(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)

CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES

FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 1

CINEMÁTICA II 1. SISTEMA DE REFERENCIA.

Es aquel lugar del espacio en donde en forma real o imaginaría se sitúa un observador para analizar un fenómeno. Sobre un cuerpo en el espacio se fija rigurosamente un sistema coordenado (cartesiano, polar, cilíndrico, esférico, etc.), lugar en el cual se instala un reloj (sistema horario) y se ubica un observador en forma real o imaginaria, quien estudiará el fenómeno (movimiento mecánico) en el espacio y en el tiempo. A este conjunto se le denomina sistema de referencia.

2. MOVIMIENTO MECÁNICO EN COORDENADAS CARTESIANAS. Consideremos el movimiento de una partícula en el plano cartesiano, es decir un movimiento bidimensional, entonces la ley de movimiento tendrá la siguiente forma:

ˆ ˆ. .x yr r i r j= +�

Veamos el siguiente ejemplo: ( ) ( ) jtitr ˆ.5ˆ.4 32 −++=�

La ley del movimiento de una partícula en el espacio tridimensional tienes la forma:

ˆˆ ˆ. . .x y zr r i r j r k= + +�

Veamos el siguiente ejemplo: ( ) ( ) ( )ktjtitr ˆ.2ˆ.5ˆ.4 32 +−++=�

3. VELOCIDAD (v)

La velocidad de una partícula se define como la derivada de la posición respecto del tiempo.

ˆ ˆ. .yxrdr r

v i jdt dt dt

= = +

�

�

La velocidad de una partícula en el plano tiene dos componentes:

jvivv yxˆ.ˆ. +=�

La velocidad de una partícula en el espacio tridimensional tiene tres componentes:

kdt

rj

dt

ri

dt

r

dt

rdv zyx ˆ.ˆ.ˆ.

+

+

==�

�

kvjvivv zyxˆ.ˆ.ˆ. ++=�

X (m)

Y (m)

0

r�

Trayectoria

X (m)

Y (m)

0

ACELERACIÓN Y VELOCIDAD

v

a Trayectoria

α

θ t (s)

v

Tangente

X (t)

t 0

v = Tanθ

X (m)



4. ACELERACIÓN (a) Es aquella magnitud física vectorial que mide la razón con que cambia la velocidad del móvil e modulo y dirección. Matemáticamente la aceleración se define como la derivada de la velocidad respecto del tiempo.

jdt

vi

dt

v

dt

vda yx ˆ.ˆ.

+

==�

�

La aceleración de una partícula en el plano tiene dos componentes: jaiaa yxˆ.ˆ. +=�

La aceleración de una partícula en el espacio tridimensional tiene tres componentes:

yx zdvdv dvdv ˆ ˆ ˆa .i .j .k

dt dt dt dt

= = + += = + += = + += = + +

�

�

ˆˆ ˆ. . .x y za a i a j a k= + +�

5. ÁNGULO ENTRE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN

El ángulo que forma la velocidad y la aceleración en cierto instante determina el carácter de la aceleración y la curvatura de la de la trayectoria del modo siguiente. Por un punto de la trayectoria trazamos una circunferencia que tenga con aquella una línea tangente común a dicho punto y que en el tramo dado de la curva se aproxime lo más exactamente posible a ella. Esta circunferencia se llama osculatriz y su radio R recibe el nombre de radio de curvatura del punto dado. La aceleración está dirigida siempre hacia dentro de esta circunferencia. Se presentan tres casos posibles: I. Si el movimiento es acelerado, es decir, la rapidez aumenta, la aceleración y la velocidad formaran un ángulo AGUDO. II. Si el movimiento es desacelerado o retardado, es decir, la rapidez disminuye, la aceleración y la velocidad formaran un ángulo OBTUSO. III. Si el movimiento es con rapidez constante, es decir el módulo de la velocidad con cambia, la

aceleración y la velocidad formaran un ángulo RECTO ( 090α = ). Además se cumple que:

0� �

ia v =

6. DESCOMPOSICIÓN DE LA ACELERACIÓN. La aceleración se puede descompones en dos componentes rectangulares, una es la dirección tangencial a la trayectoria en el punto dado, denominada aceleración tangencial y la otra en dirección normal, denominada aceleración normal, cumpliéndose que: t na a a= +� � �

El valor de la aceleración se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:

v α

a

ρ

Trayectoria



2 22

t na a a= +� � �

22 2

2 d v va

d t ρ

= +

�

La aceleración tangencial mide solamente la rapidez de cambio de la velocidad en módulo. La aceleración tangencial se obtiene derivando la velocidad respecto del tiempo:

t

d va

d t=

La aceleración normal mide solamente la rapidez de cambio de la velocidad en dirección:

2

ρn

va =

Donde ρ representa el radio de curvatura de la trayectoria en un instante. La desviación φ de la aceleración respecto de la línea normal o radial es:

t

n

aTan

aφ =

MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN DOS DIMENSIONES

1. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en dos dimensiones

);()( 2 tttr =�

, donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.


)5()( 2 += ttr�



)32;5()( 2 −+= tttr�



)32;103()( 2 −−= tttr�



)38;52

()( 22

tt

tr −+=�

, donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.

at

an a

ρ

DESCOMPOSICIÓN DE LA ACELERACIÓN

φ



Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.


)38;3

;52

()( 232

ttt

tr −+=�

, donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en

metros. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.


)10;3

()( 23

tt

tr −=�




)2

10;3

()(23 tt

tr −=�



9. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones );3()( tta =�

, donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante.

(1) La velocidad es nula en el instante st 10=

(2) En el instante st 0= la posición es )30;10(

10. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones )3;2()( tta =�




11. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones )2;2()( tta −=�



(2) En el instante st 0= la posición es )10;15( −

12. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones );2()( ttta −=�




13. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones )2;2()( tta −−=�






14. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones )1;2;1()( tta −−=�




15. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones );2;()( tttta −−=�



(2) En el instante st 10= la posición es )20;0;30(

16. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones )1;12()( ++−= ttta

�




17. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones )2;1()( −=ta

�




18. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones );2()( tta −−=�




19. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones );2()( ttta −+−=�




20. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones );2()( ttta −+−=�






21. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones )10;21()( ttta −+=�




22. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones )10;2()( ttta −−=�


(1) La velocidad es 1.)10;0( −sm en el instante st 10=


23. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones )10;2()( ttta +−=�




24. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones )5;2;21()( tttta +−+=�


(1) La velocidad es 1.)0;10;20( −sm en el instante st 10=


25. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones )5;2()( ttta −=�



(2) En el instante st 10= la posición es )20;30( −−



(1) La velocidad es 1.)40;20( −− sm en el instante st 10=

(2) En el instante st 10= la posición es )20;30(−







28. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones )1;2()( −= tta

�




MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN TRES DIMENSIONES

29. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en tres dimensiones

)8;;()( 2 ttttr +=�



)8;3;5()( 2 ttttr +−+=�



)8;32;5()( 22 ttttr −−+=�



)8;32;103()( 22 ttttr −−−=�



)38;2;52

()( 22

ttt

tr −+=�




)38;3

;52

()( 232

ttt

tr −+=�




)10;3

;2

()( 232

ttt

tr −=�




)2

10;3

;8()(23 tt

ttr −=�





37. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones );3;2()( tta =�




38. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones );3;2()( ttta =�




39. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones );3;2()( tta −=�



(2) En el instante st 0= la posición es )5;10;15( −

40. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones );2;2()( ttta −−=�




41. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones )1;2;2()( tta −−=�




42. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones )1;2;1()( tta −−=�




43. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones );2;()( tttta −−=�






44. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones )1;12;1()( ++−+−= tttta

�




45. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones )1;2;1()( −−=ta

�




46. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones );2;1()( tta −−=�




47. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones );2;1()( ttta −+−=�




48. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones );2;21()( tttta −+−+=�




49. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones )10;2;21()( tttta −+−+=�




50. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones )10;2;21()( tttta −−−=�








metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante.







53. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones )5;;2()( tttta −−=�



(2) En el instante st 10= la posición es )10;20;30( −−−

54. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones );;2()( tttta −=�


(1) La velocidad es 1.)40;0;20( −− sm en el instante st 10=

(2) En el instante st 10= la posición es )10;20;30( −−

55. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones )4;;2()( ttta −=�




56. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones )4;1;2()( −= tta

�






7. MOVIMIENTO MECÁNICO EN COORDENADAS POLARES .

La relación que existe entre las coordenadas cartesianas ( );x y y las coordenadas polares

planas ( );r θ son: .x r Cosθ= e .y r Senθ=

Un punto material en coordenadas polares planas viene localizado por la distancia “r” del Punto P al origen O y por el ángulo θ . Si definimos los vectores unitarios uθ en la dirección

del crecimiento de θ y ˆru

en la dirección radial o vector posición, entonces podemos escribir estos vectores unitarios en función de los vectores unitarios cartesianos ˆ ˆi y j

( )ˆ ˆˆ . . ;ru i Cos j Sen Cos Senθ θ θ θ= + =

( )ˆ ˆˆ . . ;u i Sen j Cos Sen Cosθ θ θ θ θ= − + = −

Sabiendo que θ cambia en el tiempo, la posición de un punto material viene dado por la siguiente

relación: ˆ.=� rr r u

Observe la siguiente derivada: ˆ

. ; . = −

rd u d dSen Cos

d t dt dt

θ θθ θ

[ ]ˆˆ; .

