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Preguntas Propuestas

. . .

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Aritmética

Teoría de conjuntos

1. Dados los conjuntos A={8; 9; 14; 2; 6; 16; 20; 5; 4; 37}

B

xx= +

∈ <

+2 13

15Z

D={x2+1/–1 ≤ x ≤ 6 ∧ x ∈ Z} calcule la suma de los elementos del conjunto

{[(A ∆ B) ∩ D] ∪ (A ∩ D)}.

A) 40 B) 55 C) 70D) 64 E) 37

2. Sea A={1; 2; 3}. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes expresiones.

I. ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ A: x2 < y+1

II. ∀ x ∈ A; ∃ y ∈ A / x2+y2 < 12

III. ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ A; ∃ z ∈ A / x2+y2 <2z2

IV. ∃ x ∈ A; ∃ y ∈ A / ∀ z ∈ A: x2+y2 < 2z2

A) VFVV B) VVFV C) VVVFD) FVVV E) VVVV

UNI 2000 - I

3. Dados tres conjuntos A, B y C, se cumple lo siguiente:

• n[B ∩ (C – A)]=4 • n(A ∩ B) < n [{x ∈ A / x ∉ C}]

• n P C B

n P B C−( )[ ]

= −( )[ ] =2

32

• n(A ∪ B ∪ C)=17 Determine n[A – (B ∪ C)].

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

4. Se cumple lo siguiente

• n[P(P(A))]=n[P(B – C)]

• n[B –(A ∪ C)]=27

• n[P(A – B)]=n[(B ∪ C)C]=n[P(A ∩ C)]=1

• n(U)=[n(BC)]2=2n(B – C)

Calcule el número de elementos de (B ∩ C).

A) 21 B) 22 C) 23D) 24 E) 25

5. De un grupo de 300 deportistas se sabe lo siguiente:

De los varones • 60 de los peruanos corren para calentar. • 25 no corren para calentar, pero no están

lesionados. • 60 de los extranjeros corren para calentar. • 8 extranjeros están lesionados y no corren

para calentar. De las mujeres • 120 son peruanas que no están lesionadas o

extranjeras que corren para calentar. • Las peruanas lesionadas son tantas como

las peruanas que no lo están y que no co-rren para calentar, y, a su vez, esta cantidad es la tercera parte de las deportistas extran-jeras que están lesionadas y no corren para calentar.

¿Qué cantidad de deportistas son extranjeros que no están lesionados, pero no corren para calentar si esta cantidad es la mitad de los pe-ruanos lesionados que no corren para calentar?

A) 12 B) 6 C) 4D) 8 E) 5

6. Sean A, B y C conjuntos. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en las siguientes proposiciones y elija la secuencia correcta.

I. ∀ A; ∀ B; P(A ∪ B) ⊂ P(A) ∪ P(B) II. ∀ x ∈ B; x ∉ C, entonces P(C ∩ B)=f III. ∀ A; [C ⊂ A ∧ C ≠ A] → C es subconjunto

propio de A. IV. (A ∪ B) – C=(A – C) ∪ (B – C)

A) FFFVB) FVFVC) VFVVD) FVVVE) FFVV

3

Aritmética7. ¿Cuántos de los siguientes enunciados son

correctos? • Si A ⊂ U y B ⊂ U, entonces A ∆ B ∈ P(A). • Si A ∆ B=B ∩ AC, entonces A ⊂ B. • Sean A, B ⊂ U. Si B ∈ P(A) y A ∈ P(B), en-

tonces A=B. • Si C=(A\ B) ∪ B, entonces [(B\ A) ∪ C] ∪ A=A ∪ B • Si A ∩ BC=f, entonces (A ∆ B)\B=A.

A) 3 B) 4 C) 2D) 5 E) 1

8. En un aula de 78 estudiantes se tomó cuatro exámenes: Aritmética, Geometría, Química y Letras.

• Tres no aprobaron ningún examen. • Todos los que aprobaron Letras aprobaron

Aritmética. • Ninguno que aprobó Letras aprobó Geo-

metría. • Todos los que aprobaron Química aproba-

ron Geometría, pero no Aritmética. • Diez aprobaron Geometría y Aritmética. • Los que aprobaron Aritmética, pero no

Geometría son tres quintos de los que apro-baron solo Geometría.

¿Cuántos aprobaron Química, pero no Aritmé-tica si esta cantidad se divide exactamente en-tre siete?

A) 35 B) 30 C) 49D) 7 E) 28

Teoría de numeración

9. Si la cantidad de numerales de la siguiente for-

ma abcab

a b d

+( )

( )9 es xyz, calcule la canti-

dad de sistemas de numeración en los que xyz

se pueda expresar con cuatro cifras.

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

10. Se sabe que cn(n+1)=amcmn=aa0d(n+1)

Además, el menor numeral capicúa de cuatro cifras en base n se escribe en base decimal como ebb; b y d son pares. Calcule a+b+c+d+m+n.

