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Contenidos Artículos Cómo encontrar raíces complejas con regla Traducido por el editor Taller avanzado de geometría Aarón Ramírez (Universidad de El Salvador) Problemas de entrenamiento Esta sección consta de problemas interesantes escogidos de diversas fuentes con el propósito de brindar a estudiantes y docentes material de estudio personal. En esta ocasión presentamos los problemas propuestos en el V Seminario de Resolución de Problemas Olímpicos de Matemática, evento paralelo al curso de Futuros Dirigentes Técnico-Científicos de El Salvador en el cual contamos con la participación de docentes de Guatemala, Honduras y Nicaragua. Problemas olímpicos Problemas de la Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe 2009 La Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe (OMCC) es una competencia regional creada en 1999 con el objetivo de estimular el estudio de la matemática en el área centroamericana. Actualmente participan 12 países: Colombia, Costa Rica, Cuba, El Salvador, Guatemala, Honduras, México, Nicaragua, Panamá, Puerto Rico, República Dominicana y Venezuela. Cada país puede participar enviando una delegación de tres estudiantes no mayores de 16 años. La 11ª edición de la OMCC fue celebrada en octubre del presente año en Colombia, y los resultados obtenidos por la delegación salvadoreña son: José Daniel Madrid Bautista Medalla de plata Manuel Alejandro Mundo Dueñas Medalla de bronce Ramón Sanfeliu Beneke Medalla de bronce Problemas de la Olimpiada Iberoamericana de Matemática 2009 La Olimpiada Iberoamericana de Matemática (OIM) es la competencia matemática de mayor prestigio y dificultad a nivel latinoamericano. Fue celebrada por primera vez en 1989 a iniciativa de Colombia y Argentina, como respuesta a la falta de una olimpiada que involucrara a todos los países de la región. Desde ese entonces el número de países participantes ha ido en aumento hasta comprender 23 países diferentes: Argentina, Bolivia, Brasil, Chile, Colombia, Costa Rica, Cuba, Ecuador, El Salvador, España, Guatemala, Honduras, México, Mozambique, Nicaragua, Panamá, Paraguay, Perú, Portugal, Puerto Rico, República Dominicana, Uruguay y Venezuela. Cada uno de estos países puede enviar al concurso una delegación de cuatro estudiantes no mayores de 18 años; además cada estudiante puede participar un máximo de dos veces en la OIM. La 24ª olimpiada fue celebrada en México en septiembre de este año, y los resultados de nuestra delegación son: Julio César Ayala Menjívar Medalla de bronce Héctor Enmanuel Alberti Arroyo Medalla de bronce Nahomy Jhopselyn Hernández Cruz Mención honorífica Antonio Bermúdez Huezo Mención honorífica

Columna de problemas Columna de problemas 3 En esta sección se incluyen 5 problemas de desafío a los lectores, quienes están invitados a resolverlos y enviar sus mejores soluciones a la revista. Las soluciones más originales serán publicadas en el siguiente número. Soluciones a la columna de problemas 2

• Problema 6: Resuelto por Ramón Sanfeliú Beneke (Academia Británica Cuscatleca). • Problemas 7 y 8: No se recibió ninguna solución. Ambos problemas siguen abiertos. • Problemas 9 y 10: Resueltos por Eduardo Arnoldo Aguilar Cañas (UCA).

Información de contacto La revista del Programa Jóvenes Talento invita cordialmente a participar en su elaboración a todos los miembros del Programa (alumnos, instructores, catedráticos, padres de familia) y al lector interesado en general.

! Artículos. Se invita a los lectores a contribuir con sus trabajos originales sobre matemática elemental, o bien con artículos de divulgación científica. El documento debe incluir las referencias académicas usadas en su elaboración, y la información de contacto de su autor, incluyendo: Nombre, afiliación académica y correo electrónico.

! Columna de problemas. Se invita a los lectores a enviar sus soluciones originales a los problemas de esta sección, así como a proponer problemas interesantes para la columna del siguiente número. El archivo enviado debe incluir la información de contacto del autor, y en el caso de un problema propuesto su respectiva procedencia (nombre del libro, olimpiada, o autor del problema).

Se solicita a los lectores enviar sus contribuciones, preguntas o comentarios a la dirección revistanomesale@gmail .com, o bien contactar directamente con el editor. Editor Gabriel Alexander Chicas Reyes (Universidad de Tokio) Correo electrónico: gachr_ebc253@hotmail.com Apoyado por el grupo de instructores de Olimpiadas de Matemática del Programa Jóvenes Talento, y la Asociación de Padres de Familia del Programa Jóvenes Talento (ASTALENTO) Fecha tentativa para la siguiente edición: Marzo de 2010

¡La Revista del Programa Jóvenes Talento les desea una Feliz Navidad y un Próspero año 2010!