= − =

rd u dSen Cos u

d t d t θθ θ θ ω

ˆˆ ˆ. .

• = =

rd u du u

d t d t θ θθ θ

CÁLCULO DE LA VELOCIDAD Entonces la velocidad será de derivada temporal:

( )ˆ. ˆˆ. .r r

r

d r ud r d u drV r u

d t d t d t d t= = = +�

�

pero: ˆ

ˆ.rd uu

d t θθ•

= entonces la expresión de la

velocidad que expresada así:

ˆ ˆ. . . rV r u r uθθ• •

= +�

de aquí la componentes de la velocidad en las direcciones radial y

tangencial son:

O

x

y

θ

P(x;y)

V

Vr Vθ

r

VELOCIDAD EN COORDENADAS POLARES

O

x -Senθ

θ

uθ

VECTORES UNITARIOS: RADIAL Y TANGENCIAL

θ

ur

Cosθ

Senθ

Cosθ

y



Velocidad Radial: ˆ ˆ. .r r r rV r u V u•

= =�

y Velocidad Tangencial: ˆ ˆ. . . .V r u r uθ θ θθ ω•

= =�

CÁLCULO DE LA ACELERACIÓN La aceleración es la segunda derivada temporal de la posición, esto es:

2

2ˆ ˆ. . . r

d r dV da r u r u

d t d t d t θθ• • = = = +

��

�

Aplicando la regla de la derivada de una suma y de un producto, tenemos que:

2

ˆ ˆ. . . 2 .ra r r u r r uθθ θ θ•• ••• • • = − + +

�

De ésta última relación tenemos las componentes radial y tangencial de la aceleración:

Aceleración Radial: 2

ˆ. .r ra r r uθ•• • = −

�

de otra manera 2 ˆ. .rr r

dVa r u

d tω

= −

�

Aceleración Tangencial: ˆ. 2 .a r r uθ θθ θ•• • • = +

�

de otra manera ( ) ˆ. 2 .a r v uθ θα ω= +�

OBSERVACIONES:

I. En la aceleración radial, al término 2

.r θ•

se le conoce como la aceleración centrípeta.

La aceleración centrípeta es: 2.ca r ω=

II. En la aceleración tangencial, al término 2 .r θ• •

se le conoce como la aceleración de Coriolis.

La aceleración de Coriolis es: 2 .cora v ω= ��

* Gustavo-Gaspard Coriolis (1792 - 1842), científico francés conocido por sus trabajos sobre mecánica teórica y aplicada.



CASOS PARTICULARES

1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO. La trayectoria de la partícula es una línea recta, entonces el radio de curvatura es infinito

( )ρ = ∞ , y la aceleración normal es nula 2

0n

va

ρ= = . La aceleración total t na a a= +� � �

se

reduce a la aceleración tangencial, t

d va a

d t= =

�

� �

es decir la velocidad cambia solo en valor y

no en dirección.

2. MOVIMIENTO CURVILÍNEO UNIFORME. El movimiento curvilíneo es uniforme si la rapidez del móvil no cambia, es decir el módulo de la

velocidad es constante, por consiguiente la aceleración tangencial es nula 0t

d va

d t= = y la

aceleración total t na a a= +� � �

se reduce a una aceleración normal 2

n

va a

ρ= =� �

y se cumple la

siguiente relación: 0� �

ia v = Aquí la aceleración está dirigida en todo instante al centro de la circunferencia de radio ρ , este

radio es variable en el tiempo. Si el radio de curvatura se hace constante Rρ = entonces el movimiento es Circunferencial y Uniforme, es decir M.C.U, y la aceleración normal recibe el

nombre de aceleración centrípeta: 2

c

va a

R= =� �

3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.

En este caso la velocidad no cambia en módulo ni en dirección es decir la aceleración total es nula

0t

d va

d t= = y

2

0n

va

ρ= = entonces 0t na a a= = =� � �

este en un movimiento mecánico ideal, es el movimiento más simple de la materia.

4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO. La trayectoria de la partícula es una línea recta, entonces el radio de curvatura es infinito

( )ρ = ∞ , y la aceleración normal es nula 2

0n

va

ρ= = . En este caso el punto material o partícula

tiene aceleración tangencial constante, es decir el valor de la velocidad aumenta o disminuye

progresivamente: td v

a CONSTANTEd t

= =

La posición de la partícula respecto de un sistema de referencia tiene la siguiente ley de

movimiento: 2

0 0. 2t

tr r v t a

= + +

� � � �

, donde 0r�

es la posición inicial y 0v�

es la velocidad inicial

cuando ( )0t = .

La velocidad tiene la siguiente ley: 0 .tv v a t= +� � �



Si durante el movimiento el valor de la velocidad aumenta el movimiento se denomina acelerado. Si durante el movimiento el valor de la velocidad disminuye el movimiento se denomina desacelerado o retardado.

5. PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1. El movimiento de un cuerpo viene dado por las ecuaciones:

Para t = 2 segundos, calcular la velocidad, la aceleración y los cosenos de los ángulos que forma la velocidad con los ejes cartesianos.

RESOLUCIÓN

Sabemos que la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo; por lo tanto, calculamos sus componentes:

Componiendo los tres valores obtenemos la velocidad, v, en función del tiempo:

que para t = 2 segundos nos da v = 27,8 m/s. Para saber la aceleración, derivamos de nuevo las expresiones anteriores:

Componiendo y sustituyendo para t = 2 segundos, resulta:

El valor de los cosenos de los ángulos que forma la velocidad con los ejes cartesianos viene dado por los cocientes respectivos de los módulos de las velocidades de cada componente respecto al módulo de la velocidad total. Tenemos que ya hemos calculado el valor del módulo de la composición de las tres ecuaciones para la velocidad y hemos obtenido un valor de 27,8. De ese modo:

PROBLEMA 2 La ecuación de un movimiento en función del tiempo es:

4 3 2x t 2t t 4= − + += − + += − + += − + + , donde x se mide en centímetros y t en segundos. Calcular el valor de t para que la aceleración sea máxima y obtener la velocidad en ese momento; Calcular también los valores de t para que la velocidad, por una parte, y la aceleración, por otra, sean nulas. RESOLUCIÓN



El primer apartado significa que la segunda derivada de la ecuación del enunciado debe ser máxima. Para el cálculo obtenemos el valor de las raíces de la primera derivada (que sería la velocidad):

Sabemos que una función tiene un máximo cuando su primera derivada se anula y la segunda tiene un valor negativo. Si calculamos la segunda derivada de la expresión inicial resulta:

Sustituyendo los valores anteriores tenemos un máximo para t = 0,5 s. La velocidad en ese instante, según las operaciones efectuadas, será v = 0 cm/s. Los valores de t para los que se anula la velocidad son, como hemos visto, las raíces de la ecuación derivada de la expresión de la posición, es decir, t = 0 s; t = 1s y t = 0,5 s. Los valores de t para los que se anula la aceleración son las raíces de la segunda derivada:



PROBLEMAS PROPUESTOS DE MOVIMIENTOS CURVILÍNEO

1. Un móvil se mueve en el plano con las siguientes leyes de movimiento: 23 2X t t= + e 2 1Y t= + , donde X e Y se miden en metros y “t” en segundos. Determine la ecuación cartesiana de la trayectoria que describe el móvil durante su movimiento.

2. Un móvil se mueve en el plano con las siguientes leyes de

movimiento: ( )2 3X t t= − e ( )21Y t= − , donde X e Y

se miden en metros y “t” en segundos. Determinar el radio de curvatura en el instante en que la aceleración de la partícula es mínima.

3. Un móvil se mueve en el plano con las siguientes leyes de movimiento: .X ACos tω= e Y B Sen tω= , donde X e Y se miden en metros, ω en s-1 y “t” en segundos. a) ¿La trayectoria es una elipse? b) Determinar la aceleración del móvil. c) Demostrar que la aceleración de la partícula es directamente proporcional a la distancia que se encuentra del origen de coordenadas y apunta hacia al origen.

4. Las velocidades instantáneas de dos partículas A y B,

que se mueven en el plano son: ( ) 1ˆ ˆ3 4 .AV i j m s−= +�

y

( ) 1ˆ ˆ7 24 .BV i j m s−= +�

Determine la velocidad

instantánea del punto medio M del segmento imaginario que une las posiciones.

