ESTADISTICA APLICADA

Sesin N1

PROBABILIDAD

Mg. Segundo I. Ponte Valverde

Se podr determinar la probabilidad de

que un estudiante sea de sexo femenino,

sabiendo que tiene el cabello rubio?

4

Al finalizar la sesin, el estudiante ser

capaz de calcular probabilidades

haciendo uso de las reglas y axiomas

de probabilidad

LOGRO DE LA SESION

Llover

maana?

Pronstico Climtico de la TV

Probabilidad de lluvia

Por qu es importante la probabilidad en la toma de decisiones?

La probabilidad es importante en la toma de decisiones por que suministra

un mecanismo para medir, expresar y analizar la incertidumbre asociada

con eventos futuros

ESTA

DIS

TIC

A

1.1. EXPERIMENTO

Es un proceso mediante el cul se obtiene un

resultado de una observacin.

DETERMINISTICO

Si los resultados del experimento puede predecirse con exactitud antes de realizar el experimento

Si los resultados del experimento no puede predecirse con exactitud antes de realizar el experimento

ALEATORIO

1.- CONCEPTOS BSICOS

1.2. ESPACIO MUESTRAL ( )

Conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio

= {cara, sello}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Contar el nmero de piezas defectuosas producidas por una mquina x en un da determinado.

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, }

Espacio muestral

= {3, 4, 5, 6, 18 }

= {RA,RV, AR, AV, VA, VR}

Espacio muestral

Lanzar 3 dados y anotar la suma de los puntos obtenidos

Sacar dos bolitas de la caja sin Reposicin

Experimento aleatorio

Lanzar 2 monedas y anotar los resultados obtenidos

= {CC, CS, SC, SS }

Extraer una bola de esta urna y despus lanzar la moneda

1.3. EVENTO

Sea el Experimento

= {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

A= Observar un nmero impar. Entonces

B = { 3, 6 }

Para este experimento podemos definir los siguientes eventos:

A = {1, 3, 5 }

B= Observar un nmero mltiplo de 3

Un evento es un subconjunto del espacio muestral

EJEMPLO

Sea el experimento aleatorio

Podemos considerar los siguientes eventos

A= La suma de los puntajes es 7, entonces

A= { (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) }

B= La suma de los puntajes es 11, entonces

B= { (5,6) (6,5) }

C= La suma de los puntajes es 7 u 11, entonces

C= {(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (5,6) (6,5) }

TIPO DE EVENTOS

Evento Simple

Si contiene solamente un solo

elemento del espacio muestral

Evento compuesto

Es el que consta de dos o

ms eventos elementales.

Evento imposible

Es el que no va a ocurrir

Evento Seguro

Es el que va a ocurrir con

certeza

2. PROBABILIDAD DE UN EVENTO

La probabilidad de un evento A se define de la siguiente manera

CARACTERISTICA

0 P A 1

P( A ) = 0, Si A es un evento imposible

Si PA representa la no ocurrencia del evento A, entonces P( A ) + P( A = 1

P( A ) = 1, Si A es un evento seguro Pierre Simn Laplace ( 1749- 1827)

Matemtico Francs

Nmero de elementos de A ( )

Nmero de elementos de P A

Ejercicios

1.- Al rodar un dado correcto

Cul es la probabilidad de obtener un nmero menor que 4?

2.- Si se lanza una moneda tres veces. Calcular la probabilidad de que: a) Ocurra una cara b) Ocurra por lo menos dos caras

3.- En la seccin de control de calidad de una compaa, se encontr 5 artculos defectuosos, en una partida de 100 artculos tomados aleatoriamente de la produccin de un da. Estime la probabilidad de producir un artculo defectuoso.

4. Supongamos que debes apostar a una de las siguientes situaciones

Obtener cara al lanzar una moneda

Obtener un 5 al lanzar un dado

Obtener el rey de oro al sacar una carta de una baraja

Por cual de las tres situaciones apostaras? Por qu?

2.1. REGLAS DE PROBABILIDAD

Regla de la Adicin de Eventos no mutuamente excluyentes

(A B)

U

B A

P(AUB) = P(A) + P(B) - P (A B)

U

Un cliente ingresa a una panadera. La

probabilidad de que compre pan es 0.60,

leche 0.50, pan y leche es 0.30 Cul es la

probabilidad de que compre un pan, leche o

ambos?.

