INGENIERIA QUIMICA

Secuencias de soluciónde modelos matemáticos

Este trabajo constituyó parte del Seminario que sobreSimulación de Procesos Químicos ofreció el Grupo deSimulación de la Facultad de Ingeniería, en 1985.En él se sintetizan los criterios desarrollados para estable-cer topologías de solución de modelos matemáticos y seIlustran algunas aplicaciones. '

DANIEL BOGOYA MALDONADOIngeniero Químico, M.I.S.Profesor Asociado,Universidad Nacional de Colombia.

Pág. 68·72Ingenieria e InvestigaciónVolumen 4 . Nº 2Trimestre 1 de 1987

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Concebida la simulación matemática. valiosaherramienta de la Investigación de Operacionespara la predicción del comportamiento de objetosreales o imaginados. como la acción de experi-mentar con un modelo matemático (confeccio-nado con' base en la identificación del objeto realo imaginado y en el establecimiento de un amplioconjunto de analogías de índole diversa) median-te la asignación de valores a cada una de lasvariables definidas como variables de entrada y laobtención de valores para cada una de lasvariables definidas como variables de salida. esnecesario deslindar dos entidades. asociadas ados fases claramente definidas: modelo matemá-tico y método o secuencia de solución. Y. asícomo anteriormente se ilustró la fase del mode-lamiento matemático (fase en la cual se confec-ciona el modelo matemático o ente representadordel objeto). corresponde ahora ilustrar el estable-cimiento de un método o secuencia de solucióndel modelo mencionado.Aquí debe distinguirse. por una parte. la secuen-cia de solución (o topología) y. por otra. losconjuntos de métodos numéricos como los deextracción de raíces de ecuaciones. de diferen-ciación e integración numérica y de resolución desistemas de ecuaciones. métodos que no seabordan en este tratamiento.Ahora bien. el establecimiento de una secuenciade solución de un modelo matemático requiere elcumplimiento de varias fases: la determinacióndel subconjunto de variables de entrada (yconsecuentemente del sub-conjunto de variablesde salida). la asignación variable-función (paraver qué función debe emplearse en la eva-luación de qué variable). la detección de sub-modelos (o particiones) y la obtención de un or-den de precedencia de los submodelos (aunque di-chos submodelos se conformen con una solafunción); aclarando que puede haber más de una se-cuencia para cada modelo matemático.Así. en los próximos párrafos se pretende plantearuna metodología que permita resolver modelosmatemáticos. de manera sistemática. organizada

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y segura (es decir. que garantice la obtención dealguna solución).

Representación de modelos matemáticosLa forma. ya convencional. de representar con-juntos de funciones de diversas variables. consis-te en establecer una matriz de ocurrencia oincidencia. Dicha matriz (aqui llamada MIN) es unarreglo de M filas (una para cada función) y Ncolumnas (una para cada variable) tal que cadaelemento del arreglo puede tomar solo el valorcero o uno. así:rnina = O. lo cual significa que la Ja variable no

incide en la ia función; ornln, = 1. lo cual implica que la ja variable incide

en la ia función.Ejemplo: para el modelo matemático

f, (X1, X2, X3, X7) = Of2(X2, X3, X6, X8) = Oh(X3, X4, X5, X6) = O

se tiene la siguiente matriz de incidencia:

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

f, 1 1 1 1f2 1 1 1 1

h 1 1 1 1

Subconjuntos de variables en el modelomatemático

Establecido un modelo matemático con M fun-ciones. linealmente independientes. y N variables.pueden presentarse estas situaciones:1. M = N. en cuyo caso hay suficiencia (o

determinación) de funciones y cadavariable puede tener un único valorque satisfaga al modelo; o

2. M < N. en cuyo caso (frecuente en la simula-ción de procesos químicos y entantos otros campos del conocimien-to) cada variable puede tener unnúmero infinito de valores que satis-fagan el modelo.

Se aclara que no puede darse el caso dondeM> N. porque implicaría la presencia de funcio-nes redundantes o linealmente dependientes.situación que debe impedirse.Así. aparece el concepto de grados de libertad(aquí llamados G) de un modelo matemático.como el número de variables independientes -o.lo que es equivalente. el número de variablesmenos el número de funciones en el modelo: (N -M)-; Y se establece que para obtener algunasolución (o conjunto de valores para las variablesdependientes del modelo) es indispensable co-nocer valores para un número de variablesindependientes igual al número de grados delibertad. Es decir. hay dos subconjuntos de

