Seminario de Tesis Sandra
description
Transcript of Seminario de Tesis Sandra
Índice general
Página
Introducción 2
1. Preliminares 3
1.1. Conceptos necesarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Variedades Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Métricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3. Conexión Afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4. Conexión Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Geodésicas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. La aplicación exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Curvatura y Campos de Jacobi 19
2.1. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1. Operador curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2. Curvatura seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1. La ecuación de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2. Calculo de Campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Conclusiones 36
Bibliografía 37
1
Introducción
En este seminario de Tesis 2, estudiaremos conceptos de Geometría Riemannia-
na. Sin embargo el objetivo del presente Trabajo es: Utilizar el conocimiento previo
sobre variedades diferenciables para el desarrollo de algunos conceptos de la geome-
tría Riemanniana. Se desarrollará el concepto de conexión, derivada covariante. Estos
conceptos se utilizarán para el estudio de las geodésicas. Se introducirá el operador
curvatura y la función curvatura seccional. Luego veremos los Campos de Jacobi, don-
de, comenzamos mediante la derivación de la ecuación de Jacobi, que es una ecuación
diferencial ordinaria satisfecho por el campo de variación de cualquier familia de un
sólo parámetro de geodésicas. Un campo vectorial que satisface esta ecuación a lo largo
de una geodésica se llama un campo de Jacobi.
A continuación se presentan un breve resumen de los contenidos de cada capítulo.
En el Capítulo 1 Tiene por objetivo explorar conceptos básicos de Geometría Rie-
manniana que serán utilizados en el Capítulo 2 para entender los Campos de Jacobi.
Los principales tópicos que se estudian son métricas y conexiones riemannianas y tam-
bién geodésicas riemannianas, debemos señalar que en este capítulo no se presentan
demostraciones de los resultados que se mencionan, debido a que estos son muy co-
nocidos y existe una extensa literatura en donde pueden ser consultados, por ejemplo
([2]), ([3]).
En el Capítulo 2 se estudia Curvatura y Campos de Jacobi, este capítulo aborda la
de�nición de curvatura en función de la conexión riemanniana y propiedades de curva-
tura, presentaremos algunos ejemplos elementales. También obtendremos una primera
relación entre los dos conceptos básicos, estos son, geodésicas y curvatura. Para pro-
porcionar la relación anterior introduciremos los llamados campos de Jacobi, el cual es
el principal resultado que se estudia en este trabajo.
2
Capítulo 1
Preliminares
En este capítulo serán revisados algunos conceptos básicos de geometría rieman-
niana que serán utilizados en el capítulo 2 para las pruebas de los Campos de Jaco-
bi. Los principales tópicos que abordamos son variedades y conexiones riemannianas,
geodésicas en una variedad riemanniana. Debemos señalar que en este capítulo no se
presentan demostraciones de los resultados que se mencionan, debido a que estos son
muy conocidos y existe una extensa literatura en donde pueden ser consultados.
1.1. Conceptos necesarios
1.1.1. Variedades Diferenciables
Recordemos que una variedad topógica n-dimensional es un espacio hausdor� con
una base numerable de conjuntos abiertos tal que cada punto posee una vecindad ho-
meomorfo a un subconjunto abierto de Rn. Cada par (U,ϕ), donde U es un subconjunto
abierto de Rn y ϕ : U → ϕ (U) ⊂ M es un homeomor�smo de U en un subconjun-
to abierto de M , se llama una parametrización. El inverso ϕ−1se llama un sistema
de coordenada o carta, y el conjunto ϕ (U) ⊂ M se llama una vecindad coordenada.
Cuando dos vecindades coordenadas tienen puntos en común, tenemos formulas para
el cambio de coordenada asociado. La idea de obtener variedades diferenciables será
elegir un subconjunto de parametrizaciones de modo que los cambios de coordenadas
son funciones diferenciables, dicha de�nición se enuncia de la siguiente manera.
De�nición 1.1. Una variedad diferenciable de dimensión n es una variedad topológica
de dimensión n y una familia de parametrizaciones ϕα : Uα →M de�nida en conjuntos
abiertos Uα ⊂ Rn, tal que:
i. las vecindades coordenadas cubren M , es decir,⋃α
ϕα (Uα) = M ;
3
ii. para cada par de índices α, β tal que
W := ϕα (Uα) ∩ ϕβ (Uβ) 6= φ,
las aplicaciones
ϕ−1β ◦ ϕα : ϕ−1α (W )→ ϕ−1β (W )
ϕ−1α ◦ ϕβ : ϕ−1β (W )→ ϕ−1α (W )
son C∞;
iii. La familia A = {(Uα, ϕα)} es maximal con respecto a (i.) y (ii.), lo que signi�ca
que si ϕ0 : U0 →M es una parametrización tal que ϕ−10 ◦ϕ y ϕ−1◦ϕ0 son C∞para
todo ϕ en A, entonces (U0, ϕ0) está en A.
1.1.2. Métricas Riemannianas
En esta subsección se de�ne el concepto de métrica riemanniana en una variedad
diferenciable, el cual enunciamos a continuación.
De�nición 1.2. Sea M una variedad diferenciable de dimensión n. Una métrica rie-
manniana (o estructura riemanniana) en M es una correspondencia que asocia a cada
punto p ∈ M un producto interno 〈, 〉p (esto es, una forma bilineal simétrica, de�nida
positiva) en el espacio tangente TpM que varia difernciablemente con p en el sentido
de que si ϕ : U ⊂ Rn → M es un sistema de coordenadas locales en torno de p, con
ϕ (x1, x2, ..., xn) = p ∈ ϕ (U) y{
∂∂x1
(p) , ..., ∂∂xn
(p)}es la base coordenada de TpM con
∂∂xi
(p) = dϕx (~ei) = dϕx (0, ..., 1, ..,0), entonces las funciones gij : ϕ (U)→ R de�nidas
por
gij (p) =
⟨∂
∂xi(p) ,
∂
∂xj(p)
⟩p
(1.1.1)
son diferenciables. Las funciones gij (= gji) son llamadas expresión de la métrica rie-
manniana en el sistema de coordenadas ϕ : U ⊂ Rn → M . Una variedad diferenciable
M equipado con una métrica riemanniana 〈, 〉 se llama una variedad riemanniana, y
es denotado por (M, 〈, 〉).
Ejemplo 1.3. Veamos los siguientes dos ejemplos de variedades riemannianas.
1. El ejemplo mas simple de una variedad riemanniana es obviamente el espacio
euclidiano de dimensión n con su métrica euclidiana 〈, 〉, que es sólo el producto
interno canónico en cada espacio tangente TpRn bajo la identi�cación natural
TpRn = Rn. Con ∂∂xi
identi�cado con ~ei = (0, ..., 1, ..., 0). La métrica es entonces
de�nido por:
gij = 〈~ei, ~ej〉 = δij,
4
donde
δij =
{1 para i = j
0 para i 6= j
es el símbolo estándar de kronecker.
2. (El espacio hiperbólico n-dimensional). Considere el semiespacio superior de Rn
Hn = {(x1, ..., xn) ∈ Rn | xn > 0} .
Con la topología inducida como abierto de Rn, Hn es una variedad diferenciable
de dimensión n. Si de�nimos directamente en Hn la métrica
gij (x1, ..., xn) =δij
(xn)2
entonces Hn es una variedad riemanniana llamada el espacio hiperbólico de di-
mensión n.
La siguiente de�nición se re�ere a isometría entre dos variedades riemannianas. Esta
de�nición nos garantiza que dos variedades riemannianas serán considerados como lo
mismo si ellos son isométricos.
De�nición 1.4. Sean M y N variedades riemannianas. Un difeomor�smo f : M → N
(esto es, f es una biyección diferenciable con inversa diferenciable) es llamado una
isometría si:
〈u, v〉p = 〈dfp (u) , dfp (v)〉f(p) (1.1.2)
para todos u, v ∈ TpM y para todo p ∈M . En este caso f−1es una isometría también.
Ejemplo 1.5. La aplicación antípoda A : Sn → Sn de�nida por A (x) = −x es una
isometría de Sn.Veamos, A ◦ A (x) = A (A (x)) = A (−x) = x entonces A ◦ A = id, luego A = A−1,
esto es, A es una biyección, note, también que A es diferenciable, pues cada función
coordenada es diferenciable y que ∂Ai∂xj
= −δij. Así, dAx (v) = −v, v ∈ TxSn. Sean
x ∈ Sn y u, v ∈ TxSn, entonces:
〈dAx (u) , dAx (v)〉A(x) = 〈−u,−v〉−x= 〈u, v〉−x= 〈u, v〉x
la última igualdad es considerando la métrica inducida de Rn+1. Luego la aplicación
antípoda A : Sn → Sn es una isometría.