Como encontrar raıces complejas con regla(tomado del libro An imaginary tale: The history of

√−1)

Es bien sabido que al graficar una funcion polinomica y = f(x), sus raıces reales corresponden a lasintersecciones de la curva con el eje de las abcisas; cada interseccion corresponde a una raız distinta.Sin embargo, la grafica aparentemente no nos brinda informacion alguna sobre las raıces complejas delpolinomio (si existen). A continuacion discutiremos un metodo sencillo para encontrar dichas raıces apartir la grafica de la funcion.

Comencemos por el caso de la ecuacion cuadratica f(x) = ax2 + bx + c. Las dos raıces de la ecuacionson ambas reales o bien ambas complejas, dependiendo del signo del discriminante ∆ = b2 − 4ac. Si∆ ≥ 0 las raıces son reales y la grafica de la funcion interseca dos veces al eje x, o bien es tangentea este (en el caso en el que ambas raıces son iguales). Si ∆ < 0 ambas raıces son complejas y portanto la curva no interseca al eje x, como se muestra en la figura. Ya que las dos raıces son complejasconjugadas (¿por que?) podemos expresarlas como p + iq y p − iq, donde p y q son reales. Entoncesfactorizando la ecuacion original queda

f(x) = a(x− p− iq)(x− p + iq) = a[(x− p)2 + q2].

Se sigue que f(x) alcanza su valor mınimo cuando x = p si a > 0, o bien alcanza su valor maximosi a < 0. En cualquier caso el punto x = p corresponde al vertice de la parabola, y en consecuenciapodemos hallar el valor de p midiendo en la grafica la abcisa de dicho vertice.

Para encontrar q, consideremos la ordenada del vertice f(p) = aq2. Tomando esta distancia dos vecessobre el eje y marcamos 2aq2, y luego encontramos la interseccion de la parabola y la recta y = 2aq2,como se indica en la figura. Si llamamos t a la abcisa este punto tenemos que

2aq2 = f(t) = a[(t2 − p)2 + q2] = a(t− p)2 + aq2,

y de esto se desprende que p+ q = t, o bien q = t− p. A partir de esta relacion podemos medir el valorde q en la figura.

Figura 1: Encontrando las raıces complejas de una ecuacion cuadratica

Ahora analicemos el caso de la ecuacion cubica. Claramente la ecuacion tendra tres raıces reales o bienuna raız real y dos complejas (¿por que?). Dado que el solo el ultimo caso es de nuestro interes aquı,supongamos que las raıces son k, p + iq y p − iq, donde k, p y q son reales. Factorizando la ecuaciontenemos que

f(x) = (x− k)(x− p− iq)(x− p + iq) = (x− k)(x2 − 2px + p2 + q2).

Ya que la ecuacion tiene solamente una raız real, su grafica tendra la apariencia mostrada en la segunda

figura. Observemos primero que OA = k. Para localizar las otras raıces trazamos una tangente � a la

curva desde el punto A, que interseca a esta en el punto T . Notemos que podemos escribir la ecuacion

de � como y = λ(x− k), donde λ es la pendiente de la recta. Dado que T es un punto comun a f(x) y

�, si t es la abcisa de T podemos escribir

λ(t− k) = (t− k)(t2 − 2pt + p

2+ q

2).

Claramente t es distinto de cero, ası que podemos cancelar el factor comun a ambos lados para obtener

λ = t2 − 2pt + p2 + q2, o bien

t2 − 2pt + p

2+ q

2 − λ = 0.

Pero ya que definimos T como punto de tangencia, esta ecuacion cuadratica debe tener una solucion

unica, es decir, su discriminante deber ser igual a cero. Luego

0 = 4p2 − 4(p

2+ q

2 − λ) = 4(λ− q2),

y en consecuencia λ = q2. Sustituyendo este valor en la ecuacion original obtenemos inmediatamente

t = p. Se sigue que podemos encontrar p y q indirectamente a partir de los valores de λ y t, que

podemos medir en la figura.

En conclusion, los pasos a seguir para determinar los valores de p y q son los siguientes:

1. Medir OA para obtener el valor de la raız real de f(x).

2. Trazar la tangente � a la grafica desde A. De esta manera localizamos T .

3. Trazar la proyeccion M de T sobre el eje x.

4. Medir TM y AM , y luego calcular q =

�TM

AM.

5. Medir OM para determinar el valor de p.

6. Las dos raıces complejas de f(x) son p + iq y p− iq.

Figura 2: Raıces complejas de una ecuacion cubica

Referencias

Nahin, Paul J., An imaginary tale: The history of√−1, Princeton University Press, 1998.

