SELECCIÒN DEL MÈTODO NUMERICO SIMULACIÒN.pptx

8/11/2019 SELECCIN DEL MTODO NUMERICO SIMULACIN.pptx

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CAP. III

DISEO DEL MODELO

YSELECCIN DEL METODO NUMRICO


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Tpicos de Diseo:

Seleccin del nmero dedimensiones espaciales.

Representacin de la roca reservorio

y de los fluidos, y Acoplamiento de los pozos y el

reservorio.

Enfoque de los desplazamientos deagua/petrleo, gas/petrleo ygas/agua.


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- Diseo del modelo para procesos

EOR (Enhanced Oil Recovery Recuperacin Mejorada delPetrleo).

- Incremento del costo del estudiopara obtener resultados msfiables con ms complejidad en laresolucin del problema.


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Factores influyentes en el Diseo del Modelo:

Tipo y complejidad del problema:Geometra del sistema,Heterogeneidad de la roca, Tipos de fluidos presentes y Tipo de vaciamiento (produccin).

Calidad de la respuesta para decisiones deadministracin del reservorio.


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Fundamentos Tericos

Permeabilidad: Caractersticainherente a la roca, expresa lahabilidad a dejar fluir un fluido atravs de los canales queconstituyen el volumen porosointerconectado.

Absoluta: Cuando existe unasola fase, la cual satura 100% elmedio poroso.Efectiva: Cuando existen en elmedio poroso ms de una fasefluyendo simultneamente.Relativa: Es la relacin entre laefectiva y la absoluta.

5

Granos Grandes Granos Diminutos

Granos Grandes Granos Pequeos


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6

Fundamentos TericosSaturacin

La fraccin del volumen de poros ocupado por agua,aceite o gas se denomina saturacin de fluido y sedefine por las siguientes ecuaciones.

100xVtp

VoSo

100xVtp

VwSw

100xVtp

VgSg

Saturacin de aceite

Saturacin de agua

Saturacin de gas

Grano de Arena

100% Agua 100% Petrleo

100% Gas Agua-Petrleo-Gas


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Fundamentos Tericos

Porosidad: Se refiere a la

medida del espaciointersticial (espacioexistente entre grano ygrano y se define como larelacin entre el volumenporoso y el volumen totalde la roca. Se denota conel smbolo .

Absoluta: Considera queel volumen total de losporos estn o nointerconectados.Efectiva: Solo consideralos poros interconectados.

7

Grano de Arena

100% Agua 100% Petrleo

100% Gas Agua-Petrleo-Gas


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Tiempo disponible para completarel estudio

Factores econmicos

Disponibilidad y calidad de losdatos.

Capacidad del simulador dereservorio y de las computadorasdisponibles.


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Lista de Control para el Diseo

del Modelo

Definir objetivos del estudio y problemas a ser

resueltos. Familiarizarse con todos los datos disponibles.

Anotar cualquier dato olvidado que sea esencialpara resolver el problema.

Seleccionar la configuracin del modelo (1D, 2D, o3D) y la dinmica de fluidos del reservorio).


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Seleccionar las dimensiones de los bloques-malla.

Seleccionar el modelo del fluido (PVT). Seleccionar el nmero de fases.

Definir las condiciones iniciales

Definir el tratamiento de pozos.

Definir las capacidades necesarias en las rutinas deadministracin de pozos.

Definir si se necesita modelo de petrleo negro,composicional, miscible o termal.

Seleccionar el simulador. Disear modelos auxiliares para proporcionar la

entrada al modelo primario.


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Seleccin del Nmero de Dimensiones

En el diseo de un modelo: Decidir el nmero de dimensiones espaciales en

funcin de geometra del sistema fsico,considerando:

- Geometras externas

Lmites del campo o acufero)

- Geometras internas:

Tope y fondo del reservorio o acufero, y fallas.


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Tipos de Modelos.

En orden creciente de costo, dificultad y tiemporequerido:

1. Modelos de tanque (cero dimensiones)

2. Modelos 1D3. Modelos 2D areal (x, y; r, ; curvilnea)

4. Modelos 2D transversales (x, z) o radial (r, z)

5. Modelos multicapa (acumulacin de 2D areal)

6. Modelos 3D


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Modelo de Tanque es til para: Respuestas rpidas

Determinar el comportamiento de la

presin promedio del reservorio (operacin, inversin).

