Segmento y ángulo

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Capítulo 1 Segmento y ángulo En la primera parte de este capítulo, estudiaremos la noción de segmento de recta asociada con su longitud y con la idea de distancia entre dos puntos sobre una línea recta. Resolveremos problemas que tratan sobre longitud o distancia entre dos puntos, en ellas las longitudes o distancias entre dos puntos permanecen estáticas o bien cambian en el tiempo o con respecto a otra longitud o cantidad física de manera lineal o no lineal. En la segunda parte, trabajaremos con la noción de ángulo, veremos su clasificación según su medida y por su relación con otros ángulos. Además de deducir propiedades entre parejas especiales de ángulos, deduciremos dos propiedades importantes sobre ángulos las cuales tienen amplia aplicación en la resolución de problemas sobre triángulos y relación de triángulos semejantes: (i) ángulos entre paralelas y una transversal y (ii) suma de los tres ángulos internos de una región triangular. Resolveremos problemas sobre cálculo de la medida de ángulos en situaciones estáticas o dinámicas cuyas medidas varían en función de otras magnitudes geométricas o físicas variables de manera lineal o no lineal. En su resolución ilustraremos el uso de una o ambas propiedades.

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Capítulo 1

Segmento y ángulo

En la primera parte de este capítulo, estudiaremos la noción de segmento de recta asociada con su longitud y con la idea de distancia entre dos puntos sobre una línea recta. Resolveremos problemas que tratan sobre longitud o distancia entre dos puntos, en ellas las longitudes o distancias entre dos puntos permanecen estáticas o bien cambian en el tiempo o con respecto a otra longitud o cantidad física de manera lineal o no lineal.

En la segunda parte, trabajaremos con la noción de ángulo, veremos su clasificación según su medida y por su relación con otros ángulos. Además de deducir propiedades entre parejas especiales de ángulos, deduciremos dos propiedades importantes sobre ángulos las cuales tienen amplia aplicación en la resolución de problemas sobre triángulos y relación de triángulos semejantes: (i) ángulos entre paralelas y una transversal y (ii) suma de los tres ángulos internos de una región triangular. Resolveremos problemas sobre cálculo de la medida de ángulos en situaciones estáticas o dinámicas cuyas medidas varían en función de otras magnitudes geométricas o físicas variables de manera lineal o no lineal. En su resolución ilustraremos el uso de una o ambas propiedades.

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Capitulo1. Segmento y ángulo

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1.1 Segmento1

Segmento. Como en la Figura 1.1.1, sobre la recta L, seleccionemos un punto de referencia O, movamos un punto M –sobre– L de tal manera que podamos acercarlo, alejarlo (en cualquier lado de O)

Para una posición fija cualquiera de M respecto a O (en cualquier lado de O), al conjunto de puntos –sobre– L entre O y M inclusive los mismos O y M, le llamamos segmento lineal o segmento de recta de extremos O y M (o simplemente segmento) y lo simbolizamos con OM2.

Figura. 1.1.1 Generación del segmento OM sobre la recta L

Si admitimos, el caso extremo, posicionar M sobre O diremos que se trata

de un segmento degenerado en un punto. Con el fin medir que “el tamaño o largo” de un segmento, debemos

asociarle un valor numérico no negativo, para ello es necesario recurrir a la noción de semirrecta graduada. Consideremos la semirrecta S con punto inicial O. Asociemos a cada punto de S un único número real no negativo como el la Figura 1.1.2.

Figura 1.1.2. Semirrecta graduada

Asociemos a O el 0 y le llamamos origen. Tomamos otro punto arbitrario A

distinto de O sobre S y le asociamos el 1 y decimos que OA tiene longitud 1 que le llamamos unidad de longitud. Decimos también que la distancia de O a A es 1. Al punto B situado sobre S a dos unidades de longitud de O le asociamos el 2. Al punto sobre S situado a tres unidades de longitud de O le asociamos el 3, y así sucesivamente. También se puede asociar puntos con números racionales positivos, tales como ½ situado a media unidad de longitud de O. Se puede inducir que los números irracionales positivos también se pueden asociar con puntos de S. Suponemos que el lector ya conoce procedimientos intuitivos para su construcción. En el Capítulo 2 esbozaremos un procedimiento informal e intuitivo para aclarar su proceso de construcción.

1 Algunos objetos geométricos y relaciones geométricas, tales como plano, región, punto, recta, semirrecta y paralelismo entre rectas, los usaremos sin definirlos, creemos que el lector posee nociones intuitivas visuales de los mismos. 2 En cálculo se estudian algunos segmentos que no contienen sus extremos.

MO

L

0 1/2 1 7/4 2 3 π 4

⌦�

O A B

S

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1. 1. Segmento

3

Longitud de un segmento. Consideremos el segmento OM y una semirrecta graduada S que tomamos con patrón de medida. Para medir OM desplacemos S de tal manera que su origen coincida con cualquiera de los extremos de OM y todo punto de OM sea punto de S. Como en la Figura 1.1.3, si hacemos coincidir el origen con O, M coincidirá con P de S, entonces, si P tiene asociado el número r, decimos que la longitud de OM mide o es de r unidades de longitud, o que la distancia de O a M mide o es de r unidades de longitud3.

Figura 1.1.3 Medición de la longitud de un segmento. OM mide r unidades de longitud.

En otras palabras, la longitud de un segmento es el número de unidades de

longitud (no necesariamente entero) que caben en el. Notemos que la distancia de O a M la medimos sobre la semirrecta S 4

tomando como punto de referencia su extremo O. En ingeniería existen varios sistemas y respectivas unidades de longitud.

Por ejemplo, para el sistema mks., los patrones unitarios pueden ser; 1nanom, 1cm, 1m, 1km, 1año luz, etc., según sean más cómodos de usar.

Para expresar que el segmento OM mide x unidades de longitud, escribimos OM = x, es decir, igualamos el símbolo del segmento con su longitud. Este tipo de ecuaciones las usaremos en lo sucesivo para otros elementos geométricos y sus medidas. Segmento de longitud variable. En la figura 1.1.1, al desplazar M –continuamente “sobre” L, podemos interpretar que generamos –un– segmento cuya longitud varía de manera continua tomando un intervalo de valores reales.5 Segmento de longitud cero e infinita. En la Figura 1.1.1, Como ya lo mencionamos más arriba, si ubicamos M sobre O el segmento se reduce a un punto, le asociamos longitud cero y le llamamos segmento nulo. Si admitimos que M se aleje infinitamente de O, OM se transforma en una semirrecta, decimos OM tiene longitud infinita. Segmentos congruentes. Se dice que dos segmentos son congruentes si tienen igual longitud independientemente de su posición en el plano o espacio. Como en la

3 En la práctica, S puede ser una regla graduada, una cinta graduada o algún método indirecto para medir longitudes o distancias entre dos puntos según algún sistema de medidas. 4 En general la distancia entre dos puntos puede medirse sobre una trayectoria cualquiera no necesariamente sobre una línea recta. En particular, como estudiaremos en el Capítulo 2, si se mide sobre una circunferencia tenemos lo que se llama longitud de arco. En cálculo se estudian los conceptos de distancia entre dos puntos y longitud de arco sobre una trayectoria no lineal en el plano y el espacio. Aquí, cuando no se especifique, entenderemos como distancia entre dos puntos como aquella medida sobre una línea recta. 5 Informalmente, decimos que la longitud varía continuamente en [a, b] si ella toma continuamente “todos” los valores en dicho intervalo.

0 1 2 3

0 1 2 3

O M O M

S

S

P

r

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Capitulo1. Segmento y ángulo

4

Figura 1.1.4 comúnmente se dibujan con ciertas marcas o señas para describir su igualdad.

Figura 1.1.4 Las barritas describen que el segmento AB es congruente con al segmento CD, es decir que tienen la misma longitud.

Segmentos en aplicaciones. En aplicaciones geométricas de ingeniería, no interesa en sí, el propio segmento, sino su longitud o medida considerada como la distancia entre sus dos puntos extremos, puede representar la longitud de algún atributo lineal de un objeto: una altura, una profundidad, un espesor, el radio de una circunferencia, etc. Por otro lado, en algunas aplicaciones el punto de referencia O puede también desplazarse sobre alguna trayectoria.

