Sánchez - Teoría de La Integración

Daro Snchez H Teora de la Medida e Integracin 1

Teora de la Medida e Integracin

Jos Daro Snchez Hernndez Bogot-Colombia, Junio del 2005 [email protected] [email protected]

El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuacin encontrar msde cien resultados bsicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas, corolarios y algunosejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos, entonces hgalo de formaque los pueda recordar despus. Para las demostraciones es indispensable el uso de una bibliotecacon un buen nmero de textos sobre teora de la medida e Integracin, en esta forma el estudianteutiliza tcticas de investigacin y emplear la biblioteca. Luego encontrar resultados en donde se hadado una posible demostracin, la cual se supone es correcta, sin descartar la posibilidad de que hayaalgunos errores; el lector deber revisarlas analizando cual de los resultados bsicos se han utilizadoen la prueba.

1. RESULTADOS BASICOS

Medida y Convergencia.

1.Sea un conjunto y tal que , es un si y slo siH f H f f semi-anillo

WE EF E F " f f , WE EF EF G# 3

3"

8f

para algn y para algn 8 G " 3 83 f (el smbolo se usa para denotar una reunin disyunta) f f H f es una si y slo si es un semi-anillo y .semi-lgebra f es una semi-lgebra si y slo si 3 EF E F f f 33 E E G G f f-

3"

83 3 333 H f

2.Las siguientes afirmaciones son equivalentes;Res cerrada con respecto a


Unin finita y diferencia. 3 Unin finita y diferencia propia. 33 Diferencia simtrica e interseccin finita. 333 Unin finita disyunta, diferencia propia e interseccin finita. 3@R es un si satisface alguna de las condiciones anteriores (yanilloconsecuentemente las cuatro). es una lgebra si es un anillo y .R R RH R es una si y slo si es cerrado por reuniones finitas ylgebracomplementos.3.Si es un semi-anillo resp. semi-lgebra entonces la familia de lasf f R sumas finitas distintas de elementos de es un anillo resp. lgebra y concidef con el anillo resp. lgebra generado por . f 5 es un -anillo si y slo si es cerrado por diferencia y por unionesenumerables. Si es un -anillo, se dice una -gebra si 5 5 H 5 es un -anillo si y slo si es cerrado por interseccin finita, diferenciapropia y suma enumerable.4. 5 es una clase -aditiva si y slo si es cerrado por diferencia propia, sumafinita y unin creciente, (es decir, E E E E E

3 "" # 8 3 3

Si es una clase no vaca de conjuntos cerrados por interseccin finitagentonces la clase -aditiva generada por es igual a 5 g 5 g 5. es una si es cerrada por unin enumerable creciente y porclase montonainterseccin enumerable decreciente. Si es un anillo entonces la clase montona generada por es .R R R5 Una funcin es llamada una funcin de conjunto.. E E Sea una funcin de conjunto, es si y slo si . . finitamente aditiva

3"

83

8 E E E E . .y ,3 33"

86. Si es un semi-anillo es una aditiva si y slof . f ! medida finitamentesi y es finitamente aditiva.. . ! Una medida finitamente aditiva que es -aditiva es llamada una . 5 medida La definicin de medida sobre semi-lgebras, anillos, lgebras,5 5 .-anillos, y -lgebras es la misma, excepto en el caso que toma a enlos casos de -anillos y -lgebras.5 57.Sea una medida sobre un semi-anillo . Entonces. f 3 E F E F aEF . . f 33 E E E E EE 8 " 8 8 88". . f


Una tripla , donde es un conjunto, es un -anillo contenido en H . H 5 H . y es una medida sobre , es llamada un . Al parespacio de medida H es llamada un .espacio medible Un espacio de medida tal que es una -lgebra, o sea, y H . 5 H . H " es llamado un .espacio de probabilidad8.Sea un espacio de medida, se tienen las siguientes afirmaciones: H . " E F F F E F E . . . . (en forma creciente ) # E E E E E E 8 8 88. .lim en forma decreciente y existe tal que $ E E E E 8 8 8 ! entonces . . .E E E 8 88! lim

% E E 8 ". . 8 8

8"

Para toda sucesin de elementos de & E 8 8 y si para algn , . . . lim inf lim infE E 8 E 8 88 8 ! 8! entonces lim sup lim sup. .E E8 8 En particular si es un espacio de probabilidad T H E E T E T E 8 8 ' E E !

8"

8 8. . lim sup

9.Sea una medida finitamente aditiva sobre el semianillo . Entonces existe. funa nica medida finitamente aditiva sobre el anillo generado por que es. funa extensin de .. Sea un semi-anillo, es una medida sobre yf . f para alguna sucesin [ H f E E G G G a8

8 " 8 8 88

[ 5 [ [ es un -anillo. Si F EE F Si , en esta forma es llamado -anilloH f [ H [ 5 G G T

8 " 8 8hereditario. E E G E G G a8

8 "

Para cada , definimos [ . . f8"

8 8 8 inf

. [ d d d . G G a8 G G Dada una sucesin , existe una sucesin 8 8 8 88 8w w f fa8 G G

8 "

tal que . 88"

w8

Sea como se defini arriba, se tiene entonces. " E E Ef . . # ! ! E E . . [ $ E F E F aEF . . [ . % E E aE E a8

8 ". . [ 8 8 8 8 8


10.Dado un -anillo hereditario , una funcin de en la cual5 [ . [ d satisface las condiciones de la afirmacin anterior, es llamada una # $ % medidaexterior sobre .[Q aE E E Q E Q [ [ . . . se dice si , medible -11.Se denota es medible .A [ Q Q 3 Q Q Q Q " # " #A A , y , se tiene 33 Q Q Q Q aE " # " #A [ . . . " # " #E Q Q E Q E Q

333 Q Q Q Q Q Q Q Q " # " # " # " # A . . . 3@ Q Q Q Q " # " #A A @ Q ! Q Q . [ A

QObsrvese que para mostrar que es medible basta mostrar que . . . [ . - E E Q E Q aE E 3 Q a8 Q 8 8A A8 " 33 E Q 8 Q[ A8 8 para todo los disyuntos dos a dos, entonces . .

8" 8"

8 8 8E Q E Q 333 Q a8 Q8 8A los , son disyuntos dos a dos, entonces

. . 8" 8"

8 8 Q Q

f A12.Una medida sobre un -anillo se dice si y slo si. 5 completa , , F E E E ! F . Dada una medida sobre un semi-anillo , existen un -anillo tal que. f 5 AA f A 5 f . A (y por lo tanto ) y una medida completa sobre la cual es unaextensin de .. Si es -finita, entonces la extensin a es nica.. 5 5 f 13. Sea un espacio de medida, se define H . para algn . E RE R Q Q Q ! .

. dE R E

tenemos que es un espacio de medida compacto. En estas condiciones H . se dice que es el de con respecto a . El completado de una .completadomedida sobre un espacio de medida completo, es nico.14.Una familia de subconjuntos de se dice una si y slo si7 H clase compacta para toda sucesin tal que tenemos - - - a8 - 8

3 "

3 "8 8 8 3 37

Si es una clase compacta entonces la familia de las uniones finitas de7 C0elementos de es una clase compacta.7 ,PRUEBA E E a8

83 "

Sea una sucesin de elementos de tal que 8 8 0 3 C


para algn para algn a4E - 5 - " 3 5 M5

3 "4 34 4 34 44 7

Sea el cual hacemos un espacio topolgico con la topologa4 4 " # 5 discreta. es compacto . 4Sea = , es compacto Teorema de Tychonoff . #

4"

4

Sea J B B - B 8 " #84 "8 " # 4 4

De se tiene y cada es cerrado porque es unin finita de M J a8 J8 8conjuntos del tipo con AdemsB B B " 4 8" 8 8" 4 4 se tiene que . Como cada es compacto (cerrado contenido en unJ J J " # 8compacto) se tiene que . Sea pues .

8 " 8 "J + + + J8 " # 8 8

Entonces para todo . Como es una clase compacta tenemos84 "

- + 84 4 7

4 " 4 "- + - + E a4 E 4 4 4 4 4 4. Como tenemos que .

Sea una medida finita finitamente aditiva, sobre un anillo . Si para toda. Rsucesin de elementos de tal que en forma decreciente valeE E p8 8 8 R que entonces es una medida.. . E p!815.Sea una medida finita finitamente aditiva sobre un semi-anillo y una. f Cclase compacta, , . Entonces es unaC C E G G EG f . . . supmedida. E Para todo se tiene[ . . A . 5 f E FE F FE F inf infaqu indica la restriccin de a .. . 5 f E F E F E FSi , se dice un de si y slo si , [ 5 frecubrimiento medibley para todo tal que , entonces tenemos .G G F E G !5 f . E EPara todo existe un recubrimiento medible de .[ A 5 f . A 5 f es el de con respecto a o sea .completado E Si es el anillo generado por entonces para todo tal queR f 5 f. % . %E ! F E F y para todo existe tal que .R 16. es un , es decir, tal que H . aE bE espacio de medida finito -5 8E E E E 8

8 " 8 8 8

. y para todo : 3 . . 5 [ es la inducida por sobre el -anillo hereditario medida exteriorgenerado por , es decir, y [ H [ E E FF aE . . E FE F inf . 33 5 . . es el -anillo obtenido por el completado de con respecto de , es laextensin de a .. E E F F E F Dado definimos .[ . . sup


. [ . d arriba definida es denomida inducida por sobremedida interior[. E E ESe observa que si . . .17. + ! ! E aE . . [

, E F E F aEF . . [ - E F F F E . . sup tal que , y, con tenemos . aE bF F E aG G E F [

.G ! F E. En estas condiciones se dice un de , y como en ncleo medibleel caso del recubrimiento medible, tenemos . .F E / E Para toda sucesin de elementos de , disyuntos dos a dos y8 8 para todo , E E F E F [ . . 8 8

8" 8"

y con tenemos 0 aF F F F aE E E . . . [ . . que E Para todo tales que 1 EH E H [ . . . . E H E H E H 2 aF aE F E F E F [ . . . -18.Sea un espacio topolgico. Entonces se dice una -lgebra de IC C5 5Borel borelianos en inducida por . Los elementos de son llamados .I C C5 WSea una familia de conjuntos y sea una semi-lgebra en paraH H3 3M 3 3cada . Entonces3 Mf H F F F W #

3M3 3 3 3 3salvo para un nmero finito de ndices en los cuales

es una semi-lgebra en =H H#3M

3

d5 f 5R R donde denota la -lgebra de Borel en 8 Usaremos la letra para indicar la medida extensin de la medida de-Lebesgue a .5 f R Los elementos de la -lgebra (completado de con respecto a que5 -R Rcoincide con la clase de los -medibles) son llamados conjuntos medibles-segn Lebesgue. A se le llama . R -5 lgebra de Lebesgue19.OBSERVACION: La familia tambin #" H G d G B B d 8 3" 3 3genera en el sentido de que .R R5 H # G G G l+l G df : f - : - f y siendo el semi-anillo usual en . $ : :R R R R , ." % + !: : : es -medible si , tiene inversa y es -medible.R R" 3 E d E l+l E E l+l E Para todo y - : - - : - 33 E E E l+l ESi entonces , y, .A : A - : - + "En particular si , es invariante por translaciones bajo .- A dExisten subconjuntos de no medibles Lebesgue.