Para gradientes de presin pequeoso insignificantes en el reservorio


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Modelos 1D

Poco usado para estudios de reservorios a nivel decampo:

No modelan el barrido areal y vertical

No pueden calcular eficiencias de desplazamiento y

representar efectos de la gravedad, perpendicular ala direccin de flujo.

Pero:

Pueden usarse efectivamente para investigar lasensitividaddel rendimiento del reservorio (movilidad,

permeabilidad, etc.).


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Modelos 2D Areales.

Usados en: Estudios de reservorios (flujo areal dominante en el

rendimiento del reservorio). Estudios completos de todo el reservorio:

Proyecciones de caudales (petrleo, gas y agua) Ubicacin de pozos, distribucin de inyeccin, Retiro de produccin y Instalacin de elevacin artificial o para modificacin

de facilidades de superficie. Para estimar la recuperacin final Determinar objetivos (arenas productoras) de

produccin y Estrategias de operacin en recuperacin final.


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Fig.3.1Sistemas de Coordenadas Modelo Areal: (a) Cartesiano, (b) radial, (c) curvilneo

Los modelos arealesusan:

Coordenadascartesianas (x,y)(Fig.3.1a)

Radial (r,)(Fig. 3.1b) Curvilnea (Fig.3.1c).

Los sistemas radial ycurvilnea

proporcionan:Mejor definicin cerca

de los pozos, que losmodelos areales x-y.


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Modelos 2D de Corte Transversal y Radiales

Son usados para:

Simular inyeccin deagua perifrica, de gaspor la cspide.

Evaluar elcomportamiento delpozo cuando losefectos verticalesdominan elrendimiento (ejm.

conificacin de gas oagua).

a. Areal

b. Radial

c. Curvilneo


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a) Modelos de Corte Transversal, usado

para:

Evaluar la interaccin de la gravedad, capilaridad,fuerzas viscosas y el efecto del barrido vertical.

Determinar las permeabilidades efectivas verticalesen un sistema anisotrpico.


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b) Modelos 2D radiales (r, z) pueden:

Representar flujo convergente o divergente en unaregin radialmente simtrica de un reservorio.

Utilizarse en estudios del comportamiento de pozosen reservorios de: Empuje hidrulico de fondo, Empuje de casquete de gas o que tienen una

columna delgada de petrleo solapada por gas y pordebajo agua.

La aplicacin importante de ambos modelos (corte

transversal y radiales) , es para la evaluacin de: El efecto de caudal de produccin en el rendimiento

del reservorio y

La recuperacin final.


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Modelos Radiales


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Modelos Multicapa

1. Cada uno de los reservorios que conforman uncampo, pueden ser modelados en un estudioseparado.

2. Si la produccin de un reservorio influye en la de otro,

ambos reservorios pueden representarse en un modelosimple cuando:- La produccin o inyeccin se mezcla en los pozos

- Los reservorios estn en contacto con un acufero comn

- Lneas principales separadores u otras facilidades comunes

hacen necesario tratar varios reservorios con el mismo plande administracin del pozo.

- El caudal total fijo para varios reservorios, hace necesariousar un solo programa de administracin de pozos.


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Determinacin del Caudal

Para definir caudal de produccine inyeccin por pozo y zona:

El plan de manejo de pozos en

modelos 2D o 3D debe sercapaz de:

Manejar la interaccin entrereservorios, pozos, y facilidadesde superficie.


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Cundo usar modelo 3D?

Si ocurriera un flujocruzado directamenteentre los reservorios, enel acufero a los pozos.

Cundo usar simulador2D?

Cada reservorio serepresenta como unaregin del modelo, sinflujo permitido entreregiones (Fig.3.2).

Fig.3.2 Modelaje de Reservorio

Multicapa:

(a) con modelo 3D, y

(b) con modelo 2D


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Caracterizacin, Evaluacin y Gestin de Reservorios


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Modelos 3D. Usado si: Geometra del reservorio es demasiado compleja.