Las longitudes de segmentos lineales o distancia entre dos puntos se presentan en procesos o situaciones donde sus longitudes son constantes fijas, o varían continuamente al variar o –hacer– variar otras magnitudes. La variación (crecimiento o decrecimiento) de una distancia puede ser lineal (con rapidez6 constante). Existe una variedad de problemas geométricos asociados a tales procesos en los que necesitamos conocer, describir o predecir distancias entre dos puntos sobre una recta. Veamos algunos ejemplos.

••••Ejemplo 1.1.1 Crecimiento de una distancia con rapidez constante. Un móvil parte de un punto ubicado a 50 m. de un punto de referencia y se desplaza sobre una línea recta alejándose del punto de referencia durante 6 segundos con velocidad constante de 2m/s, Exprese la distancia del móvil al punto de referencia en función del tiempo.

Resolución. Primeramente, vemos que si el móvil avanza 2 m/s, entonces la distancia de recorrida aumenta 2 m/s. Denotemos con t (seg.) al tiempo transcurrido y con L (m) la distancia recorrida en el tiempo t. Puesto que L crece con velocidad constante, usando el modelo de crecimiento lineal, Ecuación (1.1.1), y según Figura 1.1.5

×

+

=

tt otanscurrid

tiempo

constante

velocidad

inicial

distancia

instante elen

recorrida distancia (1.1.1)

6 También se usan los términos de: velocidad, razón o tasa, como equivalentes al término rapidez.

A

B

D

C

O M

50 2t

L = 50 + 2t

P

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1. 1. Segmento

5

Figura. 1.1.5 La distancia recorrida crece linealmente en el tiempo tenemos que L es función lineal de t,

60 ,250)( ≤≤+= tttL (1.1.2)

Dejamos al lector el trazo de su gráfica cartesiana e interpretación física de

la pendiente y punto intercepto en y del segmento de recta � Hay situaciones en las que cierta longitud varía cuando –hacemos– variar otra longitud, estableciendo así que la primera es función de la segunda,

•Ejemplo 1.1.2 Relación entre longitudes de segmentos. El punto C está sobreAB=10. Si xCB = . Exprese AC en función de x y determine su dominio.

Resolución. En la Figura. 1.1.6 se presentan los segmentos,

Figura 1.1.6 AB=10, xCB =

Si denotamos como )(xfAC = . Del dibujo tenemos la función lineal

xxf −= 10)( , 100 ≤≤ x (1.1.2) Si hacemos que x aumente (en su dominio), f(x) disminuye en la misma cantidad, así AC es función lineal decreciente de CB �

Bajo ciertas circunstancias se puede considerar a una longitud, aproximadamente, como función lineal de una magnitud física variable, este es el caso de un termómetro ambiental.

••••Ejemplo 1.1.3 La altura en función de la temperatura. La escala de un termómetro de mercurio marca aproximadamente 1°C a cada 1.5mm. Cuando la temperatura es de 0 °C la altura del mercurio medida desde la escala de –30°C mide 45mm. Exprese la altura del mercurio en función de la temperatura, y determine la altura cuando la temperatura es de 10°C.

A C B

10

x f(x)

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Capitulo1. Segmento y ángulo

6

Resolución. Denotando con T la temperatura en °C y con h la altura en mm que le corresponde, si suponemos que h es función lineal de T 7, entonces, h crece a razón constante de 1.5mm/°C. Con la ecuación punto pendiente obtenemos,

5030,455.1)( ≤≤−+= TTTh (1.1.3)

La altura del mercurio cuando 10=T , es mm60)10( =h . Su gráfica cartesiana se muestra en la Figura 1.1.7 �

Figura 1.1.7 Gráfica lineal de la altura h en mm del mercurio en función de la temperatura T en °C. La pendiente del segmento es 1.5 y el punto intercepto en el eje vertical es 45.

En algunos problemas geométricos, el cálculo de una distancia fija se basa en la construcción de ecuaciones a partir de las condiciones explicitas o que se inducen del problema.

••••Ejemplo 1.1.4 Ancho de un río. Dos botes cruzan un río recto de aguas tranquilas partiendo simultáneamente en lados opuestos a velocidades constantes pero diferentes sobre líneas paralelas. Se encuentran por primera vez a m metros de uno de lados, y de regreso se encuentran a n metros del otro lado. Exprese el ancho del río en términos de m y n.

Resolución. Primeramente leamos, entendamos, imaginemos lo descrito en el enunciado del problema y hagamos un dibujo de la situación. La Figura 1.1.8 es una ilustración apropiada del problema.

7 En la realidad la relación entre la altura y la temperatura no es lineal, en ciertos termómetros, para bajas temperaturas la altura crece con más rapidez que para altas temperaturas. Es decir se trata de una función creciente cóncava hacia abajo.

-20 20 40T

20

40

60

80

100

120

h

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1. 1. Segmento

7

Figura 1.1.8 Un dibujo nos ayuda a mejorar nuestra comprensión del problema y descubrir relaciones para plantear ecuaciones. En ella debemos incluir datos y la incógnita principal.

Denotemos con x el ancho del río. Esta es nuestra incógnita principal. A es primer punto de encuentro ubicado a m metros del lado de partida del bote 2, B es el segundo punto de encuentro ubicado a n metros del lado de partida del bote 1. Los recorridos se expresan según se muestran en la Figura 1.1.8. Nuestra estrategia será, construir un sistema de ecuaciones y resolverlo para x. Esta estrategia será de uso común en la resolución de muchos problemas sucesivos de este texto.

Construyamos, pues, ecuaciones que contengan x. Puesto que los botes viajan a velocidad constante, usamos un caso particular de la ecuación (1.1) con distancia inicial igual a cero.

×

=

dotranscurri

tiempo

constante

velocidad

recorrida

distancia (1.1.4)

Notemos que, el tiempo que emplea cada bote en su respectivo recorrido

desde que parte hasta llegar a A, es el mismo para ambos. Si denotemos con t1 a este tiempo, y con v la velocidad del bote 1 y con w la velocidad del bote 2, tenemos según la ecuación (1.4),

1vtmx =− (1.1.5)

1wtm = (1.1.6)

Así también, notemos que el tiempo que emplea cada bote en su respectivo recorrido desde A, llegar al otro lado del río y regresar para llegar a B, es el mismo para ambos (si no se detienen en ningún momento). Si denotemos con t2 a este tiempo, tenemos,

2vtnxm =−+ (1.1.7)

2wtnmx =+− (1.1.8)

En el sistema de ecuaciones (1.1.5), (1.1.6), (1.1.7) y (1.1.8); t1, t2, v y w, son incógnitas auxiliares. En algunos problemas es necesario introducir incógnitas auxiliares para plantear un sistema consistente de ecuaciones que contenga la incógnita principal.

A

B

x

x - m m

n x - m

Bote 1 Bote 2

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Capitulo1. Segmento y ángulo

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Habiendo construido o planteado el sistema de ecuaciones, debemos resolver el sistema para la incógnita principal x. Para ello usemos técnicas de resolución de sistema de ecuaciones, a fin de eliminar las incógnitas auxiliares y determinar la incógnita principal, Así por ejemplo, para eliminar la v, dividamos lado a lado de (1.1.5) y (1.1.7),

nxm

mx

t

t

−+−=

2

1 (1.1.9)

De (1.1.6) y (1.1.8) tratemos de eliminar w y obtener el cociente 21 / tt .

Esto se logra también al dividir lado a lado de (1.1.6) y (1.1.8),

nmx

m

t

t

+−=

2

1 (1.1.10)

Ahora, claramente para eliminar el cociente 21 / tt , igualemos (1.1.9) con (1.1.10), para obtener una ecuación con solamente la incógnita principal x,

nmx

m

nxm

mx

+−=

−+−

(1.1.11)

De la cual obtenemos,

nmx −= 3 (1.1.12)

Finalmente, antes dar nuestra respuesta, es aconsejable comprobar e interpretar la consistencia de (1.1.12) con la situación física del problema para algunos casos particulares o extremos. Así, si nm = , los botes se encontrarían la primera vez en el punto medio del ancho del río, es decir el ancho del río debe ser el doble de las distancias recorridas. Ahora, de (1.1.12) el ancho del río es mx 2= , la cual es coherente con que se encuentran en el punto medio. Si 0=n , implica que la segunda vez que se encuentran sucede en el punto de partida del bote 1, es decir el bote 1 recorre el doble de distancia que del bote 2, entonces, al encontrarse en el punto A, el bote 1 debe haber recorrido el doble de distancia que el bote 2, así que si la distancia que recorrió el bote 2 es m, el bote 1 recorrió es 2m, y por tanto, el ancho del río es de 3m; el mismo resultado que se obtiene al sustituir n = 0 en (1.1.12). Al menos para estos tres casos particulares se comprueba la validez de (1.1.12).

