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UNIDAD 2EXPRESIONES ALGEBRAICAS

LECTURA N° 5: LAS EXPRESIONESALGEBRAICAS Y SU TERMINOLOGÍA

Entre las distracciones más comunes que utilizan las personas están: los programas detelevisión, el cine, conciertos, los cuales se encuentran llenos de la magia de la animación yaudio. Muchos espectadores comentan sobre lo bueno o malo que resultó la animación de lacaricatura o lo inolvidable de los efectos de audio, como ecos, distorsiones o simulaciones.Para la producción de esta magia, los expertos se valen de programas de computadoras queusan funciones matemáticas denominadas splines, en el subcampo matemático del análisisnumérico. Un spline es una curva definida a trozos mediante polinomios, el siguiente es unejemplo gráfico:

Fuente: Elaboración propia. Caracas 2007

Así como la animación y el audio, otros fenómenos requieren del uso de las matemáticas,para lo cual es necesario utilizar un lenguaje específico para su transmisión, difusión ycomunicación. Este lenguaje posee varios componentes:

Tomado con fines instruccionales de:

Gómez, T., González, N., Vergara, A. (2000) MatemáticasBásicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt.

Vocabulario

Gráficos

COMPONENTESSímbolos o Signos

49

Las funciones matemáticas están conformadas por expresiones que generalizan lasoperaciones aritméticas, empleando números, letras y signos; donde, cada letra o signorepresenta simbólicamente un número u otra entidad matemática, a éstas se les denominanExpresiones Algebraicas.

Expresiones Algebraicas

Es la combinación de constantes, variables y signos de operación que, entre otras cosas,pueden definir una regla o principio general. Algunos ejemplos de expresiones algebraicasson:

a) 58x- c) 932 ++ yay

b) ( )( )bybxc -+2 d) ( ) 3817 xx ++×

e)683

1 ++

++ x

yy

x

Términos

Es una expresión algebraica, donde interviene sólo los signos de multiplicación, división,potenciación y radicación. Se puede diferenciar un términos de otro, ya que se separanentre sí únicamente por los signos de adición (+) y sustracción (-). Así, para los ejemplosanteriores tenemos:

El ejemplo (a) tiene un solo término, 58x-

El ejemplo (b) tiene un término: ))(2( bybxc -+ (*)

El ejemplo (c) tiene tres términos: 9,3,2 yay

El ejemplo (d) tiene dos términos: ( ) 38,1 xxa +

El ejemplo (e) tiene dos términos:683,

1 ++

+ xy

yx

NOTA:

(*) La expresión ))(2( bybxc -+ así como está, sin resolver tiene un término, mientras quesi aplicamos la propiedad distributiva obtenemos:

22 22)22())(2( cbybcxbcxycbybxbxycbybxc -+-=-+-=-+y esta expresión tiene 4 términos.

50

Los términos están formados por los siguientes componentes:

§ Signo: Es el que precede al término, puede ser positivo (+) o negativo (-), si éste noaparece, el signo del término es positivo.

§ Variable de un término: es aquella sobre la cual se define el término o expresiónalgebraica e indica que su valor va variando. Por lo general se toman las últimas letrasdel alfabeto en minúsculas: .,,,, etcwzyx . Las expresiones algebraicas pueden ser deuna, dos o varias variables.

§ Coeficiente: Es el factor que acompaña a la parte variable, y su valor no cambia, esconstante. Los coeficientes pueden ser de carácter numérico o literal. Por lo general loscoeficientes literales se representan con las primeras letras del alfabeto enminúscula: .,,,, etcdcba

§ Exponente: Es el número que se encuentra en la parte superior derecha de la variable.

Así para el ejemplo (a): 58x- , las variables, los coeficientes y los exponentes son:

58x-

En el ejemplo (b), “ ))(2( bybxc -+ ” es de dos variables: x e y, el coeficiente es 2c, -2cb,cb; el exponente: 1. En este caso para determinar los coeficientes y exponentes esnecesario resolver el producto.

Para el ejemplo (e):683

1 ++

++ x

yy

x, los términos son dos:

1+yx

+683

++

xy

Variable

Exponente

CoeficienteSigno

1+yx Signo Variable Coeficiente Exponente

Numerador + x 1 1

Denominador + y 1 1

TérminosPara determinar los componentes de cada uno delos términos, como ambos son fracciones,analizaremos tanto el numerador como eldenominador, así:

51

Haz lo mismo para el segundo término.

Términos Semejantes

Son términos cuya parte variable son iguales y además tienen el mismo exponente. Observalos siguientes ejemplos:

a) 2222 4,21,5,3 xxxx -

b) 3xy, 2xy, xy43-

c) 22 3, xyyx

e)yxyx

yxyx

++

22 3,4

f) 935,93 ++ xxa

Es de suma importancia reconocer términos semejantes cuando se quiere reducir unaexpresión algebraica, ya que estos pueden sumarse (o restarse) y, por consiguientereducirla. Si dos o más términos no son semejantes, éstos no pueden sumarse ni restarse.También es de utilidad para calcular el mínimo común denominador entre expresionesracionales.

Ej. 1 Reducir la expresión algebraica 222 52)( xxxxP +-= .

Solución:222 52)( xxxxP +-=

( ) 2521)( xxP +-=

24)( xxP =

Respuesta: 24)( xxP =

Son términos semejantes ya que todos contienen 2x

Son términos semejantes ya que todos contienen xy

No son términos semejantes ya que 22 xyyx ¹

Son términos semejantes ya que todos contienenyx

yx+

2

Son términos semejantes ya que todos contienen 93 +x

Son términos semejantes ya que todos contienen2x , se agrupan y suman los coeficientes y se

coloca una vez el factor que se repite.

52

Ej. 2 Reducir la siguiente expresión algebraica, agrupando términos semejantes.22 325)( xxyxyxxP -+-= .

Solución:

Son semejantes por grupos. Si agrupamos tendremos:

)2()35()( xyxyxxxP +-+-=

xyxxP )21()35()( +-+-=

xyxxP += 22)(

Respuesta: xyxxP += 22)(

Ejercicios propuestos:

1. Señale cuál de las siguientes expresiones no corresponde a una expresión algebraica.Justifique su respuesta.

(a)125

5634512 -+ (b)

xxx

7453 2-

(c)5

245 3 +x

2. Para los ejemplos c y d, dados al inicio de esta lectura, identifique los términos y cadacomponente de los mismos, si es posible.

3. En cada una de las siguientes expresiones señale los términos y sus componentes:

(a) 6182 3 +- xx (b)x

xxx3

121153 -+--

(c) 39127

xx -

(d)416

3413 2

+-

xxx

4. Diga si los términos yxyxyx 222

21,2, -

- son semejantes. Justifique su respuesta.

