Líneas rectas

y

ecuaciones lineales

Líneas rectas

• Una propiedad

importante de una línea

recta es que sube o baja

pronunciadamente.

• La medida del grado de inclinación de una

recta se llama pendiente.

Líneas rectas

m=𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜=

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

eleva

ció

n

recorrido

Líneas rectas Para calcular la pendiente de una línea recta,

necesitamos dos puntos por los cuales pasa la

recta.

Ejemplo: Determinar la pendiente de la recta

que une los puntos (1, -3) y (3, 7).

Note: pendiente

positiva, recta que

sube en el plano.

m =𝑦−𝑦1

𝑥−𝑥1

Líneas rectas

Dado una recta cualquiera y dos puntos sobre

ella, podemos usar la fórmula para pendiente

para determinar la ecuación que define la recta:

m=𝑦−𝑦1

𝑥−𝑥1

𝑚 𝑥 − 𝑥1 = 𝑦 − 𝑦1

o lo que es igual

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1

forma punto-pendiente de la

recta.

Líneas rectas

Ejemplo: Determine una ecuación de la línea recta que

pasa por el punto (3, -1) y que tiene pendiente -3.

y – (-1) = -3(x – 3)

y + 1 = -3x + 9

y = -3x + 8 ó

y = 8 – 3x

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1

Líneas rectas

Ejemplo: Determine una ecuación de la línea recta que

pasa por el punto (5, 6) y (1, -2).

Primeramente, calcular la pendiente:

m =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

=

6−(−2)

5−1

=

8

4

= 2

y – (-2) = 2(x – 1)

y + 2 = 2x – 2

y = 2x – 4

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1

Ecuaciones lineales • La ecuación de la forma

y = mx + b , donde m ≠ 0

se conoce como una ecuación lineal que

está en la forma pendiente-ordenada al

origen o pendiente-intercepto.

• Por ejemplo, y = 4x – 7 , es la ecuación de la

recta que tiene pendiente igual a 4 y que

cruza el eje de y en el punto (0, -7).

Líneas rectas

Líneas rectas

• Otra característica de una línea recta es que si se dibuja sobre un plano cartesiano, siempre cortará el eje de y UNA vez y el eje de x UNA vez.

• El punto donde la gráfica corta el eje de y se conoce como ordenada al origen o intercepto en y.

• El punto donde la gráfica corta el eje de x se conoce como intercepto en x.

Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta que tiene pendiente -3 e intercepto en y en (0,9). Solución: Usando el modelo y = mx + b, sustituimos y = -3x + 9 o y = 9 – 3x

Gráfica de una Ecuación

• Una solución de una ecuación en dos

variables es un par ordenado, (a, b), cuyos

valores al ser sustituidos en una ecuación

dada producen un enunciado cierto.

• La gráfica de una ecuación es un dibujo,

trazado o boceto del conjunto de todas las

soluciones de una ecuación.

Ejemplos •a.

•Determina si el par ordenado (5, 7) es una solución de 2x + 3y = 18.

• 2(5) + 3(7) ? 18

• 10 + 21 ? 18

• 11 = 18

• FALSO

• (5, 7) no es solución.

•b.

•Determina si el par ordenado (3, 4) es una solución de 2x + 3y = 18.

• 2(3) + 3(4) ? 18

• 6 + 12 ? 18

• 18 = 18

• CIERTO

• (3, 4) es solución.

Intercepto en x

•El int-x es un punto con forma (a, 0). Para hallar el valor de a, asignamos y = 0. Luego, resolvemos para x.

•Ejemplo: Deteminar el int-x de

2x + 3y = 18.

• 2x + 3(0) = 18

• 2x = 18

• x = 9

• El int-x es (9, 0).

Intercept - y

•El int-y es un punto con forma (0, b). Para hallar el valor de b, asignamos x = 0. Luego, resolvemos para y.

•Ejemplo: Deteminar el int-y de

2x + 3y = 18.

• 2(0) + 3y = 18

• 3y = 18

• y = 6

• El int-y es (0, 6).

Esbozar o trazar una gráfica

• Una forma de esbozar o trazar (“sketch”)

la gráfica de una ecuación es determinar

suficientes soluciones de la ecuación

(puntos en la gráfica), hasta obtener una

imagen clara de la forma general de la

gráfica.

• Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18.

–Ya sabemos que el int – x es: (9, 0)

–Ya sabemos que el int – y es: (0, 6)

•Podemos determinar una tercera solución reemplazando x con el valor de 5, y simplificando para y.

Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18

(cont.)

2 5 3y 18

10 3y 18

3y 8

y 8

3

Por lo tanto, es una solución. 5,8

3

•Trazar la gráfica:

• 2x + 3y = 18.

•int-x: (9, 0)

•int-y : (0, 6)

•Tercer punto:

5,8

3

Ejemplo (cont.)

Ejemplo: Trazar la gráfica y – 2x + 1= 0

• Para facilitar, reescribimos la ecuación como:

y = 2x – 1 .

• Luego, elegimos determinemos los interceptos:

int – y: y = 2(0) – 1 = -1 Por lo tanto, (0,-1) es el

intercepto en y.

int – x: 2x – 1 = 0

2x= 1

x = ½ Por lo tanto, (1/2 , 0) es el

intercepto en x-

Ejemplo: Trazar la gráfica

y – 2x + 1= 0 (cont.)

• Algunas soluciones

adicionales:

• Localiza los puntos en un

plano.

• Une los puntos con una

linea recta.

Ejemplo: rectas horizontales y verticales

Hallar la ecuación de la recta que

pasa por el punto P(-3, 4) y que es

paralela a

(a)el eje de x

(b) el eje de y

SOLUCION:

(a)Una recta paralela al eje de x

es una recta horizontal. Su

pendiente es 0. Su ecuación es

y = 4.

(b)Una recta paralela al eje de y

es una recta vertical. Su

pendiente NO está definida. Su

ecuación es x = -3.