5. Una partícula se mueve en el plano partiendo del reposo desde el origen de coordenadas ( )0;0 en el

instante 0t = . Si se sabe que las componentes rectangulares de su velocidad, en todo instante, están en la relación: 2

y xV V= y además respecto del eje “x” partió con aceleración constante 2ˆ1 ( . )xa i m s−=� , determinar la velocidad del móvil en el instante 3 .t s=

6. La figura muestra la grafica de la ley de movimiento de un cuerpo pequeño que se mueve sobre

el eje “x”. Determinar la aceleración media entre los instantes 3 7t s y t s= = .

7. Un móvil se mueve en el plano x y− partiendo desde el origen ( )0;0 en el instante 0t = si la

gráfica y xV V− es un arco de circunferencia de radio 2 m/s y con respecto al eje “x” el móvil

partió del reposo 0 0xv = con aceleración constante 21,0 .xa m s−= , determinar el radio de

curvatura en el instante 1,0t s=

8. Si una partícula tiene el vector posición ˆˆ ˆ3. 2. 4�

r t i t j k= + + , ¿Qué tipo de movimiento

tiene?

O

t (s)

Para el problema 06

-5

5

10

X (m)

+5

O Para el problema 07

Vx (m/s)

2

2

Vy (m/s)



A) Curvilíneo con rapidez constante. B) Curvilíneo con aceleración constante C) Curvilíneo con acelerado. D) Rectilíneo con velocidad constante E) Rectilíneo acelerado

9. Una partícula se mueve en el plano; su posición está definida en función del tiempo:

( ) ( )3 2 4ˆ ˆ2 1 4r t t i t j= + + + +�

donde “t” se mide en metros y las coordenadas en metros.

Determine la velocidad y la aceleración en el instante t = 1 segundo.

10. El movimiento de un punto se da por la siguiente ley: ( ) ( )2 2ˆ ˆ8. 4. 6. 3.r t t i t t j= − + −�

Determinar la trayectoria, la velocidad y la aceleración del punto material.

11. El movimiento de un punto se da por la siguiente ley:

( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ. . .ω ω�

r a Sen t i a Cos t j u t k= + + donde ,a y uω son magnitudes constantes.

Determinar la trayectoria, la velocidad y la aceleración del punto material.

12. La ecuación del movimiento de una partícula está dada por ( )2. ;2.r Sen t Cos tπ π=� . La

componente normal de la aceleración en cualquier instante es:

13. Un cuerpo esta vibrando con movimiento armónico simple ( ). .x A Sen tω α= +�

de amplitud 8

cm y frecuencia es 2 ciclos por segundo. Determinar los valores máximos de la velocidad y la aceleración.

14. Una partícula tiene como vector posición: ( ) ( )ˆ ˆ. . . .r a Cos t i a Sen t jω ω= +�

entonces el tipo

de movimiento es: A) Curvilíneo con rapidez constante. B) Curvilíneo con aceleración constante C) Curvilíneo con acelerado. D) Circunferencial con rapidez constante E) Circunferencial con aceleración angular constante.

15. La ecuación del movimiento de un objeto pequeño es: ˆ2. 0,5.4

x Cos t iπ = +

�

Determine

el valor máximo de la velocidad y de la aceleración.

16. La posición de una partícula en cierto sistema de referencia esta expresada por:

( ) .r m c m Sen t= + −��

donde ( )1;1;1m=� y ( )3;4;5c =� . Determinar la distancia entre los

puntos extremos del desplazamiento.

17. El vector posición de cierta trayectoria helicoidal es: ( )( ) ; ;r t Cos t Sen t tω ω=�

Sabiendo que

la velocidad angular ω es constante, determine la aceleración tangencial.

18. La ecuación del movimiento de un objeto pequeño es: ( ) ( )ˆ ˆ4. . 2 .r Sen t i Cos t jπ π= −�

Demuestre que la trayectoria es una parábola. 19. Un disco de 30 m de radio rota con velocidad angular constante 1,0 /rad sω = respecto de un

eje vertical. Una esfera se mueve con velocidad de valor 10 m/s en dirección radial respecto del disco. Determine la aceleración de Coriolis, la aceleración centrípeta y la aceleración total de la



esfera cuando llega al borde del disco.

20. La posición de una partícula está definida

por: ( ) ( )ˆ ˆ4. . 4. .r Sen t i Cos t jπ π= +�

Determine la aceleración y el valor de la aceleración centrípeta.

21. La posición de una partícula está definida

por: ( ) ( )ˆ ˆ3. . 4. .r Sen t i Cos t jπ π= +�

Demuestre que la trayectoria es una elipse. Determine la aceleración y el valor de la aceleración centrípeta.

22. Un móvil se mueve sobre un plano x y−

con la siguiente ley: 39

24

ty rθ = = , donde ( )radθ , ( )r m y ( )t s . ¿En qué instante la

aceleración tangencial, es igual, a la aceleración normal en módulo?

23. Un móvil se mueve sobre un plano x y− con la siguiente ley: 2 24 2t t y r tθ = − = , donde

( )radθ , ( )r m y ( )t s . Determinar el radio de curvatura de la trayectoria en el instante en que

la dirección de la velocidad pasa por el origen de coordenadas.

24. Un móvil se mueve sobre un plano x y− con la siguiente ley: 2 3t t y r tθ = − = , donde

( )radθ , ( )r m y ( )t s . Calcular la velocidad que posee en el instante en que la aceleración

apunta hacia el origen de coordenadas.

25. Un móvil se mueve sobre un plano x y− con la siguiente ley: 22. 6.t y r tθ = = , donde

( )radθ , ( )r m y ( )t s . Determinar la velocidad que posee el móvil en el instante en que su

aceleración es perpendicular a su vector posición.

26. Un escarabajo, que parte del extremo A, se mueve sobre la barra AB en un plano horizontal, alejándose de A con una velocidad relativa de 8 cm/s respecto de la barra. Si la barra gira alrededor del eje vertical que pasa por A con rapidez angular constante de 0,5 /rad sω = ; ¿después de

qué intervalo de tiempo de haber partido del origen de coordenadas su aceleración lineal

tendrá un valor de 210 /a cm s= ?

27. La aceleración de una partícula tiene la

siguiente ley: ( ) t ˆa t. 1 3t e i−= −�

(m/s2). ¿En

qué instante adquiere la máxima velocidad?

Vrel

ωωωω

Para el problema 19

ω

VREL

Y

X

B

Para el problema 26

A



28. Se sabe que la trayectoria de una partícula pasa por el origen de coordenadas. Conociendo su

velocidad es ( )2 tv Cos t;Sec t; e−=� , determinar la ley del movimiento ( )r t�

.

29. El movimiento de un cuerpo viene dado por las ecuaciones:

( )x 10 3t 3.Cos(t) m= + − , ( )5 3 21 5y t t t 4t m

3 2= − + + , ( )23

z t 4t 8.Sen(t) m2

= + +

Determinar su aceleración, indicando las componentes tangencial y normal, así como el radio de curvatura en el instante inicial 0=t s .

30. Si una partícula tiene el vector posición ˆ ˆr 3.t i 4.t j= += += += +�

, ¿Qué tipo de movimiento tiene? A) Curvilíneo con rapidez constante. B) Curvilíneo con aceleración constante C) Curvilíneo con acelerado. D) Rectilíneo con velocidad constante E) Rectilíneo acelerado

31. Una partícula se mueve en el plano; su posición está definida en función del tiempo: ( ) ( ) jtittr ˆ4ˆ12 423 ++++=� donde “t” se mide en metros y las coordenadas en metros.

Determine la velocidad y la aceleración en el instante t = 1 segundo.



MOVIMIENTO RELATIVO

1. CONCEPTO. Hasta ahora hemos estudiado al movimiento de una partícula respecto de un sistema de referencia fijo a la Tierra. Sin embargo hay otros casos en los que es razonable y a veces necesario, examinar el movimiento de una partícula simultáneamente respecto de dos sistemas de referencia, uno de los cuales se considera convencionalmente inmóvil (fijo a la Tierra) y el otro se mueve respecto del primero. Entonces es importante saber la forma en que están relacionadas las observaciones hechas por personas de diferentes sistemas de referencia. Un avión bombardero se desplaza horizontalmente con velocidad constante, en cierto instante el piloto abandona una bomba. El observador dentro del avión ve un movimiento de caída libre vertical, en cambio un observador fuera del avión ve un movimiento parabólico. Por consiguiente la trayectoria es relativa. En general la posición, la velocidad, la aceleración, el tiempo, el movimiento y la masa son relativos. El reposo es un estado particular del movimiento. El reposo es relativo. No existe el reposo absoluto. La materia se encuentra en eterno movimiento y desarrollo.

2. VELOCIDAD RELATIVA. Es la velocidad del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que también se mueve. La velocidad de A respecto de B, se define como la diferencia de las velocidades.

/A B A BV V V= −� � �

La velocidad relativa es el vector diferencia entre la velocidad de A (minuendo) y la velocidad de B (sustraendo).

/A B A BV V V= +� � �

3. MOVIMIENTO COMPUESTO. Es aquel movimiento que resulta de la composición de dos o

más movimientos simples. Por ejemplo para cruzar un río, se emplea un bote que se mantiene siempre perpendicular a la corriente del agua.

