Semana 9

CONDUCCION EN ESTADO NO PERMANENTE

Importancia

Ejemplos:

Transitorios

Cambios continuos de las condiciones de

contorno

1

Ejemplos:

•Tratamientos térmicos en la industria siderúrgica

•Tratamientos de conservación en la industria alimenticia

Se debe plantear la ecuación de energía sobre el sólido en estudio:

1° cuatrimestre 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso

Si se trata de un sólido de propiedades constantes y sin generacióninterna de calor:

Ecuación de calor

ó

2° ec. De Fourier


2

Esta ecuación se suele trabajar en forma adimensional, para lo cual sedebe adimensionalizar las variables representativas de este tipo deproblemas.

•Temperatura (T)

•Posición (xi)

•Tiempo (t)Dra. Larrondo - Ing. Grosso

Adimensionalización de las variables representativas:

Temperatura adimensional:


3

Posición adimensional:

Tiempo adimensional:



Resolución para sistemas unidimensionales:

• Bi>0,1: caso general para placa plana

Soluciónaproximada(Fo > 0,2)

4

con

Para otras simetrías también se podrá usa una solución aproximadacorrespondiente cuando el número de Fourier es mayor que 0,2




• Bi>0,1: soluciones gráficas

� Gráficos de Gurney-Lurie.

� Gráficos de la temperatura del plano central.

Calculo aproximado del calor total perdido por el volumen V depared desde t=0 hasta un tiempo t (Fo>0,2)

5

Calculo aproximado del calor total perdido por el volumen V depared desde t=0 hasta un tiempo t (Fo>0,2)




• Modelo del sólido semi-infinito: temperatura superficialconstante.

La solución para el perfil de temperatura se obtiene mediante laFunción Gaussiana de Error ( ) o su Complementaria.


Sistemas Bi y Tri-dimensionales: Bi > 0,1

En muchos problemas de transferencia de calor no permanente losefectos bidimensionales e incluso tridimensionales son significativos.

Para algunos de estos casos, la solución se puede obtener a partir delo hallado para los problemas unidimensionales.

Un ejemplo de esto podría ser uncilindro corto que inicialmente seencuentra a una temperatura


7

cilindro corto que inicialmente seencuentra a una temperaturauniforme T0 en un fluido detemperatura

Como la longitud y el diámetro soncomparables, la transferencia porconducción será significativa para lascoordenadas z y r

7

La ecuación de energía para este sistema queda:

Ahora, será necesarioplantear una condición inicialy cuatro condiciones decontorno

Las condiciones de contorno para este caso serán la simetría del



8

Mediante el método de separación de variables, el resultado final sepodrá expresar de la siguiente forma:

Las condiciones de contorno para este caso serán la simetría delperfil de temperatura con respecto a cada eje y la igualdad del calortransferido por conducción y convección en todas las superficies.

8

Para otros sistemas multidimensionales con condiciones similares, lasolución se podrá expresar en función de las siguientes solucionespara cada dimensión:



991° cuatrimestre 2013

Para otros sistemas multidimensionales con condiciones similares, lasolución se podrá expresar en función de las siguientes solucionespara cada dimensión:



1010

Soluciones para sistemas multidimensionales expresadas como losproductos de los resultados unidimensionales:



Para el cálculo del calor transferido es posible superponer lassoluciones del calor transferido en cuerpos unidimensionales.

Sistemas Bi y Tri-dimensionales: transferencia de calor


Para un cuerpo de dos dimensiones:

Para un cuerpo de tres dimensiones:

1313

Para el cálculo de Q y Q0 se puede aplicar lo visto en la clase anterioro las siguientes gráficas:



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15




16

Bibliografía recomendada

•Capítulo 5 de “Fundamentos de Transferencia de Calor”, Incropera F.P. &

De Witt D.P.

•Capítulo 18 de “Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y

Masa”, Welty J.R., Wicks C.E. & Wilson R.E.


17

•Capítulo 4 de “Transferencia de Calor”, Holman J.P.

