Segunda Práctica DiriDCSDCgida de Trigonometría

8/15/2019 Segunda Práctica DiriDCSDCgida de Trigonometría

1/23

PRIMERA PRÁCTICA DIRIGIDA DE TRIGONOMETRÍA

1. Si se sabe que 25 grados de unsistema N equivalen a 30º, determineuna fórmula de conversión entre elsistema N y el sistema radial.

!

N "150

=π

#!

N "1$0 25

=π

%!

N "30

=π

&!

N "150 2

=π

'!

N "1$0 2

=π

2. Si

rad32π

o aºb(c(( son la medida de unmismo )ngulo, e*+resar en radianes lasiguiente medida a - b c!º.

!3π

#!/π

%!10π

&!12π

'!15π

3. Si 2 º2 (

g m3 5#

, alle el valor de42 - #.

! 2 #! 1 %! 0&! 1 '! 2

/. Si un )ngulo mide

6aº a a aa a ÷ ÷

y se+uede e*+resar como *º y( 7((,entonces al transformar a radianes

* - 2y - 7!º se obtiene.

!

rad30π

#!

rad80π

%!

2rad

35π

&!

2rad

/1π

'!

rad35π

5. Si

g g

m9º 10 9 :º

1$ 50− +=

, entonces el valor de 9 es4

! 18,/ #! 2/, %! 3 ,5&! /3,8 '! 5$,$

8. &e la figura mostrada, calcule

3 5a

/b

!

58

#!

/8

%! 1

&!

/8

'!

58

. 'n la figura mostrada;&

es un rayomóvil, contenido en el +lano que

contiene los rayos fi


2/23


del rayo;&

. ?uego la alternativaincorrecta es4

225º

! αº βg @ 135º#! 10 α : β @ 1350%! α - /5!: @ β - /00!10&! α /5!10 @ β - 100!:'! 10 α - : β @ 1350

$. Se mide un )ngulo en los tres sistemasde medición angular convencional, talque se cum+le la siguiente ecuación4

23 3 33S 100% " 28 0,1

/00π+ + = + π

, alleS - %.

! 1// #! 1/$ %! 152&! 158 '! 180

:. 'l su+lemento de un )ngulo θ es13/.$ /º, si dic o )ngulo θ esre+resentado en el sistema centesimalcomo g# m. &etermine - #.

! 1$1 #! 8/ %! 5:

&! 5/ '! /:

10. Si S y % son el n=mero de gradosse*agesimales y centesimales de unmismo )ngulo y adem)s4

% S * S%

% S 3+ = −−

%alcule el valor de * +ara que dic o)ngulo mida 0,125 π rad.

!

15

#!

25

%!

35

&!

/5

'! 1

11.Sean S, % y " los n=meros quere+resentan la medida de un )ngulo enlos sistemas se*agesimal, centesimal yradial res+ectivamente si se cum+le4

2 2S % % S! S % S!+ = −,%alcule 4

10' "

:=

!3$/π

#!3$/0

π

%!3/20

π

&!3220

π

'!3110

π

12. ?os )ngulos y # sonsu+lementarios y miden *º y 10 - *! g

res+ectivamente. Aalle la medida enradianes de uno de los )ngulos.

!8π

#!5π

%!/π

&!3π

'!2π

13. Si S, % y " son los n=meros quere+resentan las medidas de un mismo)ngulo, en los sistemas se*agesimal,centesimal y radial, res+ectivamenteB

alle la medida del )ngulo en radianes,si se cum+le4

0

βgαº


3/23


2 2

2 2% %S 2S 1:"

2S %S %

− − =π− −

!

π

#!

2π

%!

3π

&!

/ π

'!

5π

1/. &e la figura, determine el valor de lae*+resión4 ' @ 11/ α β

! 120 #! 1$0 %! 2/0&! 300 '! 380

15. ?a mitad del n=mero que e*+resa sumedida en grados se*agesimales deun )ngulo e*cede en 52 a cinco vecesel n=mero que e*+resa su medida enradianes. Aalle el n=mero que e*+resasu medida en grados centesimalesconsiderando π a+ro*imadamente iguala 22C .

! 120 #! 1/0 %! 150&! 1 0 '! 200

18. Siendo " el n=mero de radianes" 1! de un )ngulo que cum+la la

siguiente igualdad41

" 1 2" 1

− = −−

Aalle la medida de dic o )ngulo en elsistema se*agesimal.