Taller avanzado de geometría Aarón Ramírez

Problema 1: Dado el triángulo ABC, sean P, Q, R en BC, CA, AB respectivamente, los puntos de tangencia de su incírculo, y L, M, N en QR, RP, PQ respectivamente, los pies de las alturas del triángulo PQR.

a) Demostrar que las rectas AL, BM y CN son concurrentes. b) Demostrar que el punto de concurrencia está sobre la recta de Euler del triángulo PQR.

Solución: (a) Es propiedad conocida que los triángulos ABC y LMN son homotéticos (dado que los ángulos ARQ, RPQ, RLM son iguales, por lo tanto AB||LM, y análogamente para los otros lados), por lo tanto las rectas AL, BM, CN concurren en un punto T. (b) Sean O y H el circuncentro y ortocentro del triángulo PQR, respectivamente, entonces OH es la recta de Euler del triángulo PQR. Además, O es el incentro del triángulo ABC y H es el incentro del triángulo LMN, por la homotecia, como los incentros son puntos correspondientes, deben estar alineados con el centro de homotecia T, por lo tanto T pertenece a la recta de Euler del triángulo PQR.

Problema 2: El incentro de un triángulo es el punto de Nagel de su triángulo medial. Solución: Sea DEF el triángulo medial e I el incentro del triángulo ABC, T y U son las intersecciones de AI con BC y FE respectivamente. Dado que BI es bisectriz en el triángulo ABT, por el teorema de la bisectriz

V es la intersección de DI con EF, dado que FE es base media se tiene

Análogamente, si W es la intersección de EI con FD

Aplicando el Teorema de Menelao al triángulo WDI con la transversal FUE se tiene

Es fácil ahora probar que EF+FW=ED+DW, por lo que EW es una ceviana de Nagel, y análogamente para DV, por lo que I es el punto de Nagel del triángulo DEF.

Problema 3: Dado el triángulo ABC, sea O su circuncentro; se construye una circunferencia de centro O’ y diámetro OA, y se definen los puntos R y S como las intersecciones de AB y AC con la circunferencia. Sea M la intersección de OR con BO’, y N la intersección de OS con CO’. Sea X un punto sobre MN tal que ∠RAO=∠SAX. Demuestre que ARMX es cuadrilátero cíclico. Solución: Llamemos Γ a la circunferencia de centro O’ y diámetro OA. Se observa que Γ es tangente al circuncírculo de ABC, con A como punto de tangencia; entonces, A es centro de homotecia de dichas circunferencias, por lo que BC||RS. Por otra parte, los triángulos BCO’ y RSO (en ese orden) están en perspectiva con respecto a O, y por el teorema de Desargues, M, N y el punto de intersección de BC con RS deben estar alineados, pero estas rectas son paralelas (se cortan en el punto al infinito respectivo a BC), por lo que MN||BC||RS.

Como OA es diámetro ∠ARO=∠ARM=90°. Finalmente, por la definición de X, AX es la conjugada isogonal de AO, así, es perpendicular a BC, y por lo anterior, perpendicular también a MN, es decir, ∠ AXM=90°. Con esto, el cuadrilátero ARMX tiene dos ángulos opuestos perpendiculares (sumando 180°), y por lo tanto es cíclico.

Problema 4: Teorema de Desargues Iterado Sean abc y a’b’c’ dos triángulo en perspectiva con respecto a un punto P. La recta a’’ es aquella que pasa por los puntos bc’ y cb’, análogamente se definen b’’ y c’’. Demuestre que el triángulo a’’b’’c’’ está en perspectiva con abc y a’b’c’ con respecto a P. Solución: Considere la siguiente figura. Sea A el vértice que se opone a la recta a del triángulo abc, y análogamente para el resto de puntos B, C’’, etc. También se denota por Ab el punto de intersección de a y b’, y de igual manera quedan definidos el resto de puntos Ac, Ba, Bc, Ca, Cb. Se sabe que AA’, BB’, CC’ concurren en P, y se demostrará que A’’, B’’, C’’ pertenecen a cada una de estas rectas, respectivamente, demostrando así el teorema. Por el teorema de Desargues, los puntos X=cc’, Y=aa’, Z=bb’ están alineados, y determinan el eje de perspectiva de los triángulos abc y a’b’c’. Con esto, los triángulos aa’c’’ y cc’a’’ están en perspectiva con respecto a Z=bb’, dado que BaBc=b, AbCb=b’, XY pasan por Z, y de nuevo por el teorema de Desargues, el eje de perspectiva de BB’B’’, es decir, estos tres puntos están alineados. El resto de los casos es análogo.

!

