Laura Mallagaray Corral

Luis Javier Hernández Paricio y María Teresa Rivas Rodríguez

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

Grado en Matemáticas

2014-2015

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

Semiflujos discretos complejos asociados a funciones racionales

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2015

publicaciones.unirioja.esE-mail: publicaciones@unirioja.es

Semiflujos discretos complejos asociados a funciones racionales, trabajo fin degrado

de Laura Mallagaray Corral, dirigido por Luis Javier Hernández Paricio y María Teresa Rivas Rodríguez (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia

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Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

TRABAJO FIN DE GRADO

Grado en Matemáticas

Semiflujos discretos complejos asociados a funciones

racionales

Alumno:

Laura Mallagaray Corral

Tutores:

Luis Javier Hernández Paricio

María Teresa Rivas Rodríguez

Logroño, junio 2015

Semiflujos discretoscomplejos asociados afunciones racionales

Laura Mallagaray Corral

Tutores:Luis Javier Hernández Paricio y Maŕıa Teresa Rivas Rodŕıguez

Universidad de La Rioja

Trabajo de fin de Grado en Matemáticas

Agradecer a mis padres y familiares el apoyo moral y económicoque me han dado a lo largo de estos cuatro años de carrera.

A todos mis profesores del Grado que me han aportado tantaformación y en especial, a mis tutores del Trabajo Fin de Grado,Luis Javier Hernández Paricio y Maŕıa Teresa Rivas Rodŕıguez,

por su gran esfuerzo y dedicación.

Resumen

El objetivo de este trabajo es el estudio de iteraciones de una función racio-nal, definida en la esfera de Riemann. Utilizando la proyección estereográfica,introduciremos las métricas cordal y esférica en el plano complejo extendido.Estudiaremos conceptos básicos de la dinámica de una función racional y ana-lizaremos detalladamente algunos resultados sobre los mismos; en particular,algunos relativos a puntos fijos, puntos cŕıticos y subconjuntos invariantes, co-mo los conjuntos de Julia y de Fatou. También utilizaremos algunos algoritmoscomputacionales para obtener representaciones gráficas sobre la dinámica deciertas funciones racionales.

1

Abstract

The aim of this work is the study of iterations of a rational function, definedon the Riemann sphere. Using the stereographic projection, we will introducethe chordal and spherical metrics on the extended complex plane. We will studysome basic concepts about the dynamics of a rational function and we willanalyze in detail some results about these concepts; in particular, some resultsrelated to fixed points, critical points and invariant subsets as the Fatou andJulia sets. Furthermore, we will use some computational algorithms to obtaingraphical representations about the dynamics of certain rational functions.

3

Índice general

Resumen 1

Abstract 3

Introducción 7

Preliminares 11

1. Funciones racionales 131.1. El plano complejo extendido C∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. Funciones racionales en C∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3. Conjugación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4. Valencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5. Puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6. Puntos cŕıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Los conjuntos de Fatou y de Julia 332.1. Los conjuntos de Fatou y de Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Conjuntos completamente invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Iteración de funciones racionales 393.1. Sucesiones obtenidas por la iteración de una función racional a

partir de un punto inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2. Iteración de funciones de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3. Iteración de la función R(z) = z2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4. Aproximación de ráıces por el Método de Newton . . . . . . . . . 443.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Conclusión 51

Bibliograf́ıa 53

5

Introducción

Un sistema dinámico representa, en numerosas ocasiones, un sistema queevoluciona con el tiempo. Muchas veces, hallar las soluciones exactas de lasecuaciones que modelan dichos sistemas puede resultar muy dif́ıcil e inclusoimposible, por lo tanto a menudo su estudio se centra en averiguar si el sistemase estabiliza con el tiempo o si su comportamiento depende de las condicionesiniciales. Para ello, es interesante averiguar los estados que son constantes en eltiempo, los cuales son los puntos fijos del sistema y ver si estos son atractores orepulsores; es decir, si ante un estado inicial cercano, el sistema se ve atráıdo orepelido por tal estado. Es de interés también el estudio de los puntos periódicosdel sistema: estados del sistema que se repiten ćıclicamente.

Son muchos los matemáticos que han contribuido a lo largo de la historiaal desarrollo de los sistemas dinámicos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz pre-sentaron las ecuaciones diferenciales como principal forma de representar losfenómenos f́ısicos que variaban con el tiempo [10], [11]. Más tarde, a finales delsiglo XIX, el trabajo pionero de Henri Poincaré [7], [8] revolucionó la formade abordar las ecuaciones diferenciales ordinarias y sus consecuencias acabarondando lugar al nacimiento de los sistemas dinámicos. Posteriormente, GeorgeBirkhof continuó con estos estudios [5] y gracias a matemáticos, entre otrosmuchos, como Stephen Smale, quien ganó en 1966 la medalla Fields por susimportantes aportaciones a los sistemas dinámicos [24] o a Robert Devaney consu libro An Introduction to Chaotic Dynamical Systems [22], se han conseguidograndes avances en el estudio de estos sistemas.

La importancia de los sistemas dinámicos radica en la aplicación que tienenen diversas disciplinas, ya que nos permiten estudiar cómo vaŕıan muy diversosaspectos de la vida real con el tiempo. Se distinguen dos tipos: continuos ydiscretos (ver figura 1).

En este trabajo, nos centraremos en los sistemas dinámicos discretos; enconcreto, en un caso particular de estos: los semiflujos discretos inducidos porlas funciones racionales. Tomaremos como marco general la esfera de Riemann.

Tras iterar una función racional (obtenida en ocasiones aplicando ciertosmétodos numéricos de aproximación de ráıces), se induce una partición delplano complejo extendido en dos conjuntos, el de Julia y el de Fatou. Estosconjuntos reciben tales nombres en alusión a los matemáticos Gaston Julia [6]y Pierre Fatou [21], quienes desarrollaron independientemente las bases de loque hoy se denomina la Teoŕıa de Julia-Fatou, dentro de la cual se estudian las

7

8 INTRODUCCIÓN

2 4 6 8 10 12t

10

20

30

40

Consumo eléctrico anual

(a) Sistema dinámico continuo.

5 10 15 20 25 30t

20

40

60

80

100

Número de llamadas en media hora

(b) Sistema dinámico discreto.

Figura 1: Ejemplos de gráficas correspondientes a representaciones locales desistemas dinámicos.

iteraciones de funciones racionales. Esta teoŕıa surgió a ráız de las revisionesdel método de Newton realizadas por Ernst Schröder en 1870 [4] y por Art-hur Cayley en 1879 [1]. Arthur Cayley propuso usar el método de Newton paraencontrar las ráıces de funciones de C en śı mismo y lo denominó Método deNewton-Fourier. Trató de averiguar los puntos iniciales a partir de los cuales lasucesión de iteraciones de la función en los mismos converǵıa a una ráız dada.Finalmente, consiguió resolver esta cuestión para los polinomios cuadráticos.Posteriormente, trató de hacerlo para las ecuaciones cúbicas, pero los cálculoseran demasiado complicados. Actualmente, gracias a muchos avances teóricosy computacionales, como por ejemplo, algoritmos capaces de generar gráficas apartir de las cuales se puede aproximar el conjunto de Julia de una función, seha conseguido desarrollar nuevos enfoques y lograr importantes resultados enesta materia.

Para una función racional, el conjunto de Julia es la frontera de las cuencasde atracción de sus puntos fijos y, en muchas ocasiones, forma un fractal asociadoa la correspondiente función racional. Sus puntos se caracterizan por presentarun comportamiento caótico.

Figura 2: Ejemplo de fractal asociado a una función racional.

Una de las mayores utilidades del estudio de la dinámica compleja de fun-

9

ciones racionales, es la búsqueda de ráıces de polinomios complejos mediantemétodos iterativos.

A continuación, haremos referencia a la estructura por la que hemos optadoen este trabajo, de cara a conseguir un estudio adecuado y comprensible de laiteración de funciones racionales definidas en la esfera de Riemann.

En el primer caṕıtulo, nos centraremos en el plano complejo extendido y lasfunciones racionales definidas sobre él. Presentaremos los conceptos de ��puntofijo��, ��conjugación��, ��valencia�� y ��punto cŕıtico�� de una función racional, juntocon algunos resultados interesantes de los mismos, los cuales demostraremos enmuchas ocasiones. En el segundo, estudiaremos los subconjuntos invariantes ysus principales caracteŕısticas, centrándonos en conjuntos finitos invariantes yen los conjuntos de Julia y de Fatou de una función racional. En el tercer yúltimo caṕıtulo, estudiaremos el comportamiento de las sucesiones obtenidas, apartir de un punto, por la iteración de una función racional y las relaciones entrelas cuencas de atracción de sus puntos fijos y los conjuntos de Julia y Fatou.Veremos también el caso particular de la iteración de funciones de Möbius y elde la iteración de funciones racionales asociadas al método de Newton. Final-mente, presentaremos algunos ejemplos para los que hemos utilizado algoritmoscomputacionales desarrollados en Wolfram Mathematica.

Preliminares

En esta sección, presentaremos la noción de semiflujo discreto y algunas desus propiedades básicas. De este modo, el estudio de la iteración de una funciónracional, en el que se basa este trabajo, es exactamente el estudio de un casoparticular de semiflujo discreto. En cambio, no nos detendremos a recordar losconceptos o resultados sobre espacios topológicos, espacios métricos, variablecompleja y geometŕıa diferencial que utilizaremos a lo largo del trabajo, pues-to que la mayoŕıa de ellos son estudiados en el Grado en Matemáticas y enmuchas ocasiones irán siendo recordados a medida que aparecen en el trabajo.Ahora bien, haremos referencia al final de esta sección a una serie de librosque contienen nociones y resultados previos cuya utilización permite una mejorcomprensión del trabajo.

Definición 1. Un semiflujo discreto en un espacio topológico X es una funciónϕ : N×X → X continua tal que:

1. ϕ(0, p) = p, ∀ p ∈ X;2. ϕ(n, ϕ(m, p)) = ϕ(n+m, p), ∀ p ∈ X y ∀n,m ∈ N.

Al par (X,ϕ) se le denomina sistema dinámico discreto. A menudo se usa lanotación ϕ(n, x) = n · x.

Además, dado n0 ∈ N y x0 ∈ X, las funciones inducidas son de la formaϕn0 : X −→ X

x �→ ϕn0(x) = ϕ(n0, x),y la trayectoria de x0 viene dada por

ϕx0 : N −→ Xn �→ ϕx0(n) = ϕ(n, x0).

Notemos que un semiflujo discreto ϕ : N × X → X induce una funcióncontinua ϕ1 : X → X, y, rećıprocamente, una función continua f : X → Xinduce un semiflujo discreto ϕ: N ×X → X dado por ϕ(n, x) = fn(x), siendofn la composición f . . . f︸ ︷︷ ︸

n veces

y f0 = idX . Al semiflujo discreto inducido por f se

le denota por (X, f) o por X.

11

12 PRELIMINARES

En consecuencia, la iteración de funciones racionales es exactamente el casoparticular de semiflujos discretos inducidos por funciones racionales.

Para la mayor parte del desarrollo de este trabajo nos hemos basado en lostres primeros caṕıtulos del libro Iteration of Rational Functions escrito por elmatemático A. F. Beardon [2]. Hemos ido modificando y reordenando su conte-nido para una mejor comprensión del mismo, completando algunos resultadoscon sus demostraciones, eliminando y añadiendo algunos conceptos y resulta-dos, etc. Por otra parte, algunos ejemplos de libros sobre los temas citados alcomienzo de esta sección, cuya lectura previa es recomendable, son: [25] y [12]sobre espacios topológicos generales, [26] y [9] sobre espacios métricos, [16], [3]y [23] sobre variable compleja y [17] sobre geometŕıa diferencial.