Por tanto, afirmamos que el ancho de río es de nm −3 metros con nm >3 � Hay problemas geométricos en los que una distancia es función no lineal de otra distancia que varía o se hace variar en cierto dominio físico. La construcción de su fórmula requiere conocimientos y procedimientos geométricos que estudiaremos en los próximos capítulos. Sin embargo, aún sin conocer su fórmula se pueden estudiar y describir muy bien por medio de programas de geometría dinámica. Veamos el problema del ejemplo 1.1.5

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1. 1. Segmento

9

Ejemplo 1.1.5 Distancia variable entre dos móviles. En la Figura 1.1.9, el móvil M parte de A hacia B sobre AB. Al mismo tiempo el móvil N parte de B hacia C sobre BC . Si los móviles se desplazan con –igual– velocidad (constante o variable)

Figura 1.1.9 M se desplaza de A a B y N se desplaza de B a C, ambos con la misma velocidad, MN es la distancia entre ambos.

Denote xAM = y yMN = , se ve que al hacer variar x en su dominio, y varía en

consecuencia, es decir y es función de x, )(xfy = Describa cómo cambia la

distancia y con respecto al distancia x, trace la gráfica cartesiana )(xfy = .

Determine la distancia mínima entre los móviles, cuál es su valor y cuando sucede. Resolución. Para percibir como va cambiando la distancia entre los móviles, al avanzar M sobre AB ejecute la Simulación 1.1 Distancia Una copia de pantalla de esta actividad, adjunta una tabla de valores, se muestra en la Figura. 1.1.10

Arrastre M desde A hasta B, (repita las veces que sean necesarias), observe

los valores numéricos que van tomando las longitudes xBNAM == , y la longitud yMN = , observe la gráfica cartesiana que se va generado al lado derecho.

Establezca las siguientes observaciones y afirmaciones a fin de responder las preguntas planteadas.

• Las longitudes de AM y de BN siempre son iguales8, pues los móviles M y N se desplazan con la misma rapidez.

8 Debido a características de cálculo propias del CABRI, para algunas posiciones de M y N las distancias la presenta aproximadamente iguales. Esta situación de cálculo aproximada puede suceder o darse en otras simulaciones sucesivas.

B

A

C

M

N

x

x

y

6

6

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Capitulo1. Segmento y ángulo

10

• La distancia entre M y N denotada con y, depende de la distancia recorrida por M denotada con x, percibimos así que y es función de x.

• Al crecer la distancia x de 0 a 6 la distancia y inicia decreciendo desde 6, toma un valor mínimo, luego crece hasta 6.

• En el intervalo donde y decrece, lo hace cada vez menos con respecto a x; y en el intervalo donde crece, lo hace cada vez más con respecto a x.

• y toma un valor mínimo de aproximadamente 4.23 y sucede cuando x = 3. Esto es, la distancia menor que habrá entre los móviles es de 4.23 y sucederá cuando el móvil M ha recorrido 3, en el punto medio de su recorrido total.

• El dominio de f es [0. 6] y el rango de f es [4.24, 6]

Suponiendo que BCAB y son perpendiculares, más adelante, construiremos la fórmula )(xfy = , la graficaremos, y comprobaremos las observaciones y

respuestas obtenidas en esta simulación �

Figura 1.1.10 Copia de una pantalla de la Simulación 1.1.1 Distancia. Ilustra la naturaleza de cambio de la distancia de y respecto a la distancia x, y la existencia de un valor mínimo en y.

Comentario 1.1.1. Observemos la gráfica cartesiana de la Figura 1.1.8, imaginemos lo que sucede en las proximidades del, y en el valor mínimo de )(xfy = (3, 4.24). “Viene”

decreciendo cada vez menos, en el mínimo deja de decrecer, e inicia a crecer cada vez más; podemos decir, en este caso, que en “exactamente” el mínimo, )(xfy = no decrece ni crece, se dice que la rapidez o razón de cambio de y con respecto a x debe ser ¡igual a cero! Este hecho importante se formaliza y estudia en cálculo diferencial, y se utiliza en la resolución de problemas de máximos y mínimos con la metodología del cálculo.

Problemas 1.1 1. Construcción de f(x).

(i) SobreABde longitud x se ubica el punto M. Si AM mide 2/3 de x y f(x) denota la longitud de MB . Construya la fórmula de f(x) y establezca su dominio ideal.

1

1B

A

M

N

y

x AM = = = = x = 1,58 cm

xx

BN = x = 1,58 cm

C

y = f(x)

6

6

MN = y = 4,69 cm

P(x, y)

y

123456789

101112

AM = x = MN = y = AM = x = 0.50 5.521.00 5.101.50 4.742.00 4.472.50 4.303.00 4.243.50 4.304.00 4.474.50 4.745.00 5.095.50 5.526.00 5.99

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1. 1. Segmento

11

(ii) Sobre el segmento AB se ubica el punto M. La razón aAB

MB= con

10 << a . Si xMB = y )(xfMA = . Construya f(x) en términos de a.

(iii) Sobre el segmento ABse ubica el punto M. Si )( , xfMBxAM == y

MB

AM

AM

AB= .Construya )(xf .

2. Distancia recorrida. Dos móviles partiendo de A se desplazan sobre AB manteniendo velocidades constantes de 25 y 30 metros por segundo. El más rápido llega a B un segundo antes que el más lento. Determine la longitud de AB . 3. Contracción de una barra. Una barra metálica con longitud inicial de 30 pulgadas, se pone a enfriar en un medio ambiente. Si se sabe que su longitud disminuye a razón de 0.1 pgs/min., durante 7 minutos. Exprese su longitud en función del tiempo y su dominio. 4. Dilatación de una barra. Una barra metálica se dilata a razón constante de 0.2 cm./°C. Si su longitud es de 60 cm. cuando su temperatura es de 60°C. Determine a los cuantos minutos su longitud es de 62 cm. 5. Niveles en depósitos. Las alturas iniciales del nivel de agua de dos depósitos son de 2 m. y 3.5 m. Simultáneamente se inicia a verter agua y drenar en el segundo, en el primero el nivel sube a razón constante de 0.2 m/min., mientras que en el segundo baja a razón constante de 0.15 m/min. ¿Cuándo y a qué altura estarán al mismo nivel? 6. Alejándose y acercándose. Un móvil parte a 10 m. de un punto A alejándose en línea recta con velocidad constante de 2 m./seg. durante 7 segundos, luego cambia de dirección y se acerca al punto A sobre la misma recta con velocidad constante de 3 m./seg. ¿a los cuántos segundos estará en su posición inicial? Trace la gráfica de su posición en función del tiempo. 7. Distancia entre móviles. Dos móviles parten del mismo punto desplazándose sobre una misma línea recta, uno con velocidad v y otro con velocidad w = 2v. Exprese la distancia entre los móviles en función de la distancia recorrida por el primero. 8. Largo del túnel. Un tren viajando a velocidad constante de 20 k/h. tarda 5 minutos en recorrer completamente un túnel desde que ingresa la locomotora hasta que sale el último vagón. Si el túnel tiene el mismo largo que el tren, determine el largo del túnel. 9. Punto de encuentro. Sobre una recta un móvil M deja el punto A a velocidad constante

av . A una distancia d de A sobre dicha recta, un móvil N deja el punto B a velocidad

constate bv , k horas después que el móvil M dejara el punto A. En términos de las variables

del problema, ¿Dónde se encontraran los móviles? 10. El ciclista y el desfile. Un ciclista inicia conduciendo en la cola de un desfile que tiene 4 k. de largo y se dirige en la dirección del desplazamiento del desfile. Al cabo de cierto tiempo el ciclista alcanza la punta inicial del desfile y regresa al punto de la cola cuando el desfile se ha movido 6 k. Suponiendo que el ciclista y el desfile se movieron el línea recta a velocidades constantes (pero diferentes) y que el desfile mantiene su mismo largo, ¿Qué distancia recorrió el ciclista? 11. Duelo de candelas. Dos candelas de longitudes L y L + 1 fueron encendidas a las 6:00 y 4:30 respectivamente. A las 8:30 tenían la misma longitud. La candela más larga se consumió a las 10:30, y la más corta se consumió a las 10:00. Determine L. 12. La hormiga sobre la tira de hule. Una hormiga camina sobre una tira de hule que se estira. La hormiga parte de un extremo y se desplaza a velocidad constante de 6 cm./min. La longitud inicial de la tira de hule es de 24 cm. y es estirado a razón constante de 12 cm./min. Suponga que hule se estira uniformemente. ¿Logrará llegar la hormiga al otro extremo? Si su respuesta es afirmativa, aproxime el tiempo que tarda. Apóyese de una hoja electrónica para sus cálculos.

