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PreguntasPropuestas

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lgebra

Nmeros complejos I

1. Dado el complejo

z i i i= = 2 2 1 2 15363

;

halle el mdulo dez.

A) 2 B) 2 C) 26

D) 23 E) 212

2. Se define la expresinfcomo

f i i

nn

n n

( )= +

+

1

2

1

2, N .

Determinef

f

n

n

+( )

( )

4 .

A) 1 B) 2 C) 1

D) 0 E) 2

3. Dado el nmero complejo

z=x+yi;x< 0 yR {0}

de modo que

Re Re Im Im7 6

3 21 11

z z z z i

x yi

( ) ( )( )+ ( ) + ( )( ) =

+( ) indiquez*.

A) 2+2i B) 2 2i C) 1+i

D) 2+i E) 1i

4. Siz C, de modo que

z2+|z|2=12i+8

indique el complejoz.

A) 2+3i B) 2 3i C) 3+2iD) 3 2i E) 3+3i

5. Sizes un nmero complejo que verifica

z mi i z z= + + ( ) ( )3 1 halle el valor dem; (mR).

A) 3 B) 9 C) 27

D) 81 E) 243

6. Sabiendo que Re(z1z2)= 1, determine el va-

lor dek+i.

k z z z z i= +( )1 2 1 2

A) 5 B) 3 C) 2

D) 2 E) 1

7. Halle el modulo del complejow.

w i

i

i

i

=+( ) +( )

+( )

3 1

1 3

2 3

5

A)1

6 B) 8 C)

1

8

D) 13 E)

1

2

8. De las siguientes afirmaciones seale verda-

dero (V) o falso (F) segn corresponda y de

cmo respuesta la secuencia correcta.

I. |z|=|z*|, z C

II. |z+w|2 |zw|2=4Re(zw), z,w C

III. Si |z|>1; |w|

11.

A) VVF B) FVF C) VFF

D) VFV E) VVV

9. Calcule el rea de la regin que genera todos

los complejoszque satisfacen la desigualdad

3 |z 1+i| 6

A) 9pu2 B) 27pu2 C) 36pu2

D) 20pu2 E) 3pu2

10. Sea el conjuntoA={z+3i/zC |(z)*+2+i|=2}

siw=x+yiA, seale la alternativa correcta.

A) (x+1)2+(y 2)2=22

B) (x+1)2+(y+2)222

C) (x 1)2+(y+2)2=32

D) (x 2)2+(y 2)2=22

E) (2 x)2 (2 y)2=22

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lgebraNmeros complejos II

11. Indique verdadero (V) o falso (F) segn corres-

ponda con respecto al nmero complejo.

z i= +

2

3 3

cos sen

I. Su mdulo es 2.

II. Su argumento principal es

3.

III. Su forma exponencial es z ei

=2

4

3

IV. El afijo se ubica en el tercer cuadrante.

A) FFFV B) FFVV C) FVFV

D) VVFF E) VVVF

12. Determine el argumento del complejow.

w i

i

=+( )

+( )

3

1

5

3

A)5

12

B)

12 C)

2

3

D)5

2

E)

6

13. Los complejosv,z,wson tales que

z=

2

2

2

2;

vz

w

=

Arg(w)=30

Determine el valor de Arg(v)

A) 165 B) 175 C) 180D) 195 E) 205

14. Determine el valor reducido del complejoz.

z

cis=

( ) ( )

( ) ( )

cis

is cis

850 1230

860 1250

c

A) cis60 B) cis30 C) cis20

D) 1 E) 2

15. Halle la forma binmica del complejoz.

z i i

i

= +( ) +( )[ ]

+( )

cos sen sen cos

sen cos

17 17 2 62 62

83 83

3 2

11

A) 3i B) 3+i C)1 3

+ i

D) 1 3 i E)3

2

1

2+ i

16. Halle el valor reducido deA.

A

x x

x x x x

=

( )

cos cos

cos sen sen cos

5

2

5

2 2 2

sug. utilice el teorema de Moivre.

A) 3 B) 1 C) 5

D) 10 E) 2

17. Siendozun nmero complejo cuyo argumento

principal es , tal que

z

z

z

z

+

=

2 2

1

D como respuesta el valor de.

< >

16 10; .

A) 13 B) 15 C) 75

D) 78 E) 82

18. Dadas las siguientes proposiciones:

I. Las races de ein 1=0, pertenecen a un

polgono regular denlados n R.

