Semana 4 - Torsion
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Torsión
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Torsión
Deformaciones en un árbol circular
Un momento de torsión o par torsor es aquel que tiende a hacer
girar un miembro respecto a su eje longitudinal.
Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes de
transmisión, utilizados ampliamente en vehículos y maquinaria.
Se puede ilustrar qué ocurre físicamente cuando un momento de
torsión se aplica a un eje circular hecho de un material muy elástico, como el
hule, por ejemplo.
Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se
mantienen como tales, experimentando una rotación en el plano del
momento. Las líneas longitudinales se convierten en hélices que intersectan
siempre con el mismo ángulo a los círculos transversales.
Extraeremos a continuación una porción cilíndrica y
consideraremos un pequeño elemento cuadrado que se encuentre en la
superficie de dicha porción. Luego de aplicar el momento torsor, el elemento
diferencial considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, tal
como se muestra.
Observemos la figura.
Si el ángulo g es muy pequeño, se puede establecer:
LAA g'
Donde AA’ es el arco que
recorre el punto A al deformarse la
barra debido a torsión, θ es el
ángulo de giro (en radianes) entre
dos secciones transversales
separadas una longitud L, ρ es el
radio de la porción cilíndrica
considerada y g es la deformación
cortante, en radianes.
Ley de Hooke para Torsión
De forma similar al caso de esfuerzos normales, existe también una relación
proporcional entre las deformaciones cortantes que ocurren en el rango
elástico y los esfuerzos cortantes relativos a dichas deformaciones.
Matemáticamente, podemos expresar dicha relación como sigue:
Donde “t” es el esfuerzo cortante, “g” es la deformación cortante y “G” es el
módulo de rigidez, que se puede relacionar con el modulo de elasticidad
(“E”) de la siguiente forma:
Siendo “n” el módulo de Poisson.
gt G
)1(2
EG
Para realizar la deducción de una expresión que nos permita hallar
la distribución de esfuerzos cortantes en una sección transversal debido a
un momento torsor aplicado en ella, asumiremos lo siguiente:
- Las secciones circulares permanecen como tales.
- Las secciones transversales se mantienen planas, sin alabearse.
- Las líneas radiales permanecen rectas aún después de la deformación.
- El eje está sometido a la acción de pares torsores.
- Las deformaciones producidas ocurren en el rango elástico del material.
Esfuerzos cortantes en barras
circulares debido a torsión
Si recordamos la relación de deformación establecida anteriormente:
Notaremos que para una deformación dada, los valores de “” y “L”
se mantienen constates, de forma que “g” varía linealmente con “”.
Podemos establecer entonces el valor máximo de la deformación “g” :
Luego:
Y, finalmente:
L g
Lr maxg
gg
Lr
max
r
gg max
Recordando que la deformación se realiza en el rango elástico del
material, podemos aplicar la ley de Hooke sobre la expresión y nos queda:
Aplicar la primera condición de equilibrio nos aportará una
información que ya conocemos: la variación del esfuerzo cortante es lineal
respecto al radio de la sección. Estudiaremos entonces que sucede con la
segunda condición de equilibrio:
Sacando de la integral los términos constantes, nos queda:
r
tt max
dA
rT
t max
dAr
T 2max t
Donde la integral resultante es una propiedad de área conocida
como momento polar de inercia (“J”). Podemos rescribir entonces la
expresión de la forma:
Recordando que anteriormente se estableció que:
Sustituimos esto en la expresión anterior y nos queda:
Jr
T maxt
t
t
max
r
JT
t
)(2
1 4
1
4
2 rrJ Para un árbol circular hueco el momento
polar de inercia J es:)(
32
4
1
4
2 DDJ
Finalmente, obtenemos lo siguiente:
J
T t
Nótese que, para barras de
sección circular, la variación del
esfuerzo cortante es lineal respecto
al radio de la sección.
Por otro lado, como se
estudió en el capítulo anterior, el
esfuerzo cortante debe actuar
también en otro plano perpendicular
al de la sección transversal para
conseguir el equilibrio del elemento
diferencial.
De forma similar al caso de
carga axial, podemos utilizar
expresiones referidas a estas
deformaciones para resolver casos
estáticamente indeterminados.
Nos interesa entonces
determinar una expresión que
relacione el par torsor “T” con el
ángulo de giro entre secciones
transversales “”.
Ejes estáticamente indeterminados
Como observamos anteriormente, un par torsor ejercido sobre una
barra produce una rotación relativa entre secciones transversales que se
encuentren separadas por una longitud “L”.
Juntemos entonces las expresiones que conocemos. En primer
lugar, encontramos que podemos relacionar el ángulo “” con la
deformación cortante “g” mediante la expresión:
En segundo lugar, tenemos la ley de Hooke:
Finalmente, la ecuación que relaciona el par torsor con el esfuerzo
cortante, determinada recientemente:
Lr g
gt G
J
rT t
Si sustituimos las expresiones resultantes del despeje de “g” y “t”
en la ley de Hooke, obtendremos:
Finalmente, para barras de sección circular:
Esta ecuación resulta de gran utilidad en casos donde las
condiciones de estática resultan insuficientes para determinar las cargas en
distintos elementos de un sistema sometido a pares de torsión.
