Seminario 7
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Seminario 7: La distribución normal
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Seminario 7: La distribución
normal
Conceptos básicos de la distribución normal
Teorema del Límite Central
La Ley de los Grandes Números
Tipificación de valores
Aprendamos a mirar las tablas
Ejercicios de estimación de probabilidad aplicada a los
cuidados
Escala de autoestima
Altura de adolescentes andaluces
Glucemia basal
La distribución normal
La curva normal o campana de Gauss es la forma que más
comúnmente adopta la distribución de frecuencias en las variables
continuas.
La distribución normal
Recordemos que…
La distribución normal
Esta distribución se basa en:
Teorema del Límite Central
Ley de los Grandes Números
Recordemos que…
Recordemos que….Teorema del Límite Central
Sí se extraen repetidas muestras aleatorias simples de
tamaño n a partir de una población distribuida
normalmente, de media (a) y desviación típica (b)
La media de las muestras extraídas se distribuyen
normalmente con media a y desviación típica b/raíz
cuadrada de N
Y además si el tamaño n de cada muestra es
suficientemente grande las medias de las muestras
tienden a distribuirse normalmente
Recordemos que … La Ley de los Grandes Números
La segunda parte del Teorema del Límite Central.
“Suficientemente grande”:
Para algunos autores: N=100, para otros N=30
Lo obvio: cuanto mayor sea N, más se aproxima la
distribución muestral a la curva normal
Por tanto,
En poblaciones grandes no tenemos que preocuparnos
del supuesto de normalidad
En poblaciones pequeñas hemos de comprobar el
supuesto de normalidad
Por tanto, la curva normal es un modelo matemático basado en
el Teorema del Límite Central y la Ley de los Grandes Números
Depende de los parámetros: media (µ) y desviación típica (σ)
Así, permite calcular la probabilidad de que una variable tome
valores iguales o inferiores a un valor de esa variable, es decir, la
probabilidad acumulada hasta un punto. Para ello debemos usar
unas tablas ya establecidas, pero antes hay que Tipificar los
valores
La distribución normal Recordemos que…
PROPIEDADES
Es simétrica respecto a su media
Media, mediana y moda: coinciden
El 68,3% de las mediciones están en
+/- 1DS de la media
El 95,4% de las mediciones está en
+/- 2DSde la media
El 99,7% de las mediciones está en
+/- 3DSde la media
La distribución normal tipificada
Recordemos que…
La tipificación de los valores se realiza porque…
Existe una curva normal para cada valor de µ y de σ.
Por ello es preciso estandarizar (tipificar) los valores
observados.
Así, la tipificación nos permite conocer si un valor de la
variable corresponde o no a esa distribución de frecuencia
Recordemos que…
Se puede tipificar siempre que trabajemos con variables
continuas que:
Siguen una distribución normal (Teoría Límite Central)
Tienen más de 100 unidades (Ley Grandes Números)
Esto se consigue convirtiendo los valores observados en
valores z o puntuaciones típicas.
Dada una distribución normal cualquiera, podemos obtener
una distribución normal tipificada realizando la
transformación Z.
X
X
X XZ
S
La tipificación de los valores se realiza así:
Recordemos que…
La distribución normal tipificada
La distribución normal tipificada tiene µ = 0 y σ=1 El valor z representa el número de desviaciones típicas que una observación determinada se aleja de la media
Recordemos que…
La distribución normal tipificada
El área bajo la curva
representa la probabilidad
de que un valor determinado
se encuentre en dicha área.
Así el 100% de los valores se
encuentran en el área bajo la
curva con una probabilidad
igual a 1.
Recordemos que…
Antes de hacer los ejercicios, aprendamos a
mirar las tablas de la Normal, que me
permiten saber la probabilidad de que la
variable Z tome un valor entre -∞ y z, o lo que
es lo mismo, la probabilidad acumulada hasta
el valor de z.
Tablas de distribución Normal
Recordemos que…
Ejercicios
En una muestra de 500 mujeres que reciben asistencia
queremos saber cómo la pobreza afecta a su autoestima.
