Modelado de sistemas de fluidos Sistemas hidrulicos Sistemas neumticos IV UNIDAD: MODELADO Y SIMULACIN Ogata, K. (2010). Ingeniera de Control Moderna, 5edicin Captulo 4 Modelado matemtico de sistemas de fluidos y sistemas trmicos Seccin 4-1 Introduccin (pp. 100 a 101) Seccin 4.2 Sistemas de nivel de lquido (pp. 101 a 106) Ejemplos de problemas y soluciones (pp. 140 a 142) Objetivos: Describir el modelado terico de sistemas fludicos. Definir los conceptos de resistencia y capacitancia hidrulica. LecturasSistemas de fluidos Los sistemas de fluidos por su naturaleza, pueden ser: 1. Hidrulicos, donde el fluido es un lquido no compresible. 2. Neumticos ,comprende los gases compresibles SISTEMAS HIDRULICOS SISTEMAS HIDRAULICOS Los fenmenos de la mecnica de fluidos se cuentan entre los ms difciles de modelar y analizar en sus aspectos dinmicos. Para fluidos compresibles en general es insoslayable tener en cuenta la variacin temporal y espacial de las magnitudes fsicas que los describen. Esto los categoriza como sistemas de parmetros distribuidos, y conduce a su tratamiento con modelos dinmicos en derivadas parciales(leyes fundamentales que gobiernan estos fenmenos estn resumidas en la ecuaciones de Navier-Stokes).Por otra partelos cambios en las variables descriptivas de los fluidos originan cambios en su temperatura, de la cual a su vez dependen los parmetros fsicos de aquellos. Esta fuerte relacin fluido-dinmico-trmico viene a aumentar la complejidad de las descripciones detalladas. Sin embargo, hay un subconjunto muy importante de sistemas fluido-dinmicos que se pueden describir con suficiente grado de aproximacin mediante modelos de parmetros concentrados. Esto significa que en determinadas regiones espaciales las magnitudes fsicas pueden considerarse uniformes (constantes en el espacio), teniendo slo variacin temporal. Esto permite su descripcin dinmica con ecuaciones diferenciales ordinarias. Este subconjunto de sistemas es designado usualmente como Sistemas Hidrulicos. En estos casos, el fluido es usualmente agua o aceite, y siendo muy baja su compresibilidad, muy altas las presiones de trabajo, y bajas las velocidades an para caudales importantes, se pueden hacer una serie de hiptesissimplificadoras que permiten tratarlos como circuitos hidrulicos. Elementos bsicos en sistemas hidrulicos Bloque del sistema de fluidos EntradaCaudalo gasto volumtrico (corriente elctrica) SalidaDiferencia de presin (diferencia de potencial elctrico) Sistemas hidrulicosvs.Sistemas elctricos Resistencia hidrulicaResistencia elctrica Capacitancia hidrulicaCapacitancia elctrica Inercia hidrulicaInductancia elctrica SISTEMAS HIDRULICOS Resistencia hidrulica El primer fenmeno que consideraremos es el de la resistenciahidrulica. Este fenmeno produce una cada de presin en un conducto a causa de la prdida deenerga (friccin interna en el fluido y de ste con las paredes del conducto). En general, la cada de presin se relacionacon el caudal segn una relacin constitutiva del tipo: 0 ) , ( = A Q P fEn ciertos casos particulares esta relacin es lineal, de la forma: 0 . = A Q R PResistor hidrulico (vlvula) La simbologa que se usa para estos elementos en circuitos hidrulicos es: R= resistencia hidrulica QPRA=En ciertos casos la relacin entre caudal y presin puede depender tambin de un parmetro que representa la variacin de la apertura de una vlvula. Entonces, se suelen tener caractersticas no lineales del tipo: En este caso la simbologa es: Relacin constitutivade una vlvula