PARTE II:

Prof.: Salvador Pons Bordera

2Gramtica espaola. Grupo A. 2011-2012

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PARTE II:

SEMNTICA DE LA ORACIN

I. INTRODUCCIN: CONSTRUYENDO UNA TEORA SEMNTICA

La semntica de la oracin se plantea el problema del significado de los constituyentes de orden superior a la palabra. Se sita por encima de una semntica de la palabra, en el sentido de que la presupone. Solo existen dos tipos de semntica: lxica y oracional. Una semntica del sintagma no se contempla puesto que los sintagmas, en el mejor de los casos, designan, pero no significan.

La manera de estudiar el significado de construcciones como las oraciones completivas, los sintagmas nominales o los cuantificadores consistir en buscar sus condiciones de verdad, esto es, se proceder como si las oraciones describieran sucesos (estados de cosas) del mundo y se pudieran evaluar como verdaderas, si la descripcin se ajustara a los hechos, o falsas, si no fuera as. Los primeros estudios de semntica oracional proceden de la Filosofa; su imprenta se deja ver en este tipo de decisiones. Esta hiptesis no tiene inters como tal (no ayuda mucho al lingista saber que los elefantes son rosa es una oracin falsa y su contraria, los elefantes no son rosa, es verdadera). Lo importante es que permite realizar hiptesis sobre las condiciones semnticas que debera tener un constituyente oracional para producir enunciados verdaderos. Por ejemplo, permite saber que si una oracin afirmativa es verdadera, su contraria es falsa, y viceversa, con lo que la contribucin semntica de la negacin consistir en invertir las condiciones de verdad de una oracin. Esto es una generalizacin semntica fructfera que se puede extender a otros elementos gramaticales.

Para fijar las condiciones de verdad se recurrir a la ayuda de metalenguajes altamente formalizados, procedentes del lenguaje matemtico. La semntica oracional se acerca de este modo a la lgica formal. El lingista (o, en general, todo aquel que se interese en el estudio del lenguaje) puede obtener ventajas de este acercamiento:

La lgica matemtica (o simblica, como tambin se dice) ofrece las mismas ventajas sobre la lgica tradicional que las que tiene la formulacin de un problema numrico en notacin mtemtica sobre su formulacin en lenguaje corriente. La formulacin matemtica del problema suele ser mucho ms corta, ms clara y al mismo tiempo menos susceptible de falsas interpretaciones. Pero todava tiene mayor importancia el hecho de que cuando unas formulaciones en lenguaje ordinario se convierten en alguna representacin simblica supuestamente equivalente, uno se ve forzado a examinar las formulaciones en lenguaje ordinario con ms atencin que de costumbre y, como consecuencia de ello, los casos de ambigedad o imprecisin que de otro modo acaso pasaran por alto pueden ser descubiertos (Lyons, J. 1980:1977, 134).

It proves to be very fruitful to study formal systems in the abstract, since insofar as distinct systems have a similar structure, their formalizations are alike. Direct study of a formal system can yield results which can be applied generally to all systems which are models of it. Also, once we show that a certain system is equivalent in its formal structure to another better known system, what we know about the latter may transfer to new insights about the former (Partee et al. 1990, 91-92).

A. Enunciado, oracin y proposicin

1. Un hombre es altoEnunciado

2. Un hombre es altoOracin

3. SN Cp Atr- Descripcin sintctica

4.x [H(x) & A (x)]- Descripcin semntica

Proposicin: significado de una oracin simple declarativa, empleada para afirmar algo acerca de la realidad, algo que es susceptible de ser verdadero o falso (Garrido Medina, J. 1994, 41).

-Smbolos que representan las proposiciones: variables proposicionales.

5. p, q, r

B. Decisiones tericas previas a la construccin de una teora semntica

1. Hiptesis regla-a-regla:

Para cada regla sintctica hay una regla semntica correspondiente (Cann 1993, 5).

//////

EQ \X(f) EQ \X(

g)

v = f()

/v/ = /f()/ = g (//, //,,//).

Si existe una regla de formacin sintctica que combina las categoras y en una construccin del tipo (), la funcin f especifica cmo se combinan dichas categoras. Igualmente, existe una regla de formacin semntica que especifica el modo de combinacin semntico de sus valores semnticos. Existe, pues, homeomorfismo entre sintaxis y semntica (pero, al no existir isomorfismo, a varias estructuras sintcticas les puede corresponder el mismo valor semntico) (Dowty et al 1981, 42-43).