Reservorios con barreras de flujo continuas sobrereas grandes, con ventanaspermeables dondehaya flujo cruzado (ver fig. 3.3-ventana).

La mecnica de fluidos del reservorio puede ser tancompleja que su representacin 2D es difcil deanalizar. Ej. Reservorios en etapas avanzadas devaciamiento.


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Fig. 3.3Modelos de ventana:

(a) Modelo de malla gruesa del acufero y el reservorio, y

(b) Modelo de malla fina del rea de la ventana


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El desplazamiento puede estar dominado por flujovertical cerca de los pozos donde puede ocurrirtanto cuspidificacincomo conificacin.

Desventaja

Tamao difcil de manejar tantos bloques-mallaque produce resultados tardos para tomar e influiren decisiones.


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Modelos de Ventana

Combina una malla

gruesa de reaextendida y una mallafina localizada:

El modelo de malla-gruesa (acufero +

reservorio de petrleo),simula elcomportamientocompleto del campo.

El modelo de malla fina

simulacomportamiento de lazona de petrleo.


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Reservorios Naturalmente FracturadoFracturas creadas por la madre naturaleza:

Deformacin estructural asociada con fallamientos yplegamientos;

Erosin de la carga litosttica que permite expansin,levantamiento y fracturamiento de las capas;

Reduccin en volumen de la roca.

Pueden tener efectos positivos, negativos o neutralesen el flujo de fluidos dentro del reservorio.

- Efecto positivo al maximizar el flujo de petrleo.

- Efecto negativo, al acelerar la conificacin de gaso agua.


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Orientacin, ancho y espaciado de las fracturas,describen el sistema y define la configuracingeomtrica de bloques.

Las propiedades (porosidad, permeabilidad ysaturacin) de bloques individuales deben definirsecomo para reservorios no fracturados.

La matriz, contiene la mayor parte del petrleo ogas, porque:

El Volumen Poral (Vp) de la fractura (de 0.1 a 1.0% delVP)


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Tres tipos de modelos para

Reservorios NaturalmenteFracturados:

Simulador Convencional conPermeabilidad Anisotrpica

Modelos Fuente-SumideroModelos de Doble Porosidad


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Simulador Convencional con Permeabilidad

Anisotrpica La matriz y fracturas son consideradas como un

sistema.

El bloque malla tiene porosidad igual a la

porosidad total de la matriz y la fractura. La permeabilidad anisotrpica, representa en el

modelo la permeabilidad efectiva Ke del sistemafractura-matriz normal y paralelo la fractura

principal.


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Fundamentos Tericos

Permeabilidad: Caracterstica

inherente a la roca, expresa lahabilidad a dejar fluir un fluido atravs de los canales queconstituyen el volumen porosointerconectado.

Absoluta: Cuando existe unasola fase, la cual satura 100% elmedio poroso.Efectiva: Cuando existen en elmedio poroso ms de una fase

fluyendo simultneamente.Relativa: Es la relacin entre laefectiva y la absoluta.

34

Granos Grandes Granos Diminutos

Granos Grandes Granos Pequeos

kv

kh


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Permeabilidad

Caracterizacin, Evaluacin y Gestin de Reservorios


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Modelo de Doble PorosidadI

Modelo simplificado del yacimiento apoyado en la EBM. La matrz y las fracturas, consideradas depsitos independientes

conectados. La matriz aporta fluido al sistema de fracturas, y stas conducen

el fluido que ser producido en superficie.Con esta EBM es posible calcular el petrleo gas inicial existente

en cada medio poroso como incgnitas independientes en unsistema inicialmente subsaturado.

Vom

Vgf

Vof

Vgm

Vom

Vgf

Vof Vgs

Np

Gp

Sistema Matriz

Sistema de Fracturas


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Simulacin Multifase.Debe aplicarse para evaluar desplazamientos de

agua-petrleo y gas-petrleo.

Si el desplazamiento agua-petrleo involucra:solucin de gas, expansin del casquete de gas, oinyeccin de gas, debera usarse simulacintrifsica.