!

:0 ÷π

o

#!

1$0 ÷π

o

%!

380 ÷π

o

&!1$0

π ÷

o

'!380π

÷

o

1 . %alcule " en radianes si se cum+le422 2 2

2S % " S

112" S % "S % "!

π + + + = + + ÷+ ++ + 2 2

% "1 1S % " S % "

+ + + ÷ ÷+ + + +

&onde S, % y " son las medidasusuales del mismo )ngulo

!120

π

#!80π

%!/0π

&!

30π

'!

5120

π

1$. &etermine la medida de un )ngulo enradianes, sabiendo que es la menor +osible, si se cum+le la relación 4

2 2a 10ab b% S

ab+ +− =

B a, b ≠ 0 donde %y S son los n=meros que re+resentanal )ngulo en los sistemas centesimales

y se*agesimales, res+ectivamente.

!5π

#!

25π

%!

35π

&!

/5π

'!

310

π

1:. Si S, % y " son las medidasen grados se*agesimales, grados

β(α /!º

α !g


4/23

A

B

C

D

B

A

D

C

S

x

az y

b PRIMERA PRÁCTICA DIRIGIDA DE TRIGONOMETRÍA

centesimales y radianes! del )ngulocentral del sector circular ;# y

%;& donde,

¼ ¼ # %&? %, ? S= =

y

% @ #& @ 2", entonces la medida deθ, en radianes, es4

!

5π

#!

10π

%!5π

&!10π

'! 1

20. 'n la figura mostrada, ;% @ ;& @ r,; @ ;# @ ", m ∠%;& @ 1 radi)n, alle

+erDmetro del tra+ecio circular E

+erDmetro del sec tor circular %;&=

!

23

#! 1 %!

/3

&!

( )3 2 13

−

'! 2

21. &e la figura mostrada, determine el

valor de4

ay byF

a* b7+=+

!

12

#! 1 %! 2

&!

13

'! 3

22. Se tienen tres +oleas de radio 1u, 2uy 3u res+ectivamente en un mismo+lano, cuyos centros forman untri)ngulo equil)tero cuya longitud es2:u. dem)s dic as +oleas seencuentran conectadas +or una fa


5/23

A

B

D

C


&!

5"3

π

'!

"8

π

2/. &os ruedas de radios " y r " r!recorren la misma longitud ?. Si ladiferencia del n=mero de vueltas de lamenor y la mayor es ?C$r. %alcule

2r 1 "r /

F"r

π + − ÷ =

! 1 #!/π−

%! 0

&!

12

'! 225. Si r @ /u y " @ $u, calcule el )ngulo

que barre la rueda de radio " cuandola rueda de radio r barre un )ngulo de5

rad3π

.

! 5 πrad #!

10rad

3π

%!

5rad

8π

&!

5

rad12

π

'!

5

rad1$

π

28. Se tiene un sistema de engrana


6/23


igual a

2rad

3π

y su rueda barre un)ngulo de 8/ π rad. %alcule cu)l es elradio del circuito en m si el radio de larueda es de 0,125 m.

! $ #! 10 %! 12&! 1/ '! 18

2:. &os ruedas cuyos radios miden 15my 3m recorren es+acios igualesIcu)nto debe medir el radio de unatercera rueda, +ara que recorriendo eldoble del es+acio de las anterioresrealice como n=mero de vueltas, cincoveces la diferencia de las otras dos.

! 1m #! 1,25 m %! 1,5 m&! 1, 5 m '! 2m

30. 'n la figura mostradaB ;#, #F%y %N& son sectores circulares, tales

que

F% ;#&N

2 /= =

B ; @ ;#,;F @ F#, FN @ N%. Si m ∠ ;# @m∠#F% @ 30ºB m ∠&N% @ 2m∠ ;#B y

la longitud de los arcos #%& es3π

metrosB alle en cm! la medida de;

.

! 5 #! 10 %! 15&! 20 '! 25

31. Hn rollo de +a+el, cuyo di)metroe*terior es 30cmB tiene 500 vueltas,fuertemente enrolladas en un cilindrode 10cm de di)metro. %alcule lalongitud en metros! que tiene el +a+el.