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LECTURA N° 6: TIPOS DE EXPRESIONESALGEBRAICAS

Las expresiones algebraicas son de gran utilidad para expresar matemáticamentecomportamientos de carácter económico, físico, químico, biológico, entre otros. Cadacomportamiento tiene una expresión algebraica que lo representa. Algunos ejemplos son:

a) El crecimiento de una bacteria puede estar dado por la expresión12 +xe , observe que el

exponente es una expresión que contiene a la variable x .

b) El costo total para construir una cerca para un área rectangular con ciertas condiciones

dadas, esta representada por la expresión algebraicax

x 432003 + .

En virtud de lo expuesto y de las características propias de cada expresión algebraica, éstasse clasifican en: Enteras, Racionales, Radicales y Combinadas.

Expresiones Algebraicas Enteras o Polinómicas.

Son también llamadas polinómicas y se definen como toda expresión algebraica en la quelas potencias son de exponente natural, es decir, los exponentes de las variables sonnúmeros enteros positivos.

Ejemplos: bxzyxyx 3232 )(32,4,53 ++

Las expresiones algebraicas enteras, a su vez se clasifican en monomios, binomios,

trinomios y polinomios, dependiendo del número de términos que posea.

§ Monomio, expresión que consta de un solo término, por ejemplo: bax 22

32,3

§ Binomio, expresión que consta de dos términos, ejemplos:

( ) ( ) ÷øö

çèæ +-- 5232 2

21,42,3 bbayxyx

Tomado con fines instruccionales de:

Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas M.,(2006). Expresiones Algebraicas, Caracas: UNEFA.

54

§ Trinomio consta de tres términos, así como en los siguientes ejemplos:

( )232 +- xx , ( )2/125 2 -+ yy , ÷øö

çèæ +- 223

21 yxxy

Así, en general podemos definir, que un Polinomio es una expresión algebraica que constade más de un término, como: 12,696,4 223 +-+-+-+ xxxxxyxb , en el conteo detérminos sólo se cuentan los términos que no tienen como coeficiente el número cero.

Ej. 3 Determinar si la expresión algebraica xxxxP 232)( 23 -+= - es un polinomio.Justifique su respuesta.

Solución:

No es un polinomio, porque tiene un exponente negativo en 32 -x . Los exponentes deben serenteros y no negativos.

Ej. 4 Determinar si la expresión algebraicas 223)( xxxP -= es un polinomio.

Justifique su respuesta.

Solución:223 xxxP -=)( equivale a 221 23 xxxP -= /)(

No es un polinomio porque tiene un exponente fraccionario. Los exponentes deben serenteros y no negativos.

Características de los Polinomios

· Un polinomio posee términos y sus componentes, recuerde que todo polinomio es unaexpresión algebraica.

· El Grado de un Polinomio, se define como el mayor exponente que tiene la variable delpolinomio.

NOTA:

Observe que de acuerdo a la definición de polinomio, los binomios y los trinomios son polinomios.

NOTA:

Si bien es cierto, los ejemplos 3 y 4 no son considerados como polinomios, pero sí sonexpresiones algebraicas

55

· Los términos de un polinomio se clasifican en:

Término Independiente, es aquel que no está acompañado de la variable. Así, para elpolinomio )(xQ = abbxax ++ 23 85 , el término independiente del polinomio Q es eltérmino ab .

Términos Dependientes, son aquellos que están acompañados de la variable. Así, parael polinomio )(xQ = abbxax ++ 23 85 , los términos dependientes del polinomio )(xQson: 23 8,5 bxax .

· Un Polinomio Completo, es aquel que con relación a la variable contiene todos losexponentes sucesivos, desde el más alto hasta el más bajo o viceversa. Así, elpolinomio: )(xP = 635 2345 +-++- xxxxx es completo con respecto a su variable x ,porque contiene todos los exponentes sucesivos desde el más alto (5), hasta el más bajo(0), ( 066 x= ).

El polinomio =)(aQ 3223 2 babbaa +-+ es completo con respecto a la variable “a”. Noteque si definimos como variable del polinomio ""a bQ , )(bQ = 3223 2 babbaa +-+ , éstetambién es un polinomio completo. El polinomio )(xR = 623 34 ++- xxx no es unpolinomio completo, ya que el término 2x no está, es decir el coeficiente de 2x es cero.

· Diremos que un polinomio está ordenado, si los exponentes de la variable están enorden ascendente o descendente.

Así por ejemplo:

a) El polinomio )(xP = 1234 23 +-- xxx , es un polinomio ordenando en formadescendente,

b) El polinomio )(xQ = 134533 5634 +-++- xxxxx , es un polinomio no ordenado.

c) El polinomio )(xR = 5432 5643 xxxxx -+++- , es un polinomio ordenadoascendente.

En general, si tenemos la siguiente expresión

nn xaxaxaxaaxP +++++= KKK3

32

210)(

en donde: 0¹na

NOTA:

Podemos decir entonces que un polinomio es completo, si contiene todos los exponentes

sucesivos de la variable y todos los coeficientes del polinomio son diferentes de cero.

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naaaaa KKK,,,, 3210 etc. son números reales

“ n ” es un entero no negativo

Se puede considerar )(xP como un polinomio en “ x ” de grado “ n ” y:

· Las cantidades naaaaa KKK,,,, 3210 son los coeficientes del polinomio.

· “ x ” es la variable o parte variable del polinomio

· “ n ” es el mayor exponente de “ x ” y determina el grado del polinomio (entero nonegativo).

· 0a es el término independiente

Veamos algunos ejemplos:

Ej. 5 Determinar las características del polinomio 2645 3242)( yyyyyP ++-= .

Solución:

a) Términos dependientes: 2645 3,2,4,2 yyyy -

b) Variable: y c) Grado: 6

d) Coeficientes: 2 (de 5y ), -4 (de 4y ), 2 (de 6y ), 3 (de 2y ), 0 (de 3y ), 0 (de y )

e) Término independiente: 0 f) Polinomio Ordenado: No.

g) Polinomio Completo: No, ya que existen coeficientes, el de 3y y el de y , que soniguales a cero.

Ej. 6 Determinar las características del polinomio432

54

32)( 23 ++-= xxxxP .

Solución:

a) Términos dependientes: xxx 2,54,

32 23 - ;

b) Variable: x ; c) Grado: 3;

d) Coeficientes:32

(de x3),54

- (de x2), 2 (de x), e)Término independiente:43

f) Polinomio Ordenado: Si. g) Polinomio Completo: Si.