Para sistemas de dos o tres fases, muchos problemaspueden ser resueltos por simuladores de petrleo

negro, que tratan las fases de hidrocarburos comosi tuvieran slo dos componentes.


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Estudios de Empuje-de-Gas-Disuelto,Expansin-de-Casquete-de-Gas o Inyeccin-de-Gas Cuando el Bo < 2, - simuladores de petrleo negro.

Cuando el Bo > 2, - utilizar simuladores de petrleonegro, pero tambin modelos composicionales para:

Estudios de reservorios de gas, cuya presin cae pordebajo de su punto de burbuja Pb durante ladeplecin.

Recuperaciones de petrleo por inyeccin de gas

seco, particularmente en reservorios de petrleovoltil.


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Mecanismos de Empuje por Gas Disuelto

Petrleo(O)

Agua (W)

z

PRPwf

Pf

PwhP

s

Reservorios con empuje por gas disuelto

CARACTERISTICAS TENDENCIAS

1. Presin del reservorio Declina rpidamente2. GOR Primero baja, luego

sube y finalmente cae

3. Produccin de agua Ninguna

4. Comportamiento del pozo Requiere de bombeo

5. Recuperacin esperada 5 a 30 % del petrleo


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Mecanismos de Empuje por Gas Libre

Gas (G)

Petrleo(O)

Agua (W)

z

PRPwf

Pf

Pwh

Ps

Radio de

Migracin

(re)

Radio de

Pozo (rw)

Reservorios con empuje por gas libre (casquete de gas)


1. Presin del reservorio Cae lenta, perocontinuamente

2. GOR Sube continuamente

3. Produccin de agua Ausente o despreciable

4. Comportamiento del pozo Fluyen por mucho tiempo

5. Recuperacin esperada 20 a 40% del petrleo.


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Mecanismos por Segregacin Gravitacional

Petrleo(O)

Agua (W)

PRPwf

Pf

PwhP

s

Reservorios con empuje de agua


1. Presin del reservorio Contina alta2. GOR Contina baja

3. Produccin de agua Empieza temprano y se

Incrementa apreciablemente

4. Comportamiento del pozo Flujo de petrleo hasta

produccin excesiva de agua

5. Recuperacin esperada 35 a 75% del petrleo

ACUIFERA ACTIVA

Tiene a introducirse alreservorio.


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Mecanismos de Empuje Combinado

Gas (G)

Petrleo(O)

Agua (W)

PRPwf

Pf

Pwh

Ps

Radio de

Migracin

(re)

Radio de

Pozo (rw)

Reservorios con empuje por gas libre (casquete de gas)


1. Presin del reservorio Cae lentamente2. GOR Sube muy lentamente

3. Produccin de agua Despreciable

4. Comportamiento del pozo Fluyen por mucho tiempo

5. Recuperacin esperada 40 a 80% del petrleo.


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Propiedades Variables de Fluidos

Las propiedades de los fluidos ( , , , etc.) varanvertical y arealmente en algunos reservorios.

Los modelos composicionales, modelan propiedadesvariablesdel fluido.

o oB sR


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Representacin de la Roca Reservorio

La complejidad del flujo de fluido en un reservorioheterogneo, requiere simuladores para susestudios.

Modelos homogneos, usado slo si hay variacionesmenores(o nada) en permeabilidad o porosidad .

Modelos heterogneos, usados cuando hay mayoresvariaciones en permeabilidad y porosidad.


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Justificacin del uso de ModelosHeterogneos:

Variaciones de permeabilidad areal que puederestringir el drenaje areal disminuir el barrido delmaterial inyectado.

Zonas permeables discontinuas que afectan laeficiencia de barrido vertical

Fracturas naturales o fisuras que reducen larecuperacin de la roca matriz.


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Mtodos de Representacin de Pozos

El sistema de malla del modelo de reservorio debeser muy detallado para modelar el

comportamiento cerca de boca de pozo.

Las presiones y saturaciones en el bloque-malla ocolumnas de bloques de pozos, podran usarse

para calcular caudales de produccin o inyeccin,quepueden representar valores cerca a los realesde los pozos.