Finalmente, antes de comenzar con el desarrollo del trabajo, puesto que en élestudiaremos distintas métricas en el plano complejo extendido C∞, es necesariocomentar que, a no ser de que indiquemos lo contrario, trabajaremos siemprecon la métrica cordal.

Caṕıtulo 1

Funciones racionales

1.1. El plano complejo extendido C∞Trabajar en espacios compactos es muy conveniente debido a las numerosas

propiedades que estos presentan. Por esta razón, se estudió cómo ampliar hastaun compacto un espacio que no lo es; la idea es incrustarlo de modo denso enun compacto de tal manera que el espacio de partida y la copia incrustada seaniguales desde un punto de vista topológico.

Definición 2. Una compactificación de un espacio topológico (X, Z) es un par((X ′,Z ′), h) donde:

1. (X ′,Z ′) es un espacio topológico compacto Hausdorff;2. h : (X,Z) → (X ′,Z ′) es una incrustación; es decir, h es una aplicación

inyectiva y continua tal que h : X → h(X) es un homeomorfismo;3. h(X) es denso en X ′; es decir, h(X) = X ′.

En particular, en este trabajo nos centraremos en la compactificación por unpunto del plano complejo, conocida como la compactificación de Alexandroff deC. Notar que esta es la única compactificación que se puede obtener añadiendoun número finito de puntos, a diferencia de R que admite compactificacionestras adjuntar un punto y tras adjuntar dos puntos.

Definición 3. Sea (X,Z) un espacio topológico Hausdorff, localmente com-pacto y no compacto y denotemos por ∞ a un punto que no pertenece a X. Sidefinimos el conjunto X∞ = X ∪ {∞} y la topoloǵıa

Z∞ = Z ∪ {U ⊂ X∞ | X∞ \ U es un subconjunto compacto de X}.

Al par ((X∞,Z∞), i), siendo i la aplicación inclusión, se le llama la compactifi-cación de Alexandroff de X. A menudo se le denota simplemente por X∞.

13

14 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES

Es interesante notar que el espacio (X,Z) es un subespacio abierto y densode su compactificación ((X∞,Z∞), i).

Si en C consideramos la topoloǵıa inducida por la métrica eucĺıdea, la com-pactificación de Alexandroff de C, a la cual se le conoce también como esferacompleja o esfera de Riemann, es el plano complejo extendido

C∞ = C ∪ {∞},con la topoloǵıa Z∞ descrita anteriormente.

Con el fin de ver que topológicamente el plano complejo extendido C∞ esuna esfera S2 = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x21 +x22 +x23 = 1} y utilizar este hecho paradefinir métricas en C∞ que nos permitan trabajar con comodidad, describiremosa continuación un homeomorfismo estándar de C con la esfera sin el polo norteS2 \ {N}, conocido como proyección estereográfica y al que denotaremos comoproy.

Para describir geométricamente

proy : C −→ S2 \Nz −→ z∗

identificamos C con el plano ecuatorial {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x3 = 0} en R3 y, paracada punto z ∈ C de coordenadas (u, v, 0), trazamos la recta que une z y N cuyaintersección con S2 está formada únicamente por dos puntos, N y otro puntoal que denominamos proyección estereográfica de z y que denotamos por z∗.Cabe destacar que el polo sur de S2, de coordenadas (0, 0,−1), es la proyecciónestereográfica del centro de S2, es decir, de 0 ∈ C. De modo algebraico, podemosdescribir la aplicación proy : C −→ S2 \ {N} correspondiente a la proyecciónestereográfica mediante la siguiente fórmula:

proy(u+ iv) =

(2u

1 + u2 + v2,

2v

1 + u2 + v2,−1 + u2 + v21 + u2 + v2

).

Notemos que proy es una aplicación continua debido a que cada una de lascomponentes de proy es continua. Este argumento es suficiente para asegurarla continuidad de la función ya que sus imágenes pertenecen a S2 y en S2

trabajamos con la topoloǵıa relativa de la usual en R3.Por otra parte, podemos considerar la aplicación p̃roy : S2 \ {N} −→ C que,

geométricamente, se define para cada punto (x1, x2, x3) de S2 \ {N} tomando

la recta que lo une con N y hallando su intersección con el plano ecuatorialx3 = 0. Algebraicamente viene dada por la siguiente fórmula:

p̃roy((x1, x2, x3)) =x1

1− x3 + ix2

1− x3 .

Y como tanto la parte real Re(p̃roy) como la parte imaginaria Im(p̃roy) soncontinuas, se tiene que la aplicación p̃roy : S2 \ {N} −→ C es continua.

Una comprobación rutinaria prueba que

p̃roy ◦ proy = idC y que proy ◦ p̃roy = idS2\N .

1.1. EL PLANO COMPLEJO EXTENDIDO C∞ 15

Por lo tanto, p̃roy = proy−1 y además proy y proy−1 son homeomorfismos.Como podemos observar en la figura 1.1, cuanto más grande sea |z|, es decir,

la distancia eucĺıdea de z al centro de S2, más cerca estará z∗ de N . De estaidea surge la definición de una nueva aplicación

π : C∞ → S2

que viene definida de la siguiente manera:

π(z) =

{proy(z) si z = ∞,N = (0, 0, 1) si z = ∞.

En consecuencia, para z ∈ C, a su proyección estereográfica z∗ también se ledenota a veces como π(z) y a N se le denomina el punto del infinito.

Figura 1.1: Proyección estereográfica.

A continuación, recordaremos dos proposiciones sobre espacios topológicosque utilizaremos en la demostración de la Proposición 3.

Proposición 1. Si X e Y son dos espacios topológicos no compactos, Haus-dorff, localmente compactos y homeomorfos, entonces, sus compactificaciones deAlexandroff son también homeomorfas.

Proposición 2. Si X es un espacio topológico compacto Hausdorff, entonces,para cualquier punto x0 ∈ X, la compactificación de Alexandroff de X \ {x0} esX.

Proposición 3. π : C∞ → S2 es un homeomorfismo.Demostración. Por lo visto anteriormente, tenemos que C es homeomorfo aS2\{N}. Por lo que, por la Proposición 1, sus compactificaciones de Alexandroff

16 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES

serán también homeomorfas. Como C∞ es la de C y, por otra parte, tenemos porla Proposición 2 que la de S2\{N} es S2, queda probado que C∞ es homeomorfoa S2. Además, π es el homeomorfismo inducido por proy.

Acabamos de ver el caso particular de que la compactificación de Alexandroffde C, y por tanto de R2, es S2. Si establecemos un marco más general, tenemosque precisamente la compactificación de Alexandroff de Rn es Sn, ∀n ≥ 1.

El homeomorfismo π : C∞ → S2 presenta un comportamiento geométricointeresante que viene descrito en la siguiente proposición.

Proposición 4.

i) Si r es una recta de C∞, es decir, r = s ∪ {∞} siendo s una recta en C,entonces π(r) es una circunferencia en S2 que pasa por el polo norte N .

ii) Si C es una circunferencia del plano C, entonces π(C) es una circunferenciaen S2 que no pasa por N .

A continuación utilizaremos el homeomorfismo π para definir dos interesan-tes métricas en C∞. Para ello, recordaremos previamente la siguiente propiedadsobre métricas.

Proposición 5. Supongamos que ρ : (X,ZX) → (Y,ZY ) es un homeomorfismo.Si la métrica d induce la topoloǵıa ZY , entonces la métrica d′ : X×X → R dadapor d′(x1, x2) = d(ρ(x1), ρ(x2)) induce la topoloǵıa ZX . Además, se tiene queρ : (X, d′) → (Y, d) preserva las métricas.

Como consecuencia de la Proposición 5, existe una métrica σ sobre C∞inducida por la métrica eucĺıdea de S2 ⊂ R3, que viene definida de la siguienteforma:

σ(z, w) = |π(z)− π(w)| = |z∗ − w∗| , ∀ z, w ∈ C∞.Debido a que σ(z, w) expresa la longitud de la cuerda que une z∗ con w∗, a lamétrica σ se le denomina métrica cordal en C∞.

Veamos ahora qué fórmula expĺıcita tiene σ(z, w). Consideremos z, w ∈ C ynotemos que siempre vamos a poder expresar un complejo z = u+vi como (u, v)en R2 o como (u, v, 0) en R3. A partir de la expresión que hemos averiguadoanteriormente para las coordenadas de z∗ y w∗, manipulamos algebraicamenteσ(z, w) = |z∗ − w∗| para conseguir expresar σ(z, w) a partir de z, w y de lamétrica eucĺıdea. Aśı, finalmente, tenemos

σ(z, w) =2 |z − w|

(1 + |z|2)1/2 · (1 + |w|2)1/2 ,

y para z ∈ C y w = ∞ tenemos

σ(z,∞) = ĺımw→+∞σ(z, w) =

2

(1 + |z|2)1/2 .

1.1. EL PLANO COMPLEJO EXTENDIDO C∞ 17

Existe una métrica alternativa σ0 en C∞ denominada métrica esférica, quees equivalente a la métrica cordal σ. La distancia esférica entre dos puntosz, w ∈ C∞, es decir, σ0(z, w), viene definida como el ı́nfimo de las longitudes delos caminos (medibles) que se pueden encontrar en S2 uniendo sus proyeccionesestereográficas z∗ y w∗ (es decir, la distancia Riemanniana en S2 entre z∗ y w∗).Este ı́nfimo es el ángulo θ (en radianes) correspondiente a la cuerda del ćırculomáximo determinado por z∗ y w∗, o lo que es lo mismo, la longitud del arco dećırculo máximo correspondiente a la cuerda (ver figura 1.2).

Notemos que si aplicamos propiedades trigonométricas básicas, obtenemosuna relación directa entre la métrica cordal σ y la métrica esférica σ0, ya quecomo σ0(z, w) = θ y σ(z, w) = 2 sen

(θ2

), entonces

σ(z, w) = 2 sen

(σ0(z, w)

2

).

w∗z∗

(0, 0)

11

2 sen(θ2

)

θ

θ

Figura 1.2: Representación de σ0(z, w) como el ángulo θ.

A continuación, relacionaremos σ y σ0 mediante una inecuación. Para ello,partiremos de la inecuación elemental

2θ

π≤ sen θ ≤ θ, 0 ≤ θ ≤ π

2

18 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES

(ver figura 1.3). Por lo tanto, como tenemos que σ(z, w) = 2 sen(θ2

)y que

sen(θ2

) ≤ θ2 , entonces2 sen

(θ

2

)≤ θ = σ0(z, w),

por lo que finalmente se da la siguiente desigualdad:

2

π· σ0(z, w) ≤ σ(z, w) ≤ σ0(z, w).

/4 /2

0.5

1.0

1.5

sen

Figura 1.3: Inecuación elemental.

Notemos que el hecho de que la métrica eucĺıdea y la métrica Riemannianade S2 sean equivalentes (ambas inducen la topoloǵıa eucĺıdea de S2), hace quelas métricas cordal σ y esférica σ0 sean métricas equivalentes en C∞ (ambasinducen la topoloǵıa Z∞) y, por tanto, sus restricciones a C inducen la topoloǵıaeucĺıdea de C. Se tiene el siguiente resultado.

Proposición 6. Las métricas σ|C y σ0|C son equivalentes a la métrica eucĺıdeasobre C. Ahora bien, no existe ninguna métrica ρ en C∞ que extienda la métricaeucĺıdea de C.

Demostración. Supongamos que existe una métrica ρ : C∞ × C∞ → R+ conρ(z, w) = |z − w| si z, w ∈ C. En ese caso, se tiene que

n = ρ(n, 0) ≤ ρ(n,∞) + ρ(∞, 0).Tomando ĺımites cuando n → +∞ a ambos lados, llegamos a que

∞ ≤ 0 + k, k ∈ R+,por lo que estamos ante una contradicción.