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Capitulo1. Segmento y ángulo

12

13. Longitud de la sombra. Una lámpara se ubica a 3m. del suelo horizontal. Un niño de 1m de estatura, caminando en línea recta se aleja del punto A sobre el suelo exactamente debajo de la lámpara. Al alejarse la distancia x de A a la posición del niño aumenta, aumentando en consecuencia la longitud s de su sombra que proyecta sobre el suelo. Ejecute la Simulación 1.1 Sombra de los valores numéricos induzca la fórmula )(xfs = y trace su gráfica. De la fórmula y los datos, si el niño se aleja con velocidad constante de 1m/seg. ¿con qué velocidad se alarga su sombra? 14. La escalera que resbala. Imagine una escalera recostada (en una posición casi vertical) sobre una pared Suponga empujar la base de la escalera alejándola de la pared cierta distancia, luego la vuelve a empujar alejándola la misma distancia, luego nuevamente vuelve alejarla la misma distancia, y así sucesivamente. Suponga que cada vez que se hace esto se mide la distancia que recorre la parte superior de la escalera sobre la pared. (a) ¿Las distancias que recorren la parte superior son iguales; son cada vez más grandes o cada vez más pequeñas? EXPLIQUE. (b) Suponga que se conecta un motor en la parte inferior de la escalera que la aleja a velocidad constante. ¿La parte superior de la escalera se moverá a velocidad constante? EXPLIQUE. (c) Esboce una gráfica que represente la relación entre la distancia del suelo a la parte superior de la escalera y, y la distancia de la parte inferior de la escalera y la pared x cuando la escalera resbala alejándose de la pared, iniciando en la posición vertical y finalizando cuando la escalera quede sobre el suelo. EXPLIQUE. Compruebe sus respuestas realizando la Simulación 1.1 Escalera. (d) Aproximadamente para que valor de x, la velocidad con que resbala la parte inferior es igual a la velocidad con que resbala la parte superior. (e) ¿Para qué intervalo de x aproximadamente la velocidad con que resbala la parte superior es menor que la velocidad con que resbala la parte inferior?

1.2 Ángulo Ángulo. Sobre un plano, consideremos las semirrectas L y M con punto inicial en O, como en la Figura 1.2.1. En principio supongamos que M coincide con L (posición inicial de M). Tomando como pivote a O, giremos sobre el plano a M con referencia a L en cualquier sentido. Para cualquier giro de M, a la “abertura” entre L y M le llamamos ángulo. A las semirrectas L y M les llamamos lado inicial y lado terminal del ángulo respectivamente, al punto O se le llamamos vértice del ángulo. Si A y B son puntos cualesquiera sobre L y M pero distintos de O, al ángulo lo simbolizaremos refiriendo a dichos puntos y su vértice AOB∠ . También es habitual utilizar letras griegas para simbolizar o nombrar ángulos α (alpha), β (beta), γ (gamma), θ (theta), etc.

O

L

M

O

L M

D

C

A

B

α β

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1. 1. Segmento

13

Figura 1.2.1 Generación de ángulos. El sentido de giro lo señalamos dibujando una flecha-arco. Podemos nombrar βα COD ,AOB =∠=∠

Mencionemos dos casos extremos, si no giramos M y lo dejamos sobre L, el

ángulo es una semirrecta que le llamaremos ángulo nulo, si giramos M una vuelta completa hasta ubicarlo sobre L tenemos un ángulo llamado completo. En trigonometría se estudia ángulos más generales, de más de una vuelta, sentidos y ángulos negativos, estos no los consideraremos aquí. Visto de una manera más estática, ya generado, un ángulo se define como la unión de dos semirrectas con su punto inicial común (sus lados y su vértice) contenidos en un plano. En problemas de ingeniería los ángulos se pueden presentar de diversas maneras; como ya generados estáticos, no distinguiendo su lado inicial o terminal; con segmentos como lados de diferente longitud, con segmentos y/o rectas como lados, formados en el espacio. Ver Figura 1.2.2. También pueden presentarse o concebirse en movimiento en un plano, con su vértice desplazándose sobre una recta, o con su vértice fijo pero ambos lados giratorios sobre un plano cerrando a abriendo la abertura (por ejemplo, el ángulo variable entre las agujas de un reloj) etc.

α=∠AOB β=∠DOE βα y entre segmentos en el espacio entre rectas L y M

Figura 1.2.2. Algunas representaciones y simbolizaciones de ángulos.

Si los lados de un ángulo son semirrectas a la región comprendida entre sus

lados le llamaremos región angular. Si uno o los dos lados de un ángulo son segmentos, para determinar su región angular asociada prologuemos el o los segmentos sobre semirrectas coincidentes a los mismos. Según esta definición, la región angular no depende de la longitud de los lados del ángulo; además, claramente toda región angular es no acotada, no limitada. Medición. Al grado de abertura entre lados de un ángulo se le asocia una medida. La medida de la abertura es independiente de la longitud de los lados del ángulo. Básicamente existen tres sistemas de medición, (i) fracción de vuelta o vuelta, (ii) grados sexagesimales y (iii) radianes. En el sistema de vuelta se dice por ejemplo, que el ángulo mide media

vuelta, ¾ de vuelta, 3 de vuelta, una vuelta o una revolución, etc.

O O

O

α

δβ

γ

A

B

D

E

Page 14: Segmento y ángulo

Capitulo1. Segmento y ángulo

14

En el sistema de grados sexagesimales, un ángulo de una vuelta completa se divide en 360 ángulos iguales, se dice que cada uno de ellos mide 1 grado sexagesimal denotado con 1°, por tanto un revolución tiene 360°. Un ángulo de 1° se divide en 60 ángulos iguales, se dice que cada uno de ellos mide 1 minuto denotado con 1‘, por tanto 1° tiene 60’. Un ángulo de 1’ se divide en 60 ángulos iguales, se dice que cada uno de ellos mide 1 segundo denotado con 1”, por tanto 1’ tiene 60”. Un ángulo de 1” se divide en 10 ángulos iguales, se dice que cada uno de ellos mide una décima de segundo. En la práctica este sistema ya no acepta más subdivisiones de ángulos. En este sistema es común usar la notación decimal en grados, así por ejemplo, un ángulo que mida 30°45’18” se equivale a

°=×++° 755.30)6060/("1860/'4530 . En el sistema de radianes, a un ángulo de una vuelta se le asocia una medida

de 2832.62 ≈π radianes, de manera que un ángulo de 1591.0)2/(1 ≈π de vuelta se le asocia una medida de un radián. Más adelante precisaremos su definición. Factores de conversión. Puesto que en sus definiciones los sistemas establecen proporciones entre sí, para convertir medidas de un sistema a otro usaremos los factores de conversión (1.2.1) o sus recíprocos, según nuestras necesidades de conversión.

radianes 2

360 ,

radianes 2

vuelta1 ,

360

vuelta1

ππ°

° (1.2.1)

La Tabla 1.2.1 presenta algunas equivalencias comunes

Fracción De vuelta

Grados sexagesimales

Radianes

0 0° 0 rads. 1/12 30° π/6 ≈ 0.5236 rads. 1/8 45° π/4 ≈ 0.785 rads.

