Segundo examen DSP

23
UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÍCA SEGUNDA PRUEBA DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES: LISTA DE EJERCICIOS RESUELTOS APOYADO CON MATLAB. ALAN BERGEL BRAVO NELSON GONZÁLEZ ROJAS Antofagasta, Mayo 2010

Transcript of Segundo examen DSP

Page 1: Segundo examen DSP

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÍCA

SEGUNDA PRUEBA DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES:

LISTA DE EJERCICIOS RESUELTOS APOYADO CON MATLAB.

ALAN BERGEL BRAVO NELSON GONZÁLEZ ROJAS

Antofagasta, Mayo 2010

Page 2: Segundo examen DSP

2

INDICE

Lista de figuras……..

Page 3: Segundo examen DSP

3

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1.- Secuencia g(n)……………………………………………………… Figura 1.2.- DFDT de G2(k)……………………………………………………… Figura 2.1.- Generación de la ventana de las secuencias x1 y x2 realizado en MATLAB……………………………………………………………... Figura 2.2.- Gráficas generadas por las Secuencias x1(n) y x2(n)................... Figura 2.3.- Comandos y sentencias usados en MATLAB…………………… Figura 2.4.- Respuesta a impulso h(n)…………………………………………. Figura 2.5.- Comandos de MATLAB para generar el Diagrama de Polos y Ceros……………………………………………………… Figura 2.6.- Diagrama de Polos y Ceros……………………………………….. Figura 2.7.- Comandos de MATLAB para obtener la

Respuesta en Frecuencia del sistema � = ���………………………………..

Figura 2.8.- Respuesta en Frecuencia del sistema � = ���. Magnitud y Fase……………………………………………………………………. Figura 2.9.- Comandos utilizados en MATLAB para obtener la Respuesta del Sistema y(n)………………………………………………………… Figura 2.10.- Respuesta del Sistema y(n)………………………………………… Figura 2.11.- Comandos utilizados en MATLAB para obtener las Secuencias x(n), h(n) e y(n)………………………………………………………… Figura 2.12.- Secuencias x(n), h(n) e y(n)………………………………………… Figura 2.13.- Comandos utilizados en MATLAB para determinar DTFT G1, comparación con su DTF de 16 puntos…………………………………………... Figura 2.14.- Secuencia de g1(n)………………………………………………….. Figura 2.15.- Comparación de DTFT G1 con su DTF de 16 puntos……………

Page 4: Segundo examen DSP

4

INTRODUCCIÓN

Debido al crecimiento exponencial de la tecnología, el hombre se ha

visto en la obligación de estar en un constante estudio, análisis y mejora de

este. Para lograr aquello, es necesario contar con un tipo de ingeniería que

sea capaz de realizar estos análisis de una forma clara, correcta y certera.

En particular, si se desea analizar señales de audio, video, voz,

imágenes, existe un área de la ingeniería que se dedica a este tipo de

análisis denominada PDS (Procesamiento Digital de Señales) o DSP

(Digital Signal Processing). El procesamiento digital de señales es la

encargada del análisis y procesamiento de señales que son analógicas para

tratarlas como discretas.

Sin embargo, este tipo de análisis resulta infructuoso si se realiza solo

con la capacidad humana. Para lograr resultados rápidos y óptimos de este,

se debe utilizar programas matemáticos complejos, que facilitan

enormemente los cálculos matemáticos. El que se utiliza, en este caso, es el

programa matemático llamado MATLAB.

La finalidad de esta evaluación es entender y analizar el

comportamiento de señales digitales a través de métodos matemáticos como

son la Transformada Rápida de Fourier, Transformada Discreta de Fourier en

el tiempo, Transformada Discreta de Fourier. Aplicando, por cierto, MATLAB.

Se puede observar, además, el uso de MATLAB, sentencias, graficas,

con los cuales se obtienen resultados para finalmente poder discutir estos y

tener una conclusión satisfactoria.

Page 5: Segundo examen DSP

5

CAPITULO 1:

EJERCICIOS PROPUESTOS PARA EVALUACIÓN.