1.1. EL PLANO COMPLEJO EXTENDIDO C∞ 19

Para las propiedades que presentaremos a continuación, necesitaremos re-cordar previamente la noción de isometŕıa.

Definición 4. Sea f : (X, d) → (Y, d′) una aplicación entre dos espacios métri-cos (X, d) e (Y, d′). Se dice que f es una isometŕıa si para cualesquiera puntosx, y ∈ X, se tiene que d(x, y) = d′(f(x), f(y)).

Por ejemplo, el homeomorfismo π : (C∞, σ) → (S2, d), donde d es la métricaeucĺıdea, es una isometŕıa.

Se sabe que las isometŕıas de S2 con la métrica eucĺıdea son exactamentelas rotaciones y reflexiones de S2. Como consecuencia, se obtiene el siguienteresultado.

Proposición 7. Cada una de las rotaciones ϕ de S2 induce una σ-isometŕıasobre C∞ definida como la composición π−1ϕπ

C∞π−−→ S2 ϕ−−→ S2 π

−1−−−−→ C∞.

Demostración. La función π−1ϕπ será una σ-isometŕıa si y solo si satisface:

σ(z, w) = σ((π−1ϕπ)(z), (π−1ϕπ)(w)), ∀ z, w ∈ C∞.Teniendo en cuenta que ϕ : S2 → S2 con la métrica eucĺıdea es una isometŕıa yque σ está definida como

σ(z, w) = |π(z)− π(w)|,obtenemos:

σ((π−1ϕπ)(z), (π−1ϕπ)(w)) = |π(π−1ϕπ)(z)− π(π−1ϕπ)(w)|= |ϕπ(z)− ϕπ(w)|= |π(z)− π(w)|= σ(z, w).

Nota 1. Se puede probar que las σ-isometŕıas de C∞ inducidas por las rotacionesϕ de S2 son exactamente las funciones f de la forma

f(z) =az − c̄cz + ā

, |a|2 + |c|2 = 1, a, c ∈ C;

por lo que son un tipo de funciones de Möbius, las cuales estudiaremos másadelante.

Ejemplo 1. Si tomamos en la expresión anterior a = 0 y c = i, obtenemos lafunción h : C∞ → C∞ dada por h(z) = 1/z, la cual es por tanto una σ-isometŕıa.Nótese que h(0) = ∞ y h(∞) = 0, por lo que h transforma rectas r de C∞ quepasan por el punto z0 = 0, en rectas h(r) de C∞ que también pasan por el puntoz0 = 0. En cuanto a las circunferencias C de C que pasan por el punto z0 = 0,h las transforma en rectas h(C) de C∞ (pues h(0) = ∞) que no pasan por elpunto z0 = 0.

20 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES

1.2. Funciones racionales en C∞Definición 5. Una función racional R : C∞ → C∞ es una aplicación de laforma

R(z) =P (z)

Q(z),

siendo P y Q polinomios de modo que no sean simultáneamente nulos y que seancoprimos (no tienen ceros comunes). Aśı, si P es el polinomio nulo, entonces R esla función constante cero y si en cambio el denominador Q es el polinomio nulo,entonces R es la función constante ∞. Si P no es el polinomio nulo y Q(z0) = 0,entonces se define R(z0) = ∞. Además, se define R(∞) = ĺım

z→∞R(z).

Sea una función racional de la forma R(z) = P (z)Q(z) , con P y Q polinomios no

nulos. Puede ocurrir que P y Q tengan algún cero en común (recordar que losceros de una función f son aquellos puntos w tal que f(w) = 0). En tal caso,

se cancelan los correspondientes factores lineales y se considera R(z) = P1(z)Q1(z) ,

donde P1 y Q1 son polinomios coprimos. Por esa razón, consideraremos siemprefunciones racionales R = PQ donde P y Q son polinomios coprimos.

Definición 6. El grado de una función racional R(z) = P (z)Q(z) se define como

grado(R) = máx{grado(P ), grado(Q)}.

Si R es una aplicación constante con valor α ∈ C∞, se define grado(R) = 0.Definición 7. Se dice que una función f : D → C definida en un abiertoD ⊂ C es holomorfa en D si su derivada f ′ existe en cada punto de D y ademásf ′: D → C es continua.Definición 8. Se dice que una función f : D → C∞ definida en un abiertoD ⊂ C es meromorfa en D si para cada punto de D existe un entorno abiertoen el que ya sea f o 1/f es holomorfa.

Podemos describir también las funciones meromorfas en un abierto D ⊂ Ccomo aquellas funciones f: D → C∞ que son holomorfas en todo D excepto enun número finito de puntos, los cuales son exactamente las preimágenes de ∞.Por lo tanto, a diferencia de f , la función 1/f śı que será holomorfa en estospuntos.

Definición 9. Los polos de una función f: D → C∞ meromorfa en un abiertoD ⊂ C son aquellos puntos w ∈ D tal que f(w) = ∞; es decir, ĺım

z→w f(z) = ∞.Por tanto, en los entornos de esos puntos, la función h dada por h(z) = 1f(z)

es holomorfa tomando en w el valor cero.

A continuación, recordaremos una propiedad que caracteriza la continuidadde una función definida de un espacio topológico en un espacio métrico.

1.2. FUNCIONES RACIONALES EN C∞ 21

Proposición 8. Sean (A,ZA) y (X,ZX) dos espacios topológicos. Si ZX es latopoloǵıa inducida por una métrica d en X, entonces se tiene que una aplicaciónf: (A,ZA) → (X,ZX) es continua si y solo si

ĺımz→w d(f(z), f(w)) = 0, ∀w ∈ A.

Proposición 9. Sea una función f: D → C∞ meromorfa en un abierto D ⊂ C,entonces f es continua en cada uno de sus polos.

Demostración. Consideremos en C∞ la métrica cordal σ. Por el ejemplo 1, sa-bemos que la función h : C∞ → C∞ dada por h(z) = 1/z es una σ-isometŕıa.Como consecuencia, tenemos que ∀ z, w ∈ C:

σ(f(z), f(w)) = σ(1/f(z), 1/f(w)).

Por otra parte, como la función 1/f es holomorfa en un entorno de cada polow de f , también será continua en estos puntos. Aśı, aplicando la Proposición 8,tenemos que

ĺımz→w σ(f(z), f(w)) = ĺımz→w σ

(1

f(z),

1

f(w)

)= 0,

lo que conlleva que f es continua en cada uno de sus polos w con la métricacordal y como consecuencia, también con la métrica eucĺıdea.

Definición 10. Una función f está definida cerca o en un entorno del ∞ siestá definida en algún conjunto {z ∈ C | |z| > r}∪{∞} ⊂ C∞. En este caso, f esholomorfa (o meromorfa) en ∞ si y solo si la función h dada por h(z) = f(1/z)es holomorfa (o meromorfa) cerca del origen.

Definición 11. Una función f : D1 → D2 con D1 y D2 abiertos de C∞, esanaĺıtica en D1 si es holomorfa o meromorfa en cada punto de D1.

Teorema 1. Toda función racional es anaĺıtica en C∞; de hecho, las únicasfunciones que son anaĺıticas en C∞ son las racionales.

Notemos que dada una función racional S : C∞ → C∞ tal que S(w) = ∞para cierto w ∈ C, el estudiar las caracteŕısticas de S en el polo w es equivalentea estudiar las de la función 1S en el punto w, el cual será un cero de la nuevafunción.

Por otra parte, si se tiene una función racional L : C∞ → C∞ tal queL(∞) = k = ∞, el comportamiento de L en el punto ∞ es análogo al de lafunción L( 1z ) en el punto z0 = 0.

Finalmente, como consecuencia de lo anterior, si tenemos una función racio-nal R : C∞ → C∞ tal que R(∞) = ∞, podemos transformar cualquier problemarelacionado con el estudio de R en el polo ∞ en uno equivalente centrado en elestudio del cero z0 = 0 de la función

1

R( 1z ). Estos cambios nos resultarán muy

útiles en muchas ocasiones.

22 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES

Ejemplo 2. Sea P : C∞ → C∞ el polinomio dado por

P (z) = a0 + a1 · z + . . .+ an · zn, n > 0, an = 0.

Observemos que P (∞) = ∞, por lo que en este caso estudiar P en el ∞ esequivalente a estudiar la función g definida como

g(z) =1

P (1/z)=

zn

a0 · zn + . . .+ anen el 0. Como g es holomorfa cerca del punto 0, ya que su derivada g′ existe yes continua en un entorno de 0, entonces P es anaĺıtica en el punto ∞.

Teorema 2. Si R : C∞ → C∞ es una función racional de grado d > 0, entoncesR es una función d-plegada; es decir, ∀w ∈ C∞, la ecuación R(z) = w tieneexactamente d soluciones (contando multiplicidades).

Demostración. Supongamos que R no es constante y que

R(z) =P (z)

Q(z), grado(P ) = n, grado(Q) = m.

Recordar que P y Q son polinomios coprimos. Ahora vamos a distinguir varioscasos según la relación que mantienen n y m.

Caso n = m: todos los ceros y polos de R están en C. Esto es debido aque el punto ∞ solamente es un cero de R en caso de que se tenga queR(∞) = 0, lo cual solo ocurre si el grado del denominador Q es mayor queel del numerador P , es decir, si m > n, y, por otra parte, ∞ solamente esun polo de R si R(∞) = ∞, lo cual únicamente se da si el grado de P esmayor que el de Q, es decir, si n > m. De esta forma, R tiene el mismonúmero de ceros (que coinciden con los ceros de P ) que de polos (que sonexactamente los ceros de Q). Además, este número coincide con el gradode R, el cual es el mismo que el de P y Q.

Caso n = m. Supongamos n > m, lo que conlleva que el grado de R esn. En este caso, R tiene n ceros y m polos en C. Además, se tiene queR(∞) = ∞, por lo que ∞ es un polo, en particular, de multiplicidadn − m ya que esta coincide con la multiplicidad del cero 0 de la funciónh : C∞ → C∞ dada por h(z) = 1/R(1/z). En resumen, el número de polosde R en C∞ es m+ (n−m), es decir, n. Y, por otra parte, el número deceros de R en C∞, al no ser el punto ∞ un cero de R, es también n. Enconsecuencia, R tiene el mismo número de polos en C∞ que de ceros, elcual a su vez coincide con el grado de R.

Análogamente ocurre si m > n, por lo que este hecho se cumple en todoslos casos.

1.3. CONJUGACIÓN 23

Tenemos que ∀w ∈ C, la ecuación R(z) = w tiene tantas soluciones comoceros tiene R(z)− w. Ahora bien, como

R(z)− w = P (z)Q(z)

− w = P (z)− wQ(z)Q(z)

y R(z)−w tiene el mismo grado que R(z) ya que al ser P y Q coprimos, P−wQ yQ también lo son, se tiene, por lo visto anteriormente, que la ecuación R(z) = wtiene tantas soluciones (para z) como grado tiene R independientemente dew.

Siempre que tengamos una función racional R : C∞ → C∞, como su dominioy su rango coinciden, vamos a tener la posibilidad de aplicar R repetidamenteun número n de veces, obteniendo aśı la n-iteración Rn de R. Además, se verificaque

grado(Rn) = (grado(R))n,

lo cual es consecuencia directa de la siguiente proposición.

Proposición 10. Sean dos funciones racionales R y S no constantes,

grado(RS) = grado(R) · grado(S).

