral Definida

Em nosso trabalho vamos nos deter a uma descrição do que vem a ser as somas de

Riemann em um contexto mais simples que é o cálculo de áreas de regiões delimitadas sob

uma curva, sem fazer uso de uma definição mais formal que seria dada através de partições de

subintervalos. As somas de Riemann, em homenagem a George Friedrich Bernhard Riemann

(1826-1866) (STEWART, 2011), são construídas de um modo particular:

Primeiramente, podemos representar uma curva algebricamente no plano, por uma

função contínua (ver apêndice B) no intervalo 𝑎, 𝑏 . Suponhamos que essa função 𝑓(𝑥),

representada na figura 3, seja não negativa nesse intervalo, isto é, 𝑓(𝑥) ≥ 0.

Figura 3- Região sobre a curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 ,𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

Fonte: BOULOS. 1999, pág. 225

Em seguida, dividimos o intervalo 𝑎, 𝑏 em n subintervalos (ver figura 4) e depois

construímos vários retângulos com uma base no eixo 𝑥 tocando a curva em (∆𝑥𝑛 ,𝑓 𝑐𝑛 ).

29

Figura 4- Partição do intervalo 𝑎, 𝑏 em 3 retângulos

Fonte: BOULOS. 1999, pág. 225

Em cada subintervalo formamos o produto 𝑓 𝑐𝑛 .∆𝑥𝑛 que pode ser positivo, negativo

ou nulo, depende de 𝑓 𝑐𝑛 .

Por fim, formamos a soma desses produtos:

𝑓 𝑐1 .∆𝑥1 + 𝑓 𝑐2 .∆𝑥2 + ⋯+ 𝑓 𝑐𝑛 .∆𝑥𝑛 (2)

A soma acima é chamada soma de Riemann para 𝒇 no intervalo 𝒂,𝒃 e é

representada na forma de uma somatória:

𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖+1

Como podemos perceber, cada parcela da soma (2) corresponde a área de um

retângulo. À medida que aumentamos a quantidade de retângulos nos aproximamos com uma

precisão maior do cálculo da região que fica entre o gráfico da função e o eixo 𝑥.

30

Figura 5- Refinamento do intervalo [a ,b]

Fonte: BOULOS. 1999, pág. 226

Se aumentarmos, no caso da figura 4, o numero de subintervalos e fizermos os

comprimentos dos intervalos tenderem a zero, como ilustra a figura 5, a soma fica mais

próxima do que intuitivamente entendemos como área da região, que representaremos por:

𝔸 = lim𝑚𝑎𝑥 ∆𝑥𝑖→0

𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

Definição 3: Seja 𝑓 uma função definida no intervalo [𝑎, 𝑏] e seja 𝑃 uma partição

qualquer de [𝑎, 𝑏]. A integral definida de 𝑓 de 𝑎 até 𝑏, denotada por:

𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥,

É dada por:

𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = lim𝑚𝑎𝑥 ∆𝑥𝑖→0

𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

,

31

Desde que o limite do segundo membro exista.

Portanto, o conceito de integral definida pode ser entendido como sendo a área

determinada entre o gráfico de uma função contínua 𝑓(𝑥), definida em um intervalo fechado

e limitado do domínio, com o eixo das abscissas, o eixo 𝑥. Como mostra a figura abaixo.

Figura 6- Gráfico da área de uma função contínua

Fonte: FLEMMING; GONÇALVES. 2006, pág. 272

Definição 4: Se 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 e 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑐] e em [𝑐, 𝑏], então 𝑓 é integrável

em [𝑎, 𝑏] e 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.

𝑏

𝑐

𝑐

𝑎

Definição 5: Se 𝑓 é uma função contínua em [𝑎, 𝑏], existe um ponto 𝑐 entre 𝑎 e 𝑏 tal

que:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎 = (𝑏 - 𝑎)𝑓(𝑐).

Definição 6: Se 𝐹 𝑥 e 𝐺(𝑥) são funções primitivas de 𝑓 𝑥 no intervalo 𝐼, então

existe uma constante 𝑐 ∈ ℝ tal que 𝐺 𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐, para todo 𝑥 ∈ 𝐼.