Problema 5: Dos circunferencias k1 y k2 se intersecan en dos puntos A y B. Una línea que pasa por B corta a k1 en un punto C (aparte de B), y a k2 en un punto E (aparte de B). Otra línea, que pasa por B corta a k1 en un punto D (aparte de B), y a k2 en un punto F (aparte de B). Asuma que el punto B se ubica entre C y E, y entre los puntos D y F. Finalmente, sean M y N los puntos medios de CE y DF. Pruebe que los triángulos ACD, AEF y AMN son todos semejantes entre sí.!!Solución: !Se observa que ∠ADF=β=∠ACE, porque sostienen el arco AB en k1, mientras que∠AEC=γ=∠AFD, porque sostienen el arco AB en k2. Así, los triángulos ADF y ACE (en ese orden) son semejantes, y por tanto ∠DAF= ∠CAE. Restando el ángulo CAF a estos ángulos se obtiene que ∠DAC=α=∠FAE, y utilizando una vez más la semejanza anterior, AD/AC=AF/AE, por lo que, por criterio lal, los triángulos ADC y AFE son semejantes (en ese orden), lo que concluye la primera parte.!

Ahora bien, se probará que los triángulos ADN y ACM son semejantes (en ese orden), en base a la semejanza de ADF y ACE. Esto se obtiene dado que DN/CM=DF/CE=AD/AC y ∠ADN = ∠ACM, por lo que por criterio LAL, la semejanza buscada es cierta. Así ∠DAN= ∠CAM, y restando el ∠CAN se obtiene que ∠DAC=α=∠NAM, y utilizando nuevamente que ADN y ACM son semejantes, AD/AC=AN/AM, luego el triángulo ADC es semejante al ANM, por criterio LAL, lo cual termina la prueba.!

Contacto Aarón Ernesto Ramírez Flores (Universidad de El Salvador) Correo electrónico: aaronerf@yahoo.com.mx

V Seminario De Resolucion De

Problemas Olımpicos De Matematica

Equipo de Diseno:Eduardo Arnoldo Aguilar CanasGabriel Alexander Chicas ReyesEder Alexander Jacobo ArevaloAaron Ernesto Ramırez Flores

15 de diciembre de 2009

Indice

1. Problemas de Teorıa de Numeros. 2

2. Problemas de Algebra. 3

3. Problemas de Combinatoria. 5

4. Problemas de Geometrıa. 7

1

1. Problemas de Teorıa de Numeros.

1. Sea N el numero formado por 2010 cifras todas iguales a 9. Hallar la

suma de los dıgitos de N2.

2. ¿Cual es el numero de divisores del numero 20102010

que son divisibles

por exactamente 2010 enteros positivos?

3. Se escriben todos los numeros pares en el arreglo que se muestra en

la siguiente figura. Encontrar el numero de fila y de columna de de la

casilla donde esta escrito el numero 2010.

2 4 6 8

16 14 12 10

18 20 22 24

32 30 28 26

34 36 38 40

.

.

....

.

.

....

.

.

.

4. Sea d(n) el numero de divisores del entero positivo n.1

Por ejemplo

d(3) = 2 y d(10) = 4. Definimos

S(n) = d(1) + d(2) + · · · + d(n)

Si llamamos A al numero de enteros positivos n entre 1 y 2010 tales

que S(n) es par, y B es el numero de aquellos tales que S(n) es impar,

¿cual es el valor de A−B?

5. Hallar todos los primos p tales que la expansion decimal de1

ptiene

perıodo de longitud 6.

6. Sea N = +1002

+ 992 − 98

2 − 972

+ · · · + 42

+ 32 − 2

2 − 12, donde

dos signos + seguidos se alternan con dos signos - seguidos. Calcular

el resto que N deja en la division por 1000.

7. Encontrar el menor entero positivo n que satisface

2010|n, 2009|n + 1, 2008|n + 2, . . . , 2|n + 2008.

8. ¿Para que valores enteros de n se cumple que los numeros 1+2+· · ·+ny 1

2+ 2

2+ · · · + n2

son coprimos?

1Incluyendo a 1 y n

2

9. Sean p y q enteros tales que la ecuacion x2+ px + q = 0 tiene dos

soluciones reales x1 y x2. Si se sabe que 1, x1 y x2 (en algun orden)

forman una progresion geometrica, probar que q es un cubo perfecto.

10. Dado un entero positivo k, sea {an}n≥1 una sucesion definida por:

a1 = 2

a2 = k2+ 2

an = kan−1 − an−1 para todo n ≥ 3

Hallar todos los valores de k tales que en la sucesion {an} no aparece

ningun multiplo de 4.

2. Problemas de Algebra.

1. Ana eligio 3 dıgitos distintos y escribio todos los numeros de 3 cifras

que se forman con ellos sin repetir. Luego sumo todos los numeros

que obtuvo. Sabiendo que la suma de los tres dıgitos originales es 14,

encuentre la suma obtenida por Ana.

2. Miguel sube la escalera de uno en uno. Daniel baja la escalera de dos en

dos. Daniel baja dos escalones en el mismo tiempo en que Miguel sube

uno. Ayer, cuando Miguel habıa subido 11 escalones, Daniel empezo a

bajar. Cuando Daniel termino de bajar, a Miguel le faltaba subir 8

escalones. ¿Cuantos escalones tiene la escalera?

