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Seleccion de Portafolios Optimos Usando Clusters

DJ ES

21 de noviembre de 2013

DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 1 / 68

Contenido

1 Motivacion

2 Similitud entre activosSimilitud entre activos

3 Estrategias de Clusteringk-medoidesNumero de ClustersClustering Jerarquico

4 Meta-heurıstico de Optimizacion de PortafolioMeta-heurıstico GeneralMeta-heurıstico con Cardinalidad


Motivacion

Definimos los invariantes como:

Xi ,t,τ = ln(Pi ,t

Pi ,t−τ) (1)

Donde Pi ,t es el precio de una accion en el momento t en un horizonte deestimacion de tamano τ .


Motivacion

El problema clasico de seleccion de portafolios se puede escribir como:

mınwTΩw (2)

Sujeto a: ∑i

µiwi = r∑i

wi = 1

wmini ≤ wi ≤ wmax

i

(3)

Donde w es un vector de ponderaciones, r es una constante, µ y Ω son lamatriz de medias y las covarianzas de los invariantes Xi .


Motivacion

Moviendo valores de r se pueden graficar en el espacio deretorno(

∑i µiwi ) y varianza(wTΩw) las diferentes soluciones del

problema descrito anteriormente, lo que se conoce como frontera eficiente:

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

−0.

15−

0.10

−0.

050.

000.

050.

10

Frontera Eficiente

riesgo

Ret

orno

CX US EquityAMX US EquityEWW US EquityLFL US EquitySQM US EquityECH US EquityMELI US EquityCIB US EquityEC US EquityPRE CN EquityGTE US EquityPMG CN EquityBVN US EquitySCCO US EquityBAP US EquityEPU US EquityPBR US EquityVALE US EquityITUB US EquityBBD US EquityEWZ US EquityCPA US EquityBLX US EquitySLV US EquityGLD US EquityUSO US EquityGXG US EquityAND US EquityJJC US Equity

2


Motivacion

Normalmente se elige un portafolio basado en un perfil de aversion alriesgo (usando una funcion de utilidad sobre el espacio de retorno yvarianza). Y se elige el portafolio que haga tangencia con la funcion deutilidad:


Motivacion

Dado que µ y Ω no son conocidos, es necesario usar estimadores paraestimarlos. Entre otros, algunos estimadores famosos son:

Estimadores no-parametricos.

Estimadores de shrinkage.

Black Litterman.


Motivacion

Cuando se permiten ventas en corto wmini < 0 (Una venta en corto

consiste en vender una accion sin tenerla, por lo tanto si el precio de laaccion cae se obtiene ganancia dado que se puede comprar a un preciomas bajo) idealmente se espera que el portafolio tenga cierto cubrimientode mercado.El cubrimiento de mercado se refiere a que cuando empieza a caer elprecio de las acciones en general, la caıda de valor del portafolio enposiciones largas (wi > 0) se vea compensado por aumentos en el valor delportafolio en las posiciones cortas (wi < 0).


Motivacion

En escenarios de crisis, la matriz de varianza-covarianza estimada presentaun comportamiento inestable. Por lo que en algunos casos los cubrimientosdel portafolio no funcionaran en la direccion deseada, por ejemplo:

Las correlaciones se invierten o se vuelven 1, y cuando las posicioneslargas pierden valor las cortas tambien.


Motivacion

Ejemplo distribucion retorno diario portafolio durante una crisis:

Retornos (1 año) Portafolio vs 11 de Julio

Retornos

Fre

cuen

cia

−0.04 −0.02 0.00 0.02 0.04

02

46

8

Antes 11 Julio11 Julio en AdelanteÚltimos Días


Se muestra el cambio de la matriz de varianza-covarianza durante elperiodo de crisis.