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Reservorio Discretizado en 2 D radial-cilndrico


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Las presiones calculadas Pben bloques-mallaque contienen pozos, pueden ser

corregidas a las presiones de la fase deformacin, es decir, Pwf , por las ecuacionesde Peaceman:

Pwf= presin de la formacin (Psi)

Pb = presin del bloque malla (Psi)

qt = caudal de produccin o inyeccin(Bbl/dia)

1.3...................

R

qPP t

bwf


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Donde:

k = permeabilidad (md)

h = espesor de la arena del reservorio (pies)

rw= radio del pozo (pies)x= longitud horizontal del bloque (pies)

2.3...................../2.0ln

00708.0

wrx

khR


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Simulacin de un Pozo HorizontalVolumen 3D del Volumen de Drenaje

.


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Seleccin del Mtodo de Solucin

Numrica.

El usuario puede:

Escoger y controlar mtodos en los simuladores,para resolver y formular ecuaciones de flujo

Controlar la facilidad de uso, exactitud y en algngrado, el costo de las simulaciones.


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Mtodos de Solucin

Conjunto de decisiones de formulacin y opcionesde solucin.

Formulacin de Ecuaciones

Refiere al tipo y estructura de las ecuaciones Cmo los problemas de flujo del reservorio son

expresados en ecuaciones.

Solucin de EcuacionesConjunto de soluciones, citadas en tabla 3.1 .


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Tabla 3.1Terminologa: Formulacin y Solucin de Ecuaciones

Tabla 3.1 Terminologa

Formulacin de la Ecuacin Solucin de la Ecuacin

Formulacin implcita Mtodos directos

Movilidad implcita

Mtodos iterativos

Fully implicit Mtodos explcitos

Semi-implicit Eliminacin de Gauss

Formulacin explcita

Solucionadores de banda

Ponderacin de movilidad Ordenamientos naturals

Implicit pressure, explicit saturation (IMPES)

Ordenamientos D4

Solucin secuencial

Diseccin anidada

Solucin simultnea Convergencia

Mtodos iterativos

Mtodos de relajamiento

Convergencia Sobre relajamiento sucesivo (SOR)

Sobre relajamiento sucesivo en lnea (LSOR)

Sobre relajamiento sucesivo en lnea corregido (LSORC)

ADI

Procedimiento fuertemente implcito (SIP) (Strongly Implicit Procedure)

Gradiente conjugada

Factorizacin anidada


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Formulacin de las EcuacionesLos objetivos son:

1) Desarrollar las ecuaciones tpicas de balance-de-materia que pueden usarse en un simulador,

2) Ecuacin de Presin en sistemas reales,

3) Ilustrar opciones de formulacin,

4) Explicar los conceptos de funciones explcitaseimplcitas.


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Ecuaciones de Balance de MateriaSi el sistema es incompresible, los caudales de

inyeccin/produccin son especificados.

El caudal de flujo total hacia y desde elbloque-malla es el mismopara todos los bloques.

Las condiciones de lmite de caudal-especificado,

son impuestos en los bloques-malla quecontienen pozos.

Los componentes de un balance de materiasimple de petrleo en uno de los bloques

interiores (bloque 2) pueden desarrollarse comosigue en Fig. 3.4.

tq


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58/90

Fig. 3.4 - Modelo de flujo de agua decuatro bloques-malla (c/referenciamalla 2)X X+X

X+2X

X

n = 2 n + 1 =

3t = n= t = n t =n

X+3 x

n = 1

La proporcin de flujo de petrleo hacia elbl 2


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bloque 2:

La proporcin de flujo de petrleo desde el

bloque 2:

La proporcin con la cual el petrleo se acumulaen el bloque es:

3.3.....................21

otin fqq

4.3.................32

otout fqq

5.3)......(32213221

ootototoutin ffqfqfqqq


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La proporcin de caudal con la cualcambia la saturacin de petrleo en el

bloque-malla 2 es:

Donde:Vp2 = VP (volumen poral) del bloque-

malla 2.qt = Proporcin de flujo total de todos los

fluidos,= Flujo fraccional de petrleo enlas

interfaces del bloque 1 y 2 y 2 y 3respectivamente.

