FSICA GENERAL

Producto vectorial y sus aplicaciones

Sir William Rowan Hamilton fue sin lugar a dudas una persona superdotada en muchos aspectos: a los 5 aos lea griego, latn, hebreo y dominaba a los diez aos media docena de lenguas orientales. Estudio en el Trinity College de Dubln, y a los 22 aos era ya astrnomo real de Irlanda, director del Observatorio de Dunsink y profesor de Astronoma. Publico pronto un trabajo sobre rayos en ptica, y estudio otros interesantes fenmenos naturales cuya explicacin y confirmacin experimental le dieron enorme prestigio, tanto como para ser elevado a la nobleza a los 30 aos.

W. R.HAMILTON: COMPLEJOS, CUATERNIOS Y VECTORES

Habiendo axiomatizado los nmeros complejos en el plano: Existe una

teora de ternas en el espacio?

El producto vectorial es una de las dos formas de multiplicar vectores que se realizan en la mayora de las aplicaciones de Fsica y Astronoma.

El producto vectorial es una manera de fabricar cierto tipo de (pseudo)-vector a partir de dos vectores

Introduccin

Dados dos magnitudes, y , que forman un ngulo , podemos construir una nueva magnitud como el producto vectorial de

estas dos = . Esta magnitud es tambin vectorial

PRODUCTO VECTORIAL

Es igual al producto de los mdulos de los dos vectores por

el valor absoluto del seno del ngulo que forman.

Equivalentemente, es el rea del paralelogramo que definen

ambos vectores.

MDULO

DIRECCIN La perpendicular al plano definido por los

vectores y . SENTIDO El dado por la regla de la mano derecha: si

colocamos nuestra mano derecha de forma que los dedos sigan el sentido de giro desde el primer vector , hacia el segundo vector , por el camino ms corto, entonces el pulgar extendido apunta en el sentido de .

DIRECCIN YSENTIDO

NO ES CONMUTATIVO

En su lugar, el producto vectorial es anti-

conmutativo

CANCELACIN POR ORTOGONALIDAD

PROPIEDADES

CONDICIN DE PARALELISMO ENTRE DOS

DIRECCIONES

El producto vectorial se anula cuando alguno de los

vectores es nulo o se trata de vectores paralelos

NO ES ASOCIATIVO

DISTRIBUTIVO

REGLA DE LA EXPULSIN

IDENTIDAD DE JACOBI

PROPIEDADES

PROPIEDADES

RELACION DEL PRODUCTO VECTORIAL

CON EL REA DEL PARALELOGRAMO

En la expresin del trmino de la derecha, sera el mdulo de los vectores , Siendo , el ngulo menor

entre los vectores

MDULO O NORMA DEL PRODUCTO VECTORIAL

VECTOR UNITARIO

CALCULO DE REAS Y VOLMENES

El producto vectorial entre dos vectores define tiene como mdulo un valor igual al rea del paralelogramo generado por los mismos:

El volumen de un paraleleppedo generado por tres vectores viene dado por el producto mixto siguiente:

Adems, el producto vectorial tiene muchas aplicaciones tiles en la Geometra Analtica, como por ejemplo para determinar la perpendicular comn a dos rectas, o representar vectorialmente planos y superficies.

APLICACIONES EN MATEMTICAS

MOMENTO ANGULAR Y TORQUE

Y ambas se relacionan por la conocida relacin:

APLICACIONES EN LA FSICA

Muchas gracias!

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Si he hecho descubrimientos invaluables ha sido ms por tener paciencia que cualquier otro talento

Isaac Newton