Semana 8Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 1)

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Semana 9 Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

Apreciado participante, nece-sitamos que tengas una actitud de éxito y disposición de llegar hastaelfinal,aúnenmediodelasdificultades,porello ¡perse-vera siempre! Y es que precisa-mente la perseverancia te invita a no desistir en la búsqueda de la solución a los problemas que se pueden presentar en tu vida académica y personal.

Durante esta semana nos dedicaremos a resolver problemas del MRUV. Verás que las fórmulas son útiles para resolverlos, pero lo más importante es compren-derlos,antesdeaplicarlas.Laideaesquejustifiqueslasaccionesasumidasenlaresolución de problemas, mediante argumentos convincentes, es decir, funda-mentadosenelconocimientocientífico.

Exploremoslasideasprevias,justificatusrespuestas.¿Quésignificaquelaacele-ración de un cuerpo sea de -3m/s2? Da un ejemplo de algo que se mueva con una rapidez constante y, al mismo tiempo, tenga una velocidad variable.

Alejandroesunestudianteuniversitario.Sedirigealaparadaatomarelauto-bús de la universidad; sin embargo, va un poco tarde, y observa desde lo lejos que el autobús está detenido, por lo cual comienza a correr a una velocidad constante de6m/s,afindealcanzarlo.CuandoAlejandroseencuentraa25mdelautobús,éste inicia la marcha con una aceleración constante de 1 m/s². En estas condicio-nes ¿alcanzará Alejandro el autobús?

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)Semana 9

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Reforcemos el concepto de aceleración mediante los siguientes ejemplos.

1. Un ciclista parte del reposo (v=0m/s) y posee una aceleración de 3m/s2. ¿Qué velocidad alcanzará al cabo de 4s?

Sisuaceleraciónesde3m/s2 esto indica que su velocidad va a aumentar 3m/s cada segundo y como parte del reposo, se tiene que:

En 1s, su velocidad es 0+3m/s =3m/s; a los 2s, su velocidad es de 3m/s+3m/s=6m/s;alos3ssuvelocidades9m/syfinalmenteen4ssuvelo-cidad es de 12m/s. ¿Qué harías para hallar la velocidad a los 5s? Como haspodidoobservar,lavelocidadfinalsepuedeobtenermultiplicandola aceleración por el tiempo: v=a.t.Silavelocidadconlacualseiniciaelmovimiento es diferente de cero habrá que sumarla a esta fórmula. Por ejemplo, si la velocidad inicial es de 10m/s, ¿cuál será su velocidad al cabo de 4s?

2. Un automóvil tarda 10s en pasar de v=0m/s a v=50 m/s con una acelera-ción constante. ¿Cuál es el valor de ésta?

Sitarda10senobtenerunavelocidadde50m/s,partiendodelreposo,significaqueencadasegundoaumentabasuvelocidad5m/s,estoeslaaceleración, a=5m/s2

3. Qué tiene mayor aceleración ¿un avión que cambia su velocidad de 980km/h a 990km/h en 10s o una bicicleta que pasa de 0 a 10km/h en un segundo? Piensa bien la respuesta… Es importante que diferencies velocidad y aceleración. Generalmente asumimos que si un cuerpo tie-ne mayor velocidad que otro, también debe tener una mayor acelera-ción.Puedesverqueambosaumentansurapidezen10km/h.Sinem-bargo, la bicicleta emplea 1s para ese aumento, mientras que el avión emplea 10 veces ese tiempo; en consecuencia, la aceleración es menor en el avión, por ser de 1km/h cada segundo; mientras que en la bicicleta es de 10km/h cada segundo.

Resolución de problemas de MRUV

1. ¿Qué distancia recorrerá un auto que avanza con una velocidad de 40m/s si desacelera a 4m/s2 hasta detenerse?

Datos:

La vo=40m/s, como el auto se detendrá v=0, y como desacelera a= - 4m/s2 (¿Por qué este valor es negativo?).

Para calcular la distancia usamos x = vo · t +a · t2

2

Vamos al grano

Semana 9Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

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Observa que nos falta calcular el tiempo. Y puedes hacerlo empleando las fórmulas mostradas en el cuadro de la semana anterior pero, en este caso, esbiensencillitocalcularlosinfórmula.Sabemosquesuvelocidadiniciales de 40m/s y su velocidad disminuye 4m/s cada segundo hasta detener-se; esto le tomará exactamente 10s. Halla el tiempo empleando la fórmula para que te asegures de que los resultados son iguales.

Una vez calculado el tiempo que tarda en detenerse, sustituimos los datos en la ecuación de la distancia:

x = vo · t + = · 10s + · (10s)2 = 300m - = 100s2

= 300m - = 150m

Ahora veremos problemas donde intervienen dos móviles. Algunas reco-mendaciones que pueden facilitarte el trabajo son las siguientes:

ü Realiza una ilustración de la situación, ésta ayudará a organizar las ideas.