3. Un ciclista corre a la velocidad de 25 Km/h en terreno plano; en subida

lo hace a 15 Km/h y en bajada a 30 Km/h. El ciclista hace 4 horas

y 24 minutos para recorrer una ruta en el sentido AB, y 4 horas y 36

minutos en el sentido BA. Si la ruta tiene una longitud de 100 Km,

determine las longitudes del terreno plano, del terreno en cuesta y en

bajada cuando se viaja en el sentido AB.

4. Encuentre cinco numeros consecutivos tales que la suma de los cua-

drados de los dos mas grandes sea igual a la suma de los cuadrados de

los tres menores.

5. Cien cofres contienen el mismo numero de monedas. Se toma del pri-

mero de ellos un cierto numero de monedas; del segundo se toma el

doble numero de monedas que en el primero; del tercer cofre se toma

el triple de monedas que del primero, y ası sucesivamente. En el ultimo

cofre unicamente queda una moneda, y en total, quedan en todos los

3

cofres aun 14950 monedas. ¿Cuantas monedas habıan inicialmente encada cofre?

6. Sea n un numero cuadrado perfecto, de cuatro cifras, todas meno-res que 6. Si a cada cifra se le suma 1, el numero resultante es otrocuadrado perfecto. Determine n.

7. Demuestre que 4a3 + 2b3 = c3 no tiene solucion en los numeros natu-rales.

8. Factorice x4 + 4 como el producto de dos polinomios con coeficientesreales.

9. Calcule

12− 1

313− 1

4

14− 1

515− 1

6

· · ·

148− 1

49149− 1

50

10. Simplifique1

1× 2+

12× 3

+ · · · +1

k(k + 1)

11. Simplifique

1√1 +

√2

+1√

2 +√

3+ · · · +

1√k +

√k + 1

12. Si x, y ∈ R son tales que x + y = 26 y x3 + y3 = 5408, ¿cuanto valex2 + y2?

13. Sean a, b tales que ab = 3 = a + b. Calcule a3 + b3.

14. Sabiendo que�

x +1x

�2

= 7 calcule x3 +1x3

.

15. Calcule a3 + b3 + c3 si se sabe que a + b + c = 0 y abc = 1.

16. Sean a, b ∈ R y a �= b. Calculea + b

a− bsi:

2a2 + 2b2 = 5ab

a2 + b2 = 6ab

17. Sean x, y ∈ N tales que x + y + xy = 34. Calcule x + y.

4

18. Si a, b son numeros reales tales que a− b = ab, calculea

b+

b

a− ab.

19. Sea n un numero natural. Demuestre que n2+ (n + 1)

2+ n2

(n + 1)2

es un cuadrado perfecto, es decir, puede escribirse de la forma (a+b)2.

20. Sea n un numero natural.

Verifique la identidad (n + 1) (n + 2) = n (n + 3) + 2.

Demuestre, que n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 es un cuadrado per-

fecto. (Utilice el problema anterior)

21. Resuelva el sistema de ecuaciones

(x + y)(z + x) = 30

(y + z)(x + y) = 15

(z + x)(y + z) = 18

3. Problemas de Combinatoria.

1. Siete puntos son marcados sobre un cırculo. Se dibujan todas las cuer-

das que estos puntos definen y cuatro de ellas son seleccionadas al azar.

¿Cual es la probabilidad que las cuatro cuerdas seleccionadas formen

un cuadrilatero convexo?

2. Determine el numero de pares ordenados de naturales (a, b) tales que

el mınimo comun multiplo de a y b es 235711

13.

3. Cada uno de los 50 estudiantes que pertenecen a una clase le envıa

cartas a exactamente 25 estudiantes distintos de la clase. Pruebe que

existen dos estudiantes que se mandaron cartas mutuamente.

4. Los equipos de Nicaragua y de Honduras llevan jugados 13 partidos

entre si, jugando alternadamente en uno y en otro paıs. En 7 partidos,

el ganador fue el equipo local. El equipo de Nicaragua gano 9 partidos

en total. No hubo ningun empate. ¿Es posible saber con esta informa-

cion en que paıs sera el proximo partido? En caso afirmativo, diga en

que paıs sera. Justifique su respuesta.

5. En un torneo con cinco equipos, todos los equipos juegan contra todos.

No hay posibilidad de empates y en cada partido ambos equipos tienen

50 % de probabilidad de ganar. Determine la probabilidad de que el

torneo termine sin ningun equipo que gane todos los partidos y sin

ningun equipo que pierda todos los partidos.

5

6. Se seleccionan al azar tres vertices de un cubo. Determine la probabi-

lidad de que los tres vertices formen un triangulo equilatero.