• Capítulo 12 de “Fenómenos de Transporte”, Bird R.B., Stewart W.E. &

Lightfoot E.N.


CONVECCIÓN

CONVECCIÓN FORZADA

El movimiento macroscópico del fluido es originadopor un agente externo

Movimiento originado por movimiento de superficies móvilesMovimiento originado por movimiento de superficies móviles

Movimiento originado por diferencia de presión motriz1° Cuatrimestre 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso 1

CONVECCIÓN NATURAL

El movimiento macroscópico del fluido es una consecuencia delproceso de transferencia

2

CONVECCIÓN FORZADA

Condición de Movimiento: podrá ser LAMINAR, o TURBULENTO

1° Cuatrimestre 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso 3

CONVECCIÓNDurante el proceso de transferencia de calor el

fluido puede cambiar de fase. Por lo tantopodríamos tener las siguientes situaciones

1)Ebullición

2)Condensación

En este curso veremos los fenómenos deEn este curso veremos los fenómenos detransferencia convectiva sin cambio de fase.


CONVECCIÓN FORZADA

Flujo Laminar


CONVECCIÓN FORZADA

Flujo LaminarFlujo externo sobre una Lámina plana


CONVECCIÓN FORZADA



CONVECCIÓN FORZADA


8

CONVECCIÓN FORZADA


Ecuaciones de la capa límite

Aproximaciones y Condiciones asumidas

1)Flujo incompresible, fluido newtoniano de prop. ctes.2)Efecto despreciable de las fuerzas volumétricas (peso)2)Efecto despreciable de las fuerzas volumétricas (peso)3)Despreciable la generación viscosa de energía4)4)4)4) δδδδ << dimensiones geométricas del problema, modelado

en geometría plana y

9

CONVECCIÓN FORZADA


Ecuaciones de movimiento


CONVECCIÓN FORZADA


Ecuación de energía


CONVECCIÓN FORZADA


Comparación


CONVECCIÓN FORZADA


Adimensionalización


CONVECCIÓN FORZADA


Si Pr = 1 → µµµµc=k

15

CONVECCIÓN FORZADA

El número de Prandtl

Efectividad relativa del transporte de momento y el transporte de energía por difusión

Influye fuertemente en el crecimiento relativo de las capas límite hidrodinámica y térmica. Para capas límite laminares es razonable que:

1° Cuatrimestre 2013 16

CONVECCIÓN FORZADA

El número de Prandtl

Gases monoatómicos Pr ≈ 2/3

Gases diatómicos Pr ≈ 5/7

Líquidos 1<Pr<10

Líquidos con estructuras moleculares complejas Pr ≈ 105


CONVECCIÓN FORZADA


Potencia transferida en la interfasePotencia transferida en la interfase

x

dx

W


CONVECCIÓN FORZADA

Flujo interno en tuberías

19

CONVECCIÓN FORZADA

Flujo interno en tuberías


CONVECCIÓN FORZADA

Flujo LaminarFlujo interno en tuberías.

Temperatura de Pared constante y Flujo de Pared Constante


CONVECCIÓN FORZADA

Flujo LaminarFlujo interno en tuberías.

Temperatura de Pared constante y Flujo de Pared Constante

Seider -Tate relacionaron datos experimentales

Los resultados de Graetz dan valores del h local

La correlación de Seider-Tate da valores medios del coeficiente de transferencia de calor


CONVECCIÓN FORZADADefinición de coeficientes de transferencia de

calor para convección forzada

Flujo en conductos Flujo alrededor de objetos

CALOR TRANSFERIDO POR UNIDAD DE TIEMPO DESDE EL SÓLIDO HACIA EL FLUIDO





Por ej. Esfera

ReD B n

0.4-4 0.891 0.330

4-40 0.821 0.385

40-4000 0.615 0.466

4000-40000 0.174 0.618

40000-400000 0.0239 0.805



•Capítulos 6, 7 y 8 de “Fundamentos de Transferencia de Calor”, Incropera

F.P. & De Witt D.P.

•Capítulos 19 y 20 de “Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y


CONVECCIÓN FORZADA

30

•Capítulos 5 y 6 de “Transferencia de Calor”, Holman J.P.


