Semana 11-Variables Sep Arab Les

Francisco Ismael Pinillos Nieto

1

Matemática II

FACULTAD DE INGENIERÍA

06 de junio de 2011

SESIÓN 11.

ECUACIONES DE VARIABLES

SEPARABLES Y HOMOGÉNEAS

11.1 ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES. ..................................................... 2

11.2 MÉTODO PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES ...... 3

11.3 FUNCIONES HOMOGÉNEAS. ............................................................................... 6

11.4 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS ................................................. 7

11.5 MÉTODO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA ...... 8

11.6 HOJA DE TRABAJO 11 ...................................................................................... 11

Contenidos:


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Matemática II


06 de junio de 2011

Una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden se representa como

),( yxfdx

dy

Ésta ecuación, también puede ser expresada en su forma extendida como

0),(),( dyyxNdxyxM ;

donde M y N son funciones de x e y .

Ejemplo 11.1. Dada la ecuación diferencial de primer orden 22 yxdx

dy ésta, también puede

ser representada como 0)( 22 dydxyx ; en este caso 22 yxM y 1N

Ejemplo 11.2. Dada la ecuación diferencial de primer orden senxy

xx

dx

dy2

2 cos , ésta también puede ser

representada como 0cos 22 dysenxydxxx ; en este caso xxM cos2 y senxyN 2

11.1 ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES.

Definición 11.1. Si el lado derecho de la ecuación ),( yxfdx

dy se puede expresar como el producto

de una función )(xg que sólo depende de x , y una función )(y que sólo depende de y , la

ecuación diferencial es llamada Ecuación diferencial de Variables Separables.

En otras palabras una ecuación diferencial de primer orden es de variables separables, si ésta se

puede escribir en la forma

)().( yxgdx

dy ; donde

)(

1)(

yhy .

Definición 11.2. Si la ecuación está representada como 0),(),( dyyxNdxyxM , diremos que ésta

es de variables separables, si cada una de las funciones ),( yxM y ),( yxN se pueden representar

como el producto de dos funciones una que dependa de la variable x y otra que dependa de la

variable y ; es decir: )().(),( 11 yxgyxM y )().(),( 22 yxgyxN

Ejemplo 11.3. La ecuación diferencial )( QBkdt

dQ , que corresponde al Modelo de Mitsherlich..

Donde )(tQ es el tamaño de un cultivo y B es el tamaño máximo del cultivo, podemos comprobar

que ésta ecuación diferencial es de variables separables.

En efecto,

dtkQB

dQQBk

dt

dQ

)(

Ejemplo 11.4. La ecuación diferencial )( EPkEdt

dE , corresponde a la Propagación de un Chisme.

Donde E representa a la cantidad de personas ya enteradas y P la cantidad de personas.

Podemos comprobar que ésta ecuación es de variables separables.


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En efecto,

dtkEPE

dEEPkE

dt

dE

)()(

Ejemplo 11.5. Dada la ecuación diferencial

2

2

cos3 rr

r

ee

senesen

d

dr

, mostraremos que esta ecuación

es de variables separables.

En efecto,

222

2

cos31cos3

1

dsen

e

dre

e

esen

d

drr

r

r

r

Ejemplo 11.6. Sea la ecuación diferencial yey

xx

dx

dy

cos

126 5

, mostraremos que es de variables

separables.

En efecto,

dxxxdyey y 126cos 5

Ejemplo 11.7. Afirmamos que la ecuación diferencial 323

665

.

.cos6

ysenxxy

yxyx

dx

dy

es de variables

separables.

En efecto,

dxsenxx

xx

y

dy

senxxy

xxy

dx

dy

2

5

323

56 cos6cos6

Ejemplo 11.8. La ecuación diferencial

cos21

2

r

senr

d

dr

no es de variables separables.

Ejemplo 11.9. La ecuación diferencial xydx

dy 3 no es de variables separables.