variables en el modelo: el de las de entrada (o delas independientes) y el de las de salida (o de lasdependientes).Ahora bien. para los modelos donde G = O o suvarianza es nula. se tiene un subconjunto devariables de entrada vacío; y para aquellos dondeG> O. o su varianza es no nula. se tienennumerosos subconjuntos de variables de entra-da. pero limitados por la cantidad N combinado G.Se dice limitados. porque. si bien N combinado Ges el número total de permutaciones de Gelementos dentro de un grupo o conjunto de N deellos. pueden aparecer algunos subconjuntos devariables dependientes: es decir. al considerardichos subconjuntos se tendría una situación deinsuficienca y. posiblemente. de inconsistenciapara las variables de entrada del modelo.Por medio de un ejemplo puede ilustrarse loanterior. Sea el modelo

f, (X1, X2, X3, X4) = Of2(X1, X5, X6) = Oh(X7, X8, X9) = Of4(X5, X6, X10) = Ofs(X6, X8, X9, X10) = O

donde el número de funciones (linealmenteindependientes). M = 5; el número de variables(dependientes e independientes). N = 10; y elnúmero de grados de libertad (o de variablesindependientes). G = 5. Igualmente. la matriz deincidencia asociada. MIN. sería:

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

f, 1 1 1 1f2 1 1 1

f3 1 1 1f4 1 1 1fs 1 1 1 1

y en este ejemplo. por ser G = 5>0, se tienenmúltiples subconjuntos de variables de entrada.limitados por la cantidad.

(N) N! 10!G = (N - G)! G! = (10 - 5)! 5! = 252

Es decir. de los 252 subconjuntos posibles decinco variables. tomadas del conjunto total dediez variables. puede haber algunos de variablesdependientes. que no deben considerarse. Enefecto. todos aquellos que. simultáneamente.contengan

X1, X2, X3 y X4 ;0X1, X5 y X6 ;0X7, X8 y X9 ;0X5, X6 y X10 ;0X6, X8, X9 y X10

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serán conjuntos de variables dependientes (por- la matriz de incidencia es:que impedirán que alguna de las funciones delmodelo se utilice para despejar el valor devariable alguna).

Además. tampoco deben considerarse otros sub-conjuntos que. sin ser visibles inmediatamente.presentan la misma situación de dependenciaentre las variables. Un solo ejemplo: el subcon-junto

{X1, X5,X8, X9, X1~

reúne variables dependientes: en él. el subcon-junto X5. X8. X9. Xl0 es redundante para elsubmodelo conformado por las funciones t-. f4 yf5donde los grados de libertad son solo tres.

En realidad. para cualquier modelo matemáticohay múltiples subconjuntos de variables depen-dientes y. por tanto. todo subconjunto de varia-bles de entrada debe validarse. antes de intentarencontrar una secuencia de solución. Esta vali-dación contempla dos aspectos: el de la consis-tencia estructural y el de la consistencia lógica.

Asignación variable-funciónUna vez definido el subconjunto de variables deentrada. se logra simplificar el modelo: ahora sedispone de M funciones con M variables (las delconjunto de salida). La asignación. entonces.consiste en establecer qué variable debe hallarsemediante la resolución de qué función. Esteproceso puede llevarse a cabo mediante laaplicación del algoritmo de Steward.

En efecto. operando con la matriz de incidencia.el algoritmo establece que se examina la fila (o lacolumna) que posea el menor número de inci-dencias. lo cual implica que la función correspon-diente. depende del menor número de variables (oque la variable correspondiente incide en el menornúmero de funciones). y de esa fila (o columnase elige el elemento que pertenezca a la columna(o a la fila) con el menor número de incidencias.Enseguida. se asigna la variable representada pordicha fila y se reduce la matriz de incidencia. eli-minando la fila y la columna mencionadas. Luego.se repite el proceso de asignación hasta comple-tar el subconjunto de variables de salida.

El algoritmo referido puede ilustrarse con elsiguiente ejemplo.

Para el modelo matemático:

f1 (X1) Of2(X2, X3, X4) Oh(X1, X2, X4) Of4(X1, X3) O

fs(X2, X3, X5) O

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donde la primera fila es la que presenta el menornúmero de incidencias: una de la variable Xl. Erolconsecuencia. se asigna Xl a f, y se eliminan laprimera fila y la primera columna de la matriz deincidencia.La nueva matriz queda:

ahora al aplicar el algoritmo nuevamente. seasigna X3 a f4 y se eliminan la tercera fila y lasegunda columna. La nueva matriz de incidenciaes:

aquí. todas las filas presentan el mismo númerode incidencias: dos: pero la tercera columna.correspondiente a X5. presenta solo una.En consecuencia. se asignaX5 a t, y se eliminan latercera fila y la tercera columna. La nueva matrizde incidencia es:

en la cual se observa que f2 y f3 conforman unsubmodelo (o una partición) y así. la asignaciónde X2 y X4 a f2 y f3 es arbitraria.