II. Sieiq=a+bi y

4

3

4; ,entonces

a 22

22

; y b 22

1;

III. Dadosa, b 0; 2p, tal que b>a, si cosa=cosb,

entoncesei(a+b)=1.

Indique cules son correctas.

A) solo I B) solo II C) solo III

D) I y II E) II y IIIUNI 2010 - I

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lgebra

19. Simplifique

w w w w= + + + + +1 2 3 4 52 3 4

2013

...

sumandos

dondewes la raz cbica de 1, tal quew1.

A) 2013

1w B)

2012

1w C)

2013

1w

D)

2012

1w E)

1

1w

20. Si z1, es una raz n-esima de la unidad,

calcule el valor de la siguiente suma.

w=z+z3+z5+...+z2n 1

A) 3 B) 1 C) 0

D)z 1 E) 2

Ecuaciones polinomiales I

21. Dado el polinomioP(x)=ax4+bx3+cx2+3x 18

tal que P( 1)=0 y el conjunto solucin de la

ecuacin P(x)=0 tiene la forma {a; 3; 3; b},

adems a b 3, indique el valor numricode abc.

A) 91 B) 13 C) 101

D) 91 E) 13

22. Si la ecuacinx x2 3 1 0 + =

tiene CS={a; b}, halle el valor de

(1+a+a2+...+a8)(1+b+b2+...+b8)

A) 2 3 B) 2 2 3( ) C) 2 2 3+( )

D) 2 3+ E) 2

23. Si las races de la ecuacin

(2n2 3n 2)x2 2009x+(6n 2)=0

son recprocas, segn ello, seale la posible

relacin correcta respecto a la ecuacin.

(n5 32)x2+(2n 9)x=2009

A) La ecuacin es lineal.

B) Tiene dos races positivas.

C) Es una ecuacin de races simtricas.

D) La suma de races es 1.

E) El producto de races es 2009.

24. Si (p+q) y (pq) son las races de la ecuacin

x2+bx+c=0, halle un polinomio de segundo

grado enxcuyas races sean (p+2q) y (p 2q)

A) 3x2+2bx+c

B)x2 2bx+3c

C) 5x2+3bx+c

D) 4x2+4bx+16c 3b2

E) 2x2 4xc+b

25. Si las ecuaciones cuadrticas

ax2+bx=5

2bx2+(3a+b)x=15

son equivalentes, segn ello, calcule un valor

de ab.

A) 16 B) 4 C) 8

D) 9 E) 25

26. Dada la ecuacin polinomial

x4 7x3+ax2+bx+c=0

cuyo conjunto solucin tiene la forma {2; 2; 2; a}

a2.

Indique el valor de a+b+c.

A) 0 B) 18 C) 6

D) 28 E) 6

27. Si las races de la cuadrtica

ax2 ax+8=0; a0

son x1y x2, indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones.

I. Si a2> 32a x1x2 II. Si a2> 32a {x1;x2} R

III. Si a2=32a x1=x2

A) VVV B) VVF C) FFV

D) VFF E) FVV

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lgebra28. Six1,x2yx3son las races de la ecuacin

3x2+x+1=4x3, determine el valor de

1 1 1

1 2

2

1 3

2

2 3

2x x x x x x( )

+

( )+

( )

A) 19 B) 10 C) 7

D) 17 E) 13

29. Si una raz de la ecuacin de coeficientes

racionales:

2x3 2x2nx+n1=0 es

=

+

+

+

+

+

1

1 3

1

3 5

1

5 7,

entonces, cul es el valor den?

A) 1/7 B) 8 C) 1/8

D) 1/2 E) 7

30. Dado el polinomio

f(x1)=2(x+4)(2x+1)(3x1)+1

determine el valor de verdad de las siguientes

proposiciones.

I. La suma de races de la ecuacin en x:

f(x)=0 es 43

12.

II. El producto de races de la ecuacin enx:

f(2x1)=0 es 5/96.

III. El nmero de races def2(f3(x)) es 54.

A) VFF B) VVF C) FVF

D) FFV E) FVV

Ecuaciones polinomiales II

31. Determine la ecuacin polinomial mnica de

menor grado posible y de coeficientes racio-

nales que acepte como una raz al nmero

irracional

2 3+ ; luego indique el valor de verdad de

las siguientes proposiciones.