1. Genere y dibuje en una sola ventana las siguientes secuencias:

a) ��� = � �� + 1[�� − 2 − �� − 2 − 1 + �� − ]����� ,

para 0≤n≤5. (1.1)

b) ��� = �0.9� �cos #0.2$ + %&' − �� − 1( , para 0≤n≤20. (1.2)

2. Un sistema LIT es descrito por la siguiente ecuación de diferencia:

)� + 2.37)� − 1 + 2.7� − 2 + 1.59)� − 3 + 0.41)� − 4 =

0.008�� − 0.033�� − 1 + 0.05�� − 2 − 0.033�� − 3 + 0.008�� − 4

(1.3)

a) Determine la respuesta a impulso h(n).

b) A partir de las muestras de h(n), determine la estabilidad del sistema.

c) Determine la respuesta en frecuencia del sistema � = ���. Dibuje

magnitud y fase en una sola ventana. Clasifique el filtro que representa al

sistema. De acuerdo a la respuesta en frecuencia del sistema, ¿qué

esperaría observar en la salida para la entrada x(n) descrita en el ítem

d)?.

d) Si la entrada al sistema es de la forma:

�� = [2 + 3cos�0.2$ + 4/��0.8$]��. (1.4)

Page 6: Segundo examen DSP

6

Determine la respuesta del sistema y(n) para 0≤n≤ 200.

e) Dibuje en una misma ventana las secuencias x(n), h(n) e y(n).

3. A partir de la secuencia g(n) ilustrada en la Fig. 1.1, determine su DTFT

0����� y compare en una misma figura con su DTF de 16 puntos.

4. A partir de la DFT 0��1 ilustrada en la Fig. 1.2, determine la secuencia

g(n).

Fig. 1.1.- Secuencia g(n).

Fig. 1.2.- DFDT de G2(k).

Page 7: Segundo examen DSP

7

CAPITULO 2:

DESARROLLO EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Genere y dibuje en una sola ventana las siguientes secuencias:

a) ��� = � �� + 1[�� − 2 − �� − 2 − 1 + �� − ]����� ,

para 0≤n≤5. (2.1)

b) ��� = �0.9� �cos #0.2$ + %&' − �� − 1( , para 0≤n≤20. (2.2)

Solución.

Para obtener la secuencia x1 (n) expandida, se resuelve la sumatoria que

está implicada en (2.1), obteniendo lo siguiente:

��� = �� − �� − 1 + �� + 2[�� − 2 − �� − 3 + �� − 1] (2.3)

��� = �� − �� − 1 + �� + 2�� − 2 − 2�� − 3 + 2�� − 1] (2.4)

Luego usando MATLAB, se procede a elaborar la ventana que la

genera las secuencias x1 y x2, como se ilustra en la siguiente figura:

Fig. 2.1.- Generación de la ventana de las secuencias x1 y x2 realizado en

MATLAB.

% Ejercicio 1

% Graficar en una sola ventana las secuencias x1 y x2

Clear all

clc

n1=[0:5];

x1=impseq(0,0,5)-impseq(1,0,5)+stepseq(1,0,0,5)+2*impseq(2,0,5)-

2*impseq(3,0,5)+2*stepseq(1,1,0,5)

n2=[0:20];

x2=(0.9).^(n2).*cos(0.2*pi*n2+pi/8)-stepseq(0.9,1,0,20);

figure

subplot(2,1,1);stem(n1,x1,'red');grid;xlabel('n');ylabel('x1(n)');

title('Secuencia x1(n)')

subplot(2,1,2);stem(n2,x2,'blue');grid;xlabel('n');ylabel('x2(n)');

Page 8: Segundo examen DSP

8

Finalmente se obtiene la gráfica generada por ambas secuencias a) y

b), como se muestra en la figura a continuación:

Fig. 2.2.- Gráficas generadas por las Secuencias x1(n) y x2(n).

Page 9: Segundo examen DSP

9

2. Un sistema LIT es descrito por la siguiente ecuación de diferencia:

)� + 2.37)� − 1 + 2.7� − 2 + 1.59)� − 3 + 0.41)� − 4 =

0.008�� − 0.033�� − 1 + 0.05�� − 2 − 0.033�� − 3 + 0.008�� − 4

(2.5)

a) Determine la respuesta a impulso h(n).

Solución.

Como se puede observar, la ecuación (2.5) es una ecuación

diferencial, por lo que se utilizara la Transformada Z para convertir esta

ecuación diferencial en ecuación algebraica. Esto se puede realizar

directamente ya que es un sistema LIT.