20.Sean y espacios medibles se dice medible si para H H H H \ w w wtodo E \ E w w " w \ Si y es una clase de subconjuntos de por definicinH H H w wC\ \ G G " " C C \ \Si y es una -lgebra en entonces es una -H H 5 H 5 w w "T Tlgebra en .H \ Si y es una clase de subconjuntos de entoncesH H H w wT\ \" " 5 5T T .21. Sea y espacios medibles y una clase de H H H H \ w w w Tsubconjuntos de tales que . En estas condiciones si H 5 w w " T T \ entonces es medible.\ 3 MSean un conjunto, una familia de espacios medibles yH H 3 30 3 M 03 3 3H H 5 H , . La menor -lgebra de que vuelve todas las medibles, esllamada -lgebra .5 inicial 3 MEn las condiciones de la definicin anterior, si para cada , es una claseT3de subconjuntos de tal que entonces la -lgebra inicial coincideH 5 53 3 3 T con la -lgebra generada por la familia5 H 0 G G 34 M 4 " # 88

4 " 34" 34 34 34 T

0Sean y las son las proyecciones naturales de sobre , laH H H H#3M

3 3 3

5 5-lgebra es llamada . Si es una -lgebrainicial -5 lgebra productoproducto es denotada por .#

3M3

22. Si son espacios medibles y son H H H H H H H 0 1 w w ww ww w w wwfunciones medibles, entonces es una funcin medible.1 0 0 Sean una familia de espacios medibles, un conjunto y H H H H3 3 3 33Ma3 M . Sea la -lgebra inicial correspondiente sobre . Sean an un 5 H H w wespacio medible y . Entonces es medible si y slo si es medible0 0 0 0H Hw 3a3 M . 0Si en la afirmacin anterior las funciones son las proyecciones H H 1#

3M3 3 3

de sobre y es la -lgebra producto entonces es medible si y slo siH H 53 013 0 a3 M es medible .23.Si es una familia de espacios medibles, es un conjunto y H H3 3 3M0 3 M3 3H H entonces H F 0 F

3 M "3 3

es la menor -lgebra en que vuelven las medibles, es llamada la5 H 035- .lgebra final El par donde es una -lgebra, es llamado espacio medible. H 5 0 d 0 d H se dice si y slo si .medible "


0 d H d D H 0 D Sean y un conjunto denso en . Si para todo H entonces es medible. Donde .0 0 D 0 D "24. Sea un espacio topolgico y sea la -lgebra de Borel \ C CB 5 5correspondiente. Toda aplicacin es continua superiormente (o0 \ dcontinua inferiormente) y - -medible. En particular, toda aplicacin continuaB Res medible.PRUEBA: Si es continua superiormente entonces es abierto o sea0 0 Dpertenece a y por lo tanto pertenece a , para todo . En el casoC CB D d5 de ser continua inferiormente lo mismo ocurre para los puntos del tipo00 D. 25. Si indica la -lgebra de Borel de entonces .R R R R R8 85 d 8 0 0 d H un espacio medible y funciones a valor en . Entonces ellas" 8son medibles si y slo si la funcin esA 0 A 0 A 0 A " # 8- medible.R8 0 1 - H un espacio medible, dos funciones medibles, un nmero real.Entonces , y , son medibles.-0 0 l0 l 0 0 0 1 01# 0 d H Hespacio medible. Entonces es medible si y slo si0 0 0 0 l0 l ! 0 y , es medible.

si si | |

- d 0 1 H un espacio medible , y son funciones medibles con valores end -0 0 l0 l 0 0 01. Entonces son funciones medibles. Si sobre el conjunto# 0 1 0 1 0 1 ! 0 1 definimos entonces es tambin medible.26.Si es una sucesin de aplicaciones medibles de en entonces0 d8 8"# Hsup inf lim sup lim inf0 0 0 08 8 8 8 , y , son medibles. M 0 1 d 0 1 Si son medibles entonces H MM 0 dSi es una sucesin de aplicaciones medibles de en , entonces8 HA 0 A H 8 8"# es convergente . 0 d + + d E EH se dice una si y slo si existen funcin simple " 8 " 8elementos de dos a dos disyuntos tales que . ;0 +

3"

83 E3

Si en la definicin anterior tuviramos una suma enumerable en lugar definita decimos que es una 0 funcin elemental.Observacin; Las funciones simples forman un retculo vectorial (es decir, unespacio vectorial con respecto a , y , ). 27. Toda funcin medible , es el lmite punto a punto de una sucesin0 dHde funciones simples. Si la sucesin puede ser tomada creciente.0 ! 0 ! 0 8 0 0Si tomar y observar que 8 8

3"

8#3"# 08

8 8 03" 3# #8 8; ;] ]


28. Se dice que una propiedad vale en casi toda parte en si el ->: Hconjunto de los puntos en los que ella no se verifica, es medible y tiene medidanula. En espacios de probabilidad es comn usar la expresin .casi verdadera 0 0 !8 converge a si y slo si para todo existe casi uniformemente %E E 0 0 E . % tal que y uniformemente en .8 - 0 !8 se dice si y slo si para todo casi uniformemente fundamental %existe tal queE 3 E . % Para todo , existe tal que implica 33 ! 8 87 8$ ! ! l0 A 0 A l aA E8 7 - $ 0 0 0Si las y son finitas se dice que si y slo si8 8 converge a en medida0para cada , .% . % ! l0 0l !lim

8 8

29.Si converge para uniformemente entonces casi en toda parte.0 0 0 p08 8PRUEBA: Para todo existe tal que y uniformemente en .8 E E 0 p0 E8 8 8"8 -8. Sea entonces . Dado para algn y por loE E E ! A E A E 8

8 " 8 8-.

tanto , es decir, .0 A p0 A 0 p0 ->:8 8 30.Si converge a casi uniformemente, entonces 0 0 0 08 8.TEOREMA: Supongamos que es un espacio de medida totalmente finito, H . es decir, , y son finitas. Si entonces casi. H 0 0 0 p 0 ->: 0 p 08 8 8 uniformemente. 0 p0 ->: 0 p 0En las condiciones del teorema anterior, si entonces en8 8 .medida. 0 !8 es una sucesin si y slo si para todo y fundamental en medida %para todo existe tal que implican .$ . % $ ! 8 78 8 l0 0 l ! ! 8 7 + 0 0 0 Si entonces es una sucesin fundamental en medida.8 8. Si es medible, y , entonces . , 1 d 0 0 0 1 0 1 ->:H . .8 831. Si es una sucesin fundamental en medida, entonces admite una0 8subsucesin casi uniformemente fundamental.0 85 0 0 0 0 p0 ->:Si entonces existe una subsucesin tal que .8 8 8 . 5 5 0 Si es una sucesin fundamental en medida, entonces existe una funcin8medible tal que .0 d 0 0H . 8 0 1 dSea un conjunto un espacio medible , entoncesH H H H H w w w1 0 2 d es -medible si y slo si, existe -medible de manera que" w w w H 1 20 .32.Sea un conjunto y una coleccin de subconjuntos de , se dice que \ \H Hes una -lgebra en si5 \ " \ H # E E H H- $ E E

8 "8 8H H


\La pareja ordenada formada de un conjunto y una -lgebra de H 5 Hsubconjuntos de es llamado un .\ espacio de medida Los conjuntos en son llamados -medibles.H H \ \ Sea un conjunto dos -lgebras de , sea entonces esH H 5 H H H H" # " #una -lgebra.533.Sea un conjunto y una familia de -lgebras en entonces\ \H 50 0FH H 5

0 F0 es una -lgebra.

\ E \Sea un conjunto y una coleccin cualesquiera de subconjuntos de .Entonces existe la menor -lgebra conteniendo a , que es la interseccin5 H Ede todas las -lgebras conteniendo a . es llamada -lgebra 5 H 5E generadapor .E \ 0 \ d 0Sea un conjunto, una -lgebra, una funcin a valor real, esH 5 medible si para todo , . H d B \ 0B 34.Las siguientes afirmaciones son equivalentes para una funcin 0 \ dmedible: + a d E B \ 0B H , a d F B \ 0B H - a d G B \ 0B H . . a d H B \ 0B H 0 1 -Sean y funciones a valor real, medibles y sea un nmero real. Entonceslas funciones son tambin medibles.-0 0 0 1 01 l0 l#35. Sea es medible . Sean y, funciones noQ \ 0 \ d0 0 0 H negativas definidas por 0 B 0 B ! 0 B 0 B ! 0 B ! sup sup infse tiene que .0 0 0 l0 l 0 0 0 l0 l 0 0 l0 l 0 0Como y se tiene que es medible si y slo si " "# #0 0 y son medibles. 0 \ d d B0 B a d es medible si y slo si , y H constituyen las llamadas funciones a valor real extendidas.36. Una funcin real extendida es medible si y slo si los conjuntos0E B \ 0 B F B \ 0B pertenecen a y la funcinHreal definida por es medible. sisi 0 0 B

0 B B E F! B E F" " G

0 Q \Sea un sucesin en y se definen las funciones 8 8 H 0 B 0 B J B 0 B inf sup8 8 0 B 0 B J B 0 B 8 8 lim inf lim supentonces , y, pertenecen a 0 J 0 J Q \ H 0 Q \ 0 \ 0Si es una sucesin de que converge para en entonces 8 8 Hesta en .Q \ H37.Para sea la de definida por8 0 0 8 "truncacion"


si si si

0 B 0 B l0 B l 88 0 B 8 8 0 B 8

8

0 Q\ 0 0 Q\ Si entonces la truncacin de , para cualquier H HRR . 0 Q\ Si es una funcin no negativa en , entonces existe una sucesinH : H8 8 en tal queQ\ para + ! B B B \ 8 : : 8 8" para cada , 0 B B B \lim:8 Cada tiene solamente un nmero finito de valores reales. - :838. es una funcin a valor real extendida definida en una -Una medida . 5lgebra de subconjuntos de tal queH \ 3 !. para todo 33 I ! I . H es en el sentido de que si es una 333 I. enumerablemente aditiva 8sucesin disyunta de subconjuntos de , entoncesH .. . I I

8 " 8 8

8"

I JSea una medida definida en una -lgebra . Si y pertenecen a y. 5 H HI J I J I , de donde . Si + entonces. . . .. . . J I J I39.Sea una medida definida en una -lgebra .. 5 H Si es una sucesin creciente en , entonces + I8 8 H . . 7 8 "I I8 88lim , J J Si es una sucesin decreciente en y si entonces8 "8 H . .. . 7 8 "J8 Jlim8 840. Sea un espacio de medida. Se define \ H . ' ; . .I. I0 0 es una funcin simple; cuando es una funcin medible real, tomando unnmero finito de valores 0 + 0 + I a3 3 3 3";I341.Sea es simple positiva con la representacin cannica: f H : : \

: ; : . +4"

84 I4 definimos de con respecto a la medida como elintegral

nmero real .' : . .. + I

4"

84 4

\ - !Sean , entonces< : f H


' '" - . - .: . : . . ' ' '# . . .: < . : . < .42.Si funciones positivas, medibles definimos la integral de 0 Q \ 0 Hrespecto a por el nmero real extendido. ' '0. .. : .supdonde el supremo es extendido sobre toda funcin simple tal que: f H \ ! B 0B B : H para todo . 0 1 Q \ 0 1 0. 1.Sean si entonces H . .' ' 0 I 0. 0 .La integral de sobre un conjunto es ' 'I . ; .I 0 Q \ I J I J 0. 0.

