Estadstica Aplicada 2009

Introduccion

La estadstica proporciona una herramienta indispensable para el manejo e interpretacion debases de datos en general. Sus aplicaciones pueden apreciarse en cualquier rama del quehacerhumano, desde las ciencias llamadas exactas a las sociales.Esta rama de la matematica surge como necesidad de contar los bienes del estado (de ah sunombre). Actualmente, vemos la estadstica aplicada en encuestas de opinion, control de calidad,investigacion operativa, bioestadstica, investigacion de mercado, etc.La estadstica inferencial por otra parte, brinda al tecnico herramientas confiables para la tomade decisiones en escenarios inciertos. A partir de las tecnicas inferenciales es posible tomar de-cisiones racionales sobre situaciones futuras basandose en datos muestrales.Pretendemos que en esta materia se puedan adquirir los conocimientos necesarios para lograruna buena interpretacion de la literatura medica, que publican los diferentes laboratorios y darlos primeros pasos en el uso y manejos de datos numericos y graficos.

1. Algunos conceptos basicos

1.1. Introduccion historica

La palabra estadstica se origina, en las tecnicas de recoleccion, organizacion, conservacion,y tratamiento de los datos propios de un estado, con que los antiguos gobernantes controlabana sus subditos y dominios economicos. Estas tecnicas evolucionaron a la par del desarrollo delas matematicas, utilizando sus herramientas en el proceso del analisis e interpretacion de lainformacion.

Para mediados del siglo xvii en Europa, los juegos de azar eran frecuentes, aunque sin ma-yores restricciones legales. El Caballero frances De Mere quien era un empedernido jugadorconsulto al famoso matematico y filosofo Blaise Pascal (16231662) para que le ayudara aganar en un juego de dados, quien, interesado en el tema, sostuvo una correspondencia epistolarcon el tmido Pierre de Fermat (16011665), abogado aficionado a las matematicas, dandoorigen a la teora de la probabilidad, la cual ha venido desarrollando y constituyendose en labase primordial de la estadstica.

En nuestros das, son de uso cotidiano las diferentes tecnicas estadsticas que partiendo deobservaciones muestrales o historicas, crean modelos logico-matematicos que pronostican undeterminado fenomeno con cierto grado de certidumbre medible.

El avance tecnologico en la informatica ha contribuido enormemente al desarrollo de la es-tadstica, sobre todo en la manipulacion de la informacion, pues en el mercado existen paquetesestadsticos de excelente calidad, como SAS, SPSS, SCA, STATGRAPHICS, . . . , permitiendoel manejo de grandes volumenes de informacion y de variables.

La estadstica hace inferencias sobre una poblacion, partiendo de una muestra representa-tiva de ella. Es a partir del proceso del diseno y toma de la muestra desde donde comienzan adefinirse las bondades y confiabilidad de nuestras aseveraciones, hechas, preferentemente, con elmenor costo posible pero sin sacrificar la confiabilidad en las conclusiones.

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En las ultimas decadas la estadstica ha alcanzado un alto grado de desarrollo, hasta elpunto de incursionar en la totalidad de las ciencias; incluso en la lingustica se aplican tecnicasestadsticas para esclarecer la paternidad de un escrito o los caracteres mas relevantes de unidioma.

1.2. Primeras definiciones

Cuando coloquialmente se habla de estadstica, se suele pensar en una relacion de datosnumericos presentada de forma ordenada y sistematica. Esta idea es la consecuencia del con-cepto popular que existe sobre el termino y que cada vez esta mas extendido debido a la influenciade nuestro entorno, ya que hoy da es casi imposible que cualquier medio de difusion, periodico,radio, television, etc, no nos aborde diariamente con cualquier tipo de informacion estadsticasobre accidentes de trafico, ndices de crecimiento de poblacion, turismo, tendencias polticas, etc.

Solo cuando nos adentramos en un mundo mas especfico como es el campo de la investi-gacion de las Ciencias Sociales: Medicina, Biologa, Psicologa, . . .empezamos a percibir que la Estadstica no solo es algo mas, sino que se convierte en la unicaherramienta que, hoy por hoy, permite dar luz y obtener resultados, y por tanto beneficios, encualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y relaciones, por su variabilidad intrnseca, nopuedan ser abordadas desde la perspectiva de las leyes determistas. Podramos, desde un puntode vista mas amplio, definir la estadstica como la ciencia que estudia como debe emplearse lainformacion y como dar una gua de accion en situaciones practicas que entranan incertidumbre.