5
1.1.3. Conexión Afín
El nombre conexión se re�ere exactamente a la idea de identi�car (�conectar�) lo-
calmente los espacios tangentes de una variedad. Si X y Y son campos vectoriales en
espacios euclidianos, podemos de�nir la derivada direccional ∇XY de Y en la dirección
de X. Esta de�nición, sin embargo, utiliza la existencia de coordenadas cartesianas,
que ya no se sostiene en una variedad general. Para superar esta di�cultad debemos
introducir más estructura. Aquí es donde entra en juego una conexión: será una pieza
adicional de datos en una variedad, una regla para el calculo de las derivadas direc-
cionales de campos vectoriales, el cual se de�ne a continuación. Dada una variedad
diferenciable M , denotaremos por X (M) al conjunto de campos vectoriales de clase
C∞ en M y por D (M) el anillo de las funciones reales de clase C∞ en M .
De�nición 1.6. Sea M una variedad diferenciable. Una conexión afín ∇ en M es una
aplicación
∇ : X (M)×X (M)→ X (M)
denotada por (X, Y )→ ∇XY que satisface las siguientes propiedades:
i. ∇fX+gYZ = f∇XZ+g∇YZ,
ii. ∇X (Y + Z) = ∇XY +∇XZ,
iii. ∇X (fY ) = f∇XY +X (f)Y , donde X, Y, Z ∈ X (M) y f, g ∈ D (M).
El símbolo ∇ se lee �nabla� y ∇XY debe ser interpretado como la derivada direccional
del campo Y en la dirección X. El resultado a seguir refuerza esta idea:
Observación 1.7. La∇XY (p) depende solo del valor de X (p) y del valor de Y a lo largo
de una curva tangente a X en p. En efecto, de la parte (iii.) de la De�nición 1.6 sigue
que el valor de ∇XY (p) solo depende del comportamiento de X y Y en una vecindad
de p. Escogiendo un sistema de coordenadas (U,ϕ) en torno de p ∈M y escribiendo
X |U=n∑i=1
aiXi, Y |U=n∑j=1
bjXj
donde Xi = ∂∂xi
y ai, bj : U → R son funciones de U en R, i, j = 1, ..., n, tenemos
∇XY |U =n∑i=1
ai∇Xi
(n∑j=1
bjXj
)
=n∑
i,j=1
aibj∇XiXj +n∑
i,j=1
aiXi (bj)Xj.
haciendo ∇XiXj en términos de esta misma estructura:
6
∇XiXj =n∑k=1
ΓkijXk (1.1.3)
Esto de�ne n3 funciones diferenciables Γkij : U → R, llamado los símbolos de chris-
to�el de ∇ con respecto a esta estructura, Entonces concluimos que,
∇XY (p) =n∑k=1
(∑i,j
ai (p) bj (p) Γkij +X (bk) (p)
)Xk (p) ,
lo que muestra que ∇XY (p) depende de ai (p), bk (p) y de la derivada de bk por X (p).
Observe también que localmente, una conexión afín se determina unicamente especi�-
cando sus símbolos de christo�el en una vecindad coordenada. Sin embargo, la selección
de los símbolos de christo�el en diferentes cartas no son independientes.
En el siguiente ejemplo se ilustra la idea de la De�nición 1.6
Ejemplo 1.8. Identi�cando espacios tangentes en Rn con el propio Rn, vectores tan-
gentes con vectores en Rn y campos vectoriales en Rn con aplicaciones diferenciables
Rn → Rn, de�nimos la conexión euclidiana ∇ : X (Rn)×X (Rn)→ X (Rn) por
∇XY (p) = dYp (X (p)) ,
osea, la derivada direccional del campo Y en p en la dirección de X (p). Es fácil veri�car
que la conexión euclidiana satisface todas las condiciones de la De�nición 1.6 y observe
que Γkij = 0, para todo i, j, k ∈ {1, ..., n}.
Sin más, una curva en una variedad M signi�ca siempre para nosotros una curva
diferenciable, parametrizada; es decir, una aplicación diferenciable γ : I → M , donde
I ⊂ R es algún intervalo. A menos que se especi�que lo contrario. Un segmento de
curva es una curva cuyo dominio es un intervalo cerrado [a, b] ⊂ R.Un campo vectorial a lo largo de una curva γ : I → M es una aplicación
V : I → TM tal que V (t) ∈ Tγ(t)M para cada t ∈ I. Se dice que V es diferenciable
si para toda función diferenciable f en M , la función t → V (t) f es una función
diferenciable en I. Un ejemplo obvio es el vector velocidad dγdt∈ Tγ(t)M , es llamado
campo velocidad (o tangente) de γ.
Ahora podemos abordar la pregunta que originalmente motivó la de�nición de co-
nexión: ?cómo podemos dar sentido a la derivada direccional de un campo vectorial a
lo largo de una curva?
Proposición 1.9. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín ∇. En-tonces existe una única correspondencia que asocia a un campo vectorial V a lo largo
de una curva diferenciable γ : I → M un otro campo vectorial DVdt
a lo largo de γ,
denominado derivada covariante de V a lo largo de γ, tal que:
7
a) Ddt
(V +W ) = DVdt
+ DWdt
, donde W es un campo vectorial a lo largo de γ.
b) Ddt
(fV ) = dfdt
+ f DVdt, donde f es una función diferenciable en I.
c) Si V es inducido por un campo de vectores Y ∈ X (M), es decir, V (t) = Y (γ (t)),
entonces DVdt
= ∇ dγdtY .
Demostración. La demostración de este resultado puede ser encontrado en [2].
La noción de paralelismo surge ahora de manera natural.
De�nición 1.10. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín ∇. Un
campo vectorial V a lo largo de una curva γ : I →M se llama paralelo cuando DVdt
= 0,
para todo t ∈ I.
1.1.4. Conexión Riemanniana
En el caso de una variedad riemanniana, hay una elección particular de conexión,
llamada la conexión de Levi-Civita, con propiedades geométricas especiales; el cual
enunciaremos, para tal �n damos las de�niciones de conexión compatible y conexión
simétrica, dichas de�niciones se enuncian de la siguiente manera.
De�nición 1.11. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín ∇ y una
métrica riemanniana 〈, 〉. La conexión es dicha compatible con la métrica 〈, 〉, cuandopara toda curva diferenciable γ en M y cualesquiera par de campos vectoriales paralelos
V y W a lo largo de γ, tuviéramos 〈V,W 〉 = constante.
La De�nición 1.11 está justi�cada por la proposición siguiente que muestra que si
la ∇ es compatible con la 〈, 〉, entonces podemos diferenciar el producto interno por la
�regla del producto� usual.
Proposición 1.12. Sea M una variedad riemanniana. Una conexión ∇ en M es com-
patible con la métrica si y sólo si para todo par V y W de campos vectoriales a lo largo
de una curva diferenciable γ : I →M se tiene
d
dt〈V,W 〉 =
⟨DV
dt,W
⟩+
⟨V,DW
dt
⟩, t ∈ I (1.1.4)
Demostración. La demostración de este resultado puede ser encontrado en [2].
De�nición 1.13. Una conexión ∇ en una variedad riemanniana (M, 〈, 〉) se dice que
es compatible con la métrica si
X 〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 , X, Y, Z ∈ X (M) (1.1.5)
8
De�nición 1.14. Una conexión afín ∇ en una variedad diferenciable M se dice que
es simétrica cuando
∇XY −∇YX = [X, Y ] ∀X, Y ∈ X (M) (1.1.6)
Observación 1.15. En un sistema de coordenadas (U,ϕ), el hecho de que la ∇ sea
simétrica implica que para todo 1 ≤ i, j ≤ n
∇XiXj −∇XjXi = [Xi, Xj] = 0, Xi =∂
∂xi(1.1.7)
lo cual justi�ca la terminología (observe que (1.1.7) es equivalente al hecho de que
Γkij = Γkji para todo 1 ≤ i, j, k ≤ n ).
A continuación enunciamos el teorema fundamental de esta subsección cuya demos-
tración puede ser encontrado en [2].
Teorema 1.16. (Levi-Civita). Dada una variedad riemanniana M , existe una única
conexión afín ∇ en M satisfaciendo las condiciones:
a) ∇ es simétrica
b) ∇ es compatible con la métrica riemanniana.