Medimos la autoestima con una escala de actitud de 20
puntos (variable continua). Suponemos que la distribución
sigue una curva normal
Media autoestima: 8
Desviación típica: 2
¿Qué porcentaje de las destinatarias de la asistencia tienen
puntuaciones de autoestima entre 5 y 8?
Ejercicio: escala de autoestima
Sabemos, por la forma de la curva, que:
La media coincide con lo más alto de la campana: 8
La desviación típica es de 2 puntos
El 50% de las observaciones tienen puntuaciones>8
El 50% de las observaciones tienen puntuaciones<8
Aproximadamente el 68% puntúa entre 6 y 10
Aproximadamente el 95% puntúa entre 4 y 12
Aproximadamente el 99% puntúa entre 2 y 14 Media
Ejercicio: escala de autoestima (cont.)
Hay que transformar las puntuaciones en tipificadas
(Z)
5 8 31,5
2 2X
X
X XZ DE
S
Ejercicio: escala de autoestima (cont.)
Nos vamos a la tabla de la distribución normal (columna B) y buscamos 1,50 que sale ,4332
5 8 0,4332p deX aX
O lo que es lo mismo: un poco más del 43% de las destinatarias de asistencia están entre 5 y 8 de autoestima
O si una persona selecciona al azar hay un 43% de posibilidades que la persona tenga una autoestima entre 5 y 8
Ejercicio: escala de autoestima (cont.)
NOTA: También podemos buscar en la tabla I(B), aunque al valor correspondiente a Z=1,5, (p=0.93319) habrá que restarle el valor correspondiente a Z=0 (p=0,5),
¿Qué proporción de mujeres destinatarias tiene una
puntuación igual o más de 13 en la escala de autoestima?
X= 13
13 está entre 12 y 14 que en la curva normal está
situado entre +2DE y +3DE
13 8 52,5
2 2X
X
X XZ DE
S
Ejercicio: escala de autoestima (cont.)
Nos vamos a la tabla de la distribución normal (columna C)
y buscamos 2,5 y sale 0,0062
En %=p(100)=0,62
O lo que es lo mismo: solo 62 de 10.000 destinatarias de asistencia tienen una puntuación mayor de 13 de autoestima
O, si una persona selecciona en un archivo donde se alojan los casos al azar hay menos de 1% de oportunidad de que saliera un caso con una puntuación de más de 13 en autoestima
13 8 0,0062p deX aX
Ejercicio: escala de autoestima (cont.)
NOTA: También podemos buscar en la tabla I(B), aunque habrá que hacer el cálculo 1 menos el valor correspondiente a Z=2,5, (p=0.99379) .
¿Qué proporción de las destinatarias tiene una proporción entre 4 y 10 en
la escala?
Al observar la campana de Gauss vemos que la
puntuación 4 corresponde a -2DE y 10 a 1DE
Tenemos que calcular el área de la campana que se sitúa
entre la media hasta 1DE y además el que existe entre la
media y el que se sitúa en -2DE
4 8 4
22 2
X
X
X XZ DE
S
10 8 21
2 2X
X
X XZ DE
S
Ejercicio: escala de autoestima (cont.)
Nos vamos a la tabla de la distribución normal (columna B) y
buscamos 2 que sale 0,4772
Nos vamos a la tabla (columna B) y buscamos 1: 0,3413
0,4772+0,3413=0,8185
En %=p(100)=81,85%
O lo que es lo mismo el 82% de las destinatarias de asistencia
tienen una puntuación entre 4 y 10 de autoestima
O Si seleccionamos un nombre al azar del archivo de casos
hay 82% de probabilidad de que la persona seleccionada
puntue entre 4 y 10 de autoestima
Ejercicio: escala de autoestima (cont.)
Ejercicio casa blog
¿Cuál es la probabilidad de que una
destinataria de asistencia seleccionada al
azar obtenga una puntuación de 10.5 o
menos en la escala de autoestima?
¡¡Recuerda plantear el problema de forma adecuada expresando gráficamente lo que
se pregunta!!
1.1 ¿Qué porcentaje de niños tienen una talla menor de 150
cm?