11.2 MÉTODO PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES

En primer lugar debemos agrupar la variable independiente con su diferencial a un lado de la

ecuación y la variable dependiente con su respectivo diferencial al otro lado de la ecuación. Una

vez separadas, integramos a ambos lados de la ecuación, obteniendo así la solución de la ecuación

diferencial.

Es decir, dada la ecuación )().( yxgdx

dy ; primero despejamos las variables obteniendo

dxxgy

dy)(

)(

, al hacer

)(

1)(

yyh

y sustituyendo obtenemos dxxgdyyh )()( .

Ahora integramos a ambos lados de la ecuación final dxxgdyyh )()( .

Obteniendo CxGyH )()( como solución de la ecuación diferencial de variables separables.


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Ejemplo 11.10. Un ambientalista encontró que cierto tipo de árbol crece de manera que su altura

)(th después de t años cambia a una razón de tt 3/22.0 pies por año. Si el árbol tenía 3 pies

cuando fue plantado, ¿qué altura tendrá dentro de 20 años?

En efecto,

ttdt

dhttth 3/23/2 2.02.0)('

dtttdhdtttdh 3/23/2 2.02.0

Cttth 2/33/5

3

2

25

3)(

Ahora, tenemos como condición inicial la altura del árbol al momento de ser plantado 3 pies de

altura, es decir 3)0( h

33)0(3

2)0(

25

3)0( 2/33/5 CCh

Por lo tanto 33

2

25

3)( 2/33/5 ttth es una solución particular, que expresa la altura del árbol en un

determinado tiempo.

Dentro de 20 años el árbol tendrá una altura de 803)20(3

2)20(

25

3)20( 2/33/5 h pies.

Ejemplo 11.11. Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiará a una

razón de 3/254 t personas por mes. Si la población actual es de 5000 personas, ¿cuál será la

población dentro de 10 meses?

En efecto, la ecuación diferencial que describe el problema es 3/254 tdt

dP , la cual es una

ecuación de variables separables.

dttdP 3/254

dttdP 3/254

Por lo tanto CtttP 2/524)( es la solución general de la ecuación diferencial; pero tenemos las

siguientes condiciones iniciales, la población actual es de 5000 personas, esto se representa como

5000)0( P

5000)0(2)0(4)0( 2/5 CP ; entonces 5000C .

Finalmente la solución particular es:

500024)( 2/5 tttP

Como la interrogante es determinar la población dentro de 10 meses, sustituimos 10t en la

función que describe la población en un determinado tiempo.

56735000)10(240)10( 2/5 P personas.

Ejemplo 11.12. Hallamos la solución de la ecuación diferencial 3

1

rd

dr

.

En efecto, separando las variables obtenemos ddrr 13 ; ahora integramos a ambos lados

de la igualdad:

Cr

ddrr

24

124

3


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Por lo tanto la solución general de la ecuación es: 4

2

24

Cr

Ejemplo 11.13. Hallar la solución de la ecuación

2

2

cos3 rr

r

ee

senesen

d

dr

.

En efecto, en primer lugar separamos las variables

22 cos31

dsen

e

drer

r

, ahora integramos a

ambos lados de la igualdad

22 cos31

dsen

e

drer

r

.

Para poder integrar debemos realizar los siguientes cambios de variables: dredueu rr y

dsendtt cos , luego sustituyendo en las respectivas integrales obtenemos:

C

tu

t

dt

u

du

3arctan

3

1arctan

31 22

Por lo tanto la solución general de la ecuación es: Cer

3

cosarctan

3

1arctan

Ejemplo 11.14. Hallar la solución de la ecuación 0)(22 dyyedxxyx x .

En efecto, separando las variables dyy

ydx

e

xdyyedxyx

x

x

)1(0)1(

2

22

2

, ahora

integramos a ambos lados de la igualdad:

dyy

ydx

e

x

x )1( 22.