/BOTE AGUA BOTE AGUAV V V= −� � �

La velocidad del bote respecto de la Tierra es igual a la velocidad de la corriente del río, mas, la velocidad del bote respecto del agua. Observe la composición de la velocidad:

/BOTE AGUA BOTE AGUAV V V= +� � �

En el movimiento compuesto tenemos los siguientes elementos:

Velocidad absoluta: BOTEV�

, Velocidad de arrastre: AGUAV�

, Velocidad Relativa: /BOTE AGUAV�

La velocidad absoluta del punto es igual a la suma geométrica de la velocidad de arrastre y la velocidad relativa.

vA

vB

vA

vB vA/B

VBOTE

VRIO

A

B C

VB/R

α

θ



4. PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS Cada movimiento componente es un fenómeno físico independiente de los demás movimientos mecánicos, teniendo en común el tiempo transcurrido. � � �

ABSOLTULA ARRASTRE RELATIVAV V V= +

El movimiento compuesto fue estudiado por el físico italiano Galileo Galilei.

5. ACELERACIÓN RELATIVA Es la aceleración del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que también se mueve con aceleración constante. La aceleración de A respecto de B, se define como la diferencia de las aceleraciones.

/

� � �

A B A Ba a a= −

La aceleración relativa es el vector diferencia entre la aceleración de A (minuendo) y la aceleración de B (sustraendo). Para el movimiento compuesto se cumple que:

/A B A Ba a a= +� � �

En el movimiento compuesto tenemos los siguientes elementos: Aceleración absoluta: Aa

�

, Aceleración de

arrastre: Ba�

, Aceleración Relativa: /A Ba�

La aceleración absoluta del punto es igual a la suma geométrica de la aceleración de arrastre y la aceleración relativa.

6. PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE GALILEO Si restamos la misma cantidad a las velocidades de A y B de tal manera que la velocidad del móvil B sea nula. Es decir el observador se mueve con la misma velocidad de B. Entonces analizar el movimiento de A visto desde el móvil B en reposo es mucho más fácil.

Si fijamos nuestro sistema de referencia sobre el móvil B, entonces observamos al móvil A con rapidez (VA - VB). Para el observador, el móvil B se encuentra en reposo relativo.

. ( ).relativa relativa relativa A Bd V t d V V t= ⇒ = −

d

VA - VB

VB = 0

d

Móvil A

VB -VB

VA - VB

Móvil B

aA

aB

aA

aB aA/B

Vrelativa

Varrastre

Vabsoluta

θ



7. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS El planeta Tierra tiene movimiento de Rotación, gira a razón 15 grados sexagesimales en cada hora, que para los habitantes de la Tierra es la velocidad de arrastre, entonces cuando un automóvil se mueve y el velocímetro indica 90 km/h ésta es la velocidad relativa del automóvil respecto de la Tierra. Todos los cuerpos que se mueven sobre otro cuerpo que tienen movimiento de rotación pura experimentan la aceleración de Coriolis, que se caracteriza por el cambio de la velocidad relativa en el movimiento de arrastre y de la velocidad de arrastre del punto en el movimiento relativo. La aceleración de Coriolis se determina con la siguiente fórmula:

( )2= ×��

cor arr rela vω

De este modo, la aceleración de Coriolis es igual al

doble producto vectorial de la velocidad angular del movimiento de arrastre, por, la velocidad relativa del punto. Si se designa por α el ángulo entre las velocidades, el módulo de la aceleración de Coriolis será:

2 . .cor arr rela v Senω α= ��

La aceleración de Coriolis puede ser nula en los siguientes casos: I. Cuando la velocidad angular es nula, es decir, cuando el movimiento de arrastre es de traslación; o si la velocidad angular de la rotación de arrastre se hace nula en el instante dado. II. Cuando la velocidad relativa es nula, es decir, cuando la velocidad relativa se hace nula en el instante dado. III. Cuando el ángulo que forman los vectores velocidad angular y velocidad relativa es 0° o es 180°, es decir, cuando el movimiento relativo se efectúa en dirección paralela al eje de rotación de arrastre o si en el instante dado el vector velocidad relativa es paralelo a este eje de rotación. EJEMPLO 01: Un avión está volando paralelamente a la línea ecuatorial en sentido de rotación de la Tierra. Si el velocímetro del avión señala 1,0 km/s,

Vrel

acor 90°

Aceleración de CORIOLIS cuando el ángulo α es recto

ω

Vrel acor

α

Aceleración de CORIOLIS cuando el ángulo α es agudo.

ωarr

Vrel

Para el Ejemplo 01

ω



determine el valor de la aceleración de Coriolis. Resolución La Tierra gira respecto de su eje a razón de 15° sexagesimales en cada hora, de otro modo gira 2π radianes cada 24 horas.

2 2

24 24 3600t h s

θ π πω = = =×

La velocidad relativa de avión respecto de la

superficie terrestre es: 11000 .relv m s−=

La velocidad angular de arrastre y la velocidad relativa forman un ángulo recto. Formula para calcular la aceleración de Coriolis:

2 . .cor arr rela v Senω α= ��

( )122 . 1000 . . 90

24 3600cora m s Sens

π − = ° ×

�

El valor de la aceleración de Coriolis es: 20,145 .cora m s−=�

y la dirección es radial hacia el

centro de la Tierra.

Vrel

acor

Aceleración de CORIOLIS

ω



PROBLEMAS PROPUESTOS DE MOVIMIENTO COMPUESTO 1. Dos cuerpos A y B se mueven con velocidades de VA = 3 i (m/s) y VB = 4 j (m/s). Determinar la

velocidad de A respecto de B (en m/s).

2. Dos cuerpos A y B se mueven con velocidades de VA = 3 i (m/s) y VB = 4 j (m/s). Determinar la rapidez de A respecto de B (en m/s).

3. Un hombre nada con rapidez de 3 m/s con respecto a las aguas de un río. Si se desplaza desde A

hasta B, determinar el intervalo de tiempo (en s) que empleará el hombre en cruzar el río, de rapidez de corriente de 5 m/s y 12 m de ancho, con la condición que llegue a la orilla opuesta alejado en forma mínima de su punto de partida.

4. Para cruzar un río de 40 m de ancho, se emplea un bote que se mantiene siempre perpendicular a la corriente del agua con rapidez de 8 m/s. Si la rapidez de la corriente del río es 6 m/s, determine la distancia (en m) desde A hasta B.

5. Para cruzar un río de 60 m de ancho, se emplea una lancha que se mueve con rapidez constante de 3 m/s respecto del agua. Si la rapidez de la corriente del río es 5 m/s, determine la distancia BC mínima (en m) a lo largo de la orilla.

6. El observador situado sobre el

bote A, que se mueve libremente debido a la corriente del río a una distancia de 40 m de la orilla, observa que un bote a velas B parte de un punto de la orilla situada a distancia de 30 m aguas abajo. Si el viento sopla en la dirección E 74° S, determinar la mínima distancia (en m) a la cual se acercan los botes.

7. Una lancha a motor que va río arriba se encontró con un bote

d RIO

V A

B

Para el problema 3, 4 y 5

C

RIO

BOTE

LANCHA

Para el problema 07

40 m

30 m

A

B

E O

N

S RIO

Para el problema 06

PERRO

5 m/s

Tren

VP

Para el problema 09



que flota aguas abajo. Pasada una hora después de este encuentro el motor de la lancha se paro. La reparación de esta duro 30 minutos y durante todo el tiempo la lancha seguía libremente la corriente del rió. Arreglando el motor, la lancha comenzó a ir río abajo con la misma rapidez con relación a la corriente del agua y alcanzo al bote a una distancia igual a 7,5 km del punto de su primer encuentro. Determinar la rapidez de la corriente del río, considerándola constante (en km/h).

8. Un portaviones avanza hacia el Sur con rapidez constante de 60 km/h respecto de la Tierra. En un instante dado (t = 0) despegan de su cubierta dos aviones de reconocimiento, uno que va hacia el Norte y el hacia el Sur ambos con una rapidez de 600 km/h con respecto a la Tierra y en la misma línea de acción del portaviones. Cada uno se aleja 594 km respecto del portaviones y regresa hacia el. Determinar el intervalo de tiempo (en h) que demora en regresar cada avión.

9. Un coche de ferrocarril se desplaza rectilíneamente sobre rieles con rapidez constante de 5 m/s. Un perro que se encuentra fuera de la línea férrea se dirige en todo instante al coche con rapidez constante. Si en cierto instante el perro observa que el tren pasa frente a él con una rapidez de 4 m/s, determinar la rapidez con que se mueve el perro.

10. Se muestra dos bloques A y B que resbalan sobre planos inclinados libres de rozamiento. Si los planos forman entre si un ángulo recto, determinar el módulo de la aceleración relativa de A respecto de B.