A continuación estudiaremos las expresiones algebraicas racionales, con radicales y lascombinadas, entre ellas no podemos distinguir las mismas características como en el caso

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de las expresiones polinómicas. Estas expresiones no poseen las característicasmencionadas para los polinomios.

Expresiones Algebraicas Racionales

Es el cociente de dos expresiones algebraicas enteras, donde el denominador es diferentede cero.

Ejemplos:xyyx

yxyy

++

+ 54,

75 2

2

3

Expresiones Algebraicas Radicales

Son expresiones algebraicas donde las variables están dentro de una raíz.

Ejemplos: yzyxx +++ 23 25 2

32,35,23

Expresiones Algebraicas Combinadas

Son expresiones algebraicas que contienen expresiones enteras, racionales y/o radicales.

Ejemplos: 2

35

2953

xxx ++

; ;1253 3

2

++

+x

xx ;1534 2

xxy-

++

543

134 2323

+-++

+- yxx

xx

Ejercicios propuestos:

1. Para cada una de las siguientes expresiones, señale: tipo de expresión y suscaracterísticas

a) 123453)( 24 +-+= xxxxP , b)

43

52)( -= xxQ

c) 1512)( 3 -+= xxxR d) 423)( xxT =

2. Señale el tipo de expresión al cual pertenecen cada uno de los ejercicios propuestos,en la Lectura Nº 5.

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LECTURA N° 7: OPERACIONES CONEXPRESIONES ALGEBRAICAS

Valor Numérico de Expresiones Algebraicas

Es el número real que resulta de reemplazar las variables por números determinados en laexpresión algebraica.

Ej. 7 Sea 45753)( 2345 +-++-= yyyyyyQ , hallar el valor numérico de )(yQ para

1-=y .

Solución:

Sustituimos el valor de 1-=y en la expresión )(yQ , es decir hallamos

4)1(5)1(7)1(5)1(3)1()1( 2345 +---+-+---=-Q

4575314)1(5)1(7)1(5)1(31 +++---=+--+-+--=

7169 =+-=

Respuesta: 7)1( =-Q

Ej. 8 Sea 22

22

22),(

yxyxyxyxyxP

+-++

= , hallar el valor numérico de ),( yxP para 3=x , .2=y

Solución:

Sustituimos los valores de 3=x , 2=y en la expresión ),( yxP , es decir hallamos

25125

41294129

2232322323)2,3( 22

22

==+-++

=+××-+××+

=P

Respuesta: 25)2,3( =P

Aun cuando calcular el valor numérico no es una operación matemática como tal sobre lasexpresiones algebraicas, es considerada una herramienta útil para determinar cifras encomportamientos de carácter económico, físico, químico, biológico, entre otros. Veamos elsiguiente ejemplo.

Material recopilado con fines instruccionales por:

Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas, M. (2006)Expresiones Algebraicas. Caracas: UNEFA.

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Ej. 9 Si la expresiónx

xC 432003 += determina el costo total para construir una cerca,

considerando que x representa los metros lineales de la misma, ¿cuál será el costo total

de una cerca que tiene 120 metros lineales?

Solución:

El valor de x es igual a los 120 metros lineales de cerca, los cual se sustituye en

7201204320)120(3432003 =+×=+×=

xxC

Respuesta: El costo para una cerca con estas condiciones es de 720 BsF.

Operaciones con Polinomios:

Adición de Polinomios

Para la adición o suma de polinomios es importante la comprensión del manejo de términossemejantes, que estudiamos en la Lectura Nº 5. Es conveniente seguir el procedimientoindicado:

· Se ordenan los polinomios (preferiblemente en forma descendente).

· Se completan los polinomios incompletos, dejando el espacio en blanco o colocandocero como coeficiente, junto a la potencia de los términos que no aparecen en elpolinomio.

· Se suman verticalmente u horizontalmente los coeficientes de los términossemejantes.

Ej. 10 Dados 523)( 23 -+-= xxxxP y 234)( 2 +-= xxxQ , hallar )()( xQxP +

Solución:

Se ordenan los polinomios y se colocan en forma vertical. Luego se suman algebraicamente(es decir, usando la ley de los signos) los coeficientes de los términos semejantes.

5123)( 23 -+-= xxxxP +

234)( 2 +-= xxxQ

Respuesta: 3223)()( 23 --+=+ xxxxQxP

Observe que la respuesta se ofrece ordenada descendentemente con respecto a “ x ”.

60

Ej. 11 Dados 2222 3234)( xxaaaxxP -+-= y 222 22)( xaxxaxQ +-=

Se pide encontrar )()( xQxP +

Solución:

Se ordenan los polinomios en forma descendente, en función de la variable x . Se sumanalgebraicamente los coeficientes de los términos semejantes.

2222 3234)( xxaaaxxP -+-= +

2222 220)( xxaaaxxQ +++-=

2222 433)()( xxaaaxxQxP -+-=+

Respuesta: 2222 433)()( xxaaaxxQxP -+-=+

Ej. 12 Dados los siguientes polinomios312

25

53)( 23 -+-= xxxxP y

45

51

35

21)( 23 ++-= xxxxQ . Hallar )()( xQxP +

Solución:

312

25

53)( 23 -+-= xxxxP +

45

51

35

21)( 23 +++= xxxxQ

)45

31()

512()

35

25()

21

53()()( 23 +-++++-++=+ xxxxQxP

)12

154()5

110()6

1015()10

56( 23 +-+

++

+-+

+= xxx

Respuesta:1211

511

65

1011)()( 23 ++-=+ xxxxQxP

NOTA:

Esta suma de polinomios, también puede resolverse sumando horizontalmente los

coeficientes de los términos semejantes.

61

Sustracción de Polinomios

Se sigue un procedimiento semejante a la adición o suma de polinomios, pero esta vez,considerando el signo negativo que precede al sustraendo, se puede reescribir la operacióncomo una adición, considerando que en lugar del polinomio dado en el sustraendo seutilizará el polinomio opuesto a éste (es lo que el signo menos nos está indicando).

Ej. 13 Dados 523)( 23 -+-= xxxxP y 234)( 2 +-= xxxQ . Se pideencontrar )()( xQxP - .

Solución:

La operación )()( xQxP - se puede reescribir como [ ])()( xQxP -+ .

Ahora se identifica a “ )(xQ- ” (polinomio opuesto o simétrico de )(xQ ).

Si tenemos 234)( 2 +-= xxxQ entonces 234)( 2 -+-=- xxxQ .