Para poder integrar debemos realizar los siguientes cambios de variables: dxxduxu 22 y

dyydtyt 21 2 , ahora sustituyendo en las respectivas integrales obtenemos:

tduet

dt

e

du u

uln

2

1

2

1

2

1

2

1

Finalmente obtenemos: 21lnlnln2

yCeCte xu

Por lo tanto la solución general de la ecuación es: 21ln2

yCe x

Ejemplo 11.15. Hallar la solución de la ecuación 0cos1 dxsenxyedyy x .

En efecto, separando las variables obtenemos dxsenxey

dy xcos

2 ; ahora integramos a ambos lados

de la igualdad:

dxsenxey

dy xcos

2.

Para poder integrar debemos realizar el siguiente cambio de variable dxsenxduxu cos

Ahora sustituyendo en la respectiva integral obtenemos:

Cey

Cey

duey

dy xuu cos

332 3

1

3

1


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Por lo tanto la solución general de la ecuación es: Cey

x cos

33

1

11.3 FUNCIONES HOMOGÉNEAS.

Definición 11.3. Una función ),( yxf se llama homogénea de grado n respecto a las variables x

e y , si IR , se verifica la identidad IRnyxfyxf n ;),(),(

Ejemplo 11.16. Dada la función 3 33),( yxyxf comprobamos si es homogénea.

3 3333 33333 33),( yxyxyxyxf

),(),( 3 33 yxfyxyxf

Por lo tanto, la función ),( yxf es homogénea de grado 1.

Ejemplo 11.17. Dada la función 2tan),( yy

xxyyxf

comprobar si es homogénea.

2222tantan),( y

y

xxyy

y

xyxyxf

),(tan),( 222 yxfyy

xxyyxf


Ejemplo 11.18. Dada la función xyyxyxf 22),( comprobar si es homogénea.

xyyxyxyxyxf 2222222),(

),(),( 2222 yxfxyyxyxf


Ejemplo 11.19. Dada la función

cos21,

2

r

senrrf

comprobar si es homogénea.

cos21,

2

r

senrrf

Por lo tanto, la función rf , no es homogénea.

Ejemplo 11.20. Dada la función 22

22

),(yx

yxyxf

, comprobamos que es una función de grado cero

222

222

2222

2222

22

22

),(yx

yx

yx

yx

yx

yxyxf

),(),(),( 0 yxfyxfyxf

Por lo tanto la función ),( yxf es homogénea de grado 0.


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En efecto,

x

y

x

yyxf lnln),(



Ejemplo 11.21. yx

yxyxf

22

),( , es una función de grado cero

En efecto,

yx

yx

yx

yx

yx

yxyxf

222222222

),(

yx

yx

yx

yxyxf

2222

),(



11.4 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

Definición 11.4. Una ecuación diferencial de la forma ),( yxfdx

dy se llama homogénea si ),( yxf

es una función homogénea de grado cero.

La ecuación homogénea siempre se puede representar de la forma

x

y

dx

dy (15.1)

Definición 11.5. La ecuación de primer orden, de la forma 0),(),( dyyxNdxyxM , es homogénea,

si las funciones ),( yxM y ),( yxN son homogéneas y además tienen el mismo grado.

Ejemplo 11.22. Dada la ecuación yyxyx 22' afirmamos que es homogénea.

En efecto:

x

yyxy

22

' ; entonces x

yyxyxf

22

),(

x

yyx

x

yyx

x

yyxyxf

)()()(),(

222222222

x

yyx

x

yyxyxf

2222

),(

),(),(

22

yxfx

yyxyxf

Por lo tanto la ecuación diferencial es homogénea debido a que la función ),( yxf es homogénea

de grado cero.


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Ejemplo 11.23. Dada la ecuación 023 22 xydydxyx afirmamos que es homogénea.

En efecto:

Identificamos las funciones 22 3),( yxyxM y xyyxN 2),( .

1º. ),(33)(3)(),( 2222222222 yxMyxyxyxyxM

Por lo tanto la función ),( yxM es homogénea de grado 2.