Estadstica

La Estadstica es la ciencia que se ocupa de los metodos y procedimientos para recolec-tar, clasificar y resumir datos, as como de realizar inferencias a partir de ellos, y extraerconclusiones, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones.

De esta definicion se desprenden dos grandes ramas. Una de ellas es la encargada de la re-sumen y clasificacion de datos y la otra de derivar conclusiones a partir de ellos. La primera seconoce como Estadstica descriptiva, y podramos definirla de la siguiente manera.

Estadstica Descriptiva

Es la rama de la Estadstica que se encarga de la recoleccion, clasificacion y descripcionde datos, para su interpretacion y posterior analisis utilizando metodos numericos y graficos.

La segunda rama fundamental de la estadstica es la llamada Estadstica inferencial.

Estadstica Inferencial

Es la rama de la Estadstica que apoyandose en el calculo de probabilidades y a par-tir de datos muestrales, permite extraer conclusiones poblacionales con un cierto grado deconfianza.

Estas dos ramas no son independientes; por el contrario, son complementarias y entre las dospermitiran predecir una posible realidad futura, con el fin de que quien tenga poder de decision,pueda decidir con cierto grado de certidumbre.

La estadstica inferencial permite a partir de muestras extraer conclusiones sobre toda lapoblacion. Las palabras muestra y poblacion, son muy importantes en estadstica y conviene

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precisar un poco esos conceptos.Otro concepto muy importante dentro de la Estadstica lo constituyen las llamadas varia-

bles estadsticas. En este curso utilizaremos un concepto menos general que el propuesto por lateora. Concretamente, tenemos la siguiente definicion.

Variable estadstica

Una variable estadstica es un atributo o caracterstica que puede variar de un individuobajo estudio a otro.

Las variables seran clasificadas en cualitativas o cuantitativas; y dentro de las cuantitativasen discretas o continuas, atendiendo a las siguientes definiciones.

Variable cualitativa

Una variable cualitativa es aquella que hace referencia a un atributo o cualidad cuyoregistro no es numerico; o de serlo, no tiene sentido comparativo sino distintivo.

Son ejemplos de variables cualitativas la compana de celular suscripta, el sexo de un bebe ola enfermedad de una persona.

Variable cuantitativa

Una variable cuantitativa es aquella que hace referencia a un atributo o cualidad cuyoregistro es numerico. Si ademas los diferentes valores de la variable se obtienen por un procesode medicion se dira continua, y si se obtienen por un proceso de conteo se dira discreta.

Son ejemplos de variables cuantitativas el gasto en comida (continua), el promedio de edaden una ciudad de mas de 150000 habitantes (continua), la cantidad de alumnas mujeres en unaescuela publica (discreta).

Los individuos bajo estudio conforman lo que entenderemos por poblacion. Damos a conti-nuacion una definicion.

Poblacion

Entenderemos por poblacion la mayor coleccion de elementos por los cuales se tiene ciertointeres en un instante particular, teniendo en cuenta una o varias variables estadsticas.

Una muestra, se obtiene a partir de una poblacion y debe cumplir algunos requisitos fun-damentales. Basicamente una muestra debe ser representativa de la poblacion bajo estudio. Laforma de extraer muestras es un tema muy delicado dentro de la estadstica; en principio debeintervenir el azar en algun momento del muestreo, pero deben tenerse en cuenta varias carac-tersticas propias del problema y la poblacion bajo estudio.

Muestra

Una muestra es un subconjunto de la poblacion que conserva las caractersticas y parti-cularidades determinadas por las variables estadsticas bajo estudio.

La eleccion de una muestra por parte del investigador es casi una obligacion. Existen muchasrazones por las que no es conveniente o imposible trabajar con poblaciones y es necesario hacerlocon muestras. Enunciamos a continuacion algunos impedimentos:

1. La poblacion bajo estudio es inabarcable. Podra ocurrir que la poblacion que forme partede nuestro estudio sea tan grande que por cuestiones economicas o de tiempo sea imposible

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encuestar o entrevistar a todos los individuos que la componen.

2. La obtencion de datos es costosa. Este es el caso en que el factor economico condiciona lacantidad de datos que podemos obtener.

3. La destruccion del objeto bajo estudio. Este es el caso que se presenta cuando a cadaindividuo de la poblacion que encuestamos lo destruimos en el proceso de la encuesta.Por ejemplo, para determinar el nivel de droga que contiene un medicamento se somete ala gragea a algunos procesos qumicos que la vuelven toxica. En este caso, el laboratoriono puede tomar toda la poblacion para controlar la calidad de su medicamento, porqueperdera la produccion completamente.