6.3....).........(3221

22

oo

p

t

p

outin ffV

q

V

qq

3221 , oo ff


61/90

La decisin aguas arriba define:

y Flujos fraccionales de petrleo fo1y fo2,

evaluados en base a la saturacin delos bloques 1 y 2, respectivamente.

Ahora el balance de materia total llegaa ser:

7.3..............)( 212

22

1

oop

tn

o

n

o ffV

q

tSS

21o

f32o

f


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Ordenando la ecuacin 3.7.:

Donde:

= Longitud del intrvalo de tiempo= Saturacin de petrleo en el bloque-

malla 2 , al final del intrvalo de Tiempon+1 ( = n+1 = 3)

Porque t=3 inicial del bloque 3, es final delintervalo de tiempo t=2 en el bloque 2.

= Saturacin de petrleo en el

bloque- malla 2 , al comienzo

8.3....).........(21

2

22

1

oo

p

t

n

o

n

o ffVq

tSS

t1

2

noS

n

oS 2


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Los superndices en las saturaciones designan:

El nivel de tiempo al cual se evala la funcin

de satur acin. n es el ltimo intrvalo de tiempo ya tomado

(n=1),

n+1es el intrvalo de tiempo en consideracin

(en anlisis actual n = 2). El final de nes el comienzo de n+1.

Formulacin importante:

Evaluar fo1 y fo2 antes de calcular los valorespara los flujos fraccionales en las interfases.

Evaluar flujo-fraccional al inicio del intrvalo detiempo, es decir, a saturacin , es una

formulacin explcita.

1

2

noS


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En este caso, sera la nica desconocida en laecuacin y el cambio de saturacin durante el

intrvalo de tiempo sera calculado como:

Ec. 3.9 es funcin explcita, se decide evaluar flujosfraccionales a saturaciones que existen alcomienzo del intrvalo de tiempo.

1

2

noS

9.3...............)(21

2

22

1

no

n

o

p

tn

o

n

o ffV

qtSS


65/90

Si la decisin es evaluar flujo-fraccional asaturaciones al final del intrvalo detiempo, la ecuacin de balance de materiasera:

La ecuacin 3.10 es una formulacin implcita(fully implicit).

1

2

noS

10.3............)( 111

21

2

22

n

o

n

o

p

tn

o

n

o ffV

qtSS


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Usando el conocimiento de la funcin de

flujo-fraccional, an cuando su curva noes lineal, un mtodo comn es usar unaextrapolacin lineal:

Entonces, es posible escribir la ecuacinde balance-de-materia como:

)( 11 n

o

n

o

o

n

on

o

n

o SSdS

dfff

11.3...........)()()( 222

2

11

1

1

21

2

22

111

n

o

n

o

o

n

on

o

n

o

o

n

on

o

n

o

p

tn

o

n

o SSdS

df

SSdS

df

ffV

qtSS


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La ecuacin 3.11 es un tipo de formulacin

semi-implcita, debido a que involucrauna aproximacin en la evaluacin del flujofraccional fo, por extrapolacin de lassaturaciones al final del intrvalo de

tiempo.Se reordena la ec. 3.11 para cada bloque-

malla:

1noS

12.3.......).........()(1)( 212

22

2

2

2

11

1

1

2

11 n

o

n

o

p

tn

o

n

o

o

n

o

p

tn

o

n

o

o

n

o

p

t

ffV

tq

SSdS

df

V

tq

SSdS

df

V

tq


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La estructura del sistema de ecuaciones resultante,ser ms visible usando una notacin corta de laecuacin 3.12.:

El subndice i se refiere al nmero de bloque-malla,

como en las ecuaciones 3.3 a 3.12.

1

1

i

i

i o

n

o

p

ti

dS

df

V

tqa

1

i

i

i o

n

o

p

ti

dS

df

V

tqb

)( 1n

o

n

op

t

i ii

iffV

tq

d

no

noo iii SSS

1


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La ecuacin 3.12 ahora se convierte en:

Ecuacin 3.13es EBM para el bloque-malla 2.

Donde:, , y son combinaciones de

cantidades conocidas;

y son incgnitas.