Demostración. Sea p el grado de R y q el grado de S, entonces, para todossalvo un conjunto finito de valores de w, el conjunto R−1(w) está formado porexactamente p valores distintos: ζ1, ζ2, . . . , ζp (notar que esto se debe a quesolamente hay un número finito de w para los cuales algún z solución de laecuación R(z) = w tiene multiplicidad mayor que 1). Si excluimos además los wpara los cuales algún conjunto S−1(ζj) tiene menos de q elementos, estaremosexcluyendo aśı otro número finito de w, por lo que finalmente tendremos quepara todos, salvo para un número finito de w, el conjunto (RS)−1(w) tieneexactamente p · q elementos.

Podemos observar que esto se cumple también en el caso en el que uno deellos (R o S) sea constante.

1.3. Conjugación

Definición 12. Se denominan funciones de Möbius a las funciones racionalesR : C∞ → C∞ definidas de la siguiente forma:

R(z) =az + b

cz + d, a, b, c, d ∈ C, ad− bc = 0,

donde se tiene:

Para c = 0 : R(∞) = ĺımz→+∞R(z) =

a

cy R(−dc ) = ∞;

Para c = 0 : R(∞) = ∞.

24 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES

Las funciones de Möbius constituyen el grupo de homeomorfismos anaĺıticosde C∞, lo cual es consecuencia directa del Teorema 1 y de que estas son lasúnicas funciones racionales biyectivas de C∞ en śı mismo (por el Teorema 2, laúnica posibilidad de que una función racional definida de C∞ en śı mismo tengapara cada w ∈ C∞ una única preimagen, es que la función sea de grado 1).Definición 13. Dos funciones racionales R y S son conjugadas si y solo si existealguna función g de Möbius tal que S es la composición:

S = gRg−1.

La conjugación es una relación de equivalencia y, cada clase de equivalen-cia, está formada por todas las funciones racionales conjugadas de una funciónracional dada.

Proposición 11. Si R y S son dos funciones racionales conjugadas, sus gradoscoinciden.

Demostración. Supongamos que el grado de R es n, veamos cuál es el grado deS. Como S es la conjugada de R, será de la forma:

S = gRg−1,

siendo g una función de Möbius, lo cual implica que tanto g como g−1 son degrado 1. Aplicamos ahora la Proposición 10:

grado(S) = grado(g) · grado(R) · grado(g−1) = n.Proposición 12. La conjugación de funciones racionales conserva las iteracio-nes; es decir, si S = gRg−1 con g una función de Möbius, entonces

Sn = gRng−1.

Gracias a la anterior propiedad, siempre que tengamos un problema relacio-nado con R, podremos transformarlo a un problema centrado en su conjugadaS y resolverlo en términos de S. Esto puede ser muy útil ya que a veces, estenuevo problema es más sencillo de resolver que el anterior.

Proposición 13. La conjugación de funciones racionales conserva los puntosfijos; es decir, si S = gRg−1 con g una función de Möbius, entonces g(z) es unpunto fijo de S si y solo si z es un punto fijo de R.

Proposición 14. Una función racional R no constante es un polinomio si ysolo si R tiene un polo en ∞ y ningún polo en C, o lo que es lo mismo, siR−1(∞) = {∞}.

Como consecuencia directa de la proposición anterior, tenemos el siguienteteorema.

Teorema 3. Una función racional S no constante es la conjugada de un poli-nomio R si y solo si existe algún w ∈ C∞ tal que S−1(w) = {w}.

1.4. VALENCIA 25

1.4. Valencia

A lo largo de esta sección, nos referiremos siempre a funciones f : C∞ → C∞anaĺıticas.

Definición 14. Sea una función f no constante y holomorfa cerca del puntoz0 ∈ C, su desarrollo de Taylor en z0 es

f(z) = a0 + ak · (z − z0)k + ak+1 · (z − z0)k+1 + . . . , ak = 0,

con ak =f(k)(z0)

k! . A este entero k (al cual se le denota también como vf (z0)) sele denomina valencia, u orden, de f en z0.

Notemos que z0 siempre va a ser solución de la ecuación f(z) = a0, por loque vf (z0) coincidirá con la multiplicidad de z0 como solución de tal ecuación.

Proposición 15. vf (z0) está determinada por la siguiente condición; es el únicok para el que se cumple que existe

ĺımz→z0

f(z)− f(z0)(z − z0)k ,

y además, tal ĺımite es finito y distinto de 0.

Proposición 16. La valencia v satisface la ��Regla de la Cadena��:

vfg(z0) = vf (g(z0)) · vg(z0), z0, g(z0), f(g(z0)) ∈ C.Demostración. Sea q = vf (g(z0)) y k = vg(z0), ambos finitos, veamos quevfg(z0) = k · q.

Como g es no constante y holomorfa cerca de z0, se tiene que g = g(z0) enun entorno N de z0. Por lo tanto, ∀ z ∈ N , se tiene la siguiente identidad a laque denotamos como A:

A =fg(z)− fg(z0)(z − z0)k·q =

(fg(z)− fg(z0)(g(z)− g(z0))q

)·(g(z)− g(z0)(z − z0)k

)q.

Podemos observar que A es la expresión cuyo ĺımite cuando z → z0 debe existir,ser finito y distinto de cero para que, según la Proposición 15, vfg(z0) sea exac-tamente k ·q. Veamos si esto se cumple. Por hipótesis q = vf (g(z0)) y k = vg(z0),por lo que los siguientes ĺımites existen y son finitos distintos de cero:

ĺımz→z0

B = ĺımz→z0

f(g(z))− f(g(z0))(g(z)− g(z0))q , ĺımz→z0 C = ĺımz→z0

g(z)− g(z0)(z − z0)k .

Y como precisamente se da que A = B · Cq y por tantoĺımz→z0

A = ĺımz→z0

B · ĺımz→z0

Cq,

se tiene que ĺımz→z0

A existe y es finito distinto de cero por ser el producto de dos

números finitos distintos de cero, luego vfg(z0) = k · q.

26 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES

Proposición 17. Una función f es inyectiva en algún entorno de z0 ∈ C si ysolo si vf (z0) = 1.

Notemos que gracias a las proposiciones 16 y 17, si por ejemplo se tiene unacomposición fg definida cerca de z, siendo f una aplicación cualquiera y g unaaplicación inyectiva cerca de z, se da que

vfg(z) = vf (g(z)).

Si en cambio se tiene una composición hf definida cerca de z, siendo h unaaplicación inyectiva cerca de f(z), entonces

vhf (z) = vf (z).

Hasta aqúı nos hemos centrado solamente en la valencia de una función fen z ∈ C. Ahora, vamos a extender la noción y estudiar vf (z0) en los casos enlos que z0 = ∞ o f(z0) = ∞ o ambos.Definición 15. Sea una función f : C∞ → C∞ no constante y sea z0 ∈ C∞.Llamaremos valencia de f en z0 al valor vf (z0) = vF (g(z0)) donde F = hfg

−1,siendo g y h transformaciones de Möbius tales que g(z0) ∈ C y h(f(z0)) ∈ C.

Nótese que F : C∞ → C∞ es una función no constante y holomorfa cercadel punto g(z0) ∈ C y que además, se puede comprobar aplicando argumentosde inyectividad local, que la definición anterior es independiente de las transfor-maciones de Möbius g y h elegidas.

Ejemplo 3. Sea una función f : C∞ → C∞. Si z0 ∈ C es un polo de f demultiplicidad k, entonces la valencia de f en z0 está definida como la valencia dela función F = hf en z0, donde h es la función de Möbius dada por h(z) = 1/z.Es decir: vf (z0) = vF (z0) siendo F la función dada por F (z) = 1/f(z), ∀ z ∈ C∞.Proposición 18. Si f es inyectiva en D ⊂ C∞, entonces vf (z) = 1, ∀ z ∈ D.Demostración. Consecuencia inmediata de la Definición 15 y de la Proposi-ción 17.

Notemos que el rećıproco no es cierto, como podemos observar en el siguienteejemplo. Consideremos la función f dada por f(z) = z2 y D = C\{0}. Podemosver fácilmente que vf (z) = 1, ∀ z ∈ D, puesto que el desarrollo de Taylor de z2en un punto a ∈ C \ {0} es:

z2 = a2 + 2a(z − a) + 2(z − a)2.

En cambio, f no es inyectiva en C \ {0} pues por ejemplo f(−2) = f(2).El hecho de que una función racional no constante R : C∞ → C∞ de grado

d sea una función d-plegada se puede expresar en términos de valencia. Obser-vemos la siguiente proposición.

1.5. PUNTOS FIJOS 27

Proposición 19. Si R: C∞ → C∞ es una función racional no constante degrado d, entonces, ∀w ∈ C∞, se tiene que∑

z∈R−1{w}vR(z) = grado(R) = d.

Demostración. Dado w ∈ C∞, para cualquier z0 ∈ R−1(w), vR(z0) es la multi-plicidad de z0 como solución de la ecuación R(z) = w. Por lo tanto, ∀w ∈ C∞,se tiene que ∑

z∈R−1{w}vR(z) = grado(R) = d.

1.5. Puntos fijos

En esta sección, consideraremos siempre funciones f : C∞ → C∞ racionales.Definición 16. Se denominan puntos fijos de una función f : C∞ → C∞ aaquellos w que satisfacen f(w) = w.

Si f es un polinomio no constante, uno de sus puntos fijos siempre va a serel ∞. Por otra parte, si R = PQ es una función racional no constante, con P yQ polinomios coprimos entre śı, el punto ∞ es un punto fijo de R si y solo siel grado de P es mayor que el grado de Q. Además, si ζ ∈ C es un punto fijode R, entonces Q(ζ) = 0 (pues si Q(ζ) = 0 se tendŕıa que P (ζ) = 0 al ser P yQ coprimos y entonces R(ζ) = ∞, lo cual ocurre solamente si ζ es el punto del∞). Los puntos fijos ζ ∈ C de R son aquellos que satisfacen

P (ζ)− ζ ·Q(ζ) = 0, Q(ζ) = 0.

En resumen, estudiar los puntos fijos pertenecientes al plano complejo de lafunción R es equivalente a estudiar los ceros (complejos) de la función definidacomo h(z) = P (z)− zQ(z). Notar que es posible que R no tenga ningún puntofijo en C, o lo que es equivalente, que la función h no tenga ningún cero en C.

Definición 17. Sea R : C∞ → C∞ una función racional. Si ζ ∈ C es un puntofijo de R, diremos que ζ es:

atractor si |R′(ζ)| < 1;

repulsor si |R′(ζ)| > 1;

indiferente si |R′(ζ)| = 1.Definición 18. La multiplicidad de un punto fijo ζ ∈ C de una función racionalR = PQ viene definida como la multiplicidad de ζ como solución de la ecuación

P (z)− zQ(z) = 0.

28 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES

En el caso en el que ∞ es un punto fijo de R, llamaremos multiplicidad delpunto ∞ a la multiplicidad del punto fijo z0 = g(∞) ∈ C de la función racionalS = gRg−1, donde g es una transformación de Möbius tal que g(∞) ∈ C.

Nótese que la noción de multiplicidad en el punto fijo ∞ está bien definidaen virtud del siguiente Lema 1 y de las propiedades de inyectividad local queobviamente satisfacen las funciones de Möbius. En consecuencia, se tendrá elTeorema 4.

Lema 1. Sea ζ ∈ C un punto fijo de una función anaĺıtica f y sea ϕ unafunción anaĺıtica, inyectiva y finita en algún entorno de ζ (es decir, ϕ(z) = ∞para todo punto z de dicho entorno), entonces, la multiplicidad del punto fijoϕ(ζ) de ϕfϕ−1 es la misma que la de ζ en f .

Teorema 4. Sea ζ un punto fijo de una función racional R : C∞ → C∞ y guna función de Möbius, entonces, la multiplicidad del punto fijo g(ζ) de gRg−1

es la misma que la de ζ en R.