ü Identificadatosycondiciones;puedespreguntartesilasmagnitu-des que intervienen (tiempo, distancia…) son iguales o diferentes para ambos móviles.

ü Indica el tipo de movimiento de cada uno y escribe las ecuaciones correspondientes.

2. Un automóvil en una carretera lleva una velocidad de 120km/h (33,3m/s) y rebasa a un camión cuando aparece en sentido contrario otro automó-vil a 100km/h (27,8m/s). Los dos conductores frenan simultáneamente y frenan ambos autos con una aceleración constante de 5m/s2. ¿Cuál debe ser la distancia mínima entre los autos, al inicio de la frenada, para que no choquen entre sí?

Auto 1 Auto 2

Figura 34. Problemas de autos

a · t2

230m

s

300m2

3ms2

2

-3ms2

2

-

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)Semana 9

222

Puedes observar en la ilustración que la distancia mínima corresponde a la distancia x. Dado que cada uno debe recorrer una distancia mientras están des-acelerando, la distancia mínima estará dada por la suma de cada una de esas distancias.

Datos

Auto 1 Auto 2

vo1 = 120 km/h (33,3m/s)

a = -5m/s2

v =0 (va a detenerse)

x1 = ?

vo2 = 100 km/h (27,8m/s)

a = -5m/s2

v =0 (va a detenerse)

x2 = ?

Las velocidades son distintas y el tiempo que transcurre hasta que se detienen es el mismo, por tanto, la distancia es diferente para cada automóvil.

La fórmula x = vo · t + en este problema no es recomendable utilizarla, puesto que tendríamos dos incógnitas. Puedes usar la fórmula vf 2 = vo 2 + 2·a·x Observa que tienes todos los valores a excepción de la distancia, que es precisa-mente lo que debes despejar; tenemos así:

vf2 - vo

2 = 2·a·x Al despejar x se tiene: x = (justificacadapaso)

Auto 1

x = = = = 110,89m

Auto 2.

x = = = = 77,28m

Así que debe haber entre ellos una distancia mínima de xa+xb= 188,2 m para evitar el choque.

a · t 22

vf 2 - vo 2

2a

vf2 - vo

2

2a

vf2 - vo

2

2a

02 -

2 -

02 -

2 -

02 -

-10

-1108,9 33,3m 2

s5ms2

27,8m 2

s5ms2

772,8m2

s2

ms2

m2

s2

-10m s2

Semana 9Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

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El auto 1 se va a detener a 110,89m El auto 2 se va a detener a 77,2m

Figura 35

3. Un conductor pasa frente a un inspector de tránsito, quien decide seguir-lo porque el límite de velocidad era de 60km/h (16,7m/s) y el auto iba a 72km/h (20m/s). El inspector, partiendo del reposo, inicia la persecución 10sdespuésquepasóelauto,aunaaceleraciónconstante.Sesabequeel inspector alcanza al conductor a 3000m de donde partió. Determine la velocidad del inspector de tránsito en ese momento.

El movimiento que realiza el conductor es un MRU, con velocidad constante de 72km/h (su aceleración es cero), mientras que el inspector desarrolla un mo-vimiento uniformemente acelerado. Además, el inspector lleva una desventaja de 10s, es decir él tiene 10s menos que el otro para recorrer la misma distancia, así que él debe desarrollar una velocidad mayor que la del conductor para poder alcanzarlo.

Datos

Conductor (MRU) Inspector (MRUV)

vcte = 20 m/s

t1= ?

x = 3000m

v0 = 0

t2 = t1 -10s

x =3000m

vf = ?

ü La distancia recorrida por el conductor: x = v · t, despejamos el tiempo

t = = t = 150s

Luego el tiempo que empleará el inspector de tránsito será 150s-10s=140s

ü La distancia recorrida por el inspector de tránsito:

x = = 3000m á (140s)2 = 6000m

a = =

Ahora para determinar la velocidad del motociclista, usamos la fórmula:

v = vo + at = 0 + · 140s = 43,4m/s

a · (t - 10s)2

2

6000m19600s2

0.31ms2

0.31ms2

a · (150 - 10s)2

2

xv

3000m20s

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)Semana 9

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Para saber más…

Considerando nuestro problema inicial, tenemos que Alejandro debe alcanzar al autobús con una velocidad constante de 6m/s. Así que si el estudiante pretende alcanzarlo deberá recorrer los 25m que el autobús lleva de ventaja más lo que éste avance con un movimiento con acele-ración constante.