Motivacion

Correlaciones Antes 11 de Julio

CX US EquityAMX US Equity

EWW US EquityLFL US Equity

SQM US EquityECH US EquityMELI US Equity

CIB US EquityEC US Equity

PRE CN EquityGTE US EquityPMG CN EquityBVN US Equity

SCCO US EquityBAP US EquityEPU US EquityPBR US Equity

VALE US EquityITUB US EquityBBD US EquityEWZ US EquityCPA US EquityBLX US EquitySLV US EquityGLD US EquityUSO US EquityGXG US EquityJJC US Equity

GRAM US Equity

CX US E

quity

AMX U

S Equ

ity

EWW

US E

quity

LFL

US Equ

ity

SQM U

S Equ

ity

ECH US E

quity

MELI

US E

quity

CIB U

S Equ

ity

EC US E

quity

PRE CN E

quity

GTE US E

quity

PMG C

N Equ

ity

BVN US E

quity

SCCO US E

quity

BAP US E

quity

EPU US E

quity

PBR US E

quity

VALE

US E

quity

ITUB U

S Equ

ity

BBD US E

quity

EWZ U

S Equ

ity

CPA U

S Equ

ity

BLX U

S Equ

ity

SLV U

S Equ

ity

GLD U

S Equ

ity

USO US E

quity

GXG US E

quity

JJC U

S Equ

ity

GRAM U

S Equ

ity−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0


Motivacion

Correlaciones Despues 11 de Julio








GRAM US Equity

CX US E

quity

AMX U

S Equ

ity

EWW

US E

quity

LFL

US Equ

ity

SQM U

S Equ

ity

ECH US E

quity

MELI

US E

quity

CIB U

S Equ

ity

EC US E

quity

PRE CN E

quity

GTE US E

quity

PMG C

N Equ

ity

BVN US E

quity

SCCO US E

quity

BAP US E

quity

EPU US E

quity

PBR US E

quity

VALE

US E

quity

ITUB U

S Equ

ity

BBD US E

quity

EWZ U

S Equ

ity

CPA U

S Equ

ity

BLX U

S Equ

ity

SLV U

S Equ

ity

GLD U

S Equ

ity

USO US E

quity

GXG US E

quity

JJC U

S Equ

ity

GRAM U

S Equ

ity−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0


El cambio es tan drastico que algunas covarianzas cambian de signo:


Motivacion

Cambios de Signo








BSAC US EquityGRAM US Equity

CX US E

quity

AMX U

S Equ

ity

EWW

US E

quity

LFL

US Equ

ity

SQM U

S Equ

ity

ECH US E

quity

MELI

US E

quity

CIB U

S Equ

ity

EC US E

quity

PRE CN E

quity

GTE US E

quity

PMG C

N Equ

ity

BVN US E

quity

SCCO US E

quity

BAP US E

quity

EPU US E

quity

PBR US E

quity

VALE

US E

quity

ITUB U

S Equ

ity

BBD US E

quity

EWZ U

S Equ

ity

CPA U

S Equ

ity

BLX U

S Equ

ity

SLV U

S Equ

ity

GLD U

S Equ

ity

USO US E

quity

GXG US E

quity

JJC U

S Equ

ity

BSAC US E

quity

GRAM U

S Equ

ity−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0


Dada la estructura de la estimacion de la matriz de varianza-covarianza, elmetodo de seleccion de portafolios clasico parece destinado a sufrirgrandes perdidas en periodos de crisis.


Motivacion

Para evitar esto proponemos agrupar en clusters los diferentes activos yluego proponer una estrategia de seleccion de portafolio, teniendo enmente los siguientes objetivos:

Que los activos dentro de un cluster presenten un comportamientosimilar.

Que la metodologıa de estimacion de los clusters sea relativamentesuave.

Establecer como objeto de inversion los clusters y no los activos en sı.


Contenido

1 Motivacion





Medidas

Para establecer una estrategia de clustering es necesario definir la similitudo distancia entre dos activos de tal forma que durante los escenarios decrisis los activos dentro de un cluster:

Idealmente tengan un perfil de retorno similar.

Tengan un perfil de comovimientos similar.


Medidas

Desarrollamos 3 medidas de distancia entre los activos:

Spread

K-S

Omega


Medidas - Spread

Se tienen las series de retornos de dos activos x ,y . La medida de spread ladefinimos entre cada par de activos como:

sd(u = y − xb) (4)

Que es la desviacion estandar del spread de los retornos salvo unaconstante. La intuicion es que salvo una constante dos activos presentanco-movimientos similares.


Medidas - KS

La medida K-S es el valor del estadıstico de Kolmogorov-Smirnoff.

Dn = supX |Fy (X )− Fxb(X )| (5)

Que es la distancia maxima entre las CDF de los retornos de los dosactivos salvo una constante.