moduladora Vlvula moduladora p1 p2 Q1 Q2 H Sistema de nivel de lquido Debe considerarse: Rl = resistencia hidrulica para flujo laminar = H/Q Rt = resistencia hidrulica para flujo turbulento = 2 H/Q R (Rl o Rt) Estas expresiones son deducidas a continuacin Para estado estable: Ley que controla el flujo laminar :Q = k*H Q = velocidad de flujo del lquido en estado estable, m3/s k = coeficiente , m2/s H = altura es estado estable, m Para flujo laminar: La resistencia del flujo laminar es constante y anloga a la resistencia elctricaQHdQdHRl= =Resistencia hidrulica Usando la resistencia de flujo laminar, la relacin entre Q y H se puede expresar como: lRHQ =Resistencia hidrulica Para flujo turbulento: Velocidad de flujo en estado estable : k = coeficiente , m2,5/s Rt = resistencia para flujo turbulento :

H k Q =dQdHRt =(1) Derivando la ecuacin (1) dHHkdQ2=Reemplazando en (2) las expresiones (3) y (1) (2) (3) QHQ H HkHdQdHRt2 / * 22= = = =; de donde kHdQdH 2=Por tanto; QHRt2 =El valor de Rt se considera constante si los cambios en la altura y en el flujo son pequeos. Usando la resistencia de flujo turbulento, la relacin entre Q y H se puede expresar como: tRHQ2=(4) Capacitancia hidrulica Otro de los fenmenos que aparecen en los sistemas hidrulicos es el almacenamiento de energa potencial en un fluido. Esta puede ser energa potencial del campo gravitatorio ( en un tanque, por ejemplo) o energa potencial elstica. En este ltimo caso puede darse por acumulacin de materia en un volumen fijo dado (fluido compresible, donde aumenta la presinal aumentar la densidad) o por acumulacin de materia (fluido incompresible) en un recipiente de paredes elsticas, o por una combinacin de ambos efectos a la vez. Dado que se va a trabajar con caudales volumtricos, supondremos incompresible al fluido y le atribuiremos elasticidad a las paredes del recipiente. Los dos casos de almacenamiento de energa potencial (gravitatoria y elstica), se representan con un elemento denominado capacitor hidrulico, que bsicamente vincula presin y volumen de fluido acumulado con una relacin constitutiva del tipo: 0 ) , ( = V P fque en el caso lineal toma la forma: 0 . = P C Vdonde C es un coeficiente llamado capacitancia hidrulica m altura la en cambiom almacenado lquido el en cambioC, _ _ _, _ _ _ _3=Tanto en el caso lineal como en el no lineal, hay que agregar otra relacin constitutiva fundamental, que vincula dinmicamente el caudal con el volumen acumulado: 0 = -Q VEn un tanque de rea constanteA sabemos que la presin debida a la columna de agua es: VAgh P.. = =de donde resulta gAC. =Si el rea del tanque no es constante, la funcin que vincula P y V no es lineal ya que la relacin entre V y h no es lineal. p1 p2 q1 q2 h En la capacitancia, la razn de cambio de volumen, V, por unidad de tiempo del recipiente, es decir dV/dt, es igual a la diferencia entre el caudal de entrada, q1, y el caudal de salida, q2, esto es: dtdVq q = 2 1dtdpgAdtAh dq q.) (2 1= = Pero V=A*h.Asimismo , h en funcin de la diferencia de presinp, es : h = p/g. Reemplazando, tenemos: DemostracinPor tanto, la capacitanciahidrulica C se define como: Entonces, Integrando la ecuacin se tiene; gAC. =dtdpC q q = 2 1( )dt q qCp} = .12 1Inercia hidrulica La inercia hidrulica es el equivalente de la inductancia en un sistema elctricoo de un resorte en los sistemas mecnicos. Fuerza neta requerida para acelerar la masa lquida, m: F1 F2 = (p1 p1) A L F1=p1AF2=p2AMasa, m A= rea de la seccin transversal Esta fuerza neta acelera la masa con una aceleracin a = dv/dt, y por tanto; De la figura se observa que la masa del liquido tiene un volumen de V = A*L. Si consideramos la densidad del lquido, , entonces, la masa m ser: m = V* = A L , por tanto, reemplazando en la expresin anterior, tenemos; Pero el caudal es: q = A*v, y si derivamos: dq/dt=A(dv/dt) Entonces; ( )dtdvm A p p = 2 1( )dtdvALdtdvm A p p = = 2 1( )dtdqL A p p . .2 1= ( )dtdpIdtdpALp p = = .2 1ALI .