L
rG
J
rT
GJ
LT
Observemos el caso mostrado en
la figura.
En ella se presentan dos barras
solidarias, de sección transversal circular,
empotradas en sus extremos y sometidas
a un par torsor “T” en su unión.
La condición de equilibrio que
puede establecerse es la siguiente:
0 TTT CA
Notemos que tenemos una ecuación y dos incógnitas (“TA” y “TC”).
Un segunda relación se obtiene de las deformaciones debido a los pares
torsores. Para poder establecer esta relación, es necesario primero definir
los pares torsores al que están sometidos los segmentos “AB” y “BC”.
En primer lugar, estudiemos el tramo AB.
El torsor aplicado sobre este segmento se define
realizando un corte en la estructura justo antes del
punto donde se aplica el siguiente torsor. Queda
entonces:
0 ABA TT
Luego, aplicamos un procedimiento
similar para el siguiente tramo. Al realizar un
corte justo antes del punto de aplicación del
siguiente torsor, obtenemos:
0 BCA TTT
ABA TT
ABC TTT
La condición de deformación que debe cumplirse es la siguiente:
Donde “B/A” es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “A” y
“B/C” es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “C”. Nótese que
deben ser iguales; entonces:
Sustituyendo “TAB” y “TBC”, obtenemos la segunda ecuación que
necesitamos para resolver el sistema:
CB
AB
BCBC
BCBC
ABAB
ABAB
GJ
LT
GJ
LT
BCBC
BCA
ABAB
ABA
GJ
LTT
GJ
LT
)()(
Relación entre torsor, potencia y
velocidad angular
Como se mencionó al principio de este capítulo, el interés principal
de estudiar el fenómeno de torsión sobre barras circulares reside en que
éstas se usan ampliamente como ejes para comunicar potencia, bien sea en
conjunto con poleas y correas ó con engranajes.
El trabajo mecánico desarrollado por fuerzas
F actuando tangencialmente a los elementos
dl del árbol circular de diámetro D=2r es:
FDdrdFFdldW )2()(2
La potencia mecánica P se define como:
dt
dWP
Entonces de la relación anterior tenemos:
Tdt
dFD
dt
dWP
De donde:
TP T= par torsor
= velocidad angular
En el diseño de estos sistemas, emplearemos dos relaciones
principalmente.
La primera, es la expresión matemática que indica la potencia que
comunica un eje ó una polea:
Donde P es la potencia transmitida, “” es la velocidad angular y “T”
el torsor al que está sometido el eje, la polea ó el engranaje.
También se utilizará la relación de transmisión (“m”), que se define
como la proporción de velocidad ó torque que existe entre el sistema
conductor y el conducido:
La relación de transmisión siempre debe ser mayor que la unidad.
Como la mayoría de los sistemas de transmisión son reductores (es decir,
reducen la velocidad y aumentan el torque), se ha expresado de la forma
mostrada. En caso contrario, deben invertirse los términos.
TP
conductor
conducido
conducido
conductor
T
Tm
La polea de la figura se une al eje en el que
va montada por medio de una chaveta de
1x1x6 cm. El eje tiene un diámetro de 5 cm y
la polea transmite una potencia de 15 HP,
girando a 120 rpm. Hallar el esfuerzo de
cortadura en la chaveta
wattHP
wattHPP 5,11032)
1
5,735(15
sradsrev
radrev/56,12)
60
min1)(
1
2(
min1
120
SOLUCIÓN:
La potencia y la velocidad angular la debemos
expresar en unidades que nos permitan
simplificaciones
El momento torsor es: Nmsrad
sNmPT 38,878
/56,12
/5,11032
Debido a que el sistema está en equilibrio:
Nm
Nm
r
TFFrT 6,35117
025,0
94,877
La sección recta de la chaveta tiene un área de:
242 1066)6(1 mxcmcmcmA
Luego el esfuerzo será:
MPamx
N
S
F5,58
106
5,3511724
t
MPa5,58t
EJEMPLO:
Para el eje cilíndrico hueco que se muestra en la figura:
a) Cual es el mayor torque que puede aplicársele si el esfuerzo cortante no
debe pasar de 120 MPa.
b) Cual es el valor mínimo correspondiente del esfuerzo cortante?
SOLUCIÓN:
a) comoJ
Tr
J
T maxt
t
De donde:
extr
JT
r
JT
)()( maxmax
max tt
m
mmPax
T030,0
)040.0()060,0(32
)10120( 446
max
kNmT 08,4max
b) El esfuerzo cortante mínimo lo podemos deducir del gráfico siguiente:
max
2
1min
1
min
2
max tttt
r
r
rr
)120(03,0
02,0min MPa
m
mt
MPa80min t
EJEMPLO:
El eje vertical AD está unido a una base fija en
D y sometido a los torques indicados. Un hueco
de 44 mm de diámetro ha sido perforado en la
porción CD del eje. Sabiendo que todo el eje
está hecho de acero con G = 80 GPa,
determine el ángulo de torsión en el extremo A.