Medidas - KS

Graficamente el estadıstico K-S:


Medidas - Omega

La medida de riesgo Omega fue introducida por Keating et al. (2002) yesta definida como:

Ωr (L) =

∫ bL (1− F (r))dr∫ L

a F (r)dr(6)

Donde r = u = y − xb. Que es el cociente entre una call de strike L sobreuna put con el mismo strike sobre el activo u. En otras palabras el valoresperado de las ganancias por encima de un valor L sobre el valor esperadode las perdidas sobre el mismo valor.


Medidas - Omega

Graficamente la medida Omega:


Medidas

Con las medidas anteriores es posible construir matrices de distancia entretodos los activos, donde el elemento (i , j) es justamente la distancia entreel activo i y el activo j .


Medidas

Ejemplo medida spread:

Distancias entre Activos





PRE CN EquityGTE US Equity



GRAM US Equity

CX US E

quity

AMX U

S Equ

ity

EWW

US E

quity

LFL

US Equ

ity

SQM U

S Equ

ity

ECH US E

quity

MELI

US E

quity

CIB U

S Equ

ity

EC US E

quity

PRE CN E

quity

GTE US E

quity

SCCO US E

quity

BAP US E

quity

EPU US E

quity

PBR US E

quity

VALE

US E

quity

ITUB U

S Equ

ity

BBD US E

quity

EWZ U

S Equ

ity

CPA U

S Equ

ity

BLX U

S Equ

ity

SLV U

S Equ

ity

GLD U

S Equ

ity

USO US E

quity

GXG US E

quity

JJC U

S Equ

ity

GRAM U

S Equ

ity0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030


Medidas

Con estas medidas de distancias entre activos es posible aplicar unaestrategia de clustering.


Contenido

1 Motivacion





k-medoides

El algoritmo de k-medoides consiste en hacer particiones de diferentespuntos en grupos minimizando la distancia entre los puntos clasificados enun mismo grupo. El algoritmo Partitioning Around Medoids (PAM)consiste en:

Seleccionar aleatoriamente k puntos como medoides.

Se asocia cada punto sobrante al medoide mas cercano.

Para cada medoide m.

Para cada punto no medoide o.

Intercambiar m y o. Y calcular el costo total del nuevo arreglo.

Seleccionar el arregla con el menor costo total.

Repetir pasos 2-4 hasta tener el menor costo total.

El costo total es la suma de las distancias a su medoide correspondiente detodos los puntos.


k-medoides

Una de las debilidades de esta metodologıa es que no establece uncriterio de optimalidad en el numero de clusters (k).

La sensibilidad al numero de clusters (k) es evidente.

Las siguientes representaciones graficas de los clusters se construyenusando Multidimensional scaling (MDS)


k-medoides

−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

−0.

015

−0.

010

−0.

005

0.00

00.

005

0.01

0

Visualización Distancias

Dim1

Dim

2

LFL US EquitySCCO US Equity

PBR US Equity

VALE US Equity

CX US Equity

MELI US Equity

BAP US Equity

ITUB US Equity

BBD US Equity

EWZ US Equity

SQM US Equity

ECH US EquityEC US Equity

GTE US Equity

EPU US Equity

SLV US Equity

GLD US Equity

USO US Equity

JJC US Equity

AMX US EquityEWW US Equity

CIB US Equity

PRE CN Equity

CPA US Equity

BLX US Equity

GXG US EquityGRAM US Equity

1


k-medoides

−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

−0.

015

−0.

010

−0.

005

0.00

00.

005

0.01

0


Dim1

Dim

2


PBR US Equity

VALE US Equity

CX US Equity

MELI US Equity

ITUB US Equity

BBD US Equity

EWZ US Equity

SQM US Equity

ECH US Equity

BAP US Equity

EC US Equity

GTE US Equity

EPU US Equity

SLV US Equity

GLD US Equity

USO US Equity

JJC US Equity


CIB US Equity

PRE CN Equity

CPA US Equity

BLX US Equity


1

2


k-medoides

−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

−0.

015

−0.

010

−0.

005

0.00

00.

005

0.01

0


Dim1

Dim

2


PBR US Equity

VALE US Equity

CX US Equity

MELI US Equity

ITUB US Equity

BBD US Equity

EWZ US Equity

SQM US Equity

ECH US Equity

BAP US Equity

EC US Equity

EPU US Equity

SLV US Equity

GLD US Equity

USO US Equity

JJC US Equity


CIB US Equity

PRE CN Equity

CPA US Equity

BLX US Equity


GTE US Equity

12


k-medoides

−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

−0.

