Universidad de Costa Rica

Instituto Tecnológico de Costa Rica

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

CÁLCULO I Valor: 58 puntos. Tiempo máximo: 3 horas.

Sábado 21 de junio de 2014 INSTRUCCIONES GENERALES

Antes de contestar lea cuidadosamente las instrucciones y los enunciados de las preguntas.

Utilice únicamente bolígrafo de tinta indeleble azul o negra para resolver este examen. Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna respuesta o procedimiento está

desordenado, éste no se calificará. Recuerde que sólo puede utilizar calculadora que únicamente efectúe las operaciones

básicas. No se permite el uso de calculadora científica de ningún tipo. La prueba debe resolverse individualmente.

1. Calcule los siguientes límites utilizando la Regla de L´Hopital:

a) 11

1lim

x

xx

Note que

1lim

11

1

x

xx , entonces se procede de la siguiente manera:

.limlim11

1

111 lnlimln

1

1

1

x

x

x xx

x

x

xeex Ahora calculamos

00

1)ln(limln

11limlnlim

11

1

1

1

xxx

xx

xx

x

x. Por L´Hopital

11lim1

1

lim1

)ln(lim111

x

xxx

xxx. Entonces

eex x

x

1lim 11

1

1

.

b)

xx

xx3

lim2

.

Note que

xx

xx3

lim2

, por L’Hopital se tiene que

3ln3

12lim3

lim2

xxxx

xxx al

evaluar se vuelve a tener la forma

, por lo tanto de acuerdo con L’Hopital

03ln3ln3

2lim3ln312lim

xxxx

x

2. Sea RIf 1,1: , )1()1( ff , además f es continua en todo su dominio, ¿se puede

asegurar con certeza que 1,1 c tal que 0)(' cf ? Justifique y dé un ejemplo. (5 puntos)

El teorema de Rolle establece que si f es una función que satisface:

f es continua en ba, f es derivable en ba, )()( bfaf

Entonces bac , tal que 0)(' cf . No obstante para la función dada no se asegura que sea derivable en 1,1 , entonces no se puede asegurar que

1,1 c tal que 0)(' cf . Por ejemplo si RIf 1,1: y

xxf )( . Note que )1()1( ff y f es continua en su dominio, no obstante f no es derivable en 0x .

3. La curva cuya ecuación está dada por 922 yxyx se presenta a continuación

Demuestre que las rectas tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje y son paralelas. (5 puntos)

)2(2'

2)2('0'2'2'9'

922

22

yxxyy

xyyxyyyxyyx

yxyxyxyx

Luego:

21

21

63

63

320023

320023

)3,0(')3,0('

yy

Como )3,0('y y )3,0(' y definen el valor de las pendientes de las rectas tangentes a la curva en los puntos donde interseca al eje y, y se probó que )3,0(')3,0(' yy , por lo tanto las rectas tangentes a la curva en )3,0( y en )3,0( son paralelas.

4. Considere una función f tal que 3 2 1

)(

x

xxf , donde 3 42

2

13

3)('

x

xxf ,

3 72

2

19

92)(''

x

xxxf ,

)(lim1

xfx

,

)(lim1

xfx

,

)(lim1

xfx

,

)(lim1

xfx

,

)(lim xfx

y 0)(lim x

xfx

. Con base en esta información:

a) Determine el máximo dominio de f .

1,1 RID f .

b) Halle las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica de f con los ejes.

Intersección con el eje x, 0013 2

xx

x. Entonces el punto de intersección tiene

coordenadas 0,0 .

c) Determine la ecuación de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si las hay.

Con base en la información dada se tiene que: Las ecuaciones de las asíntotas verticales son: 1x y 1x . No hay asíntotas horizontales. Como la ecuación de la asíntota oblicua es bmxy , donde

01lim3 2

x

xx

mx

, entonces se concluye que no hay asíntota oblicua.

d) Determine los intervalos de monotonía. Halle los extremos relativos.

3 42

2

13

3)('

x

xxf , donde 3030)(' 2 xxxf y )(' xf se

indefine si 1x , entonces

32 x + - - - + 42 1x + + + + +

)(' xf

+

-

-

-

+

f es creciente en 3, y ,3 .

f es decreciente en 1,3 , 1,1 y 3,1

Entonces hay un mínimo relativo en

3 2

3,3 y un máximo relativo en

3 23,3

e) Determine los intervalos donde f es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia

abajo. Establezca las coordenadas de los puntos de inflexión. (7 puntos)

2

723

2 9''( )

9 1

x xf x

x

92 x + - - - - + 72 1x + + - - + + -2 x + + + - - -

)(' xf

+

-

+

-

+

-

f es cóncava hacia abajo en 1,3 , 1,0 y ,3 .

f es cóncava hacia arriba en 3, , 0,1 y 3,1 .

Entonces las coordenadas de los puntos de inflexión son 0,0 ,

23,3 y

23,3 .

f) Construya la gráfica de f donde se detallen cada uno de los aspectos anteriores.

(5 puntos)

5. Un objeto tiene forma de cilindro circular recto. Conforme se calienta, su altura disminuye a razón de 0,005 centímetros por minuto y su radio aumenta a razón de 0,0001 centímetros por minutos. ¿Con qué rapidez está cambiando el volumen del objeto, cuando este alcanza los 40 centímetros de altura y los 1,5 centímetros de radio? (5 puntos)

)(thh , altura que depende del tiempo, donde min

005,0 cmdtdh

)(trr , radio que depende del tiempo, donde min

0001,0 cmdtdr

)(tVV , volumen que depende del tiempo, donde dtdV es lo que debemos determinar.

0376,0'

005,00001,0400001,05,12'

'́'2'2

2

2

VV

hrhrrVhrV

Por tanto el volumen cambia a razón de min

0376,0'3cmV

6. Se va a construir una tubería desde una refinería a través de un pantano hasta tanques de almacenamiento como se muestra en la figura adjunta. El costo de construcción es de $25000 por cada milla que se construya sobre el pantano y $20000 por cada milla que se construya sobre tierra. Explique de qué manera debe construirse la tubería para que el costo de producción sea mínimo.

De acuerdo con la figura se tiene que El costo de la tubería por tierra está dado por 200004 x El costo de la tubería por tierra está dado por 1625000 2 x Entonces la función que modela la situación es El costo de la tubería por tierra está dado por RIf 4,0:

162500020000800001625000)4(20000)( 22 xxxxxf , luego

162

22500020000)('2

x

xxf , para hallar puntos críticos se considera

x

x

xxx

xx

xx

xf

3169

2569256

2516165164

162500020000

0)('

2

2

22

2

2

Note que 4,03

16

Luego como f es continua en 4,0 , entonces por el teorema del valor extremo f alcanza un mínimo en ese intervalo,

180000)0( f

35,141221)4( f Por tanto la tubería debe construirse directamente desde la refinería hasta los tanques a través del pantano para que el costo sea mínimo.