=Arreglando la expresin, tenemos; Donde la inercia hidrulica queda definida por:TIPO DE ELEMENTO ELEMENTO FSICO ECUACINSMBOLO RESISTENCIA Resistenciafludica, hidrulica CAPACITANCIA Capacitancia hidrulica QPRfA=QhRhAA=dt dPQCh =ALI .=Elementos bsicos hidrulicosElemento bsicoEcuacin que lo describe Energa almacenada o potencia disipada Hidrulico Inercia Capacitancia Resistencia ( )dt p p qL} =2 11( )dtp p dC q2 1 =Rp pq2 1 =221Iq E =( )22 121p p C E =( )22 11p pRP =Elementos bsicos hidrulicosAPLICACIONES SISTEMAS HIDRULICOS Cuando se plantean sistemas hidrulicos fundamentalmente tenemos dos tipos de sistemas a modelar: Sistemas con acumulacin de lquido Sistemas con transporte de lquido (sin acumulacin) PROBLEMA La figura ilustra un sistema hidrulico simple donde un lquido entra y sale de un recipiente. Se puede considerar que este sistema est compuesto de un capacitor, que es lquido en el recipiente, y una resistencia, dada por la vlvula de salida. Tambin se puede considerar que la inercia es despreciable , dado que los caudales cambian de manera muy lenta. Para estas consideraciones, determine el modelo matemtico del sistema. qi qo h C R Sistemas con acumulacin de lquido SOLUCIN La capacitancia del tanque C es igual a su rea transversal A. Si sta es constante, la capacitancia es constante para cualquier altura.Para el sistema lineal o linealizado, la ecuacin diferencial, se obtiene del modo siguiente: Dado que el flujo de entrada menos el flujo de salida durante un pequeo intervalo de tiempo dt es igual a la cantidad adicional almacenada en el tanque, observamos que: ( )dt q q Cdho i = (1) A partir de la definicin de resistencia R, la relacin entre qo y h se obtiene mediante; Rhqo =(2) Reemplazando en la ecuacin (1), se obtiene la E.D. para este sistema. iRq hdtdhRC = +(3) Donde RC es la constante del tiempo del sistemaTomando transformada de Laplace a ambos miembros y suponiendo la condicin inicial de cero, tenemos: ( ) ) ( ) ( 1 . s RQ s H s RCi= +(4) Si se considera qi la entrada y h la salida, la funcin de transferencia es: 1 . ) () (+=s RCRs Qs Hi(5) Pero si consideramos qi la entrada y qo la salida, la funcin de transferencia ser: 1 .1+=s RC QiQo(6) en donde hemos tomado transformada de Laplace a la relacin (2); esto es: ) (1s HRQo =Y luego, reemplazando H(s) en la expresin (5) se llega a la expresin (6). Sistemas de nivel de lquido con interaccin PROBLEMA La figura muestra dos tanques interconectados. Determine la funcin de transferenciaentre la entrada q(t) y la salida q2(t) Se supone que las variaciones de las variables son pequeas respecto de los valores en estado estable h1 h2 C1 C2 R1,q1 R2,q2 q Tanque 1Tanque 2 q2 SOLUCIN Para el sistema mostrado en la figura se tiene: 112 1qRh h=111q qdtdhC =(1) (2) (3) (4) 222qRh=2 122q qdtdhC =Resolviendo; De (1): 1 1 2 1q R h h + =De (3): 2 2 2q R h =Reemplazando (6) en (5) (5) (6) 1 1 2 2 1q R q R h + = (7) Derivando (7) dtdqRdtdqRdtdh11221+ =Reemplazando en (2); 11122 1q qdtdqRdtdqR C =((