I JH H . . entonces .' '

43.Sea un espacio de medida, se define \ J H . H .- . H I I J aI Entonces es una medida en .- H \ + + + ! +Sea medidas en y , entonces H . . . H . ." # 8 " # 8 3 3

3"

8

es una medida en .H \ I . I Sea se define . Entonces as definido es: f H - : . H - I 'una medida en .H44.Teorema de la convergencia montoma: Sean una0 Q \8 Hsucesin creciente. Sea , entonces 0 0 0 0. 0 . lim sup lim

8 88 8 8' '. .

El teorema de la convergencia montona para una sucesinno es verdaderode funciones decrecientes, como se puede ver en el siguiente ejemplo:0 0 ! 0. ! 0 . 8 8 8 8" "8 88 8 8; . . . y ' ' lim lim45.Sean , entonces ,0 1 Q \ - ! 0 1 . 0. 1. H . . .' ' ' ' '-. - 0. . . 1 Q \ 1 . 1 .Sea entonces 8 8 8 H . .' '

8" 8"

0 Q \ I 0. I Sea defnase entonces es una medida IH - . H -'en .H46. Decir que son funciones tales que -casi en toda0 1 Q \ 0 1 H .parte - , significa que . . .->: B \0 B 1 B ! \ 0 Q \ Sea un espacio de medida H . H - .' 0. ! 0 ! ->:. . 0 1 Q \ 0 1 ->: 0. 1.Sean si - entonces . H . . . ' '47. Dado , es una aplicacin tal que \ dH - Huna carga " !- es una familia disyunta, entonces . # I I I8 8 88"H - - 0 Q\ Una funcin es integrable siH .! 0 . ! 0 . ' ' . .


0. 0 . 0 .Se define .' ' '. . . I 0. 0 . 0 .Si se define .H . . .' ' 'I I I 48.Sea cargas en entonces es una- - - H - -" # 8 " # 8 3 3

3"

8 + + + d +

carga en .H 0 I 0. I Sea una funcin integrable , entonces es una carga- . H - 'Ien .H49.Lema de Fatou: Sea una sucesin entonces0 Q \ 8 H .' ' lim inf lim inf0 . 0 .8 8. . El resultado del lema de Fatou no es vlido en general, en el caso defunciones no positivas, como se ve en el siguiente ejemplo:0 0 ! 0 . "8 8 8"8 !" 8; . entonces , y, , ahoralim ' .' 'lim inf lim inf0 . ! 0 .8 8. . 0El lema de Fatou puede ser extendido a funciones tomando valores8negativos. Sea y supongamos que . Si la sucesin2 Q \ 2. H .' 0 Q\ 2 0 a88 8 en es tal que entoncesH .' ' lim inf lim inf0 . 0 .8 8. .50.Si existe integrable tal que , entonces1 l0 l 1 a8 8 .' 'lim inf lim inf0 . 0 .8 8. . 0 Q \d 0 . I B \0B Sea tal que si entonces ' .. I !. 0 l0 lUna funcin medible es integrable si y slo si es integrable. 0 1 0 0 1 son funciones integrables, entonces tambin son integrables. 0 0 0 0 ->: 0 0 Q \ Sea integrable , e integrables, entonces" # " # . H' ' '0. 0 . 0 .. . ." # .51.Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue: Sea una 08 8sucesin de funciones integrables, que converge en casi toda parte para unafuncin a valor real medible . Si existe una funcin integrable tal que 0 l0 l 18para todo , entonces es integrable y .8 0 0. 0 .' '. .lim

8 8

0 \ + , d 0 > + , > + , 0 Sea medible para todo , existe tal que > ! >!es integrable, para todo , es derivable adems B \ 0 0 1 B 1B B..> integrable entonces ...> .>

.0 >' ' 0 B > . . B. .B 52.Sea y un intervalo, una funcin continua tal \ + , 0 \ + , dH .que sea medible para todo " 0 > \ d > + , sea continua para todo # 0 B + , d B \ Existe integrable tal que . $ 1 \ d l0 B > l 1 BEntonces ' ' ' ' + +, , 0 B > . .> 0 B > .>. . .


\ d Sea un espacio de medida tal que H - H " !- disyuntos . # I I3 I33 H - - DEntonces es llamado una .- carga53.Si es una carga en entonces un conjunto en se dice con- H HT positivorespecto a cuando para todo en . Por dualidad un conjunto- - HI T ! IR I T ! en se dice con respecto a cuando para todoH - -negativoI ^ I ^ !H H - -. Un conjunto en se dice con respecto a cuando ,nuloaI H. E E E

3 "

Sea una sucesin de elementos de positivos entonces es8 3H

positivo. (Tmese )E E E E E E E8 "w w8 4 " 8 3 8 " 84 " 3 "

\ E E ! I E ISi carga tal que entonces existe tal que H - H -es positivo .- I !54.Descomposicin de Hahn: Si es una carga en , entonces existen- Hconjuntos y con y tal que es positivo y esT R \ T R T R T Rnegativo con respecto a .- \ Sea espacios de medida dos medidas, se dice que ,y, son H . . . ." # " # mutuamente singulares y se nota cuando existen , en . . H" # E Fdisyuntos tal que adems .\ E F E F !. ." # \ Sea un espacio de medida se dice si existe una sucesin H . . 5-finita\ \ \ \ a88 8 8H . tal que , y, ,55.Sea un espacio de medida medidas en , es \ H - . H - absolutamentecontinua en relacin a y se nota si . O tambin. - . . - I ! I !como: tal que .a ! b ! I I % $ % . $ % - %56.Teorema de Radon-Nikodym: Sean y medidas -finitas tal que es- . 5 -absolutamente continua con respecto a . Entonces existe una funcin en. 0Q \ H tal que - . H 'I 0. aI IMs an, la funcin esta unvocamente determinada -casi en toda parte,0 .esto es si = . 1. 0 1 ->:- . .' 0La funcin cuya existencia fue establecida en el teorema de Radon-Nikodym es con frecuencia llamada la de conderivada de Radon-Nikodym -respecto a y es denotada por . . ..-.57.Sea una sucecin de funciones convergentes para una funcin en 0 0 P8 "se denota 0 0 0 0 0 0 0 0 08 8 8 8 8sup 0 0 0 0 0 0 0 0 08 8 8 8inf y se tiene .0 0 0 0 0 08 8 8


58.Teorema de descomposicin de Lebesgue: Sean y medidas -- . 5finitas en . Entonces existe una medida que es singular con respecto a yH - ."una medida que es absolutamente continua con respecto a tal que- .#- - - - - " # " #, adems y son nicas. 0 : l0 l . " : Una funcin es -integrable cuando .' : . 0 1 0 1 ->:Dos funciones se dicen -equivalentes si y slo si .. . " : P \ Si el espacio consiste de todas las -clases de: H . .equivalencia de las funciones a valor real -medible para las cuales tieneH 0 l0 l:integral respecto a ..59.El espacio consiste de todas las clases de equivalencia deP P \ H .las funciones a valor real -medibles que son acotadas en casi toda parte, dosHfunciones son equivalentes cuando ellas son iguales -casi en toda parte. Si.0 P R R ! y con definimosH . y .W R l0 B l B R m0m W R R R ! sup inf H . PLos elementos de son llamados esencialmente limitados o acotados .P \ P \ " H . H .60.Si y son descomposiciones de Hahn de una carga y ,T R T R I " " # # - Hentonces .- - - - I T I T I R I R" # " # \ T RSi es una carga en y sea descomposiciones de Hahn para . Las- -variaciones negativas y positivas de son funciones medibles , definidas- - - para en porI H , - - - - I I T I I R l l ILa de es la medida definida para en porvariacin total - - H l l I I I- - - 61. Si es una carga en , ella esTeorema de descomposicin de Jordan: - Hdiferencia de dos medidas finitas en . En particular es diferencia de y .H - - - Ms an, si donde son medidas finitas en entonces- . / . / H . - / -I I I I para todo .I H 0 P \ Si pertenece a y esta definida por la ecuacin H . - - . 'I 0.Ientonces y son dadas para en por- - - H l l I .- . - . - . I I I ' ' 'I 0 . I 0 . l l I l0l.62.Una carga es con respecto a una carga cuando la- .absolutamente continuavariacin total de es absolutamente continua con respecto a .l l l l- - . 0Observacin: La funcin dada por el teorema de Rodan-Nikodym nonecesariamente es integrable; en efecto es -equivalente a una funcin0 .integrable si slo si es una medida finita.-63.Teorema de representacin de Riesz a : Si es un espacio deP \ ; H .medida y es una funcional lineal acotada en , entoncesK P \ " : : H .existe un en , donde tal que la ecuacin1 P \ ; ; ::" H .


K 0 01 ' .se tiene para todo en . Adems .0 P mKm m1m: : P \ K P dUna funcional lineal en es una aplicacin de en tal que : : H .K +0 ,1 +K 0 ,K 1 + , d 0 1 P para todo en y en . Una funcional:lineal es acotada si existe una constante tal que para todoK Q lK 0 l Qm0m :0 P en .: K PSea una funcional lineal acotada en . Entonces existen dos funciones:lineales positivas acotadas tal que para todoK K K 0 K 0 K 0 0 P:.64. Si es un espacio deTeorema de representacin de Riesz: \ H .medida -finito y una funcional lineal acotada en entonces5 H .K P \ " existe una funcin en tal que , se tiene para todo 1 P \ K 0 01. 0 'H . .en . Adems si es una funcional lineal positiva, entonces yP K mKm m1m" 1 !. \ J \Sea un conjunto cualquiera, si pertenecen a " \ J # F J F J- Si pertenecen a entonces $ F F F J F J" # 8 33 "8entonces con estas propiedades es llamado un .J lgebra65.Si es una lgebra de conjuntos de entonces una medida en es unaJ \ Jfuncin real extendida definida en tal que. J " !. # E ! aE J. Si es una sucesin de subconjuntos disyuntos de tal que $ F J J8

8 " 8 "F J F F 8 8 8

8"

entonces . En particular es aditiva.. . .

\ F \Dada una lgebra si es un subconjunto arbitrario de , definimos .. 4 4 4F I Iinf

4"

donde el nfimo es extendido sobre toda subsucesin

de subconjuntos en tal que . Esta funcin as definida es .F I

4 " 4

usualmente llamada la generada por .medida exterior .66.La funcin de la definicin satisface las siguientes propiedades:. + !. , para . , F ! F \. Si entonces - E F E F . . Si entonces . F F F . . Si es una sucesin de subconjuntos de , entonces / F \8 8 . . 8 8

8"

F F 8 "

I \Un subconjunto de se dice -medible si.