1.3. Ejercicios

1. Clasificar las siguientes variables estadsticas en cualitativas o cuantitativas. En el caso deser cuantitativas, indicar si la variable es discreta o continua.

a) Numero de das completos de internacion.

b) Grupo sanguneo.

c) Cantidad de hijos por familia.

d) Estacion del ano en que se manifiesta determinada enfermedad.

e) Concentracion de calcio.

f ) Edad al ingresar a la universidad.

g) Anos de educacion completados.

h) Color de ojos.

i) Profesiones de una comunidad universitaria.

j ) Respuesta a un cuestionario de actitudes, cuyas posibilidades son: en desacuerdo, deacuerdo, muy de acuerdo.

k) Tiempo que se tarda en terminar una tarea.

l) Puntaje en un test de lectura.

m) Peso de los chanchitos al comenzar un experimento con vitamina B.

n) Cantidad de arrestos que ha cometido un delincuente.

n) Proporcion de protenas en la alimentacion de una persona.

o) Religion de una persona.

p) Presion arterial de una persona de 60 anos.

q) Cantidad de acciones vendidas en un da deteminado en la BCR.

r) Temperaturas de Rosario segun el registrio anual del SMN.

s) Escala de sueldos nominales del personal de una Facultad de la UNR.

t) Serie de numeros de una ruleta.

u) Numero de personas que se atienden en un periodo de 5 minutos en la ventanilla deun banco.

v) Cantidad de llamadas que se reciben por hora en un central de emergencia.

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w) Numero de autos que llegan a una estacion de servicios en un periodo de una horapara cargar combustible.

x ) Cantidad de combustible en litros que carga un auto.

y) Distancia recorrida por un auto con un litro de nafta.

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2. Tablas de distribucion de frecuencias

2.1. Tablas de distribucion de frecuencias para datos simples

La primera tarea que normalmente se realiza una vez que se han recolectado datos es poderorganizarlos en tablas. Esto nos permitira tener una vision global pero todava primitiva de losdatos recolectados. De todas maneras, en general son de gran utilidad porque se pueden extraeralgunas conclusiones y descripciones primarias. Veremos a continuacion una tabla particular,llamada tabla de distribucion de frecuencias.

Tabla de distribucion de frecuencias

Es una tabla que basicamente presenta dos columnas: en la primera se consigna el nombrede la variable y los diferentes valores obtenidos en la recoleccion de datos, y en la segundacolumna se indica la cantidad de veces que cada valor de la variable ha aparecido en losdatos recolectados.

Ejemplo 1

Se encuestaron a quince ingresantes a la carrera de Agente de Propaganda Medica y entrelas preguntas se obtuvo que las edades de los encuestados fueron

18 17 18 19 2120 20 18 19 2220 18 17 17 22

Tenemos entonces, que la tabla de distribucion de frecuencias es en este caso

Edad fa17 318 419 220 321 122 2

Total 15

En realidad, las tablas de distribucion de frecuencias que confeccionaremos en este cursocontendran cuatro columnas (ademas de la correspondiente a los valores de la variable), quellamaremos: frecuencia absoluta, frecuencia relativa porcentual, frecuencia absoluta acumuladay frecuencia relativa acumuada porcentual. Veamos de que se trata cada una de ellas.

Definiciones

Frecuencia absoluta (fa) La frecuencia absoluta, que simbolizaremos fa indica el numerode veces que se repite un determinado valor de la variable.

Frecuencia relativa porcentual (fr %) La frecuencia relativa porcentual, que simboliza-remos fa % indica el porcentaje que representa del total la frecuencia absoluta de cadavalor de la variable.

Frecuencia absoluta acumulada (Fa) La frecuencia absoluta acumulada, que simboliza-remos Fa se obtiene acumulado los valores de la frecuencia absoluta.

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Frecuencia relativa porcentual acumulada (Fr %) La frecuencia relativa porcentual acu-mulada, que simbolizaremos Fr % se obtiene acumulado los valores de la frecuenciarelativa porcentual.

Veamos ahora un ejemplo.

Ejemplo 2

Para los datos del ejemplo 1 tenemos

Edad fa fr % Fa Fr %

17 3 20.0 3 20.018 4 27.0 7 47.019 2 13.0 9 60.020 3 20.0 12 80.021 1 7.0 13 87.022 2 13.0 15 100.0

Total 15 100.0

Veamos ahora como interpretar los resultados obtenidos

Ejemplo 3

Siguiendo con el ejemplo de las edades, interpretaremos la tercer lnea:

Dos estudiantes tienen 19 anos, lo que representa un 13.0% del total de estudiantesencuestados.

