Seminario Domingo

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Melgar 208 289336 Santa Catalina 508 220397

Peral 211 212124

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Academia Alexander Fleming

Concepto.- Es la parte de la matemtica que estudia los diversos arreglos o selecciones que se puede realizar con los elementos de un conjunto dado, o con parte de los

elementos de dicho conjunto.

Factorial de un nmero (n!) Definicin: El factorial de un nmero entero no

negativo se define como el producto de todos

los nmeros que empiezan en el nmero dado y

disminuyen consecutivamente hasta la unidad.

Representacin:

Factorial de n n! n n

n! n n 1 n 2 ...... 3 2 1 n

n! 1 2 3 ...... n 2 n 1 n n

0 ! 1

1! 1

2! 2 1

3! 3 2 1

4 ! 4 3 2 1

5 ! 5 4 3 2 1

6 ! 6 5 4 3 2 1

7 ! 7 6 5 4 3 2 1

x! x x 1 !

100! 100 99!

El nico nmero que no cumple con la definicin

que se da para factorial de un nmero, que sin

embargo posee factorial.

Es el caso. 0! 1

Problemas resueltos

PROBLEMA 01:

Calcular R

20! 3! 13!R19! 14 !

a) 347

b) 487

c) 753

d) 132

e) N.A

Resolucin:

20 19! 3 2! 13!R

19! 14 ! 13!

20 6 60 4R 8

14 7 7

R 487

Rpta.B

PROBLEMA 02: Hallar x en:

x 9 ! x 7 !14 !

x 8 ! x 7 !

a) 1 b) 2 c) 6

d) 4 e) 5 Resolucin: Factorizando el denominador.

x 9 ! x 7 !14 !

x 8 x 7 ! x 7 !

x 9 ! x 7 !14 !

x 7 ! x 8 1

x 9 !14 !

x 9

x 9 x 8 !14 !

x 9

x 8 ! 14 !

x 8 14 x 6 Rpta.C

PARA TIIIIIIII!

Calcular x si:

4 ! x!! x!!23!

120! 119! 5!

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

RAZONAMIENTO MATEMATICO

ANALISIS COMBINATORIO DOCENTE: HENRY ARAUJO SALAS

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I. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO

Principio Aditivo.- Se aplica cuando las operaciones que vas a realizar, no pueden actuar simult-neamente. El conectivo o indica que las operaciones o eventos no pueden actuar simultneamente y para hallar

el nmero total de maneras simplemente hay que sumar las posibilidades de cada operacin.

Problema resuelto Rub desea cruzar una laguna, para ello puede utilizar 3 botes, 5 lanchas o 2 deslizadores. De cuntas formas

podr cruzar la laguna, utilizando uno de los medios de transporte indicados? Solucin:

Punto de apoyo: En esta variedad de problemas ; primero preguntmonos que es lo que me piden realizar y con qu vamos realizar lo pedido.

En este caso nos dan 3botes, 5 lanchas, 2 deslizadores. Nos piden Cruzar una laguna; ahora nos preguntamos para cruzar la laguna lo haces en bote o en lancha o en deslizador, podemos observar que el conectivo que une es el o por lo tanto es principio de suma. #de maneras de cruzar = 3 + 5 + 2 = 10 maneras

Principio Multiplicativo.- Llamado tambin Principio Fundamental del Anlisis Combinatorio, se aplica cuando las operaciones que vas a realizar actan simult-neamente (en forma conjunta). El conectivo y indica que las operaciones o eventos se realizan simultneamente y

para hallar el nmero total de maneras simplemente hay que multiplicar las posibilidades de cada operacin.