Se ordenan los polinomios y se colocan en forma vertical:

( ) 523 23 -+-= xxxxP

234)( 2 -+-=- xxxQ

Luego procedemos a sumar algebraicamente (ley de los signos) los coeficientes de lostérminos semejantes:

=)(xP 523 23 -+- xxx

=)(xQ 234 2 -+- xx

)25()31()42(3)()( 23 --+++--+=- xxxxQxP

7463)()( 23 -+-=- xxxxQxP

Respuesta: 7463)()( 23 -+-=- xxxxQxP .

Ej. 14 Dados 3234)( 23 -+-= xxxxP y 9242)( 23 ++-= xxxxQ .

Hallar )()( xQxP - .

NOTA:

La resta o sustracción de polinomios, también puede resolverse horizontalmente, tomando

en cuenta el signo negativo que precede al sustraendo.

62

Solución:

)()( xQxP - = )3234( 23 -+- xxx - )9242( 23 ++- xxx

Observa que los signos cambian al ser multiplicados (ley de los signos)

)()( xQxP - = 92423234 2323 --+--+- xxxxxx

Agrupamos términos semejantes:

)()( xQxP - = )93()22()43()24( 23 --+-++-+- xxx

Respuesta: )()( xQxP - = 122 23 -+ xx

Ej. 15 Dados xxxxxxP43

385

34

52)( 2345 +-++= y

153245)( 2345 -+-+-= xxxxxxQ . Hallar )()( xQxP -

Solución:

)()( xQxP - = )153245()43

385

34

52( 23452345 -+-+--+-++ xxxxxxxxxx

)()( xQxP - = 15324543

385

34

52 23452345 +-+-+-+-++ xxxxxxxxxx

)()( xQxP - = ( ) ( )151433

38254

345

52 2345 +÷

øö

çèæ -+÷

øö

çèæ +-+-+÷

øö

çèæ ++÷

øö

çèæ - xxxxx

)()( xQxP - = ( ) 154

433

9833124

5252 2345 +÷

øö

çèæ -

+÷øö

çèæ +-

++÷øö

çèæ +

+÷øö

çèæ - xxxxx

Respuesta: )()( xQxP - = 1541

313

316

523 2345 +-+++- xxxxx

Multiplicación de Polinomios

a) Monomio por Polinomio:

Este caso se presenta con mucha frecuencia y se resuelve utilizando la propiedaddistributiva de la multiplicación. El grado del polinomio resultante de la multiplicación de unmonomio por un polinomio, es igual a la suma de los grados de ambos.

Se multiplicanlos signos

63

Ej. 16 Multiplique ( )32x por ( )224 24 -+- xxx

Solución:

El grado del monomio es 3 y el grado del polinomio es 4, por lo tanto el grado del polinomioresultante es 7. Veamos a continuación el producto:

( ) ( )2242 243 -+-× xxxx

Se multiplica 32x por cada uno de los términos del polinomio.

= )2)(2())(2()2)(2()4)(2( 332343 -++-+ xxxxxxx

En cada término multiplicamos los coeficientes y multiplicamos las variables

= 332343 ))2(2())(12()))(2(2())(42( xxxxxxx -×+××+×-×+××

= 3132343 4248 xxxx -+- +++

Respuesta: 3457 4248 xxxx -+-

Ej. 17 Multiplique ( )24xy por ( )332 32 xyxyxy ++-

Solución:

( ) ( )3322 324 xyxyxyxy ++-×

Ordenamos el polinomio considerando la variable y

( ) ( )3232 234 xxyxyyxy ++-×

Aplicamos el mismo procedimiento del ejemplo anterior, se multiplica 24xy por cada uno delos términos del polinomio

( ) ))(4()2)(4()3)(4)(4( 3222322 xxyxyxyxyyxyxy ++-+

En cada término multiplicamos los coeficientes y multiplicamos las variables

2322232 ))(4())()(4())())(2(4())()(34( yxxyyxxyyxxyyx ×+××+××-×+××

En este caso el grado del polinomio resultante será “5”, debido a que existe un factor dondela variable y tiene exponente 5.

Respuesta: 2432425 44812 yxyxyxxy ++-

NOTA:

Cuando un polinomio tiene dos variables se debe considerar una de las dos, tanto para

ordenar el polinomio, como para determinar su grado.

64

b) Polinomio por Polinomio:

Puede resolverse utilizando la propiedad distributiva o pueden colocarse un polinomio bajo elotro y realizar una multiplicación en forma vertical.

El grado del polinomio resultante de la multiplicación de dos polinomios es la suma de losgrados de cada polinomio. Veamos a continuación como resolvemos el producto de dospolinomios:

Ej. 18 : Dados los polinomios 234)( 2 -+= xxxP y 52)( += xxQ , hallar )()( xQxP × .

Solución:

El grado del polinomio )(xP es 2 y el grado del polinomio )(xQ es 1, por lo que el grado delpolinomio resultante es 3. Ambos polinomios están ordenados en forma descendente.

Para multiplicar ambos polinomios vamos a colocarlos uno bajo el otro, preferiblemente el demayor número de términos arriba y el de menor cantidad de términos debajo. Si lospolinomios no están ordenados, deben ordenarse preferiblemente en forma descendente.

234 2 -+ xx ´

52 +x

( ) ( )2342 2 -+× xxx

( ) ( )2345 2 -+× xxY nos queda:

234 2 -+ xx52 +x

xxx 468 23 -+

+ 101520 2 -+ xx1011268 23 -++ xxx

De esta forma se pueden sumar directamente los términos semejantes, siempre y cuandoestén ambos polinomios ordenados en la misma forma (descendente o ascendente).

Note que el grado ( 3 ) del polinomio resultante de la multiplicación es la suma de los gradosde los polinomios (2 + 1) .

Respuesta: 1011268)()( 23 -++=´ xxxxQxP

)234(2 2 -+ xxx

Multiplicamos cada términodel polinomio de abajo portodos y cada uno de lostérminos del polinomio dearriba.

)234(5 2 -+ xx

65

Ej. 19 Sean 438)( 2 +-= xxxP y 1545)( 23 +-+= xxxxQ . Hallar )()( xQxP × .

Solución:

=× )()( xQxP )1545()438( 232 +-+×+- xxxxx

Multiplicamos cada término del polinomio )(xP por cada uno de los términos del polinomio)(xQ .