1/(2π) 57.29° 1 radián 1/6 60° π/3 ≈ 1.047 rads. ¼ 90° π/2 ≈ 1.578 rads.

1/π 114.59° 2 radianes ½ 180° π ≈ 3.1416 rads. ¾ 270° 3π/2 ≈ 4.71 rads 1 360° 2π ≈ 6.2832 rads.

Tabla 1.2.1. Equivalencias entre medidas de ángulos comunes. Es conveniente saberlos de memoria para su transformación inmediata. Vea si su calculadora posee teclas o comandos para realizar transformaciones entre medidas.

Comentario 1.2.1. (a) Usaremos indistintamente el nombre del ángulo y su medida. Escribimos °= 22.87α para denotar que el ángulo denotado con α mide 87.22°, (b) generalmente, en geometría los ángulos tienen medidas entre 0° y 180°. (c) independientemente de la longitud de sus lados, dos o más ángulos con la misma medida les corresponden regiones angulares iguales.

Page 15: Segmento y ángulo

1. 1. Segmento

15

Atendiendo a su medida o a su relación con otros ángulos u objetos geométricos los ángulos se clasifican y se nombran. Ángulos congruentes. Dos o más ángulos se llaman congruentes si tienen la misma medida independientemente de su disposición en el plano o espacio. Brevemente diremos que los ángulos son iguales. Como en la Figura 1.2.3, se utilizan diversas marcas o señas para referirse a esta relación en su dibujo.

Figura. 1.2.3 Los ángulos con barritas tienen la misma medida. Los ángulos con dobles arcos tienen la misma medida.

Clasificación y nombres según su medida. Ver Figura 1.2.4

Figura 1.2.4 Dibujos y nombres de ángulos según su medida.

Pares de ángulos adyacentes. Dos ángulos (no nulos) son adyacentes si tienen el mismo vértice, uno de sus lados en común, y sus regiones angulares correspondientes –no se traslapan– Ver Figura 1.2.5

α

Nulo, α = 0°Lados coincidentes

Agudo0° < α < 90°

Rectoα = 90°

Obtuso90° < α < 180°

Llanoα = 180°

Completoα = 360°, una vuelta

Se dice que OA es perpendicular a OB, se simboliza OA � OB.

OBA

B

αA

B

AO O

B α

A

α

B AABO O O

Se dibuja un en su vértice

Page 16: Segmento y ángulo

Capitulo1. Segmento y ángulo

16

Figura 1.2.Figura 1.2.Figura 1.2.Figura 1.2.5555 Los ángulos α y β son adyacentes con lado común OC. Los ángulos χ

y δ nononono son adyacentes pues sus regiones se traslapan aunque tengan lado común

OE.

PPPPares ares ares ares de de de de ángulosángulosángulosángulos complementarioscomplementarioscomplementarioscomplementarios. . . . Dos ángulos se llaman complementarios si su

suma es igual a 90° (o π/2 radianes) Es decir, como en la Figura 1.2.6, si al

disponerlos adyacentes (o aparecen dispuestos ya así) sus otros dos lados forman

un ángulo recto. Se induce que en un ángulo recto se pueden formar una

infinidad de pares de ángulos complementarios.

Figura 1.2.6 � y � son complementarios pues α + β = 90° = π/2 y se pueden disponer adyacentes formando un ángulo recto.

Note que aunque un ángulo nulo y un recto son complementarios, este caso no tiene interés práctico. Pares de ángulos suplementarios. Dos ángulos se llaman suplementarios si su suma es igual a 180° (o 2π radianes) Es decir, como en la Figura 1.2.7 si se disponen adyacentes (o aparecen dispuestos ya así) sus otros dos lados quedan sobre una recta formando un ángulo llano.

O O

G

F

χβ

DC

B

E

α = 36.4°

β = 53,6 °B E

α = 36,4 °

β = 53,6 °

A

C

DF D

CA

F

Page 17: Segmento y ángulo

1. 1. Segmento

17

Figura 1.2.7 α y β son suplementarios pues α + β =180°. Sus dos lados no comunes OA y OC quedan sobre una recta.

Notemos que según definición, un ángulo nulo y un llano son suplementarios. Pares de ángulos opuestos por el vértice. Dos ángulos son opuestos por su vértice si tienen en común a un ángulo adyacente que es suplementario a cada uno de ellos. En la Figura 1.2.8, α y β son opuestos por el vértice, pues γ o δ es adyacente suplementario común a α y β. Por otro lado γ y δ son opuestos por el vértice, pues tienen como adyacente suplementario común a α� o a β.

Figura 1.2.8 Los pares de ángulos α y β, y γ y δ, son opuestos por el vértice.

Notemos que un llano tiene como opuesto por el vértice a otro llano. Igualdad de ángulos opuestos por el vértice. De la definición de ángulos opuestos por el vértice se sigue que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, es decir tienen la misma medida. ¡Demuestre¡ Pares de ángulos formados entre dos paralelas y una transversal. Como en la Figura 1.2.9, consideremos dos rectas paralelas, y una tercera recta que las corta, llamada transversal.

OC

A

α

β

α + β =180°

B

β

γ

α

δ

Page 18: Segmento y ángulo

Capitulo1. Segmento y ángulo

18

Fig. 1.2.9 Cuando una recta corta a dos paralelas se forma ocho ángulos no nulos menores que 180°

Observamos que se forman ocho ángulos menores que 180°, cuatro en la región interior entre paralelas: δ, γ, β´ y α´, llamados internos; y cuatro fuera de dicha región: α, β, δ´ y γ´, llamados externos. De acuerdo a su disposición en los lados de la transversal y sin son alternos o internos sus nombres se presentan en la Tabla 1.2.2

Nombre Ángulos Alternos internos δ y α´, γ y β´

Alternos externos α y δ´, β y γ´

Correspondientes α y α´, β y β´, δ y δ´, γ y γ´

Opuestos por el vértice α y δ, β y γ, α` y δ´, β` y γ´

Tabla 1.2.2 Nombres de ángulos formados entre dos paralelas y una transversal.

•••• Propiedad 1.2.1. Igualdad de pares de ángulos entre paralelas y transversal. Las parejas de ángulos formados por dos paralelas y una transversal, tienen la propiedad de tener –igual medida–. Por ejemplo, una pareja de alternos internos son iguales, una pareja de correspondientes tienen igual medida, etc. Deduzcamos y aceptemos estas igualdades apoyándonos en argumentos intuitivos; así por ejemplo, con relación a la Figura 1.2.9, es fácil convencerse (convénzase Usted mismo por si sólo) que el par de ángulos correspondientes δ y δ´ cumplen δ = δ´, y como δ´ = α´ por ser opuestos por el vértice, luego entonces, el par de ángulos alternos internos δ y α´, –deben ser iguales–. Con razonamientos similares podemos deducir y aceptar las igualdades de parejas de ángulos entre paralelas y transversal presentadas en la Tabla 1.2.3.

Nombre Ángulos Propiedad Alternos internos δ y α´, γ y β´ δ = α´, γ = β´

Alternos externos α y δ´, β y γ´ α = δ´, β = γ´

Correspondientes α y α´, β y β´, δ y δ´, γ y γ´ α = α´, β = β´, δ = δ´, γ = γ´

Opuestos por el vértice α y δ, β y γ, α` y δ´, β` y γ´ α = δ, β = γ, α`= δ´, β` = γ´

δ´

β´

γ´

α´

δ γ

αβ

Recta transversal

Rectas paralelas

Page 19: Segmento y ángulo

1. 1. Segmento

19

Tabla 1.2.2 Nombres y propiedades de ángulos formados entre dos paralelas y una transversal.

Una manera de evidenciar las igualdades de la propiedad 1.2.1 la podemos realizar ejecutando una simulación por computadora. Verifique que se cumplen las igualdades de pares de ángulos presentadas en la Tabla 1.2.3 realizando la Simulación 1.2.3 Paralelas. Una copia de tal simulación se presenta en la Figura. 1.2.9

Figura 1.2.9 Copia de pantalla de la Simulación 1.2.1 Paralelas. Si mantenemos fijas las paralelas y giramos la transversal los ángulos varían pero se mantienen las igualdades de la Tabla 1.2.2. Si dejamos fija una de las paralelas y la transversal, y desplazamos paralelamente la otra paralela los ángulos no cambian y se mantienen las igualdades de la Tabla 1.2.2, etc. etc.