13.3..............222 21 dSbSa oo

2a 2b 2d

1oS 2oS


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.....

01 oSa

...........................................11 o

Sb1d

....12 o

Sa .....................................22 o

Sb 2d

....23 o

Sa ..........33 o

Sb

.34 o

Sa

3d

...44 o

Sb 14.3...............4d


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El trmino es el influjo de petrleo albloque-malla 1 a travs del lmite exteriordel modelo.

El bloque 1 contiene un pozo deinyeccin de agua, inyectando agua

solamente a un caudal especificado q1y no hay flujo de petrleo al bloque 1.Por tanto, = 0.

En el bloque 4, hay un pozo productorcuyo caudal de petrleo es equivalenteal flujo de petrleo hacia fuera delbloque.

01 oSa

01 oSa


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ECUACIONES DE PRESIN.

Al modelar sistemas reales debe resolverse un juegode ecuaciones conteniendo presin y saturacin.Para un modelo bidimensional 2D, las ecuacionesde presin toman la siguiente forma:

+ - - =

Donde:

Pes la presin en el bloque-malla identificado por

los dos subndices iyj B, D, Fy Hcontienen todos los trminos (movilidad,

rea de corte transversal, distancia, funciones depresin, etc.)

)( 1,,1, jijiji ppB )( ,1,,1 jijiji ppD )( ,,1,1 jijiji ppF )( ,1,1, jijiji ppH jiq ,


73/90

El trmino fuente qi,j representa los pozos

de inyeccin y produccin si estnpresentes en el bloque i,j en formulacinde 5 puntos (ver Fig. 3.5). Reuniendo loscoeficientes de pi,jda:


74/90

Se establece una

nomenclaturaestndar definidagrficamente en laFig. 3.5. Los

coeficientes A, C, Ge I, son cero porqueno puede haber flujodiagonal entre

bloques. Por esoestos coeficientes no

aparecen en la

ecuacin 3.5.Fig. 3.5


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3.10 Funciones Implcitas

El trmino fully implcitse usa para:

- Indicar que todas las funciones de presin ysaturacin se evalan a un nivel de tiempoavanzado.

- Identificar un esquema iterativo, aplicable paraaproximar una solucin.

- Que la mayora de las funciones de presin ysaturacin no lineales, puedan evaluarse a variosgrados de exactitud.

El procedimiento puede llamarse semi-implcito, sisolamente se requiere una aproximacin de primerorden.


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Cuanto ms implcitaes la formulacin, ms estableser la solucin (si errores computacionales no se

propagan y crecen en etapas posteriores de lacomputacin). Los simuladores no siempre sonformulados con evaluaciones implcitas de todaslas variables dependientes y sus funciones. En

algunos problemas, formulaciones implcitaspueden conducir a tanta dispersin numrica que,las soluciones son demasiado inexactas.


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Las ecuaciones generadas de formulaciones

implcitas, son ms costosas de resolver queaqullas generadas por otras formulaciones. Elusuario puede entonces seleccionar la formulacinms adecuada a la aplicacin particular. Engeneral:

1)Las presiones son siempre evaluadasimplcitamente,

2) Las funciones de presin y saturacin pueden y noser evaluadas implcitamente, dependiendo del

tipo de problema.


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3.11 Tcnicas de Manipulacin

de EcuacionesOtra formulacin se refiere a la manipulacin de

las ecuaciones a resolverse. Las dos tcnicas ms

usuales referidas son:- Simultnea, para resolver un problema trifsico,

donde las tres variables dependientes para cadabloque-malla son incluidos en el mismo juego deecuaciones.

- Secuencial, para separar la solucin de laecuacin de presin de aquella solucin de laecuacin de saturacin.


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Estas manipulaciones eliminan las saturaciones demodo que:

- El primer paso consiste en una solucin para unaincgnita (presin de una fase) por bloque-malla.

- El segundo paso resuelve dos incgnitas(saturaciones de dos fases) por bloque-malla.

El enfoque secuencial ms usado se llama presinimplcita-saturacin explcita IMPES (IMplicitPressure-Explicit Saturation).