Problema resuelto Jessica dispone de 7 faldas, 5 blusas y 3 pares de zapa-tos, todos de diferentes colores entre s. De cuntas

maneras puede vestirse? Solucin:

Punto de apoyo: Para que Jesica se pueda vestir tiene que escoger una falda y una blusa y un par zapatos

Como podemos observar que se debe usar el conecti-vo (Y) que me indica que debemos de multiplicar las cantidades

#maneras de vestir = 7 x 5 x 3 = 105

TCNICAS DE CONTEO

PERMUTACION (Variacin).- Se aplica cuando nos piden agrupar y ordenar a la vez parte o todos los elementos de un conjunto interesando el orden. Las permutaciones pueden ser:

P. Lineales.- Es un arreglo u ordenacin de elemen-tos en lnea recta. El nmero de permutaciones de n elementos tomados de k en k se puede calcular as:

; nk0

Observacin: Cuando k = n es una permutacin de

todos los elementos y se calcula as:

n! P(n)

Problema resuelto El servicio de inteligencia de cierto pas, desea enviar mensajes a sus agentes secretos. Solo

quiere utilizar las siguientes letras: V, A, M , P ,I, R, O. Cuntas palabras claves de cinco letras pueden formarse, si ninguna letra puede repe-

tirse?

Solucin

Punto de apoyo: los posibles mensajes que se

podr enviar estar dado por todo los orde-namientos que se podr realizar con esas 7

letras (V,A,M,P,I,R,O) pero ordenadas de 5 en 5, las posibles ordenaciones son halladas con una permutacin.

2520!2

76543!2

!2

!7

)!57(

!775

xxxxx

P

Por tanto la cantidad MENSAJES:2520

P. Circular.- Es un arreglo u ordenacin de elemen-tos alrededor de un objeto. El nmero de permutaciones circulares de n elementos se puede calcular as.

)!1n()n(cP

k)!(n

n!n

kP

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H1

H2

H3

La pareja y Todos juntos

2 x P4circular

= 2 x (4-1)!

= 12 maneras

Problema resuelto Jorge, su novia y los 3 hermanos de su novia se

sientan alrededor de una fogata. De cuntas

maneras diferentes pueden hacerlo si Jorge y

su novia desean estar juntos?

Solucin:

Primero ordenamos por separado y luego todos

juntos en forma circular:

Existen 12 maneras.

P. con Repeticin.- Es un arreglo u ordenacin de elementos no todos diferentes. (Algunos elementos se repiten). El nmero de permutaciones de n elementos con repeticin se calcula as:

Donde: n = Nmero total de elementos ki = Nmero de elementos repetidos de cada tipo

Problema resuelto Calcular el nmero de permutaciones diferentes

que pueden formarse con las letras de la pala-bra AUTODIDACTA, tomados todas a la vez.

Solucin: La palabra contiene 11 letras, de las cuales 3 son A, 2 son T, 2 son D y el resto diferentes.

Por tanto, el nmero de permutaciones diferen-tes es:

!1!1!1!2!2!3

!11)1,1,1,1,2,2,3;11(PR

4

4x5x6x7x8x9x10x11

= 1663,200

COMBINACION.- Se aplica cuando nos piden seleccionar o forma grupos de personas parte o todos

los elementos disponibles de un conjunto. En una combi-nacin NO interesa el orden de los elementos. El nmero de combinaciones de n elementos tomados de k en k se puede calcular as:

; nk0

Problema resuelto De 14 hombres. De cuntas maneras pueden

seleccionarse 2 personas? a) 366 b) 364 c) 324 d) 346 e) N.A.

Solucin: Interesa seleccionar 11 hombres de 14, se

trata entonces de una combinacin (solo la combinacin selecciona o elije):

1411

14 ! 14 13 12 11!

11!3! 11! 3 2 1C

1411C 364

!rk!.....3k!.2k!.1k

!nnk,...,k,k,k r321

P

)!kn(!k

!nnkC

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Problema resuelto 7 hombres y 5 mujeres se van a formar comi-

ts mixtos de 6 personas. De cuantas mane-ras pueden formarse si en el comit hay dos mujeres?

a) 520 b) 340 c) 220 d) 720 e) 640

Solucin: Punto En este caso tenemos que escoger 2 mujeres y 4 hombres. Las mujeres pueden

escogerse de 52C maneras y los hombres de

74C maneras, a su vez cada uno de los gru-

pos conformados por mujeres puede asociarse con cada uno de los grupos formados por

hombres, entonces.

5 72 4Nro de comites= C C

Nro de comites= 720

COMBINACIONES CON REPETICIN,- Una combinacin con repeticin de n elemen-tos de orden r, son todas las agrupaciones de un nmero r de elementos con repeticin de un conjunto de n objetos.