32

CAPÍTULO 3

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

Este capítulo apresenta um dos mais importantes teoremas do Cálculo Diferencial e

Integral: O Teorema Fundamental do Cálculo. Um nome bastante apropriado, pois ele

estabelece uma relação entre os dois ramos do cálculo: o cálculo diferencial e o cálculo

integral.

O objetivo do capítulo 3 é apresentar esta ligação entre derivada e integral, a qual

veremos se tratar da primeira parte do TFC e mostrar como consequência a relação entre

integral definida e primitiva, tratada na segunda parte do TFC.

3.1 Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1:

Se 𝑓 for uma função contínua num intervalo fechado [𝑎, 𝑏], então a função 𝑔: 𝑎, 𝑏 →

ℝ definida por:

𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑡)

𝑥

𝑎

𝑑𝑡

é contínua em 𝑎, 𝑏 e derivável em (𝑎, 𝑏) e 𝑔′ 𝑥 = 𝑓(𝑥), ou seja, 𝑑

𝑑𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥).

Demonstração:

Vamos determinar a derivada 𝑔′ 𝑥 usando a definição, então:

𝑔′ 𝑥 = lim∆𝑥→0

𝑔 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑔(𝑥)

∆𝑥 (3)

Temos:

𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑡)

𝑥

𝑎

𝑑𝑡

33

Da igualdade na equação (3), usamos a definição 4, que assegura:

𝑔 𝑥 + ∆𝑥 = 𝑓(𝑡)

∆𝑥

𝑎

𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡)

𝑥

𝑎

𝑑𝑡 + 𝑓(𝑡)

∆𝑥

𝑥

𝑑𝑡

Temos também que:

𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑡)

𝑥

𝑎

𝑑𝑡

Logo,

𝑔 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑡

𝑥

𝑎

𝑑𝑡 + 𝑓 𝑡

∆𝑥

𝑥

𝑑𝑡 − 𝑓 𝑡

𝑥

𝑎

𝑑𝑡

= 𝑓 𝑡

∆𝑥

𝑥

𝑑𝑡

Como 𝑓 é contínua em [𝑥,∆𝑥], existe, segundo a definição 5, um ponto 𝑥 entre 𝑥 e ∆𝑥

tal que:

𝑓 𝑡

∆𝑥

𝑥

𝑑𝑡 = 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥 .𝑓(𝑥 )

Portanto:

lim∆𝑥→0

𝑔 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑔(𝑥)

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥 .𝑓(𝑥 )

∆𝑥= lim

∆𝑥→0𝑓(𝑥 ).

Como 𝑥 é um ponto que está entre 𝑥,∆𝑥, segue que 𝑥 → 𝑥 quando ∆𝑥 → 0. Como 𝑓 é

contínua, temos:

lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥 ) = lim𝑥 →𝑥

𝑓(𝑥 ) = 𝑓 𝑥 .

Logo,

lim∆𝑥→0

𝑔 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑔(𝑥)

∆𝑥= 𝑓(𝑥)

34

Ou seja,

𝑔′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 .

∎

Essa ideia é muito importante, por isso que é a primeira parte do Teorema

Fundamental do Cálculo.

3.2 Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2:

Se 𝑓 for uma função contínua num intervalo fechado [𝑎, 𝑏] e se 𝐹 é uma primitiva de 𝑓

nesse intervalo, então:

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

𝑏

𝑎

Demonstração:

Como𝑓 é contínua em 𝑎, 𝑏 , pela parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, temos

que:

𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑡)

𝑥

𝑎

𝑑𝑡 (4)

é uma primitiva de 𝑓 em 𝑎, 𝑏 .

Sendo 𝐹 𝑥 uma primitiva qualquer de 𝑓 sobre esse intervalo. Pela definição 6, temos

que:

𝐹 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑐 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

Fazendo 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 na equação (4), obtemos respectivamente,

𝑔 𝑎 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 0𝑎

𝑎

35

e

𝑔 𝑏 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑏

𝑎

Calculando a diferença 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 , obtemos:

𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 𝑔 𝑏 + 𝑐 − 𝑔 𝑎 + 𝑐

= 𝑔 𝑏 − 𝑔 𝑎

= 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑏

𝑎

Portanto,

𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑏

𝑎

= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 .

∎

Antes desse teorema e de qualquer recurso computacional, as aproximações para o

cálculo de áreas sobre curvas, volumes e comprimentos de curva eram feitas por meio de

somas muito difíceis. Portanto esse teorema foi uma das grandes criações da humanidade, por

isso que é considerado o principal teorema do estudo do cálculo. Vejamos a seguir algumas

observações feitas a partir da demonstração.