En este procedimiento las saturaciones se eliminanpor adicin de las ecuaciones de balance de

materia de fases individuales y asumiendo que lapresin capilar no cambia durante un intrvalo detiempo.


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La ecuacin resultante tiene solo una incgnita, presinde fase, que se obtiene por solucin simultnea de un

juego de ecuaciones. Luego se determinan lassaturaciones explcitamente por solucin de lasecuaciones de balance de materia.

Dependiendo del uso en aplicaciones, IMPES (implcito en

la presin y explcito en saturacin) no tiene limitacionesde estabilidad resultantes de tratamientos explcitos demovilidad y presin capilar.

Una ventaja del enfoque secuencial frente al simultneo:

- Es el menor costo

- Flexibilidad, puede elegirse la tcnica ms adecuadapara cada paso.


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3.12 Dispersin Numrica

Discusiones anteriores demuestran que lasformulaciones prcticas de las ecuaciones parasimulacin de reservorios introducen errores. Uno detales errores es la dispersin numrica, quepuede

desarrollarse comparando la forma real de lasecuaciones usadas en simulacin con lasecuaciones diferenciales precedentes. La siguientediscusin compara la diferencial y diferentes formasde la ecuacin simplificada de balance demateria (Ec 3.9), generalizada para cualquierbloque-malla i, y es:


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El trmino volumen en esta ecuacin , puedetambin expresarse como producto de la

porosidad , longitud del bloque en la direccin deflujo, x, y rea frontal disponible para el flujo.Igualmente, el caudal de flujo , puede escribirsecomo velocidad , veces el rea transversal

abierto al flujo. Haciendo estas sustituciones yreordenando trminos llegamos a la siguienteecuacin:

)( 11 n

o

n

o

p

tn

o

n

o ii

i

ii ffV

q

tSS

ipV

tq

tv


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En la ecuacin 3.16, la porosidad por simplificacinse incluye en el trmino velocidad

Los subndices de S y f se omiten, porque la ecuacinaplica a cualquier fase. Como f es solodependiente de la saturacin, es ms apropiado

expresar la ecuacin como:

16.3..............1

1

x

ff

vt

SS n

o

n

o

t

n

o

n

o iiii

tv

17.3....................xfv

tS t


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Para valores pequeos de t y x, esta llega a ser laecuacin diferencial:

La ecuacin 3.19 es una descripcin exacta de lafsica del proceso de desplazamiento; pero laecuacin 3.18 es la ecuacin realmente resuelta

en un simulador que usa esta formulacin.

18.3...................x

S

dS

dfv

t

S

t

19.3........................xS

dSdfv

tS

t


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Y la ecuacin 3.18 no es igual que la ecuacin 3.19,excepto en el lmite de los valores infinitesimales de

ty x.Si S es funcin de t, el trmino diferencial S/t,

puede expresarse como una serie de Taylor:

........6121 23

3

2

21

t

t

St

t

S

t

S

t

SS

t

S nn


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En forma similar, si S es funcin plana de x, y la

ponderacin es aguas arriba, la saturacin en elbloque aguas arriba se usa en la ecuacindiferencial.

.............6121 23

3

2

2

1

xx

Sxx

S

x

S

x

SS

x

Sii


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Al resolver S/t y S/x en vez de S/t y S/x,

introducimos errores de la forma:

Y..............6121 2

3

3

2

2

tt

St

t

S

.................6121 23

3

2

2

xxSx

xS


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El primer trmino de la serie usualmente es el nico

de valor, por tanto esencialmente:

Y

Sustituyendo esta expresin en la ecuacin 3.18 da:

tt

S

t

S

t

S

2

2

21

xx

S

x

S

x

S

2

2

21


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Reordenando la ecuacin de modo que puedacompararse directamente con la ecuacin 3.19da:

La ecuacin 3.20 contiene dos trminos que no estnen la ecuacin 3.19.

x

xS

xS

dSdfvt

tS

tS

t 2

2

2

2

2121

20.3.............21212

2

2

2

tt

Sx

x

S

dS

dfv

x

S

dS

dfv

t

Stt


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MUCHAS GRACIAS

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