Lightfoot E.N.

1° Cuatrimestre 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso

INTERCAMBIADORES DE CALOR

“El intercambio de calor entre dos fluidos que están a diferentes temperaturas y separados por una pared sólida, ocurre en muchas aplicaciones de ingeniería.”

Para este tipo de operaciones se emplea un intercambiador de calor.

Estos equipos se los puede encontrar en:

• Calefacción de locales.

1

• Calefacción de locales.

• Acondicionamiento de aire.

• Producción de potencia.

• Recuperación de calor de desecho.

• Procesos químicos.


Ejemplos de intercambiadores de calor:


2



3Dra. Larrondo - Ing. Grosso



4



1° cuatrimestre 2013 5



6



7



8



9



10

Clasificación de los intercambiadores de calor:


Se los clasifica de acuerdo a

El arreglo de flujo

El tipo de construcción

El intercambiador de calor más simple es el denominado “doble tubo”. En este equipo los fluidos caliente y frío se pueden mover en la misma dirección (flujo paralelo) o en direcciones opuestas (contraflujo).

1° cuatrimestre 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso 11

Clasificación de los intercambiadores de calor:


Arreglo de flujo paraleloArreglo de flujo en contracorriente

De manera alternativa, existen arreglos en los cuales los fluidos se mueven en direcciones perpendiculares entre sí (flujo cruzado).


Análisis del calor transferido: la diferencia de temperatura media logarítmica.


Para diseñar o predecir el rendimiento de un intercambiador de calor se debe poder relacionar la transferencia total de calor con:

•Temperaturas de entrada y salida de los fluidos.

•El coeficiente global de transferencia de calor.

•La superficie total disponible para la transferencia de calor.

14

•La superficie total disponible para la transferencia de calor.

Dos de estas relaciones se pueden obtener a partir de balances de energía para los fluidos frío (c) y caliente (h).




La relación restante se puede obtener al considerar una ecuación de cinética de transferencia de calor:

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El área dependerá del coeficiente global de transferencia de calor (U), el cual podrá variarse modificando las características de diseño del equipo de transferencia de calor.




INTERCAMBIADOR DE CALOR DE FLUJO PARALELO O CO-CORRIENTE

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Simplificaciones que se asumen para la resolución:

•Modelo de flujo pistón.

•Estado estacionario.


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•Los flujos de los fluidos frío y caliente permanecen constantes.

•El coeficiente global de transferencia de calor (U) es constante en toda la trayectoria.

•Los calores específicos de ambos fluidos son constantes en toda la trayectoria.

•No hay cambios de fase en el sistema.

•Las pérdidas de calor son despreciables.





Para el fluido caliente podemos plantear el balance de energía:

18




De esta forma, obtenemos la primer ecuación con la cual vamos a trabajar:

(ec. 1)

19

(ec. 1)

Planteando el balance de energía para el fluido frío:





20

Reordenando llegamos a una segunda ecuación:

(ec. 2)





Si se resta las ecuaciones 1 y 2 se obtiene una ecuación de variables separables que se puede resolver a partir de los datos conocidos para el equipo:

21

Despejando las variables e integrando, se llega a:





Despejando e integrando se llega a:

(ec. 3)

22

Sin embargo, esta ecuación todavía no representa el calor total transferido y la diferencia de temperatura característica para un equipo de flujo paralelo.

Para esto, se debe considerar como es la transferencia de calor en el equipo y como influyen en la misma los perfiles de temperatura de ambos fluidos.





Los perfiles de temperatura dentro del intercambiador de calor se pueden aproximar como se indica en la figura:

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Reemplazando estas igualdades en la ecuación 3, se obtiene la ecuación que se buscaba:





Esta ecuación tiene la forma de una ecuación cinética de transferencia de calor:

25

Entonces, la expresión de la diferencia de temperatura media logarítmica para flujo paralelo queda:




INTERCAMBIADOR DE CALOR DE FLUJO EN CONTRA-CORRIENTE

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Simplificaciones que se asumen para la resolución:

•Modelo de flujo pistón.



