Sem Nº 02 (1)

2. VALOR DEL DINERO

EN EL TIEMPO

INGENIERA ECONMICA Y FINANCIERA

ING. PABLO MANUEL MORCILLO VALDIVIA

FUENTE: FUNDAMENTOS DE INGENIERA ECONMICA. SEGUNDA EDICIN. CHAN S. PARK. PRENTICE HALL

2.1 EL INTERS: EL

COSTO DEL DINERO

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO


EL COSTO DEL DINERO

La mayora de nosotros estamos familiarizados con el

concepto de inters. Sabemos que el dinero que se

deposita en una cuenta de ahorros genera intereses y

que, con el tiempo, el saldo ser mayor que la suma de

los depsitos. Sabemos que pedir un prstamo para

comprar un automvil significa que tendremos que

pagar esa cantidad despus de un tiempo ms otra por

concepto de intereses, de manera que la cantidad

pagada ser mayor que la suma solicitada.

EL COSTO DEL DINERO

Lo que quiz no nos resulte tan familiar es la idea de

que, en el mundo financiero, el dinero en s es un

producto y que, al igual que otros bienes que se

compran y se venden, tambin cuesta dinero.

El costo del dinero se establece y se mide mediante

una tasa de inters, un porcentaje que se aplica y se

suma peridicamente a una cantidad (o a una variedad

de cantidades) de dinero por un periodo determinado.

2.1.1 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Imagine que tiene $100 y desea comprar un

refrigerador de $100 para su dormitorio.

Si lo compra ahora, terminar sin dinero. Pero si

invierte su dinero con un inters anual del 6%, en un

ao podr comprar el refrigerador y le sobrarn $6.

Desde luego, necesita preguntarse si la ganancia

financiera de $6 compensa el inconveniente de no

tener el refrigerador durante un ao.


Si el precio del refrigerador aumenta a una tasa anual

del 8% a causa de la inflacin, no tendr suficiente

dinero (le harn falta $2) para comprar el refrigerador

dentro de un ao. En tal caso, probablemente le

convenga comprar el refrigerador ahora. Si la tasa de

inflacin es slo del 4%, entonces le sobrarn $2 si

compra el refrigerador dentro de un ao.

A todas luces, la tasa a la cual usted gana intereses

debe ser ms alta que la tasa de inflacin para que la

compra a futuro tenga sentido. En otras palabras, en

una economa inflacionaria, su poder adquisitivo

continuar disminuyendo a medida que siga retrasando

la compra del refrigerador. Para compensar esta

prdida futura en el poder adquisitivo, la tasa a la

cual usted gana intereses debe ser suficientemente

ms grande que la tasa de inflacin anticipada.


Podemos definir el principio del valor del dinero en el

tiempo de la siguiente manera: el valor econmico de

una suma depende de cundo se reciba. Ya que el

dinero tiene tanto capacidad de generar ganancias

como poder adquisitivo con el paso del tiempo, un

dlar que se recibe en este momento tiene un valor

mayor que un dlar que se recibir en el futuro.


Muchos tipos de transacciones tienen que ver con

intereses (por ejemplo, pedir dinero prestado, invertir

dinero o comprar maquinaria a crdito), pero ciertos

elementos son comunes a todos estos tipos de

transacciones. Esos elementos son los siguientes:

2.1.2 ELEMENTOS DE TRANSACCIONES QUE

IMPLICAN INTERESES

Capital

Tasa de inters

Periodo de capitalizacin

Nmeros de periodos de

capitalizacin

Plan de ingresos o egresos

Cantidad futura


IMPLICAN INTERESES

Capital o Principal (C o P). La cantidad inicial de

dinero que se invierte o se solicita en prstamo en

una transaccin.

Tasa de inters (i). Mide el costo o precio del

dinero y se expresa en porcentaje durante un

periodo.

Periodo de capitalizacin (n). Determina la

frecuencia con la que se calcula el inters.


IMPLICAN INTERESES

Nmeros de periodos de capitalizacin (N). Un

periodo especificado determina la duracin de la

transaccin.

Plan de ingresos o egresos (An). Patrn

especfico de flujo de efectivo en un periodo

determinado

Cantidad futura de dinero (F). Resultado de los

efectos acumulativos de la tasa de inters a lo largo

de varios periodos de capitalizacin


IMPLICAN INTERESES

Para dar un ejemplo, supongamos que usted solicita al

banco un prstamo para educacin de $30,000, con

una tasa de inters anual del 9%. Adems, usted paga

una comisin de $300 por la tramitacin de la solicitud.