Comentario 1.2.2. Las igualdades de la propiedad 1.2.1 debemos aprenderlas pues son importantes, en el sentido de que por medio de ellas podremos deducir propiedades, también importantes, en otros objetos geométricos (como se verá en seguida) y por que mediante su aplicación podremos resolver algunos problemas.

•••• Propiedad 1.2.2. La suma de tres ángulos internos es igual a 180°. Como en la Figura 1.2.10, considere tres rectas concurrentes que se intersecan –dos a dos– en tres puntos diferentes. Muestre que la suma de los tres ángulos formados dentro de la región limita por las tres rectas es igual a 180°.

B A

D C

Transversal

145,1 °

145,1 °

34,9 °

34,9 °

145,1 °34,9 °

34,9 °145,1 °

L

N

M P

QR

α β

χ

Page 20: Segmento y ángulo

Capitulo1. Segmento y ángulo

20

Figura 1.2.10 Tres rectas concurrentes con tres puntos de intersección dos a dos diferentes forman tres ángulos internos, α, β y χ. Debido a los tres ángulos internos a la región limitada por las tres rectas le llamaremos región triangular.�

Demostración. Con referencia a la Figura 1.2.10. Sean L, M y N tres rectas concurrentes, P, Q y R los tres puntos diferentes de intersección dos a dos, y α, β y χ los tres ángulos internos. Seleccionemos cualquier punto de intersección de dos rectas concurrentes, digamos el punto P, intersección de L y M, y tracemos una recta paralela a la tercera N que pase por P. Ahora usando igualdades de ángulos entre dos paralelas y transversales, notamos que debe cumplirse con

α + β + χ = 180° (1.2.2) Es decir, la suma de dichos ángulos internos es igual a uno llano. Dejamos al lector los procedimientos, trazos y razonamientos intermedios para convencerse por si mismo de la afirmación en (1.2.6)�

Consecuencias de la Propiedad 1.2.2

(i) En la Figura 1.2.11, las rectas L, M y N forman una región cerrada limitada por los tres segmentos PQ, PR y QR , los cuales tomados dos a dos, forma tres ángulos. A esta región le llamaremos región triangular en los otros capítulos le llamaremos triángulo. Según (1.2.6) se dice que la suma de tres ángulos internos en una región triangular es igual a 180°.

(ii) Según (1.2.6) siempre es posible expresar (despejando) uno de los tres ángulos en términos de los otros dos, en particular, podemos determinar uno de ellos si conocemos los valores de los otros dos.

(iii) Si en (1.2.6) uno de los tres ángulos es recto, entonces la suma de otros dos –agudos– es 90° = 2/π .

(iv) Si dos o mas regiones triangulares tienen dos pares de ángulos, cada par con igual medida, entonces el tercer par de ángulos deben tener igual medida.

Comentario 1.2.3 (i) También se llega a (1.2.6) si traza una paralela a M que pase por Q, o bien una paralela a L que pase por R. (ii) Como en la resolución de este problema, en algunos problemas, la medida o relaciones entre medidas de ángulos que se requieren en el proceso de resolución, se obtienen al –trazar– paralelas a ciertas rectas o segmentos apropiadas con el fin de usar las igualdades de ángulos entre paralelas y una transversal. Tenga en mente este hecho y úselo cuando considere de utilidad, (iii) como lo veremos más adelante, las propiedades 1.2.1 y 1.2.2 junto con sus consecuencias, tienen amplia aplicación en la solución de una variedad de problemas.

Habiendo descrito brevemente definiciones y propiedades más importantes de ángulos, estudiemos algunas situaciones para mejorar su comprensión e ilustremos su uso o aplicación en la resolución de algunos problemas.

Page 21: Segmento y ángulo

1. 1. Segmento

21

••••Ejemplo 1.2.1. Ángulos complementarios. Un ángulo en radianes crece en el tiempo a partir de 0.1 radianes con una rapidez de 0.5 radianes/minuto, durante 2 minutos. Determine el intervalo de variación de su complementario.

Resolución. Denotemos con t el tiempo, con � el ángulo dado y con � su complementario. De los datos tenemos,

,5.01.0 t+=α 20 ≤≤ t , παβ =+ (1.2.3) de las dos primeras relaciones de (1.2.3) tenemos,

1.11.0 ≤≤ α , (1.2.4) despejando � la tercera ecuación en (1.2.3), sustituyendo en (1.2.4) y simplificando queda

1.01.1 −≤≤− πβπ (1.2.5) Claro que en este proceso, � decrece en el intervalo especificado en (1.2.4) �

••••Ejemplo 1.2.2 Agujas del reloj. ¿A qué hora por primera vez después de la 1:00 la aguja horaria y la aguja minutera de un reloj formarán un ángulo de 91°?

Resolución. Sea 0≥t los minutos transcurridos después de que las agujas marcaron la 1:00. Sabiendo que la horaria gira ½ °/minuto, y que la minutera gira 6°/minuto y según los ángulos señalados en la Figura 1.2.11

Figura 1.2.11. Un dibujo apropiado del problema es fundamental para comprender el problema y ayuda en su resolución. El lado inicial (de referencia adecuado) de los ángulos es el segmento formado cuando las agujas marcan las 12:00 en punto.

Tenemos, que el ángulo α generado por la horaria, el ángulo β generado por la aguja minutero y el ángulo agudo δ formado por ellas, se escriben,

2/30 t+°=α , t6=β y αβδ −= (1.2.6) Según requerimiento, al hacer °= 91δ y resolver el sistema (1.2.6) obtenemos

22=t . Por lo que a las 1:22 las agujas forman un ángulo de 91° �

β

δ

α

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Capitulo1. Segmento y ángulo

22

Comentario 1.2.3 En esta resolución, t es la variable principal. ,y , δβα son

variables auxiliares que se introducen para construir un sistema de ecuaciones consistente en el sentido de que se puede eliminar algebraicamente las auxiliares y determinar el valor de la principal. Este procedimiento, básico y común, ya lo hemos empleado en la resolución de problemas anteriores y lo seguiremos usando en sucesivas resoluciones.

Como ya lo mencionamos, la Propiedad 1.2.2 y sus consecuencias tienen aplicaciones en resolución de muchos problemas que involucran regiones triangulares que se estudian en precalculo y cálculo. Veamos el siguiente problema.

• Ejemplo 1.2.3 Como una sencilla y directa aplicación de la Propiedad 1.2.2, mostremos que χβ = en la Figura 1.2.12.

Figura 1.2.12 Las dos regiones triangulares ABC y ADE tienen en común el ángulo con vértice en A y cada uno tiene un ángulo recto.

Resolución. Si denotamos con α al ángulo con vértice en A (variable auxiliar). De la consecuencia (iii) de (1.2.6) para las regiones triangulares ABC y ADE, tenemos respectivamente,

; °=+°=+ 9090 χαβα (1.2.7) Inmediato, en (1.2.7) notamos que χβ = �

En algunos problemas aplicados geométricos de precalculo y cálculo se requiere el estudio de la naturaleza de variación de ángulo cuando se hace variar una longitud de la cual el ángulo –se hace– depender. El ejemplo 1.2.5 ilustra uno de estos problemas.

•••• Ejemplo 1.2.4 El ángulo de mayor medida. En la Figura 1.2.13, una estatua de 2 metros de altura está sobre su pedestal de 3 metros de alto. Una persona de 2 metros de estatura la observa. Llamemos ángulo de visión al señalado. ¿A qué distancia

β

χ

A

B

C

D E

Page 23: Segmento y ángulo

1. 1. Segmento

23

aproximadamente debe pararse la persona para que el ángulo de visión sea el mayor posible? Suponga que sus ojos están a 2 metros sobre suelo.

Figura 1.2.13. Al observar la estatua, el movimiento giratorio del enfoque de visión de los ojos del observador entre la parte inferior y superior de la estatua forma el ángulo llamado de visión.