La conexión dada por el Teorema 1.16 es denominada conexión de Levi-Civita (o
riemanniana) de M . En un sistema de coordenadas (U,ϕ), los símbolos de christo�el
para esta conexión en términos de gij (dados por la métrica) son
Γkij =1
2
n∑m=1
{∂
∂xigjm +
∂
∂xjgim −
∂
∂xmgij
}gkm (1.1.8)
donde la matriz(gkm)
= (gmk)−1.
Se procede a ilustrar la idea anterior con los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1.17. Sea Rn está equipado con la métrica euclidiana estándar, es decir,[gij
]= In. Dado que todos los componentes gij = δij, donde δij es el símbolo estándar
de kronecker, tenemos, por la ecuación (1.1.8), que
Γkij = 0
para todo i, j, k.
Consecuentemente de la expresión local de ∇, ilustraremos el Teorema 1.16 con el
siguiente ejemplo .
9
Ejemplo 1.18. (Conexión riemannniana en Rn) La conexión euclidiana de�nida en
el Ejemplo 1.8 es la conexión riemanniana de Rn con la métrica euclidiana estándar.
Efectivamente, la conexión es compatible con la métrica y es simétrica, la prueba de
esta deducción se puede consultar en ( [3]).
Ahora ilustraremos otro ejemplo de conexión riemanniana ∇ en el plano hiperbólico
H2.
Ejemplo 1.19. Sea H2 = {(x1, x2) ∈ R2 | x2 > 0} está equipado con la métrica
gij (x1, x2) =δij
(x2)2
donde δij es el símbolo estándar de kronecker, es decir,
[gij
]=
[1x22
0
0 1x22
],[gji]
=
[x22 0
0 x22
],
por lo tanto, la ecuación (1.1.8) es simpli�cado a
Γkij =1
2
{∂
∂xigjk +
∂
∂xjgik −
∂
∂xkgij
}gkk
obviamente tenemos∂
∂xjgik = − 2
x32
∂x2∂xj
δik
entonces
Γkij =1
2
{− 2
x32
∂x2∂xi
δjk −2
x32
∂x2∂xj
δik +2
x32
∂x2∂xk
δij
}x22
= − 1
x2
(∂x2∂xi
δjk +∂x2∂xj
δik −∂x2∂xk
δij
)inmediatamente obtenemos
Γ111 = Γ1
22 = Γ212 = Γ2
21 = 0
Γ211 = −Γ1
12 = −Γ121 = −Γ2
22 =1
x2
a continuación vamos a determinar la conexión riemanniana ∇ de H2. Dados X, Y ∈X (H2), si p = (x1, x2) ∈ H2 entonces X (p) = (a1 (p) , a2 (p)) y Y (p) = (b1 (p) , b2 (p)),
es decir, X = a1∂∂x1
+a2∂∂x2
, Y = b1∂∂x1
+b2∂∂x2
. Luego, tenemos, por la ecuación (1.1.3),
que
∇ ∂∂xi
∂
∂xj= Γ1
ij
∂
∂x1+ Γ2
ij
∂
∂x2
10
entonces
∇ ∂∂x1
∂
∂x1=
1
x2
∂
∂x2
∇ ∂∂x2
∂
∂x1= ∇ ∂
∂x1
∂
∂x2= − 1
x2
∂
∂x1
∇ ∂∂x2
∂
∂x2= − 1
x2
∂
∂x2
ahora
∇XY = ∇a1∂∂x1
+a2∂∂x2
(b1
∂
∂x1+ b2
∂
∂x2
)= a1b1∇ ∂
∂x1
∂
∂x1+ a1
(∂b1∂x1
)∂
∂x1+ a1b2∇ ∂
∂x1
∂
∂x2+ a1
(∂b2∂x1
)∂
∂x2+
a2b1∇ ∂∂x2
∂
∂x1+ a2
(∂b1∂x2
)∂
∂x1+ a2b2∇ ∂
∂x2
∂
∂x2+ a2
(∂b2∂x2
)∂
∂x2
= a1b11
x2
∂
∂x2+ a1
(∂b1∂x1
)∂
∂x1− a1b2
1
x2
∂
∂x1+ a1
(∂b2∂x1
)∂
x2−
a2b11
x2
∂
∂x1+ a2
(∂b1∂x2
)∂
∂x1− a2b2
1
x2
∂
∂x2+ a2
(∂b2∂x2
)∂
∂x2
=2∑j=1
(2∑i=1
ai∂bj∂xi
)∂
∂xj− b2
1
x2
(a1
∂
∂x1+ a2
∂
∂x2
)− a2b1
1
x2
∂
∂x1+ a1b1
1
x2
∂
∂x2
entonces la conexión riemanniana ∇ de H2está dada por:
∇XY (p) = dYpX (p)− b2 (p)1
x2X (p)−a2 (p) b1 (p)
1
x2
∂
∂x1(p) +a1 (p) b1 (p)
1
x2
∂
∂x2(p) .
Podemos calcular conexión ∇ no simétrica directamente de�niéndonos los símbolos
de christo�el de modo que Γkij 6= Γkji, como ilustramos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.20. Sea R2 una variedad diferenciable con conexión ∇. En una carta local
(U,ϕ) de R2 de�nimos los símbolos de christo�el{
Γ2ij
}como Γ1
21 = Γ221 = 1 y en los
demás casos Γ2ij = 0. Esta de�nición induce una conexión ∇ en R2 que no es simétrica.
En efecto, sean X, Y ∈ X (R2), si p = (x1, x2) ∈ R2 entonces X (p) = (a1 (p) , a2 (p))
y Y (p) = (b1 (p) , b2 (p)), es decir, X = a1X1+a2X2, Y = b1X1+b2X2, donde Xi = ∂∂xi
,
i = 1, 2. Luego, tenemos, por la ecuación (1.1.3), que
∇XiXj = Γ1ijX1 + Γ2
ijX2
entonces
∇X1X1 = Γ111X1 + Γ2
11X2 = 0
11
∇X2X1 = Γ121X1 + Γ2
21X2 = X1 +X2
∇X1X2 = Γ112X1 + Γ2
12X2 = 0
∇X2X2 = Γ122X1 + Γ2
22X2 = 0
ahora
∇XY = ∇X (b1X1 + b2X2)
= X (b1)X1 + b1∇XX1 +X (b2)X2 + b2∇XX2
= X (b1)X1 + b1∇a1X1+a2X2X1 +X (b2)X2 + b2∇a1X1+a2X2X2
= X (b1)X1 + b1a2∇X1X1 + b1a2∇X2X1 +X (b2)X2 + b2a1∇X1X2 + b2a2∇X2X2
= X (b1)X1 + b1a2X1 + b1a2X2 +X (b2)X2
= (db1 (X) + b1a2)X1 + (b1a2 + db2 (X))X2
= (db1 (X) + b1a2) (1, 0) + (b1a2 + db2 (X)) (0, 1)
= (db1 (a1, a2) + b1a2, b1a2 + db2 (a1, a2))
luego en p = (x1, x2)
∇XY (p) = (db1p (a1 (p) , a2 (p)) + b1 (p) a2 (p) , b1 (p) a2 (p) + db2p (a1 (p) , a2 (p)))
que es una conexión no simétrica en R2.
1.2. Geodésicas Riemannianas
En esta sección vamos a revisar la de�nición de geodésica en un punto. Primero uti-
lizaremos a las geodésicas para de�nir una importante aplicación, la exponencial. Con
base en ella enunciaremos el Lema de Gauss. Más adelante de�niremos los conceptos
de vecindad normal y bola normal.
De ahora en adelante, M será una variedad riemanniana equipada con su conexión
riemanniana ∇, sin más comentarios. Geodésicas con respecto a esta conexión se deno-
minan geodésicas riemannianas, o simplemente geodésicas, siempre y cuando no haya
ningún riesgo de confusión. De esta manera, podemos de�nir geodésica en un punto, el
cual enunciamos a continuación.
De�nición 1.21. Una curva parametrizada γ : I → M es una geodésica en t0 ∈ I,
si Ddt
(dγdt
)= 0 en el punto t0; se dice que γ es una geodésica si γ es una geodésica en
t, para todo t ∈ I. Si [a, b] ⊂ I y γ : I → M es una geodésica, la restricción de γ al
intervalo [a, b] sera denominada (segmento de) geodésica entre γ (a) y γ (b).
12
Si γ : I →M es una geodésica, entonces∥∥∥∥dγdt∥∥∥∥ = constante
de ahora en adelante, admitiremos que∥∥dγdt
∥∥ = c 6= 0, donde c = constante. Entonces
la longitud de arco s de γ, a partir de un origen �jo, t = t0, está de�nido por
s (t) = ∫ tt0∥∥dγdt
∥∥ dt = c (t− t0) .
Por lo tanto, el parámetro de una geodésica es proporcional a la longitud de arco.