2.1 ¿Qué porcentaje de niños tienen una talla por encima de
150cm?
3.1¿Cuál es el porcentaje de niños con una talla comprendida
entre 137,25 y 145,50 cm?
Supongamos que la altura de adolescentes en Andalucía a los
10 años sigue una distribución normal, siendo la media 140 cm
y la desviación típica 5 cm.
Ejercicio: altura de adolescentes Andalucía
¿Qué porcentaje de adolescentes tienen una talla menor de 150 cm?
• Entre -1σ y +1σ esta el 68.3% de la muestra. 68,3/2= 34,1% a cada lado de la media.
• Entre -2σ y +2σ está el 95,4% de la muestra. 95,4-64,3= 31,1%. Ahora 31,1/2= 13,6% a cada lado de la media.
• Entre -3σ y +3σ está el 99,7% de la muestra. 99,7-95,4= 4,3%. Ahora 4,3/2= 2,1% a cada lado de la media.
Miramos la tabla I (B) de la Normal y sale p(X<150)= 0,97725
El 97,72% de los adolescentes miden menos e 150cm
¿Qué porcentaje de adolescentes tienen una talla menor de 150 cm?
¿Qué porcentaje de niños tienen una talla por encima de 150 cm?
p (X>150) = 1- p(x<150)= 1-0,97725= 0,0228 El 2,28% de los niños tienen una talla por encima de 150cm
¿Qué porcentaje tiene una talla comprendida entre 137,25 y 145,50 cm?
Debemos calcular el área que hay desde 137,25 hasta la media y desde 145,50 hasta la media
¿Qué porcentaje tiene una talla comprendida entre 137,25 y 145,50 cm?
Miramos la tabla (columna B)
p =0,2088
p =0,3643
p =0,2088+0,3643=0,5731
NOTA: También podemos buscar en la tabla I(B), aunque habrá que hacer el cálculo: P(x<145,50)- p(X<137,25) = 0,86433 – (1 – 0,70884) = 0,5731
El 57,31 % de los niños tienen una talla comprendida entre 137,25 a 145,50
La glucemia basal de los diabéticos atendidos en la consulta de
enfermería puede considerarse como una variable normalmente
distribuida con media 106 mg por 100ml y desviación típica de
8 mg por 100 ml N (106;8)
3.1. Calcula la proporción de diabéticos con una glucemia basal
inferior o igual a 120
3.2. La proporción de diabéticos con una glucemia basal comprendida
entre 106 y 110 mg por ml.
3.3. La proporción de diabéticos con una glucemia basal mayor de
120 mg por 100 ml.
3.4. El nivel de glucemia basal tal que por debajo de él están el 25%
de los diabéticos, es decir, el primer cuartil.
Ejercicio: Glucemia basal
3.1. Calcula la proporción de diabéticos con una glucemia basal inferior o igual a 120
3.2. La proporción de diabéticos con una glucemia basal comprendida entre 106 y 110 mg por mla.
0 X=106
Z=0 X=106
3.2. La proporción de diabéticos con una glucemia basal comprendida entre 106 y 110 mg por mla.
3.3. La proporción de diabéticos con una glucemia basal mayor de 120 mg por 100 ml.
Z=0 X=106
Z=0,9599
P=0,0401
Alrededor del 4% de los diabéticos tienen una glucemia mayor de 120mg/ml.
3.4. El nivel de glucemia basal tal que por debajo de él están el 25% de los diabéticos, es decir, el primer cuartil.
Z=a
P=0,25
Conozco el área de la curva, pero no el valor de Z Debo buscar en la tabla el valor 0,25 o el más cercano.
Z=0 X=106
Z=a
P=0,25
El nivel de glucemia basal tal que por debajo de él están el 25% de los diabéticos, es 100,6mg/100ml
Los valores más cercanos a 0,25 se encuentran entre Z=0,67 (p = 0,2514) y Z=0,68 (p=0,2483). El valor medio de Z será 0,675.
3.1. Calcula la proporción de diabéticos con una glucemia basal inferior o igual a 120
Ahora con SPSS
Ahora con Spss