2. Concepcin del significado:

Conocer el significado central de una oracin enunciada como una afirmacin es conocer las condiciones que la hacen verdadera (Cann 1993, 15).

Esta concepcin no excluye la existencia de un significado pragmtico, pero a) afirma la centralidad del significado condicional-veritativo y b) considera la descripcin pragmtica posterior a la semntica.

3. Teora de la verdad como correspondencia:

Una afirmacin en un lenguaje dado es verdadera ssi corresponde a un estado de cosas determinado (Cann 1993, 15).

Las proposiciones pueden tener dos valores: verdadero (V) o falso (F). Tambin se emplean los smbolos 1 y 0, respectivamente.

Este acercamiento parece excesivamente simplista: qu ocurre con las oraciones interrogativas, con las palabras abstractas o con las rdenes? Sin embargo, considrese el siguiente ejemplo:

1. La explosin del motor ha destruido el coche

2. La explosin del motor ha causado la destruccin del coche

2 puede considerarse sinnima de 1, porque se puede deducir 1 de 2 y viceversa. Esta afirmacin no depende del mundo exterior, sino de las leyes de nuestro lenguaje. Se trata de una verdad analtica. La sinonimia aparece ligada a la inferencia y el valor de la semntica consiste en hacer explcitas las reglas por las que se puede inferir una proposicin a partir de otra.

4. Principio de composicionalidad:

El significado de una expresin compleja es una funcin monotnica del significado de sus partes y de la forma en que se combinan (Cann 1993, 4).

(Una derivacin se considera monotnica si todas las propiedades de sus componentes se mantienen en derivaciones sucesivas).

5. Necesidad de un construir un modelo terico:

-Del mismo modo que la sintaxis, tambin la semntica debe utilizar un metalenguaje para su estudio.

-Para establecer con mayor exactitud las condiciones de verdad de un lenguaje natural (Ln) se utiliza un lenguaje formal (Lf) que permita lecturas no ambiguas de cada oracin.

-La interpretacin de una oracin comprende una sintaxis (reglas de construccin) y una semntica (interpretacin de la misma). El trmino sintaxis es ms abstracto que en lingstica (un programador informtico puede hablar de la sintaxis de un lenguaje de programacin, por ejemplo) y la diferencia entre sintaxis y semntica se puede establecer en los siguientes trminos:

Un lgico hace sintaxis cuando construye reglas de inferencia, es decir, principios generales que especifican qu conclusiones pueden inferirse de qu premisas o investiga las implicaciones de reglas de inferencia particulares. Tambin est haciendo sintaxis cuando construye reglas de formacin, es decir, reglas que especifican el tipo de proposiciones con las que trabaja. Un lgico hace semntica cuando establece condiciones sobre cules pueden ser los valores de verdad de las proposiciones objeto de estudio (MacCawley 1993:1981, 21).

Ej:Regla de formacin:

Dios es bueno es una proposicin.

Regla de inferencia

De A y B se puede inferir A.

Condiciones veritativas

Toda proposicin puede ser V F (pero no ambas).

-Para que la interpretacin se lleve a cabo es necesario construir un modelo, en el que se especificarn las entidades de las que se va a hablar (la ontologa del modelo) y una funcin que asocie los elementos lingsticos con las entidades del mundo.

EQ \X (6. Modelo = ontologa + funcin de asignacin.) -El concepto de verdad depender del modelo definido. No se trabaja con un concepto de verdad absoluto, sino relativo al modelo (lo que es verdadero se redefinir cada vez que se reconstruya el modelo).

-En trminos ms formales esto equivale a definir un universo de enunciados o individuos U en este caso, su ontologa, un conjunto de valores de verdad V y una funcin que asigne valores de verdad a los elementos de U (Moreno Cabrera, 47):

EQ \X (7. )

donde U = {p, q,, r} y V = {1, 0}

-p, q, r son variables proposicionales elementales.

- El modelo se ir redefiniendo a medida que cambie el objeto de estudio.

REGALITO PARA ACABAR EL TEMA: LA JERARQUA DE CHOMSKY

Chomsky (1963) realiz un estudio sobre las propiedades de las gramticas en el que diferencia cuatro tipos de gramticas, en funcin de su capacidad explicativa.

1. Gramtica de tipo 3 (Gramtica Regular)

A aB

A Ba

A a

A, B = categoras gramaticales; a = palabra

Slo permiten expresar relaciones entre palabras adyacentes

2. Gramtica de tipo 2 (Gramtica Libre de Contexto, Gramtica Sintagmtica).

A A = categora gramatical; = secuencia de categoras gramaticales/palabras.