=× )()( xQxP +×+-×+×+× )1()8()5()8()4()8()5()8( 222232 xxxxxxx+×-+-×-+×-+×- )1()3()5()3()4()3()5()3( 23 xxxxxxx

)1(4)5(4)4(4)5(4 23 ×+-×+×+× xxx

Multiplicamos los coeficientes y multiplicamos las variables y nos queda:

=× )()( xQxP ++××-××+×× ))(8()()58()()48()()58( 222232 xxxxxxx

+-××+××-××- )3()()53()()43()()53( 23 xxxxxxx

4544454 23 +××-××+×× xxx

Ahora multiplicamos los coeficientes y aplicamos las propiedades de la potenciación, y nosqueda:

32342345 2031512158403240)()( xxxxxxxxxxQxP +-+--+-+=×

42016 2 +-+ xx

Agrupamos los términos semejantes

4)203()16158()201240()1532(40)()( 2345 +--+++++--+-+=× xxxxxxQxP42339321740)()( 2345 +-+-+=× xxxxxxQxP

Respuesta: 42339321740)()( 2345 +-+-+=× xxxxxxQxP

Ej. 20 Dados los polinomios562

35

32)( 234 ++-= xxxxP y

61

27

76)( 3 -+= xxxQ , hallar:

)()( xQxP × .

Solución:

=× )()( xQxP ×÷øö

çèæ ++-

562

35

32 234 xxx ÷

øö

çèæ -+

61

27

76 3 xx

Multiplicamos cada término del polinomio )(xP por cada uno de los términos de )(xQ

=× )()( xQxP +÷øö

çèæ-×÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ×÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ×÷

øö

çèæ

61

32

27

32

76

32 4434 xxxxx

66

÷øö

çèæ-×÷

øö

çèæ-+÷

øö

çèæ×÷

øö

çèæ-+÷

øö

çèæ×÷

øö

çèæ-

61

35

27

35

76

35 3333 xxxxx +

( ) ( ) ÷øö

çèæ-×+÷

øö

çèæ×+÷

øö

çèæ×

612

272

76)2( 2232 xxxxx

+ ÷øö

çèæ-×÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ×÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ×÷

øö

çèæ

61

56

27

56

76

56 3 xx

Multiplicamos los coeficientes y multiplicamos las variables y nos queda:

=× )()( xQxP ( ) ( ) 4434

61

32

27

32

76

32 xxxxx ×÷

øö

çèæ ×-××÷

øö

çèæ ×+××÷

øö

çèæ ×

- ( ) ( ) 3333

61

35

27

35

76

35 xxxxx ×÷

øö

çèæ ×+××÷

øö

çèæ ×-××÷

øö

çèæ ×

+ ( ) ( ) 2232

612

272

762 xxxxx ×÷

øö

çèæ ×-××÷

øö

çèæ ×+××÷

øö

çèæ ×

+ ×÷øö

çèæ ×-×÷

øö

çèæ ×+×÷

øö

çèæ ×

61

56

27

56

76

56 3 xx

Ahora multiplicamos las fracciones, además, aplicaremos las propiedades de la potenciacióny nos queda:

=× )()( xQxP +-+++--×-×+× 235346457

62

214

712

185

635

2130

93

614

2112 xxxxxxxxx

×-×+×+306

1042

3536 3 xx

Simplificando las fracciones:

=× )()( xQxP +-+++--×-×+× 235346457

317

712

185

635

710

91

37

74 xxxxxxxxx

×-×+×+51

521

3536 3 xx

Agrupamos los términos semejantes:

67

51

521

31

35367

185

635

91

712

37

710

74)()(

2

34567

-+×+

+×÷øö

çèæ +++×÷

øö

çèæ --+×÷

øö

çèæ ++-×=×

xx

xxxxxxQxP

Resolviendo las fracciones, nos queda que:

Respuesta:

51

521

31

630845.5

18107

2185

710

74)()( 234567 -+++-+-×=× xxxxxxxxQxP

División de Polinomios

Para realizar esta operación, el polinomio dividendo debe ser de grado mayor o igual algrado del polinomio divisor. Al igual que en una división de números reales, los elementosque componen una división entre polinomios son: Dividendo, Divisor, Cociente y Residuo. Siel Residuo es cero la división se clasifica como exacta.

Por ejemplo, dividir el polinomio )(xP entre el polinomio )(xQ , )()( xQxP ¸ , el dividendoes )(xP , el divisor es )(xQ y el cociente )(xC . Además, )(xP se define como aquelpolinomio que cumple con la siguiente relación:

)()()()( xRxCxQxP +´= ; donde )(xR es el residuo.

Veamos a continuación cómo hacer la división entre dos polinomios:

a) Polinomio dividido entre monomio:

Ej. 21 Sea 2345 2)(seay41012)( xxQxxxxP =+-= . Hallar )()( xQxP ¸ .

Solución:

==¸)()()()(

xQxPxQxP 2

345

241012

xxxx +-

Cuando el denominador es un monomio, se separa la fracción original en tres fraccionescon igual denominador, y obtenemos:

2

3

2

4

2

5

24

210

212

xx

xx

xx

+-=

Dividiendo los coeficientes:

62

12= ; 5

210

= ; 624=

Dividiendo las potencias:

;32

5

xxx

= ;22

4

xxx

= xxx

=2

3

68

Luego simplificamos, tanto los coeficientes, como las variables:

Respuesta: )()( xQxP ¸ = 256 23 +- xx

Ej. 22 Sea xxxxP 936)( 24 +-= y sea 23)( xxQ = . Hallar )()( xQxP ¸ .

Solución:

==¸)()()()(

xQxPxQxP 22

2

2

4

2

24

39

33

36

3936

xx

xx

xx

xxxx

+-=+-

Simplificando, tenemos:x

x 312 2 +-=

Respuesta: =¸ )()( xQxPx

x 312 2 +- 12 312 -+-= xx .

b) Polinomio dividido entre Polinomio:

El procedimiento que usaremos para resolver la división entre polinomio, será descrito en elsiguiente ejemplo:

Ej. 23 Hallar12

364 235

--+-

xxxxx

Solución:

El dividendo es xxxx 364 235 -+- y el divisor es 12 -x . Tanto el dividendo como eldivisor tienen que estar completos y ordenados en forma descendente; si ello no es así,entonces éstos deben ordenarse y/o completarse, antes de comenzar la división.

NOTA:

Observe que el resultado de la división no es un polinomio, ya que el exponente del último

término es negativo. Cuando dividimos en general un polinomio entre otro polinomio o un

monomio, el resultado no siempre es un polinomio. Si observamos en el ejemplo 22, el

exponente del término de menor potencia (9x) es menor que el grado del divisor (3x2). Sin

embargo, aun cuando no es polinomio sí es una expresión algebraica.

69

Escribimos el ejercicio de la siguiente forma, completando con el coeficiente CERO lostérminos que faltan, como es en este caso: 4x y el término independiente. Procedemos aresolver:

3.-Sumamos verticalmente y “bajamos” los términos restantes para proceder de la misma

manera y así lograr obtener un “Residuo parcial ”.