! 120 π #! 200 π %! 150 π&! 100 π '! :0 π

32. 'n la figura mostrada, m ∠ #% @ $0ºB

alle a+ro*imadamente la distancia enmetros! recorrida +or el centro de larueda en ir desde el +unto asta el+unto %. 'l radio de la rueda mide15

cmπ

, y en el tramo # la rueda daseis vueltas y en el tramo #% da cuatrovueltas.

! 3,0$ #! 3,2/ %! 3,88&! 3,:$ '! /,02

33. Sean los sectores circulares ;# y%;&. Si la región ;# tiene un )rea de

u 2 y la región % tiene de )rea2 u 2. Aalle el )rea en u 2! de la región

;F #

N

&

%

#

%


7/23

A

B

C

D


;#, si ; @3u

y la longitud de

»%&

es $u.

! 2 #! / %! 8&! $ '! 10

3/. %alcule el )rea de la su+erficiesombreada, si es el centro del sector circular # ' y #%& es un rect)ngulo.

!

( )1 / 3 38

π −#!

( )1 2 3 33

π −

%!( )1 3 2 38 π −

&!( )1 3 2 28 π −

'!

( )1 2 3 28

π −

35. &el gr)fico mostrado, el )rea de laregión sombreada es igual al )rea de laregión no sombreada, adem)s la

longitud del arco»

# es /u. Aalle la

longitud del arco

»&% en u!.

! 32

#! /2

%! 8

&! 82

'! $

38. Hn sector circular de )ngulo central θradianes tiene un )rea igual a la de untri)ngulo rect)ngulo isósceles. Si sus+erDmetros son tambiJn iguales,

calcule4

/' = θ +

θ

! / - 22

#! 2 - /2

%! 8 K 22

&! / 22

'! 8 - 22

3 . 'n una semicircunferencia ;# decentro ; se tra7a el sector circular #;%con un )ngulo central de 120º yconsiderando como centro # se tra7a

otro sector circular %#& & en #

!Aalle el )rea de la región %& si

; @ 2 cm.

!

23 cm3π + ÷

#!

23 cm3π − ÷

%!

23 cm12π + ÷

&!

22 3 cm3π − ÷

'!( ) 23 3 cm− π

3$. ;# y %;& son sectores circulares.Si ;% @ %#, el )rea de la región %;&

es 1u 2 y m

» 1%&2

=u. 'ntonces el

1 %#

2

& '


8/23

S2S1

BC

D C

0 E

A

C

B

n – !n "

x!n


+erDmetro del sector %;& es al+erDmetro de sector ;# como4

!

138

#!

1538

%!

12

&!

3

'!

511

3:. 'n el gr)fico mostrado las )reas delas regiones sombreadas son S 1 y S 2 ycum+len S 1 - S 2 @ 15π u 2. %alcule el)rea de la región no sombreada

en u 2!. Si # @ #% @ %& @ &% @ 3u.

! 3 π #! 8 π %! : π&! 12 π '! 12 π

/0. 'n la figura mostrada, %; yL;& son sectores circularesB

;& @ 1uB & @ 2uB

»m #! @ 8uB

m∠';& @ 2m ∠L;'. %alcule en u 2! el)rea de la región sombreada.

!2

#! / %!

:2

&! 5 '! 8/1. &etermine el )rea m)*ima, en m 2, de

un sector circular cuyo +erDmetro es20m.

! 2m 2 #! /m 2 %! $m 2

&! 18m 2 '! 25m 2

/2. Si cos * - 20º! @ sen 3* - 10º!B* ∈ 0ºB 28ºM entonces al calcular elvalor de L @ sec/* - /sen 22* tg3*, seobtiene4

! 0 #! 1 %! 2&! 3 '! /

/3. %on ayuda de la figura mostrada

calcule4

sec * tg*ctg* csc *

+=−

!

152

#!

310

%! 8

&! 8 '!

152

2θ0 θ %

#

&


9/23


//. Si 2 θ ∈ 0B πC2 y tg 2θ! @ 12C5,entonces tg θ, es4

!

1

3 #!

2

3 %!

/

3

&!

513

'!

1213

/5. Si 0 * /π

B adem)s $ sen2* @ 1,entonces al calcular4

L @ sen /5º - *! - ctg /5º *! seobtiene4

!

:1

#!3

%!/

&!