I. El producto de todas sus races es igual a la

unidad.

II. La suma de sus races es 0.

III. La suma de sus productos binarios es 10.

IV. Es una ecuacin bicuadrada.

A) FVVF

B) FVFV

C) VVFF

D) FVVV

E) VVFV

32. Se sabe que una raz de la ecuacin

16x4

+mx3

+nx2

+9=0; {m,n} Z

es2

2

+i. Determine el valor dem+n.

A) 16 B) 10 C) 8

D) 6 E) 17

33. Si una raz de la ecuacin de coeficientes

racionales:

2x3 2x2nx+n1=0 es

=

+

+

+

+

+

1

1 3

1

3 5

1

5 7,

entonces, cul es el valor den?

A) 1/7 B) 8 C) 1/8

D) 1/2 E) 7

34. Dados los polinomios definidos enQ

f(x)=x5+4x4+4x3x2 18x+m

g(x)=x4+6x3+5x2+nx 4

Si el MCD(f,g) acepta como raz al nmero

+1 5, entonces, cul es el valor demn?

A) 38 B) 40 C) 48

D) 52 E) 56

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lgebra

35. Si x1, x2, x3 y x4 son las races de la ecua-

cin bicuadrada ax4+48x2+b=0 tal que

(x1x2) 1+(x3x4)

1=12, entonces, cul es el

valor deb? (x3+x4=0)

A) 1/2 B) 0 C) 1D) 1 E) 4

36. Determine los valores de apara que la siguien-

te ecuacin bicuadrada tenga races reales.

x4+(a+2)x2+a+4=0

A) [ 4; 1] B) [ 4; 2] C) [ 4; +

D) 4 12; E) ; 2]

37.De la ecuacin polinomial

x x m x xmn m n m4

1

22 3 1 0+ + ( ) + + =+ +

dondenZ, de races:x1,x2,x3yx4,

determine el valor de

x x x xk k k k

k

1

2 1

2

2 1

3

2 1

4

2 1

0

3+( ) +( ) +( ) +( )

=

+ + +( ) .

A) 2 B) 1 C) 1

D) 0 E) 2

38. Se muestra la grfica del polinomio

f(x)=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f

1 1

27

3

X

Y

determine el valor de f1

2

27 .

A) 1/16 B) 5/16 C) 25/32

D) 16/25 E) 5/32

39. Si el conjunto solucin de la ecuacin

1 1

1

1

1 21

x x x x x+

+( )+

+( ) +( )=

es de la forma CS={x1;x2}, entonces, halle el

valor dex12+x2

2.

A) 4 B) 9 C) 10

D) 11 E) 12

40. Indique el nmero de soluciones reales de la

siguiente ecuacin.

x

xx x x

5

3

21

11 1

= ;

A) 6 B) 5 C) 3D) 1 E) 0

Desigualdades

41. Dados los conjuntos

A={(2x)R/ (3x1)5;+}

B={(x2+1)R/ (2x+1) 5; 3}

halle el cardinal de Cdonde

C={xZ/x(A B)}.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

42. Sean los conjuntos

A={xR/x 0}

B={xZ/ (x2/16)A}.

Halle el cardinal deB.

A) 3 B) 4 C) 6

D) 10 E) 15

43. Determine el mximo valor deM.

M=3xx2+1/2; xR

A) 11/4 B) 4 C) 3/2

D) 1/2 E) 4/3

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lgebra44. Six[ 5; 3y[0; 7]

halle la variacin def.

f(x;y)=x2+4y2+4xy 2

A) [0; 23 B) [0; 23] C) 23; 287]

D) [0; 287 E) [ 2; 287

45. Sean a;b; cR+de modo que

a+9b=1 c=16ab

indique lo correcto.

A) 1< c< 2 B) 0 1 x4> 1

x> 2 x0

A) FFFV B) FVFF C) VFFV

D) FFVF E) VFFF

49. Seale la afirmacin correcta respecto al po-

linomio f(x)=(x

2+x+1)2+8.

A) El mnimo valor es 8.

B) El supremo es 8.

C) El nfimo es 9/16.

D) El mximo es 8.

E) 137/16 es el mnimo.

50. Sean a,b,xeynmeros reales tales que

a2+b2 1 y x2+y2 2

Halle el mnimo valor deMmsi se sabe que

max+byM.

A) 2 B) 2 C) 0

D) 2 2 E) 4

CLAVES