. . . -E E I E I para todo subconjunto de . La coleccin de todos los subconjuntosE \. -medibles es un conjunto denotado por .67.Teorema de extensin de Caratheodory: La coleccin de todos losconjuntos -medibles es una -lgebra conteniendo a . Adems, si . 5 8 8 I es una sucesin disyunta en , entonces . . 8 8

8"

8 "

I I

El teorema de Caratheodory muestra que una medida en la lgebra . puede siempre ser extendida a una medida en una -lgebra . 5 conteniendo . La -lgebra as formada es automticamente completa en el 5sentido que si con y si entonces y .I I ! F I F F ! . . 68.Teorema de extensin de Hahn: Supngase que es una medida -. 5finita en una lgebra . Entonces existe una nica extensin de a una medida .en . 1 d d 1Sea una funcin montona creciente de en . Supongamos que escontinua a la derecha en cada punto, esto es .1 - 1 - 2 lim

2!Puesto que es montona tambin se sigue que existen,1 1 B 1 Blim lim

B B

an que ellos puedan ser - , o, + . Para tal funcin definimos .1 + , 1 , 1 + .1 B , 1 , 1 Blim .1 B + 1 B 1 +lim ..1 B B 1 B 1 Blim lim Una clase montona es una coleccin de subconjuntos con laspropiedades: Si entonces para 3 E F E E F F 3 " #3 3 3 3" 3 3" Si , , entonces y . 33 E E F F E F

3 " 3 "3 3

69. Teorema de representacin de Riesz: Si es una funcional linealKacotada en , entonces existe una medida definida en un subconjunto deG N #Borel de tal que para todo en Adems, la norma d K 0 0. 0 G N mKm 'N #de es igual a .K N# Donde / | , es continua es un espacioG N 0 N + , d m0m 0 B l 0 sup

B Nde Banach.70.Producto de medidas: Si y son espacios de medida, \ ] entonces el conjunto de la forma con y es llamadoE F E F rectngulo medible, o simplemente rectngulo, en . Denotaremos las^ \ ]reuniones finitas de todos los rectngulos por .m! ^La coleccin es una lgebra de subconjuntos de m!


\ ] Si y son espacios medibles, entonces denota la m 5-lgebra de subconjuntos de generado por los rectngulos ^ \ ] E Fcon y . Se resear a los conjuntos de como a los conjuntosE F mm-medibles o como los subconjuntos medibles de ^ \ ] Si y son espacios medibles. Entonces existe una medida . / 1definida en tal que para todo ym 1 . / E F E F E F 5 1. Si estos espacios son -finitos entonces existe una nica medida teniendo la propiedad . 71.Si es un subconjunto de y , entonces la -seccin de esI ^ \ ] B \ B Iel conjunto I C ] B C IBAnlogamente, si entonces la -seccin de es el conjuntoC ] C I I B \ B C IC 0 ^ d B \ B 0Si es una funcin definida en y , entonces la -seccin de esla funcin definida por , 0 ] d 0 C 0 B C aC ]B B Anlogamente, si entonces la -seccin de es la funcin C ] C 0 0 \ dC definida por 0 B 0 B C aB \C + I ^ ILema: Si es un subconjunto medible de , entonces cada seccin de es medible. , 0 ^ d 0 Si es una funcin medible, entonces cada seccin de es medible.72.Una clase montona esta formada por subconjuntos en talesQ J Q8que y de subconjuntos en . J Q J Q J Q8 8 8Si es una coleccin de clases montonas entonces tambin es unaQ \ Q clase montona de . As tiene sentido hablar de la menor clase montona\que contiene una coleccin de subconjuntos de .\ As si es una coleccin de subconjuntos no vaco de , entonces la f5 f -lgebra engendrada por contiene la clase montona engendradaQpor . Lema: Si es una lgebra de conjuntos, entonces la -lgebra generada 5 fpor coincide con la clase montona generada por . Q \ ] I Lema: Sea y espacios medibles -finitos. Si . / 5 m entonces las funciones definidas por , 0 B I 1 C I / .B C son medibles, y ' ' \ ]0. I 1.. 1 /73.Teorema de Tonelli: Sea y espacios de medidas - \ ] . / 5finitos y sea una funcin medible no negativa en . EntoncesJ ^ \ ] dlas funciones definidas en y por\ ] 0 B J . 1 C J . ' '] \B C/ .son medibles y .' ' '\ ^ ]0. J . 1.. 1 /En otros simbolos


.' ' ' ' ' \ ] ^ ] \J. . J. J. ./ . 1 . /74.Teorema de Fubini: Sea y espacios -finitos y sea la \ ] . / 5 1medida en producto de y . Si la funcin en a esm . / J ^ \ ] dintegrable con respecto a , entonces las funciones a valor real extendidas,1definida casi en toda parte por 0 B J . 1 C J . ' '] \B C/ .tienen integral finita y ' ' '\ ^ ]0. J. 1.. 1 /En otros smbolos .' ' ' ' ': : \ ] ^ ] \J. . J. J. ./ . 1 . /75. Si es un espacio vectorial entonces una funcin a valor real, en esi iRllamada una para en el caso que cumpla con:'norma' i . para todo 3 R @ ! @ i 33 R @ ! @ ! para todo y real333 R @ l lR @ @ i para todo .3@ R ? @ R ? R @ ? @ i Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial juntamente con unanorma en .i76.En se distinguen tres tipos de normasd8 R ? ? ? l? l l? l l? l" " # 8 " # 8 R ? ? ? l? l l? l l? l : ": " # 8 " # 8: : : ": R ? ? ? l? l l? l l? l " # 8 " # 8 sup \ 0 P\ R 0 l0l. Sea un espacio de medida. Si definimos 'H . H . ..Se demuestra que es una semi-morma en el espacio .R P\ . H .77.Sea , bajo las operaciones P\ 0 1 B 0 B 1 B 0 B 0 B H . B \ P\ R P\ , es un espacio vectorial y es una semi-norma en .H . H ..Adems, si y slo si para -casi todo en R 0 ! 0 B ! B \. . P P\ Dos funciones en se dicen -equivalentes si ellas son igualesH . ..-casi en toda parte. La clase de equivalencia determinada por en es al0 Pmismo tiempo determinado por y consiste del conjunto de todas las0 funciones en que son -equivalentes a . El espacio de LebesgueP 0.P P \ P 0 P" " " H . .consiste de todas las -clases de equivalencia en . Si definimos su norma por m0 m l0 l." ' .78.El espacio de Lebesgue es un espacio vectorial normado.P \ " H . " : P P \ Si el espacio consiste de todas las clases: : H .. H-equivalentes de funciones -medibles a valor real para las cuales tienel0 l:integral finita con respeto a sobre . Dos funciones son. \. .-equivalentes si ellas son iguales -casi en toda parte. Tenemos m0m l0l .: :

": ' .


79.Desigualdad de Hlder:Sea y donde y0 P 1 P : ": ; ": "; " 01 P m01m m0m m1m. Entonces y ." " : ; 0 1 PDesigualdad de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz. Si y recorren #entonces es integrable y 01 01. l01l.? m0m m1m ' '. # #80.Desigualdad de Minkowski. Si y recorren a entonces 0 2 P : " 0 2:recorre a y P m0 2m m0m m2m: : : : 0 P PUna sucesin en es una secuencia de Cauchy en si para cada 8 : :nmero existe tal que si entonces . La% % % % ! Q 78 Q m0 0 m 7 8 :secuencia en es convergente a en si para cada nmero 0 P 0 P !8 : :8 %existe un tal que si entonces . Un espacio linealR 8 R m0 0 m % % %8normado es si cada sucesin de Cauchy converge a algn elemento completodel espacio. 0 0 PSi la sucesin converge para en , entonces es una sucesin de 8 :8Cauchy.81.Teorema de completez: Si , entonces el espacio es un espacio" : P:vectorial normado completo con la norma m0m l0 l . : : ":' . P P \ El espacio consiste de todas las clases de funciones H .H-medibles a valor real que son acotadas casi en toda parte, dos funciones sedicen equivalentes cuando ellas son iguales -casi en toda parte . Si y. 0 PR R ! W R l0 B l B RH . con definimos y supm0m W R R R ! P inf H . . A los elementos de se llaman funcionesesencialmente acotadas. PEl espacio es un espacio vectorial normado completo bajo la norma dadapor .m0m W R R R ! inf H .82.La sucesin de funciones a valor real definidas en un espacio de 08 8medida fijo para si para todo existe un \ 0 !H . %converge uniformementenmero natural tal que si y , entonces | .R 8 R B \ 0 B 0 B l % % %8 0 0 ! B \Una sucesin para si para cada y 8 8 converge puntualmente %existe un nmero tal que si , entonces .R B 8 R B l0 B 0 B l % % %883.Una sucesin para si existe un conjunto 0 08 8 converge casi en toda parteQ Q ! ! B \ Q en con tal que para cada y existe un nmeroH . % natural , tal que si , entonces .R B 8 R B l0 B 0 B l % % %8 0 P P \ 0 PUna sucesin en para si para 8 : : :8 H . converge en P:cada existe un nmero natural tal que si entonces% % % ! R 8 R m08 0m l0 0l . : 8 : ":' . %. 0 PEn el caso de que una sucesin converge en indicamos tambin 8 :8este hecho diciendo que 08 8 converge en medida.84.Supongamos que y que es una sucesin en que.\ 0 P 8 :8converge uniformemente en para . Entonces pertence a y la sucesin\ 0 0 P: 0 P 08 :8 converge en para .


0 PSea una sucesin en que converge casi en toda parte para una 8 :8funcin medible . Si existe un funcin en tal que0 1 P: l0 B l 1 B B \ 8 8 entonces pertenece a y converge en para .0 P 0 P 0: 8 :8 \ 0 PSea y sea una sucesin en que converge casi en toda. 8 :8parte para una funcin medible . Si existe una constante tal que0 Ol0 B l O B \ 8 0 P 0 P8 : 8 :8 entonces pertenece a y converge en para 085.Una sucesin de funcin medible a valor real se dice 08 8 convergente enmedida para la funcin medible a valor real cuando0 lim

8 8. B \ l0 B 0 B l !

0Una sucesin se dice cuando 8 8 una sucesin de Cauchy en medida lim

78 7 8. B \ l0 B 0 B l !

para cada . ! 0 0Si converge uniformemente para entonces el conjunto 8 8 { ; |B \ 0 B 0 B l 8 es vaco para suficientemente grande, por tanto convergencia uniforme8implica convergencia en medida.86. La sucesin , donde , la cual converge en casi toda parte 0 0 8 88 88" ;para la funcin muestra que convergencia puntual no implica necesariamente!convergencia en medida a menos que el espacio tenga medida finita. PObsrvese, sin embargo que convergencia en implica convergencia en:medida. Pues entoncesI B \ l0 B 0 B l 8 8 ' ' l0 0l . l0 0l . I8 8 8: : :

I. . .

8 87. F.Riesz Si una sucesin converge en medida para , entonces0 08 8alguna subsucesin converge -casi en toda parte para .. 0 0Sea una sucesin de funciones medibles a valor real la cual es de 8 8Cauchy en medida. Entonces existe una subsucesin que converge -casi en.toda parte y en medida hacia una funcin medible a valor real .0 0Sea una sucesin de funciones medible a valor real la cual es de 8 8Cauchy en medida. Entonces existe una funcin medible a valor real para la0cual la sucesin converge en medida. Esta funcin lmite es unvocamente0determinado -casi en toda parte..88.Tomando vemos que la sucesin converge0 8 08 8 8; " #8 8 uniformemente para la funcin y nos muestra adems que convergencia en!medida no implica convergencia en .P: 0 PSin embargo sea una sucesin de funciones en la cual converge en 8 :8medida para y sea tal que . Entonces y0 1 P l0 B l 1 B ->: 0 P: 8 : . 0 P 08 :8 converge en a .