O SN + SV

3. Gramticas de tipo 1 (Gramticas sensibles al contexto)

A A = categora gramatical; = secuencia de categoras gramaticales/palabras, en la que y simbolizan el contexto de aplicacin de la regla.

4. Gramticas de tipo 0 (Gramticas irrestrictas)

A La nica propiedad que deben respetar es la presencia de una categrora gramatical en el lado izquierdo de la regla.

Cada gramtica es ms potente que las dems, de modo que la incluye. Sin embargo, se considera que la potencia de las dos ltimas gramticas no es relevante para el estudio del lenguaje.

II. LGICA PROPOSICIONAL: CONECTIVAS LGICAS

La combinacin de variables proposicionales elementales produce frmulas complejas.

Para las proposiciones complejas sigue valiendo el principio de composicionalidad.

En un lenguaje formal, el principio de composicionalidad se satisface proveyendo a la sintaxis de un mecanismo que consta de una especificacin de expresiones bsicas y una serie de reglas recursivas, y asignando a la semntica una especificacin recursiva paralela que incluye una estipulacin de los valores semnticos de las expresiones bsicas y una asignacin de valores para las reglas sintcticas.

A. Sintaxis

Las variables se combinan mediante operaciones. El nmero de operaciones est definido en el modelo. Desde la Antigedad, la lgica veritativa clsica distingue las siguientes operaciones: conjuncin (&), disyuncin (V), implicacin/condicional () y vinculacin/bicondicional (). Hay que aadir la negacin, que cambia los valores veritativos de la proposicin. Los cuatro primeros operadores, por funcionar sobre dos elementos (p y q) se denominan conectores de dos lugares. La negacin, al operar slo sobre p o sobre q, se denomina conector de un lugar.

Las operaciones son recursivas.

Su formalizacin es como sigue (Moreno Cabrera, 85, con la notacin simplificada a efectos pedaggicos):

1. Cualquier p U es un enunciado.

Cualquier p precedido de ~ es un enunciado

Las combinaciones p&q, pvq, pq y pq son enunciados.

2, Reglas:

a) U {p, q, r}

b) U ~U

c) UU&U

d) U UVU

e) U UU

f) U UU

B. Semntica

A cada proposicin elemental se le asigna un valor veritativo, 0 1. Cada proposicin compleja recibe un valor veritativo que depende a) de los valores de las proposiciones elementales que la componen y b) de la estructura sintctica de la proposicin compleja resultante, determinada a su vez por las propiedades funcionales del conector lgico.

El segundo punto se determina mediante tablas veritativas.

p~ppqp&qpvqpqpq

101111/0

11

01100100

010110

000011

C. Observaciones sobre las conectivas lgicas

1. Conjuncin

Existen ciertas diferencias entre la conectiva lgica y la conjuncin copulativa del lenguaje natural:

a) La conj. copulativa posee un valor temporal ausente en su homlogo lgico (Juan se cay y se rompi un brazo).

b) En el lenguaje lgico, p&q = q&p; en el lenguaje natural, no.

c) En el lenguaje lgico, p&p es una proposicin con sentido.

d) La conjuncin adversativa pero tiene las mismas condiciones de verdad que la conjuncin copulativa, con lo que se pierde su significado de contraexpectacin.

e) La conectiva lgica no puede unir constituyentes intraproposicionales; la conjuncin, s.

2. Disyuncin

a) La conectiva lgica no puede unir constituyentes intraproposicionales; la conjuncin, s.

b) En algunos casos, una disyuncin del lenguaje natural puede ser equivalente a una conjuncin, lo que es imposible en el lenguaje lgico:

3. Pueden venir tres o cuatro amigos

3. Implicacin

Se puede parafrasear mediante la expresin p es condicin suficiente para q. La implicacin definida es una implicacin material, por [la] que se entiende que no debe haber forzosamente ninguna conexin de significado entre el antecedente y el consecuente (Lyons, 1980:1977, 140).

Los casos en los que la proposicin es verdadera cuando el antecedente es falso parecen contraintuitivos. Sera ms lgico decir que su valor veritativo es indeterminado. Sin embargo, parece ser que la asignacin del valor V a dichos casos est determinado por el hecho de que in a two-valued logic, if a statement is not false, then it must be true: there is no other choice. (Partee et al 1990, 105). Tambin est determinado por su efectividad para distinguir argumentos vlidos e invlidos en matemticas, and thus carries the weight of tradition (ibid).

