Semana1 sucesiones y criterio de convergencia

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  1. 1. Lic. Jos M. DE LA CRUZ UCAAN MATEMATICA III Mdulo: 2 Unidad: 1 Semana: 1
  2. 2. SUCESIONES y SERIES
  3. 3. CONTENIDOS TEMTICOS 1. SUCESIONES. 2. CRITERIOS DE CONVERGENCIA.
  4. 4. 1.1 Sucesiones. Definicin 1.2 Definicin de Sucesin Convergente 1.3 Propiedades de Limites de Sucesiones 1.4 Teorema de la Media Aritmtica 1.5 Teorema de la Media Geomtrica 1.6 Criterio de la Razn para la Convergencia de Sucesiones. 2.1 Sucesiones Divergentes. Definicin. 2.2 Sucesiones Montonas y Acotadas DESARROLLO DE CONTENIDOS - SUBTTULOS DEL TEMA
  5. 5. SUCESIONES Definicin: Una sucesin es una funcin cuyo dominio es el conjunto de los nmeros enteros positivos (Conjunto de nmeros Naturales), y el rango es un conjunto arbitrario (dependiendo de la operacin en la funcin). Consideremos una funcin : + , tal que, + , () , es un elemento de la sucesin. Por efectos de simbologa () lo escribiremos como y llamaremos por 1; grficamente tenemos:
  6. 6. R 1 2 3 4 n . . . . . . S1=S1 S2=S2 S3=S3 Sn=Sn n+1 Sn+1=Sn+1 S )+( Ejemplos: 1. La sucesin que a cada nmero natural le hace corresponder su doble es una sucesin de nmeros naturales. = 2 = 2 1 2. La sucesin 1, 4, 9, 16, , 2 , se escribe as = 2
  7. 7. 3. Los cinco primeros trminos de la siguiente sucesin () ! Sol: En este ejercicio partimos de la formula hacia la sucesin. Sea = 1,2,3,4,5,6, Cuando = 1 ==> = () ! = Cuando = 2 ==> = () ! = Cuando = 5 ==> = () ! = Finalmente: Los cinco primeros trminos de la sucesin = () ! ; ; ; ;
  8. 8. 4. Si tenemos 4, 12,20,28,36, Sol. En este ejercicio partimos de la sucesin hacia la formula. = 8 4 1 = 1 ==> 8 1 4 = 4 = 2 ==> 8 2 4 = 12 = 3 ==> 8 3 4 = 20 5. Sea = 4 + 8 1 los elementos de esta sucesin es: 12, 16,20,24, = 1 ==> 4 1 + 8 = 12 = 2 ==> 4 2 + 8 = 16
  9. 9. Si tenemos 15, 20, 25, 30, 35, Sol. Observamos que en nuestra sucesin los trminos van de 5 en 5, por lo tanto: = 5 + 10 1 = 1 ==> 5 1 + 10 = 15 = 2 ==> 5 2 + 10 = 20 = 3 ==> 5 3 + 10 = 25 6. Si la sucesin 1 est definido por = , = , + = + , hallar 7. Sol: En efecto: = = = + = + = + = = + = + = = + = + = = + = + = = + = + =
  10. 10. 7. Hallar el trmino n-simo de la sucesin 1, 3, 6, 10, 15, 21, Solucin: 1 = 1 = 1 + 0 2 = 3 = 2 + 1 3 = 6 = 3 + 3 4 = 10 = 4 + 6 5 = 15 = 5 + 10 6 = 21 = 6 + 15 Observando los trminos que aparecen en la descomposicin de los elementos de la sucesin, vemos que la regla de correspondencia es el siguiente: = + 1 2 Entonces: = +
  11. 11. Probamos: = 1 ==> = 1 + 0 1 = 1 + 0 = 1 = 2 ==> = 2 + 1 2 2 = 2 + 1 = 3 La sucesin = + 1 2 ; podemos escribirla as: = + = + 1 2 ==> + 1 2 ==> 2 + 2 2 = 2 + 2 ==> +
  12. 12. Definicin: Una sucesin 1, se dice que tiene lmite , si para todo > 0, existe un nmero > 0, talque: < , para todo > , denotndose por: lim = Simblicamente: = > 0, > 0 . . > < = 1,2,3,4 125 > 0 ahora si tenemos 1 : 1 1 ; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; ; 1 125
  13. 13. Ejemplo: Utilizando la definicin de lmite probar: Lmite de +1 1 = 1, cuando Solucin: lim + = 1 > 0, > 0 . . > < En efecto: = + 1 1 = ==> < De donde > 1 , luego nos basta tomar > 1 , es decir: lim + 1 = 1 > 0, > 1 . . > , Entonces + 1 1 <
  14. 14. Ejemplo 2: + = Solucin: Por definicin tenemos: + = > 0, > 0 . . > < En efecto: < = + = = = 1 = < = + = = ==> < De donde > 1 , luego nos basta tomar > 1 , es decir: lim + = 1 > 0, > 1 . . > , Entonces + 1 <
  15. 15. DEFINICION DE SUCESIN CONVERGENTE: Se dice que una sucesin es convergente cuando tiene lmite, caso contrario la sucesin es DIVERGENTE. Ejemplo: Determinar si es convergente o divergente la sucesin siguiente: = 2 + 1 22 1 Solucin: Para determinar la convergencia o divergencia de esta sucesin bastar calcular el lmite de esta sucesin lim = lim 2 + 1 22 = lim 2 + 1 2 22 2 = lim 1 + 1 2 2 1 = 1 + 0 2 0 = 1 2
  16. 16. Por lo tanto: lim 2 + 1 22 = 1 2 Entonces podemos decir que: 2 + 1 22 1 ES CONVERGENTE.