El banco ofrece dos planes de pago, uno con pagos

iguales realizados al final de cada ao por los prximos

cinco aos (plan de cuotas), y otro en el que se realiza

un pago nico despus del periodo de cinco aos del

prstamo (plan diferido).


IMPLICAN INTERESES


IMPLICAN INTERESES

En el plan 1:

El capital, P, es $30,000

La tasa de inters, i, es del 9%.

El periodo de capitalizacin, n, es un ao

Duracin de la transaccin (nmero de periodos de

capitalizacin) es de cinco aos (N=5).

Plan de ingresos y egresos producen un patrn de

flujo de efectivo de cinco pagos iguales, A, de

$7,712.77 cada uno.


IMPLICAN INTERESES

En el plan 2:

El capital, P, es $30,000

La tasa de inters, i, es del 9%.

El periodo de capitalizacin, n, es cinco aos

Duracin de la transaccin (periodo de

capitalizacin) es de cinco aos (N=5).

En vez de pagos iguales, tenemos un periodo de

gracia seguido de un solo pago futuro, F, de

$46,158.72,

Diagramas de flujo de efectivo.

Los problemas relacionados con el valor del dinero en

el tiempo tienen la ventaja de poder representarse de

forma grfica con un diagrama de flujo de efectivo.

Los diagramas de flujo representan el tiempo mediante

una lnea horizontal marcada con el nmero de los

periodos de capitalizacin especificados. Las flechas

hacia arriba representan flujos positivos (ingresos)

y las flechas hacia abajo representan flujos

negativos (egresos).


IMPLICAN INTERESES


IMPLICAN INTERESES

Convenio del fin del periodo. Suponga, que se

depositan $100,000 durante el primer mes del ao en

una cuenta con un periodo de capitalizacin de un ao

y una tasa de inters del 10% anual. En tal caso, si el

depsito se retira un mes antes de finalizar el ao, el

inversionista sufrira una prdida de rendimientos de

$10,000, Esto, porque, de acuerdo con el convenio

del fin del periodo, el depsito de $100,000 hecho

durante el periodo de capitalizacin se ve como si se

hiciera al finalizar el ao y no 11 meses antes.


IMPLICAN INTERESES

El dinero se puede prestar y liquidar de muchas formas,

y tambin, puede generar intereses de muchas

maneras distintas. Sin embargo, normalmente, al final

de cada periodo de capitalizacin, el inters generado

sobre el capital se calcula de acuerdo con una tasa de

inters determinada. Los dos esquemas para calcular

este inters generado producen un inters simple o un

inters compuesto.

2.1.3 MTODOS PARA CALCULAR

INTERESES

El primer esquema considera el inters generado slo

sobre el capital inicial durante cada periodo de

capitalizacin. En otras palabras, en el marco del

inters simple, el inters generado durante cada

periodo de capitalizacin no genera intereses

adicionales en los periodos restantes, aunque usted

no lo retire.

2.1.3.1. INTERS SIMPLE

En general, para un depsito de P dlares con una tasa

de inters simple de i por N periodos, el inters total

obtenido I sera:

La cantidad disponible al final de N periodos, F, sera:

El inters simple comnmente se usa en cuentas de

ahorro, los certificados de depsitos, las cuentas a

plazos, las letras de cambio, los pagars, etc.


Ejemplo: Una pareja compra una casa, financiada con

un prstamo de $50 000,00 a la tasa del 15% de inters

simple. El plazo total del prstamo es de 10 aos.

a) Cul ser el inters a pagarse durante todo el

plazo?,

b) Cul es el inters vencido del primer trimestre? y

c) Cul es el inters vencido de los primeros 45 das?


Resolucin:

Los elementos del problema pueden identificarse de la

siguiente manera:

P = $ 50 000 i = 15% 0,15 I = ?

N1 = 10 aos N2 = 3 meses N3 = 45 das

Determinacin de I:

a) I1 = P x i x N1 = (50 000) (0,15) (10) = 75 000

b) I2 = P x i x N2 = (50 000) (0,15) (3/12) = 1 875

c) I3 = P x i x N3 = (50 000) (0,15) (45/360) = 937,50


Ejemplo: Qu inversin fue la que produjo en 2 aos

un inters de S/.34 566 si la tasa de inters de la

operacin era del 24%?

Resolucin:

P = ? N = 2 aos I = S/. 34 566 i = 24% 0,24

Determinacin de P:


50,72012224,0

56634

xixN

IP

Ejemplo: Cul fue el crdito que se otorg si se pag

$22 222,22 dlares americanos por concepto de

intereses al cabo de 9 meses si la tasa de inters que

se acord fue de 17,5%?