Observações:

A diferença 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 é denotada por: 𝐹(𝑡)|𝑎𝑏 .

Também escrevemos

𝑓 𝑡 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑡)|𝑎𝑏

𝑏

𝑎

= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 .

36

CAPÍTULO 4

APLICAÇÕES DO TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

Neste capítulo veremos duas aplicações do TFC, ambas relacionadas respectivamente

a primeira e a segunda versão do teorema.

Para a primeira seção 4.1 utilizaremos uma adaptação de (FIGUEIREDO, 1997). É

importante ressaltar que traremos algumas passagens do autor, mas procuramos apresentar as

demonstrações de forma mais detalhada. Já na segunda aplicação, na seção 4.2.1 nos

remetemos ao que é apresentado por (STEWART, 2011) para trabalho realizado por uma

força constante e procuramos nos basear também no que (FLEMMING; GONÇALVES,

2006) apresenta para trabalho de uma força variável.

4.1 Solução do Problema de Valor Inicial

A base dos problemas básicos da teoria clássica das Equações Diferenciais Ordinárias

está no Cálculo Diferencial e Integral. Esse estudo começou com os próprios criadores do

Cálculo, no final do século XVII, Newton e Leibniz. Havia uma preocupação, surgida de

maneira natural onde dominava os estudos das EDOs daquela época, que era obter de maneira

explícita as soluções de uma equação diferencial. Veremos que um método bastante usado foi

a obtenção da solução de um Problema de Valor Inicial através do cálculo de primitivas

(FIGUEIREDO, 1997).

Recordando a 1ª parte do TFC temos que: Se 𝑓 for uma função contínua num intervalo

fechado [𝑎, 𝑏], então a função 𝑔: 𝑎, 𝑏 → ℝ definida por:

𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑡)

𝑥

𝑎

𝑑𝑡 (5)

é contínua em 𝑎, 𝑏 e derivável em (𝑎, 𝑏) e 𝑔′ 𝑥 = 𝑓(𝑥), ou seja,

37

𝑑

𝑑𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)

Veja que a função 𝑔 definida por (5) é uma solução da equação diferencial

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 (6)

As soluções dessa equação diferencial são chamadas as primitivas de 𝑓. Segundo

(BOULOS, 1999), Se 𝐹(𝑥) é uma primitiva de 𝑓(𝑥), a expressão 𝐹 𝑥 + 𝑐 é chamada

integral indefinida da função 𝑓(𝑥) e é denotada por

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐

No estudo da equação (6) aparecem dois problemas básicos:

(i) Obter a solução do problema de valor inicial;

(ii) Obter uma expressão que englobe todas suas soluções, ou seja, obter a solução

geral da equação (6).

Como veremos abaixo, o problema (i) é solúvel, ou seja, pode-se determinar a solução

geral de (6). Mas será que esse mesmo problema apresenta apenas uma única solução?

Veja que 𝑔 𝑥 definida em (5) apresenta a propriedade que 𝑔 𝑎 = 0. Logo 𝑔 é uma

solução do problema de valor inicial

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥

𝑦 𝑎 = 0

(7)

Será que 𝑔 é a única solução do problema de valor inicial acima? Provaremos por

absurdo que sim.

De fato, Suponha que seja outra solução, então 𝑔 − 𝑕 teria derivada 0, o que implica

dizer que 𝑔 − 𝑕 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Mas em 𝑥 = 𝑎,𝑔 − 𝑕 = 0, logo temos que 𝑔 = 𝑕. Absurdo, pois se

𝑔 ≠ 𝑕. Se existir uma solução ela tem que ser única.

38

Portanto o problema de valor inicial tem uma e somente uma solução. Esse fato

constitui um dos mais básicos teoremas de existência e unicidade da matemática.

Obs.: Estamos supondo 𝑓(𝑥) contínua em [𝑎, 𝑏] e que por solução de (7) entendemos

uma função contínua em [𝑎, 𝑏] e derivável em (𝑎, 𝑏).

Para recordar: Vimos que a função 𝑔(𝑥) é uma solução da equação diferencial (6).