K= nmero de elementos diferentes N= se quiere formar grupos de N elementos

Problema resuelto De cuantas maneras diferentes se puede comprar 7 lapiceros si solo existe 3 colores y de la misma marca y modelo?

Solucin:

Punto de apoyo: Estamos frente a una com-

binacin(porque vamos a seleccionar ) con

repeticin(como solo hay 3 colores va tener que repetirse colores)

36!2!.7

!937

9

7

173

7 CCCR

1.- Anita este verano va a disfrutar de sus vaca-

ciones a ICA y en su equipaje lleva las si-guientes prendas de vestir: 5 vestidos, 8 faldas, 8 blusas (3 del mismo color y mode-

lo) y 10 pares de calzados (2 del mismo color y modelo). De cuntas maneras dife-rentes podr combinar dichas prendas de

vestir, de tal modo que al vestirse lo puede hacer de 2 maneras:

1) Vestido y un par de calzados.

2) Blusa, falda y un par de calzados.

a) 435

b) 432 c) 477 d) 376

e) 396

02. De cuntas maneras diferentes se pue-

den sentar en una fila de 5 butacas, 3 hombres y 2 mujeres de modo que las mu-jeres no estn juntas?

a) 12 b) 24

c) 36 d) 48 e) 72

02. Diez nios son ubicados en una misma fila

de modo que 3 nios siempre estn juntos. De cuntas maneras se puede hacer?

a) 7! b) 8!

c) 6x(7!) d) 6x(8!) e) 7x(8!)

03. Cuntos nmeros de 3 cifras significati-

vas existen, tales que en su escritura apa-

rezca la cifra 3 por lo menos una vez?

a) 120

b) 240 c) 217 d) 127

e) 712

1 nknCkn

CR

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04. Se tiene 9 bolas numeradas del 1 al 9. De

cuntas formas diferentes, se pueden or-

denar 3 bolas escogidas de las anteriores, de modo que al sumar los valores indica-dos en cada una, se obtenga siempre 9?

a) 16 b) 18

c) 24 d) 30 e) 36

05. Se tiene n vasos diferentes, de ellos deben

ser llenados con limonada y los restantes

con chicha, logrando obtenerse 28 formas de servido diferentes. De cuntas mane-ras distintas se podra realizar el llenado si

hubiera un vaso ms y el servido sea 6 con limonada, 1 con gaseosa y el resto con chicha?

a) 240 b) 250

c) 252 d) 280 e) 272

06. En una juguetera se quiere ordenar en

una vitrina 6 juguetes diferentes, dispo-

niendo de 9 juguetes. De cuntas mane-ras diferentes se puede hacer?

a) 6! b) 7! c) 4x(7!) d) 6x(7!)

e) 12x(7!)

07. En una caja hay 3 corbatas americanas, 4 corbatas inglesas y 5 corbatas nacionales. Determinar de cuntas maneras diferentes puede elegirse 3 corbatas de modo que haya una de cada tipo: americana, inglesa y nacional.

a) 12! b) 5!

c) 4! d) 5! / 2 e) 12! / 2

09. De cuntas maneras diferentes se pue-den acomodar 7 personas en un automvil

(en marcha) de 5 asientos, sabiendo que slo 3 de ellos saben manejar y que dos personas no viajarn en dicho auto?

a) 1080 b) 1440

c) 360 d) 2160 e) 540

10. De cuntas maneras se puede representar al nmero 10 como suma indicada de 3 sumandos enteros positivos y diferentes entre si?

a) 4 b) 6 c) 12

d) 24 e) 36

11. Con 6 hombres y 4 mujeres Cuntos

comits de 4 personas, se pueden formar de modo que:

a) Hayan 2 hombres y 2 mujeres

b) Siempre est Patricia en el grupo c) Haya al menos 3 mujeres d) Haya al menos 1 hombre

a) 60; 84; 25; 210 b) 90; 84; 24; 210

c) 60; 84; 25; 209 d) 90; 84; 25; 210 e) 90; 84; 25; 209

12. En una reunin hay 10 hombres y 5 muje-res, se van a formar grupos de 3 personas Cuntos grupos diferentes se formarn si siempre debe haber por lo menos 2 muje-res en el grupo? a) 100

b) 50 c) 10 d) 110

e) 120

13. Se deben seleccionar 2 personas para ocupar los cargos de Director y Sub-Director de un grupo de 5 personas igual-mente capacitadas De cuntas maneras se pueden ocupar dichos cargos?