A) 21 B) 22 C) 23D) 24 E) 25

11. En cierta base b un número N tiene la forma de 11111b, en la base b –1 dicho número tiene la forma 15ABC(b –1), donde las tres letras son dígitos. Entonces el valor de b es

A) 6B) 8C) 10D) 11E) mayor que 11

UNI 2001 - I

12. Si (a –1)(a –1)(a –1)(a –1)(a –1)a=bbb(a –1)

y cccccc(c+1)=(m –1)(m –1)(m –1)m=eddcc,

además abcn=(a+d)(a+b)m, calcule n.

A) 8 B) 7 C) 9D) 11 E) 6

13. Si a00a8=b0(b – 2)(b –1)5

ac aa d da dacac

ac

b

a b

= +( ) >

+( )

1 0y

mnnumerales

calcule la suma de valores de mn.

A) 161B) 172C) 176D) 181E) 186

. . .

4

Aritmética

14. Si ab(a+1)b5(a+b)=(a –1)01(b+1)89

mn pq rt abbaaaK K( )( )( ) =2

además mn+rt=pq –1 calcule m×n+p×q+r×t.

A) 12 B) 15 C) 17D) 19 E) 21

15. Si se cumple que

a n a n c d e

n

n−( )( ) +( ) = −( ) +( ) +( ) +( )4 3 1 3 1 22121112

12

3

9 numerales

además pqpqpqK=(a+2)1(e+1)(d – 2) calcule p+q+K.

A) 6 B) 8 C) 9D) 10 E) 11

16. Si ab ab ab ab c c c c( )( )( ) ( ) = ( )( )( )... ...20

64 0 0 0 cifras

� ����� ����� 0030

16( )

cifras� ���� ���� ,

¿cuántos numerales impares se pueden expre-sar con a y b+c cifras en el sistema cuaternario y quinario?

A) 61 B) 60 C) 58D) 29 E) 30

Sucesiones

17. Sea la sucesión definida por an, tal que a4=15; a(n+1)=2an+1 Calcule el valor de a10.

A) 1024 B) 256 C) 2048D) 1023 E) 4096

18. Calcule el valor de la expresión

N

K= + + + +8 88 888 88 89 9 9 9... ...

cifras

A) 9 8 9

8

1K K− − −

B) 9 8 8

8

1K K+ − +

C) 9 8 9

8

1K K+ − +

D) 9 8 9

8

1K K+ − −

E) 9 8 8

8

1K K+ − −

19. En una sucesión lineal se cumple que la suma de los términos de lugares 15; 25 y 35 es 16 875 y la suma de los términos comprendidos entre el término de lugar 9 y término 51 es 266 500. Calcule el término cuyo lugar es de 3 cifras si la suma de cifras equidistantes de los extre-mos es una vez más la cifra central del mismo, además este es el menor posible e indique la suma de cifras de su resultado.

A) 17 B) 18 C) 19D) 25 E) 21

20. Calcule el número de términos de la siguiente sucesión.

a71ba; a68ba; a65ba; ...; (a –1)93ba

A) 24 B) 25 C) 26D) 27 E) 28

21. Determine a si en la siguiente P. A. hay un total de 9 términos.

anm; ...; mn7; p07; pm7

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

22. La siguiente sucesión lineal tiene 36 términos.

a5K; a7K; b1K; ...; 1baK

A) 4402K B) 4400K C) 2304KD) 2300K E) 3400K

23. En la siguiente sucesión de segundo orden 123n; 136n; 152n; 170n; ... determine el término de lugar 25.

A) 1840 B) 1322 C) 1021D) 942 E) 824

5

Aritmética24. La suma de los n términos de una sucesión

está dada por

Sn

n n= − +[ ]6

2 3 192

Determine la suma de los términos que ocupan el lugar 11 y lugar 15.

A) 340 B) 302 C) 360D) 312 E) 384

Operaciones fundamentales en Z+

25. Se cumple que ab79+bcc9+aa39=dc3a9. Calcule el valor de a×b+c×d.

A) 22 B) 14 C) 23D) 13 E) 20

26. Obtenga la suma de los n primeros números naturales que tengan todas sus cifras iguales a 7, más la suma de los n primeros números naturales que tengan todas sus cifras iguales a 1.

A) 89

10 9 101n n+ − −( )

B) 881

10 9 101n n+ − −( )

C) 881

10 10 91n n+ − −( )

D) 881

10 91n n+ −( )

E) 881

10 9 91n n+ − −( )UNI 2007 - I

27. Se cumple que

abcdn – cdcbn=c(c – 2)(b+1)bn

Además a×b×c=1d0n. Calcule n+b+c+a.

A) 30 B) 25 C) 24D) 26 E) 23

28. Calcule la suma de todos los complementos

aritméticos de los numerales de dos cifras im-

pares y diferentes entre sí de la base n (n es

par y mayor que 3).