(g: módulo de la aceleración de la gravedad)

11. Dos pueblos amazónicos se encuentran en la misma orilla de un río separados una distancia de 36 km. Los pobladores para movilizarse usan una lancha que siempre se mueve con la misma velocidad constante en módulo respecto del agua, pero debido a la corriente de agua, cuando se mueve la lancha río debajo demora 1 hora y cuando se mueve río arriba se demora 2 horas, entre ambos pueblos. Determinar el modulo de la velocidad constante del río (en km/h)

600 km/h 600 km/h

60 km/h

OCÉANO PORTAVIONES

N S

Para el problema 08

A B

Para el problema 10

g

53°

Para el problema 12

(1) (2)

37°

53°

Para el problema 13



A

B C

RIO

Para el problema 03

12. Un hombre que guía su automóvil a través de una tormenta a 100 km/h observa que las gotas de lluvia dejan trazos en las ventanas laterales haciendo un ángulo de 53° con la vertical. Cuando el hombre detiene su auto, observa que la lluvia está cayendo realmente en forma vertical. Calcular el modulo de la velocidad de la lluvia (km/h) respecto de la tierra.

13. El conductor de un automóvil ve que cuando avanza con rapidez constante la gotas de lluvia siguen la trayectoria (1) y cuando retrocede con la misma rapidez ve que las gotas siguen la trayectoria (2). Si la velocidad real de las gotas de lluvia también es constante, determinar el ángulo que hace la dirección del movimiento real de las gotas de lluvia con la vertical.

14. A través del cristal de la ventana de un coche de ferrocarril, un pasajero ve caer las gotas de lluvia paralelamente a la diagonal del marco. ¿Con qué módulo de velocidad (en km/h) cae realmente, si no hay viento, y el tren está corriendo con velocidad constante cuyo módulo es 60 km/h? El ancho de la ventana es el doble de la altura.

MOVIMIENTO COMPUESTO (SEGUNDA PARTE) 1. Un hombre en un bote debe ir de A hacia B que están en orillas opuestas. Las dimensiones son

AC = 80 m y BC = 60 m. Si la velocidad de la corriente del río es constante de modulo 5 m/s, determinar la mínima rapidez constante del bote respecto del agua (en m/s), para lograr su objetivo.

2. Un hombre puede nadar en aguas tranquilas con una rapidez de 5 m/s. Si el río mostrado tiene un ancho de 24 m cuya corriente tiene velocidad constante de módulo 3 m/s, determinar el intervalo de tiempo (en s) que tardará en cruzar el río, sabiendo que tiene que hacerlo de A hacia B.

3. Un hombre puede nadar en aguas tranquilas con una rapidez de 4 5 m/s. Si el río mostrado tiene las siguientes dimensiones AC = 40 m y CB = 30 m, cuya corriente tiene velocidad constante de módulo 1 m/s, determinar el intervalo de tiempo (en s) que tardará en cruzar el río, sabiendo que tiene que hacerlo de A hacia B.

A

B

RIO

Para el problema 02

A

B C

RIO

Para el problema 01

A

B C

RIO

Para el problema 04



4. Por un río, del punto A al punto B que se encuentra en la orilla opuesta, a lo largo de la recta AB, navega un bote. La bandera ubicada en el mástil del bote flamea en la misma dirección del río. El viento sopla con una velocidad de 6 m/s en dirección perpendicular a la orilla de A hacia C. Si AC = 3 km y CB = 4 km, determinar el módulo de la velocidad (m/s) del bote respecto de la orilla.

5. Para cruzar un río de ancho AC = 200 m, desde A hasta B, se emplea un bote que se mueve siempre perpendicularmente a la corriente del agua con velocidad de 4 km/h respecto del agua. Si la velocidad de la corriente del río tiene módulo de 3 m/s, ¿a qué distancia (en m) medida del punto de partida se encuentra el punto de llegada del bote?

6. Un hombre puede

nadar en aguas tranquilas con velocidad de módulo 4 m/s. Si el ancho del rió es AB = 12 m, cuyas aguas se mueven con velocidad constante de módulo 5 m/s, determinar el intervalo de tiempo (en s) que tardará en cruzar el río, sabiendo que sale del punto A y quiere llegar alejado del punto de partida una distancia minina.

7. Una bandera ubicada en el mástil de un bote flamea haciendo un ángulo de 60° como se muestra en la figura, pero la bandera situada en la orilla del río se extiende al Sur 30° Oeste. Determinar el módulo de la velocidad (en km/h) del viento respecto a la Tierra, si el bote se mueve con rapidez de 10 km/h.

A

B

RIO

Para el problema 06

A

B C

RIO

Para el problema 05

VB

S

O

60°

Para el problema 08

N

E

60°

VB

E

O

S 60°

Para el problema 07

N 30°



8. Una bandera ubicada en el mástil de un bote flamea haciendo un ángulo de 60° como se muestra en la figura, pero la bandera situada en una casa en la orilla del río se extiende al Sur 60° Oeste. Determinar el módulo de la velocidad (en km/h) del viento respecto al bote, si el bote se mueve con rapidez de 10 km/h.

9. Un hombre se encuentra parado sobre una plataforma móvil que se mueve horizontalmente con velocidad constante de modulo 7 m/s. Si el hombre sostiene en sus manos un rifle, ¿en qué dirección definida por el ángulo θ debe hace el disparo, en el instante que el hombre pasa enfrente a un poste para hacer blanco en éste. El módulo de la velocidad de la bala es 25 m/s respecto del rifle.

10. Sobre las ventanas laterales de un automóvil que se desplaza a 30 km/h se observa que los trazos

que deja la lluvia en las ventanas laterales forman un ángulo de 37° con la vertical. Si las gotas de lluvia se observa que caen verticalmente cuando el auto está detenido, ¿Cuál es la rapidez (en km/h) de la lluvia respecto de la tierra?

11. Las gotas de lluvia caen con velocidad constante de módulo 10 m/s formando un ángulo de 37°

con la vertical. Determinar la rapidez (en m/s) y dirección con que debe moverse el hombre con un sombrero grande para mojarse lo menos posible.

12. Del punto A situado en la orilla de un río es necesario llegar al punto B, moviéndose siempre por la recta AB. Si AC = 1 km, BC = 2 km, la velocidad máxima del bote con respecto al río es de 5 km/h y la rapidez de la corriente de agua en el río de 2 km/h. ¿Es posible cubrir la distancia AB en 30 minutos?

37°

Para el problema 10 V

θ

POSTE

RIFLE

Para el problema 09

37°

X

Y

O

Para el problema 11

A

B

RIO

Para el problema 12



MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE PARABÓLICO 1. CONCEPTO:

Si lanzamos un cuerpo con cierto ángulo de inclinación y el medio fuese el vació, el móvil describiría una trayectoria curva llamada parábola, la cual tendrá una forma que dependerá de la velocidad de lanzamiento y el ángulo de disparo. Galileo demostró que el movimiento parabólico debido a la gravedad es un movimiento compuesto por otros dos: uno horizontal y el otro vertical. Descubrió asimismo que el movimiento horizontal se desarrolla siempre como un M.R.U. y el movimiento vertical es un M.R.U.V. con aceleración igual a “g”, es decir movimiento de caída libre vertical.

2. TIRO SEMIPARABÓLICO Desplazamiento vertical: caída libre desde el reposo Desplazamiento horizontal: movimiento con velocidad constante. Todos los tiros semiparabólicos causados por la gravedad se resuelven con las siguientes relaciones: Movimiento vertical:

21

2y g t====

Movimiento horizontal:

XX V .t====

0V : Velocidad de

lanzamiento (dirección horizontal). 3. SISTEMA DE REFERENCIA: Para una trayectoria semiparabólica fijamos nuestro sistema de referencia en el nivel de lanzamiento, de manera que el cuerpo acelera en el eje Y. 4. FORMA VECTORIAL: Cuando utilices las ecuaciones vectoriales no debes olvidar que todas las cantidades vectoriales que en ellas aparecen tienen signos los que dependerán del sentido que

X (m)

Y (m)

5

35

L

25

2L 3L A

B

C

D

D

V0 Cosθ

X

Y

V0

θ

H



posean. Asimismo, te recomiendo trazar el origen de coordenadas en el punto de lanzamiento, y desde allí medir los desplazamiento, horizontal (x ) y vertical (y ). Las ecuaciones vectoriales del movimiento vertical son:

Para la velocidad vertical: 0= += += += +� � �

f y yV V g.t

Para el desplazamiento vertical:

2

0 2y

g.th V .t= += += += +

��

La velocidad total del proyectil es siempre tangente a la parábola en cualquier punto de esta, y su

valor se determina aplicando el teorema de Pitágoras: 2 2

x fyV V V= += += += +

5. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA : Aplicamos en el eje X el M.R.U, entonces el módulo del

desplazamiento horizontal es (((( ))))0xx V .t x V .Cos .tθ==== ⇒⇒⇒⇒ ====

Ahora despejamos el tiempo transcurrido

0

xt

V .Cosθ==== … (1)

Aplicamos en el eje Y el M.R.U.V., la rapidez inicial en el eje vertical es:

0 0yV V .Senθ====

entonces el módulo del desplazamiento vertical es

2

0 2y

g.ty V .t= −= −= −= − … (2)

Reemplazamos (1) en (2): (((( ))))

2

00

0 2

xg.