a) 10

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b) 20 c) 30 d) 24

e) 56

14. Se tienen 12 puntos coplanares, no situa-dos 3 de ellos en lnea recta De cuntas maneras pueden formarse tringulos te-niendo a un punto determinado como vrti-ce?

a) 55

b) 45 c) 110 d) 220

e) 90

15. En una oficina hay 4 escritorios que pue-den ser ocupados, cada uno, hasta por 2 personas. Si hay 3 secretarias De cun-tas maneras pueden sentarse?

a) 24 b) 42

c) 56 d) 60 e) 72

16. Seis amigos: Alex, Geovana, Rommel, Jesica, Csar y Noem deciden brindar al-rededor de una fogata circular De cun-

tas maneras diferentes se podran sentar si:

Csar y Geovana tienen que sentarse

juntos Alex tiene que estar a la diestra de Noem? (Dar como respuesta la suma de ambos

resultados)

a) 70 b) 64

c) 72 d) 62 e) 54

17. Un ladrn quiere abrir una caja fuerte cuya

clave consta de cuatro dgitos. Solamente

sabe que los dgitos posibles son: 1; 3; 5 y 7. Cul es el nmero mximo de combi-naciones erradas que podra intentar?

a) 255 b) 279

c) 256 d) 110 e) 23

18. Una compaa desea ascender a tres de

sus quince empleados de confianza para los cargos de gerente de ventas, finanzas y control de calidad. Cuntas opciones distintas se tiene para efectuar estos as-censos?

a) 455

b) 1365 c) 2730 d) 1050

e) 2100 19. Cuntas comisiones integradas por un

varn y una dama pueden formarse con cinco varones y ocho damas, si cierto va-rn trabaja exclusivamente con dos da-

mas, las cuales tampoco pueden formar otras comisiones?

a) 13 b) 18 c) 21

d) 24 e) 26

20. Se desea distribuir a 8 personas en dos grupos de 3 y 4 personas cada uno, de modo que cada grupo haga su fogata y sus

integrantes se sienten alrededor de ellas. Calcule de cuntas formas se podrn ubi-car.

a) 17860 b) 5760 c) 5860

d) 840 e) 3360

Araujito:

Permutacin: es una tcnica de conteo para acomodar, ordenar.

Combinacin: es una tcnica de conteo que selecciona, agrupa.

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1. De cuntas maneras diferentes pueden distribuirse entre 8 personas, 3 medallas de oro, 3 de plata y 2 de bronce, si a cada persona le toca una medalla?

a) 480 b) 470 c) 650

d) 560 e) 360

2. En un video juego se emplea PASSWORD (cdigo de entrada) que es-t formado por 6 letras seguida por una ci-fra. Calcule cuntos PASSWORDS se pueden formar, si se disponen de 3 letras A, 2 letras N y una letra I; tal que terminen en un dgito impar. a) 2 100

b) 420 c) 300 d) 1 420

e) 2 420

3. Se tienen 4 libros de aritmtica y 3 libros de lgebra. De cuntas formas se po-drn ubicar en un estante donde slo en-tran 5 libros y deben estar alternados?

a) 144 b) 216 c) 72

d) 24 e) 256

4. Un club tiene 15 miembros, 10 hombres y 5 mujeres. Cuntos comits de 8 miem-bros se pueden formar, si cada comit debe tener 3 mujeres? a) 2 400

b) 2 430 c) 2 620 d) 2 520

e) 2 420

5. Cul es el mximo nmero de maneras distintas de matricular a 3 nios en 5 co-legios disponibles, de todas las formas posibles?

a) 120 b) 125 c) 60

d) 243

e) 20

6. Con 4 futbolistas y 8 nadadores, cuntos grupos pueden formarse de 6 integrantes cada uno, de tal manera que en cada gru-po entre cuando menos un futbolista?