Resolucin:

P = ? N = 9 meses I = S/. 22 222,22 i = 17,5%

Determinacin de P:


15,169312)12/9(175,0

22,22222

xixN

IP

Ejemplo: A qu tasa de inters anual tendr que

colocarse un capital de S/.23 456,78 para que en el

plazo de 30 meses produzca S/. 12 345,67?

Resolucin:

i = ? P = S/. 23 456,78 N = 30 meses

I = S/. 12 345,67

Determinacin de i:


%05,212105,0)12/30(78,23456

67,12345

xPxN

Ii

El inters compuesto simplemente es la aplicacin

reiterada del inters de tipo simple a un capital que

crece a unidades constantes de tiempo llamados

periodos de conversin, capitalizacin o inters, por

efecto de sumarse el inters al capital. En trminos mas

sencillos el inters compuesto es la operacin que

consiste en sumar el inters al capital

peridicamente, formando cada vez un nuevo

capital (capitalizacin del inters)

2.1.3.2. INTERS COMPUESTO

En este caso, usted est incrementando la cantidad del

depsito mediante la cantidad del inters ganado. En

general, si usted depositara (invirtiera) P dlares a una

tasa de inters i, tendra P + iP = P(1 + i) dlares al

final de un periodo de capitalizacin. Si la cantidad

entera (capital e inters) se reinvirtiera a la misma tasa i

por otro periodo, usted tendra, al final del segundo

periodo: P(1 + i) + i P (1 + i) = P (1 + i) (1 + i)

= P (1 + i) 2


A continuacin, vemos que el saldo despus del tercer

periodo es:

P (1 + i)2 + i P (1 + i)2 = P (1 + i)3

Este proceso de generacin de inters se repite y,

despus de N periodos, el valor acumulado total (saldo)

F se habr incrementado a:

F = P (1 + i)N


Ejemplo:

Calcular la suma que se obtendra, al trmino de 3

aos, si invertimos $150,000.00 al 18% capitalizando

los intereses semestralmente, aplicando la definicin de

inters compuesto dada inicialmente que dice que el

inters compuesto es la aplicacin reiterada del inters

simple...... y tambin si la inversin se realizara a

inters simple a la misma tasa del 18%


Resolucin:

Aplicando la definicin el procedimiento sera:

Capital Inicial o al comienzo del plazo $150 000,00

Inters simple del 1er semestre

I = 150,000.00 x 0.18 x 6/12 = $ 13 500,00

Capital al comienzo del 2do semestre $163 500,00

Inters simple del 2do semestre

I = 163,500.00 x 0.18 x 6/12 = $ 14 715,00

Capital al comienzo del 3er semestre $178 215,00

Inters simple del 3er.semestre

I = 178,215.00x 0.18 x 6/12 = $ 16 039,35


Al concluir el plazo tenemos la siguiente tabla

demostrativa:


SEMESTRE CAPITAL AL

COMIENZO

INTERS DEL

SEMESTRE

CAPITAL AL TRMINO

DE CADA SEMESTRE

1 150 000,00 13 500,00 163 500,00

2 163 500,00 14 715,00 178 215,00

3 178 215,00 16 039,35 194 254,35

4 164 254,35 17 482,89 211 737,24

5 211 737,24 19 056,35 230 793,59

6 230 793,59 20 771,43 251 565,02

TOTAL INTERESES

ACUMULADOS 101 565,02

Ahora si la operacin anotada como ejemplo se hubiera

realizado a inters simple, el monto o valor futuro a este

tipo de inters al final de los 3 aos de inversin sera

de: (aplicando la ecuacin de monto simple)

S = P [ 1 + t . i ] = 150 000 [1+(3)(0,18) ] = $ 231 000,00

Comparando el resultado operativo del Monto Simple

con el Monto Compuesto observamos que existe una

diferencia de $ 20 565,02 que en la prctica viene a ser

el inters generado por el propio inters.


Definiciones previas de los factores vinculados al

inters compuesto.

a) CAPITALIZACIN: Proceso por el cual el inters generado en

una unidad de tiempo se agrega o aade o suma al capital.

b) PERIODO DE CONVERSIN O DE CAPITALIZACIN O DE

INTERS (pc): es el tiempo o plazo que se mide o transcurre

entre dos cmputos sucesivos de inters.

c) FRECUENCIA DE CONVERSIN O DE CAPITALIZACIN O

DE INTERS (fc): es el nmero de veces por ao que el

inters se capitaliza o aade o suma al capital.