üDistancia recorrida por el estudiante (MRU): x1 = 6 · t

üDistancia recorrida por el autobús (MRUV): x2 = 25 + = 25 +

Para que Alejandro alcance el autobús, las distancias recorridas tanto por él como por el autobús, deben ser iguales, es por ello que podemos igua-lar x1 = x2. En este caso, obtendremos una ecuación de segundo grado:

6t = 25 + 12t = t2 +50 t2 - 12t + 50 = 0

Seobtieneunaecuacióncuadrática¿cómovashallarsusolución?Usa-mos para ello la fórmula general para la resolución de ecuaciones de 2do grado:

Sinembargo,recordarásqueprimerovemossiestaecuacióntienesolu-ción real, esto lo hacemos empleando el discriminante:

b2 - 4 · a · c = (-12)2 - 4 · 1 · 50 = 144 - 200 = -56 < 0

En este caso no hay soluciones reales. La ecuación anterior también puede analizarsemedianteelgráficodelafuncióncuadráticaf(t) = t2 - 12 t + 50

Como vemos no corta al eje x, por lo cual no tiene solución real.

Función Distancia Vs. Tiempo

Figura36.Gráficodistanciacontratiempo

1· t2

2t2

2

t2

2

-b ± b2 - 4ac2a

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Dis

tanc

ia (m

)

Tiempo (s)

300

250

200

150

100

50

0

Semana 9Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

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¿QuégráficotesugierenlasecuacionesdedistanciarecorridasporAle-jandro y por el autobús? Como puedes ver, Alejandro lleva un MRU, por lo cual la distancia que recorre es una función lineal del tiempo, mien-tras que el autobús acelera a 1m/s2, por lo cual su movimiento es MRUV; en este tipo de movimiento la distancia es una función cuadrática de tiempo.

Cuando trabajamos con problemas de dos móviles y podemos estable-cerladistanciacomounafuncióndeltiempo,losgráficosdedichasfun-ciones pueden interceptarse o no, indicando si los autos se encontrarán en algún lugar o sencillamente si uno nunca alcanzará al otro.

Las ecuaciones distancia-tiempo para el autobús y para Alejandro, se muestranenlafigura37.Comopuedeapreciarse,notienenpuntosenco-mún, por lo cual en ningún momento las distancias se igualarán, así que, tal como mencionamos antes, Alejandro nunca alcanzará el autobús.

Gráfico que describe el movimiento del autobús y el movimiento de Alejandro

Figura37.Gráficodistanciacontratiempo

Revisa el DVD y encontrarás una serie de ejercicios y/o problemas re-sueltos para que complementes tus aprendizajes.

Gráficadistanciatiempoparaelautobús

GráficadistanciatiempoparaAlejandro

0 5 10 15 20 25

Dis

tanc

ias

reco

rrid

as (m

)

Tiempo (s)

350

300

250

200

150

100

50

0

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)Semana 9

226

Resuelve los siguientes problemas:

1. Setienendoscuerpos,unocambiasuvelocidadde25km/ha30km/hyelotrode96km/ha100km/h.Silosdoscambiossucedenduranteelmismo intervalo de tiempo, ¿cuál tendrá mayor aceleración?

2. Un cuerpo en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado desa-rrolla en el instante t=0 una velocidad inicial vo=5m/s y su aceleración es de a=1,5m/s2

a) Calcula el aumento de la velocidad del cuerpo en el intervalo de 0 a 8s.

b) Halla la velocidad del cuerpo a los 8s.

c) Traza el diagrama v-t para el intervalo de tiempo considerado.

3. Un avión cuando toca pista, acciona todos los sistemas de frenado, que le generan una desaceleración de 20m/s2 y necesita 100m para detener-se. Calcular:

a) ¿Con qué velocidad toca la pista?

b) ¿Qué tiempo demoró en detenerse el avión?

4. Un automóvil está parado en un semáforo. En el momento en que la luz se enciende, arranca con una aceleración constante de 2m/s2. En ese momento, un autobús, que avanza a una velocidad constante de 60km/h, lo adelanta. Calcula:

a) ¿A qué distancia del semáforo el auto alcanza al autobús?

b) ¿Cuánto tiempo pasa hasta que el auto alcanza al autobús?

c) ¿Qué velocidad tiene cada uno en ese instante?

5. Dos autos circulan por el mismo carril, pero, en sentidos contrarios, con velocidades de 90 km/h y 108 km/h. Cuando se divisan uno al otro están a 100 m de distancia y los dos comienzan a frenar con una aceleración de 5 m/s2.a)¿Llegaránachocar?,b)Silohacen,¿enquéposicióntendrálugar el impacto?

Aplica tus saberes

Semana 9Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

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Comprobemos y demostremos que…

1. Formen pequeños grupos para socializar los problemas que previamen-te has intentado resolver.

2.Seleccionaconunaxenelrecuadrolasaccionesqueteayudaronacon-solidar los temas tratados en esta semana:

Realicé las consultas sugeridas en la sección “Para saber más”.

He realizado la mayoría de los ejercicios y problemas propuestos.

Consulto mis dudas e inquietudes con los facilitadores.

He comparado mis resultados con los otros compañeros del grupo.

Otros:_________________________________________________

El trabajo del pensamiento se parece a la perforación de un pozo: el agua es turbia al principio, mas luego se clarifica. Proverbio chino