Vemos ainda que qualquer função da forma 𝑔 𝑥 + 𝑐, onde 𝑐 é uma constante

arbitrária, é também solução de (6).

Será que a expressão

𝑦 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑐 (8)

Onde 𝑐 é uma constante arbitrária, engloba todas as soluções de (6), isto é, (8) é a

solução geral de (6)? Vejamos:

Seja 𝑕(𝑥) uma outra solução de (6), então, 𝑧 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑕 𝑎 − 𝑕(𝑥), é uma

solução do problema de valor inicial

𝑑𝑧

𝑑𝑥= 0

𝑧 𝑎 = 0

.

Como a derivada de 𝑧 em relação a 𝑥 é 0, segue-se que 𝑧 𝑥 = 0∀ 𝑥.

Consequentemente,

𝑕 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑕 𝑎 .

Resumindo, a coleção das primitivas de 𝑓 é dada por 𝑔 𝑥 + 𝑐 onde 𝑔(𝑥) é definida

em (4). Toda aquela parte do Cálculo de Primitivas é nada mais nada menos que a

determinação de soluções da equação diferencial (6) para diferentes funções 𝑓.

Só para enfatizar, um aspecto extremamente importante é o da interpretação das

soluções obtidas e de seu significado dentro do contexto do problema em estudo.

Portanto só foi possível obter a solução desse problema na forma explicita devido a

natureza simples das equações.

39

4.2 Trabalho

Nesta seção apresentaremos uma importante ligação entre o cálculo integral e a física,

que é uma aplicação do (TFC) ao trabalho realizado por uma força variável e como calcular o

trabalho através de alguns exemplos.

Segundo (FERREIRA, 2004), trabalho é uma atividade coordenada, de caráter físico

e/ou intelectual, necessária à realização de qualquer tarefa, serviço ou empreendimento. Um

exemplo de trabalho realizado em nosso dia-a-dia é puxar um sofá pesado ao longo da sala ou

elevar uma pilha de livros do chão até uma estante alta. Para (GASPAR, 2001, p. 106): “o

conceito de trabalho em física, é diferente do conceito cotidiano de trabalho,[...] em física, no

entanto, se não houver força e deslocamento, não há trabalho.” Portanto, essa palavra se refere

especificamente a uma força atuando sobre um corpo e seqüencialmente ao seu deslocamento.

O trabalho pode ser realizado por dois tipos de força: uma Força Constante e uma

Força Variável.

4.2.1 Trabalho realizado por uma Força Constante

Intuitivamente sabemos que a força necessária para empurrar um livro

horizontalmente sobre uma mesa é um exemplo de força constante, ou seja, sua intensidade

não varia durante o deslocamento do corpo. Nesse caso realizamos um trabalho (STEWART,

2011).

A definição física de trabalho é baseada nessas observações. Portanto, segundo

(STEWART, 2011, p. 412): “no caso de aceleração constante, a força 𝐹 também é constante e

o trabalho feito é definido pelo produto da força 𝐹 pela distância 𝑑 na qual o objeto se move:

𝑊 = 𝐹𝑑 9

Trabalho=força x distância”

De acordo com o exemplo, se empurrarmos o livro com mais intensidade ou

deslocarmos ele por uma distância maior, realizaremos um maior trabalho. Resumindo,

40

quanto maior for a força 𝐹 ou o deslocamento 𝑑, maior será o trabalho 𝑊 realizado sobre o

corpo.

No SI, se 𝐹 é medida em newtons e 𝑑, em metros, então a unidade para 𝑊 é o newton-

metro, que é chamado joule1.

Para melhor entendimento, traremos a seguir um exemplo relacionado a um trabalho

constante.

EXEMPLO 1:

Quanto trabalho é exercido ao se levantar um livro de 1,2𝑘𝑔 do chão até uma carteira

de altura 0,7𝑚? Considere que a aceleração da gravidade é 𝑔 = 9,8𝑚𝑠22.

Solução

A força exercida é igual e oposta à força exercida pela gravidade, que é dada pela

equação

𝐹 = 𝑚𝑔 10

1,2 9,8 = 11,76N

E a equação (10) nos dá o trabalho executado como

W = Fd = (11,76)(0,7) ≈ 8,2J

Portanto, a equação (9) define trabalho desde que a força seja constante.

Se a força é variável, definimos 𝑊 usando a integral definida.