89.Una sucesin de funciones medibles se dice convergente 08 8 casi-uniformemente para una funcin medible si para cada existe un conjunto0 !$I \ I 0 0 \ $ $ en con tal que converge uniformemente para en . $ 8 8I$. 0Una sucesin se dice si 8 8 casi-uniformemente de Cauchypara cada existe un conjunto en con tal que es$ . $ ! I \ I 0$ $ 8 8uniformemente convergente en .\ I$ Es claro que convergencia casi-uniformemente es implicada porconvergencia uniformemente.90. Sea una sucesin casi-uniformemente de Cauchy. Entonces existe 08 8una funcin medible tal que converge casi-uniformemente y en casi0 0 8 8toda parte para . En consecuencia convergencia uniforme implica0convergencia casi en toda parte. 0 0Si una sucesin converge casi-uniformemente para , entonces 8 8converge en medida. Inversamente, si la sucesin converge en medida 28 8para entonces alguna subsucesin converge casi-uniformemente para .2 2 PSe sigue que si una sucesin converge en , entonces tiene una subsucesin:la cual converge casi-uniformemente. 0 8 !La sucesin la cual converge, en casi toda parte para la funcin ,8 ; " #8 8muestra, que convergencia casi-uniformemente no implica convergencia en .P: 0 La sucesin muestra que convergencia en casi toda parte, no8 88";implica convergencia casi-uniformemente.91.Teorema de Egoroff: Supngase que y que es una. \ 08 8sucesin de funciones medibles a valor real la cual converge casi en toda parteen a una funcin medible a valor real . Entonces la sucesin \ 0 0 8 8converge casi-uniformemente y en medida para .0 EI EY=convergencia en casi toda parte. =convergencia casi-uniforme =convergencia en =convergencia en medida. Se tiene:P P Q: :> Subsucesiones convergente implicacin

Caso general Espacio tiene medida finita Convergencia dominada El lema de Fatou contina vlido si en casi toda parte esconvergeciareemplazada por .convergencia en medida El teorema de la convergencia dominada de Lebesgue contina verdadera, siconvergencia en casi toda parte, es reemplazada por convergencia en medida.


92.Teorema de convergencia de Vitali: Sea una sucesin en 08 8P \ " : : H . . Entonces las siguientes afirmaciones son necesarias ysuficientes para que la sucesin converja en para 0 P 0 8 :8 converge en medida para 3 0 0 8 8 Para cada existe un conjunto con tal que si33 ! I I % H .% % J J I l0 l . 8 H . % y , entonces para todo % ' 8 : : Para cada existe un , tal que si y 333 ! ! I I % $ % H . $ % entonces para todo .' l0 l . 8 8 : :. % 93.Sea una sucesin de funciones en , decimos que es 0 P 08 : 88 8 equicontinua, si dada una sucesin de conjuntos decreciente tal que I 8 H I ! R a5 R5 y dado existe tal que % '

I8

5

l0 l. a8. %

94.Una sucesin es si dado existe 0 !8 8 uniforme absolutamente continua, %$ H ! aI tal que , se tiene . $ . %I l0 l. a8'

I8

95.Una familia es si para existe , 0 ! 5 58 8 uniformemente integrable, % %tal que '

0 58

8

l0 l. a8. %

0 0Si es una sucesin equicontinua entonces es uniforme 8 88 8 absolutamente continua. 0 \ Si es una sucesin uniforme, absolutamente continua, y 8 8 .sup8

l0 l. 0' 8 8 8. entonces es equicontinua y uniformemente integrable. \ Si entonces. es uniforme absolutamente continua es equicontinua 008 88 896.Sea , una sucesin convergente para en si y slo si 0 P 0 0 P 0 p08 : 8 : 88 en medida y es equicontinua. l0 l8 : 8 PNtese que para obtener convergencia en es necesario que se tenga:convergencia dominada.


97.DERIVACON E INTEGRACIN. Sea una coleccin de intervalos. EntoncesIdecimos que es un recubrimiento de en el sentido de Vitali, si para cadaI I% % ! B I M B M M y cada existe un intervalo tal que y .I l ILema de Vitali: Sea un conjunto de medida exterior finita esto es y una coleccin de intervalos cerrados los cuales.I Icubren a en el sentido de Vitali. Entonces dado existe una coleccinI !%disyunta finita de intervalos en tal queM M M " # R I .7 I M 88 "

R%

98.Con el objeto de hablar de derivada de una funcin, primero definimos unconjunto de cuatro cocientes llamados las de en como sigue:derivadas 0 B H 0 B H 0 B 0 B2 0 B 0 B 0 B22 2 lim lim2! 2! H 0 B H 0 B 0 B2 0 B 0 B 0 B22 2 lim

2! 2! lim

Claramente tenemos y .H 0 B H 0 B H 0 B H 0 B H 0 B H 0 B H 0 B H 0 B 0Si , entonces decimos que es diferenciable en y define como el valor comn de las derivadas en .B 0 B Bw 99.Sea una funcin a valor real montona creciente en el intervalo .0 + ,Entonces es diferenciable en casi toda parte. La derivada es medible y0 0 w .' +, w0 B .B 0 , 0 +100.Sea una funcin a valor real definida en el intervalo y sea0 + ,+ B B B , + ,! " 5 cualquier subdivisin de .Se define : 0 B 0B 8 0 B 0 B

3" 3"

5 53 3" 3 3"

,> 8 : l0 B 0 B l 3"

53 3"

donde = y siendo .si si < < l-Algunas veces se escribe para denotar la dependencia en el+ +, ,intervalo o de la funcin . Si decimos que es de + , 0 X 0 variacin acotada o limitada sobre . Esta notacin es algunas veces denotada como .+ , 0 Z P101.Si es de variacin acotada en entonces y0 + , X T R+ + +, , ,0 , 0 + T R + +, ,. 0 + , 0Una funcin es de variacin acotada en , si y slo si, es la diferenciade dos funciones montonas a valor real en .+ ,


0 + , 0 B BSi es de variacin acotada en entonces existe para casi todo enw + ,.102. . es montona pero no de variacin acotada enEjemplos: 3 0 B B todo .d330 B " / lBl es montona y adems de variacin acotada en 3330 B / B# es de variacin acotada en .3@ 0 B =/8B lBl ! lBl "B# si si es de variacin acotada en 11@ 0 B B=/8 B !! B ! "B si si es acotada pero no es de variacin acotada103.Si es una funcin integrable en entonces la funcin definida por0 + , JJ B 0 > .> + , '+B , es continua, de variacin acotada en . 0 + , J B 0 > .> J +Si es una funcin acotada y medible en y '+Bentonces , para casi todo en .J B 0 B B + ,w 0 + ,Si es una funcin integrable en , y si se supone queJ B J + 0 > .> J B 0 B B + , '+B w , entonces , para casi todo en .104.Una funcin a valor real definida en es si dado+ , absolutamente continua% $ ! !, existe un tal que

3"

83w

3l0 B 0 B l %

para cada coleccin finita de intervalos con B B 3 3w .

3"

83w

3lB B l $

Una funcin absolutamente continua es continua y se sigue que la integralindefinida es absolutamente continua. 0 + ,Si es absolutamente continua en entonces es de variacin acotada en+ ,. 0 0Si es absolutamente continua, entonces tiene derivada casi en toda parte.105. Si es absolutamente continua en y en casi toda parte0 + , 0 B !w entonces es constante.0 JUna funcin es una integral indefinida si y slo si es absolutamentecontinua. Una funcin absolutamente continua, es la integral indefinida de su derivada. J + ,Sea una funcin continua a derecha, montona creciente en defina .Jen el intervalo por . Entonces es absolutamente+ , + , J , J + J.J w w w w continua si y slo si , siendo la medida de Lebesgue.. - -J

2. RESULTADOS PROBADOS


1.Sea una sucesin de subconjuntos de un conjunto . Si consiste de E \ E8 8todo tal que pertenece a infinidad de los conjuntos , mostrar queB \ B E8E E

7 " 8 7 8

.SOLUCION:3 B E 7 " B ESi entonces para todo , o sea que

7 " 8 7

8 78 8 a7 " b8 7 7 B E B E tal que , lo cual es equivalente a para8 7 8

infinitos o sea .8 B E33 B E B E 8 Si entonces para infinitos , por lo tanto8 . a7 b8 7 8B E B E 8 7 8 7 " 8 7

2.Sea una sucesin de subconjuntos de un conjunto . Si consiste de E \ F8 8todos los los cuales pertenecen a casi todos los salvo para un nmeroB \ E8finito de ndices , mostrar que8 .F E

7 " 8 7 8

SOLUCION:Sea entonces para todo salvo para un nmero finito. SiB F B E 88el conjunto entonces para todo entonces8 B E B E 8 8 8B E B E

7 "

7 " 8 78 8 .

Si entonces existe de donde 8 B E 7 8 B E B E 8 ! 8 8minpara todo , por consiguiente, tal que o sea8 7 " 7 b7 B E! " " 8

8 7"

que .B E 7 " 8 7

8Recprocamente, si entonces tal que o seaB E b7 B E

7 " 8 7

7 " 8 8

que, de donde , para todo , salvo un nmero b7 a8 7 B E B E 8 8 8finito, o sea .B F

3.Sea un espacio de medida y una funcin a valor real definida en . \ 0 \HMostrar que es -medible si y slo si para cualquier conjunto0 0 I H H" boreliano I.SOLUCION: Como

y 0 E 0 E 0 E 0 E 0 E 0 E" " " " " - "3 3 3 3 33-

3 M 3 M 3 M 3 M

basta entonces mostrar la afirmacin para los generadores de la5-lgebra de Borel, que son los intervalos abiertos. 0) Si es medible entonces tenemos que 3 0 + B \+ 0B " H 330 , B \0B , " H 3330 + , B \+ 0B ," B \+ 0B B \0B , H


esto equivale a decir que si (donde indica el conjunto de losI conjuntos borelianos) entonces , ya que es expresado como una0 I I" Hreunin o una interseccin numerable de los intervalos de la forma + , + , 0 I I Supongamos que para cualquier conjunto boreliano , en" Hparticular para , tenemos queI + 0 + B \+ 0B " Hentonces esto significa que es medible.0

4. Dado supongamos que existe , con y \ d l H . H H . H . .w w w w Hadems es completa en relacin a .H .w wSean , entonces . Si , y , IJ I ! I J ! I I ! a8H . . H . 8entonces .. I !

8 " 8

SOLUCION:Se tiene que entonces de la monotona de se recibeI J I .. . . I J I ! I J ! o sea que .Para cada , sea , obtengamos una sucesin creciente de8 E I 8 5

8

5 "subconjuntos as con las siguientes propiedades J E E I8 8 8" 83 J J 8 7 , ya que si se tiene8 7 J J E E E E E E 8 7 8 7 78" 7" 8"- - -

E E E E E E7 8 8 7- - - -8" 7" E E E E

E E E E E7 8" 7 7 8"7 8" 8

-8"

33 J !. 8 , en efecto, entonces J I J I J !8 8 8 8 8. . .333 J I , en efecto

8 " 8 "8 8

sea existe ; esto implica que asB I 8 B I 8 B I 8 " 8 8 8

existe entonces se tiene7 8 B I min 8 y , ,B I B I a< " # 7 "7 < por lo tanto .B I I J B J 7 7 "

5 " 5 " 8 "5 5 8 8

3@ I ! . 8 " 8

En efecto, . . . 8 " 8 "

I J J !8 8 88"

5. Dado supongamos que existe , con y \ d l H . H H . H . .w w w w Hadems es completa en relacin a .H .w wLos conjuntos de la forma , donde y , y I J I J ^ ^ ^ !H H . forman una -lgebra tal que 5 H Hw .