015

−0.

010

−0.

005

0.00

00.

005

0.01

0


Dim1

Dim

2


PBR US Equity

VALE US Equity

CX US Equity

ITUB US Equity

BBD US Equity

EWZ US Equity

SQM US Equity

ECH US Equity

BAP US Equity

EC US Equity

EPU US Equity

SLV US Equity

GLD US Equity

USO US Equity

JJC US Equity


CIB US Equity

PRE CN Equity

CPA US Equity

BLX US Equity


MELI US Equity

GTE US Equity

12


k-medoides

−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

−0.

015

−0.

010

−0.

005

0.00

00.

005

0.01

0


Dim1

Dim

2


PBR US Equity

VALE US Equity

CX US Equity

ITUB US Equity

BBD US Equity

EWZ US Equity

SQM US Equity

ECH US Equity

BAP US Equity

EC US Equity

EPU US Equity

USO US Equity

JJC US Equity


CIB US Equity

PRE CN Equity

CPA US Equity

BLX US Equity


MELI US Equity

GTE US Equity

SLV US Equity

GLD US Equity

1

2

5


k-medoides

−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

−0.

015

−0.

010

−0.

005

0.00

00.

005

0.01

0


Dim1

Dim

2


PBR US Equity

VALE US Equity

CX US Equity

ITUB US Equity

BBD US Equity

EWZ US Equity

SQM US Equity

ECH US Equity

BAP US Equity

EC US Equity

EPU US Equity

USO US Equity

JJC US Equity


CIB US Equity

CPA US Equity

BLX US Equity


MELI US Equity

PRE CN Equity

GTE US Equity

SLV US Equity

GLD US Equity

12

6


k-medoides

−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

−0.

015

−0.

010

−0.

005

0.00

00.

005

0.01

0


Dim1

Dim

2


PBR US Equity

VALE US Equity

CX US Equity

ITUB US Equity

BBD US Equity

EWZ US Equity

SQM US Equity

ECH US Equity

BAP US Equity

EC US Equity

EPU US Equity

USO US Equity

JJC US Equity


CIB US Equity

BLX US Equity


MELI US Equity

PRE CN Equity

GTE US Equity

CPA US Equity

SLV US Equity

GLD US Equity

12

7


k-medoides

−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

−0.

015

−0.

010

−0.

005

0.00

00.

005

0.01

0


Dim1

Dim

2

CX US Equity

BAP US Equity

EC US Equity

EPU US Equity

USO US Equity

JJC US Equity


CIB US Equity

BLX US Equity



PBR US Equity

VALE US Equity

ITUB US Equity

BBD US Equity

EWZ US Equity

SQM US Equity

ECH US Equity

MELI US Equity

PRE CN Equity

GTE US Equity

CPA US Equity

SLV US Equity

GLD US Equity

2

3

8


Numero de Clusters

En un principio establecimos el siguiente criterio para determinar elnumero de clusters:

Se establece como costo la maxima distancia a su medoide respectivode todos los puntos.

El punto donde el cambio marginal del costo sea maximo seracorrespondiente al numero de clusters.


Numero de Clusters

5 10 15 20 25

0.01

00.

015

0.02

00.

025

0.03

0

TradeOff Número de Clusters

Número de Clusters

max

Dis

t


Numero de Clusters

Sin embargo, Milligan y Cooper (1985) examinan mas de 40 indices paradeterminar el numero optimo de clusters. Por ejemplo, el indice deDunn(1974) consiste en el cociente entre la minima distancia interclusterssobre la maxima distancia interclusters.

Actualmente se estan examinando cuales indices tienen mejor impactoen el backtest de la estrategia de seleccion de portafolio.


Numero de Clusters

Los resultados de los diferentes indices son variados para los mismos datos.


Clustering Jerarquico

Tambien dentro del analisis se esta usando clustering jerarquicoconglomerativo, que consiste en:

Todos los activos inicialmente pertenecen a su propio cluster.

Se agrupan dos clusters proximos en un mismo cluster de acuerdo a lasiguiente formula para clusters X ,Y :

D(X ,Y ) = maxx∈X ,y∈Y

d(x , y) (7)

Continua el proceso iterativo hasta que todos los elementos esten enel mismo cluster.


Clustering Jerarquico

El dendograma del clustering jerarquico se ve ası para la metrica de spread.