1“Abreviada pela letra J, pronunciada como “jaule”, nome dado em homenagem ao físico

inglês do século XIX James Prescott Joule”. (YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A,

2003, pag. 160). 2 (STEWART, 2011, p. 412).

41

4.2.2 Trabalho realizado por uma Força Variável

Na seção anterior consideramos apenas forças constantes. Veremos agora o que

acontece se a força for variável e o corpo descrever uma trajetória curva.

Suponhamos que uma partícula se mova ao longo do eixo 𝑂𝑥 na direção positiva de

um ponto 𝑥 = 𝑎 a um ponto 𝑥 = 𝑏 e esteja sujeito a uma força variável 𝐹. Suponhamos ainda

que 𝐹 = 𝐹(𝑥) é uma função contínua em [𝑎, 𝑏].

Queremos calcular o trabalho realizado por essa força sobre o objeto, quando este se

desloca de 𝑥 = 𝑎 até 𝑥 = 𝑏.

Dividiremos então o intervalo [𝑎, 𝑏] em 𝑛 subintervalos com extremidades

𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑖−1 < 𝑥𝑖 < ⋯𝑥𝑛 = 𝑏.

E larguras iguais a ∆𝑥.

Escolhemos 𝑐𝑖como sendo um ponto qualquer do intervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] e ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 −

𝑥𝑖−1.

Então podemos aproximar o trabalho total realizado pela força 𝐹 = 𝐹(𝑥) sobre o

objeto, quando este se desloca de 𝑎 até 𝑏 por:

𝑊 ≈ 𝐹 𝑐𝑖 ∆𝑥

𝑛

𝑖=1

(11)

Podemos observar que à medida que o numero 𝑛 de subintervalos aumenta e a largura

de cada segmento ∆𝑥𝑖 se torna cada vez menor (∆𝑥𝑖 → 0), a soma (11) se aproxima do que

intuitivamente entendemos como o trabalho total 𝑊, realizado pela força 𝐹(𝑥) sobre o objeto,

quando este se desloca de 𝑎 até 𝑏.

Como o lado direito de (11) é uma soma de Riemann da função contínua 𝐹(𝑥),

podemos definir 𝑊 por

𝑊 = 𝐹 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

(12)

42

Considerações sobre a equação (12):

A integral na equação (12) representa a área embaixo da curva 𝐹 = 𝐹(𝑥) no

deslocamento de 𝑎 até 𝑏;

Uma boa interpretação para a equação (12) é que o trabalho 𝑊 é igual a força média

no intervalo considerado, multiplicada pelo deslocamento;

A equação (12) também se aplica no caso particular em que o componente 𝑥 da força

𝐹 = 𝐹(𝑥) for constante. Nesse caso, 𝐹 = 𝐹(𝑥) pode ser retirada da integral

𝑊 = 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

= 𝐹 𝑏 − 𝑎 .

Mas, 𝑏 − 𝑎 = ∆𝑥𝑖 , o deslocamento da partícula. Portanto, no caso de uma força

𝐹 = 𝐹(𝑥) constante, a equação (12) diz que 𝑊 = 𝐹𝑑, concordando com a equação (9).

A seguir, traremos mais um exemplo, agora relacionado a um trabalho realizado por

uma força constante para um melhor entendimento.

EXEMPLO 2:

Uma criança rolando uma pedra utiliza uma força de 120 + 25𝑠𝑒𝑛𝑥 Newtons sobre

ela, quando esta rola 𝑥 metros. Quanto trabalho deve a criança realizar, para fazer a pedra

rolar 2𝑚?3

Solução

No ponto inicia-se o movimento. Queremos calcular o trabalho 𝑊 realizado pela

força 𝐹 𝑥 = 120 + 25𝑠𝑒𝑛𝑥, sobre a pedra, quando esta se desloca de 0 até 2.

Usando (12), temos:

W = 120 + 25𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

2

0

= (120𝑥 − 25𝑐𝑜𝑥)|02

= 120.2 − 25𝑐𝑜𝑠. 2 − 120.0 + 25. 𝑐𝑜𝑠0

= 265 − 25𝑐𝑜𝑠. 2 𝑁.𝑚 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠.𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 = 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 .