:/

'!

15/

/8. Se tiene un tri)ngulo #%, en el cual

se tra7an las alturas & y %L

cort)ndose en el +unto A, de modo que A @ 3A&, alle tg#.tg%.

! 1 #! 2 %! 3&! / '! 5

/ . &e la figura mostrada m ∠ #% @ :0º,

m∠ #& @ α, # @ *, #% @ GB #& @ q.%alcule *.

!

+qcos+ qsen

α− α

#!

+qsenq +cos

α− α

%!

+qcos

q +sen

α

− α &!

+qcos

q +sen

α

− α

'!

+q+sen qcosα + α

/$. Aalle * 1 de la figura, si #%& es unrect)ngulo

3

!

11

:#!

13

:%!

15

:

&!

1:

'!

1::

/:. &e la figura mostrada, calcule tg α, si F @ F%

!

13

#!

23

%!

32

#

% &

1x

3

1

#

α

3 º

F%


10/23


&! 3 '!

/3

50. 'n la figura mostrada #%& es un

cuadrado yF' %'=

. Aalle el valor de4F @ tg* 2tg * y!

!

12

#! 1 %!

32

&! 2 '!

52

51. 'n la figura si4 # @ #% @ % @ /u y%& @ 8u, alle tg θ.

!

3 32

#!

3 35

%!

3 3

&!

3

'!

35

52. 'ncuentre el )rea del rect)ngulo m)sgrande que se +ueda inscribir en unacircunferencia dada con radio ".%onsidere sen2 θ @ 2sen θ cos θ.

! " 2 #! 3" 2C2 %! 2" 2

&!3

" 2 '! 5" 2C2

53. 'n la figura, se tiene que #%& es uncuadrado. &etermine el valor de

' @ ctg θ - ctg φ, F +unto medio de%&

!

12

#!

13

%!

18

&!

58

'! 5

5/. 'n un tri)ngulo rect)ngulo #% rectoen !, determine4' @ b 2 - c 2! sen # %! b 2 c 2! sen #- %!sugO.cos2 θ @ cos 2θ sen 2θ

! 2b 2 #! 2 %! 1&! 2c 2 '! 0

%#

F

*

y

'G

#

θ%

&

%#

φ θF

&


11/23


55. 'n la figura mostrada, las )reas delas regiones +lanas #&%, &L' y #&Lson iguales, m ∠#%& @ α. &eterminecos α.

!2 1+

#!5 1−

%!2 1−

&!3 1+

'!3 1−

58. 'n la figura, el cuadrado #%&contiene al cuadrante #%. Si

'# @

1/ ÷

%', alle/1

sen θ.

! 1 #! 2 %! 3&! / '! 5

5 . &e la figura#& &%=

, alle ctgy

! 2ctg7 ctg* #! 2ctg7 - 2tg*%! 2tg7 tg* &! 2tg7 - tg*'! 2tg7 - 3tg*

5$. 'n la figura mostrada, alle la medida

de #& en metros, si # @ 3 - /3

!m.

! 3 #! / %! 5&! 8 '!

5:. %alcule el valor a+ro*imado de

P ctg/1º 50= −

! 5 #! / %! 3&! 2 '! 1

80. &e la figura mostrada siB # @ 2u,&' @ 2#%, alle tg θ, sabiendo adem)sque ' es de longitud mDnima

%&

#

'L

&

θ

#'%

%

&

7

*y #

%

&

30º

3 º #

%#

θ& '


12/23


!

3/

#!

33

%!

32

&!

31

'! 33

81. 'n la figura#F

es mediana.&eterminar sec 2θ.

! 1 #! 2 %! 3&! / '! 8

82. ?os tri)ngulos #% y &% tienen un

lado com=n( ) %

. Si se sabe que

#' @ &' @

%2

, &% @ m, m∠& % @α ym∠#% @ βB se le +ide determinar ladistancia entre los +untos # y &.

!

m2

csc α sen α - β!

#!

m2

sec α sen α - β!%! m csc α cos α - β!&! m sec

α cos

α -

β!

'! m csc α sen α - β!

83. 'n la figura mostrada, & @ 12u,#& @ $u, 3 #! @ / #%!B m ∠#%& @ :0ºBm∠%#& @ α. Aalle el valor numJrico de

L @ 823

tg α $2

cos α.