Ejemplo

( ) 0.30P P L

( ) ( ) ( ) ( )

0.60 0.50 0.30

0.80

P P L P P P L P P LP(P) = 0,60

P(L) = 0,50

Solucin

Dos sucesos son mutuamente excluyentes, si no tienen elementos comunes

A B

Regla de adicin para eventos mutuamente excluyentes

P(AUB) = P(A) + P(B)

Se extrae una carta de una baraja.

Cul es la probabilidad de que sea un as o un rey?

Ejemplo

( ) ( ) ( )

4 4

52 52

8 =

52

P A R P A P RP(A) = 4/52

P(R) = 4/52

Solucin

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sean A y B dos eventos en un espacio muestral . La probabilidad condicional de A dado B es el nmero P(A/B) que se define por:

( )( / )

( )

P A BP A B

P B

Se selecciono una muestra de 500

encuestados de la ciudad de Lima para

estudiar el comportamiento del consumidor.

Los resultados fueron los siguientes:

Si se elige al azar un encuestado

a. Cul es la probabilidad de que disfrute comprando ropa?

Disfruta comprando Ropa

Gnero Total

Masculino ( M ) Femenino ( F )

S ( S ) 136 224 360

No (N) 104 36 140

Total 240 260 500

Ejemplo

360( ) 0.72 72%

500P S

b. Suponga que el encuestado elegido es mujer Cul es la probabilidad de que ella disfrute de comprar ropa?

( ) 224( / ) 0.86 86%

( ) 260

P S FP S F

P F

c. Cul es la probabilidad de que el encuestado disfrute comprando ropa dado que es varn?

( ) ( ) 136( / ) 0.567 56.7%

( ) ( ) 240

P M S n M SP S M

P M n M

Dos eventos A y B son independientes si la

ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.

)B(A

B )( PP

Entonces,

)B(A)()BA( PPP

EVENTOS INDEPENDIENTES

Si P ( A ) = 1/3 y P( B ) = 1/8 hallar:

a) P(A B), sabiendo que A y B son independientes

b) P(A B), sabiendo que A y B son eventos mutuamente

excluyentes

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Tres cazadores A, B y C estn apuntando con

sus rifles a un ave. La probabilidad de que

acierte A el disparo es 4/5, la de B es 3/7 y la

de C es 2/3. Si los tres disparan, calcule la

probabilidad de que:

a. Los tres acierten

b. Acierte A y B y que C falle

c. Ninguno acierte

Sean dos eventos A y B, si B depende de A,

entonces:

Entonces,

(A B) (A) (B/A)P P P

REGLA DE MULTIPLICACION PARA EVENTOS DEPENDIENTES

Ejemplo 9 :

De una tmbola que contienen 3 bolas rojas y

5 Blancas, Mathas extrae tres bolas, sin

reemplazo, calcular la probabilidad de que las

3 bolas extradas sean:

a. Rojas

b. Las dos primeras sean rojas y la ltima

blanca

Solucin

calcular la probabilidad de que las 3 bolas

extradas sean:

a. Rojas

P(R1R2R3 ) = P(R1)P(R2 /R1) P(R3 /R1R2 )

= (3/8) (2/7) (1/6)

= 3/336 = 1/56

a. Las dos primeras sean rojas y la ltima

blanca

P(R1R2B) = P(R1)P(R2 /R1) P(B /R1R2 )

= (3/8) (2/7) (5/6)

= 5/56

PROBABILIDAD TOTAL

1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / )n nP B P A P B A P A P B A P A P B A

TEOREMA DE BAYES

Thomas Bayes ( 1702- 1761)

Matemtico Ingles

Sean A1, A2, A3, An, una particin cualquiera de un espacio muestral y sea B un evento de entonces:

1 1 2 2

( ) ( / )( / )

( ) ( / ) ( ) ( / ) ........ ( ) ( / )

j j

j

n n

P A P B AP A B

P A P B A P A P B A P A P B A

EJEMPLO 9

Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos: Carlos, con una probabilidad del 60% Juan, con una probabilidad del 30% Luis, con una probabilidad del 10%

En funcin de quien sea tu prximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:

Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%. Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%. Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.

a. En definitiva, cual es la probabilidad de que te

suban el sueldo? b. Si te subieron el sueldo Cul es la probabilidad

de que tu jefe sea Juan?

"La creatividad es muy importante en la vida: te da diversidad. Si eres

creativo, pruebas diferentes maneras de hacer cosas y cometes muchos

errores tambin. Pero si tienes valenta de continuar a pesar de tus

errores, obtendrs la respuesta"

Bill Fitzpatrick