Resolución. Iniciemos entendiendo que se trata de un problema que involucra dos magnitudes variables en el que una es función de otra (es decir es un problema de variación). A distancias cercanas a la estatua los ángulos de visión son pequeños y para distancias alejadas también los ángulos de visión son pequeños, mientras que a distancias intermedios los ángulos son un poco mayores. Inducimos que el ángulo de visión es variable y es función de la distancia de la persona a la estatua (que también variable) y que debe tener un valor máximo. Así que si denotemos con

0>x la distancia, con α el ángulo la función );(xf=α debe tener un valor máximo en su dominio. Para percibir el comportamiento descrito, y resolver el problema ejecutemos la Simulación 1.2 Visión. Al desplazar el punto P sobre la recta horizontal, desde 0=x hasta valores relativamente grandes observamos. Si x = 0 entonces 0)0( == fα ; al aumentar x,

)(xf=α también crece hasta alcanzar un valor máximo, luego a partir del valor máximo, si x aumenta, )(xf=α decrece y, finalmente, inducimos que cuando

∞→x , +→= 0)(xfα (y = 0 es asíntota horizontal de la gráfica) De la

simulación, el valor máximo de α es 30° aproximadamente y se alcanza cuando la persona está a una distancia x entre 1.7 y 1.8 metros de la estatua, aproximadamente Preguntas: Cuando la persona se aproxima a la estatua, ¿Qué ángulos tienden a cero y qué ángulo tiende a 180°? Cuando la persona se aleja de la estatua “en el infinito”, ¿Qué ángulos tienden a ser rectos? Justifique por qué en el infinito el ángulo de visión tiende a ser cero �

Cometario 1.2.4 (1) Visto desde un punto más geométrico, se trata de un ángulo cuya posición de su vértice –lo hacemos– desplazar sobre una recta a condición de que sus lados siempre pasen sobre dos puntos fijos (parte inferior y superior de la estatua). Bajo este proceso de variación la medida del ángulo varía y toma un valor

3 m

2 m

2 m

Page 24: Segmento y ángulo

Capitulo1. Segmento y ángulo

24

máximo. (2) En este proceso de variación, las magnitudes variables son: el ángulo de visión y la distancia de la persona a la estatua. Mientras la altura del pedestal, la altura de la estatua y la estatura de la persona permanecen constantes. (3) La fórmula )(xf=α se construye usando trigonometría. La determinación del valor máximo se determina alternativamente y con mayor precisión utilizando cálculo diferencial o bien graficando su fórmula con computadora o calculadora. (4) Finalmente, hemos supuesto que la persona se desplaza sobre una misma recta horizontal. Si persona se mueve sobre cualquier trayectoria en el suelo, ¿cambia α?, ¿para qué trayectoria se mantiene constante?

Problemas 1.2 1. Dibujos. Dibuje (i) tres ángulos de 45° cuyos lados midan 2 y 1 cm., 5 y 5 cm. y 7 y 12 cm. respectivamente, (ii) dos ángulos rectos opuestos por el vértice. (iii) dos ángulos suplementarios con lados diferentes, (iv) una región triangular con sus tres ángulos internos iguales.

2. Conversiones. Un motor gira 3,450 revoluciones por minuto. Determine (i) su velocidad en radianes por minuto, llamada velocidad angular, (ii) su velocidad en radianes por segundo, (iii) los segundos que tarda en completar una vuelta o ciclo llamado periodo, (iv) los ciclos o vueltas que gira en un segundo, llamada frecuencia. 3. Relaciones entre medidas. (i) Un ángulo mide 31° ¿qué valores puede tomar su adyacente? (ii) Dos ángulos son suplementarios, uno mide el triple del otro ¿Cuánto mide cada uno? (iii) Dos ángulos son complementarios, uno es π/8 radianes mayor que el otro ¿Cuánto mide cada uno? 4. Calculo de valores. En la Figura 1.2.14 Reconociendo propiedades entre los ángulos plantee ecuaciones, resuélvalas y calcule los valores de las variables.

2 t +30°

t + 10°

0.5 x +1

0.6 x - 0.2 π

u + 45°

2 u + 10°

π/5

x +2 y 0.5 y

v + 60° AB // CD

A B

C D

Page 25: Segmento y ángulo

1. 1. Segmento

25

Figura 1.2.14 Reconozca ángulos complementarios, suplementarios, opuestos por el vértice, alternos externos, etc.

5. Ángulos variables en el tiempo. En la Figura 1.2.15, el ángulo α crece a partir de π/12 con una rapidez de 0.35 radianes/minuto, mientras que el ángulo β decrece a partir de 3π/4 con una rapidez de 0.1 radianes/minuto ¿A los cuántos minutos tendrán la misma medida?, ¿Cuál es su medida?

Figura 1.2.15. Respecto al mismo lado terminal señalado, α crece, mientras que β decrece.

6. Manecillas coincidentes. (a) ¿A qué hora entre las 2:00 y 3:00 está la manecilla del minutero exactamente sobre la manecilla horaria? (b) ¿A qué hora entre n:00 y (n+1):00 esta la manecilla del minutero exactamente sobre la manecilla horaria? 7. Manecillas del reloj. Henry inició un viaje entre 8:00 AM y 9:00 AM, cuando las manecillas de su reloj estaban exactamente juntas. Él llegó a su destino entre 2:00 PM y 3:00 PM, cuando las manecillas de su reloj estaban exactamente opuestas una de la otra. ¿Cuánto tardó el viaje? 8. Suma de tres ángulos internos (prueba alternativa). En la Figura 1.2.16, explique por qué la suma de los tres ángulos en el interior de las tres rectas que se intersecan en tres puntos diferentes es igual a dos rectos, es decir, a uno llano.

Figura 1.2.16. Observe igualdad de ángulos entre dos paralelas y una transversal.

9. Calculo numérico de ángulos internos. En la Figura 1.2.17, determine los valores de ángulos desconocidos en el interior de las regiones triangulares.

α

β

Page 26: Segmento y ángulo

Capitulo1. Segmento y ángulo

26

Figura 1.2.17. Vea las señas que representan igualdad de ángulos.

10. Casos extremos. (i) Alguien le dice que uno de los ángulos de una región triangular mide 180° ¿En qué se reduce la región triangular?, ¿Cuánto mide cada uno de los otros dos ángulos? (ii) Alguien le dice que una región triangular tiene dos ángulos que son “casi” rectos ¿Cuánto debe medir el tercer ángulo? Explique cómo debe ser la región triangular. 11. Angulo externo. En una región triangular formada por tres rectas, al ángulo suplementario a un ángulo interno se le llama ángulo externo. Muestre que un ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes. 12, Ángulo doble. En la Figura 1.2. 18, muestre que °=+= 902 αχβα y .

Figura 1.2.18. Observe tres regiones triangulares. Selecciones las apropiadas y trabaje con ellas.

13. Suma de dos ángulos agudos = 90°. Aplicando la Propiedad 1.2.2, deduzca su consecuencia (iii). 14. Igualdad de medida. Usando (1.2.2) determine la medida de los ángulos internos en una región triangular si los tres tienen la misma medida. 15. Igualdad de ángulos del tercer par. Usando (1.2.2) muestre que si dos regiones triangulares tienen dos pares de ángulos, de tal manera que cada par tiene igual medida, entonces, la tercera pareja de ángulos deben tener la misma medida. 16. Visualizando ángulos. En la Figura 1.2.19, determine la medida de todos los ángulos internos en las dos regiones triangulares, y diga que parejas de ángulos son iguales.

Figura 1.2.19 Vea qué segmentos son paralelos y use igualdades de ángulos entre paralelas y transversal.

17. Construcción de región triangular 1. En la Figura 1.2.20, trace un segmento que pase por D a fin de que la región triangular resultante y la región triangular ABC tengan parejas de ángulos con igual medida y un ángulo en común.

π/2 110° 30°

α

α χ

χ β

35°

Page 27: Segmento y ángulo

1. 1. Segmento

27

Figura 1.2.20 Trate de usar la teoría sobre paralelas y una transversal.