Ejemplo 4. La función f(z) = z + 1z =z2+1

z no tiene ningún punto fijo en Cpuesto que

∀ z ∈ C, P (z)− z ·Q(z) = z2 + 1− z · z = 1 = 0.

En cambio, el punto∞ śı que es un punto fijo (y por tanto también un polo) de fya que el grado del numerador es mayor que el del denominador. La multiplicidadde ∞ coincidirá con la multiplicidad del punto fijo 0 de la función F = gfg−1,donde g es la transformación de Möbius dada por g(z) = 1/z. Notar que F vienedefinida expĺıcitamente por

F (z) =1

f(1/z)=

z

1 + z2.

Hallamos pues los puntos fijos de F :

z

1 + z2= z ⇐⇒ z3 = 0,

por lo que el 0 es su único punto fijo, lo cual era de esperar por su correspon-dencia con f , para la cual hemos visto antes que su único punto fijo era ∞. Enparticular, el 0 es un punto fijo de F de multiplicidad 3, aśı que el ∞ es unpunto fijo de f de multiplicidad 3.

Teorema 5. Una función racional R = PQ de grado d > 0 tiene exactamente

d+ 1 puntos fijos (contando multiplicidades) en C∞.

Demostración. A partir de R, siempre se puede encontrar una función conjugadaS = gRg−1 = P1Q1 que no tenga al punto ∞ como punto fijo. Por lo tanto, paraesta S, se tendrá que

grado(P1) ≤ grado(Q1) = grado(S).

1.6. PUNTOS CRÍTICOS 29

En consecuencia,

grado(P1(z)− z ·Q1(z)) = grado(Q1) + 1 = d+ 1.

Por lo tanto, la función S tiene d+1 puntos fijos y, como el grado de R coincidecon el de S, R tiene la misma cantidad de puntos fijos que S.

Ejemplo 5. Procedemos a encontrar los puntos fijos de la función f(z) = z+z3,la cual según el Teorema 5, tendrá 4 puntos fijos en C∞ al ser de grado 3. Laecuación f(z) − z = z3 = 0 tiene en el punto 0 un cero de multiplicidad 3,por lo que el 0 es el único punto fijo en C de f de multiplicidad 3. Notar quela valencia de f en el punto 0 es 1 ya que en este caso el desarrollo de Taylorde f en 0 coincide con la propia función. Por otra parte, al tratarse f de unpolinomio no constante, el punto ∞ también es un punto fijo de f . Veamos cuáles su multiplicidad:

1

f(1/z)= z ⇐⇒ z

3

z2 + 1= z ⇐⇒ z = 0.

Por tanto, el punto ∞ es un punto fijo de multiplicidad 1. Aśı que la suma delas multiplicidades de los puntos fijos de f es 4, como afirmaba el Teorema 5.

1.6. Puntos cŕıticos

Definición 19. Sea R : C∞ → C∞ una función racional no constante y seaz0 ∈ C∞. Diremos que z0 es un punto cŕıtico de R si para todo entorno U dez0 se tiene que la restricción R|U no es inyectiva. En tal caso, diremos que suimagen R(z0) es un valor cŕıtico de R.

Si aplicamos la Proposición 17, vemos que los puntos cŕıticos de R en Cson exactamente aquellos z0 para los que se cumple que vR(z0) > 1 y comoconsecuencia de la definición de vR(z0), satisfacen R

′(z0) = 0.Notemos que para el punto ∞, en virtud de la Definición 15 y de la Propo-

sición 17, se tiene que es un punto cŕıtico de R si y solo si vR(∞) > 1.Definición 20. Llamaremos multiplicidad de un punto cŕıtico z0 ∈ C∞ de unafunción racional R de grado d > 0, al valor vR(z0)− 1.

Sea una función racional R de grado d. Si w no es uno de sus valores cŕıticos,es decir, si R es localmente inyectiva en todo z ∈ R−1(w), entonces, comoconsecuencia de la Proposición 19, se tiene que el conjunto R−1(w) está formadopor exactamente d puntos distintos {z1, . . . , zd}. Además, como ninguno de loszj son puntos cŕıticos, podemos encontrar entornos N de w y N1, . . . , Nd dez1, . . . , zd respectivamente, tales que R es una biyección de cada Nj en N . Porlo tanto, ∀ j, la restricción Rj = R|Nj : Nj → N tiene inversa

R−1j : N → Nj .

30 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES

A estas aplicaciones R−1j las denominaremos ramas de R−1 en w.

En resumen, R es localmente inyectiva en todo punto z ∈ C que no sea ni uncero ni un polo de su derivada R′, luego para todos, excepto para un conjuntofinito de puntos z ∈ C∞, se da que vR(z) = 1 y, como consecuencia, se tieneque: ∑

z∈C∞(vR(z)− 1) < +∞.

Obviamente, solamente son positivos los términos referentes a los z que seanpuntos cŕıticos de R, por lo que el valor de esta suma coincide con el númerode puntos cŕıticos de R (contando multiplicidades). Además, en el caso de unpolinomio P no constante, como sabemos que vP (∞) = grado(P ), podemosaveriguar también el número de puntos cŕıticos en C que tiene P .

Teorema 6 (Relación de Riemann-Hurwitz). Sea R cualquier función racionalno constante, entonces, se tiene que∑

z∈C∞(vR(z)− 1) = 2 · grado(R)− 2.

Demostración. Sabemos, por lo visto anteriormente, que tanto el grado como lavalencia se conservan bajo conjugación. Por lo que probar la igualdad para Res equivalente a probarla para una conjugada S cualquiera de R.

Supongamos que el grado de R es d y tomemos un punto ζ tal que R(ζ) = ζ,vR(ζ) = 1 y la ecuación R(z) = ζ tenga d soluciones distintas. Tomemos unafunción g de Möbius que satisfaga g(ζ) = ∞ y g(R(ζ)) = 1. Consideremos laconjugada S de R dada por S = gRg−1. Entonces, S verifica lo siguiente:

1. S(∞) = 1, pues S(∞) = gRg−1(∞) = g(R(ζ)) = 1.2. S tiene d polos simples z1, . . . , zd distintos en C, por lo que vS(zj) = 1.

Esto es debido a que, como g(ζ) = ∞ y g es biyectiva por ser de Möbius,gRg−1(z) = ∞ si y solo si R(g−1(z)) = ζ. Aśı, por las propiedades delpunto ζ, tenemos que existen z1, . . . , zd soluciones complejas distintas quesatisfacen la ecuación.

3. vS(∞) = 1, ya que, teniendo en cuenta que las funciones de Möbius sonbiyectivas y aplicando las propiedades de la valencia y las del punto ζ, setiene:

vgRg−1(∞) = vg−1(∞) · vgR(g−1(∞))= 1 · vgR(ζ) = 1 · vg(R(ζ)) · vR(ζ) = 1 · vR(ζ) = 1.

Como consecuencia de las condiciones 2 y 3, el sumatorio∑

z∈C∞(vS(z) − 1)

tiene el mismo valor tomando todos los z ∈ C∞ que tomando todos los z deC∞ \{z1, . . . , zd,∞}. Además, ∀ z ∈ C∞ \{z1, . . . , zd,∞}, se tiene que S(z) ∈ C

1.6. PUNTOS CRÍTICOS 31

y, por tanto, el término vS(z)− 1, es decir, la multiplicidad de tal z como puntocŕıtico de S, coincide con la multiplicidad de z como cero de su derivada S′.

Expresamos ahora S en forma reducida, es decir, S = PQ con P y Q polino-mios coprimos, de manera que aśı su derivada

S′(z) =P ′(z)Q(z)− P (z)Q′(z)

Q(z)2

está también en su forma reducida. Esto es debido a que, en caso contrario, elnumerador y el denominador de S′ tendŕıan algún a como cero común y, para esea, se tendŕıa que Q(a) = 0 y 0 = P ′(a)Q(a) = P (a)Q′(a), por lo que entonces,Q′(a) = 0 ya que P (a) = 0 al ser P y Q coprimos. Como consecuencia, a seŕıaun cero de Q de multiplicidad mayor o igual que 2, lo cual implica, que a seŕıatambién un polo de S (es decir, a = zj para algún polo zj de S) de orden mayoro igual que 2, contradiciendo aśı la condición 2.

Por lo tanto, el número de ceros de S′(z) coincide con el grado del polinomioP ′(z)Q(z)−P (z)Q′(z), o equivalentemente, con el grado de Q(z)2 ·S′(z). Comoel grado de S coincide con el grado de R, es decir, el grado de S es d, y el punto∞ no es un punto fijo de S (por la condición 1), se tiene que el grado de S esigual al grado de Q y por tanto, el grado de Q es d. Como consecuencia,

ĺımz→∞

Q(z)2

z2d= k = 0.

Por otra parte, por la condición 3, se tiene que vS(∞) = 1, luego en unentorno del punto 0 se da que:

S(1/z) = 1 +A · z + . . . , A ∈ C \ {0}.

Derivamos ahora a ambos lados de la expresión anterior y obtenemos:

−1z2

· S′(1/z) = A+ z ·H(z).

Entonces, en un entorno del punto ∞, se tiene que −z2 · S′(z) = A + 1z · L(z),por lo que

ĺımz→∞ z

2 · S′(z) = −A.

Por lo tanto,

ĺımz→∞

Q(z)2 · S′(z)z2d−2

= ĺımz→∞

Q(z)2

z2d· ĺımz→∞ z

2 · S′(z) = k · (−A) = 0,

lo cual conlleva que el grado de Q(z)2 · S′(z) es 2d− 2.

Corolario 1. Una función racional R de grado d > 0 tiene como máximo 2d−2puntos cŕıticos en C∞, contando multiplicidades. Un polinomio de grado p > 0tiene como máximo p− 1 puntos cŕıticos en C.

32 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES

Demostración. La primera parte de la afirmación es consecuencia directa delTeorema 6. La segunda es elemental.

Teorema 7. Sea C el conjunto de los puntos cŕıticos de una función racionalR, entonces, el conjunto de valores cŕıticos de Rn es

R(C) ∪ . . . ∪Rn(C).

Demostración. Recordar que si C es el conjunto de los puntos cŕıticos de R, unpunto p ∈ C si y solo si vR(p) > 1.

Si R es constante, entonces C = C∞, por lo que es obvio que se satisface elTeorema.

Supongamos ahora que R no es constante. Notemos que dado z ∈ C∞ yfijado un n, como R es suprayectiva, entonces existe una sucesión en C∞

z0, z1 = R(z0), . . . , zn = Rn(z0) = R(zn−1) = z, tal que z0 ∈ C∞.

Por la Regla de la cadena para valencias aplicada a Rn(z0) (notar queRn(z0) = (RR

n−1)(z0)), tendremos que:

vRn(z0) = vR(Rn−1(z0)) · vRn−1(z0) = vR(zn−1) · vRn−1(z0).

Aplicamos ahora dicha regla sucesivamente y finalmente, llegamos a que

vRn(z0) = vR(zn−1) · vR(zn−2) · · · vR(z0).

Notar que todas las valencias anteriores son mayores o igual que 1 ya que R noes constante.

En consecuencia, vRn(z0) > 1 si y solo si existe un i ∈ {0, . . . , n − 1} talque vR(zi) > 1, lo cual significa que z0 es un punto cŕıtico de R

n si y solosi existe i ∈ {0, . . . , n − 1} tal que zi es un punto cŕıtico de R (zi ∈ C). Esdecir, z = Rn(z0) es un valor cŕıtico de R

n si y solo si existe i ∈ {0, . . . , n− 1}tal que z = zn ∈ Rn−i(C). Por tanto, z es un valor cŕıtico de Rn si y solo siz ∈ Rn(C) ∪Rn−1(C) ∪ . . . ∪R(C).