Entre el periodo y la

frecuencia de conversin

existe una directa

correspondencia, es decir a

cada periodo de conversin

o de capitalizacin le

corresponde una frecuencia

determinada, siendo los

periodos mas usados los

siguientes


PERIODO DE

CONVERSIN (pc)

FRECUENCIA

(fc)

Anual 1

Semestral 2

Cuatrimestral 3

Trimestral 4

Bimestral 6

Cada 45 das 8

Mensual 12

Cada 21 das 17,14

Quincenal 24

Semanal 51,43

Diario 360

d) TASA DE INTERS: En problemas de inters compuesto, la

tasa de inters presenta 3 valores llamados: TASA NOMINAL

(TNj j), TASA EFECTIVA por periodo de conversin,

capitalizacin o inters (TEPI i ) y TASA EFECTIVA ANUAL

(TEA ).

i. TASA NOMINAL. La primera expresin es la tasa nominal, que

denotaremos por la letra j minscula o las siglas TNj, en la

mayora de operaciones financieras se acostumbra a mencionar

la tasa anual de inters, y va acompaada de la frecuencia de

conversin capitalizacin o de inters (fc).


ii. TASA EFECTIVA O INTERES. Esta se define como aquella tasa

que efectivamente gana un capital prestado o invertido por

periodo de conversin capitalizacin o inters, la que

denotaremos por la letra i minscula. Para obtener el valor de

esta tasa efectiva por periodo bastar con dividir la tasa nominal

entre la frecuencia de conversin, as por ejemplo si una

operacin se lleva a cabo a la tasa del 18% capitalizable

bimestralmente, el valor de la tasa efectiva por periodo ser:


iii. TASA EFECTIVA ANUAL. La definimos como aquella tasa que

efectivamente gana un capital en un ao de inversin (es decir

siempre que dejemos que el inters producido se capitalice

durante un ao). En la actualidad un dispositivo legal obliga a las

entidades financieras a comunicar a sus clientes la tasa efectiva

anual que cobran en sus operaciones as como las comisiones

por cuota, portes y cargos por seguros al inicio de las

operaciones


e) TIEMPO: En problemas de inters compuesto el tiempo se

trabaja bajo la forma de unidades de tiempo que marcan el

ritmo del proceso de capitalizacin siendo estas llamadas

periodos de conversin o de capitalizacin o de inters.

Entonces el tiempo o plazo deber ser expresado por un

nmero "n" de periodos de conversin, que se obtiene

multiplicando el tiempo en aos o fraccin de ao por la

frecuencia de conversin, o de capitalizacin o de inters


Ejemplo: Una transaccin econmica se realiza a un plazo de 3

aos a la tasa de inters del 21% capitalizable mensualmente.

Cuntas capitalizaciones de inters se realizarn durante ese

plazo?

Resolucin:

Para calcular dicho nmero, primero vemos qu frecuencia de

capitalizacin le corresponde a un periodo capitalizacin mensual y

observamos que es 12, luego aplicamos la frmula para calcular n

y tenemos: n = t x fc = 3 aos x 12 = 36


Ejemplo: Calcular los montos compuestos resultantes de invertir

$50, $9 000 y $360 000 a la tasa del 14% capitalizable

trimestralmente al cabo de 5 aos.

Resolucin:

Principales: P1 = $50 P2 = $9 000 P3 = $360 000

j = 14% pc = trimestral fc = 4 i = (14% / 4) = 3,5%

t = 5 aos n = 5 x 4 = 20

F1 = ? F2 = ? F3 = ?


a) F1 = ?

F = P (1 + i)N = 50 (1 + 0.035)20 = $ 99,49

a) F2 = ?

F = P (1 + i)N = 9 000 (1 + 0.035)20 = $ 17 908,10

a) F3 = ?

F = P (1 + i)N = 360 000 (1 + 0.035)20 = $ 716 323,99


Ejemplo: Se invierten S/.12 000 nuevos soles durante 3 aos a la

tasa del 18% capitalizable o convertible bimestralmente.

Determinar: a) el Monto Compuesto, b) Inters Compuesto, y c) la

Tasa efectiva anual.