3 (FLEMMING; GONÇALVES, 2006, p. 392)

43

CAPÍTULO 5

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A presente pesquisa teve como finalidade a demonstração do Teorema Fundamental

do Cálculo de uma forma mais clara e objetiva e a apresentação de duas aplicações desse

teorema. Possibilitou-nos investigar e analisar através de uma pesquisa bibliográfica o

enfoque que diferentes autores realizam em relação ao (TFC). A escolha por esse tema se

justificou pelo fato de ele estabelecer a ligação entre derivada e integral, um dos conteúdos

fundamentais de um curso de Cálculo Diferencial e Integral (CDI).

Ao iniciar essa pesquisa pudemos observar como os diferentes autores abordam o

(TFC) e com isso verificamos se eles apresentavam aplicações desse importante teorema. No

decorrer do trabalho, percebemos que além do enfoque dado pelos autores, também era de

grande importância investigar quais os conhecimentos que os alunos de nosso curso, tanto os

que estão em fase inicial como os que estão em fase final, mobilizam ao estudar esse teorema

e para isso elaboramos o questionário com o intuito de verificar inicialmente o nível de

entendimento especificamente desses alunos em relação ao (TFC) através das quatro questões

propostas.

Durante a aplicação do questionário, vários alunos mostraram insegurança ao

respondê-lo, muitos deles terminaram antes do tempo de entrega e foram justamente esses que

apresentaram as respostas “não sei” em todas as questões, o que nos permitiu concluir que

esses alunos não deram a devida importância à aplicação do questionário. Realizamos sua

aplicação primeiramente na turma de Cálculo Diferencial e Integral III, mas apenas 8 alunos

estavam em sala, por esse motivo, reaplicamos o mesmo em um outro momento para que

pudéssemos obter uma melhor tabulação e analise dos resultados, porém os alunos que já

haviam respondido decidiram não responder novamente. Por fim conseguimos mais 5

respostas, totalizando 13 alunos do 3º período. Já na turma de Introdução a Álgebra Abstrata

existiam apenas 5 alunos matriculados e todos responderam o questionário em um único

momento.

Concluímos através das próprias falas de alguns alunos que eles apenas memorizavam

o (TFC) para realizarem uma prova e logo depois esqueciam. Os resultados encontrados

também podem ser reflexos de estudantes que não se preocupam em aprender e refletir sobre

44

aspectos conceituais e aplicabilidade do teorema para que assim possam colocá-los em prática

como na questão 3.

Acreditamos que os objetivos dessa pesquisa foram alcançados, pois através da

pesquisa bibliográfica, estudamos e adaptamos a demonstração desse importante teorema para

apresentar uma demonstração mais entendível e em duas versões. Além disso, pesquisamos e

estudamos duas situações onde o (TFC) pode ser aplicado e encontramos uma para cada

versão. A primeira, que quase nunca é mostrada em livros de Cálculo, como uma aplicação a

solução de um Problema de Valor Inicial através do cálculo de primitivas, é interessante

ressaltar que o (PVI) é estudado em nosso curso na disciplina de (EDO) e não é tão lembrado

posteriormente pelos alunos. Já a segunda, uma aplicação a Física, a qual também achamos

interessante abordar, pois estudamos a disciplina de Física Geral I no curso de Licenciatura

Plena em Matemática e geralmente não observamos a aplicação do (TFC) a alguns assuntos

estudados nesta disciplina, como por exemplo o Trabalho.

Além dos objetivos que foram alcançados, a presente pesquisa também nos

proporcionou refletir sobre o processo de ensino-aprendizagem do (TFC). Percebemos o

quanto a ação tanto dos docentes como dos discentes é importante para se obter êxito na

aprendizagem. O professor sempre deve buscar sua qualificação profissional e apropriar-se

dos mais variados recursos didáticos em suas aulas. Entre eles destacamos a importância que

deve ser dada ao uso da história do Cálculo para que os alunos notem que assim como a

criação desta disciplina, o processo de aprendizagem também ocorre de forma lenta e através

de várias etapas. Outro fator de grande importância e que pode ser empregado nas praticas

pedagógicas é a utilização de softwares matemáticos como o winplot, maple e geogebra, pois

possibilitam uma aprendizagem prática de alguns assuntos vistos de forma apenas teórica.