Nueve estudiantes tienen 19 anos como maximo, lo que representa un 60.0% del totalde estudiantes encuestados.

2.2. Tabla de distribucion de frecuencias para datos agrupados

Ocurre generalmente que los datos estan atomizados y una tabla como las de la seccionanterior no sirve para poder ordenar los datos eficientemente. Interesa entonces, poder conoceralgun criterio que permita tabular los datos con la menor perdida de precision posible.La idea es agrupar los datos muestrales en lo que llamaremos intervalos de clase. Estos inter-valos seran contiguos y no tendran interseccion, de modo tal que cada valor en el conjunto deobservaciones estara incluido en uno y solo uno de los intervalos.La pregunta que intersa ahora es cuantos. Es decir, cuantos intervalos de clase debo hacerpara una muestra particular? Muy pocos no es conveniente porque pierdo informacion, tampococonviene demasiados porque la informacion quedara tan dispersa que tampoco sera util. Elnumero de intervalos y su amplitud de los intervalos los fija el investigador de acuerdo con elconocimiento que posea de la poblacion, la necesidad de hacer comparacion con otras investi-gaciones y la presentacion de la informacion. En terminos generales, es usual que el numerode intervalos no sea inferior a 5 ni superior a 15. Existe una gran cantidad de reglas empricaspara determinar el numero de intervalos a utilizar. Nosotros utilizaremos intervalos que tengansiempre la misma amplitud, aunque existen estudios en donde este no es el caso. En cuanto ala cantidad de intervalos, son conocidas varias reglas. Una fue proporcionada por Sturges1. La

1H. A. Sturges (1926): The Choise of a Class Interval. Journal of the American Statistical Association.

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regla sugiere que la cantidad de intervalos de clase sea aproximadamente

k = 1 + 3,322 log10 n,

donde n es el tamano de la muestra y k la cantidad de intervalos. Otra regla menos precisa peroque sera la que utilizaremos en este curso consiste en aproximar la cantidad de intervalos segunla formula

k =

n,

donde n es el tamano de la muestra y k la cantidad de intervalos.

Una vez que se decidio sobre la cantidad de intervalos debemos construir la tabla de dis-tribucion de frecuencias Cuando no se tiene experiencia en el manejo de la informacion esaconsejable seguir los pasos que se dan a continuacion:

1. Determinar los datos de mayor y menor valor X(n) y X(1).

2. Calcular el numero R = X(n) X(1). Notar que este numero es siempre no negativo. Masadelante la daremos el nombre de rango y estudiaremos algunas propiedades.

3. Determinar el numero de intervalos k segun las reglas vistas.

4. La amplitud de clase A, de cada intervalo sera A = R/k. Debe tenerse presente que k esun numero natural.

Veamos un primer ejemplo en donde seguimos fielmente las reglas anteriores.

Ejemplo 4

Una droguera lleva registros de los kilos de acido fosforico H3PO4 vendidos por da durante45 das

104,8 101,7 100,6 104,8 102,7 103,1 105,2 103,4 106,5104,8 102,9 103,4 105,5 101,1 105,5 102,2 101,9 106,3107,2 105,9 104,5 102,0 101,0 104,5 101,1 104,4 106,0104,0 102,2 101,3 103,5 104,7 103,0 102,0 103,0 104,0103,0 102,0 103,0 100,8 105,0 102,0 104,2 103,0 102,0

Si quisieramos utilizar una tabla de distrubicion de frecuencias sin agrupar datos, necesi-taramos casi 40 lneas, la mayora de ellas con frecuencia unitaria. Se hace necesario entoncesagrupar los datos en intervalos o clases que hagan mas compacta, manejable y presentablela informacion.

En este caso es n = 45 y entonces resulta, segun la regla de la raz cuadrada

k 45 6,71,

mientras que la regla de Sturges resulta

k 1 + 3,322 log10 15 6,49.

Nos parece apropiado elegir 8 intervalos de clase. Recordar que las reglas anteriores solo nosproveen de una gua para la eleccion de la cantidad de intervalos. No estamos redondeando!