Resolucin:

P = S/. 12 0000 j = 18% pc = bimestral fc = 6

i = (18% / 6) = 3% t = 3 aos n = 3 x 6 = 18

Aplicando la frmula obtenemos:

a) F = P (1 + i)N = 12 000 (1 + 0.03)18 = S/ 20 419,20

b) IC = F P = 20 419,20 12 000 = 8 419,20

c) TEA = (1 + i)fc - 1 = (1 + 0,03)6 1 = 0,19405 19,41%


Ejemplo: Se invierten $147 500 dlares americanos durante 30

meses a la tasa del 14,4% capitalizable o convertible

mensualmente. Determinar: a) el Monto Compuesto, b) Inters

Compuesto, y c) la Tasa efectiva anual.

Resolucin:

P = S/. 147 500 j = 14,4% pc = mensual

fc = 12 i = (14,4% / 12) = 1,2% t = 30 meses

n = (30 /12) x 12 = 30


Aplicando la frmula obtenemos:

a) F = P (1 + i)N =

F = P (1 + i)N = 147 500 (1 + 0.012)30

F = $ 210 963,54

b) IC = F P =

IC = F P = 210 963,54 147 500 = $ 63 463,54

c) TEA = (1 + i)fc - 1 =

TEA = (1 + i)fc - 1 = (1 + 0,012)12 1 = 0,15389 15,39%

2.3.2. INTERS COMPUESTO

Ejemplo: Calcular los montos compuestos resultantes de invertir

$66,888 a la tasa del 12% capitalizable semestralmente,

trimestralmente, bimestralmente, mensualmente y quincenalmente

al cabo de 4 aos.

Resolucin:

P = $66 888 j1-2-3-4 y 5 = 12% pc = mensual

fc = 12 t = 4 aos

Para mejor comprender los diferentes resultados obtenidos,

mostramos la siguiente tabla:


Para mejor comprender los diferentes resultados obtenidos,

mostramos la siguiente tabla:

F1 = 66 888 (1 + 0,06)8 = 66 888 x 1,59384807453 = $106 609,31

F2 = 66 888 (1 + 0,03)16 = 66 888 x 1,6047064391 = $107 335,60

F3 = 66 888 (1 + 0,02)24 = 66 888 x 1,60843724948 = $107 585,15

F4 = 66 888 (1 + 0,01)48 = 66 888 x 1,61222607768 = $107 838,58

F5 = 66 888 (1 + 0,005)96 = 66 888 x 1,61414270846 = $107 966,78


pc fc i = j/fc t n F

Semestral 2 12%/2 = 6% 4 aos 4 x 2 = 8 $ 106 609,31

Trimestral 4 12%/4 = 3% 4 aos 4 x 4 = 16 $ 107 335,60

Bimestral 6 12%/6 = 2% 4 aos 4 x 6 = 24 $ 107 585,15

Mensual 12 12%/12 = 1% 4 aos 4 x 12 = 48 $ 107 838,58

quincenal 24 12%/24 = 0,5% 4 aos 4 x 24 = 96 $ 107 966,78

Ejemplo de inters simple contra inters

compuesto:

Suponga que usted deposita $1,000 en una cuenta de

ahorros que paga intereses a una tasa del 8% anual.

Suponga que no retira el inters generado al final de

cada periodo (ao), sino que deja que se acumule. a)

Cunto tendra al final del tercer ao con un inters

simple? b) Cunto tendra al final del tercer ao con

un inters compuesto?


Resolucin:

P = $1 000 N = 3 aos i = 8 % anual F = ?

a) Inters simple: Utilizando la ecuacin, calculamos F como

F = $1,000 [1 + (0.08)x3] = $1,240.

Ao tras ao, el inters se acumula de la siguiente manera:


b) Inters compuesto: Si aplicamos la ecuacin, a nuestro caso

de tres aos con una tasa de inters del 8%, obtenemos

F = $1,000 (1 + 0.08)3 = $1,259.71.

El inters total generado es $259.71, que es $19.71 ms que el

acumulado con el mtodo de inters simple. Podemos seguir el

proceso de acumulacin de intereses con ms precisin de la

siguiente manera:


2.2 EQUIVALENCIA

ECONMICA



2.2.1 DEFINICIN Y CLCULOS SIMPLES

El comentario de que el dinero tiene un valor en el

tiempo nos lleva a una pregunta importante: Si recibir

$100 hoy no es lo mismo que recibir $100 en el

futuro, cmo medimos y comparamos flujos de

efectivo diversos? Cmo sabemos, por ejemplo, si

es preferible tener $20,000 hoy y $50,000 dentro de

10 aos, que tener $8,000 cada ao durante los

siguientes 10 aos?


Existe una equivalencia econmica entre flujos de

efectivo que tienen el mismo efecto econmico y que,

por lo tanto, podran cambiarse uno por otro.

Aunque las cantidades y el tiempo de los flujos de

efectivo pueden diferir, la tasa de inters apropiada

los hace iguales.