! 20 #! 30 %! /0&! /5 '! 50

8/. 'n el tri)ngulo #%, si m ∠# & @m∠#% @ θ, m ∠& % @ α y # @ a,determine &%.

aQtgθ- tg α-θ!M

#

θ 30º15º %F

#

&

%'

&

α # %

&%#


13/23


aQtgθ tg α- θ!M

a Qtg α - θ!- ctg α - θ!M

aQctgθ ctg α - θ!MaQctg α - θ!

ctg θM

85. %on ayuda de la figura mostrada si # @ 3#%, calcule ' @ tg θ - 1, F +unto

medio de &

.

!

18

#!

13

%!

12

&!

23

'!8

88. 'n la siguiente figura, alle cos θ,

sabiendo que 4 # @ G @ 2

2

mt

& @ &% @8 2+

!

8 2/+

#!

8 2/−

%!

32

&!

12

'!

5 1/−

8 . 'n un tri)ngulo rect)ngulo #%

recto en #! se tra7a la bisectri7 &

relativa al lado#%

. Si & @ m, alle tg /

en función de los lados del tri)ngulo.

!

2ma b! a c!+ +

#!

acb c ! m c !+ +

%!

abb c! m c !+ +

&!

2mm c! b c !+ +

'!

aba c ! m c !+ +

8$. &esde el +ie de un +oste, se observala +arte m)s alta de un cam+anariocon )ngulo de /5ºB si desde la +artesu+erior del +oste, que tiene :m dealtura, el )ngulo de elevación es alturade 30º. I%u)l es la altura del

cam+anarioR

!

: 3

2#!

2

1 2+%!

5 3

2

&!

: 3

3 1+'!

: 3

3 1−

8:. Hn ombre mide 1, 0m de estatura yobserva su sombra a las / de la tarde.

#

θ

F

& %

#

G

θ

%&


14/23

#–$% –!&'

y x


sumiendo que amanece a las 8.00am y que el sol ace un semicDrculosobre el ombre Icu)nto mide susombraR

! 1,5/m #! 1,8 m %! 2,00m&! 2,55m '! 2,:/m

0. Hn soldado, tirado en el sueloobserva un +edestal de 12m de altura,este sostiene un monumento de 13mde altura. I quJ distancia en m! del+edestal se debe colocar el soldado+ara ver el +edestal y el monumentocon )ngulos de observación igualesR

! /0m #! 50m %! 80m

&! 8/m '! 2m

1. &os botes son observados desde loalto de un faro en la misma dirección yen el mismo +lano vertical que contieneal faro. 'l bote m)s cercano se observacon )ngulo de de+resión αº y el otrocon )ngulo de de+resión de 3 º. Si laaltura del faro es de 25m, ambosbotes est)n se+arados +or 20m y el

faro esta a 15m sobre el nivel del mar,alle el valor de tg α.

!

/5

#!

5/

%!

85

&!

58

'!8

2. &esde la +arte su+erior de un edificio

de 1 .3 metros de altura se observa unauto que se ale


15/23

y ( – )x

y x PRIMERA PRÁCTICADIRIGIDA DE TRIGONOMETRÍA

! 3$ #! 2/ %! 21&! 21 '! 3$

. Si sen θ @

13

∧ θ ∈ %, alle el valor de4 F @ tg θ sec θ.

!2

#!

22

%! 2

&!

22

'! 1

$. Si sec θ @ 5

y t g θ 0, alle2 tgθ - ctg θ!.

! 3 #! / %! /&! 5 '! 5

:. Si se cum+le4cos 3 β! 2 sen 3 β! @ 0Bβ ∈ %.

%alcule4

2 3G

sen ! 2cos !

= +β β

!

108

#!

3 10/

%!

10/

&!

105

'!

3 102

$0. Si cos θ @ cos θ, tgθ @ tg θ!,sen θ! @ 1C3, alle el valor de 2

2secθ ctg θ!.

! $ #! : %! 10&! 11 '! 12

$1. 'n la figura mostrada se tiene al)ngulo θ en +osición normal. %alcule elvalor numJrico de4

L @ 2 tgθ - 810

senθ - cos θ!

! 8 #! 8 %! 12&! 1$ '! 20

$2. Si 0º α 380ºB 0º θ 380ºB3

sen 1 cos tg/π α − + θ = ÷

, calcule

T 2sen ! cos2

θ − α = α + θ + ÷ .