Cuando el parámetro es el propio longitud de arco, diremos que la geodésica γ esta
normalizada, esto es,∥∥dγdt
∥∥ = 1.
Sea γ : I →M una curva cuya imagen está contenida en una carta local (U,ϕ), tal
que γ (I) ∩ ϕ (U) 6= φ con coordenadas (x1 (t) , ..., xn (t)). Entonces γ es una geodésica
si, y sólo si
0 =D
dt
(dγ
dt
)=∑k
(d2xkdt2
+∑ij
Γkijdxidt
dxjdt
)∂
∂xk(1.2.1)
como los ∂∂xk
son linealmente independientes, entonces
d2xkdt2
+∑ij
Γkijdxidt
dxjdt
= 0, k = 1, ..., n (1.2.2)
universalmente conocida como las ecuaciones locales satisfechas por una geodésica γ
en una carta local (U,ϕ).
Examinemos geodésicas para varias de las métricas riemannianas que hemos en-
contrado hasta el momento.
Ejemplo 1.22. Considere Rn con la métrica euclidiana estándar gij = δij y conexión
riemanniana de�nida por Γkij = 0 para todo i, j, k. Entonces el sistema (1.2.2) toma la
formad2xkdt2
= 0, k = 1, ..., n
cuyas soluciones todos tienen la forma
γ (t) = (v1t+ b1, ..., vkt+ bk)
para las constantes vk, bk, k = 1, ...n. En otras palabras, las geodésicas de Rn son las
rectas a�nes recorridas con velocidad constante.
En el siguiente ejemplo se ilustran las geodésicas del plano hiperbólico H2.
Ejemplo 1.23. Sea H2 = {(x, y) ∈ R2 | y > 0} con la métrica gij (x1, x2) =δij
(x2)2 y
13
conexión riemanniana de�nida por
Γ111 = Γ1
22 = Γ212 = Γ2
21 = 0
Γ211 = −Γ2
22 = −Γ112 = −Γ1
21 =1
y
entonces el sistema (1.2.2) de las geodésicas toma la formad2xdt2− 2
ydxdtdydt
= 0
d2ydt2− 1
y
(dydt
)2+ 1
y
(dxdt
)2= 0
para resolver este sistema, consideremos dos casos:
a) Si dxdt
= 0 en un punto, entonces de la primera ecuación tenemos que dxdt
= 0, en
este caso, x (t) = x0, donde x0 = constante y de la segunda ecuación tenemos
d2y
dt2− 1
y
(dy
dt
)2
= 0
si reducimos el orden, sea z = dydt, así que
dydt
= z
dzdt
= d2ydt2
= 1y
(z)2=⇒ dz
dt=z
y
por lo tanto, dzz
= dyy, entonces ln |z| = ln |y| + c, para alguna constante c ∈ R,
luego z = (±ec) y = by, para alguna constante b ∈ R, entonces dydt
= by, así
que y (t) = y0ebt, donde y0 = constante. Consecuentemente, en este caso las
geodésicas son γ (t) =(x0, y0e
bt), las semirectas superiores del plano hiperbólico.
b) Si dxdt6= 0 y y es una función de x, entonces
d2y
dt=
d
dt
(dy
dx
dx
dt
)=
d
dt
(dy
dx
)dx
dt+dy
dx
d2x
dt2
=d2y
dx2
(dx
dt
)2
+dy
dx
d2x
dt2
de aquí, tenemos
1
y
(dy
dt
)2
− 1
y
(dx
dt
)2
=d2y
dx2
(dx
dt
)2
+dy
dx
d2x
dt2
=d2y
dx2
(dx
dt
)2
+dy
dx
d2x
dt2
14
dividiendo por(dxdt
)2nos permite eliminar t:
1
y
(dy
dx
)2
− 1
y=d2y
dx2+
2
y
(dy
dx
)2
yd2y
dx2+
(dy
dx
)2
= −1
d
dx
(ydy
dx
)= −1
ydy
dx= −x+ a, a ∈ R
y2 = −x2 + 2ax+ b, b ∈ R
así, �nalmente obtenemos la ecuación
y2 + x2 − 2ax− b = 0
y2 + x2 − 2ax− b+ a2 = a2
(x− a)2 + y2 = a2 + b
(x− a)2 + y2 = c2, c ∈ R
por lo tanto, en este caso las geodésicas son semicírculos superiores centrados en
los puntos (a, 0) del eje x.
1.2.1. La aplicación exponencial
Para de�nir esta aplicación, usaremos el siguiente resultado, donde coleccionamos
muchas geodésicas en una sola aplicación.
Proposición 1.24. Dado p ∈M , existen una vecindad V de p en M , un número ε > 0
y una aplicación C∞, γ : (−2, 2)× U →M , donde
U = {(q, w) ∈ TM | q ∈ V,w ∈ TqM, ‖w‖ < ε}
tal que para cada (q, w) ∈ U , la curva t→ γ (t, q, w) , t ∈ (−2, 2), es la única geodésica
de M que pasa por q con velocidad w en el instante t = 0. En símbolos,
γ (0, q, w) = q,dγ
dt(0, q, w) = w y
D
dt
dγ
dt= 0.
Demostración. La demostración de este resultado puede ser encontrado en [2].
La aplicación γ se llama el �ujo geodésico en torno de p.
Nuestro siguiente resultado dice que, es posible aumentar la velocidad de una geo-
désica disminuyendo su intervalo de de�nición, o viceversa.
15
Lema 1.25. (Homogeneidad de una geodésica). Si la geodésica γ (t, q, v) está de�nida
en el intervalo (−δ, δ), entonces la geodésica γ (t, q, av), a ∈ R, a > 0, está de�nida en
el intervalo(− δa, δa
)y se veri�ca
γ (t, q, av) = γ (at, q, v) .
Demostración. La demostración de este resultado puede ser encontrado en [2].
La Proposición 1.24 nos permite introducir el concepto de aplicación exponencial
de la siguiente manera. Sea p ∈M y U ⊂ TM un abierto dado por la Proposición 1.24.
Entonces la aplicación exp : U →M dada por
exp (q, v) = γ (1, q, v) = γ
(‖v‖‖v‖
, q, v
)= γ
(‖v‖ , q, v
‖v‖
), (q, v) ∈ U ,
es llamada la aplicación exponencial en U .Es claro que exp es diferenciable. En la mayoría de las aplicaciones, utilizaremos la
restricción de exp a un abierto del espacio tangente TqM , es decir, de�niremos
expq : Bε (0) ⊂ TqM →M
por expq (v) = exp (q, v). Aquí, y en lo que sigue, denotaremos por Bε (0) una bola
abierta de centro en el origen 0 de TqM y de radio ε. Es fácil veri�car que expq es
diferenciable y que expq (0) = q.
Geométricamente, expq (v) es el punto de M obtenido recorriendo una longitud
igual a ‖v‖, a partir de q, a lo largo de la geodésica que pasa por q con velocidad igual
a v‖v‖ .
Una importante propiedad es que expq es de hecho un difeomor�smo local alrededor
de 0 ∈ TqM . Los detalles de esto se enuncia de la siguiente manera.
Proposición 1.26. Dado q ∈ M , existe un ε > 0 tal que expq : Bε (0) ⊂ TqM → M
es un difeomor�smo de Bε (0) sobre un abierto de M .
Demostración. La demostración de este resultado puede ser encontrado en [2].
En el siguiente ejemplo se ilustran las ideas anteriores.
Ejemplo 1.27. Considere Rn con la métrica euclidiana estándar gij = δij. Como la
geodésicas de Rn son las rectas a�nes parametrizadas proporcionalmente a la longitud
de arco, tenemos γ (t, p, v) = p + tv, ∀p, v ∈ Rn, ∀t ∈ R. Así la exp está de�nida en
todo TRn = Rn × Rn y vale
exp (p, v) = γ (1, p, v) = p+ v, , ∀p, v ∈ Rn
16
esto nos dice que �jado p ∈ Rn, la expp es la traslación del vector p en Rn.
Para �nalizar con esta subsección, enunciaremos Lemas que serán importantes en
el desarrollo de la parte �nal de este trabajo.
Lema 1.28. (de Simetría). Si M es una variedad diferenciable con una conexión si-
métrica y s : A→M es una super�cie parametrizada entonces:
D
∂v
∂s
∂u=
D
∂u
∂s
∂v.
para todo (u, v) ∈ A.
Demostración. La demostración de este resultado puede ser encontrado en [2].