Qu opcin preferira usted? a) Dos pagos ($20,000

ahora y $50,000 dentro de 10 aos) o b) 10 pagos

anuales de $8,000 cada uno


La EQUIVALENCIA ECONMICA se refiere al hecho

de que cualquier flujo de efectivo, ya sea un solo

pago o una serie de pagos, puede convertirse en

un flujo de efectivo equivalente en cualquier

momento.


Lo que es importante recordar sobre el valor presente

de los flujos de efectivo futuros es que la suma actual

es equivalente en valor a los flujos de efectivo

futuros. Es equivalente porque si usted tuviera el

valor presente hoy, podra transformarlo en los

futuros flujos de efectivo simplemente invirtindolo a

la tasa de inters vigente, tambin conocida como

tasa de descuento.


El concepto estricto de equivalencia puede

extenderse para incluir la comparacin de las

alternativas. Por ejemplo, podramos comparar los

valores de dos propuestas encontrando los valores

equivalentes de cada una en cualquier punto comn

en el tiempo. Si las propuestas financieras que

aparentan ser diferentes resultan tener el mismo

valor monetario, entonces podemos ser

econmicamente indiferentes al elegir entre ellas.


EJEMPLO: Suponga que le ofrecen la alternativa de

recibir $2,007 al trmino de cinco aos o $1,500 hoy.

No hay duda de que la suma de $2,007 ser pagada

en su totalidad (es decir, no hay riesgo). Suponiendo

que no necesitar el dinero en los prximos cinco

aos, usted depositara los $1,500 en una cuenta que

pague un inters i%. Qu valor de i hara que usted

fuera indiferente a su eleccin entre $1,500 hoy y la

promesa de $2,007 despus de cinco aos?


SOLUCIN:

F = $2 007 N = 5 aos P = $1 500

Recordemos la expresin del

valor futuro: F = P (1 + i)N

Al despejar i obtenemos:

i = (F/P)1/N 1 =

i = (2007/1500)1/5 1

i = 0,06 6%


En este ejemplo, si i es menor

que 6%, usted preferira la

promesa de $2,007 en cinco

aos y no $1,500 hoy; si i es

mayor que 6%, usted preferira

$1,500 hoy.

Como seguramente ya acert,

a una tasa de inters ms baja,

P debe ser ms alto para ser

equivalente a la cantidad

futura.

2.2.2 LOS CLCULOS DE EQUIVALENCIA

REQUIEREN UNA BASE DE TIEMPO COMN PARA

SU COMPARACIN

Cuando se elige un punto en el

tiempo en el que se comparan los

valores de flujos de efectivo

alternativos, normalmente

utilizamos el tiempo presente, lo

que nos da lo que llamamos el

valor presente de los flujos de

efectivo, o un punto en el futuro lo

que resulta en su valor futuro.



SU COMPARACIN

Considere el conjunto

de flujos de efectivo

dado en la figura.

Calcule la cantidad

total a n = 3 a un

inters anual del 10%.



SU COMPARACIN

Resolucin:

Paso 1: Determine el pago

equivalente de la totalidad

de los primeros cuatro

pagos en n = 3

100(1 + 0,10)3 + 80(1+ 0,10)2 +

120(1 + 0,10)1 + 150 = 511,90



SU COMPARACIN

Paso 2: Determine el pago

equivalente de la totalidad

de los dos pagos restantes

en n = 3

200(1 + 0,10)-1 + 80(1+ 0,10)-2 = 264,46



SU COMPARACIN

Paso 3: Determine V3, el

valor equivalente total

V3 = 511,90 + 264,46 = 776,36

2.3 FRMULAS DE INTERS

PARA FLUJOS DE

EFECTIVOS NICOS



2.3.1 FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA

Dada una suma presente P invertida por N periodos de

capitalizacin a una tasa de inters i, qu suma se

habr acumulado al trmino de los N periodos?

Probablemente not de inmediato que esta descripcin

encaja en el caso que encontramos al principio cuando

describamos los intereses compuestos. Para despejar

F (la cantidad futura), utilizamos la ecuacin:

F = P (1 + i)N


A causa de su origen en los clculos de inters

compuesto, el factor (1 + i)N se conoce como

FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA.

Al igual que el concepto de equivalencia, este factor

es uno de los fundamentos del anlisis de ingeniera

econmica. Dado este factor, se pueden obtener

todas las dems frmulas de inters importantes


Notacin con factores

A medida que continuemos desarrollando frmulas de

inters, expresaremos los factores de inters

compuesto resultantes en una notacin convencional

que pueda sustituirse en una frmula que indique con

precisin qu factor de la tabla usar para resolver una

ecuacin.