! 1 #! 0 %!

22

&! 1 '! 2

$3. &el gr)fico mostrado alle4S @ sen β - tg α.

! 5

#!

5

%!

25

&!

5

'!

85

y

β*

αG 3, /! 5, 3!


16/23


$/. &e la figura, si F @ F#, alle' @ sec θ csc θ sen θ.

!

18081

#!

18081

%!

18180

&!

18180

'! 181

$5. &e la figura mostrada, G @ 18B 12!.

Aalle4 P @ tg α 3 ctg θ,%

+aralelo ale


17/23

y

x


$$. 'n la figura mostrada lascoordenadas del +unto son 2B 3!.%alcule el valor numJrico de4L @ 8 tg α! 13 cos 2 α!

! 28 #! 13 %! 5&! 5 '! 13

$:. &e la figura4 @ 0B /! ,# @ $B 5! y % @ B 0!U 4 baricentro, de la región triangular

#%. Aalle tg θ!.

! 5C3 #! 3C5 %! 3C/&! /C3 '! 2

:0. 'n la figura mostrada, N @ 3N# y lascoordenadas del +unto N son a, 0!. Siel valor del )rea del tri)ngulo ; # esa 2, alle tg α!.

!

32

#!

23

%!

13

&!

23

'!

32

:1. &e la figura, si tg α @

512

,sen β @ 10

13B alle un valor a+ro*imado de tg θ.

! 0,/:2 #! 0,/2: %! 0,:/2&! 0,2/8 '! 0,2:/

:2. &ada la circunferencia, cuyo centroG! se encuentra en el e


18/23


! 3

#! 2

%!

23

&!

2

2 '!

3

3

:3. &ado el tri)ngulo rect)ngulo #% recto en #!, si4 % @ 2 ;#% @ 2%& y m∠#&% @ :0º. Se +idedeterminar tg θ.

!2

#!

22

%!3

&!

33

'!

32

:/. 'n la figura mostrada ;G es untri)ngulo rect)ngulo recto en G! y F es

+unto medio. &etermine

ctg tg'

ctgβ − α=

α

! 1 #! 1 %! 2&! 2 '! 3

:5. &e la figura mostrada, alle ctg θ, si4&G G%=

.

!

23

#!

23

%!

32

&!

32

'! 1

:8. Si f *! @ ctg cos * ,

3*

/ /π π< ≤

alle la variación de f. ! ctg1B - ∞#! ∞B ctg1M%! Qctg1B -∞&! Q0B ctg1M'! 0B ctg1M

: . Si α y β son dos )ngulos coterminalesy +ertenecen al %, entonces alsim+lificar4

sen sen tg'

cos .cos tgα − β α= +

α β β, se obtiene4 ! 2 #! 1 %! 0&! 1 '! 2

:$. Se tiene un )ngulo θ en +osiciónnormal que verifica las siguientescondiciones4

i. cos θ @ cosθ

y#

&

θ *0 %

G

Fα

β;

y

#

%& G

θ 0


19/23

y

0x

*

A

P

By

0x

*

AP

B

y

0 x

A+


ii. tgθ @ tgθ

iii.

sen θ @

5

3

Aalle F @5

cos θ - :cos θ ! 11 #! 10 %! :&! $ '! 8

::. Aalle el signo de la e*+resión ', enlos cuatro cuadrantes4

1 cos sen sen cos !sen cos'

1 cos sen sen cos !

+ θ + θ + θ θ θ θ=− θ − θ + θ θ

! -B -B -B - #! B B B %! B -B B - &! -B B -B '! -B -B B

100. 'n la circunferencia trigonomJtricamostrada, alle la distancia entre los

+untos G y . m¼ #G

@θ

!.

! cos θ #! sen θ%! cos 2θ - sen 2θ &! sen θ - cos θ

'!2

101. 'n la circunferencia trigonomJtrica

mostrada,

» »m G , m= θ = β, luego el

)rea de la región triangular ;G , es4

!

sen3 2

θ + β ÷ #!

sen2 2

θ + β ÷

%!

( )sen2

β − θ&!

sen2 2

θ − β ÷

'! 2sen θ β!