18. Construcción de región triangular 2. En la Figura 1.2.21, (i) trace un segmento que pase por A y corte DE a fin de que la región triangular resultante y la región triangular ABC tengan pares de ángulos iguales. (ii) trace un segmento que pase por B y corte DF a fin de que la región triangular resultante y la región triangular ABC tengan pareja de ángulos con igual medida. Explique su razonamiento y procedimiento.

Figura 1.2.21.Trate de usar la teoría sobre paralelas y una transversal. 19. Construcción de región triangular 3. En la Figura 1.2.22, trace un segmento que pase por C a fin de que resulten tres regiones triangulares con parejas de ángulos de igual medida. Explique su razonamiento y procedimiento.

Figura 1.2.22Figura 1.2.22Figura 1.2.22Figura 1.2.22. Use el hecho de que ABC tiene un ángulo recto.

20. 20. 20. 20. Construcción de regiones triangularesConstrucción de regiones triangularesConstrucción de regiones triangularesConstrucción de regiones triangulares. En la Figura 1.2.33, sobre AB ubique la

posición de un punto P de tal manera que las regiones triangulares APD y PBC tengan

tres parejas de ángulos, cada par con igual medida. Sugerencia. Trate de usar una

reflexión simétrica.

A B

C

D

E

D F

C

A

B

A

C

B

A

D

3

B

C

2

Page 28: Segmento y ángulo

Capitulo1. Segmento y ángulo

28

Figura 1.2.23. La posición de P que cumpla con lo pedido, resuelve el problema de determinar la posición de P sobre AB de tal manera que la distancia DP + PC se la menor de todas. ¿Puede verlo?

21. Ángulos en doblez. Se dobla una tira rectangular de papel según se muestra en la Figura 1.2.24. Exprese los ángulos β, χ, δ y ε en términos de α.

Figura 1.2.24. Puede ensayar dicho doblez, doblando y desdoblando una hoja de papel en concreto y vea qué ángulos son iguales.

22. Ángulo entre el poste y su cable tensor. Sobre una ladera en línea recta un poste vertical es tensado con un cable como se muestra en la Figura 1.2.25. Exprese δ en términos de α y β. Sugerencia. Trace paralelas horizontales, vea igualdades de ángulos entre paralelas y transversal y use la propiedad 1.2.2 para la región triangular cable-poste-ladera.

Figura 1.2.25. La ladera tiene un ángulo de inclinación � respecto al suelo horizontal, el cable tensor tiene un ángulo de inclinación � respecto a la horizontal.

23. El tercer ángulo. Una región triangular se transforma al transcurrir el tiempo, (i) un ángulo interno crece a partir de 30° con una rapidez de 1°/segundo, otro ángulo decrece a partir de 60° con una rapidez 1°/segundo. ¿Cuál es el valor de tercer ángulo?, (ii) un ángulo interno decrece a partir de π/2 con una rapidez de π/12 radianes/minuto, otro ángulo se mantiene constante igual a π/4, exprese el tercer ángulo en función del tiempo y determine su domino, ¿a los cuántos minutos la región se transforma en un segmento? 24. Ángulos de elevación9. En la Figura 1.2.26, sobre un plano vertical que contiene a los puntos O, A y B, el observador O sigue el desplazamiento horizontal de los aviones A y B. Si los ángulos de elevación α y β crecen a partir de 20° y 30° con una rapidez constante de 9° por segundo y 7° por segundo respectivamente. (i) Exprese los ángulos χ y δ en función del tiempo., (ii) ¿a los cuántos segundos B alcanza a A, y cuál la medida de cada uno de los ángulos?

9 Un observador puntual situado en una recta horizontal observa a objeto puntual arriba de la recta horizontal, en trigonometría, al ángulo –agudo– formado por la recta horizontal y la semirrecta con su extremo en el observador y que pasa por el objeto en un mismo plano se le llama ángulo de elevación

β

α B A C

χ

δ ε

β

α

δ

AB es paralela al suelo horizontal

A B

Poste Cable tensor

Ladera

Page 29: Segmento y ángulo

1. 1. Segmento

29

Figura 1.2.26. α y β crecen en tiempo. Puesto que α crece más rápido que β, hay un momento en el que α = β.

25. Ángulos de depresión10. En la Figura 1.2.27, desde la parte superior del edificio de mayor altura se medien los ángulos de depresión α y β de la parte superior e inferior de edificio de menor altura. Exprese los otros ángulos en términos de los ángulos de depresión.

Figura 1.2.27. α y β se llaman ángulos de depresión.

26. Péndulo. En el estudio del movimiento de un péndulo, Figura 1.2.28, se usan los ángulos α y β formados entre los vectores de fuerza radial y angular y sus componentes indicadas α y β son función de θ. Exprese dichos ángulos en términos de ángulo θ llamado polar.

Figura 1.2.28 Ángulos entre vectores radial y angular y sus componentes.

27. Plano inclinado. Al estudiar el deslizamiento de una masa sobre un plano inclinado como de la Figura 1.2.29 se necesita establecer relaciones entre los ángulos que forman los vectores de fuerza indicados. Exprese α y β en términos de θ.

10 Un observador puntual situado en una recta horizontal observa a objeto puntual abajo de la recta horizontal, en trigonometría, al ángulo –agudo– formado por la recta horizontal y la semirrecta con su extremo en el observador y que pasa por el objeto en un mismo plano se le llama ángulo de depresión

β α

χγ

O

A B

δ

ε χ

β α

θ

α

β

Page 30: Segmento y ángulo

Capitulo1. Segmento y ángulo

30

Figura 1.2.29. Ángulos entre vectores y componentes de fuerza

28. Variación de ángulos En la Figura 1.2.30, si las perpendicularidades se mantienen, (i)

Determine el intervalo de variación de β y χ, si α se hace variar en [ ]25.1,1.0 radianes. (ii)

En la Figura 1.2.26, si α crece a partir de 10.1° con una rapidez de 0.1°/segundo durante 25 segundos. Exprese δ en términos del tiempo y determine su intervalo de variación

Figura 1.2Figura 1.2Figura 1.2Figura 1.2....30303030. Cuando α varía, β, χ y δ también varían.

29. Variación del ángulo. En la Figura 1.2.31, los móviles A y B parten simultáneamente del punto S y se desplazan a velocidad constante sobre la semirrecta L. La velocidad de A es 3 veces mayor que la velocidad de B. Al desplazarse A y B desde S hacia el “infinito”. (i) Describa los intervalos de variación de α y β, (ii) Trace cualitativamente la gráfica

)(xf=δ , describa su comportamiento y razone del por qué de dicho comportamiento.

Verifique sus razonamientos y respuestas realizando la Simulación 1.2.3. Móviles.

Figura 1.2.31. Según datos del problema, al desplazarse A y B sobre L, el ángulos α es función de la distancia x recorrida por A.

30. Fórmula para la suma de ángulos internos (generalización). En el ejemplo 1.2.3 mostramos que la suma de los tres ángulos internos formados por tres rectas concurrentes es de 180° = 1(180°). Ahora, (i) Como en la Figura 1.2.32a considere cuatro rectas concurrentes que se intersecan dos a dos en cuatro puntos diferentes, trazando un recta que pase por dos puntos de intersección y usando el resultado del Problema 1.2.3 muestre que la suma de los cuatro ángulos en el interior de las cuatro rectas es de 2(180°). (ii) Como en la Figura 1.2.32b, considere cinco rectas concurrentes que se intersecan dos a dos en cinco

θ

masa que resbala, m

mg α

β

χ

β

α Lado fijo de α

Lado móvil de α

δ

S B A

β δ α

x

Semirecta L

5

Page 31: Segmento y ángulo

1. 1. Segmento

31

puntos diferentes, trazando dos rectas que pasen por A y otros dos puntos de intersección diferentes, y usando el resultado del problema 1.2.3, muestre que la suma de los cinco ángulos en el interior de las cinco rectas es 3(180°). (iii) Usando los resultados anteriores, induzca la fórmula para la suma de n ángulos en el interior de n rectas concurrentes que se intersecan en n puntos diferentes. Observe que la región debe quedar limitada por cada una de las rectas concurrentes. Compruebe su fórmula para casos particulares.

Figura 1.2.32 (a) ángulos internos en la región limitada por cuatro rectas concurrentes, (b) ángulos internos en la región limitada por cinco rectas concurrentes.

(a) (b)