27


•Los flujos de los fluidos frío y caliente permanecen constantes.

•El coeficiente global de transferencia de calor (U) es constante en toda la trayectoria.

•Los calores específicos de ambos fluidos son constantes en toda la trayectoria.

•No hay cambios de fase en el sistema.

•Las pérdidas de calor son despreciables.




Para el fluido caliente el balance de energía queda igual al caso anterior debido a que no alteramos su sentido de circulación:


28

Reordenando llegamos a:



De esta forma, obtenemos la primer ecuación con la cual vamos a trabajar y que es igual a la ec. 1:

(ec. 4)


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(ec. 4)

En este caso, el balance de energía para el fluido frío queda:





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Reordenando llegamos a una segunda ecuación:

(ec. 5)



Si se resta las ecuaciones 4 y 5 se obtiene una ecuación de variables separables que se puede resolver a partir de los datos conocidos para el equipo:


31

Despejando las variables e integrando, se llega a:




Despejando e integrando se llega a:

(ec. 6)


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Nuevamente, esta ecuación todavía no representa el calor total transferido y la diferencia de temperatura característica para un equipo de flujo paralelo.

Por lo tanto, para este caso también se debe considerar como es la transferencia de calor en el equipo y como influyen en la misma los perfiles de temperatura de ambos fluidos.




Ahora, los perfiles de temperatura dentro del intercambiador de calor se pueden aproximar de la forma:


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Reemplazando estas igualdades en la ecuación 6, se obtiene la ecuación que se buscaba:





Nuevamente, la ecuación hallada tiene la forma de una ecuación cinética de transferencia de calor, pero la expresión para la fuerza impulsora cambió:


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Entonces, la expresión de la diferencia de temperatura media logarítmica para flujo en contracorriente queda:



Como conclusión, se puede ver que independientemente del sentido de flujo, la expresión para la diferencia de temperatura media logarítmica es:

INTERCAMBIADORES DE CALOR DE FLUJO EN CO-CORRIENTE Y CONTRA-CORRIENTE




De Witt D.P.




37



Lightfoot E.N.


CONVECCIÓN LIBRE

En esta clase se analizará el mecanismo de transferencia de calor por convección libre.

Se va a analizar un caso de convección libre adyacente a una superficie vertical

La característica principal de este mecanismo de transferencia de calor es que no existe movimiento forzado del fluido.

El movimiento del fluido, se debe a una “fuerza de flotación o

1

El movimiento del fluido, se debe a una “fuerza de flotación o boyante” ocasionada por los gradientes de densidad.

Para que se genere esta fuerza se necesita:

1. Un gradiente de densidad en el fluido.

2. La existencia de una fuerza volumétrica proporcional a la densidad.


CONVECCIÓN LIBRE

Movimiento del fluido y fuerza boyante.


CONVECCIÓN LIBRE

Se deben aplicar tres ecuaciones de conservación:

•Conservación de la masa

•Conservación de la cantidad de movimiento

•Conservación de la energía

Convección libre adyacente a una superficie vertical

Simplificaciones que se asumen para la resolución:la resolución:

•Estado estacionario

•Fluido Newtoniano, de propiedades constantes

•ḡ = gx

•Movimiento del fluido debido a la fuerza boyante

•Son válidas las aproximaciones de capa límite

•Se desprecia la generación viscosa.

CONVECCIÓN LIBREConvección libre adyacente a una superficie vertical

Como aproximación se va a considerar que se cumple la siguiente igualdad dentro y fuera de la capa límite:

Planteo de la ecuación de conservación de Cantidad de Movimiento

dentro y fuera de la capa límite:

Fuera de la capa límite se cumple la ecuación de la hidrostática

CONVECCIÓN LIBRE

Si se reemplaza esta igualdad en la ecuación se obtiene:


En este momento se debe hacer una diferencia con respecto a las dos densidades que aparecen en la ecuación:

Planteo de la ecuación de conservación de Cantidad de Movimiento

5

densidades que aparecen en la ecuación:

Todas las propiedades del fluido dentro de la capa límite se evaluarán a esta temperatura

CONVECCIÓN LIBRE

Reordenando la ecuación, se obtiene:


Fuerza Flotante

La Fuerza Flotante y el coeficiente volumétrico de expansión térmica

6

En esta ecuación se puede ver claramente que el primer término de la derecha representa una fuerza originada por la variación de la densidad.