7. Cada una de las seis caras de un cubo son pintadas con uno de seis

colores distintos; en una coloracion del cubo, no hay dos caras distintas

pintadas del mismo color. ¿Cuantos coloreos distintos del cubo existen?

8. Un tablero de 4×4 esta dividido en cuadritos de 1×1. Hay un numero

secreto escrito en cada cuadrito de 1×1. Solo se sabe que la suma de los

cuatro numeros de cada fila es igual a 1, la suma de los cuatro numeros

de cada columna es igual a 1, y la suma de los cuatro numeros de cada

diagonal es igual a 1. Determine la suma de los cuatro numeros de las

esquinas y la suma de los cuatro numeros del centro.

9. A un concierto de beneficiencia asistieron 1997 personas entre gua-

temaltecos, hondurenos, nicaraguenses y salvadorenos; cada persona

pago por su boleto de entrada una cantidad entera entre $1 y $499,

inclusive, que voluntariamente quiso aportar.

Demostrar que hubo al menos dos personas de la misma nacio-

nalidad que aportaron la misma cantidad.

Se sabe que se vendieron boletos de cada uno de los precios, que

el mayor numero de veces que se repitio el precio de un boleto fue

10, y que la recaudacion fue la mınima posible. ¿Cuantos boletos

de cada precio se vendieron?

10. En un tablero cuadrado que tiene un numero par de casillas y esta pin-

tado como un tablero de ajedrez; se coloca un numero en todas las

casillas de acuerdo a las siguientes reglas:

En cada casilla blanca se escribe 0 o 1, de modo que haya la

misma cantidad de casillas blancas con 0 que con 1.

En cada casilla negra se escribe la suma de los numeros que hay

en las casillas blancas vecinas.

Si se ponen los numeros en el tablero de modo que la suma de todos

los numeros escritos sea la menor posible, la suma en m. Si se ponen

los numeros en el tablero de modo que la suma de todos los numeros

escritos sea la mayor posible, la suma es m + 1996. Encuentre las

dimensiones del tablero.

6

4. Problemas de Geometrıa.

1. Los tres lados del triangulo ABC se prolongan una distancia igual asus longitudes, tal como muestra la figura. Si [ABC] = 2cm2, ¿cual esel valor de [DEF ]?

2. ABCD es rectangulo. P es un punto de CD y PB = AB. El arco PCB

es una semicircunferencia. Ademas, [BCP ] = 4[APD] y [ABP ] =4, 8dm2. ¿Cual es el perımetro de la zona sombreada?

3. El triangulo XOY es recto en O. Sean M y N los puntos mediosde OX y OY , respectivamente. Si XN = 19 y Y M = 22, calcule lamedida de XY .

7

4. Dado el triangulo CXY , los puntos A y B se ubican sobre CX y CY ,respectivamente, y se cumple que AB = 10, BC = 7, CA = 6. Lasbisectrices de los angulos BAX y ABY se cortan en el punto T . Pes un punto sobre AB, y por P se traza una recta paralela a AT quecorta a AC en Q; de igual forma, la paralela por P a TB corta a BCen R. Determine CQ + CR.

5. En la siguiente figura, las dos cırcunferencias son tangentes entre si,y ademas se han trazado dos rectas tangentes a la circunferencia masgrande. Calcule el valor de d en funcion de R.

6. Sea ABC un triangulo rectangulo en A. Se toman dos puntos cuales-quiera D y E sobre BC y se traza DF , una recta paralela a AC talque DF =

√5. Se sabe que AB = 10, AC = 20 y que la suma de las

areas de los triangulos ABC y DEF es 102. Encuentre la longitud deDE.

8

XI Olimpiada Matematica de Centroamerica y el Caribe

Girardot, Colombia, 4-10 de octubre de 2009

1. Sea P (n) el producto de los dıgitos no nulos del entero positivo n. Por ejemplo P (4) = 4,

P (50) = 5, P (123) = 6, P (2009) = 18. Halle el valor de la suma

P (1) + P (2) + · · · + P (2009).

2. Dos circunferencias Γ1 y Γ2 se intersecan en los puntos A y B. Considere una circunferencia Γ

contenida en Γ1 y Γ2, tangente a ellas respectivamente en D y E. Sean C uno de los puntos de

interseccion de la recta AB con Γ, F la interseccion de la recta EC con Γ2 y G la interseccion

de la recta DC con Γ1. Sean H e I los puntos de interseccion de la recta ED con Γ1 y Γ2,

respectivamente. Demuestre que F , G, H e I estan sobre una misma circunferencia.