102.&ado que42cos θ 1! cos* sen*! @ sen* - cos* y

θ es del W%, entonces +odemosafirmar que * +ertenece4

! solo al % #! solo al %%! solo al % &! solo al W%'! l % ó W%

103. 'n la circunferencia trigonomJtricaque se muestra, alle el )rea de lare gión triangular ; (X, en u 2.

X


20/23

B

0

B+

A*

P

A+


!

12

#!

12

sen α %!

12

tgα&! sen α '! tg α

10/. 'n la circunferencia trigonomJtrica

mostrada

» »m G , m 2= θ = θ, alle el

)rea de la región triangular ;G .&ato4sen α β! @ sen α cos β sen β cos α.

! cos θ #! sen θ %! cos2 θ&! 1C2!cosθ '! 1C2!sen θ


mostrada,¼m; # = α

. &etermine el)rea de la región triangular #%.

! cos α #! sen α %! cos α&! cos α '! sen α cos α


ad


21/23


! 0,5 tg θ -csc θ - 2!

#! 0,5 csc θ tgθ ctg θ%! 0,5 tgθ -ctg θ csc θ!

&! 0,5 sen θ cos θ - tg θ!

'! 0,5 sen θ -cos θ ctg θ!

10$. nalice la verdad o falsedad de lassiguientes +ro+osiciones4

. sen30º sen πC8!. cos cos*! ≤ cos*, ∀ * ∈

". csc* ctg*

! WWW #! WLL %! LLW&! WLW '! LLL

10:.%alcule el )rea de la región triangular sombreada4 G (X, la circunferencia esla trigonomJtrica.

! 0,5tg θ #! 0,5 cos θ - sen θ - 1!%! 0,5 cos θ - tg θ! &! 0,5 tg θ'! 0,5 cos θ tg θ!

110. 'n la circunferencia trigonomJtricacalcule el valor del )rea de la región

sombreada. Si»m G

@α, m∠GX @ :0º

!2 2α π+

#!2 /α π−

%!

sen2α + α

&!

sen2 /α π+ α −

'!

sen2 2α π+ + α

111. Si/πα =

, calcule4

csc 3 .ctg 85 .ctg /12 2 2

L35

cos .sen 2 .tg 1112 2 2

π π π α − α − α − ÷ ÷ = π π π α − α − α − ÷ ÷

! $2

#! /2

%! 22

&! 22

'!2

112. Si4

sen α @

35

∧ α ∈ %

cos β @

513

∧ β ∈ %

y

( *0

X

θG

y

#

αXG

*0


22/23


%alcule4

( )

( ) ( )

sen 3 cos sec2 2

L3

ctg tg csc2

π π + α + π − α + + β ÷ ÷ = π α + π − β − − β − π ÷

!

11120

#!

31120

%!

331/0

&!

/1120

'!

511/0

113. l sim+lificar4

( )

( )

tg :: * .cos 3 * .sec :0 *!2L

ctg :1 * .sen /0 *2

π π + − π − ÷ = π + π + ÷

Se obtiene4

! sen* #! sec* %! tg*&! ctg* '! cos*

11/. "educir4

sen3130º.tg28$0º.cos3550º.ctg32$0ºL

cos2830º.sen22:0º.sen1 10º.sec 2/00º=

!

22

#!

32

%!

32

&!

12

'! 1

115. Si 4 * - y @ π"educir4 L @ sen cos*! -sen cosy!

! sen* #! seny %! cos*&! cosy '! 0

118. Seg=n el gr)fico mostrado calcule4

( )sen * tg *2L

cos * ctg *

/ /

α + β + θ + ÷ α + β + θ − = +α + β + θ α + β + θ − + ÷ ÷

! 2 #!

3

2 %! 0&! 2 '! 3

11 . l sim+lificar4

cos *! ctg 1$0 *! sen 380º *!L

cos 1$0º *! sen *!− + + −= +

+ −

se obtiene4 ! csc* #! csc* %! sec*&! sec* '! ctg*

11$. Si los )ngulos internos de un tri)ngulo #% est)n en +rogresión aritmJtica.

# %! reducir4sen 2% 3#! cos # 2 3%!

Lsen # %! cos # %!

+ + + += +− −

! 2 #!

12

%! 0

&!

12

'! 1

α

βθ


23/23

Segunda Práctica DiriDCSDCgida de Trigonometría

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