  17. 17. Ejemplo 2: Determinar si es convergente o divergente la sucesin siguiente: = 33 + 1 23 + 1 1 Solucin: Para determinar la convergencia o divergencia de esta sucesin bastar calcular el lmite de esta sucesin lim = lim 33 + 1 23 + 1 = lim 33 + 1 3 23 + 1 3 = lim 33 3 + 1 3 23 3 + 1 3 = lim 3 + 1 3 2 + 1 3 = 3 + 0 2 + 0 = Por lo tanto: lim 33 + 1 23 + 1 = 3 2 Entonces podemos decir que: = 33 + 1 23 + 1 1 ES CONVERGENTE.
  18. 18. PROPIEDADES DE LMITES DE SUCESIONES: Consideremos dos sucesiones convergentes y una constante , entonces: 1. lim = 2. lim = lim 3. lim = lim lim 4. lim = lim lim 5. lim = lim lim , lim 0
  19. 19. Ejemplo: Calcular el lmite siguiente: lim 1 + + 2 1 Solucin: lim 1 + + 2 1 = lim + 2 1 + 1 + 2 1 = lim + 2 1 . lim 1 + 1 + 2 1 = lim +2 1 . lim 1 + 1 + 2 +2 1 +2 = lim (+2) . lim 1 (+2) = lim 1+2 +2 . lim 1 (+2) = 0 . 0 = 1 1 = 1 Luego: lim 1 + + 2 1 = 1
  20. 20. Solucin: Sabemos que: lim 1 162 + 3 3 4 + 4 5 + 5 6 + + + 2 + 3 A la funcin o sucesin multipliquemos por 1, quedando el lmite de la siguiente manera: lim 1 162 + 3 3 4 + 4 5 + 5 6 + + + 2 + 3 ==> lim 162 + 3 1 3 4 + 4 5 + 5 6 + + + 2 + 3
  21. 21. Aplicando la propiedad 4 de los lmites tenemos: lim 162 + 3 lim 1 3 4 + 4 5 + 5 6 + + + 2 + 3 ==> lim 1 . 1 . 162 + 3 lim 1 3 4 + 4 5 + 5 6 + + + 2 + 3 lim 1 162 2 + 3 2 lim 3 4 + 4 5 + 5 6 + + + 2 + 3
  22. 22. lim 1 16 + 3 2 . lim 3 4 + 4 5 + 5 6 + + + 2 + 3 lim 1 16 + 3 2 1 ===> lim 1 16 = 1 4 Es decir: lim 162 + 3 = 1 4 De donde tenemos que: lim 1 162 + 3 3 4 + 4 5 + 5 6 + + + 2 + 3 = 1 4 Respuesta
  23. 23. Por otra parte; la expresin: lim 1 3 4 + 4 5 + 5 6 + + +2 +3 Podemos aplicar el Teorema de la Media Aritmtica pues tiene la forma: 1 1 + 2 + 3 + + Por lo tanto: lim 1 3 4 + 4 5 + 5 6 + + + 2 + 3 = 1 Por el Teorema de la Media Aritmtica. Finalmente: + + + + + + + = =
  24. 24. Calcular: lim 1 3 1 83 9 + 4 5 + 5 6 + + + 3 + 4 Solucin: lim 1 3 1 83 9 + 4 5 + 5 6 + + + 3 + 4 = lim 9 3 1 83 + lim 1 3 1 83 4 5 + 5 6 + + + 3 + 4 lim 9 3 1 83 3 = lim 0 3 1 3 83 3 = 0 2 = 0 .