Respuesta:12

364 235

--+-

xxxxx

= xxx 32 34 ++

Ej. 24 Dados 6946)( 245 +--= xxxxP y 23)( -= xxQ . Hallar )()( xQxP ¸ .

4.- Dividimos el término 42x del residuo parcial entre x2 así ÷÷ø

öççè

æ= 3

4

22 x

xx

5.- Repetimos el proceso hasta que el grado del residuo parcial sea menor que el grado

del divisor. Observe que ésta es una división exacta.

03604 2345 +-+-+ xxxxx 12 -x45 24 xx +- xxx 32 34 ++

xxxx 362 234 -+-342 xx +-

xx 36 2 -

xx 36 2 +- 0

03604 2345 +-+-+ xxxxx 12 -x45 24 xx +- 42x

1.- Dividimos 54x entre 2xusando el procedimiento de losejercicios anteriores

45

224 x

xx

=

2.-Multiplicamos 42x por )12( -x y locolocamos bajo el dividendo, cambiandoel signo del resultado:

454 24)12(2 xxxx -=-×

Residuo Parcial

Residuo

70

Solución:

236946

)()(

)()(245

-+--

==¸x

xxxxQxPxQxP

Para los pasos comentados de la solución refiérase al ejemplo anterior.

2

4666

6969

23246

236946

2

2

445

245

-++-

-

+-

--+-

-+--

xx

xxx

xxxx

xxxx

Como)()()(

)()()()(

xQxRxC

xQxPxQxP +==¸ y el residuo es diferente de cero, entonces

232)232(

236946

)()(

)()( 4245

-+--=

-+--

==¸x

xxx

xxxxQxPxQxP

Respuesta:23

2)232()()( 4

-+--=¸

xxxxQxP

Operaciones con Expresiones Racionales:

Adición de Expresiones Racionales

Para la adición o suma de este tipo de expresiones, es conveniente seguir el procedimientoindicado:

· Simplificar las fracciones dadas, si es posible.· Si las expresiones tienen distintos denominadores:

a) Reducirlas al mínimo común denominador, si es posible.b) Efectuar las multiplicaciones indicadas.c) Sumar los numeradores de las fracciones que resulten, agrupando términos

semejantes y manteniendo el denominador común.d) Simplificar la fracción que resulte, si es posible.

Residuo )(xR

Cociente: )(xC

71

· Si las expresiones tienen el mismo denominador, seguir las instrucciones a partir delliteral “c”, del paso anterior.

Ej. 25 Dadas las expresiones 2

4m

y 25

m, hallar : 22

54mm

+

Observa que los denominadores son iguales, por lo tanto, procedemos desde el paso “c”,sumamos los numeradores y se mantiene el denominador.

2222

95454mmmm

=+

=+

Respuesta: 222

954mmm

=+

Ej. 26 Hallar :a

aa 6

22

32

-+

Como los denominadores son distintos, procedemos a calcular el m.c.m entre 22a y a6que es 26a , luego se divide el m.c.m. entre cada denominador y el resultado se multiplicapor el numerador correspondiente.

aaaaa =¸=¸ 66326 222

aa

a 62

23

2

-+ =

( ) ( )2

2

222 62

69

62

633

aaa

aaaa

a-

+=×-

+×

Sumar los numeradores de las fracciones que resulten y ordenando:

2

2

2

2

692

629

aaa

aaa +-=

-+

Respuesta: 2

2

2 692

62

23

aaa

aa

a+-

=-

+

Ej. 27 Dadas las expresiones2

5+x

y34

--

xx

, hallar :34

25

--

++ x

xx

.

72

Observa que los denominadores son distintos.

34

25

--

++ x

xx

Calculamos el mínimo común múltiplo (mcm) entre los denominadores,

mcm ( ) ( )[ ] ( ) ( )323,2 -×+=-+ xxxx

se divide éste entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador:

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )32

2432

35-×++×-

+-×+

-×=

xxxx

xxx

Aplicando propiedad distributiva: ( ) ( ) ( ) ( )32842

32155 2

-×+--+

+-×+

-=

xxxxx

xxx

Finalmente, sumamos los numeradores de las fracciones que resulten, agrupando términossemejantes y manteniendo el denominador común.

( ) ( ) ( ) ( )32812

32842155 22

-×+--

=-×+

--++-=

xxxx

xxxxxxx

Respuesta:34

25

--

++ x

xx

= ( ) ( )328122

-×+--

xxxx

Sustracción de Expresiones Racionales

Se sigue un procedimiento semejante a la adición o suma de expresiones racionales, peroesta vez, considerando el signo negativo que precede al sustraendo.

Ej. 28 Dadas las expresionesa23

y 262

aa -

, hallar : 262

23

aa

a-

-

( ) ( ) 32

32-=

+-×+ x

xxx ( ) ( ) 2

332

+=+

-×+ xx

xx

73

Como los denominadores son distintos, reducimos al mínimo común denominador, luego sedivide éste entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numeradorcorrespondiente.

262

23

aa

a-

- =( )

2222 62

69

62

633

aa

aa

aa

aa -

-=-

-×

Sumar los numeradores de las fracciones que resulten, agrupando términos semejantes ymanteniendo el denominador común. Recuerde que el signo menos afectan los signos de losdos términos de la expresión 2-a .

22 628

629

aa

aaa -

=+-

Respuesta: 22 628

62

23

aa

aa

a-

=-

-

Multiplicación de Expresiones Racionales

La multiplicación de expresiones racionales pueden ser sencillas o complejas dependiendode las operaciones que éstas involucren, tales como: factorización, productos notables,simplificación y/o racionalización. En algunos casos, debes utilizar uno o más de estosprocedimientos en el mismo ejercicio. En esta oportunidad trataremos la multiplicación deexpresiones racionales sencillas y aquellas que impliquen factorización y/o productosnotables, podrán tratarse con mayor destreza en el curso Fundamentos de Matemática,que verás durante el primer semestre.

En general, las reglas para multiplicar expresiones racionales son en este orden:

· Se simplifica, suprimiendo los factores comunes entre los numeradores ydenominadores.

· Se multiplican entre sí las expresiones que quedan en los numeradores, y se multiplicanentre si las expresiones que quedan en los denominadores.

Ej. 29 Dadas las expresiones 332ba

,x

b43 2

y 2

2

2ax

, hallar : 2

22

3 243

32

ax

xb

ba

××

Simplificamos los factores comunes entre el numerador y el denominador:

74

= 2

22

3 243

32

ax

xb

ba

×× =ax

bax

xbax

xb

b 243

32

243

32

243

32 222

3 ××=××=××

Se multiplican entre sí las expresiones que quedan en los numeradores, y se multiplican

entre sí las expresiones que quedan en los denominadores.