V .Cosxy V .Cos .

V .Cos

θθ

θ

= −= −= −= −

(((( )))) 22 2

02

gy Tg .x .x

.V .Cosθ

θ

= −= −= −= −

La trayectoria que describe el proyectil en una línea curva llamada PARÁBOLA. 2y a.x b.x= −= −= −= −

ECUACIONES ESPECIALES 6. TIEMPO DE VUELO: tiempo que demora el proyectil en regresar al nivel de lanzamiento.

02.V .SenT

g

θ====

7. ALTURA MÁXIMA: En el instante que el proyectil alcanza la altura máxima, su velocidad el eje vertical es nula (un instante).

2 2

0

2

V .SenH

g

α====

x

y

X

Y

V0

θ



8. ALCANCE HORIZONTAL: Se define como el desplazamiento sobre el eje horizontal.

2 2

0 02 2.V .Sen .Cos V .SenD

g g

α α α= == == == =

9. Relaciones entre la altura máxima y el alcance horizontal: 4H

TgR

α ====

10. Relaciones entre la altura máxima y el tiempo de vuelo: 2

8

g.TH ====

11. ALCANCES IGUALES: Si dos cuerpos son lanzados con velocidades de igual módulo (vi) y con distintas inclinaciones “α” y “ β”, de manera que los alcances horizontales sean iguales en los dos casos, se verificará: Los alcance son iguales si los ángulos son complementarios, α + β = 90°. 12. ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO: Cuando regamos el jardín con una manguera comprobamos que el alcance cambia a medida que inclinamos más la manguera, y cuando continuamos con este proceso observamos que luego de un aumento de alcance, este empieza a reducirse. Se puede demostrar que de todos los alcances, el máximo se logra cuando el ángulo de disparo es de 45°, de este modo se obtiene que:

20

maximo

VD

g====

13. TEOREMA PLUS 100 Si dos partículas se mueven con una misma aceleración (iguales en modulo y dirección), su movimiento relativo es un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.). DEMOSTRACIÓN Sabemos que: 0= += += += +� � �

v v a.t entonces para las partículas A y B que se mueven con una misma

aceleración tenemos que: 0= += += += +� � �

A Av v a.t y 0= += += += +� � �

B Bv v a.t Por otro lado, por definición de velocidad relativa: = −= −= −= −� � �

AB A Bv v v

(((( ))))0 0= + − += + − += + − += + − +� � � � �

AB A Bv v a.t v a.t

0 0= −= −= −= −� � �

AB A Bv v v

Como la velocidad relativa de A respecto de B, no varía con el tiempo, su trayectoria relativa será una línea recta. Este teorema es muy útil cuando dos partículas A y B describen una trayectoria Parabólica dentro de un campo gravitacional. 14. TEOREMA PLUS 110: Si dos partículas, que al ser lanzadas simultáneamente al campo de gravedad, chocan en el aire, el punto de impacto P estará debajo del punto de intersección de sus velocidades de lanzamiento.

β

V1

V2

A

B

P

TEOREMA PLUS 110

g

O



DEMOSTRACIÓN Sabemos por teoría que el desplazamiento que experimenta una partícula que se mueve

parabólicamente en el campo de gravedad esta dado por: 20

1

2= += += += +��

d v .t g.t

Según esto el vector desplazamiento �

d es la suma vectorial de un vector colineal con la velocidad

de lanzamiento 0�

v y de un vector vertical paralelo a la aceleración de la gravedad �

g .

Si dos partículas A y B, que al ser lanzadas simultáneamente, chocan en el punto P, se cumplirá que el punto P estará debajo del punto de intersección de sus velocidades de lanzamiento. En ausencia de la gravedad las partículas A y B chocarían en el punto “O”.

15. TEOREMA PLUS 120: Si una partícula se mueve en el plano con ley de movimiento: (((( ))))====x x t y (((( ))))====y y t

Su distancia al origen de coordenadas tomará un valor extremo (máximo o mínimo relativo)

cuando: 0+ =+ =+ =+ =x yx.v y.v

DEMOSTRACIÓN

El vector posición en el plano cartesiano de la partícula móvil será: (((( ))))r x; y====�

y el modulo es:

2 2z r x y= = += = += = += = +�

, el modulo de r�

tomara su máximo (mínimo) valor cuando la función (((( ))))z t

tome su valor máximo (mínimo). Por otro lado la función (((( ))))z t tomara su máximo (mínimo)

cuando su derivada respecto del tiempo, sea cero:

d z0

d t= entonces

( )2 2d x y0

d t

+= desarrollando tenemos que:

d x d y2x 2y 0

d t d t

+ =

Finalmente verificamos que: d x d y

x y 0d t d t

+ =

también x yx.v y.v 0+ =



16. DESCOMPOSICIÓN DE LA ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO P ARABÓLICO . Descomponemos la velocidad de una partícula en un instante de tiempo, en el eje horizontal la velocidad no varía, pero la velocidad en el eje vertical cambia debido al campo de gravedad. Calculemos el ángulo que forma la velocidad V con el eje horizontal.

==== y

x

VTan

Vφ

Ahora observe la descomposición rectangular de la aceleración de la gravedad. Tiene dos componentes en cada instante de tiempo: La aceleración tangencial es colineal con la velocidad instantánea V:

====ta g.Senφ

La aceleración normal es perpendicular a la velocidad instantánea V:

====na g.Cosφ

El radio de curvatura se puede calcular con la ecuación:

2

= == == == =n

Va g.Cosφ

ρ despejando tenemos

2

====V

g.Cosρ

φ

PROBLEMAS PROPUESTOS (PARTE 1)

1. Un cuerpo es lanzado con velocidad inicial 1

0 ( . )−�

V m s desde el punto ( )20;45 expresado en

metros, transcurrido 3 segundos alcanza la velocidad ˆ ˆ40 i 30 j (m /s)+ . Si su aceleración es 2ˆ10 j (m /s )− , determinar:

a) la velocidad inicial. b) su velocidad y posición en cualquier instante. c) el tiempo transcurrido y la velocidad con que llega a la superficie de la Tierra. d) la ecuación de la trayectoria.

2. Un cuerpo es lanzado con velocidad inicial 10 ( . )−�

V m s desde el punto ( )20;30− expresado en

metros, transcurrido 2 segundos alcanza la velocidad ˆ ˆ10 i 20 j (m /s)+ . Si su aceleración es 2ˆ10 j (m /s )− , determinar:

a) la velocidad inicial. b) su velocidad y posición en cualquier instante. c) el tiempo transcurrido y la velocidad con que llega a la superficie de la Tierra. d) la ecuación de la trayectoria.

V

g

φ

Parábola

Fig. 01. DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD

Vy

an at

φ Vx



3. De lo alto de una torre se lanza una partícula con velocidad ˆ40 i (m /s)en el instante t 0s= .

Considerando a aceleración de la gravedad 2ˆ10 j (m /s )− , determina el valor de la aceleración normal y tangencial en el instante t 3 s= .

4. Desde el piso se lanza una partícula con velocidad ˆ ˆ30i 60 j (m /s)+ en el instante t 0s= .

Considerando a aceleración de la gravedad 2ˆ10 j (m /s )− , determina el valor de la aceleración normal y tangencial en el instante t 3 s= .

5. La velocidad de una partícula que se mueve en el plano X-Y se expresa como:

( )ˆ ˆ400i 30t j (m /s)− . Si cuando t 0s= se encuentra en el punto ( )40;80 expresada en metros.

Determinar: a) la ecuación de la trayectoria b) la posición, la velocidad y aceleración en el instante t 3 s= .


( )ˆ ˆ40 i 30 t 2 j (m /s)+ − . Si cuando t 0s= se encuentra en el punto ( )40;45 expresada en metros.

Determinar: a) la ecuación de la trayectoria b) la posición, la velocidad y aceleración en el instante t 3 s= .


( ) ( )2ˆ ˆ40 t 1 i 30 t 2t 1 j (m /s)− + − + . Si cuando t 0s= se encuentra en el punto

( )20; 10− expresada en metros. Determinar:

a) la ecuación de la trayectoria b) la posición, la velocidad y aceleración en el instante t 3 s= .