3. Se tienen 2009 cajas numeradas del 1 al 2009, algunas de las cuales contienen piedras. Dos

jugadores A y B juegan alternadamente, comenzando por A. Una jugada consiste en seleccionar

una caja i que no este vacıa, tomar una o mas piedras de esa caja y ponerlas en la caja i + 1. Si

i = 2009, las piedras que se tomen se desechan. El jugador que retire la ultima piedra (dejando

todas las cajas vacıas) gana.

a) Suponiendo que inicialmente en la caja 2 hay 2009 piedras y todas las demas cajas (1, 3,

4, 5,. . ., 2009) estan vacıas, halle una estrategia ganadora para uno de los dos jugadores y

justifıquela.

b) Suponiendo que inicialmente cada caja contiene exactamente una piedra, halle una estrategia

ganadora para uno de los dos jugadores y justifıquela.

4. Se desea colocar numeros naturales alrededor de una circunferencia cumpliendo la siguiente

propiedad: Las diferencias entre cada par de numeros vecinos, en valor absoluto, son todas difer-

entes.

a) ¿Sera posible colocar los numeros del 1 al 2009 satisfaciendo la propiedad?

b) ¿Sera posible suprimir alguno de los numeros del 1 al 2009, de tal manera que los 2008

numeros restantes se puedan colocar satisfaciendo la propiedad?

5. Dado ABC un triangulo acutangulo y escaleno, sea H su ortocentro, O su circuncentro, E y Flos pies de las alturas trazadas desde B y C, respectivamente. La recta AO corta nuevamente

al circuncırculo del triangulo en un punto G y a los segmentos FE y BC en los puntos X y Y ,

respectivamente. La recta AH corta a la tangente al circuncırculo trazada por G en un punto Z.

Demuestre que HX es paralelo a Y Z.

6. Encuentre todos los numeros primos p y q tales que p3 − q5= (p + q)2.

Tiempo permitido: 4 horas y media

Cada problema vale 7 puntos

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matematica

Queretaro, Mexico, 17-27 de septiembre de 2009

1. Sea n un natural mayor que 2. Supongamos que n islas estan ubicadas en un cırculo y que entre

cada dos islas vecinas hay dos puentes como en la figura:

Comenzando en la isla x1, ¿de cuantas maneras se pueden recorrer los 2n puentes pasando por

cada puente exactamente una vez?

2. Para cada entero positivo n se define an = n+m donde m es el mayor entero tal que 22m ≤ n2

n.

Determinar que enteros positivos no aparecen en la sucesion an.

3. Sean C1 y C2 dos circunferencias de centros O1 y O2 con el mismo radio, que se cortan en A y

en B. Sea P un punto sobre el arco AB de C2 que esta dentro de C1. La recta AP corta a C1 en

C, la recta CB corta a C2 en D y la bisectriz de ∠CAD intersecta a C1 en E y a C2 en L. Sea F

el punto simetrico a D con respecto al punto medio de PE. Demostrar que existe un punto X

que satisface ∠XFL = ∠XDC = 30◦

y CX = O1O2.

4. Sea ABC un triangulo con AB �= AC. Sean I el incentro de ABC y P el otro punto de interseccion

de la bisectriz exterior del angulo A con el circuncırculo de ABC. La recta PI interseca por

segunda vez al circuncırculo de ABC en el punto J . Demostrar que los circuncırculos de los

triangulos JIB y JIC son tangentes a IC y a IB, respectivamente.

5. La sucesion an esta definida por

a1 = 1, a2k = 1 + ak y a2k+1 =1

a2kpara todo entero k ≥ 1.

Demostrar que todo numero racional positivo aparece exactamente una vez en esta sucesion.

6. Alrededor de una circunferencia se marcan 6000 puntos y cada uno se colorea con uno de 10

colores dados, de manera tal que entre cualesquiera 100 puntos consecutivos siempre figuran los

10 colores. Hallar el menor valor k con la siguiente propiedad: Para toda coloracion de este tipo

existen k puntos consecutivos entre los cuales figuran los 10 colores.

Tiempo permitido: 4 horas y media

Cada problema vale 7 puntos

Problema  7    Hallar  todas  las  soluciones  enteras  de  la  ecuación              

2x2  +  5y2  =  11(xy  -­‐  11).    

Solución  de  Ramón  Sanfeliu  (Academia  Británica  Cuscatleca)  