Destacamos nesse trabalho, um dos recursos do qual um professor de um curso superior em

Matemática deve se apropriar, esse é inclusive um dos objetivos de nosso trabalho, a

contextualização de alguns assuntos, pois acreditamos que quando determinados conteúdos

são vistos de forma contextualizada, isto é, aplicados a outras ciências, os alunos percebem

sua importância e conseguem entender que a matemática é uma ciência dinâmica e

proporciona várias aplicações a outras ciências.

Deixamos aqui essas considerações como um convite para que tanto professores como

alunos reflitam sobre sua postura de ensino-aprendizagem e possam aproveitá-la da melhor

maneira possível. Além disso, esperamos que este trabalho tenha proporcionado aos

45

interessados um acesso sucinto e agradável ao Teorema Fundamental do Cálculo bem como

as duas aplicações apresentadas.

46

REFERÊNCIAS

BOULOS, Paulo. Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo: Pearson Makron Books, v. 1

1999.

CAMPOS, Ronaldo Pereira. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E A SUA

ABORDAGEM EM LIVROS DIDÁTICOS À LUZ DA TEORIA DOS REGISTROS DE

REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA DRAYMOND DUVAL. In: ENCONTRO

NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9, 2007, Belo Horizonte. Anais... Belo

Horizonte: SBEM, 2007. p. 1-15. Disponível em:

<http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Html/comunicacaoCientifica.html>. Acesso em 12

abr. 2012.

FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Novo Dicionário Aurélio da Língua Portuguesa.

Curitiba: Nova Fronteira, 2001.

FIGUEIREDO, Djairo Guedes de; NEVES, Aloisio Freiria. Equações Diferenciais

Aplicadas. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1997. (Coleção

Matemática Universitária).

FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. CALCULO A: limites, derivação,

integração. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

GASPAR, Alberto. Física. São Paulo: Ática, 2001.

MEDEIROS, João Bosco. Redação científica: a prática de fichamentos, resumos, resenhas.

11. ed. São Paulo: Atlas, 2010.

Normas para regulamentação do Trabalho de Conclusão de Curso - TCC do curso de

Licenciatura Plena em Matemática do Campus IV da UFPB (online) Disponível em:

<http://www.dce.ufpb.br/_media/matematica/normas_para_tcc_matematica_ccae_ufpb.pdf>

Acesso em: 12 abr. 2011.

47

STEWART, James. Cálculo, volume I. Trad. Antônio Carlos Gilli Martins. 6. ed. São Paulo:

Cengage Learning, 2011.

YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Sears e Zemansky Física. Trad. Adir Moysés

Luiz. 10. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2003.

48

APÊNDICE A- TEOREMA DO VALOR MÉDIO

Seja 𝑓 uma função contínua em [𝑎, 𝑏] e derivável em (𝑎, 𝑏). Então existe um número 𝑐

no intervalo (𝑎, 𝑏) tal que:

𝑓 ′ 𝑐 =𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎 (1)

Ou, de maneira equivalente,

𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 = 𝑓 ′ 𝑐 𝑏 − 𝑎 . (2)

Antes de demonstrar esse teorema, apresentaremos sua interpretação geométrica. A

figura 7 mostra os pontos 𝑃(𝑎,𝑓 𝑎 ) e 𝑄(𝑏,𝑓 𝑏 ) sobre o gráfico de uma função derivável. A

inclinação da reta secante 𝑃𝑄 é

𝑚𝑃𝑄 =𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎 (3)

Que é a mesma expressão mostrada no lado direito da Equação (1). Uma vez que

𝑓 ′ 𝑐 é a inclinação da reta tangente no ponto 𝑅(𝑐, 𝑓 𝑐 ), o Teorema do Valor Médio na

forma dada pela Equação (1) diz que há no mínimo um ponto 𝑅(𝑐,𝑓 𝑐 ), sobre o gráfico onde

a inclinação da reta tangente é igual a inclinação da reta secante 𝑃𝑄.

Em outras palavras, há um ponto 𝑅 onde a reta tangente é paralela à reta secante 𝑃𝑄.

49

Figura 7- Teorema do Valor Médio

Fonte: Elaboração do autor4

Demonstração:

Sejam 𝑃(𝑎,𝑓 𝑎 ) e 𝑄(𝑏, 𝑓 𝑏 ). A inclinação da reta 𝑃𝑄 é

𝑦 − 𝑓 𝑎 =𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑏 − 𝑎(𝑥 − 𝑎)

Fazendo 𝑦 = 𝑕(𝑥), temos:

𝑕 𝑥 =𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑏 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 + 𝑓(𝑎)

Como 𝑕 𝑥 é uma função polinomial, 𝑕 𝑥 é contínua e derivável em todos os pontos.