Caṕıtulo 2

Los conjuntos de Fatou y deJulia

La dinámica de una función racional R, induce una partición del plano com-plejo extendido C∞ en dos conjuntos llamados el conjunto de Fatou y el de Julia,denotados por F (R) y J(R) respectivamente. En este caṕıtulo, presentaremosdichos conceptos junto con algunas de sus propiedades. Para ello, recordaremospreviamente la noción de equicontinuidad.

Definición 21. Una familia F de funciones de (X, d) en (Y, ρ), ambos espaciosmétricos, es equicontinua en el punto x0 si y solo si ∀ > 0, ∃ δ = δ(, x0) > 0 talque ∀x ∈ X y ∀ f ∈ F se verifica que si d(x0, x) < δ, entonces ρ(f(x0), f(x)) < .

Se dice que F es equicontinua en un subconjunto X0 ⊂ X si lo es en todopunto x0 ∈ X0.

Nótese que si una familia F es equicontinua en cada subconjunto Di de unacolección {Di}i∈J ⊂ P(X), entonces también es equicontinua en ∪i∈JDi.Teorema 8. Sea F una familia de funciones de (X, d) en (Y, ρ), ambos espaciosmétricos. Entonces, existe un subconjunto abierto maximal de X en el cual Fes equicontinua.En el caso particular de que f sea una aplicación de un espacio métrico (X, d)en śı mismo, entonces, existe un subconjunto abierto maximal de X en el cualla familia de iteraciones {fn}n∈N es equicontinua.

2.1. Los conjuntos de Fatou y de Julia

Como consecuencia del Teorema 8, podemos dar la siguiente definición.

Definición 22. Sea R : C∞ → C∞ una función racional no constante. Sedenomina conjunto de Fatou de R, y se denota por F (R), al subconjunto abiertomaximal de C∞ en el cual la familia de iteraciones {Rn}n∈N es equicontinua

33

34 CAPÍTULO 2. LOS CONJUNTOS DE FATOU Y DE JULIA

(considerando en C∞ la métrica cordal σ). Se le conoce también como el conjuntoestable o el conjunto de la normalidad.

Al complementario en C∞ del conjunto de Fatou F (R), C∞ \ F (R), se ledenomina conjunto de Julia de R, y se denota por J(R).

Notemos que como F (R) es abierto, J(R) = C∞ \ F (R) y C∞ es compacto,se tiene que J(R) también es compacto.

Como la equicontinuidad se transfiere mediante conjugación por transforma-ciones de Möbius, se tiene el siguiente resultado.

Teorema 9. Sea R una función racional no constante y g una función deMöbius. Si S = gRg−1, entonces F (S) = g(F (R)) y J(S) = g(J(R)).

Teorema 10. Sea R una función racional no constante y p un entero positivo,entonces F (Rp) = F (R) y J(Rp) = J(R).

2.2. Conjuntos completamente invariantes

Definición 23. Sea X un conjunto y g : X → X una aplicación. Diremos queun subconjunto E ⊂ X es:

invariante hacia delante si g(E) = E;

invariante hacia atrás si g−1(E) = E;

completamente invariante si g(E) = E = g−1(E).

La intersección de toda familia de subconjuntos completamente invariantesbajo g es también completamente invariante bajo g.

Notemos que si g es suprayectiva, todo conjunto invariante hacia atrás escompletamente invariante y viceversa, ya que en ese caso g(g−1(E)) = E. Estosiempre ocurre si X = C∞ y g es una función racional no constante.

Ejemplo 6. Consideremos la función f: C → C dada por f(z) = ez. Es claro queel conjunto C es invariante hacia atrás bajo f . Sin embargo, C no es invariantehacia delante ya que f(C) = C. Esto es debido a que no existe ningún z ∈ Cque satisfaga ez = 0. Por tanto, tampoco es completamente invariante.

Lema 2. Si E es un conjunto completamente invariante bajo una funcióng : X → X y h : X → X es una aplicación biyectiva, entonces h(E) es com-pletamente invariante bajo hgh−1.

Definición 24. Sea X un conjunto, g : X → X una aplicación y sea ∼ larelación de equivalencia en X dada por: (x, y ∈ X) x ∼ y si y solo si existen dosenteros no negativos n y m tal que

gn(x) = gm(y).

A la clase de equivalencia [x] correspondiente al punto x se le llama órbita de xinducida por g.

2.2. CONJUNTOS COMPLETAMENTE INVARIANTES 35

Proposición 20. Sea X un conjunto y g : X → X una aplicación. Enton-ces, ∀x ∈ X, la clase de equivalencia [x] es el menor conjunto completamenteinvariante que contiene a {x}.Demostración. Sea 〈x〉 el menor conjunto completamente invariante que contie-ne a {x}. Veamos que 〈x〉 = [x].

Sea y ∈ [x]. Por lo que, por definición de [x], existen m y n enteros nonegativos tales que gm(y) = gn(x). Aśı,

y ∈ g−m(gn(x)) ⊂ g−m(gn〈x〉) = 〈x〉(la igualdad se da ya que 〈x〉 es completamente invariante). Por lo tanto, setiene que [x] ⊂ 〈x〉.

Para comprobar que 〈x〉 ⊂ [x], basta con ver que [x] es completamenteinvariante pues la minimalidad de 〈x〉 implicará automáticamente que 〈x〉 ⊂ [x].Como ∀ y ∈ X, y ∼ g(y), se tiene que: x ∼ y (y ∈ [x]) si y solo si x ∼ g(y)(g(y) ∈ [x]); dicho de otra manera, y ∈ [x] si y solo si y ∈ g−1([x]), lo cualprueba que [x] es completamente invariante.

Corolario 2. Sea X un conjunto, g : X → X una aplicación y E un subconjuntode X. Entonces:

i) E es completamente invariante si y solo si E es una unión de clases deequivalencia [x].

ii) E es completamente invariante si y solo si su complementario X \ E escompletamente invariante.

Demostración. La primera afirmación i) es consecuencia directa de la Proposi-ción 20. Y, como si E es una unión de clases de equivalencia, su complementariotambién lo es, entonces, por la afirmación i), se tiene queX\E es completamenteinvariante.

Teorema 11. Sea X un espacio topológico y g : X → X una función abierta,continua y suprayectiva. Si E ⊂ X es un conjunto completamente invariante,entonces su complementario X \E, su interior E0, su clausura Ē y su frontera∂E también lo son.

Demostración. Por el Corolario 2, se tiene que X \ E es completamente inva-riante.

Por otra parte, como g es continua en X, g−1(E0) es un subconjunto abiertode g−1(E), y por tanto también de E ya que este es completamente invariante;luego g−1(E0) ⊂ E0. Análogamente, como g es una función abierta, g(E0) esun subconjunto abierto de g(E) = E, por lo que g(E0) ⊂ E0. Aśı, se tiene que

E0 ⊂ g−1(g(E0)) ⊂ g−1(E0),lo cual conlleva que E0 es completamente invariante.

Una vez hemos visto que esto se cumple para X \E y para E0, de los argu-mentos básicos de topoloǵıa se deduce automáticamente que tanto su clausuraĒ como su frontera ∂E también lo son.

36 CAPÍTULO 2. LOS CONJUNTOS DE FATOU Y DE JULIA

Notemos que si X es un espacio topológico con un número finito de com-ponentes X1, . . . , Xt y f : X → X una función continua, como cada f(Xj) esconexo, f induce una función lf : {1, . . . , t} → {1, . . . , t} dada por lf (i) = j sif(Xi) ⊂ Xj . Además, si f es suprayectiva, entonces lf es suprayectiva y como{1, . . . , t} es finito, se tiene que lf es una permutación de {1, . . . , t}.

Si m es el orden (finito) de la permutación lf , tendremos que lmf = id y por

tanto

fm(Xj) = Xj ∀j.Un argumento simple (usando el hecho de que todos los Xj son disjuntos a

pares) prueba que cada Xj es completamente invariante bajo fm. Como conse-

cuencia de lo anterior, se obtiene el siguiente resultado.

Proposición 21. Sea X un espacio topológico y f: X → X una función conti-nua y suprayectiva. Si X tiene un número finito de componentes Xj, entoncesexiste un entero positivo m tal que todo Xj es completamente invariante bajofm.

Hasta ahora hemos visto propiedades generales sobre conjuntos completa-mente invariantes bajo una función f . A continuación, nos centraremos en elcaso particular de que f sea una función racional.

Teorema 12. Sea R una función racional de grado mayor o igual que 2 y Eun conjunto finito completamente invariante bajo R. Entonces, E está formadocomo máximo por 2 elementos.

Demostración. Supongamos que E tiene k elementos. Al ser E completamenteinvariante bajo R, se tiene que R(E) = E = R−1(E), es decir, el dominio yel rango de R|E coinciden y es E, por lo que R|E es suprayectiva. Si a estole añadimos que E es finito, tenemos que R|E es una función biyectiva y portanto, es una permutación de E. Esto implica que para cierto q ∈ Z, (R|E)q esla función identidad de E.

Supongamos ahora que Rq tiene grado d, lo cual conlleva según el Teorema 2,que ∀w ∈ E la ecuación Rq(z) = w tiene exactamente d soluciones. Aśı, teniendoen cuenta la Proposición 19, ∀ z ∈ E se tiene que vRq (z) = d y, aplicando elTeorema 6 a Rq, tenemos que

∑z∈C∞

(vRq (z)− 1) = 2d− 2.

Finalmente, como∑z∈E

(vRq (z)− 1) ≤∑

z∈C∞(vRq (z)− 1) y el cardinal |E| = k,

se deduce que

k(d− 1) ≤ 2d− 2.Y como por hipótesis d es mayor o igual que 2, se tiene que k es menor o igualque 2.

Teorema 13. Sea R una función racional no constante. Entonces, tanto elconjunto de Fatou como el de Julia son completamente invariantes bajo R.

2.2. CONJUNTOS COMPLETAMENTE INVARIANTES 37

Demostración. Para ver esto, gracias al Teorema 11, basta probar que el con-junto de Fatou F = F (R) es completamente invariante. Además, como R es unafunción racional no constante y por tanto suprayectiva, abierta y continua, essuficiente comprobar que el conjunto F es invariante hacia atrás, es decir, queF = R−1(F ).

Sea z0 ∈ R−1(F ), entonces existe un punto w0 ∈ F tal que R(z0) = w0. Sea > 0, como w0 ∈ F , ∃ δ > 0 tal que ∀w ∈ C∞ se verifica que si σ(w,w0) < δ,se tiene que σ(Rn(w), Rn(w0)) < , ∀n ∈ N. Además, como R es continua,existe también un ρ > 0 tal que si σ(z, z0) < ρ, entonces σ(R(z), w0) < δ y portanto σ(Rn+1(z), Rn+1(z0)) < , lo cual es equivalente a decir que la familia deiteraciones {Rn+1 | n ≥ 0} es equicontinua en z0, ∀ z0 ∈ R−1(F ), por lo que lo esen todo R−1(F ). Esto implica que lo mismo ocurre con la familia {Rn | n ≥ 0}.Finalmente, por ser F abierto y R continua, se tiene que R−1(F ) es abierto y,como consecuencia, la maximalidad de F implica que R−1(F ) ⊂ F .

Para ver el otro contenido, consideremos z0 ∈ F y sea w0 = R(z0). Puestoque z0 ∈ F , dado > 0, ∃ δ > 0 tal que ∀ z ∈ C∞, si σ(z, z0) < δ, entoncesσ(Rn+1(z), Rn+1(z0)) < , ∀n ∈ N.