Lema 1.29. (de Gauss). Sea p ∈M y sea v ∈ TpM tal que expp (v) este de�nido. Sea
w ∈ TpM ≈ Tv (TpM). Entonces
⟨d(expp
)v
(v) , d(expp
)v
(w)⟩
= 〈v, w〉 . (1.2.3)
Demostración. Sea w = wT +wN , donde wT es paralelo a v y wN es normal a v. Como
d(expp
)es lineal y, por de�nición de expp,⟨
d(expp
)v
(v) , d(expp
)v
(wT )⟩
= 〈v, wT 〉 ,
basta probar (1.2.3) para w = wN . Es claro que podemos suponer wN 6= 0.
Como expp (v) está de�nida, existe ε > 0 tal que, expp (u)está de�nida para
u = tv (s) , 0 ≤ t ≤ 1, −ε < s < ε,
donde v (s) es una curva en TpM con v (0) = v, v′ (0) = wN y ‖v (s)‖ = const. Podemos,
por lo tanto, considerar la super�cie parametrizada
f : A→M, A = {(t, s) ; 0 ≤ t ≤ 1,−ε < s < ε}
dada por
f (t, s) = expp (tv (s)) .
Observe que las curvas t→ f (t, s0) son geodésicas (ver la siguiente Figura). Elaborado
por Do Carmo (2005):
17
Para probar (1.2.3) para w = wN , observamos primero que⟨∂f
∂s,∂f
∂t
⟩(1, 0) =
⟨d(expp
)v
(wN) , d(expp
)v
(v)⟩
(1.2.4)
Además de esto, para todo (t, s), tenemos
∂
∂t
⟨∂f
∂s,∂f
∂t
⟩=
⟨∂f
∂s,∂f
∂t
⟩+
⟨∂f
∂s,D
∂t
∂f
∂t
⟩.
El último termino de la expresión anterior es cero, pues ∂f∂t
es el vector tangente de una
geodésica. Por la simetría de la conexión, el primer termino de la suma de transforma
en ⟨D
∂t
∂f
∂s,∂f
∂t
⟩=
⟨D
∂s
∂f
∂t,∂f
∂t
⟩=
1
2
∂
∂s
⟨∂f
∂t,∂f
∂t
⟩= 0
se sigue de ahí que⟨∂f∂s, ∂f∂t
⟩es independiente de t. Como
lımt→0
∂f
∂t(t, 0) = lım
t→0d(expp
)tvtwN = 0,
concluimos que⟨∂f∂s, ∂f∂t
⟩(1, 0) = 0, lo que junto con (1.2.4) pueba el lema.
Es conveniente usar la siguiente terminología. Sea V una vecindad del origen 0 de
TpM , si expp : V → M es un difeomor�smo sobre algún conjunto abierto U ⊂ M
conteniendo p, entoncesU es llamada una vecindad normal de p. Si Bε (0) es tal que
Bε (0) ⊂ V , llamamos exppBε (0) = Bε (p) la bola normal (o geodésica) de centro p y
radio ε. Luego la mayor vecindad normal de cualquier punto de (Rn, 〈, 〉) es todo Rn.
Por el lema de Gauss la frontera de una bola normal es una hipersuperfície (subvariedad
de codimensión 1) enM ortogonal a las geodésicas que parten de p;ella es denotada por
Sε (p) y denominada esfera normal (o geodésica). Las geodésicas en Bε (p) que parten
de p son llamadas geodésicas radiales.
18
Capítulo 2
Curvatura y Campos de Jacobi
Este capítulo aborda la de�nición de curvatura en función de la conexión riemannia-
na y propiedades de curvatura, presentaremos algunos ejemplos elementales. También
obtendremos una primera relación entre los dos conceptos básicos, estos son, geodé-
sicas y curvatura. Para proporcionar la relación anterior introduciremos los llamados
campos de Jacobi.
2.1. Curvatura
En esta sección se introduce el operador curvatura en función de la conexión rieman-
niana, y, para variedades riemannianas, el equivalente noción de curvatura seccional.
2.1.1. Operador curvatura
A continuación, presentaremos una de�nición de operador curvatura que, intuitiva-
mente, mide el cuanto una variedad riemanniana deja de ser euclidiana.
De�nición 2.1. La curvatura R de una variedad riemanniana M es una correspon-
dencia que asocia a cada par de campos vectoriales X, Y ∈ X (M) una aplicación
R (X, Y ) : X (M)→ X (M) de�nido por
R (X, Y )Z = ∇Y∇XZ −∇X∇YZ +∇[X,Y ]Z, Z ∈ X (M) ,
donde ∇ es la conexión riemanniana de M .
Observe que si M = Rn, entonces R (X, Y )Z = 0 para todo X, Y, Z ∈ X (Rn).
En efecto, En este caso tenemos ∇XY = dY (X). Considerando una parametrización
ϕ : U ⊂ Rn → Rn, en torno de p, es posible escribir
X (p) =n∑i=1
xi (p)−→ei ,
19
donde cada xi : U → R es una función en U y {−→ei } es la base canonica de Rn asociada
a ϕ, i = 1, ..., n. Entonces
Y =n∑j=1
yi−→ej , Z =
n∑k=1
zk−→ek
de ahí,
∇YZ = ∇Y
(n∑k=1
zk−→ek
)
=n∑k=1
{zk∇Y−→ek + Y (zk)
−→ek}
=n∑k=1
Y (zk)−→ek
consecuentemente
∇X∇YZ = ∇X
(n∑k=1
Y (zk)−→ek
)
=n∑k=1
X (Y (zk))−→ek
y
∇Y∇XZ =n∑k=1
Y (X (zk))−→ek
por lo tanto
R (X, Y )Z = ∇Y∇XZ −∇X∇YZ +∇[X,Y ]Z
=n∑k=1
Y (X (zk))−→ek −
n∑k=1
X (Y (zk))−→ek +∇[X,Y ]
(n∑k=1
zk−→ek
)
=n∑k=1
(Y (X (zk))−X (Y (zk)))−→ek +
n∑k=1
(∇[X,Y ]zk
−→ek)
=n∑k=1
([Y,X] (zk))−→ek +
n∑k=1
[X, Y ] (zk)−→ek
= 0
como habíamos a�rmado. Podemos, por lo tanto, pensar en R como una manera de
medir cuanto M deja de ser euclidiana.
Otra manera de ver la De�nición 2.1 es considerar un sistema de coordenadas
20
ϕ : V ⊂M → Rn en torno de p ∈M . Como[∂∂xi, ∂∂xj
]= 0, obtenemos
R
(∂
∂xi,∂
∂xj
)∂
∂xk=
(∇ ∂
∂xj
∇ ∂∂xi
−∇ ∂∂xi
∇ ∂∂xj
)∂
∂xk,
es decir, la curvatura mide la no-conmutatividad de la conexión (o el cuanto M deja
de ser euclidiano).
La curvatura R cumple las siguientes propiedades:
Proposición 2.2. La curvatura R de una variedad riemanniana gosa de las siguientes
propiedades:
1. R es bilineal en X (M)×X (M), es decir,
R (fX1 + gX2, Y1) = fR (X1, Y1) + gR (X2, Y1) ,
R (X1, fY1 + gY2) = fR (X1, Y1) + gR (X1, Y2)
para todo f, g ∈ D (M), y X1, X2, Y1, Y2 ∈ X (M).
2. Para todo par X, Y ∈ X (M), el operador curvatura R (X, Y ) : X (M)→ X (M)
es lineal, es decir,
R (X, Y ) (Z +W ) = R (X, Y )Z +R (X, Y )W,
R (X, Y ) fZ = fR (X, Y )Z
para todo f ∈ D (M) y Z,W ∈ X (M).
3. Primera Identidad de Bianchi:
R (X, Y )Z +R (Y, Z)X +R (Z,X)Y = 0
4. De ahora en adelante, escribiremos por conveniencia, 〈R (X, Y )Z, T 〉 = (X, Y, Z, T ).
Si X, Y, Z, T son campos vectoriales en M y ∇ es la conexión de Levi-Civita, en-
tonces
a) (X, Y, Z, T ) + (Y, Z,X, T ) + (Z,X, Y, T ) = 0
b) (X, Y, Z, T ) = − (Y,X,Z, T )
c) (X, Y, Z, T ) = − (X, Y, T, Z)
d) (X, Y, Z, T ) = (Z, T,X, Y ).
Demostración. La demostración de este resultado puede ser encontrado en [2].
21
Es conveniente escribir lo que fue visto anteriormente en un sistema de coordenadas
(U,ϕ) en torno del punto p ∈M . Indicaremos, ∂∂xi
= Xi. Pongamos
R (Xi, Xj)Xk =∑l
RlijkXl.