Aplicando la Transformada Z a (2.5) se tiene:

2�3 + 2.372�334� + 2.72�334� + 1.592�334& + 0.412�3345 = 0.0086�3 −0.0336�334� + 0.056�334� − 0.0336�334& + 0.0086�3345 (2.6)

Factorizando en (2.6) Y(z) y X(z) para luego obtener la función de

transferencia

��3 = 7�89�8 (2.7)

2�3[1 + 2.3734� + 2.734� + 1.5934& + 0.41345] =

6�3[0.008 − 0.03334�0.0534� − 0.03334& + 0.008345 ] (2.8)

��3 = 7�89�8 = �.��;4�.�&&8<=>�.�?8<@4�.�&&8<A>�.��;8<B

�>�.&C8<=>�.C8<@>�.?D8<A>�.5�8<B (2.9)

Luego, utilizando MATLAB se obtiene la respuesta a impulso h(n),

con los respectivos comandos.

Page 10: Segundo examen DSP

10

Notar que para obtener la respuesta impulso h(n), se toman valores

discretos de n arbitrarios, que en este caso serán entre 0 y 100.

A continuación se muestra los comandos y sentencias usados en

MATLAB:

Fig. 2.3.- Comandos y sentencias usados en MATLAB.

Gráficamente se puede observar la respuesta impulso h(n) en la

siguiente figura:

% Ejercicio 2 a) figure a=[1 2.37 2.7 1.59 0.41]; %coeficientes que acompañan Y(z) b=[0.008 -0.033 0.05 -0.033 0.008];%coeficientes que acompañan X(z) n=[-20:100]; %n=[0:100] x=impseq(0,-20,100); H=filter(b,a,x); stem(n,H);title('Respuesta al impulso para el sistema h(n)');

xlabel('n');ylabel('h(n)');grid %Para calcular la respuesta al impulso para el sistema h(n) [R,p,c]=residuez(b,a) % En caso de raices complejas, se necesita llevarlas a la forma %exponencial, mediante: Mp=abs(p') % magnitudes de los polos format rat % Para expresar el angulo de los polos como fraccion Ap=angle(p')/pi %angulos de los polos en unidades de pi

Page 11: Segundo examen DSP

11

Fig. 2.4.- Respuesta a impulso h(n).

Page 12: Segundo examen DSP

12

b) A partir de las muestras de h(n), determine la estabilidad del sistema.

Solución.

Para poder observar la estabilidad del sistema se debe tener en

cuenta la ubicación de los polos de la función de transferencia (H(z)). Estos

polos deben estar ubicados dentro del círculo de radio unitario para que el

sistema resulte estable. En la figura 2.6 se muestra el diagrama de polos y

ceros, los cuales serán identificados con “x” y “o” respectivamente.

Usando MATLAB se tiene el Diagrama de Polos y Ceros, el cual es de

la siguiente manera:

zplane(b,a) title('Diagrama de Polos y Ceros');

xlabel('Parte Real');ylabel('Parte Imaginaria')

Fig. 2.5.- Comandos de MATLAB para generar el Diagrama de Polos y Ceros.

Como se puede observar en la figura 2.6, el sistema es estable ya

que los polos (“x”) están ubicados dentro del círculo unitario. Se debe tener

claro, que un sistema es estable solo por la ubicación de los polos de la

función de transferencia H(z) y que estos deben estar dentro del círculo

unitario. Los polos corresponden a los miembros ubicados en el denominador

de cualquier función de transferencia.

Page 13: Segundo examen DSP

13

Fig. 2.6.- Diagrama de Polos y Ceros.

Page 14: Segundo examen DSP

14

c) Determine la respuesta en frecuencia del sistema E = FGH. Dibuje

magnitud y fase en una sola ventana. Clasifique el filtro que

representa al sistema. De acuerdo a la respuesta en frecuencia del

sistema, ¿qué esperaría observar en la salida para la entrada x(n)

descrita en el ítem d)?.

Solución.

%Generar grafico magnitud y fase para respuesta en frecuencia H(ejw) %H=freqz([M],[N],w) M:vector que contiene coeficientes numerador % N:vector que contiene coeficientes denominador w=-pi:(2*pi/256):pi; H=freqz(b,a,w); H_abs=abs(H) fi=angle(H) figure subplot(2,1,1);stem(w/pi,H_abs);

xlabel('\omega');ylabel('|H(ejw)|');

title('Respuesta en Frecuencia H(ejw)');grid subplot(2,1,2);stem(w/pi,fi);xlabel('\omega');ylabel('\theta');

title('Respuesta en Frecuencia H(ejw)');grid

Fig. 2.7.- Comandos de MATLAB para obtener la respuesta en frecuencia del sistema E = FGH.