A) n n n2 1 2

2−( ) −( )

B) n n2 1

8−( )

C) n n n2 1 2

4−( ) −( )

D) n n n−( ) +( )1 2

8

E) n n n2 2 1

8−( ) −( )

29. Al multiplicar un numeral impar de dos cifras

por un numeral par también de dos cifras,

se obtiene un producto cuya suma de cifras

es 21. Pero si al numeral impar se le sumaran 5

unidades y al otro se le duplicara, el producto

aumentaría en 3906. Calcule la suma de los

numerales de 2 cifras iniciales.

A) 121B) 129C) 125D) 107E) 103

30. Al multiplicar ab57 por ca7 se obtiene como suma de los productos parciales ccc37. Calcule la suma de cifras del producto final que está expresado en base 7.

A) 30 B) 24 C) 18D) 27 E) 21

. . .

6

Aritmética

31. Al dividir ab59 entre 92, el residuo que se obtie-ne es el C.A. del cociente. ¿Por cuánto, como mínimo, debemos multiplicar al dividendo para que al realizar la división se obtenga un residuo máximo?

A) 7B) 9 C) 5D) 11 E) 13

32. En una división inexacta, al residuo le faltan 10 unidades para ser máximo; pero si se triplica al dividendo y se realiza nuevamente la división, el cociente aumenta en 51 unidades y se obtiene un residuo distinto de cero. Calcule la suma del menor y mayor valor que puede tomar el dividendo.

A) 1275 B) 1257 C) 1252D) 1226 E) 1246

Teoría de divisibilidad

33. Si abcd = +19 8º

, tal que cd=2 · ab, halle cuántos términos de la siguiente progresión aritmética.

a b ab ba+( ); ; ; ...

50 términos� ���� ����

dejan como residuo 5 cuando se dividen entre 7.

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

34. El producto de tres pares consecutivos termina en cifra 8; además, al dividirlo entre 17 y 19 se obtiene 9 y 10 de residuo, respectivamente. Calcule la suma de dichos números si estos son los menores posibles.

A) 72 B) 102 C) 78D) 48 E) 42

35. Roberto puede comprar n polos con S/.145 a

S/.17 cada uno y m bividís, a S/.7 cada uno. Con

S/.(n –1)(m – n)0, ¿cuántos libros de Aritmética

y Álgebra se pueden comprar, como máximo,

si el costo unitario es de 13 y 17 soles, respec-

tivamente, y se debe usar todo el dinero exac-

tamente?

A) 26 B) 27 C) 22D) 23 E) 24

36. Si entre 35a y b7c hay 88 números que son divisibles entre 7, calcule la cantidad de números múltiplos de 3 o 4, pero no múl-tiplos de 9 que hay entre los primeros abc números, además, a+c=2b –1 y a < c.

A) 320 B) 299 C) 450D) 350 E) 220

37. Si la suma de todos los números de tres cifras que terminan en tres que son

13 1º

− es abcd,

calcule b+c.

A) 10 B) 9 C) 7D) 5 E) 8

38. Al dividir A y B entre 11 se obtienen residuos impares, y cuando dividimos A×B2 entre 11, el residuo obtenido es 4; además, al producto A2×B le faltan tres unidades para ser divisible entre 11. ¿En qué cifra termina 2A+3B al expre-sarlo en el sistema undecimal?

A) 6 B) 5 C) 4D) 9 E) 8

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Aritmética

Claves

01 - B

02 - C

03 - C

04 - D

05 - E

06 - C

07 - A

08 - C

09 - A

10 - C

11 - E

12 - A

13 - D

14 - C

15 - B

16 - E

17 - D

18 - D

19 - D

20 - D

21 - A

22 - B

23 - D

24 - B

25 - B

26 - B

27 - B

28 - E

29 - C

30 - C

31 - B

32 - C

33 - C

34 - A

35 - A

36 - D

37 - B

38 - B

39 - D

40 - E

39. En la presentación de un libro de Aritmética se observó que la séptima parte de los asistentes varones usaba anteojos y los 3/4 de estos tenían reloj; la octava parte de las mujeres usaba fal-da y la décima parte tenía el cabello corto. Si la cantidad total de asistentes es un número ca-picúa de tres cifras mayor de 300 y cuya suma de sus cifras es 13, calcule la mínima diferencia entre los asistentes varones y mujeres.

A) 36 B) 64 C) 72D) 56 E) 28

40. Consideramos la siguiente expresión.

E(n)=n2+(n+1)2+(n+2)2+...+(n+9)2; n ∈ N

Entonces podemos decir que E n( ) = 7º si

A) no existe n ∈ N/E n( ) = 7º

B) n ∈ {7r – 5/r ∈ N} ∪ {7t – 4/t ∈ R}

C) n ∈ {7t – 2/t ∈ N} ∪ {7s –1/s ∈ N}

D) n ∈ {7r – 3/r ∈ N} ∪ {7r – 4/r ∈ N}

E) n ∈ {7t – 6/t ∈ N} ∪ {7r – 3/r ∈ N}

UNI 2008 - II