Entonces, Rlijk son las componentes de la curvatura R en (U,ϕ). Tenga en cuenta que
para los campos vectoriales
X =∑i
uiXi, Y =∑j
vjXj, y Z =∑k
wkXk
obtenemos, por la linealidad de R,
R (X, Y )Z =∑i,j,k
uivjwk (R (Xi, Xj)Xk)
=∑l
(∑i,j,k
uivjwkRlijk
)Xl.
Para expresar Rlijk en términos de los coe�cientes Γkij de la conexión riemanniana,
usando el hecho que[∂∂xi, ∂∂xj
]= 0, escribimos
R (Xi, Xj)Xk = ∇Xj∇XiXk −∇Xi∇XjXk
= ∇Xj
(∑l
ΓlikXl
)−∇Xi
(∑l
ΓljkXl
)=∑l
(XjΓ
lik −XiΓ
ljk
)Xl +
∑s,l
(ΓlikΓ
sjl − ΓljkΓ
sil
)Xs
=∑s
(XjΓ
sik −XiΓ
sjk +
∑l
ΓlikΓsjl −
∑l
ΓljkΓsil
)Xs
y así
Rsijk =
∑l
ΓlikΓsjl −
∑l
ΓljkΓsil +XjΓ
sik −XiΓ
sjk.
Se procede a ilustrar la idea anterior con el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.3. Consideremos M = Rn con la métrica euclidiana y el correspondiente
conexión riemanniana (es decir, con los símbolos de christo�el Γkij = 0). Entonces
Rsijk = 0, y la curvatura R es cero. Por lo tanto, también podemos interpretar la
curvatura como una manera de medir cuanto una conexión en una variedad dada di�ere
de la conexión de Levi-Civita del espacio euclidiano.
Luego haciendo,
22
〈R (Xi, Xj)Xk, Xs〉 =
⟨∑l
RlijkXl, Xs
⟩=∑l
Rlijk 〈Xl, Xs〉
=∑l
Rlijkgls
= Rijks,
podemos escribir las identidades de la Proposición 2.2(4) como:
a) Rijks +Rjkis +Rkijs = 0 (2.1.1)
b) Rijks = −Rjiks (2.1.2)
c) Rijks = −Rijsk
d) Rijks = Rksij. (2.1.3)
Todas estas simetrías y relaciones reducen drásticamente los cálculos requeridos
para calcular el n4 componentes de la curvatura R. Por ejemplo, Si M es una variedad
riemanniana de dimensión 2, entonces de las 24 = 16 componentes de la curvatura,
existen 12 componentes no nulas y apenas una componente independiente. En efecto:
Por la Proposición 2.2(4), vale
(X,X,Z, T ) = (X, Y, Z, T ) = 0
en términos de las componentes de la curvatura,
Riiks = Rijkk = 0
entonces tenemos
R1111 = R1112 = R1121 = R1122 = 0
R2211 = R2212 = R2221 = R2222 = 0
R1211 = R2111 = 0
R1222 = R2122 = 0
las componentes potencialmente no nulas son apenas R1212, R1221, R2112, R2121. Es posi-
ble escoger una de entre estas cuatro y escribir las tres otras en función de ella usando
las relaciones de simetría. Por ejemplo, escogiendo R1212, tenemos
23
R1221 = −R1212
R2112 = −R1212
R2121 = −R2112 = R1212
observe que la simetría de la Identidad de Bianchi no desempeña ningún papel, porque
en el caso de n = 2, ella es consecuencia de (2.1.2)-(2.1.3). De hecho, como máximo 3
indices son diferentes en estos casos, por lo menos uno de los coe�cientes en la suma
cíclica de (2.1.1) sera de la forma Rijkk y por lo tanto nulo, luego ella se reducirá a una
o dos de las propiedades (2.1.2)-(2.1.3). Basta ver eso en el caso k = s:
Rijkk +Rjkik +Rkijk = 0
es equivalente a (Rijkk = 0)
Rjkik +Rkijk = 0
osea,
Rjkik = −Rkijk
que corresponde a aplicar (2.1.3) y después (2.1.2).
Con estas observaciones, ahora procedemos a algunos ejemplos.
Ejemplo 2.4. (Curvatura del plano hiperbólico). Sea H2 es el semiplano superior con
la métrica [gij
]=
[1y2
0
0 1y2
]y asociado la conexión riemanniana dado por los símbolos de christo�el
Γ111 = Γ1
22 = Γ212 = Γ2
21 = 0
Γ211 = −Γ1
12 = −Γ121 = −Γ2
22 =1
y
como vimos en el Ejemplo 1.19. Primero calculamos las componentes de la curvatura:
Rsiji = Γ1
iiΓsj1 − Γ1
jiΓsi1 + Γ2
iiΓsj2 − Γ2
jiΓsi2 +
∂Γsii∂xj−∂Γsji∂xi
en el caso s = 1, para i 6= j,
24
R1iji = Γ1
iiΓ1j1 − Γ1
jiΓ1i1 + Γ2
iiΓ1j2 − Γ2
jiΓ1i2 +
∂Γ1ii
∂xj−∂Γ1
ji
∂xi
= −Γ1jiΓ
1i1 + Γ2
iiΓ1j2 −
∂Γ1ji
∂xi
de ahí,
R1121 = −Γ1
21Γ111 + Γ2
11Γ122 −
∂Γ121
∂x= 0,
R1212 = −Γ1
12Γ121 + Γ2
22Γ112 −
∂Γ112
∂y= − 1
y2
en el caso s = 2, para i 6= j
R2iji = Γ1
iiΓ2j1 − Γ1
jiΓ2i1 + Γ2
iiΓ2j2 − Γ2
jiΓ2i2 +
∂Γ2ii
∂xj−∂Γ2
ji
∂xi
= Γ2iiΓ
2j2 − Γ1
jiΓ2i1 +
∂Γ2ii
∂xj
de ahí,
R2121 = Γ2
11Γ222 − Γ1
21Γ211 +
∂Γ211
∂y= − 1
y2
R2212 = Γ2
22Γ212 − Γ1
12Γ221 +
∂Γ122
∂x= 0
por lo tanto
R1122 = −R1
212 = −R2121 = R2
211 =1
y2
y las demás 12 componentes son todas nulas.
Para calcular las componentes de la curvatura del plano hiperbólico, basta calcular
la componente no nula
R1212 = g12R1121 + g22R
2121 = − 1
y4
por lo tanto, las 4 componentes no nulas de la curvatura del plano hiperbólico son
R1212 = − 1
y4
R1221 = −R1212 =1
y4
R2112 = −R1212 =1
y4
25
R2121 = R1212 = − 1
y4.
2.1.2. Curvatura seccional
Íntimamente relacionado con el operador curvatura es la curvatura seccional (o rie-
manniana), que pasamos a de�nir. En lo que sigue conviene usar la siguiente notación.
Dado un espacio vectorial V , indicaremos por |x ∧ y| la expresión√‖x‖2 ‖y‖2 − 〈x, y〉2
que representa la área del paralelogramo 2-dimensional determinado por el par de
vectores x, y ∈ V . Enunciaremos una proposición que será muy importante para la
de�nición de curvatura seccional.
Proposición 2.5. Sea σ ⊂ TpM un subespacio 2-dimensional del espacio tangente
TpM y sean x, y ∈ σ dos vectores linealmente independientes. Entonces
K (x, y) =(x, y, x, y)
|x ∧ y|2
no depende de la elección de los vectores x, y ∈ σ.
Demostración. La demostración de este resultado puede ser encontrado en [2].
Ahora estamos preparados para formular la De�nición de la curvatura seccional.
De�nición 2.6. Dado un punto p ∈ M y un subespacio 2-dimensional σ ⊂ TpM , el
número real K (x, y) = K (σ), donde {x, y} es una base cualquiera de σ, es llamado la
curvatura seccional de σ en p.
La De�nición 2.6 toma una forma especial en el caso 2-dimensional, es decir, cuando
U ∈ R2. El único subespacio σ ⊂ TpU es TpU propia. Por lo tanto K es solo una función
escalar de p ∈ U . Se puede expresar de forma explícita utilizando la base de campos
coordenados X1 = ∂∂x1
y X2 = ∂∂x2
utilizando las componentes de la curvatura:
K (x, y) =R1221
g11g22 − (g12)2 =
−R1212
g11g22 − (g12)2
Presentemos dos ejemplos de un calculo de curvatura seccional.
Ejemplo 2.7. Sea gij = δij la métrica en R2, donde δij es el símbolo estándar de kro-
necker, y sea R la correspondiente curvatura (ver Ejemplo 2.3). En este caso, podemos
veri�car que
g11g22 − (g12)2 = 1
26
y por lo tanto la curvatura seccional esta dada por
K (x, y) =−R1212
g11g22 − (g12)2 =
0
1= 0.