SOLUCIÓN:
En el eje se diferencian tres porciones AB, BC y CD,
cada una de sección uniforme y con torque interno
constante, además el sistema está en equilibrio, luego:
Podemos hacer un corte entre A y B, entonces:
NmTTNm ABAB 2500250
Haciendo un corte entre B y C se tiene de modo similar
NmTTNmNm BCBC 225002000250
No hay torque aplicado en C entonces : NmTT BCCD 2250
El ángulo de torsión en A será:
)(1
CD
CDCD
BC
BCBC
AB
ABAB
i
ii
J
LT
J
LT
J
LT
GGJ
LT
4444 )044,0()06,0(
32
)6,0)(2250(
)06,0(32
)2,0)(2250(
)03,0(32
)4,0)(250(
80
1
m
mNm
m
mNm
m
mNm
GPaA
º22,2)2
º360(0388,0
radradA
º22,2A
Diseño de ejes de transmisión
El diseño de ejes de transmisión consiste básicamente en determinar el
diámetro y material más apropiados para el mismo, tomando en cuenta
principalmente tres factores:
- Que las deformaciones ocasionadas por torsión sean aceptables según los
requerimientos del diseño.
- Que los esfuerzos producidos en el eje no sobrepasen los esfuerzos
admitidos en el diseño, según el factor de seguridad con el que se esté
trabajando.
- Que diámetro del eje no exceda demasiado el tamaño necesario, pues esto
influye en los costos de producción, en la geometría del diseño, en el peso
muerto del sistema, etc.
En la figura se muestra un
sistema conducido, donde un
conjunto correa-polea transmiten
potencia a una máquina a través de
un eje.
La correa, debido a la
tensión a la que debe estar, ejerce
una fuerza vertical (Fv) sobre la
polea y a su vez sobre el eje,
además de ejercer el torque para
producir movimiento en la máquina.
En este caso, como la polea se encuentra en voladizo, no es difícil
determinar que la sección crítica es aquella adyacente al apoyo, en B. Note
que la fuerza vertical producirá adicionalmente un momento flector sobre esta
sección.
Al trasladar las cargas a la
sección transversal crítica, observaremos
que sobre ella se encuentran aplicados una
fuerza cortante Fv, un momento torsor T, y
un momento flector M.
Tenemos entonces tres posibles
puntos críticos:
- El punto A, donde se generan
s(+) debido al momento flector y t debido
al torsor;
- El punto A’, donde se generan s(-) debido al momento flector y t
debido al torsor;
- el punto B’, donde se concentran los t debido al momento torsor y
debido a la fuerza cortante.
Ecuaciones empleadas en barras no
circulares
En algunas estructuras, podemos encontrarnos que existe un par
torsor aplicado sobre una viga de sección transversal no circular.
La deducción de las ecuaciones que describen la distribución de
esfuerzos cortantes debido a torsión en estas barras no es sencilla. Nuestro
interés radica principalmente en conocer expresiones que permitan relacionar
las características geométricas de la barra y el torque ejercido sobre ella, con
el esfuerzo cortante máximo que se produce y su respectiva deformación.
Estas expresiones podemos hallarlas tabuladas; presentamos a
continuación algunos ejemplos.
Sección elíptica
2max
2
ba
T
t
33
22
ba
ba
G
T
L
Sección triangular equilátera
3max
20
a
Tt
43
80
aG
T
L
Sección cuadrada
3max
8077,4
a
Tt
4
1124,7
aG
T
L
Resumen de ecuaciones
Ley de Hooke para torsión:
t: Esfuerzo cortante
G: Módulo de Rigidez
g: Deformación angular unitaria
E: Módulo de elasticidad del material
n: Relación de Poisson del material
gt G
)1(2
EG
Esfuerzo cortante en barras de sección circular
debido a momento torsor
t: Esfuerzo cortante en el punto de interés de la sección transversal
: distancia medida desde el centro hasta el punto de interés
J: Momento polar de inercia de la sección transversal
J
T t
Ángulo de giro en barras circulares sometidas a
momento torsor
: Ángulo de giro de una sección “B” respecto a una sección “A”
T: Par torsor al que está sometido la barra circular
J: Momento polar de inercia de la sección transversal
G: Módulo de rigidez del material
LAB: Longitud de la barra entre las secciones “A” y “B”
GJ
LT ABAB
/
Relaciones entre par torsor, potencia y
velocidad angular
: velocidad angular (radianes por unidad de tiempo)
T: Par torsor al que está sometido la barra circular
P: Potencia
m: relación de transmisión
TP
conductor
conducido
conducido
conductor
T
Tm
