Sem - 2 Sistema de Medición Angular (I) TRIGO 4° SEC I

Colegios TRILCE La INTELIGENCIA como primera opción

San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó I Bim. / TRIGONOMETRÍA / 4TO. AÑO

213

1 vuelta = 360°

Sistema de Medición Angular I

Objetivos

Reconocer los sistemas de medición angular, así como las unidades que involucran al interior de ellas.

Convertir correctamente unidades de un sistema a otro, usando el método del factor de conversión.

O

Sistemas de Medición Angular

Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos, destacando los siguientes:

1. SISTEMA SEXAGESIMAL

L l a m a d o t a m b i é n i n g l é s , tiene como unidad a un grado sexagesimal (1º), que viene a ser la 1/360 parte del ángulo de una vuelta. Esto es:

Unidad: 1° =

1º1º

1º

P

1 vuelta360

También tenemos:

1 min sexag.: 1’ = 1º60

⇒ 1º = 60’

1 seg sexag.: 1’’ = 1’60

⇒ 1’ = 60’’

⇒ 1º = 3600’’

2. SISTEMA CENTESIMAL

Llamado también francés, tiene como unidad a un grado centesimal (1g), que viene a ser la 1/400. parte del ángulo de una vuelta. Esto es:

1g1g

1g

PO

Unidad: 1g = 1 vuelta400

1 vuelta = 400g

También tenemos:

1 min centesimal 1m 1g

100

⇒ 1g = 100m

=

1 seg centesimal 1s 1m

100

⇒ 1m = 100s

=

⇒ 1g = 10000s

Los historiadores concuerdan en que fueron los griegos anteriores a Sócrates los iniciadores de la trigonometría. A Tales de Mileto, uno de los siete sabios de Grecia, se le atribuye el descubrimiento de cinco teoremas geométricos y su participación en la determinación de las alturas de las pirámides de Egipto utilizando la relación entre los ángulos y lados de un triángulo.

Hiparco, notable geómetra y astrónomo griego, sistematizó estos conceptos en una tabla de cuerdas trigonométricas que hoy son la base de la trigonometría moderna. Por su trabajo se le considera el padre o fundador de la trigonometría.Fue el observador más grande de la antigüedad, tanto que su catálogo estelar, que contenía posiciones y brillos de unas 850 estrellas, fue superado en precisión solamente en el siglo XVI.

Orígenes de la Trigonometría

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214

Expresa: θ =

1 rad > 1º < 1g

xº y’ z’’ = xº + y’ + z’’ ag bm cs = ag + bm + cs

39º = 10g ⇒ 9(60’) = 10(100m)

⇒ 27’ = 50m

360º = 400g = 2πrad

⇒ 180º = 200g = π rad

En el gráfico:L: Long. del arco AB.R: Radio de la circunferencia.

3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR

Llamado también internacional, tiene como unidad a un radián (1 rad) que viene a ser la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que subtiende mide igual que el radio de la circunferencia.

θ

R

R

O L

A

B

Si L = R ⇒ θ = 1 radián

La región AOB se denomina sector circular AOB.

Por regla de tres simple:

Ángulo Longitud del arco

1 rad1 vuelta

R2πR

1 vuelta . R =2πR . 1rad

∴ 1 vuelta = 2πrad

Consideraciones

y

9º = 10g

Observación

y

81’’ = 250s

Conversión entre Sistemas

Es el procedimiento que permite expresar las unidades de un ángulo en diferentes sistemas. El método del factor conversión es muy apropiado en estas situaciones y consiste en multiplicar la medida a convertir por una fracción del tipo:

donde numerador y denominador son iguales.

Por ejemplo; convierte.

(unidad que se quiere)

(unidad a cancelar)

1) 120º a radianes.

α = 120º πrad180º

α = 2π3

rad

2) 140g a radianes.

β= 140g πrad200g

β = 7π10

rad

3) 120g a sexagesimales.

θ= 120g

θ = 108º

9º10g

4) 63º a centesimales.

φ= 63º

φ = 70g

Resolución:

π3

rad - 30g

en el sistema sexagesimal.

Tenemos: θ = π3

rad - 30g

convirtiendo:

θ = π3

rad 180ºπrad

- 30g 9º10g

θ = 60º - 27º

∴ θ = 33º

Sabiendo que (7x + 1)º = 40g,determina el valor de x.

Resolución:

Tenemos: (7x + 1)º = 40g

(7x + 1)º = 40g

9º

10g.

quedaría: 7x + 1 = 36 7x = 35

∴ x = 5

10g

9º

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:



215

Nivel I

En un triángulo dos de sus ángulos interiores miden y 50g. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo?