CX

US

Equ

ityS

LV U

S E

quity

GLD

US

Equ

ityU

SO

US

Equ

ityS

CC

O U

S E

quity

CPA

US

Equ

ityB

LX U

S E

quity

JJC

US

Equ

ityA

MX

US

Equ

ityE

WW

US

Equ

ityC

IB U

S E

quity

EC

US

Equ

ityG

XG

US

Equ

ityB

SA

C U

S E

quity

SQ

M U

S E

quity

LFL

US

Equ

ityE

CH

US

Equ

ityA

ND

US

Equ

ityIT

UB

US

Equ

ityB

BD

US

Equ

ityP

BR

US

Equ

ityV

ALE

US

Equ

ityE

WZ

US

Equ

ityP

MG

CN

Equ

ityP

RE

CN

Equ

ityG

TE

US

Equ

ity ME

LI U

S E

quity

BV

N U

S E

quity

GR

AM

US

Equ

ityB

AP

US

Equ

ityE

PU

US

Equ

ity

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Cluster Dendrogram

hclust (*, "complete")distancias

Hei

ght


Contenido

1 Motivacion





Meta-heurıstico de Optimizacion

En la seccion anterior se obtiene una particion del universo de activosen clusters o grupos de activos.

La siguiente pregunta es entonces como obtener una asignacionoptima de activos basado en los clusters.



Para el problema de inversion desarrollamos el siguiente meta-heurıstico:

Se calculan los clusters dentro de una medida escogida.

Se realiza una optimizacion intra-clusters.

A partir de la optimizacion anterior se obtienen 2 activosrepresentativos del cluster (no necesariamente activos individuales,sino una combinacion lineal de los activos del cluster). Uno largo yuno corto.

Con estos activos representativos se construye una frontera eficienteusando unicamente los activos representativos del cluster.



Optimizacion intra-cluster:

Se optimiza una frontera eficiente dentro del cluster (es decir, seconstruye una frontera eficiente usando solamente los activos delcluster).

Se eligen dos activos representativos (portafolios) de la siguientemanera:

max E[u(r)]max E[u(-r)]

La intuicion es obtener dos activos por cluster. Uno con perfil Largo yotro con perfil Corto.



Optimizacion inter-cluster:Con estos activos (2n), donde n es la cantidad de clusters, seconstruye una frontera eficiente derivada del siguiente problema:

mınwTΩw (8)

Sujeto a: ∑i

µiwi = r∑i

wi = 1

wmini ≤ wi ≤ wmax

i

(9)

No se puede estar invertido simultaneamente en los dos activos de unmismo cluster.Los activos largos de los clusters tienen limites mayores o iguales a 0:0 % ≤ wL

i

Los activos cortos de los clusters tienen limites menores o iguales a 0:0 % ≥ wC

i



Finalmente se elige un portafolio que maximice la funcion de utilidaddeseada.

Las ventajas de la estrategia de optimizacion son:

Se hace un hedging mas sensible a cambios no capturados por lascovarianzas (dado que se agrupan los activos en clusters y no sepermiten largos y cortos entre activos similares).La volatilidad del portafolio deberıa disminuir. Hipotesis por probar

Las desventajas de la estrategia de optimizacion son:

Puede ser difıcil operativamente estar invertido en todos los activossimultaneamente.Es necesario determinar una estrategia de tiempo de rebalanceo de losclusters.


Meta-heurıstico con Cardinalidad

Dentro del mismo problema general de optimizacion de portafolio sepuede generalizar el meta-heurıstico usando restricciones decardinalidad.El problema de seleccion de portafolio con restricciones decardinalidad es:

mınwTΩw (10)

Sujeto a: ∑i

µiwi = r∑i

wi = 1

δiwmini ≤ wi ≤ δiwmax

i∑i

δi = K

δi ∈ 0, 1

(11)



Para solucionar este problema se usa un algoritmo llamado Branchand Bound, propuesto por Ailsa Land y Alison Doig en 1960: ’Anautomatic method of solving discrete programming problems.’