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Es entonces k = 8.Por otra parte, X(n) = 107,2 y X(1) = 100,8, luego R = 107,2 100,8 = 6,4.Finalmente, la amplitud de clase A es A = 6,4/8 = 0,8. La tabla resulta entonces

H2PO4 (en kg) fa fr % Fa Fr %[100,8 101,6) 7 16.0 7 16.0[101,6 102,4) 8 18.0 15 34.0[102,4 103,2) 8 18.0 23 52.0[103,2 104,0) 3 7.0 26 55.0[104,0 104,8) 7 16.0 33 71.0[104,8 105,6) 7 16.0 40 87.0[105,6 106,4) 3 7.0 43 94.0[106,4 107,2] 2 6.0 45 100.0

Total 45 100.0

Como es usual en la notacion por intervalos, [0, 1) debe interpretarse que 0 pertenece alconjunto mientras que 1 no.

Veamos ahora un ejemplo en donde no seguimos al pie de la letra las recomendaciones ante-riores, pero igualmente podemos construir correctamente la tabla de distribucion de frecuencias.

Ejemplo 5

Los siguientes datos corresponden a quince mediciones reiteradas del contenido de plomo (enppm de Pb) en una muestra de sangre.

0.752 0.756 0.752 0.751 0.7600.753 0.758 0.752 0.755 0.7530.754 0.751 0.753 0.756 0.754

En este caso es n = 15 y entonces resulta, segun la regla de la raz cuadrada

k 15 3,87,

mientras que la regla de Sturges resulta

k 1 + 3,322 log10 15 4,90.

Nos parece aproxiado elegir 4 intervalos de clase. Es entonces k = 4.Por otra parte, X(n) = 0,760 y X(1) = 0,751, luego R = 0,760 0,751 = 0,009.Finalmente, la amplitud de clase A es A = 0,009/4 = 0,00225. Esta amplitud no es real,porque no tenemos un instrumento de medicion que pueda tener una precision de 105.Luego, construimos la tabla de la siguiente manera.

Contenido de Pb (en ppm) fa fr % Fa Fr %0.750 0.752 5 33.0 5 33.00.753 0.755 6 40.0 11 73.00.756 0.758 3 20.0 14 93.00.759 0.761 1 7.0 15 100.0

Total 15 100.0

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De estos dos ejemplos, interesa que quede la idea de que no existen reglas fijas para laconstruccion de las tablas de distribucion de frecuencias, sino sugerencias que hasta cierto puntodeben ser tenidas en cuenta. La ejercitacion permitira desarrollar un criterio razonable para laconstruccion de tablas.

2.3. Ejercicios

1. Los siguientes datos corresponden a los pesos en gramos de 30 comprimidos elegidos alazar de entre la produccion diaria de un laboratorio. Los datos fueron obtenidos por eldepartamento de control de calidad del laboratorio.

1.78 1.64 1.86 1.73 1.55 1.66 1.82 1.77 1.67 1.691.75 1.63 1.50 1.64 1.94 1.56 1.76 1.68 1.63 1.791.68 1.69 1.65 1.72 1.72 1.65 1.70 1.68 1.67 1.75

Realizar una tabla de distribucion de frecuencias e interpreta los resultados.

2. Los siguientes datos son los niveles de glucosa en la sagre extrada a 50 ninos en ayunas.

56 61 57 77 62 75 63 55 64 6060 57 61 57 67 62 69 67 68 6565 72 65 71 68 73 65 62 75 6773 74 68 59 59 69 55 67 68 7366 61 69 76 72 57 75 68 73 65

Realizar una tabla de distribucion de frecuencias e interpreta los resultados.

3. En el siguiente conjunto de datos, se proporcionan los pesos (redondeados a libras) deninos nacidos en cierto intervalo de tiempo:

4 8 4 6 8 6 7 7 7 8 10 9 7 610 8 5 9 6 3 7 6 4 7 6 9 7 47 6 8 8 9 11 8 7 10 8 5 7 7 65 10 8 9 7 5 6 5 6 4 7 6 4 6

a) Clasificar la variable en estudio.

b) Construir una tabla de distribucion de frecuencias de estos pesos.

4. Completar la siguiente tabla de distribucion de frecuencias correspondiente a la edad delos habitantes de una comunidad en el interior de la provincia de Santa Fe registrada enEnero de 2009, sabiendo que el rango de edades es de 40 anos.

Edades fa fr % Fa Fr %

[10; 20) 5

[20; 30) 20

[30; 40) 90

[40; 50]

TOTAL 50

a) Que porcentaje de personas tiene como maximo 40 anos?

b) Que cantidad de personas tiene mas de 20 anos?

c) Que porcentaje de personas tiene mas de 20 anos pero menos de 40 anos?

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