SOLUCION: Sea y formemosm H . J \b^ J ^ ^ ! H H mw I J I J Se tiene: , en efecto ya que 3 !H H m .w J ^ aI I I \ H H Hw w Si entonces veamos que 33 F F H Hw - wF bI bR F I R I H H m Hw - tal que entonces .Basta mostrar que para todo y todo se tiene que I R I R H m HwSi esto equivale a que existe , (ntese que )R ^ R ^ ^ ! ^ Rm H . - - donde , ahoraI R I ^ I Q Q ^ R ^ R - I ^ I ^ - H I Q I ^ R ^ R ^ R ^ -entonces .. . .I Q ^ ! I Q !Luego entonces I Q I R m Hw Vemoslo I ^ I Q I ^ I Q I ^ Q I ^ ^ R = - - - I ^ ^ R I ^ ^ ^ R I \ ^ R - - - - - - - I ^ R I R I R- - -

^ R- -.

Sea tal que para cada entonces 333 F F8 8 R F I ^ 8 8 8 88R wHcon y . AhoraI ^ 8 8H m

8 " 8 " 8 " 8 "F I ^ I ^8 8 8 8 8

es claro que ; esto equivale a que existe tal que8 "

I ^ J 8 8 8H m H^ J J ! 8 8 8 y as siguiendo el problema 4 de arriba,.

8 " 8 " 8 !^ J J !? 8 8 y .

entonces

8 " 8 "^ F ? 8 wm H as .

6. Dado supongamos que existe , con y \ d l H . H H . H . .w w w w Hadems es completa en relacin a .H .w wSi adems , prubese que est bien definida y es una. . . I J I wmedida.SOLUCION:3 esta bien definida, o sea debemos probar que si.wI R I R I I R R " " # # " # " #, y entoncesH m . .w w" " # #I R I R o sea que .. . I I" #Como entoncesI R I R" " # # I R I R I R I R " " # # # # # #- -es conocida la siguiente identidad en teora de conjuntos:


I R I R I I R R R I " " # # " # # " # #-esta identidad sugiere que y , I I R R R I " # # " # #Si entonces por lo tanto existe talI I R I I R J " # # " # # #m Hque entonces del problema 4 se sigue queI I R J J !" # # # #. . I I !" # en total tenemos que I I I I I I !" # " # " #H H . Ahora I I I I I " " # " # Hadems I I I I I I I I " # " # " # " -#as . . . . I I I I I ! I I" " # " # " #Tambin se tiene que I I I I I I I I I # " # # " " # # " entonces .. . . I I I I I# " # # "Tomando I R I R # # " " -se llega a I I R R R I # " " # " "de donde o seaI I R # " " I I R J J # " " " " Htal que .. . J ! I I !" # "Por lo tanto . . I I I# " #Luego . . I I" #33. Hw w es una medida en " !. . .w w # I R I ! aF . . Hw w Sea una sucesin de conjuntos disyuntos de o sea$ F8 I 8 8 wm H F F I ^ I ^ 8 7 8 8 7 7 I ^ I I ^ ^ 8 8 7 8 8 7esto es equivalente a que I ^ I I ^ ^ 8 8 7 8 8 7pues I ^ I I I ^ I 8 8 7 8 7 8 7lo cual implica que y I I I ^ 8 7 7 8en total .I I 7 78 7As tenemos que


. . .w w8 8 8 8 8 " 8 " 8 " 8 "F I ^ I I I ^ F

8" 8" 8"

8 8 8 8

w w. . .

.w es completaH H . Hw w w wes completa entonces aE \ bJ J E J ! E (y ).. E !Si entonces existe y tales queF I R " H H mw " " F I R I R " " " " "H mComo entonces existe tal que por lo tantoR K K R K !" " " " "m H . si entonces J F I R I K I K ! J I K" " " " " " " " " " ". . I K " " H y como . . . I K I K ! ! !" " " "as y , en esta forma (yaJ I K I K ! J J " " " " " " " wH . m H que ) puesto que entonces es completa.^ I RI R H H H m .w w w

7.Sea teniendo la representacin donde y: f H : ; \ + + d

5"

75 5 E5

E 5 H probar que .' : . .. + E5"

75 5

SOLUCION: Como es simple, entonces toma un nmero finito de valores,: :sea los valores distintos que toma la funcin donde, , , , 7" # $ 7 :, , 3 4 , !3 4 3 para todo y :" 3 3 3 4 , I I I ! a3 4entonces la representacin es la cannica de , tenemos: ; : ,

3"

73 I3

Supongamos que donde los son disyuntos, " + E E : ; H5"

85 5 5E5 es decir, y (aqu los no necesariamente todos diferentes)E E 8 7 +5 4 5

entonces ' : . .. + E "

5"

85 5

En efecto, en este caso tenemos que I , E + , 2 2 5 5 2": 85 "puesto que si entonces existe un tal queB , B , 5: :" 2 2 : B + , B E B E + , 5 2 5 5 5 2 para entonces 85 "Ahora sea tal que entoncesC E + , b5 C E 0 C + ,8

5 " 5 5 2 5 5 2

C , I:" 2 2 .Por lo tanto

2" 2" 5"

7 7 82 2 2 5 5 2 5 5, I , E + , + E

8. . .

5 "Ahora


' ' : . . : . .. , I . + E2" 5"

7 82 2 5 5

Probemos ahora que si y con los # Q \ + E: H : ;" " 5 55"

8E 5

disyuntos y si entonces es simple y se+ d C d C ! E + " EH : ;tiene ' ' : ; . : . . . ." " 5 5E

5"

8 + . . + E + E + E

" En efecto, es evidente que es simple: ;" E + : ; ; ; ; ; ; ;" 5 5 5E E E E E

5" 5" 5"

8 8 8

E BE + + + + + + 5 5 5 + + + + +; ; ; ; ;E EE E E

\ E85" 5" 5"

8 85 5 E E8 7 5 5 5 - -5 5"

. Dado que 5"

85 E E+ + ; ;5

+ + + " + + " + 5" 5" 5" 5" 5"

8 8 8 8 85 5E E E E E E E E E E; ; ; ; ; ; ; ; ; ;5 5 5 5 55

+ + + + + + ";

; ; ; ; ; ; ; ; ; ;\

5 5 5\ 5" 5" 5"

5 5 5 \E E E E E E E8 8

E85" 5

8

+ + + + 5" 5"

8 85 5E E E E E E8; ; ; ; ; ; ; ;5 5 \ \ 55"

+ + + + 5" 5"

8 85 5E E E E \ E8; ; ; ; ; ;5 5 \E 55"

.Ahora son disyuntos dos a dos (para todoE EE E E E5 5 - -5 85 "O " # 8 ") entonces es posible aplicar la parte entonces ' : ; . . . ." 5 5 5 5E

5" 5"

8 8- -

5 + . + + E E + E E + E E 8

5 "

+ E E E E + E E E E 5" 5"

8 85 5 5 5

- -5. . . .

8

5 "

+ E + E . + E '5"

85 5 ". . : . .

Entonces ahora por induccin: ; ; ; H " " H # H : H 3 4 . . . . d H 4 " # : " # :es simple donde y ,entonces ' ' : ; ; ; : . ." " H # H : H " 4 4

4"

: . . . . . H $" # :

Esto permite concluir la afirmacin ya que es es una: ; -3"

83 J3

representacin cualquiera de obtenemos:


entonces donde y3 a3 a4 3 4 J J - !3 4 " 3 J "3"

8: : ; : 3

: ; ;" " J = J - -" = es simple y ' ' ' : . ; ; . . . .. ! - - . !. - J - J " J = J " " = =" = - J

3"

=3 3.

Si existen intersecciones no vacias entre los podemos suponer sin33 J3perder generalidad por ejemplo para los son disyuntos dos a3 " # 5 J3dos si no se reindiza y para entonces se puede escribir en la : ; : +

3"

83 J3

forma donde donde si: : ; ; : ; + + + J J " 5" J 8 J " 3 J 3 43"

55" 8 3

3 3 3 4 " # 5 $ entonces aplicando tenemos que ' ' ' : . : ; ; . : . .. + + . . + J" 5" J 8 J " 3 3

35"

85" 8

Como , entonces' : . ." 4 44"

5. + J

.' ' : . : . . . . .. . + J + J + J + J" 3 3 4 4 3 3 3 335" 35"

8 5 8 8

4" 3"

8.Sea la -lgebra de Borel, una funcin continua y d 0 + , d . 5positiva se tiene . Probar que se tienen las siguiente afirmacionesJ \ 0. '

+B.

es derivable y " J J B 0 B aB + ,w Si es cualquier funcin tal que entonces# K K B 0 B aB + ,w '

+,0. K , K +.

SOLUCION: Consideremos el cociente diferencial"J B2 J B

2 2 2

0. 0."

+B2 +B ' ' 0 . 0 . +B2 +B. . ' '; . ; .

0 0 . 0 . "' ' " "2 2+B2 +B +B2 +B; ; . ; ; .Sea entonces ahoraE + B F B B 2 E F B E F + B 2 ,; ; ; ; ; ; ; ;EF E EF EF E EFF F o sea ; ; ; ;BB2 +B2 +B B por lo tanto ' ' " "2 2+B2 +B BB2 B0 . 0 . ; ; . ; ; . , 0 . 0 . 0 ." " "2 2 2BB2 B BB2' ' '; . ; . ; .ya que . Como es continua y positiva se' ' 0 . 0. 0 B ! 0; . . .B

Bsup

tiene


.inf sup

0 0 0B B 2 B B 2

Por la monotona de la integral se tiene " " "2 2 2BB2 BB2BB2inf sup

0 . 0 . 0 .B B 2 B B 2

' ' '; . ; . ; .[de donde se tiene que inf sup

B B B 2 B B B 20 B J B 2 J B 0 B "2

Pasando al lmite cuando se tiene:2 ! y inf sup

B B B 2 B B B 20 B 0 B 0 B 0 B

o sea que 0 B 0 B lim

2!J B2 J B

2

por lo tanto .J B 0 Bw # K B 0 BSea entonces segn un resultado bsico (cul?)w K B 0. 5 aB + , 5 B + '

+B. , por lo tanto para calcular hacemos y se

tiene , de dondeK + 0. 5 5 '++

.

K B 0. K + aB + , '+B

.

Por lo tanto K , 0. K + '

+,.

o sea que '

+,0. K , 1 + .