Orden de precedenciaEn este punto corresponde determinar propia-mente la secuencia de solución. mediante elestablecimiento de cada una de las necesidadesque tenga cada función. para resolverse yotorgarel valor de la variable que le ha sido asignada demanera previa. Aquí es también útil asociargráficos. para apreciar mejor la exigencia de undeterminado orden. como diagramas de flujo deinformación.En efecto. se asocia un gráfico donde cada nodo

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representa una función y cada arco una informa-ción sobre el valor de cada variable así: ingresa aun nodo, si el valor de tal variable debe alimentar-se a dicha función: y egresa de un nodo, si el valorde tal variable debe hallarse mediante la resolu-ción de la función correspondiente. En el ejemplosiguiente se ilustra ssta situación.Para el modelo matemático:

f1 (X1, X2, X3, X4) Of2(X1, X2) O~(X3, X4) Of4(X1, X4) O

al aplicar el algoritmo de asiqnación variable-función se obtiene que X2 debe calcularse de f"X1 de f2, X3 de f3 y X4 de f4' Así, el diagrama deflujo de información asociado aueda:

donde se observan claramente' tres ciclos y lanecesidad de definir (al menos) una variableiteradora mediante la cual (por suposición ycálculo) se rasguen los ciclos y se establezca unasecuencia de solución.Para este ejemplo, si bien existen diferentesopciones 'para rasgar los ciclos, la variableiteradora más adecuada es X2, ya que con ellasimultáneamente se rasgan los tres ciclos y,consecuentemente, no exige la presencia deninguna otra variable iteradora. Definida X2como variable iter ador a. el nuevo diagrama deflujo de información queda con X2Sy X2~ así:

~ X3

X2C

y aquí, una secuencia de solución implica unaserie de iteraciones hasta acercar los valores deX2s (la estimación para X2) y de X2c (su valorcalculado) a una vecindad de tamaño preestable-cido. La secuencia sería:Paso 1. Establecer una cota de error E yestimarun valor para X2s;Paso 2. Resolver f2, f4 yf3, para obtener los valoresde X1, X4 y X3 respectivamente, que satisfagan elvalor de X2s;Paso 3. Resolver f" para obtener el valor de X2c;Paso 4. Si I X2c - X2s1 > E, debe estimarse unnuevo valor para X2s (con la ayuda de algúnmétodo numérico) y retornar al paso 2: en caso

contrario, debe considerarse concluido el proce-so iterativo.De otra parte, la elección de un determinadosubconjunto de variables de entrada influyedirectamente en la secuencia (yen el grado desimplicidad) de la solución del modelo. Así,apoyados en el siguiente ejemplo, yen un gráficoasociado, se ilustra dicho efecto.

Para el modelo:

11(X1, X2, X3) O12X3, X4, X5) O~(X5, X6, X1) O

su gráfico asociado es:

donde aparecen dos tipos de nodos: uno pararepresentar las funciones y el otro para represen-tar las variables: y líneas que indican la incidenciade cada variable en cada función.Primer subejemplo: el subconjunto de variablesde entrada está fo{mado por X1 , X3 y X5. Así. delgráfico asociado pueden eliminarse los nodoscorrespondientes a esas variables y las líneas quelos unen con los nodos de las funciones, quedan-do el gráfico:

/.~-_-.,/ ,I h \{ \\ I\ X2 /" /....... __ /

/-~--::...."/ \I I1 I\ /'..... ./

/-~-..."I h \I \

J\ X6 I\.'-_/

en el que aparecen tres pseudonodos disyuntos,indicando que la solución de cada función puedehallarse de forma independiente, sin precedenciaobligatoria. Igualmente, se indica que el valor deX2 se obtiene de resolver la función f" el de X4 def2 y el de X6 de f3'Segundo subejemplo: el subconjunto de varia-bles de entrada está formado por X1 , X4 y X6.Luego de la eliminación de los nodos y líneaspertinentes se obtiene este gráfico:

el cual indica que las funciones del modelopueden resolverse una por una, pero en una solasecuencia. El valor de X5 se obtiene por resolu-ción def3. en seguida el deX3 def2 y, por último, elde X2 de f,.

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Tercer subejemplo: el subconjunto de variablesde entrada está formado porX2,X4 yX6. Despuésde eliminar los nudos y las líneas que correspon-den se llega a este gráfico:

en él se observa la necesidad de una soluciónsimultánea, o mediante métodos numéricos itera-tivos, para obtener el valor de Xl de la función f"el de X3 de f2 y el de X5 de f3'Los tres anteriores subejemplos permiten con-cluir que el grado de simplicidad, y la secuencia,para la solución de un modelo matemáticodepende sensiblemente del subconjunto de varia-bles de entrada que se elija.

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