Resolución:

∴ x = 27º

3 π5

rad

Graficando:

B

A C

50g

x3 π

5

i) A = π5

3 rad 180ºπrad

A = 108º

B = 50g 9º10g

B = 45º.

ii) A + B + C = 180º 108º + 45º + x = 180º 153º + x = 180º

Sabiendo que:xºy’z’’ = 12º46’37’’ + 8º53’42’’,calcula:

Resolución:

x+zy

C =

Tenemos:xºy’z’’ = 12º46’37’’ + 8º53’42’’xºy’z’’ = 20º99’79’’xºy’z’’ = 20º100’19’’xºy’z’’ = 21º40’19’’

x = 21y = 40z = 19

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Luego: C = 21 + 1940

C = 4040

∴ C = 1

Si un ángulo mide (7x + 2)º y su suplemento es 12xg, ¿cuál es el valor de x?

Resolución:

Tenemos que: (7x + 2)º + 12xg = 180ºconvirtiendo:(7x + 2)º + 12xg . = 180º9º

10g

operando:

7x + 2 + = 180

35x + 10 + 54x = 900 89x = 890

54x5

∴ x = 10

A l b e r t E i n s te i n , f í s i co y m a t e m á t i c o, p u b l i c ó e n 1916 la Teoría general de la relatividad. En ella demostró que la velocidad de la luz (300 000 km/s en el vacío) es la única constante en el universo, es decir, mientras todo cambia, la velocidad de la luz, representada por la letra c, permanece invariable.

Ejemplo 5: 1) Expresa 60º en radianes.

a) d)

b) e)

c)

π3

rad

π4

rad

π5

rad

π6

rad

π9

rad

2) Expresa 80º en radianes.

a) 2 d) 5

b) e) 2

c) 4

π9

rad

π3

rad

π9

rad

π9

rad

π3

rad

3) Expresa rad en grados

sexagesimales.

a) 10º b) 12º c) 18º d) 20º e) 24º

π9

4) Expresa 2 rad en grados

sexagesimales.

a) 36º b) 60º c) 54º d) 72º e) 80º

π5

5) Expresa 120g en radianes.

a) d) 4

b) 2 e) π rad

c) 3

π5

rad

π3

rad

π5

rad

π9

rad



216

6) Expresa 70g en radianes:

a) d)

b) e) 2

c)

rad7π207π10

rad

3π20

rad

3π10

rad

π9

rad

7) Expresa en grados

centesimales.

a) 10g b) 20g c) 30g d) 40g e) 50g

3π20

rad

8) Expresa en grados

centesimales.

a) 20g b) 30g c) 40g d) 60g e) 80g

2π5

rad

9) E x p r e s a 7 0 g e n g r a d o s sexagesimales.

a) 53º b) 63º c) 73º d) 56º e) 66º

10) Expresa 130g en grados sexage-simales.

a) 107º b) 117º c) 127º d) 106º e) 116º

11) E x p r e s a 7 2 º e n g r a d o s centesimales.

a) 70g b) 60g c) 80g d) 90g e) 100g

12) E x p r e s a 1 8 º e n g r a d o s centesimales.

a) 10g b) 20g c) 30g d) 16g e) 26g

13) En 78’ tenemos:

a) 1º8’ b) 1º18’ c) 1º28’ d) 1º38’ e) 1º78’


a) 2º12’ b) 2º22’ c) 2º32’ d) 2º42’ e) 2º52’


a) 3º14º b) 3º24’ c) 4º24’ d) 4º14’ e) 5º24’

16) Si un ángulo mide y su complemento es 14xº, ¿cuál es el

valor de x?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

π9

rad

17) Si un ángulo mide y su complemento es (5x -2)º, ¿cuál

es el valor de x?

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

2π5

rad

18) Si un ángulo mide 54º y su complemento es (7x - 2)g, ¿cuál es el valor de x?

a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

19) Si un ángulo mide 63º y su suplemento es 13xg, ¿cuál es el valor de x?

a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 10

Nivel II

21) Un ángulo mide (8x - 2)º y también (9x - 3)g, ¿cuál es el valor de x?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

20) Un ángulo mide (3x + 6)º y también (4x + 2)g, ¿cuál es el valor de x?

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 10

22) Un ángulo mide 9xº y también

rad, ¿cuál es el valor de x?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

πx+1

23) Un ángulo mide (10x + 2)º y

también rad, ¿cuál es el

valor de x?

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

2πx-2

24) En un triángulo rectángulo isósceles, sus ángulos agudos miden (7x + 3)º y (7y + 1)g. Determina y - x.

a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3

25) En un triángulo equilátero dos de sus ángulos se expresan como

rad y , calcula yx.

a) 1 b) 2 c) 4 d) 9 e) 16

πx +2

50yg

3



217

26) En un triángulo dos de sus ángulos interiores miden 10g y rad.

¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo?

a) 30º b) 45º c) 60º d) 15º e) 90º

2π5

27) En un triángulo dos de sus ángulos interiores miden 80g y rad.

¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo?

a) 24º b) 36º c) 48º d) 54º e) 72º

π3

28) En un cuadrilátero, sus ángulos interiores se encuentran en

progresión aritmética de razón

rad. ¿Cuál es la medida del

menor en el sistema sexagesimal?

a) 20g b) 30g c) 40g d) 50g e) 60g

π 5

29) En un cuadrilátero, sus ángulos interiores se encuentran en progresión aritmética de razón 20g. ¿Cuál es la medida circular

del menor?

a) d)

b) e)

c)

radπ20π

10rad

3π20

rad

3π10

rad

9π20

rad

30) Sabiendo que xºy’z’’ = 7º34’25’’ + 3º47’52’’, calcula:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 182 e) 1/3

C = x+y+1z

Nivel III

31) Sabiendo que xºy’z’’ = 3º46’36’’ + 4º24’34’’, calcula:

a) 1 d) 3/2 b) 2 e) 2/3c) 19/11

C = x+yz+1

32) Sabiendo que a+b+c = 63 y además: xºy’z’’ = aºb’c’’ + bºc’a’’+cºa’b’’, calcula:

a) 1 b) 0 c) 10 d) 20 e) 40

L= x - yz

33) Sabiendo que: a+b+c+d+e= 65 y además: xºy’z’’ = aºb’c’’+ bºc’d’’+cºd’e’’, +dºe’a’’ + eºa’b’’, calcula:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 e) 20

L= x - yz

34) Sabiendo que: calcula: L = (a + b).c

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

π7

rad = 2aº 4b’ 5c’’,

35) Siendo que: calcula:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 3/2 e) 4/3

π7

rad = 10º ab’ cd’’,

L= a+b+1c+d

36) Siendo: calcula: L = a + b - c

a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2

2π13

rad = 2aº 4b’ 4c’’,

37) Siendo el complemento de un

ángulo igual a rad, ¿cuál es

la medida sexagesimal de dicho

ángulo?

a) 73º38’11’’ d) 82º19’13’’ b) 63º42’17’’ e) 81º23’15’’ c) 73º36’46’’

π11

38) En un triángulo, dos de sus ángulos interiores mide 140g y rad.

¿Cuál es la medida sexagesimal

del tercer ángulo?

a) 34º b) 44º c) 32º d) 42º e) 52º

π15

39) En un triángulo isósceles, uno

de sus ángulos mide 160g. ¿Cuál es la medida sexagesimal de uno

de los ángulos congruentes?

a) 9º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º

40) En un triángulo sus, ángulos interiores se expresan por tres números en progresión aritmética de razón . ¿Cuál es la medida

sexagesimal del mayor?

a) 50º b) 60º c) 70º d) 80º e) 90º

π18



218

44) Del gráfico, calcula x/y.

a) d) -

b) - e)

c)

41) En un cuadrilátero, las medidas de sus ángulos interiores están en progresión aritmética de razón 40g. ¿Cuál es la relación entre el mayor y el menor de los ángulos del cuadrilátero?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

42) Un ángulo mide (7x+4)º y su complemento 40xg. ¿Cuál es la medida circular del ángulo que se expresa como 5xº + 10xg?

a) d)

b) e)

c)

7π30

rad

7π15

rad

7π36

rad

7π18

rad

7π45

rad

43) Un ángulo mide (8x+4)º y su suplemento 40xg. Señala el equivalente de Q = + 5xg en

el sistema radial.

a) d)

b) e)

c)

xº2

π10

rad

π18

rad

π20

rad

π36

rad

π9

rad

1537

1537

1137

1137

3715

(x+2y)º (3x-y)g

45) De acuerdo al gráfico, halla x/y.

a) d)

b) e)

c)

955991991955855991

99185512

(x+y)º (5y-x)m

46) D e a c u e r d o a l g r á f i c o , determina:

a) π/10 d) π/40b) π/20 e) π/60c) π/30

C= π+3z3β-2α

47) D e a c u e r d o a l g r á f i c o , determina:

a) 1/7 d) 7/30b) 3/14 e) 7/60c) 14/30

C= 7 - z6β - α

3α

5βgzrad

2π3

rad

3α 20βg

πz7 rad

48) Se inventa un nuevo sistema de medición angular P, tal que su unidad es igual a 1º + 1g. ¿Cuántas unidades de este sistema, le corresponde a un ángulo que mide rad?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 10 e) 20

19π90

49) Se crean dos nuevos sistemas de medición angular “J” y “C”, tales que sus unidades (1* y 1**) equivalen a la 1/500 y 1/600 parte del ángulo de una vuelta, respectivamente. Si en un triángulo dos de sus ángulos interiores miden 100* y 100**, ¿cuál es la medida circular del tercer ángulo?

a) d)

b) e)

c)

2π15

rad

5π12

rad

π5

rad

4π15

rad

7π15

rad

¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas radiando desde un ángulo hacia los otros.

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