+(8) Derivando (6); dtdqRdtdh222=Reemplazando en (4) 2 122 2q qdtdqR C =Reacomodando trminos, 1 222 2q qdtdqR C = +(9) Tomando transformada de Laplace a (8) ) ( ) ( ) ( . . ) ( . .1 1 1 1 2 2 1s Q s Q s Q s R C s Q s R C = +Reacomodando trminos ( ) ) ( ) ( 1 . ) ( . .1 1 1 2 2 1s Q s Q s R C s Q s R C = + +(10) Tomando transformada de Laplace a (9) ( ) ) ( ) ( 1 .1 2 2 2s Q s Q s R C = + (11) Reemplazando (11) en (10); ( )( ) ) ( ) ( 1 1 ) (2 2 2 1 1 2 2 1s Q s Q s R C s R C s sQ R C = + + +( ) | | ) ( ) ( 12 2 1 2 2 1 122 2 1 1s Q s Q s R C R C R C s R C R C = + + + +Operando y reacomodando trminos La funcin de transferencia ser: ( ) 11) () (2 1 2 2 1 122 2 1 12+ + + +=s R C R C R C s R C R C s Qs QDiagrama de bloques del sistema s C1111Rs C2121RQ(s) Q2(s) - ++ - - + H1(s) Q1(s) H2(s) s C1111Rs C2121RR1C1s - - - + + + Q1(s) Q(s)Q2(s) Reduccin del diagrama de bloques: (a), (b) , (c) (a) 111 1+ s C R 112 2+ s C Rs C R1 2+ - Q(s)Q2(s) ( ) 111 2 2 2 1 122 2 1 1+ + + + s C R C R C R s C R C RQ(s) Q2(s) (b) (c) PROBLEMA Modele de la variacin de altura del lquido en funcin del flujo de entrada del tanque Qi. Qi Qo h 12 En este tipo de sistemas se plantea la ecuacin de continuidad que establece que la variacin de masa de lquido en el depsito por unidad de tiempo es igual a la masa de lquido que entra menos la que sale (se desprecia fenmenos de evaporacin y condensacin). Matemticamente se formula como: ( ) = Wo WidtdmSOLUCIN Donde W el flujo msico del fluido que es igual al flujo volumtrico por la densidad. Se tiene que: ( )dtdVdtdVVdtd + =En este caso tenemos un solo flujo que entra y otro que sale. Por simplicidad, supondremos que el fluido que entra no cambia sus propiedades (densidad constante) y que no existe ningn tipo de reaccin qumica en el depsito y podremos decir que la densidad del lquido que entra es igual a la del interior del depsito e igual a la que sale ( = i = o). De modo que el balance msico puede expresarse como: ( )o iQ QdtdVdtdVVdtd. . = + =Si suponemos la densidad () constante (su derivada es nula, ) y entonces: ( ) =o iQ QdtdVSi se supone que el depsito es un paraleleppedo, el volumen del lquido ser igual a la seccin transversal del tanque (A), que es constante, por su altura (h), entonces; o iQ QdtdhAdtdV = =Para el ejemplo propuesto tenemos dos flujos uno de entrada de valor conocido Qi y otro de salida (Qo), cuyo valor desconocemos, pero usando las leyes de la hidrodinmica puede modelarse. Segn las leyes de la hidrodinmica el flujo de lquido que fluye por un conducto es proporcional a la raz cuadrada de la diferencia de presiones entre sus extremos: 2 1P PC Qv=Siendo Cv un parmetro que depende del dimetro de la conducto, longitud y material. En el caso del ducto de salida del depsito podemos suponer que la presin en el punto 2 (exterior) es la presin atmosfrica (Patm) y que, segn las leyes de la hidrodinmica, la presin en el punto 1 (interior) es la presin atmosfrica ms la debida a la altura del lquido (Patm + g h). de modo que el flujo a travs de la conducto de salida ser: ( )atm atmv oP gh PC Q +=Que si suponemos la densidad constante podemos expresar el flujo de salida como: h g C Qv o. =De modo que finalmente tendremos que: h g K Qo. =De modo que finalmente tendremos que: h g K Qo. =h g K QdtdhAi. =0 . = +iQ h g KdtdhAQue representa el modelo de la variacin de altura del lquido en funcin del flujo de entrada como una ecuacin diferencial de primer orden de coeficientes constantes pero no lineal. Reacomodando la expresin; SISTEMAS DE NIVEL En los sistemas de nivel los cambios en el