Operando:    2x2+5y2=11(xy-­‐11)  2x2+5y2=11xy-­‐121  2x2-­‐11xy+5y2=  -­‐121  (2x-­‐y)(x-­‐5y)=-­‐121    Todos  los  factores  de  -­‐121  son:  1,-­‐1,  11,-­‐11,  121,  -­‐121  y  esto  nos  da  6  casos.    Caso  1:  2x-­‐y=1  y  x-­‐5y=  -­‐121,  resolviendo  tenemos  por  resultado  que  X=14  y  Y=27    Caso  2:  2x-­‐1=  -­‐1  y  x-­‐5y=121,  resolviendo  X=-­‐14  y  Y=-­‐27    Caso  3:    2x-­‐y=11  y  x-­‐5y=  -­‐11  resolviendo  tenemos  por  resultado  que  X=22/3  y  Y=11/3,  como  no  son  enteras  no  se  puede.    Caso  4:  2x-­‐y=-­‐11  y  x-­‐5y=  11  resolviendo  tenemos  por  resultado  que  X=-­‐22/3  y  Y=-­‐11/3,  como  no  son  enteras  no  se  puede.    Caso  5:  2x-­‐y=121  y  x-­‐5y=  -­‐1  resolviendo  X=202/3  y  Y=41/3,  como  no  son  enteras  no  se  puede.    Caso  6:  2x-­‐y=-­‐121  y  x-­‐5y=  1  resolviendo  X=-­‐202/3  y  Y=-­‐41/3  como  no  son  enteras  no  se  puede.    Entonces  tenemos  como  resultado  las  parejas  (x,y)  de  valores  que  nos  resuelven  la  ecuación  2x2  +  5y2  =  11(xy  -­‐  11)  y  son:    (14,27),  (-­‐14,-­‐27).                      

Problema  8    Dada  la  ecuación  cúbica  reducida  x3=3px+2q,  basándose  en  la  sustitución      demostrar  que  si  q2   p3    la  ecuación  admite  una  solución  real      

φ  

 donde  m  es  un  entero  y  φ  .      Solución  del  editor    Sustituyendo  la  expresión    en  la  ecuación  cúbica  tenemos  que    

         o  bien              Teniendo  en  cuenta  la  identidad    la  expresión  anterior  se  reduce  a    

,  es  decir   .  Como  p  y  q  son  positivos  y  además  hemos  asumido  que  q2   p3  ,  el  miembro  derecho  de  esta  ecuación  es  menor  o  igual  que  1,  así  que  existe  un  ángulo  φ  tal  que   φ ,  a  saber    

φ  

Luego   φ  implica  que    

φ  

 donde  m  es  un  entero  cualquiera.  Por  tanto      

φℤ  

     

Soluciones  a  la  columna  de  problemas    Eduardo  Arnoldo  Aguilar  Cañas,  4°  año  Ingeniería  Industrial  UCA    conciclicboy@hotmail.com    Problema  9:      Restemos  las  filas  de  la  siguiente  forma:  a  la  última  fila  le  restamos  la  penúltima  de  abajo  hacia  arriba,  osea  a  la  fila  con  los      la  restaré  de  la  fila  con  los  

,  y  como  que  se  cumple  que   ,  si  aplico  eso  a  las  p  filas  el  determinate  se  me  va  convertir  en:      

 

Si  expandimos  ese  determinate  por  cofactores,  el  único  que  sería  no  nulo  es  el  que  tiene  al  1,  pues  los  demás  como  tienen  una  columna  de  ceros  tendrían  determinante  cero.    Entonces  conseguimos  que  mi  determinate  es  equivalente  al  determinante  de  :  

 

Este  determinante  es  tiene  una  forma  similar  al  determinante  inicial,  así  que  podemos  volver  a  aplicar  la  operación  que  le  hicimos  al  primer  determinante,  si  hacemos  esto  p  veces  al  final  

obtendremos  un  determinate  de  la  forma   .  

   Problema  10:    Es  notorio  que   ,  así  que  si  derivo  la  expresión  de  la  derecha  resulta  

que:  

 

 Así  que   ,  y  así    Así  que  esto  se  reduce  a  encontrar   ,  y  podemos  volver  a  aplicar  el  procedimiento  anterior  y  claramente  la  recurrencia  va  resultar  en   .      

Columna de problemas (3)

La siguiente es una seleccion de problemas propuestos por el editor.

11. Hallar todas las funciones f : Z→ Z tales que para cualesquiera enteros m, n se cumple que

a) f(mn) = f(m)f(n).

b) f(f(m)− f(n)) = f(m + n)(m− n)2.

12. Sean x e y reales positivos tales que (1 + x)(1 + y) = 2. Mostrar que xy +1

xy≥ 6.

13. Dado el triangulo ABC, sean D y E puntos sobre AB y AC respectivamente, tal que DE y BC

son paralelas. Sean P un punto dentro del triangulo ADE, G la interseccion de PB con DE, y

H es la interseccion de PC con DE. Probar que A pertenece al eje radical de los circuncırculos

de PDH y PEG.

14. Dado a > 0, calcular la integral

�dx

x4 + ax2 + 1, x > 0.

15. Demostrar que para todo 0 ≤ r < 1 se cumple la siguiente identidad:

1 + 2(r cos θ + r2cos 2θ + · · · + r

ncos nθ + · · · ) =

1− r2

1− 2r cos θ + r2.

Nota: La expresion del miembro izquierdo se conoce como nucleo de Poisson.