El algoritmo busca dentro de todo el universo de posibles candidatos,usando una estrategia iterativa que le permite ir descartando en masacandidatos que no son parte de la solucion posible del problema.

http://rjlipton.wordpress.com/2012/12/19/

branch-and-bound-why-does-it-work/


http://rjlipton.wordpress.com/2012/12/19/branch-and-bound-why-does-it-work/

http://rjlipton.wordpress.com/2012/12/19/branch-and-bound-why-does-it-work/


La idea detras del paper original es la siguiente:

Se tiene un problema de programacion lineal de la siguiente forma:

c ′x + c ′y = γ

st

Ax + Ay ≤ b

x es un entero no negativo

y ≥ 0

(12)

Donde γ, el maximo, es un escalar. b es un vector columna de m filas.c y x son vectores columna de n1 filas. c y y son vectores columna de(n − n1) filas. A es una matriz de dimensiones mxn1 y A es unamatriz de dimensiones mx(n − n1)



La solucion e idea detras del paper es mover el funcional de la solucion γhasta un valor γ0 en el cual se cumplan las todas restricciones enteras.



El procedimiento para mover el funcional en dimensiones superiores estomar una de las variables x y calcular el limite maximo de γ de tal formaque se cumplan las restricciones enteras, por ejemplo:

En este caso se sabe que los candidatos a la solucion tienen un limitesuperior de γk(2)



Se tiene entonces el siguiente algoritmo.

P(j): maximizar γ sujeto a las restricciones continuas yadicionalmente a j de las x variables discretas (j = 0, 1, 2, ..., n1).

Sea Sj el conjunto de las soluciones alcanzables del tipo P(j) y sea Sel conjunto de las soluciones no alcanzables del tipo P(j).

El valor de Sn1 que maximiza γ es la solucion del problema.

La solucion del problema esta acotada por arriba por el valor maximode γ en el conjunto Sn1−1 y ası sucesivamente.

La solucion se construye haciendo un grafo de arbol donde los verticesson elementos de los conjuntos Sj .



Los pasos para construir el arbol son:

Paso 0: El primer vertice del arbol es la solucion de P(0) = γ0, si lasolucion de P(0) satisface P(n1) entonces se ha solucionado elproblema.Paso 1: Si γ0 no es la solucion del problema, entonces de acuerdo alas reglas abajo, se dibujan nuevas aristas correspondientes a lospuntos en S1 y se evalua γ en los puntos de S1 y nunca en los de S .Paso 2: Si los vertices γ0, ..., γk ya han sido rotulados con el valor γ,al vertice con el mayor γ no rotulado, se le da el rotulo γk .Paso 3: La solucion final se ha alcanzado cuando por primera vez unvertice es un elemento de Sn; esto ocurre tan pronto todas lasvariables x son enteros no negativos. Si γk no es una solucion de estetipo, suponga que es un elemento de Sj . Una nueva arista se originaen el vertice inmediatamente arriba de γk y terminando en el mismosubconjunto de soluciones (Sj) que γk o en S . Si este nuevo verticeesta en Sj , su valor γ es necesariamente menor o igual a γk .Paso 4: Se dibujan dos vertices desde γk a los puntos en Sj+1 o S . Denuevo, si estos puntos estan en Sj+1 sus valores γ son necesariamentemenores o iguales a γk . Regresar al paso 2.


Algoritmo de optimizacion B&B

Ejemplo en el problema de Cardinalidad, se tienen 4 activos y se quiereelegir un portafolio de 2.



Con esto el portafolio que tiene los activos 2 y 3 es el que soluciona elproblema de cardinalidad.



Una frontera eficiente con este numero de activos se ve ası:

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

−0.

050.

000.

050.

10

Frontera Eficiente

riesgo

Ret

orno

CX US Equity

AMX US Equity

EWW US Equity

ECH US Equity

MELI US Equity

CIB US Equity

PRE CN Equity

GTE US Equity

PMG CN Equity

SCCO US EquityBAP US Equity

PBR US Equity

VALE US Equity

ITUB US Equity

BBD US Equity

EWZ US Equity

CPA US Equity

BLX US Equity

USO US Equity

GXG US Equity

AND US Equity

JJC US Equity

BSAC US Equity

GRAM US Equity

LFL US Equity

SQM US Equity

EC US Equity

BVN US Equity

EPU US Equity

SLV US EquityGLD US Equity

AVH US Equity

8910



La forma en como se conecta el problema de clusters con el de cardinalidades usar una restriccion de cardinalidad en el problema intra-clusters cuandose quiere resolver el problema usando la metodologıa de clusters paraacotar el numero total de activos que se van a tener en el portafolio.


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