Por ejemplo, la frmula obtenida como ecuacin es F =

P(1 + i)N. Para especificar cmo usar las tablas de

inters, tambin podemos expresar ese factor en una

notacin funcional como (F/P, i, N), que se lee como

Encontrar F, dados P, i y N . Este factor se conoce

como el factor de cantidad compuesta para pagos

nicos.



Cuando incorporamos el factor de la tabla a la frmula,

sta se expresa de la siguiente manera:

F = P(1 + i)N = P(F/P, i, N)

El factor de la tabla nos indica utilizar la tabla del 12%

de inters y encontrar el factor en la columna F/P para

N =15.


Tablas de inters

Estas tablas nos permiten encontrar el factor apropiado

para una tasa de inters dada y el nmero de periodos

de capitalizacin


Tablas de inters

Ejemplo. Hallar el valor futuro

de $15 000, al cabo de 8 aos,

si se le aplica una tasa de

inters de 11% anual.

Resolucin:

Aplicando el uso de la Tabla,

tenemos:

F = 15 000 (F/P. i%,N)

F = 15 000 (F/P, 11%, 8)

F = 15 000 (2,3045)

F = 34 567,50


Cantidades nicas: Determine F, dados P, i y N

Ejemplo. Si tuviera $1,000 ahora y los invirtiera al 7% de inters

compuesto anual, cunto valdran en 8 aos?

Resolucin:

1. Aplicando el uso de la calculadora

Se emplea la frmula para el valor futuro , es decir el factor de

cantidad compuesta para pagos nicos:

F = P ( 1 + i) N = 1 000 ( 1 + 0,07) 8 = 1 718,19


2. Aplicando el uso de la

Tabla

La expresin sera:

F = P (F/P. i%,N)

F = 1 000 (F/P, 7%, 8)

F = 1 000 (1,7182)

F = $1 718,20


3. Aplicando el uso del excel

Con Excel, el clculo del valor futuro se ve de la siguiente

manera:

F = VF (tasa; nper; pago; va; tipo) = VF (7%; 8; 0; -1 000; 0)

F = $1 718,18

tasa = es la tasa de inters por periodo

nper = es el nmero total de pagos de una inversin

pago = es el pago efectuado cada periodo, no puede cambiar durante la

inversin

va = es el valor actual o la suma total del valor de una serie de pagos. Si se

omite, VA = 0

tipo = es el nmero 0 1 e indica cuando vencen los pagos: pago al

comienzo del periodo = 1; pago al final del periodo = 0 u omitido

2.3.2 FACTOR DE VALOR PRESENTE

Encontrar el valor presente de una cantidad futura es

simplemente lo contrario a calcular el inters

compuesto, y se conoce como el proceso de

descuento. En la ecuacin, podemos ver que si

necesitamos encontrar una suma presente P, dada la

cantidad futura F, simplemente despejamos P.

),,/()1(

1NiFPF

iFP

N


El factor 1/(1 + i)N se conoce como el factor del valor

presente para pagos nicos y se designa (P/F, i, N).

Se han construido tablas para los factores P/F y para

diversos valores de i y N. La tasa de inters i y el factor

P/F tambin se conocen como tasa de descuento y

factor de descuento, respectivamente.


Factor de valor presente

para pagos nicos (tasa

de descuento)

Datos

i = 12%

N = 5 aos

F = $1 000

Determine

P = 1 000 (1 + 0,12)-5

= 1 000 (P/F, 12%, 5)

= 567,40


Cantidades nicas: Determine P, dados F, i y N

Ejemplo. Cul debe ser el precio para un bono cupn cero de 8

aos con un valor nominal de $1,000 si los bonos cero similares

estn redituando un inters anual del 6%?