El origen de esta variación se puede representar con el coeficiente volumétrico de expansión térmica:

Representa cuanto cambia la densidad de un fluido frente a un cambio en la temperatura a presión constante

CONVECCIÓN LIBRE

Este coeficiente se puede aproximar de la siguiente forma:

Convección libre adyacente a una superficie verticalEl coeficiente volumétrico de expansión térmica

7

Reemplazando por esta aproximación en la ecuación, se puede ver la fuerza impulsora de esta fuerza en su expresión:


CONVECCIÓN LIBRE

Las ecuaciones de conservación de la masa y la energía no se ven afectadas en su planteo por la convección natural.

Convección libre adyacente a una superficie verticalPlanteo de las ecuaciones de conservación de la masa y de la energía

Conservación de la masa:

8

Conservación de la energía:


CONVECCIÓN LIBRE

Entonces, las tres ecuaciones de conservación planteadas quedaron:

Convección libre adyacente a una superficie verticalEcuaciones que gobiernan el problema y las condiciones de contorno


Conservación de la cantidad de movimiento:

9


Conservación de la cantidad de movimiento:


CONVECCIÓN LIBRE

Las condiciones de contorno que se aplicarán para este problema serán:

Convección libre adyacente a una superficie verticalEcuaciones que gobiernan el problema y las condiciones de contorno

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Condiciones de contorno:


CONVECCIÓN LIBRE

En este momento se tienen tres ecuaciones diferenciales con sus condiciones de contorno. No se va a tratar de resolverlas, sin embargo, para comprender mejor este proceso se propone realizar la adimensionalización de las mismas.

Convección libre adyacente a una superficie verticalAdimensionalización de la ecuación y sus condiciones de contorno

Las variables adimensionales que se proponen son:

Tendremos el problema que

11

Tendremos el problema que v0 no es conocida, por lo tanto se deberá evaluar la posibilidad de definir estas variables de otra forma

CONVECCIÓN LIBRE

Reemplazando por estas nuevas variables se obtiene:



Conservación de la cantidad de movimiento:Numero de Grashof


Conservación de la cantidad de movimiento: Grashof

CONVECCIÓN LIBRE

En la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento aparece el siguiente monomio adimensional:


Entonces, se puede definir la velocidad característica a partir de esta expresión:


CONVECCIÓN LIBRE

De esta forma, la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento queda:


El número de Grashof se puede reescribir como:

Representa la relación entre la fuerza flotante y las fuerzas de inercia.

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CONVECCIÓN LIBRE

En base a estos resultados, es de esperar que las soluciones para los problemas de convección natural queden expresados en función de los números de Nusselt, Reynolds, Grashof y Prandlt:

Convección libre adyacente a una superficie verticalNúmeros adimensionales que gobiernan el problema de convección libre

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Sin embargo, se encontró que esta funcionalidad se da sólo cuando los efectos de la convección forzada y libre son comparables.

Por lo tanto, para los casos en que se tiene una convección libre, y pueden despreciarse los efectos de convección forzada, las correlaciones experimentales serán de la forma:


CONVECCIÓN LIBRE

El cociente Gr/Re2, podrá usarse como criterio para desestimar un tipo de convección frente a otra o incluso para determinar si ambos efectos son comparables:

Criterios para despreciar un tipo de convección frente a otra

Sise deberán considerar los efectos de convección forzada y libre, ya que ambos efectos son comparables.

Si se podrá ignorar los efectos de convección libre.

Si se podrá ignorar los efectos de convección forzada.

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De Witt D.P.



CONVECCIÓN LIBRE

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Lightfoot E.N.


Semana 9

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