Según la figura 2.8 se deduce que la respuesta en frecuencia del

sistema, magnitud y fase, arroja un gráfico el cual indica que se está en

presencia de un tipo de filtro ………………. Este filtro tiene como frecuencia

de corte………

Page 15: Segundo examen DSP

15

Fig. 2.8.- Respuesta en Frecuencia del sistema E = FGH. Magnitud y Fase.

Page 16: Segundo examen DSP

16

d) Si la entrada al sistema es de la forma:

�� = [2 + 3cos�0.2$ + 4/��0.8$]��.

Determine la respuesta del sistema y(n) para 0≤n≤ 200.

Solución.

% Ejercicio 2.d % Determinar la respuesta del sistema a la entrada y(n) nx=[0:200]; x=(2+3*cos(0.2*pi.*nx)+4*sin(0.8*pi.*nx));%nx=[0:200]; [delta,n]=impseq(0,0,100) h=filter(b,a,delta);nh=[0:100]; [y,ny]=convm(x,nx,h,nh) stem(y) title('Respuesta del Sistema');xlabel('n');ylabel('|y(n)|');grid;

Fig. 2.9.- Comandos utilizados en MATLAB para obtener la Respuesta del

Sistema y(n).

Page 17: Segundo examen DSP

17

Fig. 2.10.- Respuesta del Sistema y(n).

Page 18: Segundo examen DSP

18

e) Dibuje en una misma ventana las secuencias x(n), h(n) e y(n).

%Ejercicio 2.e figure subplot(3,1,1);stem(ny,y,'blue');xlabel('n');ylabel('|y(n)|');

title('Secuencia y(n)');grid subplot(3,1,2);stem(nx,x,'red');xlabel('n');ylabel('|x(n)|');

title('Secuencia x(n)');grid subplot(3,1,3);stem(nh,h,'green');xlabel('n');ylabel('|h(n)|');

title('Secuencia h(n)');grid

Fig. 2.11.- Comandos utilizados en MATLAB para obtener las Secuencias

x(n), h(n) e y(n).

Fig. 2.12.- Secuencias x(n), h(n) e y(n).

Page 19: Segundo examen DSP

19

3. A partir de la secuencia g(n) ilustrada en la Fig. 1.1, determine su

DTFT IJ�FGH y compare en una misma figura con su DTF de 16 puntos.

Solución.

% Ejercicio 3 % Calculo de DTFT para g1(n) n=[0:6]; g1=[2 6 5 5 4 1 1]; stem(n,g1);title('Secuencia g1(n)');xlabel('n');ylabel('g1(n)');grid

% Calculo de DTFT para secuencia g1(n) k=0:600;w=(2*pi/600)*k; X=g1*(exp(-2*j*pi/600)).^(n'*k); magX=abs(X);angX=angle(X); realX=real(X);imagX=imag(X); figure subplot(2,2,1);plot(w/600,magX);grid xlabel('\pi');ylabel('|X|');title('Magnitud de X(\omega)') subplot(2,2,3);plot(w/600,angX/pi);grid xlabel('\pi');ylabel('radianes/\pi');title('Angulo \theta de X(\omega)') subplot(2,2,2);plot(w/600,realX);grid;xlabel('\pi');

title('Parte Real de X(\omega)')

subplot(2,2,4);plot(w/600,imagX/pi);grid;xlabel('\pi'); title('Parte Imaginaria de X(\omega)')

Fig. 2.13.- Comandos utilizados en MATLAB para determinar DTFT G1

comparándola con su DTF de 16 puntos.

Page 20: Segundo examen DSP

20

Fig. 2.14.- Secuencia de g1(n).

Fig. 2.15.- Comparación de DTFT G1 con su DTF de 16 puntos.

Page 21: Segundo examen DSP

21

4. A partir de la DFT IK�L ilustrada en la Fig. 1.2, determine la

secuencia g(n).

Falta fig. 2.16

Falta fig. 2.17

Algún comentario

Page 22: Segundo examen DSP

22

CAPÍTULO 3:

CONCLUSIONES.

Page 23: Segundo examen DSP

23

BIBLIOGRAFÍA.

[1] MONTENEGRO MALUENDA, Yasmín, Procesamiento Digital de Señales, 2009.

[2] OPPENHEIM, Roland W. Schafer, Digital Signal Processing, Englewood

Cliffs, N. j.: Prentice Hall, 1975. [3] INGLE, Vinay k., PROAKIS, John G., Digital Signal Processing using

MATLAB V. 4, PWS Publishing Company, 1997.