=bax

ax

b 126

43

32

=×× simplificando el21

126=

Respuesta: 2

22

3 243

32

ax

xb

ba

×× =bax

2

Divisiones de Expresiones Racionales

Existen, por lo menos, dos procedimientos para dividir expresiones racionales:

Primer procedimiento Multiplicando el dividendo por el inverso divisor

Ej. 30 Dadas las expresiones 2

2

34ba

y 392bax

hallar : 32

2

92

34

bax

ba

¸

Determinamos el inverso del divisor:axb

bax

29

92 3

3 =

Expresamos la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor

axb

ba

bax

ba

29

34

92

34 3

2

2

32

2

×=¸

Resolvemos aplicando el procedimiento para multiplicar expresiones racionales

2

323

2

2

636

29

34

axbba

axb

ba

=×= y finalmente simplificamos:

xab

xbab

axbba

axbba 666

636

2

3

2

32

2

32

===

75

Respuesta:xab

bax

ba 6

92

34

32

2

=¸

Segundo procedimiento: Multiplicando en cruz:

Aplicamos este método para resolver el ejemplo anterior

Ej. 31 Dadas las expresiones 2

2

34ba

y 392bax

. Hallar 32

2

92

34

bax

ba

¸

Multiplicamos cada numerador por los denominadores de la otra fracción:

xab

axbba

axbba

bax

ba 6

636

2394

92

34

2

32

2

32

32

2

==××

=¸

Ejercicios propuestos:

1. Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas, para los valoresdados:

a) 22 2 yxyx ++ para 2=x , 3=y

b) 22 2 y

xxyx

+-

para 5=x , 3=y

c) yxx 23 3- para 13=x , 3=y

2. Para cada una de las siguientes expresiones agrupe los términos semejantes:

a) [ ] }{ )2(2)33(5 cbacbcaba ---+----

b) [ ])2(2)33(5 22222 cmcxcmccxmc ---+---

3. Dados los polinomios, P, Q, R y S:

P( x )= 2

3

23

xxx -

; Q( x )=52

3-x

;

R( x )=x

x3

2 -; S( x )= 3

8x

Hallar:

a) P( x )+Q( x ) b) P( x )-Q( x )+R( x ) c) Q( x )-R( x )+S( x )

76

4. Para )(aP = 2373 22 -+- baba , )(aQ = 2222 356 bbaababa -++-

)(aR = ( )2222 235 baabba --+ , )(aS = abab 47 22 +- .

Hallar:

a) )()( aPaQ + b) )()()( aQaPaR -+ c) )()()( aSaRaQ +-

5. Dados los polinomios, P y Q , hallar el producto QP × :

a) )( xP =yx

yxyx-++ 22

; )( xQ =y

yx2

2 -

b) )(aP = 253 +- aa ; )(aQ = 52 +- aa

c) )(mP = 6

24

335

mmm -

; )(mQ =32

7+mm

d) )( xP = yxxyyx 2233 12698 -+- )( xQ = yx 32 +

6. Dados los polinomios, P y Q , hallar la división QP ¸ y determinar en cada uno de loscasos cual es el cociente y cual es el residuo:

a) )( xP = 4171325 234 ++-- xxxx ; )( xQ = 132 ++ xx

b) )( xP = 3

2

1915

axm

; )( xQ = 43

2

3820

xay

c) )( xP =xx

xx62 2

3

+-

)( xQ =6255 2

+-

xxx

d) )( xP = 88 1616 yx - )( xQ = 22 22 yx +

e) )( xP = 4322345 326410213 xyyxyxyxx +++- ; )( xQ = 223 45 xyyxx --

77

LECTURA N° 8: PLANTEAMIENTOS DEPROBLEMAS

Una de las dificultades enfrentadas por los estudiantes en la cátedra de matemáticas, radicaen ser capaces de traducir un enunciado a relaciones y ecuaciones matemáticas. Sinembargo, es importante adquirir destrezas en este tópico, ya que la mayoría de las materiasrequieren resolver ejercicios donde la solución se obtiene mediante relaciones matemáticas.Las relaciones y ecuaciones matemáticas se expresan a través de ExpresionesAlgebraicas. A continuación veremos algunas sugerencias que sirven de guía para ayudartea resolver este tipo de problemas:

1º. Lee cuidadosamente el enunciado del problema.

2º. Vuelve a leer el enunciado, tantas veces sea necesario, hasta comprenderperfectamente los datos que ofrece el problema y lo que te piden encontrar.

3º. Cuando sea necesario, acostúmbrate a realizar un bosquejo de la situación planteada,en forma gráfica o en un planteamiento inicial.

4º. Identifica con variables (letras) los datos o interrogantes del problema.

5º. Obtén los datos del enunciado y relaciónalos matemáticamente mediante ecuaciones ofórmulas. Algunos datos o fórmulas no se dan en forma explícita en los problemas, sesupone que debes conocerlas. Ej.: área, volumen, velocidad, aceleración gravitacional,entre otras.

Esta secuencia de pasos nos sirve para llegar hasta el planteamiento del problema, sinresolverlo. Es objetivo de este tema, llevarnos hasta la identificación de las relaciones yecuaciones matemáticas que vendrán representadas por la expresión algebraicacorrespondiente.

Presta atención a los siguientes ejercicios, analízalos y resuélvelos. Recuerda que lapráctica es el arma que te dará la destreza necesaria para dominar cualquier tema enmatemáticas, incluyendo éste.

A continuación te presentamos algunos ejemplos:

Material recopilado con fines instruccionales por:

Gómez, T., González, N., Lorenzo, J., (2007) Planteamientode Problemas. Artículo no publicado. Caracas.

78

Ej. 32 Escribe las expresiones algebraicas, que representan el siguiente planteamiento: “La

suma de tres números es 93. El segundo es 9 unidades mayor que el menor y 9

unidades menor que el mayor. Encuentre los números”.

Solución:

Pasos 1 y 2: Lee bien y con precaución el enunciado, pues al hacerlo muy rápido puedesconfundirte con los términos empleados. Evita considerar el ejercicio como un juego depalabras o trabalenguas; lee poco a poco hasta comprender lo que se te pide y lo que se teproporciona.

En este caso, el paso 3 no es necesario.

Paso 4: Vamos a asignarle letras a cada uno de los datos del problema:

Número menor = x

2do número = y

Número mayor = z

A estas letras las llamamos variables.