2º ),()2(2))((2),( 222 yxNxyxyyxyxN

Por lo tanto la función ),( yxN es homogénea de grado 2.

Finalmente podemos concluir que la ecuación diferencial es homogénea, debido a que las

funciones ),( yxM y ),( yxN son homogéneas y tienen el mismo grado 2.

11.5 MÉTODO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Introduciendo una nueva variable x

yv , la ecuación (15.1) se reduce a la ecuación con variables

separables: vvdx

dvx )(

Observación Al resolver las ecuaciones homogéneas no es indispensable reducirlas a la forma

(1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución dvxdxvdyvxy ; con lo cual se

conseguirá obtener una ecuación diferencial de variables separables; procediendo para su

solución como en el caso para variables separables.

Ejemplo 11.24. Resolver la siguiente ecuación homogénea: yyxyx 22' .

Primera Opción

Si dividimos toda la ecuación por x , obtenemos x

y

x

yy

2

1' , luego al hacer el cambio de

variable vxvyx

yv '' , obtenemos la siguiente ecuación de variables separables

vvvxv 21' . Solucionando la ecuación tenemos:

dxxv

dvdxx

v

dvv

dx

dvx

1

111

22

2

Finalmente la solución de la ecuación homogénea es: Cxx

yarcsen

)ln(

Segunda Opción

Realizamos directamente el cambio de variable dvxdxvdyvxy ; en la respectiva

ecuación diferencial

En efecto:


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vxxvxdx

dvxdxvxyyx

dx

dyx

22222

vxvxdx

dvxvxvxvx

dx

dvxvx

)1()1( 222

)1()1( 22 vdx

dvxvv

dx

dvxv

x

dx

v

dvv

dx

dvx

)1()1(

2

2

x

dx

v

dv

)1( 2

Al realizar la integración obtenemos la misma solución que la primera opción.

Ejemplo 11.25. Resolver la siguiente ecuación homogénea: 023 22 xydydxyx

Primera Opción:

Si dividimos toda la ecuación por dxx2 , obtenemos 0231

2

dx

dy

x

y

x

y, luego al hacer el

cambio de variable vxvyx

yv '' , obtenemos la siguiente ecuación de variables separables

0'231 2 vxvvv . Solucionando la ecuación tenemos:

x

dx

v

dvvv

dx

dvxvvvvxv

2

222

1

212312'2

Cxx

yCxvCxtCxt

x

dx

t

dt

dvvdtvtx

dx

v

dvv

22

2

2

11lnlnln

21;1

2

Finalmente la solución de la ecuación homogénea es: Cx

yx

3

22

Segunda Opción:

Realizamos directamente el cambio de variable dvxdxvdyvxy ; en la respectiva ecuación

diferencial.

0)(2)(3 22 xdvvdxxvxdxvxx

0223 322222 dvvxdxvxdxxvdxx

02)231( 3222 dvvxdxxvv

dvvxdxxv 322 2)1(

dvv

v

x

dx21

2

Al realizar la integración obtenemos la misma solución que la primera opción.


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Ejemplo 11.26. Resolver la siguiente ecuación homogénea: yx

yxy

22

' .

Podemos comprobar que la ecuación no es homogénea, dado que la función ),( yxf es homogénea

de grado 1. En efecto:

),(),(),(

),(),(

22

22222222222

yxfyxfyx

yxyxf

yx

yx

yx

yx

yx

yxyxf

yx

yxyxf

Finalmente no podemos resolver la ecuación mediante el cambio de variable, para esto

necesitaremos de otras técnicas de solución.


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11.6 HOJA DE TRABAJO 11

I. Formular, y resolver cada una de los siguientes problemas

1. Un estudio ambiental realizado en cierta comunidad revela que dentro de t años el nivel de

monóxido de carbono en el aire cambiará a una razón anual de 1.01.0 t partes por millón. Si el

nivel actual del monóxido de carbono en el aire es 3.4 partes por millón. ¿Cuál será el nivel de

monóxido dentro de 5 años?