Resolucin:

1. Aplicando el uso de la calculadora

Se emplea la frmula para el valor presente

P = F ( 1 + i)-N = $1 000 ( 1 + 0,06)-8 = $627,40


2. Aplicando el uso de la

Tabla

P = F (P/F, i, N)

P = $1 000 (P/F, 6%, 8)

P = $1 000 (0,6274)

P = $627,40


3. Aplicando el uso del excel

P = VA (tasa; nper; pago: vf; tipo)

P = VA (6%; 8; 0; 1000; 0)

P = - $627,41

tasa = es la tasa de inters por periodo

nper= es el nmero total de pagos de una inversin

pago= es el pago efectuado cada periodo, no puede cambiar durante la

inversin

vf = es el valor futuro o saldo en efectivo que se desea lograr despus de

efectuar el ltimo pago

Tipo = es un valor lgico: para pago al comienzo del periodo = 1; pago al final

del periodo = 0 u omitido

2.3.3 SOLUCIONES PARA TIEMPO Y TASAS

DE INTERS

A estas alturas, debe quedar claro que los procesos

de capitalizacin y descuento son recprocos y que

hemos estado tratando con una ecuacin en dos

formas:

Forma del valor futuro:

Forma de valor presente:


DE INTERS

Suponga que compra una

accin en $10 y la vende en

$20; su ganancia es, por lo

tanto, $10. Si eso ocurre dentro

de un ao, su tasa de inters

de retorno es un impresionante

100% ($10/$10 = 1). Si pasan

cinco aos, cul sera la tasa

de inters de retorno de su

inversin?

Ejemplo: Solucin para i


DE INTERS

DATOS:

P = $10 F = $20 N = 5 i = ?

La expresin de valor futuro es:

Reemplazando los valores obtenemos: $20 = $10 (1 + i)5

Para hallar el valor de i, se puede utilizar tres mtodos:

Mtodo 1: Prueba y error

Se realiza una serie de reemplazos en el valor de i, de manera

tal que, la ecuacin se iguale, obtenindose:

i = 14,87%


DE INTERS

Mtodo 2: Uso de Tablas de inters

De los datos se obtiene:

$20 = $10 (1 + i)5

que es equivalente a :

2 = 1 (1 + i)5 = (F/P, i, 5)

Con esa denotacin, se busca en las tablas de inters la fila N = 5, debajo

de la columna (F/P, i, N) hasta que localice el valor de 2. Este valor es

aproximado en la tabla de inters del 15% a (F/P, 15%, 5) = 2,0114,

i = 15, 00 % 14,87%


DE INTERS

Mtodo 3: Uso del Excel

En el Excel: TASA(Nper,Pago,Va,Vf,Tipo) que nos permite

calcular una tasa de inters desconocida.

i = TASA(Nper, Pago, Va, Vf, Tipo) = TASA (5, 0, -10, 20 ,0)

i = 0,148698355 14,87 %

Nper = es el nmero de periodos de pago de un prstamo o inversin

Pago = es el pago efectuado en cada periodo y no puede cambiar durante la

vigencia del prstamo o inversin

Va = es el valor actual: la cantidad total de una serie de pagos futuros

Vf = es el valor futuro o saldo en efectivo que se desea lograr despus de

efectuar el ltimo pago. Si se omite, se usa VA = 0

Tipo = es un valor lgico: para pago al comienzo del periodo = 1; para pago al

final del periodo = 0 u omitido


DE INTERS

Usted acaba de comprar 100

acciones de General Electric a

$30 cada una. Vender las

acciones cuando su valor de

mercado se duplique. Si

espera que el precio de las

acciones se incremente en un

12% anual, cunto tiempo

piensa esperar antes de

vender las acciones?

Ejemplo:

Cantidades nicas: Determine N, dados P, F e i


DE INTERS

DATOS:

P = $3 000

F = $6 000

i = 12 % anual

N = ? Aos

Este ejemplo puede ser

resuelto por dos mtodos



DE INTERS

MTODO 1: USO DE CALCULADORA

Utilizamos el factor de cantidad compuesta para

pagos nicos:

F = P(1 +i)N = P (F/P, i, N)

$6 000 = $3 000 (1 + 0,12)N

2 = (1,12)N , aplicando logaritmo tenemos

Log 2 = log (1,12)N , despejamos N:

N = (log 2) / (log 1,12) = 6,12 6 aos



DE INTERS

MTODO 2: USO DEL EXCEL

En Excel: funcin financiera NPER(tasa,pago,va,vf,tipo)

Entonces: N = NPER(12%, 0, -3000, 6000, 0)

N = 6,11625537 6 aos


Tasa = es la tasa de inters por periodo

Pago = es el pago efectuado en cada periodo y no puede cambiar durante la

vigencia del prstamo o inversin

Va = es el valor actual o el valor de la suma total de una serie de pagos futuroa

Vf = es el valor futuro o saldo en efectivo que se desea lograr despus de

efectuar el ltimo pago. Si se omite, se usa VA = 0

Tipo = es un valor lgico: para pago al comienzo del periodo = 1; para pago al

final del periodo = 0 u omitido

Sem Nº 02 (1)

Documents

Transcript of Sem Nº 02 (1)