Consideremos a função 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑕(𝑥). Essa função determina a distância vertical entre

um ponto (𝑥,𝑓 𝑥 ) do gráfico de 𝑓 e o ponto correspondente na reta secante 𝑃𝑄 .

Temos:

𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑏 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 − 𝑓 𝑎 .

A função 𝑔 𝑥 satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle5 em [𝑎, 𝑏]. De fato,

4 Produzida no software Paint

50

(𝑖)𝑔 𝑥 é contínua em [𝑎, 𝑏], já que 𝑓 𝑥 e 𝑕 𝑥 são contínuas em [𝑎, 𝑏].

(𝑖𝑖)𝑔(𝑥)é derivável em (𝑎, 𝑏), pois 𝑓 𝑥 e 𝑕 𝑥 são deriváveis em (𝑎, 𝑏).

𝑖𝑖𝑖 𝑔 𝑎 = 𝑔 𝑏 = 0, pois

𝑔 𝑎 = 𝑓 𝑎 −𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑏 − 𝑎 𝑎 − 𝑎 − 𝑓 𝑎 = 0

E

𝑔 𝑏 = 𝑓 𝑏 −𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑏 − 𝑎 𝑏 − 𝑎 − 𝑓 𝑎 = 0

Portanto, existe um ponto 𝑐 entre 𝑎 e 𝑏 tal que 𝑔′(𝑐) = 0. Como

𝑔′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 −𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑏 − 𝑎,

Temos:

𝑔′ 𝑐 = 𝑓 ′ 𝑐 −𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑏 − 𝑎= 0.

E desta forma,

𝑓 ′ 𝑐 =𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎.

∎

5 “Um caso particular do T.V.M., em que𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏), é conhecido como Teorema de Rolle

(Michel Rolle, 1652-1719, matemático francês que descobriu o resultado em 1690)”

(BOUOS, Paulo, 1999, p. 192).

51

APÊNDICE B - CONTINUIDADE

O limite de uma função quando 𝑥 tende a 𝑎 pode muitas vezes ser encontrado

simplesmente calculando-se o valor da função em 𝑎. Acontecem casos em que lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

pode existir, mesmo que 𝑓 não seja definida no ponto 𝑎.

Quando lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) diremos, de acordo com a definição a seguir, que 𝑓 é

contínua em 𝑎.

Definição: Uma função 𝑓 é contínua em um número 𝒂 se as seguintes condições

forem satisfeitas:

(a) 𝑓é definida no ponto𝑎 (isto é, 𝑎 está no domínio de 𝑓);

(b) lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)existe;

(c) lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

Se 𝑓 está definida próximo de𝑎 (em um intervalo aberto contendo 𝑎), dizemos que 𝑓 é

descontínua em 𝒂, ou que 𝑓 tem uma descontinuidade em 𝒂, se 𝑓 não é contínua em 𝑎.

O gráfico pode ser desenhado sem remover sua caneta do papel.

Figura 8- Gráfico de uma função 𝑓 contínua no ponto A

Fonte: Elaboração do autor6

6 Produzida no software Paint

52

APÊNDICE C – QUESTIONÁRIO

Este questionário é parte de um Trabalho de Conclusão de Curso e tem por objetivo colher

algumas informações para uma futura analise sobre um dos Teoremas bastante importante que

estudamos no nosso curso de Licenciatura em Matemática: o Teorema Fundamental do

Cálculo. Portanto pedimos que você responda de maneira bem objetiva. As informações

fornecidas por você serão sigilosas.

1. Explique de maneira bem objetiva o que você entende por derivação e integração.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

____________________________________________.

2. Você sabe o enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo? Se sim, enuncie-os.

________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________.

3. Encontre a área limitada pela parábola 𝑦 = −𝑥2 + 4 e o eixo dos 𝑥.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

____________________________________________________.

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4. Cite um exemplo de uma situação onde o Teorema Fundamental do Cálculo possa ser

aplicado.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________.

Obrigada!

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ANEXO – A – TERMO DE CONSENTIMENTO