Presentemos un último ejemplo de un calculo de curvatura seccional, esta vez cuan-
do M = H2.
Ejemplo 2.8. Sea H2 es el semiplano superior con la métrica gij =δijy2
y la curvatura
correspondiente R, como en el Ejemplo 2.4. La curvatura seccional es entonces
K (x, y) =− 1y4(
1y2
)(1y2
)− 0
= −1.
El Ejemplo 2.8 muestra que la métrica de H2 es especial en el sentido de que la
curvatura seccional es constante. Para �nalizar con esta subsección, enunciaremos dos
Lema que serán muy importante en el desarrollo de la parte �nal de este trabajo.
Lema 2.9. SeaM una variedad riemanniana y p un punto deM . De�na una aplicación
trilineal R′ : TpM × TpM × TpM → TpM por
〈R′ (X, Y,W ) , Z〉 = 〈X,W 〉 〈Y, Z〉 − 〈Y,W 〉 〈X,Z〉 ,
para todo X, Y, Z,W ∈ TpM . Entonces M tiene curvatura seccional constante igual a
K0 si, y sólo si R = K0R′, donde R es la curvatura de M .
Demostración. La demostración de este resultado puede ser encontrado en [2].
Lema 2.10. Sea f : A ⊂ R2 → M una super�cie parametrizada y sean (s, t) las
coordenadas de R2. Sea V = V (s, t) un campo vectorial a lo largo de f . Entonces para
cada (s, t)D
∂t
D
∂sV − D
∂s
D
∂tV = R
(∂f
∂s,∂f
∂t
)V.
Demostración. La demostración de este resultado puede ser encontrado en [2].
2.2. Campos de Jacobi
Comenzamos mediante la derivación de la ecuación de Jacobi, que es una ecuación
diferencial ordinaria satisfecho por el campo de variación de cualquier familia de un
sólo parámetro de geodésicas. Un campo vectorial que satisface esta ecuación a lo largo
de una geodésica se llama un campo de Jacobi. También en esta sección estudiaremos
como la curvatura afecta a las geodésicas. En un punto p, las geodésicas radiales par-
ten de este punto y se irradian. Veremos que en una región de curvatura positiva las
27
geodésicas convergen, mientras que en una región de curvatura negativa las geodésicas
se expanden.
2.2.1. La ecuación de Jacobi
SeaM una variedad riemanniana y p ∈M . En la demostración del Lema 1.29(lema
de Gauss) vimos que si expp está de�nida en v ∈ TpM , y escogemos w ∈ Tv (TpM),
entonces
d(expp
)vw =
∂f
∂s(1, 0) ,
donde f es una super�cie parametrizada dada por
f (t, s) = expp tv (s) , 0 ≤ t ≤ 1, −ε ≤ s ≤ ε
y v (s) es una curva de TpM con v (0) = v, v′ (0) = w.
Conviene extender ligeramente nuestro objetivo es estudiar el campo
d(expp
)tv
(tw) =∂f
∂s(t, 0)
de�nido a lo largo de la geodésica γ : [0, 1]→M ,
γ (t) = expp (tv)
La primera observación es que ∂f∂s
satisface una ecuación diferencial. En efecto, como
γ (t) = fs (t) es una geodésica y
∂f
∂t(t, s) = γ′ (t)
valeD
∂t
∂f
∂t= 0.
Luego por el Lema 2.10 y del Lema ?? sigue que
0 =D
∂s
(D
∂t
∂f
∂t
)=D
∂t
(D
∂s
∂f
∂t
)−R
(∂f
∂s,∂f
∂t
)∂f
∂t
=D
∂t
(D
∂t
∂f
∂s
)+R
(∂f
∂t,∂f
∂s
)∂f
∂t
=D2
∂t2∂f
∂s+R
(∂f
∂t,∂f
∂s
)∂f
∂t.
denotemos ∂f∂s
(t, 0) = J (t), obtendremos que J satisface la ecuación
D2J
∂t2+R (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t) = 0 (2.2.1)
28
La ecuación arriba es llamada la ecuación de Jacobi. Puesto que aparece en una
diversidad de situaciones, es útil hacer un estudio separado de ella. Empezaremos pues
con una de�nición.
De�nición 2.11. Sea γ : [0, a] → M una geodésica de M . Un campo vectorial J a
lo largo de γ es un campo de Jacobi si satisface la ecuación de Jacobi (2.2.1), para
t ∈ [0, a].
Un campo de Jacobi es determinado por las condiciones iniciales J (0), DJ∂t
(0). En
efecto, sean −→e1 (t) , ...,−→en (t) campos paralelos y ortonormales a lo largo de γ, luego e
conjunto {−→e1 (t) , ...,−→en (t)} forma una base ortonormal. Escribimos:
J (t) =n∑i=1
fi (t)−→ei (t) , n = dimM
entoncesDJ
dt(t) =
n∑i=1
∂fi (t)
dt−→ei (t)
yD2J
dt2(t) =
n∑i=1
∂fi (t)
dt2−→ei (t)
luego
R (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t) =n∑j=1
〈R (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t) ,−→ej (t)〉−→ej (t)
=n∑j=1
⟨R
(γ′ (t) ,
n∑i=1
fi (t)−→ei (t)
)γ′ (t) ,−→ej (t)
⟩−→ej (t)
=n∑
i,j=1
fi (t) 〈R (γ′ (t) ,−→ei (t)) γ′ (t) ,−→ej (t)〉−→ej (t)
=n∑
i,j=1
aij (t) fi (t)−→ej (t)
donde aij (t) = 〈R (γ′ (t) ,−→ei (t)) γ′ (t) ,−→ej (t)〉. Por lo tanto, la ecuacion (2.2.1) es equi-
valente al sistema
∂2fj (t)
dt2+
n∑i,=1
aij (t) fi (t) = 0, j = 1, ..., n
que es un sistema lineal de segundo orden, esta ecuación se distingue con la denomi-
nación de lineal porque tanto fi (t) como dfj(t)
dtaparecen por separado. Así, dadas las
condiciones iniciales J (0), DJdt
(0), existe una solución C∞ del sistema, de�nida en [0, a].
Existen, por lo tanto, 2n campos de Jacobi linealmente independientes a lo largo de γ.
29
Figura 2.2.1: campos de Jacobi Triviales. Elaborado por Lee (1997)
Presentemos dos ejemplo triviales de campos de Jacobi a lo largo de una geodésica γ
(ver Figura 2.2.1).
Ejemplo 2.12. Existen siempre dos campos de Jacobi triviales a lo largo de una geo-
désica γ:
J0 (t) = γ′ (t)
que satisface las condiciones iniciales J0 (0) = γ′ (0) y DJ0dt
(0) = 0, y
J1 (t) = tγ′ (t)
que satisface las condiciones iniciales J1 (0) = 0 y DJ1dt
(0) = γ′ (0).
El primero es un campo de Jacobi porque
D2J0dt2
(t) =D
dt
Dγ′ (t)
dt=D
dt0 = 0,
R (γ′ (t) , J0 (t)) γ′ (t) = R (γ′ (t) , γ′ (t)) γ′ (t) = 0
recordando que la curvatura de una variedad riemanniana es anti simétrico en las
primeras dos variables; el segundo es un campo de Jacobi porque
D2J1dt2
(t) =D
dt
(DJ1dt
(t)
)=D
dt
(γ′ (t) + t
Dγ′ (t)
dt
)=Dγ′ (t)
dt= 0,
R (γ′ (t) , J1 (t)) γ′ (t) = R (γ′ (t) , tγ′ (t)) γ′ (t) = tR (γ′ (t) , γ′ (t)) γ′ (t) = 0.
2.2.2. Calculo de Campos de Jacobi
Para las métricas con curvatura seccional constante, tenemos un tipo deferente de
formula explícita para los campos de Jacobi, éste expresa un campo de Jacobi como
un múltiplo escalar de un campo vectorial paralelo. Se tiene así el siguiente ejemplo de
campos de Jacobi.
30
Ejemplo 2.13. (Campos de Jacobi en variedades de curvatura constante). Sea M una
variedad riemanniana con curvatura seccional constante K, y sea γ : [0, `] → M una
geodésica normalizada en M y sea J un campo de Jacobi a lo largo de γ, normal a γ′.
A�rmamos que del hecho de que ‖γ′ (t)‖ = 1 y del Lema 2.9, sigue que
R (γ′, J) γ′ = KJ.