Paso 5. Separamos las diferentes proposiciones presentes en el problema, y losrelacionamos matemáticamente:

a) La suma de los tres (3) números es 93, es decir:

93=++ zyx

b) El 2do número es 9 unidades mayor que el menor, es decir,

9+= xy

c) También el segundo número es 9 unidades menor que el mayo, es decir:

9-= zy

Finalmente tenemos tres (3) expresiones algebraicas:

9993

-=+==++

zyxy

zyx

Ej. 33 Escribe las expresiones algebraicas, que representan el siguiente planteamiento:“Hallar dos números reales tales que la suma de los mismos es 14 y su producto es45”.

Expresión algebraica 1

Expresión algebraica 2

Expresión algebraica 3

79

Solución:Definiremos nuestras variables como:

x = 1er. númeroy = 2do. número

Tenemos que de acuerdo al enunciado, la suma de los dos números es 14, es decir:14=+ yx

y además, que el producto de los mismos es 4545=× yx

En el siguiente ejemplo se utilizarán las operaciones sobre expresiones algebraicas pararesolver un problema sencillo aplicado al área de economía.

Ej. 34 Suponte, que la ecuación de la demanda para un producto de una empresa viene

dada por: qp 2400 -= y que la función costo promedio es ÷÷ø

öççè

æ++=

qqc 40042,0 ,

donde q es el número de unidades y p y c se expresan en bolívares fuertes.

Encuentra la expresión algebraica que determina la ganancia o utilidad de un

producto en función del número de unidades q , sabiendo que el ingreso total es

qpr ×= , el costo total es cqc ×= y la ganancia es crP -= .

Solución:

Observa que no es necesario definir las incógnitas, el planteamiento ya las indica.

Se calcula r

qpr ×=

( ) qqr ×-= 2400

22400 qqr -=

Se calcula c

cqc ×=

úû

ùêë

é÷÷ø

öççè

æ++×=

qqqc 40042,0

40042,0 2 ++= qqc

Expresión algebraica 1

Expresión algebraica 2

Se sustituye p

Se aplica propiedad distributiva

Se sustituye c

Se aplica propiedad distributiva

80

Se calcula P

crP -=

( ) ( )40042,02400 22 ++--= qqqqP

4002,2396 2 --= qqP

Respuesta: La función para la ganancia viene dada por: 4002,2396 2 --= qqP

La siguiente tabla contiene algunos ejemplos de expresiones verbales y la manera de

traducirlas en algebraicas:

EXPRESÓN VERBAL EXPRESIÓN ALGEBRAICALa suma de un número con tres 3+xCinco más que un número x+5Quince sumado a un número 15+xUn número incrementado en cuatro 4+xLa suma de dos números yx +La edad después de cinco años 5+xLa edad hace cinco años 5-xTres menos que un número 3-xCinco menos un número x-5La diferencia de dos números yx -Un número restado de cuatro x-4Cinco veces un número x5El doble de un número x2Un número multiplicado por tres x3Producto de dos números xyDos tercios de un número

x32

Número par x2Número impar 12 +xTres números enteros consecutivos 2,1, ++ xxxEl triple del inverso de un número

÷øö

çèæ

x13 siendo 0¹x

Un número dividido por cuatro4x

El cociente de seis y un númerox6

siendo 0¹x

El cociente o razón de dos númerosxy

siendo 0¹x

Se sustituye r y c

Se resuelve la resta deexpresiones algebraicas

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El cuadrado de un número 2xEl cuadrado de la suma de dos números ( )2yx +El cuadrado de la diferencia de dosnúmeros

( )2yx -

La suma de dos números elevados alcuadrado

22 yx +

La diferencia de dos números elevados alcuadrado

22 yx -

La mitad de un número2x

El cubo de la suma de dos números ( )3yx +El cubo de la diferencia de dos números ( )3yx -La suma de dos números elevados alcubo

33 yx +

La diferencia de dos números elevados alcubo

33 yx -

La suma de dos números paresconsecutivos

( ) ( )222 ++ xx

El cuadrado de la suma de dos númerospares consecutivos

( ) ( )[ ]2222 ++ xx

Ejercicios Propuestos:

1. Completa la siguiente la tabla, utilizando una sola incógnita:

Expresión escritaExpresiónAlgebraica

Un número entero menos la mitad de dicho número.

El doble de un número más dicho número.

El doble de un número más el cuadrado de dicho número,menos un tercio de la suma anterior.

Un quinto de un número entero, más la mitad de su cuadradodisminuido en 2.

2. Escribe los siguientes planteamientos como expresiones algebraicas:

a) Hallar dos números, tales que la suma del triple del menor y el doble del mayor sea 7;y el doble del menor aumentado en 4 unidades sea el triple del mayor.

b) En una función de cine, la entrada para adultos es de Bs.F.4 y para niños es de Bs.F.1 ,50. Si el cine vendió 253 boletos con una venta total de Bs.F. 557. ¿Cuántos adultosy cuantos niños asistieron a la función?

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c) La cancha de fútbol de un colegio tiene las siguientes dimensiones: a metros de largo yb metros de ancho. Calcula el área de la cancha.

d) Un televisor tiene una pantalla plana que mide a cm. por lado. ¿Cuál es el área de lapantalla?

3. Para el planteamiento dado en el ejercicio 32 responde:

a) Son iguales las expresiones xy =+ 9 y 9+= xy . Explica la respuesta.

b) La relación 9-= zy indica, que se debe cumplir que y es menor que z .

Si hubiésemos colocado la relación zy =- 9 , ¿en qué contradice al enunciado ?

c) ¿Cuál procedimiento deberías aplicar si quisieras comprobar que los valores de lasvariables establecidas en el ejercicio son x= 22, y = 31 y z = 40?.

4. Para el planteamiento dado en el ejercicio 33, verifica cuáles de los siguientes valoresde x, y cumple con las dos ecuaciones:

a) 9=x , 5=y b) 7=x , 7=y c) 5=x , 9=y d) 15=x , 3=y

5. Escriba la expresión algebraica que indica el área de cada una de las siguientes figuras,de acuerdo a sus dimensiones:

a) b) c)

6. Escribe las expresiones algebraicas que indican el área lateral, el área total y el volumende los siguientes cuerpos geométricos:

a) b)

7. Una revista tiene actualmente 2.000 suscriptores que pagan una cuota mensual deBsF. 20. Una encuesta reveló, que se tendrían 50 suscriptores más por cada BsF. 0,25de disminución de la cuota. Escribe la expresión racional que determina el ingreso, bajolas condiciones dadas. Sugerencia: considere a x como el número de disminuciones deBsF. 0,25 y el número de nuevos suscriptores a x50 .

a

2+a 3-m1-t

2+t

1-xx

x3xx

x4