4. Vinculacin

Se puede traducir por s y slo si o es una condicin necesaria y suficiente para, mientras que el condicional se parafrasea por es una condicin suficiente para.

Se define como la conjuncin de dos implicaciones, (pq) & (qp).

A partir de estas reglas, y de su asignacin de valores de verdad, se pueden dividir todos los razonamientos en tres grupos: tautologas, o razonamientos necesariamente verdaderos; contradicciones, o razonamientos necesariamente falsos, y contingencias, que incluye al resto.

D. DEDUCCIONES LGICAS

En lgica, una deduccin es una cadena de inferencias sujeta a unas reglas que se rigen por las condiciones de verdad de las conectivas lgicas y por las relaciones de significado que se establecen entre ellas (tautologas, contradicciones, contingencias). Tmese el siguiente ejemplo (Cann 1992, 207-209):

A: Juan se comi el pastel envenenado

B: Qu raro! Acabo de verlo jugando al ftbol

A: Entonces, quin se ha comido el pastel?

1. a. Juan se comi el pastel envenenado.

b. Si Juan se comi el pastel envenenado, est muerto.

c. Juan est muerto.

d. Si Juan est jugando al ftbol, est vivo.

e. Juan est jugando al ftbol.

f. Juan est vivo.

g. Si Juan est vivo, no est muerto.

h. Juan no est muerto.

i. Juan est muerto y no est muerto.

j. Juan no se comi el pastel envenenado.

Las reglas de deduccin que se aplican son las siguientes:

1. a.psupuesto

b.p qpremisa

c. qdeduccin de 1.b. por modus ponens

d.r spremisa

e.rpremisa

f.sdeduccin de e) y f) por modus ponens

g.s ~qpremisa

h.~qdeduccin de f) y g) por modus ponens

i.q & ~qdeduccin de c) y f) mediante intr. de conjuncin

j.~preduccin al absurdo

p ( (q & ~q)

Se pueden distinguir los siguientes modelos de inferencia:

Eliminacin de la conjuncin: p & q p

Introduccin de la conjuncin: p, q p & q

Eliminacin de la disyuncin: p & q, p ( r, q ( r r

Eliminacin de la disyuncin 2: p q, ~p q

Modus ponens: p ( q, p q

Modus tollens: p ( q, ~q ~p

Introduccin del condicional: (p q) p ( q

Reduccin al absurdo: (p (q &~q)) ~p

Eliminacin de la negacin: ~~p p

E. Ejercicios

Comprubese la tabla precedente construyendo enunciados que se ajusten a las reglas de la misma.

4. Juan duerme y ronca.

5. Juan duerme o ronca.

6. Si tiene razn, le deben dinero (cond. suficiente).

6 O no tiene razn, o le deben dinero

7. Si cae agua del cielo, llueve (cond. necesaria).

-Este modelo permite construir un nmero infinito de proposiciones a partir de un nodo inicial U:

8. ~((pVq) &p)q

-Representacin arbrea

-Dicho lenguaje se puede interpretar semnticamente usando el conjunto V de valores de verdad. (Supngase que p =1 y q -= 0).

-Especificar cmo se obtiene la siguiente frmula:

9. ~~(~p ~(~p&~~q))

-Demostrar que (qr) V ~(qr) es una tautologa.

-Demostrar si ((~p Vq) & p) r es una tautologa.

III. LGICA DE PREDICADOS

La descomposicin de la proposicin simple da lugar a la aparicin de subunidades, de las que se ocupa la lgica de predicados.

- Juan come patatas

- Los elefantes tienen trompa

- Juan es hermano de Pedro

- Entre t y yo

- comer (juan, patata)

- tener (elefante, trompa)

- ser hermano (juan, pedro)

- entre (t, yo)

- f (x, y)

A. Elementos de la proposicin

-La proposicin contiene varios trminos: principalmente, predicados y argumentos.

Predicado:

Todo trmino usado en combinacin de un nombre [argumento] () con objeto de adscribir a ste alguna propiedad (Lyons 1977:1980, 143).

Un predicado, entonces, es una funcin que toma como argumento un individuo y da como resultado un valor de verdad (Garrido Medina, 65).

1. f(x) = y

1. C(j) = {1, 0}, siendo C= caminar y j = Juan.

El rango de predicados es ms amplio que el de los verbos. Adjetivos y nombres comunes tambin pueden serlo.