En efecto, para todo campo vectorial T a lo largo de γ se tiene
〈R (γ′, J) γ′, T 〉 = K 〈R′ (γ′, J) γ′, T 〉
= K {〈γ′, γ′〉 〈J, T 〉 − 〈J, γ′〉 〈γ′, T 〉}
= K 〈J, T 〉
lo cual es lo a�rmado.
Por lo tanto la ecuación de Jacobi se escribe
D2J
dt2+KJ = 0 (2.2.2)
Sea w (t) un campo paralelo a lo largo de γ con 〈γ′ (t) , w (t)〉 = 0 y ‖w (t)‖ = 1. Se
veri�ca fácilmente que
J (t) =
sin(t
√K)√
Kw (t) si K > 0
tw (t) si K = 0sinh(t
√−K)√
−K w (t) si K < 0
es solución de (2.2.2) con las condiciones iniciales J (0) = 0 y DJdt
(0) = w (0). En
efecto:
1. Si K = 0,
=⇒D2J
dt2(t) = 0
=⇒DJ
dt(t) = c, c = cte.
=⇒J (t) = ct
analizando las condiciones iniciales
J (0) = 0 =⇒ 0 = 0,
DJ
dt(0) = w (0) =⇒ c = w (0)
por lo tanto, J (t) = tw (t).
31
2. Si K > 0,
=⇒D2J
dt2+KJ = 0
luego, la ecuación característica r2 + K = 0 tiene raíces complejas r1 = i√K y
r2 = −i√K. Por lo tanto,
er1t = e(i√K)t = cos
(t√K)
+ i sin(t√K)
como consecuencia
J (t) = A cos(t√K)
+B sin(t√K)
para cualquier par de constantes A,B. Las constantes A y B se determinan a
partir de las condiciones iniciales, veamos
J (0) = 0 =⇒ 0 = A cos (0) +B sin (0) = A =⇒ A = 0,
DJ
dt(0) = w (0) =⇒ w (0) = −A (sin (0))
√K +B (cos (0))
√K =⇒ B =
w (0)√K
por lo tanto, J (t) =sin(t
√K)√
Kw (t).
3. Si K < 0,
=⇒D2J
dt2+KJ = 0
luego, la ecuación característica r2 + K = 0 tiene dos raíces diferentes r1 =√−K y r2 = −
√−K. Por lo tanto, J1 (t) = et
√−K y J2 (t) = e−t
√−K forman
un conjunto fundamental de soluciones de (2.2.2) y cualquier solución J (t) de
(2.2.2) es del tipo
J (t) = c1et√−K + c2e
−t√−K
para cualesquiera constantes c1, c2. Las constantes c1 y c2 se determinan a partir
de las condiciones iniciales, veamos
J (0) = 0 =⇒ 0 = c1e0 + c2e
0 = c1 + c2 =⇒ c1 = −c2,DJ
dt(0) = w (0) =⇒ w (0) = c1e
0(√−K
)− c2e0
(√−K
)=⇒ w (0) = 2c1
√−K.
32
Entonces
c1 =w (0)
2√−K
y c2 = − w (0)
2√−K
por lo tanto,
J (t) =w (t)
2√−K
et√−K − w (t)
2√−K
e−t√−K
=w (t)√−K
(et√−K − e−t
√−K
2
)
=w (t)√−K
sinh(t√−K
).
lo que prueba lo a�rmado.
Como vimos anteriormente, dados p ∈ M , v ∈ TpM y w ∈ Tv (TpM), podemos
construir un campo de Jacobi a lo largo de la geodésica γ : [0, 1] → M , dada por
γ (t) = expp tv. Para esto consideramos la super�cie parametrizada dada por f (t, s) =
expp tv (s), donde v (s) es una curva en TpM con v (0) = v, v′ (0) = w, y hacemos
J (t) = ∂f∂s
(t, 0). Observe que J (0) = 0.
Vamos a mostrar que esta es esencialmente la única manera de construir campos de
Jacobi a lo largo de γ (t) con J (0) = 0. De manera más precisa, tenemos la siguiente
Proposición.
Proposición 2.14. Sea γ : [0, a] → M una geodésica normalizada y sea J un campo
de Jacobi a lo largo de γ con J (0) = 0. Hagamos DJdt
(0) = w y γ′ (0) = v. Concidere
a w como un elemento de Tav(Tγ(0)M
)y construya una curva v (s) en Tγ(0)M con
v (0) = av, v′ (0) = w. Hagamos f (t, s) = expp tv (s), p = γ (0), y de�na un campo de
Jacobi J por J (t) = ∂f∂s
(t, 0). Entonces J = J en [0, a].
Demostración. Vimos en el inicio de la sección que J es un campo de Jacobi. Es fácil
ver que
J (0) = 0
ya que
J (0) =∂f
∂s(0, 0) = d
(expp
)0
(0) = 0.
Para mostrar queDJ
dt(0) = w
33
calculamos
DJ
dt(t) =
D
dt
(∂f
∂s(t, 0)
)=D
dt
[d(expp
)tv
(tw)]
=D
dt
[td(expp
)tv
(w)]
= d(expp
)tv
(w) + tD
dt
[d(expp
)tv
(w)]
luego,DJ
dt(0) = d
(expp
)0
(w) = w
como J (0) = J (0) = 0 y DJdt
(0) = DJdt
(0) = w, concluimos, por el teorema de la
unicidad, que J = J .
Se tiene así el siguiente resultado.
Corolario 2.15. Sea γ : [0, a]→ M una geodésica. Entonces un campo de Jacobi J a
lo largo de γ con J (0) = 0 está dado por
J (t) =(d expp
)tγ′(0)
(tDJ
dt(0)
), t ∈ [0, a] .
Aplicación
A continuación de�nimos el �ujo geodésico.
Sea M una variedad riemanniana, el �ujo geodésico de M es una familia de difeo-
mor�smos asociados a un parámetro real ϕt tal que
ϕt : TM → TM
(p, v)→ (γv (t) , γ′v (t))
donde γv es la única geodésica de M con γv (0) = p y γ′v (0) = v. Sea π : TM → M la
proyección (π (p, v) = p)y si (p, v) , θ ∈ TM , de�namos la conexión Kθ : TθTM → TpM
de�nida:
Sea ξ ∈ TθTM =⇒ ∃α : I → TM diferenciable con α (0) = p y w es campo de
vectores diferenciables a lo largo de γ con w (0) = v, entonces se de�ne
Kθ (ξ) =DW
dt(0) .
Se prueba que Kθ está bien de�nida (esto es, si α (t) = (γ (t) , w (t)) una curva diferen-
ciable con α (0) = θ y α′(0) = ξ =⇒ Kθ (ξ) = Dw
dt(0) = Dw
dt(0)) para una demostración
ver ([1]). En este mismo trabajo se prueba que Kθ es lineal y que ker (dπθ)∧ker (Kθ) =
34
{0} y como dim ker (dπθ) = dim ker (Kθ) = n entonces, TθTM = H (θ) ⊕ v (θ) donde
H (θ) = ker (Kθ) y v (θ) = ker (dπθ), esto es, ξ ∼= (ξH , ξv)
Sea θ ∈ TM , θ = (p, v), ξ ∈ TθTM y γv : I →M la única geodésica con γv (0) = p,
γ′v (0).
Consideremos Jξ el campo de Jacobi a lo largo de γv con Jξ (0) = ξH y DJξdt
(0) = ξv.
Tenemos,
d (ϕt)θ : TθTM → Tϕt(θ)TM
ξ → d (ϕt)θ (ξ)
como ξ = (ξH , ξv) =(Jξ (0) ,
DJξdt
(0))entonces se prueba que
d (ϕt)θ (ξ) =
(Jξ (t) ,
DJξdt
(t)
)esta teoría la analizaremos cuando elaboremos la TESIS.
35
Conclusiones
1. Usando campos de Jacobi se puede establecer una conexión entre la geometría
de una variedad y la dinámica del �ujo geodésico.
2. Para las métricas con curvatura seccional constante, tenemos un tipo deferente
de formula explícita para los campos de Jacobi, éste expresa un campo de Jacobi
como un múltiplo escalar de un campo vectorial paralelo.
36
Bibliografía
[1] Ali, Brady, Seminatio de Tesis II, 2015.
[2] do Carmo, M., Riemannian Geometry, Impa, Rio de Janeiro, 2005.
[3] Frisancho, S., Seminario de Tesis I, 2015.
[4] Godiño, Leonor, Natário, Introduction to Riemannian Geometry: with Applications
to Mechanics and Relativity, Springer, 2014
[5] Lee, John M., Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer,
1997.
[6] Mclnerney A., First steps in Di�erential Geometry: Riemannian, Contact, Symplec-
tic, Springer, 2013.
37