9. Si entonces es medible.0 1 Q \ B \0 B 1 B HSOLUCION: Si entonces y por una de las propiedades0 B 1 B 0 B 1 B ! de los nmeros reales, se tiene que 0 B 1 B ! 0 B 1 B ! as tenemos que B \0 B 1 B B \ 0 B 1 B ! B \0 B 1 B ! Como y son funciones medibles, por un resultado bsico Cal?0 1 , y B \ 0 B 1 B ! B \0 B 1 B ! H Hentonces como es una -lgebra se tiene queH 5B \0 B 1 B =B \ 0 B 1 B ! B \0 B 1 B ! Hde donde el resultado, o sea . B \0 B 1 B es medible

10.Sea un espacio de medida converge uniformemente para , \ 0 0H . 8donde es integrable para cada y ( es decir, dado ,0 8 " # \ !8 . %


existe tal que si , ) en estas condicionesR 8 R l0 B 0 B l aB \ 8 %entonces ' 0. 0 . . .lim

8 8

SOLUCION: es integrable 3 0 B l0 B l l0 B 0 B 0 B l l0 B 0 B l l0 B l l0 B l 8 8 8 8 8%o sea que l0 B l l0 B l aB \ % 8Por lo tanto .' ' ' ' l0 B l. l0 B l . . l0 B l.. % . % . .8 8De aqu se tiene ' ' l0 B l. \ l0 B l.. %. .8como y es integrable para todo se sigue que. \ 0 B 88 ' l0 B l. .por lo tanto es integrable o sea que es integrable.l0 B l 0 '33 0. 0 .. .lim

8 8

Por hiptesis converge uniformemente para , esto es dado , existe 0 0 ! R8 %tal que , o sea que para el dado, se tiene8 R l0 B 0 B l aB \ !8 % % ! l0 B 0 B l aB \% 8 aplicando el lema de Fatou a la funcin , esto se puede hacer ya que% l0 0l80 es integrable, tenemos ' ' ' ' % . % . % . .. l0 0l . . l0 0l.8plim inf lim inf8 8 8o sea %. %. . '\ \ l0 0l.

8plim sup 8

como entonces es finito y se puede simplificar, obteniendose. %. B \que lim sup

8pl0 0l. !' 8 .

Si una sucesin de nmeros reales no negativos tiende para cero su lmitesuperior es positivo por lo tanto .lim sup

8pl0 0l. !' 8 .

Luego lim

8 8' l0 0l. !.

pero ,l 0 B 0 B . l l0 0l.' ' 8 8. .esto implica que lim

8 8' 0 0 . !.

o sea que lim

8 8' '0 . 0.. .

No es verdadero el problema cuando 333 \ .Consideremos el siguiente ejemplo


Sea , esta sucesin de funciones converge uniformemente para 0 0 !8 "8 !8;en el intervalo .B !Sin embargo ' 0 . ! 8 8 "8 " "8 8. .por otra parte Obtenindose que' 0. !. lim

8 8' '0 . 0.. .

Es de notar que . !

11.Sea la medida de Lebesgue. Para sea\ ! " !H . 0 ! " d

B

"B '+ J . ! J Considere para . Estudie la funcin . .

!"

"B , 0 0 Dar un ejemplo de una funcin medible positiva integrable tal que no#

sea integrable. - 0 0Dar un ejemplo de una funcin medible positiva tal que no seaintegrable y sea integrable0# .SOLUCION: + J Consideremos de acuerdo con el valor dado a , as Si entonces" ! J ! . . ! " " ' '

! ""B

!"! . . .

Si en este caso se afirma que # ! " ' '

!" !"

" "B "0 B . . . .

Se considera para tal fin la siguiente truncacin para 0

si si

si 0 B

B "R ! B ! B !

R

" "B R

"R

"

"

0 B B " B "R " "R 8" es creciente, pues si entonces " "

en este caso 0 B 0 B8 8""B si , entonces, si as paraB 0 B 8 ! B 0 B 8 " " " "8" 8 88 8 B " " " todo porque si entoncesB B " " " "8" 8"8 8 " " " "


" " " "8" 8 B B

" " " " B 8 " 8 de donde tenemos que , entonces" "B B 8 " 8 para 0 B 8 0 B B 8 8"" " "B 8" 8 " "Si , entonces ! B 0 B 8 " 8 0 B"

8" 8" 8 " Si entonces .B ! 0 B ! 0 B8 8" De todo la anterior se sigue que 0 B 0 B aB ! " a88 8" Luego es una sucesin creciente. Cuando las entonces por la0 B 8p8 construccin de se sigue que .0 0 08 8Como las son funciones no negativas medibles, por el teorema de la08convergencia montona, se sigue J 0. 0 . !. 8. B . ' ' ' ' ' . . . . .lim lim

8 88"

!8 8 "" "

8 ! B . 8 8 B .lim lim lim8 8 8

"8

" " "

8 " ' '. . ."

"

8 ""

Por un resultado bsico cal? , como es una funcin no negativa en el "Bintervalo finito cerrado se tiene por lo tanto8 ""

lim lim lim8 8 88 "

" " "8" "

" 8

"' ' "

" "

B . B B .

" 8 8 lim lim8 8

" " "" " "

" "

" " " " "" " "88 lim "

: ! ! ya que y ." "

88 lim :

Luego J B . ' .lim lim

8" "

8 8 8 "

"""

"

Si , se tiene , no es integrable ya que, '$ " J " .B!"

"B

' ' ' 0 B . . .. : . : .:sup lim8 !" 8donde es una funcin simple tal que y es una sucesin de : : :! 0 8de funciones simples definidas de la siguiente manera::8 0

:8 3" 3"# #

# 3 ## 3I I B 0 ! B "! B !

8 8

8 3 3

8; ;

donde , entonces se tieneI 3 3" 3# #8 8 ' : . .8 3

3" 3"

# ## # "3 3 #. I

8 88 8

8

Por lo tanto,


lim lim8 88 3" 3"

# " "3 3

' : .. 8que es divergente por lo tanto J " . '

!"

"B .

no es integrable. Si tenemos que % " J . ' .

!"

"B

es divergente, pues tomando la truncacin

si

sisi

0 B B "

R ! B ! B !

R

" "B R

"R

"

"

tenemos como se vio en que , y por lo tanto por el teorema de # 0 0 0 !R 8la convergencia montona J 0. 0 . 8 B . ' ' ' . . .lim lim lim

8 8 88 8 "

"

"

"

8 " 8lim lim8 8

""

"

-1como se sigue que, , por lo tanto no es integrable" 8 ! 8 Jlim

"

para "En resumen se tiene;

para para

para J ! "

" !

"

"

"

, Tomando si

si 0 B

! B "! B !

H "B%&tenemos entonces

J . '% "&!"

B%& .

es integrable, ya que segn la parte y . + ! " %&Ahora

si si

0 B ! B "! B !

#" "

B B# H %& )&

en este caso no es integrable, ya que es tal que yJ . " ') " )& &!"

B)& .

segn la parte . + J - Tomemos la siguiente funcin si si 0 B

& B ! B &

H "B"&


esta funcin as definida no es integrable. Para mostrar esta afirmacin

supongamos que es integrable, entonces se tiene0 B ' '

! !

0. 0 . . .

como es una funcin no negativa, continua podemos aplicar un resultado0 B cal? y obtenemos ' ' ' ' :

! , , ,! ! &, & ," " "

& B & &,0 B . 0 B . .B .B & B. .lim lim lim log

" , & " & , lim log log log lim log, ,

Luego es contradictorio se sigue que ' ' '

! !0. 0. po 0.. . .

no es integrable.Consideremos ahora el cuadrado de es decir,0

si si 0 B & B ! B &

# B"

"#&

H #tenemos aqu que es una funcin continua y acotada pues0 B# l0 B l 0 B " aB ! 0 B , por lo tanto es integrable Riemann. Como#0 B# es positiva y continua se tiene por resultado cal? que ' ' ' '

!

# #, ,! ! &

, & ," "#& B0 B . 0 B .B .B .B. lim lim

& l lim lim lim, , ,

" " " " " # " ##& B & & , & , &&

, Luego ' '

! !

# #0 B . 0 . . .

y es integrable.0 B#

12.Sea un intervalo finito cerrado de , la coleccin de conjuntos\ + , d Hborelianos de y la medida de Lebesgue en , mostrar que si es una\ 0- Hfuncin continua no negativa en , entonces\ ' ' 0. 0 B .B- +,donde el lado derecho indica la integral de Riemann de 0SOLUCION:Tmese una particin del intervalo + , + B B B B B ,! " # 8" 8Sea :


Como es no negativa , por lo tanto0 \: < ` H8 8 ' : - -8 5" 5 5 5"

5" 5"

8 8

5 58 8. 7 B B 7 B B

.' < - -8 5" 5 5 5"5" 5"

8 8

5 58 8. Q B B Q B B

Ahora lim lim

8 88 5 5"5"

8

58' : -. 7 B B

.lim lim8 88 5 5"5"

8

58' < -. Q B B

De la definicin de integral de Riemann se sigue que lim lim

8 85"

8

58

5 5" 8+, ' '7 B B 0 B .B .: -

lim lim8 85"

8

58

5 5" 8+, ' 'Q B B 0 B .B .< -

Sea y entonces se tiene de donde: : < < :


SOLUCION: Siguiendo el mismo raciocinio del problema anterior aplicado aintervalos de la forma , dado que ; como es una! , ! ! , !,

, "

sucesin creciente en entoncesH .- - - ! ! , ! ,

, "lim,

Ahora .' ' '

! !,, ,!,0. 0. 0 B .B- -lim lim

14.Si entonces > ! / .B '! >B ">Adems, si , entonces . Use esto y el problema anterior para> + ! / />B +Bjustificar la diferenciacin bajo el signo integral y obtener la frmula '! 8 BB / .B 8xSOLUCION:Si entonces del estudio de las integrales de Riemann se sigue> !que ' ' 7 ! + ,>B >B >B ,>, , ," " "> > >,!/ .B / .B / / lim lim lim " " " "> > >,/lim ,>La funcin es creciente por lo tanto , de donde o sea/ / / B >B +B " "/ /+B >B/ />B +BPara tenemos> ! ' ' '

!

,8 >B 8 >B 8 >B, ! !

B / .B B / .B B / . Blim . B / ! Se tiene haciendo uso del problema anterior, pues y es continua8 >Bya que es el producto de dos funciones continuas.Ahora '

!

8 >B 8"B / . B 8x> ". Para probar esta afirmacin, seguiremos el mtodo de induccin sobre .8Para tenemos8 ! ' ' '

! !

! >B >B >B !", !

, ">B / . B / . B / .B !x>. . lim

obtenindose verdadero para .8 !Supngase que la frmula es vlida para , esto es8 " '

!

8 " >B 8B / . B 8 " x>- .

Llamando vemos que por hiptesis de induccin para 0 B > B / > ! 8" >B0 B > \ ! es integrable en y se tiene para `0`> 8 >B 8 BB > l B / l B / ! > La funcin ; ya queB /8 B es integrable


' ' ' 7!

8 >B 8 B 8 B 8" B, ,! !

, ," 8!

,B / . B B / .B B / B / .B. lim lim

3 , / B / .B 8 " x 8x lim lim

, ," 8 88 , 8" B 8 8"

!, ' 33

3 Aqu se aplica integracin por partes as ' ' '! !, ,8 BB / .B ?.@ ?@ @.?

? B.@ / .B

8 B

B / B / .B.? 8B .B

@ /8"

" B

" 88 B 8" B!

,!,

'

33 Aqu se hace uso de la hiptesis de induccin y del hecho de quelim lim, ,

, 8" B 8" > 8!,

!/ ! B / .B B / 8 " x

!' ' .

Ahora aplicando un resultado bsico cal? para : > ! ..> `>

!

`0' ' 0 B > . B > .. . o sea que

. `.> `>!

8" >B8 9 ' ' !

8" >BB / . B. B / . B.

por hiptesis de induccin ' !

8 >B 8B / . B 8 " x>. , as

..> 8 8 >B!