8. Conociendo a ley de movimiento de una partícula en el plano ( )2.5.50;.30 tttr −=� donde “t” se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional

2.ˆ10 −−= smjg� Determinar: a) La ecuación cartesiana de la trayectoria. b) la velocidad en cualquier instante c) la velocidad en el instante st 0,2=

d) el valor de la velocidad en el instante st 0,2= e) la aceleración en cualquier instante f) la aceleración en el instante st 0,2=

g) el valor de la aceleración en el instante st 0,2=

h) la medida del ángulo que forma la velocidad y la aceleración en el instante st 0,2=

i) el valor de la aceleración tangencial en el instante st 0,2=

j) el valor de la aceleración normal en el instante st 0,2=

k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantánea) en el instante st 0,2=

9. Conociendo a ley de movimiento de una partícula en el plano ( )2.5.50;.30 tttr −=� donde “t” se mide

en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional 2.ˆ10 −−= smjg� Determinar:

a) La ecuación cartesiana de la trayectoria.



b) la velocidad en cualquier instante

c) la velocidad en el instante st 5,3=

d) el valor de la velocidad en el instante st 5,3=

e) la aceleración en cualquier instante

f) la aceleración en el instante st 5,3=






10. Conociendo a ley de movimiento de una partícula en el plano ( )2.5.50;.30 tttr −=� donde “t” se

mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional 2.ˆ10 −−= smjg� Determinar:

a) La ecuación cartesiana de la trayectoria. b) la velocidad en cualquier instante





































k) la curvatura de la osculatríz (circunferencia instantánea) en el instante



50 m/s 10 m/s

g

D

Para el problema 05

37°

PROBLEMAS PROPUESTOS DE MOVIMIENTO PARABÓLICO (part e 2) 1. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad constante de módulo V = 50 m/s, a una altura

de 500 m de la superficie terrestre. ¿Con qué ángulo de depresión debe ver el piloto el objetivo par que al dejar caer un bomba esta dé en el blanco B? (g = 10 m/s2)

2. Se abandona un bloque en la posición A

sobre el plano inclinado. Si al pasar por B su velocidad tiene módulo de 50 m/s, determinar el desplazamiento horizontal D (en m) que experimenta el móvil en el tramo BC. (g = 10 m/s2)

3. Se muestra el lanzamiento de una partícula, con rapidez V = 10 m/s formando un ángulo de 53° respecto de la horizontal, sobre un plano que está inclinado 37°. ¿Después de cuántos segundos llegará a la superficie del plano inclinado? (g = 10 m/s2)

4. Si el alcance horizontal máximo de un proyectil es 50 m, con que ángulo de tiro debe disparase para dar en un blanco situado sobre el mismo plano horizontal y a una distancia de 25 m, si en ambos cados el proyectil es lanzado con la misma velocidad inicial.

V

θ

B

Para el problema 01

A

B

C

135 m

D

Para el problema 02

37°

V

37°

16°

Para el problema 03

A

O

V

θ

H

x

y

D

Para el problema 6 y 7



5. Un tanque se mueve horizontalmente con una velocidad de módulo 10 m/s hacia un mortero situado en el mismo plano horizontal y delante de el. Si de pronto el mortero lanza un proyectil con una velocidad de 50 m/s formando un ángulo de 37° con la horizontal y da en el blanco, ¿a qué distancia D (en m) del mortero se encontraba al tanque en el instante del disparo? (g = 10

6. La ecuación de la trayectoria que describe un proyectil durante su movimiento está definida por: 2

100

xy x= − . Determinar la rapidez (en m/s) del proyectil en el instante que alcanza su altura

máxima. (g = 10 m/s2)

7. Un proyectil es disparado desde el origen del sistema de referencia haciendo un ángulo θ con el eje horizontal. Determinar la medida del ángulo θ si para t1 pasa por la posición (40 m; 25 m) y en el instante t2 pasa por la posición (160 m; 40 m). (g = 10 m/s2)

8. Desde A se lanza una partícula se lanza en con velocidad V formando un ángulo de 53° con la horizontal. Si la partícula cae en el punto B de la semiesfera, determinar la rapidez de lanzamiento (en m/s). (g = 10 m/s2)

9. En la posición A se lanza horizontalmente una partícula, simultáneamente se abandona un bloque en la posición B sobre el plano inclinado. Determinar la rapidez de lanzamiento V (en m/s) de la partícula para que ambas choquen durante su movimiento. No hay rozamiento. (g = 10 m/s2)

10. En lo alto de una torre de 200 m de altura, una artillería vigila un campo de prisioneros, en un descuido ciertos reclusos logran capturar un Jeep estacionado (reposo) al pie de la torre y tratan de huir con aceleración constante de módulo 1,25 m/s2. ¿Qué intervalo de tiempo (en s) debe esperar la artillería desde que empezó la fuga par disparar el proyectil y darles a los fugitivos? La velocidad de salida del proyectil es de 50 m/s formando 37° con la horizontal. (g = 10 m/s2)

11. Un móvil se desplaza en el plano x –y

30°

V A

B 160 m

80 m

Para el problema 09

37° 53°

Para el problema 08

V 25 m

10 m

B

A

37°

V

D

200 m

A

Jeep

g

Para el problema 10



50 m/s

10 m/s

g

D

Para el problema 12

37°

dentro de un campo gravitacional de intensidad constante a = 5 m/s2 cuya dirección se muestra en la figura. Si la posición inicial de móvil es A (4; 4) y la velocidad inicial es V = (1 i + 2 j ) m/s, determinar su posición después de 2 segundos.

12. Un tanque se mueve horizontalmente con una velocidad de módulo 10 m/s hacia la derecha situado en el mismo plano horizontal y delante del mortero. Si de pronto el mortero lanza un proyectil con una velocidad de 50 m/s formando un ángulo de 37° con la horizontal y da en el blanco. ¿A qué distancia D (en m) del mortero se encontraba al tanque en el instante del disparo? (g = 10 m/s2)

13. La esfera A se lanza horizontalmente con velocidad V1, simultáneamente se lanza la esfera B con velocidad V2 formando un ángulo de 45° con la horizontal. Sabiendo que chocan en el aire durante su movimiento, determinar el desplazamiento horizontal (en m) que experimenta A hasta la colisión.

14. La esfera A se abandona,

simultáneamente se lanza la esfera B con velocidad V2 formando un ángulo de θ con la horizontal. Sabiendo que chocan en el aire durante su movimiento, determinar el la medida del ángulo θ.

V1

V2

45°

A

B

30 m

50 m

P

Para el problema 13

g

53°

V a

x (m)

y (m)

4

4 0

Para el problema 11



15. Dos esferas A y B inician su movimiento simultáneamente, A es lanzada horizontalmente con rapidez “V” y B es lanzada verticalmente con rapidez “2V”. Determinar la distancia D (en m) sabiendo que los cuerpos chocan en el punto P.

16. Determinar la relación entre la

tangente de los ángulos α y β con que se lanzan los proyectiles simultáneamente, si colisionan en P durante su movimiento.

17. Dos proyectiles A y B se lanzan simultáneamente. Si colisionan en P durante su movimiento, determine la medida del ángulo θ.

18. Desde un globo que asciende con una velocidad de módulo 6 m/s, se lanza una piedra horizontalmente respecto del globo con rapidez de 5 m/s. La piedra experimenta un alcance horizontal de 15 m hasta llegar al piso. ¿Desde qué altura H (en m) se lanzó la piedra? (g = 10 m/s2)

V

2V

A

B

8 m

D

P

Para el problema 15

g V1 = 0

V2

θ

A

B

40 m

30 m

P

Para el problema 14

g

V1 V2

P

30 m 40 m

A B θ 45°

g

Para el problema 17

V1 V2

P

d 2d

A B α

β

g

Para el problema 16



19. Una persona que se encuentra en un globo en cual asciende con rapidez de 5 m/s, lanza un cuerpo con rapidez de 5 m/s formado un ángulo de 53° con la horizontal (respecto del globo). Sabiendo que el cuerpo describe una trayectoria parabólica, determinar la altura H (en m) desde el cual se lanzó el cuerpo. (g = 10 m/s2)

20. En la figura el campo gravitatorio se representa mediante líneas de fuerza, cuya intensidad

es g = 10 m/s2. Se lanza una pelota pequeña perpendicular a la superficie con rapidez V = 20 m/s. Determinar la distancia máxima de alejamiento (en m) respecto de la superficie.

21. En la figura el campo gravitatorio se

representa mediante líneas de fuerza, cuya intensidad es g = 10 m/s2. Se lanza una pelota pequeña perpendicular a la superficie con rapidez V = 40 m/s. Determinar la distancia AB (en m) sobre la superficie.

22. Se muestra dos zonas del campo de gravedad de igual módulo g = 10 m/s2. Si una esfera pequeña se abandona en la posición A, ¿después de que intervalo de tiempo (en s) sale de esta región gravitacional?

V

H

15 m

g

Para el problema 18

30°

V

g

Para el problema 20

53°

V

g

Para el problema 21

A B D

V

H

12 m

g

Para el problema 19

4 m

13 m

g

g

A

53°

Para el problema 22



23. ¿Cuál es la diferencia entre las alturas alcanzadas (en m) por el proyectil disparado con velocidad de módulo V = 2 m/s, cuando el ángulo de tiro varia de 30° a 60°, sin cambiar la rapidez de lanzamiento. (g = 10 m/s2)

24. Desde el punto “A” se debe lanzar una piedra con el fin de impactar en el foco ubicado en “B”. Calcular la medida del ángulo de lanzamiento “α” sabiendo que la velocidad de lanzamiento de módulo V es mínima. (g = 10 m/s2)

25. Dos partículas A y B son lanzadas simultáneamente con velocidades de módulos 25 m/s y 80 m/s respectivamente. Determinar el módulo de la velocidad de su velocidad relativa de A respecto de B luego de 2 segundos.