  25. 25. Aplicando Propiedad de Limites: lim 3 1 83 lim 1 4 5 + 5 6 + + + 3 + 4 lim 3 1 83 = lim 3 1 83 3 = lim 1 3 1 3 8 = 1 2 . La tercera expresin: lim 1 4 5 + 5 6 + + + 3 + 4 = 1 en aplicacin del teorema de la media aritmtica Finalmente: lim 1 3 1 83 9 + 4 5 + 5 6 + + + 3 + 4 = lim 9 3 1 83 + lim 3 1 83 lim 1 4 5 + 5 6 + + + 3 + 4 = + =
  26. 26. Donde: lim 9 3 1 83 = 0 ; lim 3 1 83 = 1 2 y como lim 1 4 5 + 5 6 + + + 3 + 4 = 1 y por el teorema de la media aritmtica tenemos lim 1 4 5 + 5 6 + + + 3 + 4 = 1 (pues tiene la forma del Teorema de la Media Aritmtica) lim 3 1 83 = lim 3 1 83 = lim 1 3 1 3 8 = 1 2
  27. 27. Solucin: Observamos que 1 = 3 5 , 2 = 5 8 , 3 = 7 11 , , = 2+1 3+2 de donde podemos indicar que: lim = lim 2 + 1 3 + 2 = 2 3 lim 2 + 1 3 + 2 = lim 2 + 1 3 + 2 = lim 2 + 1 3 + 2 = lim 2 + 1 3 + 2 = lim 2 + 0 3 + 0 = 2 3 Luego por el teorema de la media geomtrica tenemos: lim 3 5 . 5 8 . 7 11 2 + 1 3 + 2 = 2 3
  28. 28. Finalmente: 5 ! 1 = 0 Es Convergente
  29. 29. Demostrar: lim 3 = 0 Solucin: Sea 1 = 3 ==> +1 1 = +1 3 +1 Entonces: lim +1 ==> lim + 1 3 +1 3 = lim 3 + 1 3 +1 = lim 3 + 1 3 3 ==> lim + 1 3 = lim + 1 3 = lim 1 + 1 3 = 1 3 < 1 Finalmente podemos indicar que la sucesin CONVERGE
  30. 30. SUCESIONES DIVERGENTES Hemos mencionado que una sucesin es Divergente cuando no tiene Lmite, esto puede ser, divergente a +; a oscilante. Definicin: Sea 1, una sucesin, diremos que +, cuando , si para todo > 0, existe > 0, tal que: > , > . Ejemplo: Probar que lim 32+1 = + Solucin: Basndonos en la definicin podemos decir: > 0, =? que depende de , tal que 32+1 > ==> 2 + 1 3 > , Es decir: > 1 2 3 1 =
  31. 31. Definicin: Sea 1, una sucesin, diremos que , cuando , si para todo > 0, existe > 0, tal que: < , > . Ejemplo: Probar que lim 1 2 = Solucin: Basndonos en la definicin podemos decir: > 0, =? . . 1 2 < ==> > 1 + 2 = Luego > 0, = 1+ 2 . . 1 2 < , > .
  32. 32. Definicin: Si la sucesin 1 diverge, pero no a , ni a +, y adems toma valores positivos y negativos en forma alternada diremos que la sucesin 1, es oscilante. Ejemplo: La Sucesin , , pues la sucesin es 1,1, 1,1, 1,1, 1,1, si es par lim 1 = 1 y cuando es impar lim 1 = 1. Luego lim 1 , por lo tanto, no es convergente, pero tampoco divergente a +, , por lo tanto, es OSCILANTE por definicin.
  33. 33. SUCESIONES MONOTONAS Y ACOTADAS DEFINICION: a. Sea 1, una sucesin, entonces: i.- Si +1, > ==> 1 . ii.- Si +1 , > ==> 1 . A una sucesin que sea creciente o decreciente le llamaremos montona. Observacin: Si +1 ==> diremos que la sucesin es estrictamente creciente. Si +1 ==> diremos que la sucesin es estrictamente decreciente.
  34. 34. Ejemplo: Determinar si la sucesin 2+1 es creciente, decreciente o no montona. Solucin: Escribiremos