'8 " x> B / . B.o sea que 8 8 " x> B / . B '8" 8 >B

! .

por consiguiente para 8 '

!

8 >B 8"B / . B 8x>. lo que prueba la validez de la frmula para todo . " 8En particular para tenemos> " ' ' ! 8 B 8 B

!B / .B B / . B 8x.

15.Pruebe que si es una sucesin de funciones integrables tales que y0 0 p08 8' '0 . p 0. 08 . .. Siendo integrable entonces ' l0 0l. p !8 . SOLUCION: 3 0 0 0 0 0 0 0 0 8 8 8 y En efecto; 0 0 0 0 B ! 0 B 0 B !8 8 8 sup sup 0 B ! 0 B ! 0 0sup sup8 0 0 0 0 B ! 0 B 0 B !8 8 8 sup sup . 0 B ! 0 B ! 0 0sup sup8


33 0 0 Sabemos de la hiptesis que esto equivale a quelim8 8

lim lim8 88 8 8

0 0 ! 0 0 0 0 !o sea de donde lim lim

8 88 8 0 0 0 0 ! "

En efecto; si existe tal que entoncesB 0 0 B !! 8 !8lim

lim8 8 ! !

0 B 0 B ! en cuyo casolim lim8 88 ! ! 8 ! ! 8 ! !

0 B 0 B 0 B 0 B 0 B 0 B !po locual es contradictorio. En forma anloga se muestra que , delim

8 8 0 0 !

donde se tiene la veracidad de " ' '333 0 . 0.Tambin sabemos de la hiptesis general que , estolim8 8

. .equivale a escribir que lim lim

8 88 8 ' ' '0 . 0. 0 0 . !. . .

o sea que lim

8 8 8 ' 0 0 0 0 . !.

de donde tenemos lim lim

8 88 8 ' ' 0 0 . 0 0 . !. .

as se obtiene lim lim

8 88 8 ' ' 0 0 . 0 0 . #. . 3@ 0 8Sabemos tambin de la hiptesis que es positiva para todo , por lo8

tanto es positiva y de la parte tenemos0 3 ya que y 0 0 0 0 0 0 ! 0 08 8 8 8 8 ya que y 0 0 0 0 0 0 0 0 !8 8 8 entonces lim

8 8' l0 0l. . lim

8 8 8 ' 0 0 0 0 ..

0 0 . 0 0 .lim lim8 88 8

' ' . . # 0 0 .

# lim8 8' .

@ Afirmacin: lim8 8

' 0 0 . !.En efecto, de la parte tenemos 3 0 0 0 0 08 8 entonces la sucesin es integrable para todo y 1 0 0 8 1 0 a8 08 8 8 integrable, se sigue del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue que lim lim8 88 8

' 1 . 1 .. .Como entonces lim lim lim lim

8 8 8 88 8 8 8 1 0 0 ! 1 . 0 0 . ! ' '. .

Luego o sea .lim lim8 88 8 8

' ' ' l0 0 l. # 0 0 . l0 0 l. p!. . .


16.Sea medidas -finitas en . Sean y .- . 5 H - . - . \ 0 . . Si entonces 1 \` H ' 1. 10. . .'SOLUCION:Sabemos por el teorema de Radon-Nikodym que como son -- . 5finitas y entonces existe tal que , para todo- . ` H - . 0 \ I 0. 'I 1 \H ` H Supongamos que es una funcin simple, esto es existen + + + 1 + I B \1 B + " # < 3 I 3 3

3"

< distintos tales que donde , los ; H3

I \ I3 ": - J l0 B C 1 C l J B C aplicando el teorema de Tonelli tenemos:' ' ' ' ' d d d d ddl l0 B C 1 B l. C l. B l0 B C 1 C l. C . B J. - - - - - - l0 B C ll1 C l. B . C l1 C l l0 B C l. B . C ' ' ' ' d d d d- - - - l1 C l l0 B l. B . C l0 B l. B l1 C l. C' ' ' ' d d d d- - - -

Por otra parte tenemos ' ' ' ' ' l2l. l 0 B C 1 C . C l. l l0 B C 1 C l. C l . - - - - -d d . l0 B l. B l1 C l. C ' ' d d- -

28.Sea integrable en sea integrable en y se define en 0 \ 1 ] 2 ^ H . H /wpor . Si es el producto de y mostrar que es -2 B C 0 B 1 C 2 1 . / 1integrable y .' ' ' ^ \ ]2. 0. 1.1 . /SOLUCION: Si son funciones caractersticas como en la hiptesis tenemos3 0 1que existe tal que entonces . Existe tal queE 0 0. E F ^H ; . .E \' 1 1. F; / /F ]' . Luego ' ' ' '

\] \] \] \]E EFF2. 01. . . E F E F1 1 ; ; 1 ; 1 1 . /

. . 0. 1. ' ' ' ' ; . ; / . /E F \ ]33 0 + E 0 + 0Ahora supongamos que , donde esto es simple y la

3"

83 3 3E

"; 3representacin an cannica, para algn entonces tenemos1 F ^;F


2 0 1 + + + 7 3"

83 F 3 F 3E E E F; ; ; ; ;3 3 3

entonces tenemos que ' ' ' ' \] \]

3 3 3 3E F E F3"

82. 01. + . + . + E F 1 1 ; 1 ; 1 . /3 3

+ E F + . . 0. 1. 7 7 ' ' ' ' 3 3 3 F\ ] \ ]E. / ; . ; / . /3Anlogamente si 2 , ; ;E

3"

83 F 7 3

333 0 + 1 , E 0 + F 1 ,Si donde , tenemos 3" 4"

5 83 4 3 3 4 4E

" "; ;3 F4

2 0 1 + , + , 7 8 9 8 93" 4" 3" 4"

5 8 5 83 4 F 3 4E E; ; ; ;3 34 F4

entonces se tiene' ' ' 8 9 7^3" 4" 4" 3"

5 8 8 53 4 F 4 3 FE E2. + , . , + . 1 ; ; 1 ; ; 1^ 3 34 4

, + . . + . , . 5 7 7' ' ' ' 8 9

4" 3" 4"

8 84 3 F 3 4 FE E\ ] \ ]3 34 4; . ; / ; . ; /

+ . , . 0. 1. 7' ' ' ' 8 9 \ ] \ ]3 43" 4"5 83 4 FE; . ; / . /3@ 2 0 1 0 ! 1 !Sea ahora con (medible en relacin a y . /respectivamente). Por un resultado bsico (cal?) existen en y : ` H8 \existen en tales que < ` H8 w] + ! B B aB \ 8 : : 8 8" ! C C aC ] 8 < < 8 8"

, 0 B B B \ lim8 8

:1 C C C ] lim

8 8 > > ! > E K! > E F " > E > K " > E > K

; ; ; ;E EK K

.l l > >! > + K! > E K" > K E E K

; ; ;E E KK ?

39.Sea un conjunto, un lgebra de subconjuntos de y una medida\ \T .en . Si es un subconjunto arbitrario de , sea definida porT .F \ Fw . . T . . Tw w F E F E I I I inf . Mostrar que para todo y que. . . . w w F F \. Muestre que en el caso de que es una reuninnumerable de conjuntos con medida -finita. Es enumerablemente aditiva?.. .wSOLUCION: " I E I E I I E I . . T . T .w inf inf. . . . w

3"

3 3 F F F I I F ya que donde inf 3 "

E E FE I I FI . T . T 3" 3 3 3esta contenencia se tiene, ya que donde y . . E I I E I a3 "

3"

3 " 3


Luego inf inf E E FE I I FI . T . T 3 3 3 Q R d Q R Recurdese que si entonces inf infLuego . . w F F# \ \ \ Veamos que si con

8 8 8 w. . .

Hemos probado en que en general , resta ver que" F F. . w . .w F F o sea que I I FI E E F E . T . T3 3 3En efecto, .. . T T E I I F I E I F E 3 3 3 3

.es finita3 "8

por lo tanto tomando se tiene. . T E E E FE inf inf inf I I FI E E E . T . T3 3 3por lo tanto . . w F F aF \Luego tenemos en este caso que .. . w

40. Sea un subconjunto medible Lebesgue de . Mostrar que existe unE dconjunto medible Borel de tal que y . Mostrar queF d E F F E ! l todo conjunto medible Lebesgue es la reunin de un conjunto medible Borel con la misma medida y un conjunto de Lebesgue de medida nula.SOLUCION: 3 d Como es localmente compacto, -compacto de Hausdorff5tenemos que donde cada es compacto. As parad O O O O E" # 8 8y entonces y existen conjuntos abiertos % ! O E Z O El 8 8 8 tal que l 8 8 # Z O E 8 " # $ "%8"Si , entonces , as que Z Z Z E Z O E Z E 8 8 8 # l %Aplicando esto a en lugar de ; existe un conjunto abierto tal queE E [ E- -l - - -# [ E J [ EJ [E% . Si , entonces .Si es cerrada, entonces cada es compacto yJ J O J O J 8 8l l " # 8 O O O J J 8 cuando .Si haciendo obtenemos conjuntos cerrados y abiertos % 4 " # J Z"4 4 4 tales que y .J E Z Z J 4 4 4 4 "4l Tomando y , entonces es un y es unQ J F Z Q E F Q J F 4 4 5K F Q ! F E F Q F E F Q$, y . Como se sigue que ,l l l luego donde abierto .l 4 4 F E ! F Z Z a34 "


33 E 3Sea cualquier conjunto medible Lebesgue entonces de la parte se sigueque donde , cerrado , asE Q F Q Q J J a4 4 4l F Q ! y .l l l l l E Q F Q Q F Q Q

41.Sea un conjunto no enumerable y sea una coleccin de subconjuntos \ ITtales que es finito o es finito. Sea en definida as:I I- . T si es finito si es finito. I ! I I-Mostrar que es una medida en . Calcule la medida . Calcule la funcin de. T .conjuntos definida as " " son ellas las. . . Tw w F E F E infmismas?SOLUCION: " es una medida. pues es finito3 !. Sea , si es finito, , si finito33 I I I ! I IT . . - I !. Si , es finito, entonces en ese caso 333 a8 I I ! I ! . .8 8 I I I I

8 "

8 T es finito ,o, es infinitoSi es finito, entonces existe tal que en ese casoI 8 I a8 8 ! 8 !. . . 8 8I ! I I8 8 88 y se tiene .Si es infinitoI I !.

8 " 8

En efecto, entonces es un conjunto infinito entonces8 " 8 "

I I8 8T

# # es contradictorio por que no es un conjunto 7 8 " I \ po \8enumerable, luego es finito y concluyndose que

8 " 8 "

I I !8 8. 7

. . 7 8 " I I !8 88# F I I F I tales que . . T 3"

3 3 3 inf 3 "

3 F F Si es finito, entonces esta en y T . .33 F FSi es infinito, entonces puede ser infinito enumerable o infinito no

enumerable. Si es infinito no enumerable entonces es finito en ese casoF F-F F F T . o infinito no numerable tmese en este caso y tendramos- . . - F F. Ahora en el caso enumerable entonces es infinito no enumerable.Sea como as queda, F , , ! F , F !T . .

, F

definida ..$Clculo de la funcin .w


Si entonces y son no enumerables, entoncesF F FT - . . Tw F E E F E infEntonces en ese caso luego. . T 3 3 3 F I I

Sánchez - Teoría de La Integración

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