26. Si en el instante que la partícula A es lanzada en la forma que se indica, otra B es

dejada caer. Determinar la mínima distancia que las separa durante su movimiento.

27. Si la partícula A mostrada en la figura es lanzada con una velocidad de módulo 40 m/s, determinar después de cuántos segundos debe lanzarse la partícula B con una velocidad de módulo 25 m/s, para que la distancia de separación entre estas no varié con el tiempo. (g = 10 m/s2)

A

B

7 m

24 m

V

g

α

Para el problema 24

Para el problema 25

B 16°

44° A

g

37°

V

20 m

20 m

B

A

g

Para el problema 26

53° 16°

B A

VA VB

g

Para el problema 27



28. Dos partículas son lanzadas simultáneamente de los puntos A y B en la forma que indica la figura. Si la partícula que se lanzo de A llega a B y la que se lanzó de B llega al punto A, determinar cuál fue la mínima distancia de separación (en m) entre estas durante su movimiento.

29. Si las partículas A y B, que son lanzadas con velocidades de módulos 20 m/s y 15 m/s, chocan en el aire, determinar después de cuántos segundos sucede esto.

30. Dos partículas A y B son lanzadas

simultáneamente, desde el mismo punto, en forma que muestra la figura. Si las velocidades de lanzamiento de A y B tiene los siguientes módulos 10 m/s y 24 m/s respectivamente, determinar la distancia (en m) que las separa después de 5 segundos.

31. Una partícula es lanzada horizontalmente desde el punto A con velocidad de módulo V = 50 m/s. Determinar después de cuántos segundos la distancia que la separa del punto P es mínima. ( g = 10 m/s2)

61° 29° A

B

100 m

g

Para el problema 28

VA

VB

g

67° 23°

Para el problema 30

30° 60° A B

35 m

g

Para el problema 29

A V

P

g

45 m

150 m

Para el problema 31

V A

B 37°

Para el problema 32

g



32. Un proyectil es disparado horizontalmente con una rapidez V = 15 m/s. ¿A qué distancia del punto de disparo (en m) el proyectil impacto sobre el plano inclinado? ( g = 10 m/s2)

33. Un proyectil se dispara con una velocidad de 30 40++++ˆ ˆi j (m/s). Si éste choca contra la pared vertical con una velocidad que hace 45° con ella, el proyectil choca cuando se encuentra ganando altura. Calcula a qué distancia (en m) del punto de disparo se encuentra la pared. (g = 10 m/s2)

34. Un proyectil se dispara con una velocidad de 30 40++++ˆ ˆi j (m/s). Si éste choca contra la pared vertical con una velocidad que hace 45° con ella, el proyectil choca cuando se encuentra perdiendo altura. Calcula a qué distancia (en m) del punto de disparo se encuentra la pared. (g = 10 m/s2)

35. Un proyectil es lanzado con un ángulo de elevación de 16° y pasa justamente por la parte superior de dos postes de 5 m de altura separados 100 m. Determinar el alcance horizontal (en m) desde que sale del piso hasta que regresa al piso. (g = 10 m/s2)

36. Observe la figura. Determinar la velocidad de lanzamiento 0V con que debe lanzarse una

partícula, haciendo un ángulo de 60° con la horizontal, para que demore en chocar con el cilindro hueco de radio R el mayor tiempo posible.

37. Dos partículas A y B son lanzadas simultáneamente con la misma rapidez 0V pero con

diferentes ángulos de lanzamientos yα β respectivamente. Determinar el valor de su velocidad relativa después de un cierto tiempo.

38. Una partícula es lanzada oblicuamente desde la azotea (en A) de un edificio con una velocidad

( ) 10 5 3; 5 . −= −�

v m s . Determinar en el instante en que la distancia que separa de un observador

situado en O ( )0;0 toma un mínimo valor.

39. La ley de movimiento de una partícula que se mueve sobre el plano −x y es: 21 4= + −x t t e 25 4 2= + −y t t donde “x” e “y” se miden en metros y “t” en segundos. Determinar el instante

en que la distancia de la partícula al origen de coordenadas toma su valor mínimo.

Vo

R 60°

g

Para el problema 36

O A

g

O

36 m

V0

Para el problema 38

30° A



40. Las posiciones de dos partículas A y B que se mueven en el plano −x y están dados por:

( )22 1 ; 2= −�

Ar t t y ( )2 6 10 ;= + +�

Br t t t donde �

r se mide en metros y “t” en segundos. ¿Cuál es

la distancia mínima entre estas partículas y en que instante ocurre esto?

41. Dos móviles A y B desde las posiciones cuyas coordenadas cartesianas son ( )5 ;0−A y

( )0 ; 5−B expresadas en metros, se mueven con velocidades constantes 1ˆ3 ( . )−i m s y 1ˆ4 ( . )−j m s

a través de dos carreteras perpendiculares entre sí. Determinar la distancia mínima de acercamiento de los móviles Ay B durante su movimiento.

42. PROBLEMA . Una partícula es lanzada horizontalmente con una cierta velocidad constante vo desde el punto A, de una superficie cilíndrica de radio R, cuyo eje es una recta horizontal que pasa por O. Determinar el ángulo θ, que define la posición del punto A, para que el tiempo que dicha partícula permanece en el aire dentro del cilindro sea máximo. Despreciar toda clase de rozamiento. Expresar en términos de la siguiente constante:

43.



LA TRAYECTORIA MÁS RÁPIDA (PRINCIPIO DE FERMAT) EJEMPLO 01: Juan se encuentra en la posición A de un lago donde nada con rapidez constante de 3 m/s y en la orilla sobre la arena corre con rapidez de 5 m/s. Determinar el intervalo de tiempo mínimo que emplea el llegar a su cabaña situado en la posición B.

A) 110 s B) 130 s C) 140 s D) 150 s E) 160 s Resolución Si Juan se comportara como un rayo de luz y la línea CB como la superficie que divide dos medios donde las rapideces son diferentes, entonces el tiempo empleado sería mínimo.

Cálculo del tiempo en el agua:

(((( ))))2 2

11

120

3

xANt

V

++++= == == == =

A

B

x

120 m

C

A R E N A

A G U A

α

N

390-x

α

90º

A

B

390 m

120 m

C

A R E N A

A G U A



Cálculo del tiempo en la arena:

22

390

5

NB xt

V

−−−−= == == == =

Cálculo del tiempo total empleado:

(((( ))))2 2

1 2

120 390

3 5

x xt t t

++++ −−−−= + = += + = += + = += + = +

El tiempo es mínimo, caso crítico, derivada del tiempo respecto de x, igual a cero. 0dt

dx====

(((( ))))(((( ))))

2 2

11 20

3 52 120

.x

. x

−−−− + =+ =+ =+ = ++++

Resolviendo x = 90 metros Reemplazamos en:

(((( )))) (((( ))))2 2

1 2

120 90 390 90110

3 5t t t

++++ −−−−= + = + == + = + == + = + == + = + =

Respuesta: el mínimo tiempo empleado, para ir de desde A hasta B es 110 segundos. EJEMPLO 02: Un joven deportista debe desplazarse desde la posición A en un lago hasta el punto B sobre la arena, dividida entre sí por un segmento EF. En el lago nada con rapidez de 6 m/s y por la arena corre con una rapidez de 8 m/s. Determine el intervalo de tiempo mínimo que demora para trasladarse desde A hasta B.

Resolución Si el joven se comportara como un rayo de luz y la línea EF como la superficie que divide dos medios donde las rapideces son diferentes, entonces el tiempo empleado sería mínimo.

α

B C

48 m

48 m

100 m

AGUA

ARENA

E F

A



Cálculo del tiempo en el agua: ( )

6

48

6

22

1

xAPt

+==

Cálculo del tiempo en la arena:

( ) ( )8

10048

8

22

2

xPBt

−+==

Cálculo del tiempo total empleado:

( ) ( ) ( )8

10048

6

48 2222

21

xxttt

−++

+=+=

El tiempo es mínimo, caso crítico, derivada del tiempo respecto de x, igual a cero. 0dt

dx====

( )( )( )

( ) ( )0

10048.2

11002.

8

1

482

2.

6

12222

=−+

−−

++

x

x

x

x

Resolviendo x = 36 metros Reemplazamos en:

( ) ( ) ( ) ( )8

3610048

6

3648 2222

21

−++

+=+= ttt

Respuesta: el mínimo tiempo empleado, para ir de desde A hasta B es 20 segundos.

P

B

α 48 m

48 m

(100 – x)

AGUA

ARENA

E F

C

β

48

x

48

A



44. BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIÓN:

http://grups.es/didactika/yahoo.com http://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.com www.didactika.com [email protected] [email protected]

(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)

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