2. Un conservacionista halló que la población )(tP de una especie en vía de extinción crece a una

razón de te 03.051.0 , donde t es el número de años después de empezar a llevar registros. Si la

población inicial es de 250, ¿cuál será la población en 10 años?

3. La población de cierta comunidad aumenta a una razón constante de 600 personas por año. Si

inicialmente tenemos una población de 1800 personas, ¿cuántas personas habrá dentro de 10

años?

4. Después de t años de trasplantado, un árbol crece a una razón de 12

11

2

xx metros por año.

Transcurridos dos años alcanza una altura de 5 metros. ¿Qué altura tenía cuando fue

trasplantado?

5. La compañía de teléfonos claro estableció una línea de producción para fabricar un nuevo tipo de

teléfono celular. La tasa de producción de los teléfonos es

5221500

t

t

dt

dP unidades por

mes. ¿Cuántos teléfonos se producen durante el cuarto mes?

6. El valor de reventa de una determinada maquinaria industrial decrece a una razón dependiente

de sus años de uso. Cuando la maquinaria tiene t años, la razón a la que cambia su valor es

5/960 te dólares por año. Si la maquinaria costo originalmente 4800 dólares, ¿cuál será su

valor cuando tenga 10 años?

7. En un estudio sobre el precio del kilo de pollo en Trujillo se estimo que dentro de x semanas el

precio aumentará a la razón de 13 x céntimos por semana. Si el precio actual del kilo de pollo

es de 5 nuevos soles, ¿cuál será su precio dentro de 8 semanas?

8. Los promotores de una feria de distrito estiman que si las puertas se abren a las 9.00 a.m., t

horas después los visitantes entran a la feria a una razón de 23 )2(54)2(4 tt personas por

hora. ¿Cuántas personas entrarán a la feria entre las 10:00 a.m. y las 2:00 p.m.?

HO

JA

D

E T

RA

BA

JO

1

1


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Matemática II


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II. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

1. 011 22 dyxdxy

2. 0sec)2(tan3 2 dyyedxye xx

3. 3

1

t

Q

dt

dQ

4. 1)0(;0ln ydxtdtxx

5. 23xtdt

dx

6. 2

21

n

m

dm

dn

7. 2

2

1

sec

rd

dr

8. 1)0(;')1( yeyye xx

9. 223

2

ht

ht

dt

dh

10. 0)(22 ydyedxxyx x

11. 011 22 dTtdtT

12. 01 2 txdxdtx

13. 0' 2222 xyxyxyy

14. dPtdtP 21

15.

16. 01'1 22 rrr

17.

22

2

/2/22

/

2

2

yxyx

yx

exeyy

xye

dx

dy

18. 046 224224 dhhtthdthhtt

19. yxe

dx

dyx xy /

20. 32233 43' xyxxyyyx

21. x

xyy

dx

dy )1ln(ln

22.

2

4

x

y

x

y

dx

dy

23. n

nmnm

dn

dm )/(cos 2

24. 011 22 drrdr

0)(3)(3

dy

x

yxsendx

x

yysenx

HO

JA

D

E T

RA

BA

JO

1

1


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25. 1'1 ye y

26. 1,0;' aaay yx

27. yx eyye '1

28. 0222

dwuwuwuduw

29. 0)/()/( dyxysenxdxxysenyx

30. 011 22 dyydyedxey yx

31.

t

ssen

s

s

dt

ds

32. 022221 2222 dyxyxxyyxdxxyxy

33. 0)425(34 2222 yxyx

dx

dyyxyx

III.Determinar si las siguientes funciones son homogéneas

34. yxeyxf /),(

35. 2/322),( yxyxf

36. 323 3),( yxyxyxf

37. yyxxyxf ln_ln),(

38.

y

xxyxf tan),( 2

39. yxyxf cos),(

HO

JA

D

E T

RA

BA

JO

1

1

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