Sea N = Bσ(z0; δ) la bola de centro z0 y radio δ. Como N es un conjuntoabierto y R es abierta, R(N) es un entorno abierto de w0 y por tanto, existeun δ′ > 0 tal que Bσ(w0; δ′) ⊂ R(N) . Entonces, para cada w ∈ Bσ(w0; δ′),w ∈ R(N) y existe z ∈ N tal que w = R(z). En consecuencia,

σ(Rn(w), Rn(w0)) = σ(Rn+1(z), Rn+1(z0)) < .

Por tanto, todo w0 ∈ R(F ) se encuentra también en F , con lo que R(F ) ⊂ F .Luego F ⊂ R−1(F ).

Para la demostración del siguiente teorema, utilizaremos la noción de con-vergencia uniforme que recordaremos a continuación.

Definición 25. Sea una función f : (X, d) → (Y, ρ) entre espacios métricos ysea {fn}n≥1 una sucesión de funciones entre esos mismos espacios. Se dice quela sucesión {fn}n≥1 converge uniformemente a f si ∀ > 0, ∃N ∈ N tal que∀n ≥ N y ∀x ∈ X, se tiene que

ρ(fn(x), f(x)) < .

Teorema 14. Si P : C∞ → C∞ es un polinomio de grado mayor o igual que2, entonces, el punto ∞ ∈ F (P ) y la componente conexa F∞ del conjunto deFatou F (P ) que contiene al ∞ es completamente invariante bajo P .Demostración. Debido a que el grado de P es mayor o igual que 2, existe algúnentorno W del punto ∞ en el cual la sucesión {Pn}n∈N converge uniformementea la función constante ∞. Entonces, dado > 0, ∃N ∈ N tal que si n ≥ N , y siz, w ∈ W , se tiene que

σ(Pn(z), Pn(w)) ≤ σ(Pn(z),∞) + σ(∞, Pn(w)) < ,

38 CAPÍTULO 2. LOS CONJUNTOS DE FATOU Y DE JULIA

por lo que la familia {Pn}n∈N es equicontinua en algún entorno del punto ∞ ypor tanto ∞ ∈ F (P ).

Veamos ahora que F∞ es completamente invariante. Como P es una funcióncontinua, P (F∞) es un subconjunto conexo del conjunto de Fatou F = F (P ).Además, ∞ ∈ P (F∞) por ser ∞ un punto fijo de P . Como P (F∞) ⊂ P (F )y, por el Teorema 13, P (F ) = F , se tiene que ∞ ∈ P (F∞) ⊂ F y por tantoP (F∞) ⊂ F∞, luego F∞ ⊂ P−1(F∞).

Ahora supongamos que z ∈ P−1(F∞), luego por el Teorema 13, sabemosque z ∈ F1 siendo F1 alguna componente de F y, por el argumento anterior, setiene también que P (F1) ⊂ F∞. Si P (F1) = F∞, entonces ∃ ζ ∈ ∂F1 tal queP (ζ) ∈ F∞, lo cual no puede ocurrir, aśı que ζ ∈ J siendo J completamenteinvariante. Finalmente, deducimos que P (F1) = F∞ y en consecuencia, ∃w ∈ F1tal que P (w) = ∞. Pero la única posibilidad de que esto ocurra es que w = ∞,F1 = F∞ y z ∈ F∞.

Caṕıtulo 3

Iteración de funcionesracionales

3.1. Sucesiones obtenidas por la iteración de unafunción racional a partir de un punto inicial

La iteración, a partir de un punto z0 ∈ C fijado inicialmente, de una funciónracional R : C∞ → C∞ consiste en aplicar R repetidamente de tal manera quevamos obteniendo la siguiente sucesión:

z0, z1 = R(z0), z2 = R(z1), . . . , zn+1 = R(zn),

donde z0 = R0(z0) y zn = R

n(z0) ∀n ∈ N.Supongamos ahora que la sucesión {zn}n∈N obtenida a partir del punto ini-

cial z0 por iteración de R, converge a un punto w ∈ C∞. Entonces, como R escontinua, se tiene que

w = ĺımn→+∞ zn = ĺımn→+∞ zn+1 = ĺımn→+∞R(zn) = R

(ĺım

n→+∞ zn

)= R(w),

por lo que w es un punto fijo de R.

Proposición 22. Sea una sucesión {zn}n∈N formada a partir de iterar unafunción racional R partiendo de un punto inicial z0. Si esta sucesión converge,lo hará a uno de los puntos fijos de R.

Definición 26. Sea una función racional R : C∞ → C∞ y un punto z0 ∈ C∞.Si la sucesión {zn}n∈N obtenida por la iteración de R a partir del punto inicialz0 converge a un punto ζ ∈ C∞, diremos que z0 está en la cuenca de atraccióndel punto fijo ζ.

Notemos que si ζ ∈ C es un punto fijo de R y z es un punto cercano a ζ,entonces, podemos ��aproximar�� el valor |R(z)− ζ| de la forma siguiente:

|R(z)− ζ| = |R(z)−R(ζ)| ≈ |R′(ζ)| · |z − ζ|.

39

40 CAPÍTULO 3. ITERACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Por tanto, si ζ es un punto fijo atractor (es decir, si |R′(ζ)| < 1) y z0 está su-ficientemente próximo a ζ, los puntos de la sucesión {zn}n∈N obtenida por laiteración de R a partir de z0, se irán aproximando cada vez más al punto ζ y secumplirá que ĺım

n→+∞ zn = ζ.

Si en cambio ζ es un punto fijo repulsor de R (es decir, si |R′(ζ)| > 1) yestudiamos el comportamiento de la sucesión {zn}n∈N obtenida por la iteraciónde R a partir de un punto z0 suficientemente próximo a ζ, los primeros términosse irán alejando de ζ, pero puede ocurrir que a partir de un cierto númerode iteraciones, la sucesión regrese a las proximidades del punto ζ y se tengaĺım

n→+∞ zn = ζ. Esto último solamente puede ocurrir si ∃n0 ∈ N, tal que zn = ζ,∀n ≥ n0. En efecto, si suponemos que ĺım

n→+∞ zn = ζ y que no existe n0 ∈ N talque zn = ζ ∀n ≥ n0, entonces, para infinitos valores de n, tendremos que

|zn+1 − ζ| < |zn − ζ|.

Ahora bien, notemos que siempre vamos a poder elegir un número k tal queR′(ζ) > k > 1 y un entorno N de ζ, de modo que ∀ z ∈ N se verifica que

|R(z)− ζ| = |R(z)−R(ζ)| > k|z − ζ|.

Luego si tomamos por ejemplo z = zn ∈ N para un n suficientemente grande,tenemos que

|R(zn)− ζ| = |zn+1 − ζ| > k|zn − ζ| > |zn − ζ|,

lo cual contradice la hipótesis inicial.

Una idea básica en la aplicación de la teoŕıa de iteración para el estudiode una función racional R es la de dividir el plano complejo extendido C∞ endos subconjuntos: el conjunto de Fatou F (R) y el de Julia J(R). De esta formase consigue responder a la cuestión de si el comportamiento de dos sucesiones{zn}n∈N y {wn}n∈N formadas a partir de iterar una misma función racional R,partiendo de dos puntos iniciales distintos aunque muy cercanos entre śı (z0y w0 respectivamente), es análogo o no. Por ejemplo, si z0 ∈ F (R), entoncesexistirá un entorno U ⊂ F (R) de tal manera que ∀w0 ∈ U , el comportamientode las sucesiones {zn}n∈N y {wn}n∈N será análogo. Mientras que si z0 ∈ J(R),no ocurre lo anterior.

Como consecuencia, en los puntos del conjunto de Fatou de R se puedepredecir la dinámica, mientras que el estudio de los puntos del conjunto deJulia de R forma parte de la dinámica caótica.

3.2. Iteración de funciones de Möbius

En esta sección, analizaremos el comportamiento de las sucesiones obtenidasa partir de un punto inicial por la iteración de un tipo de función particular:una función de Möbius.

3.2. ITERACIÓN DE FUNCIONES DE MÖBIUS 41

Ejemplo 7. Sea la función R de Möbius definida como

R(z) =3z − 22z − 1 ,

se tiene por inducción que

Rn(z) = 1 +z − 1

2nz − (2n− 1) .

Dado z ∈ C∞, estudiamos ĺımn→+∞R

n(z) y resulta ser 1 ∀ z ∈ C∞. Es decir,∀ z ∈ C∞, la sucesión {zn}n∈N obtenida por iteración a partir de z, verifica queĺım

n→+∞ zn = 1. Notar que el punto 1 es un punto fijo (indiferente) de multipli-

cidad 2 de la función R. Además, el punto 1, es el único punto fijo de R enC∞.

Caso general. Sea una función R de Möbius. Como gradoR = 1, R tieneexactamente 2 puntos fijos (contando multiplicidades). A continuación, estudia-remos los dos casos posibles que se pueden presentar:

Caso 1: R tiene un único punto fijo en C.

Proposición 23. Si la función R de Möbius tiene un único punto fijo ζ,entonces, ∀ z ∈ C∞, se tiene que ĺım

n→+∞Rn(z) = ζ.

Demostración. Supongamos primero que ζ es el punto ∞, lo cual implicaque R es de la forma

R(z) = z + β, β = 0.Como consecuencia, se tiene que

Rn(z) = z + nβ,

de modo que ∀ z, Rn(z) → ∞ cuando n → +∞.Veamos ahora el caso en el que ζ ∈ C. Sea g la función de Möbius definidapor g(z) = 1/(z − ζ), ∀ z ∈ C∞. Notemos que g satisface que g(ζ) = ∞.Consideremos la conjugada S de R definida por

S(z) = gRg−1(z).

Puesto que S solamente posee un punto fijo en el punto ∞, S es unatraslación y, como consecuencia, ∀ z ∈ C∞, Sn(z) → ∞ cuando n → +∞.Además, por la Proposición 12, sabemos que Sn(z) = gRng−1(z), de modoque reemplazando z por g(z) y aplicando g−1 a ambos lados, obtenemosfinalmente que

Rn(z) = g−1(Sn(g(z)),

de donde deducimos que Rn(z) tiende a g−1(∞) = ζ cuando n → +∞.

42 CAPÍTULO 3. ITERACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Caso 2: R tiene dos puntos fijos distintos.

Proposición 24. Si la función R de Möbius tiene dos puntos fijos dis-tintos ζ1 y ζ2, entonces, ∀ z ∈ C∞, se verifica siempre una de estas tresafirmaciones sobre la sucesión Rn(z):

1. Rn(z) converge a uno de los puntos fijos de R.

2. Rn(z) se mueve ćıclicamente a través de un conjunto finito de puntos.

3. Rn(z) forma un subconjunto denso de una circunferencia.

Demostración. Estudiaremos primero el caso particular ζ1 = 0 y ζ2 = ∞,es decir, el caso en el que R está definida por R(z) = kz y se tendrá queRn(z) = knz. Recordar que la función Rn(z) consta de los mismos puntosfijos que R. Por otra parte, para z = ζ1, ζ2 se tendrá que⎧⎪⎨⎪⎩

Rn(z) → 0 si |k| < 1,|Rn(z)| = |z| si |k| = 1,Rn(z) → ∞ si |k| > 1.

Por lo que, cuando |k| = 1, se dará una de las dos opciones siguientes:a) k es una n-ráız de la unidad y Rn es la identidad; o

b) k no es una ráız de la unidad y los puntos Rn(z) son densos en lacircunferencia de centro el origen y radio |z|.

Veamos ahora el caso general; los puntos fijos de R son ζ1 y ζ2 con ζ1 = ζ2y ζ1, ζ2 ∈ C∞. En esta situación, consideremos una función de Möbiusg que satisfaga g(ζ1) = 0 y g(ζ2) = ∞. En el caso particular de queζ1, ζ2 ∈ C, podemos tomar por ejemplo la función g dada por:

g(z) =z − ζ1z − ζ2 .