volumen del lquido en el tiempo son iguales a la entrada actual del lquido menos la salidaactual del mismo. h A u1 u2 En forma matemtica se escribe como: donde: V = volumen del lquido [m3] A = rea de la seccin transversal del tanque [m2] h = nivel del lquido [m] u1 = flujo de entrada [m3/s] u2 = flujo de salida[m3/s] S se toma como seal de regulacin el flujo de entrada u1 y el flujo de salida u2 es variable y se toma como perturbacin en el sistema, la ecuacin de balance para el sistema es: 2 1u udtdhAdtdV = =2 1u udtdhAdtdV = =Aplicando la transformada de Laplace, se obtiene: A s H(s) = U1 U2 As U Us Hs G1 ) () (2 1==) ( ) () (t y t udtt dV =) ( . . ) ( t n g p t pa + =Nivel de un tanque de agua ) ( . ) ( t n A t V =221) ( Kv p t pa = ) ( . ) ( t v S t y =K=Coef. Prdidas Material Longitud Geometra Condiciones del flujo Vlvulas; tipos MariposaBola El fluido circula por la diferencia de presin Presin de impulsin Cada de presin en instalacin Cerrando la vlvula (o aadiendo ms tubera) se aumentan las prdidas Menor caudal SISTEMAS NEUMTICOS Sistemas neumticos En los sistemas neumticos , al igual que en los sistemas hidrulicos, los elementos bsicos son tres: 1) La resistencia 2) La capacitancia 3) La inercia Pero la diferencia est en que los gases son compresibles; es decir, que un cambio de presin modifica el volumen, y por tanto su densidad. En consecuencia, es conveniente expresar las relaciones en funcin del flujo msico, dm/dt,en lugar del caudal. Resistencia neumtica La resistencia neumtica, R, se define en funcin del flujo msico. La diferencia de presin, (p1-p2), queda definida por: -= = m RdtdmR p p .2 1Capacitancia neumtica La capacitancia neumtica, C, se debe a la compresibilidad del gas y es comparable a la forma en que la compresin de un resorte almacena energa . La razn de cambio de la masa en un recipiente, es: Siendo el gas compresible, tanto como V pueden variar con el tiempo, Por tanto; dtV ddtdmdtdm ) . (2 1= dtdVdtdVdtV ddtdmdtdm .) . (2 1+ = = Expresemos el caudal como:dV/dt=(dV/dp)(dp/dt) Aplicando la ecuacin para el caso de gas perfecto: pV=mRT Despejando; p=(m/V)RT= RT Y, derivando: dp/dt=RT.(d/dt) Despejando, tenemos: d/dt=(1/RT)(dp/dt) Reemplazando en la ecuacin anterior; La capacitancia neumtica que produce el cambio de volumen del recipiente, C1; se define como: y la capacitancia neumtica debida a la compresibilidad del gas, C2 , es: dtdpRTVdpdVdtdpRTVdtdpdpdVdtdmdtdm||.|

\|+ = + = .2 1 dpdVC .1 =RTVC =2Por tanto; o dtC Cp pmm.2112 12 1}||.|

\|+= --( ) dtdpC Cdtdmdtdm2 12 1+ = Inercia neumtica La inercia neumtica se debe a la cada de presin necesaria para acelerar un bloque de gas. De acuerdo con la segunda Ley de Newton, la fuerza neta es: m a = d(mv)/dt Dado que la fuerza proviene de la diferencia de presin, (p1 p2), entonces, si Aes el rea transversal del bloque de gas que se acelera, entonces; dtmv dA p p) (). (2 1= Pero m, la masa del gas que se acelera, es m=.L.A, donde es la densidad del gas y L la longitud del bloque de gas que se est acelerando, pero el caudal q= A.v, donde v es la velocidad, se tiene: reemplazando PeroPor tanto; Siendo la inercia igual a: q LAqA L v m . . . . . . = =dtq dLdtmv dA p p) . ( ) (). (2 1= = q m . =-dtm dIdtm dALp p- -= = ) ( ) () (2 1ALI =Elemento bsicoEcuacin que lo describe Energa almacenada o potencia disipada Neumtico Inercia Capacitancia Resistencia ( )dt p p mL } =-2 11( )dtp p dC m2 1 =-Rp pm2 1 =-221-= m I E( )22 121p p C E =( )22 11p pRP =Elementos bsicos neumticos FIN