a) 696 b) 869 c) 896

d) 224 e) 600

7. En un corral hay 10 jaulas diferentes y se han comprado 10 aves: 3 gallinas, 4 pa-vos y 3 patos. De cuntas maneras dis-tintas se puede colocar un ave en una jau-la, de modo que se diferencien en su es-pecie? a) 6!

b) 7! c) 6x7! d) 4 200

e) 2 400

8. De cuntas maneras diferentes se pue-den sentar 9 personas alrededor de una mesa redonda con 5 asientos, si quedan 4 de pie?

a) 3 000 b) 3 200 c) 3 024

d) 1 024 e) 1 200

9. De cuntas maneras diferentes pueden ordenarse en un estante 6 libros de arit-mtica, 2 de historia y 4 de lgica?; si los libros de la misma materia siempre estn juntos y adems: I. No hay diferencia entre los libros de la

misma materia II. Los libros de la misma materia son di-

ferentes. a) 6; 12!

b) 6; 10! c) 24; 12! d) 6; 48

e) 6; 288x6!

10. De un grupo de 9 personas se quiere escoger un grupo de 7 para abordar un bote con 6 remos y con un timn. De cuntas maneras diferentes se pueden ubicar, sabiendo que de las 9 personas slo 3 pueden llevar el timn? a) 6! x (72)

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b) 9! x (42) c) 6! x (84) d) 9! x 6!

e) 6! x 3!

11. Se tiene tres cocheras de autos con capacidad para ms de cuatro autos cada una; luego llegan 2 autos azules y 2 de color verde iguales.

* Sea n el nmero de maneras en que se pueden distribuir en las cocheras.

* Sea m el nmero de maneras en que se pueden distribuir en las cocheras, de tal manera que dos autos del mismo color no deben estar en la misma cochera. Calcu-le m + n.

a) 81 b) 36 c) 117

d) 9 e) 172

12. Calcula el nmero total de palabras dife-rentes que se pueden formar con todas las letras a la vez de la palabra KATTII, de manera que vocales iguales estn juntas. a) 120

b) 160 c) 24 d) 60

e) 30

13. En una caja se tiene 2 fichas rojas, 4 fichas blancas, 3 azules, 1 verde y 1 ne-gra. De cuntas maneras diferentes se les puede ordenar si se colocan una a continuacin de otra? I. En forma de lnea recta.

II. En forma de crculo. D como respuesta la suma.

a) 138 600 b) 12 600 c) 142 400

d) 150 200 e) 151 200

14. En una reunin se encuentran 5 hombres y 6 mujeres. De cuntas maneras se pueden acomodar alrededor de una mesa slo a 3 hombres y 3 mujeres, de manera que las mujeres no se sienten juntas?

a) 4 800 b) 1 800 c) 24 000

d) 600 e) 2 400

15. De cuntas formas diferentes se pueden sentar en fila 4 hombres y 4 mujeres, si

Jorge (que es uno de ellos) se quiere sen-tar junto y entre Alejandra y Flor (que son dos de ellas)? Adems personas del mis-

mo sexo no estn juntos. a) 720 b) 360

c) 5!x2 d) 8! e) 144

16. Juan, Manuel, Carlos y 5 amigos ms participan en una carrera. De cuntas maneras diferentes pueden llegar a la me-

ta, de tal manera que Carlos llegue antes que Manuel y este llegue antes que Juan? (observacin: considere en este caso que

no hay empates). a) 6 720

b) 4 360 c) 1 532 d) 1 236

e) 1 538

17. Un rbitro ante el reclamo de 5 jugadores al cobrar un penal; muestra 3 tarjetas amarillas y 2 rojas. De cuntas maneras podr mostrar dicho castigo.

a) 8 b) 2

c) 10 d) 16 e) 6

18. Cuntos sonidos distintos pueden producirse con 7 teclas de un piano; si slo se tocan 3 de ellas simultneamente?

a) 180 b) 200

c) 190 d) 210 e) 144

CLAVES DE RESPUESTAS 1D 2C 3B 4D 5B 6C 7D 8C 9E 10C

11C 12D 13E 14E 15E 16A 17C 18D

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