Aśı, tomando la conjugada S = gRg−1 de R, sabemos por la Proposi-ción 13, que sus puntos fijos son los puntos 0 e ∞, luego ya podemosaplicar lo correspondiente al caso particular que hemos estudiado ante-riormente.

3.3. Iteración de la función R(z) = z2.

Sabemos por el Teorema 5 que la función racional R(z) = z2, al ser de grado2, tiene 3 puntos fijos. Haciendo los cálculos pertinentes, vemos que estos sonlos puntos 0 e ∞, ambos atractores, y el punto 1, el cual es repulsor. Todos ellosson puntos fijos simples.

En este caso, podemos observar con facilidad que si tomamos un punto inicialz0 tal que |z0| < 1, la sucesión {zn}n∈N convergerá al punto 0, a diferencia de

3.3. ITERACIÓN DE LA FUNCIÓN R(Z) = Z2. 43

si tomamos un z0 que cumpla que |z0| > 1 pues entonces {zn}n∈N convergerá alpunto ∞. Esto significa que la cuenca de atracción del punto 0 es el interiorde la circunferencia unidad C = {z | |z| = 1} y que la cuenca de atracción delpunto ∞ es el conjunto {z ∈ C∞ | |z| > 1}. Por tanto, como el conjunto deJulia de una función racional es la frontera de las cuencas de atracción de suspuntos fijos, se tiene que J(R) = C y entonces, por la Proposición 13, C escompletamente invariante bajo R.

Ahora nos centraremos en la dinámica de R en la circunferencia unidad C.Los puntos de C son de la forma eiθ, por lo que ∀ z ∈ C se tendrá que

Rn(z) = e2niθ.

Por tanto, si z es de la forma e2πir2m con r,m ∈ Z, entonces Rm(z) = 1 y se

tiene que Rn(z) = 1 ∀n ≥ m; es decir, si tomamos un punto z de dicha formacomo punto inicial de la sucesión {zn}n∈N, entonces conseguiremos llegar alpunto 1 tras un número finito de iteraciones. Si en cambio comenzamos a iteraren un punto z0 ∈ C pero no de la forma e 2πir2m , entonces la sucesión {zn}n∈Nno convergerá a ningún punto. Esto es debido a que si la sucesión {zn}n∈Ntiende a un punto w, entonces, por lo visto anteriormente, w es un punto fijode R y w ∈ C por ser C completamente invariante. En consecuencia, la únicaposibilidad de que esto ocurra es que w sea el punto 1. Como este es un puntofijo repulsor, la sucesión {zn}n∈N solamente puede converger al punto 1 si setiene que ∃n0 ∈ N tal que zn = 1 ∀n ≥ n0. Y como esto último solo ocurre siz0 es de la forma e

2πir2m , hemos llegado a una contradicción.

Es interesante observar que tanto el conjunto de los puntos de la formae

2πir2m como el de los restantes de C son densos en C. Podemos observar un

comportamiento caótico de las iteraciones Rn(z) sobre C, ya que cada arcode C contiene por una parte infinitos puntos que tras un número finito deiteraciones llegan al punto 1 permaneciendo posteriormente en este y, por otra,una infinidad de puntos moviéndose ćıclicamente sobre C sin llegar a converger aningún punto. Por este motivo, dado un punto z0 ∈ C, siempre podremos elegirun punto w0 ∈ C cercano a z0, de modo que las sucesiones {zn}n∈N y {wn}n∈Npresenten un comportamiento bastante diferente. Por tanto, en caso de que noconociésemos todav́ıa el conjunto de Julia de R, como sabemos que sus puntospresentan un comportamiento caótico, aśı habŕıamos intuido que J(R) contienea la circunferencia unidad C.

Por otra parte, sea I cualquier arco de longitud positiva en C y θ el ánguloformado por I y el origen. Como la función R(z) = z2 duplica el ángulo polarde puntos sobre C, el ángulo correspondiente a R(I) y al origen es 2θ. Comoconsecuencia, para todo n suficientemente grande, Rn(I) cubre y por tanto es,la circunferencia unidad C. Esto ocurre independientemente del tamaño del arcoI que tomemos inicialmente.

Es interesante también el estudio de los puntos periódicos de una funciónracional R, es decir, los puntos fijos de alguna iteración Rn de R. Como en estecaso Rn(z) = z2

n

, los puntos fijos de Rn en C y por tanto los puntos periódicosde R en C, son las (2n − 1)-ráıces de la unidad, por lo que son densos en C.

44 CAPÍTULO 3. ITERACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Además, es claro que si ζ = e2πi

2n−1 , entonces, ζ es un punto fijo de Rn pero node Rm con m ∈ {1, 2, . . . , n− 1}; es decir, ∀ k ∈ N existen puntos periódicos enC con periodo k.

3.4. Aproximación de ráıces por el Método deNewton

El Método de Newton para una función racional f : C∞ → C∞, se basa enla iteración de la función

N(x) = x− f(x)f ′(x)

para encontrar las soluciones de una ecuación de la forma f(x) = 0, es decir,para hallar las ráıces (ceros) de f . Por tanto, se tiene la siguiente sucesión:

xn+1 = xn − f(xn)f ′(xn)

.

Esta sucesión se conoce como el esquema iterativo de Newton-Raphson, ya quefue Joseph Raphson quien, en 1690, modificó el método que hab́ıa presentadoIsaac Newton introduciendo en él el uso de la derivada.

Figura 3.1: Retrato de IsaacNewton.

Observemos que en el método de Newton ocurre lo siguiente:

1. Los ceros de f son puntos fijos atractores de la función N .

2. Las sucesivas iteraciones de la funciónN para puntos iniciales ��adecuados��convergen a un punto fijo atractor de N .

En efecto, supongamos que el punto ζ es un cero de f de multiplicidad m;es decir, f(z) = (z − ζ)mg(z) con m ≥ 1 y g(ζ) = 0. Notemos que entonces, altenerse que f(ζ) = 0, se da que ζ es un punto fijo de N pues N(ζ) = ζ − f(ζ)f ′(ζ) .Además, se tiene que

f(z)

f ′(z)=

(z − ζ)g(z)(z − ζ)g′(z) +mg(z) .

Derivando a ambos lados y evaluando la expresión obtenida en el punto ζ,obtenemos que

N ′(ζ) =m− 1m

,

por lo que se tiene que 0 ≤ N ′(ζ) < 1. En consecuencia, el cero ζ de f es unpunto fijo atractor de la función N y entonces, las iteraciones zn = N

n(z0)convergen necesariamente al punto ζ si se elige una estimación ��adecuada�� delpunto inicial z0.

Es interesante notar que la convergencia más rápida de la sucesión {zn}n∈N alpunto ζ se alcanza cuando la multiplicidad m del cero de ζ es 1, es decir, cuando

3.5. EJEMPLOS 45

ζ es un cero simple de f . Generalmente, cuanto mayor sea la multiplicidad delpunto fijo al que converge una sucesión {zn}n∈N, más lenta será la convergencia.

Anteriormente, hemos visto que, a partir de 1879, Arthur Cayley trató deusar este método para averiguar las cuencas de atracción de las ráıces de una fun-ción. En particular, se centró en el caso particular de los polinomios cuadráticos,por lo que a continuación nos centraremos en el estudio del método de Newtonaplicado a los mismos.

Sea el polinomio cuadrático f(z) = (z − α)(z − β), con α = β. Entonces,tenemos que

N(z) =z2 − αβ

2z − (α+ β) ,

por lo que haciendo cuentas, vemos que α y β (los ceros de f) son puntos fijosatractores de la función N .

Parece razonable pensar que la sucesión {zn}n∈N convergerá al punto α,solamente si el punto inicial del que se parta se encuentra más cerca del puntoα que del punto β. El conjunto de los puntos que satisfacen esta cualidad vienedefinido por {w = z−αz−β | |w| < 1}. Por tanto, por sentido común, será mejorque trabajemos con la variable w que con la variable z. Observar que si z = α,se tiene que w = 0 y que si z = β, w = ∞. En consecuencia, transformamosnuestro problema en el equivalente con la variable w, de modo que a partir deahora, trabajaremos con la función conjugada de N bajo la función de Möbius

g(z) = (z−α)(z−β) , es decir, con R = gNg−1. Haciendo cálculos, vemos que R es la

función dada por R(z) = z2.Aśı, si tomamos un punto inicial z0 más cercano al punto α que al pun-

to β, entonces, se tendrá que |g(z0)| < 1 y, como consecuencia, por lo vistoen la sección anterior, tendremos que ĺım

n→+∞Rn(g(z0)) = 0. Finalmente, como

Nn(z0) = g−1Rn(g(z0)), se tiene que

ĺımn→+∞N

n(z0) = ĺımn→+∞ g

−1Rn(g(z0)) = α.

En resumen, si tomamos una sucesión obtenida a partir de un punto inicialz0 suficientemente próximo al punto fijo α atractor de N por la iteración de N ,entonces, esta sucesión convergerá al punto α. Este procedimiento es análogopara el punto β.

3.5. Ejemplos desarrollados con el software Wol-fram Mathematica

En esta sección, utilizaremos algoritmos computacionales desarrollados conel software informático Wolfram Mathematica para, dada una función racionalf : C∞ → C∞, conseguir una representación gráfica en la esfera de Riemannde las cuencas de atracción de sus puntos fijos y, como consecuencia, de los

46 CAPÍTULO 3. ITERACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

conjuntos de Julia y de Fatou de f . En numerosas ocasiones, el conjunto deJulia J(f) resultará ser un fractal.

Una descripción de estos algoritmos puede verse en [15] y versiones poste-riores que incluyen el estudio de cuencas de puntos ćıclicos en [13] y en [14].

Asignaremos un color a cada punto fijo y ese mismo color a los puntos de sucuenca de atracción. En el caso de que un punto, después de haber realizado elmáximo prefijado de iteraciones, no converja a ningún punto fijo, se le asignará elcolor negro. Consideraremos dos tipos de tolerancia: la distancia máxima entredos puntos consecutivos de la sucesión {zn}n∈N y la distancia máxima entrelos distintos puntos de {zn}n∈N y el punto fijo al que converge la sucesión, encaso de converger. De esta forma, podremos distinguir las diferentes cuencas deatracción de los puntos fijos de f por sus colores y las regiones donde no hayconvergencia por su color negro.

Ejemplo 8. Consideremos la función de Möbius f(z) = 3z−22z−1 , correspondienteal ejemplo 7. Recordar que el único punto fijo de esta función era el punto 1,el cual era indiferente y de multiplicidad 2. Por lo tanto, en caso de que lasucesión {zn}n∈N converja al punto 1, lo hará muy lentamente, por lo que ladistancia entre dos puntos consecutivos de la sucesión {zn}n∈N no es del mismoorden que la distancia de estos puntos al punto fijo 1. En consecuencia, parala función f , con ambas tolerancias del orden de 10−3 y con un máximo de 25iteraciones, obtenemos la esfera de Riemann coloreada completamente de negro.Si en cambio ampliamos el orden de la tolerancia correspondiente a la distanciaentre los puntos de la sucesión y el punto 1 a 10−1, obtenemos el siguienteresultado.

∅ 1

Figura 3.2: Cuencas de la función f(z) = 3z−22z−1 .

Por tanto, se puede deducir de la anterior gráfica, que la cuenca de atraccióndel punto 1 es toda la esfera de Riemann C∞. Como consecuencia, el conjuntode Julia de f es el conjunto vaćıo ∅ y el conjunto de Fatou de f es la esfera de

3.5. EJEMPLOS 47

Riemann, es decir, coincide exactamente con la cuenca de atracción del puntofijo 1.

En los ejemplos que realizaremos a continuación, a no ser que indiquemos locontrario, tomaremos siempre un máximo de 25 iteraciones y u