2. G(j) = Juan es grande

2. C(v)= Valencia es una ciudad

Los predicados se clasifican segn el nmero de argumentos que puedan poseer (este concepto es idntico al de valencia lingstica). Existen predicados mondicos, binarios, ternarios o, ms generalmente, n-arios. Tambin se puede hablar de predicados de n lugares:

3. C (x)= caminar

3. V (x,y) = ver

3. D (x,y,z) = dar

Argumento: cualquier trmino referido a individuos

Una proposicin es una funcin de sus argumentos. Frmulas como f(x), g(x), etc., indicarn la estructura de la proposicin, esto es, su forma lgica.

Los argumentos de una funcin estn ordenados, por lo que f (x,y) f(y,x).

Un clculo de predicados que afecte slo a las variables de nombre se denomina clculo de primer orden. Si, por el contrario, afecta tambin a las variables de predicado se denomina de segundo orden. Se puede realizar un clculo de predicados de orden-n (higher-order calculus).

Proposicin atmica es la representacin de un predicado con sus argumentos (f(x), g(x,y), h(x,y,z)). Proposicin bsica es una proposicin o su negacin. El par formado por una proposicin atmica y su negacin se denomina par bsico.

B. Vocabulario de la lgica de predicados.

4. f(3) = 6

4. f(x) = 2x

Igual que las funciones matemticas, la lgica de predicados puede representar sus componentes en dos niveles: concreto y abstracto. En el primer nivel se hablar de constantes; en el segundo de variables. As pues, existen constantes de predicado y de individuo [argumento] y variables de predicado y de argumento.

Vocabulario:

Constantes de individuo:a,b,c,, anConstantes de predicado:A, B, C,AnVariables de individuo:x, y, z,, xnVariables de predicado:P, Q, R,, PnVariables proposicionales:p, q, r,,pnConectivas:~, &, V, , Smbolos:( ), [ ]

C. Variables libres y ligadas.

5. P (x)

6. C (a)

donde C= caminar y a= Antonio

La diferencia entre 5 y 6 consiste en que, en el primer caso, se indica la existencia de un predicado de un argumento. En el segundo caso, se especifica que el predicado es caminar y que el argumento es Antonio. Por tanto, 6 es la forma lgica de la oracin Antonio camina, mientras que 5 es la frmula general de los predicados de un argumento.

Una forma lgica no siempre aparece totalmente especificada o totalmente inespecificada. Se puede especificar el argumento pero no el predicado o a la inversa:

7. P (a) = Antonio tiene la propiedad inespecificada P.

8. C (x) = Un individuo inespecificado camina.

En 7, nos encontramos con una frmula que tiene un lugar abierto para propiedades. En 8, con una que posee un lugar abierto para individuos.

Un lugar se puede llenar de dos formas: sustituyendo variables por constantes o ligando una variable mediante un operador. Los operadores ms sencillos son los cuantificadores existencial () y universal ():

9. x H(x) = existe un x que es hombre

10. x H(x) = todo x es hombre

11. x [H(x) C(x)] = todo hombre camina.

(Ver el tema de los cuantificadores para un tratamiento ms extenso de este tema).

Una proposicin es una forma lgica sin variables libres. Por el contrario, una frmula puede tener variables libres o no (Dowty et al. 1981, 57). Una frmula con variables libres suele ser llamada funcin proposicional (trmino de Russell), porque se la considera como una funcin que dar como resultado una proposicin cuando se sustituyan las variables por constantes:

Las frmulas con variables libres son funciones proposicionales [] que toman como argumento constantes (o variables ligadas) y dan como valor proposiciones (Garrido Medina, 71).

D. Sintaxis de la lgica de predicados

(Adaptado de Moreno Cabrera, 93):

a. Si P es un predicado n-ario y x1,,xn son argumentos, P (x1,,xn ) es una frmula (F).

b. Si F1 y F2 son frmulas, ~F, F1&F2, F1VF2,F1 F2, F1F2 son frmulas.

c. No hay ms frmulas que las definidas por las tres reglas precedentes.

Reglas:

F {~F, F&F, FVF,F F, FF}

F PntnP predicado n-ariot {con, var}

con {a,b,c,, an}

var {x, y, z,, xn}

E. Semntica de la lgica de predicados

Interpretar una oracin supone asignar una denotacin a las constantes de la proposicin y valores de verdad a las proposiciones, con lo que se constituye un modelo M. Queda as de manifiesto que el modelo forma parte del mecanismo interpretativo de la teora (es decir, de su semntica).

Todo modelo comprende (Cann 1993, 39 y ss.) a) una ontologa y b) una funcin de asignacin de denotaciones.

a) Define las entidades existentes en el modelo. Las entidades se agrupan en funcin de sus propiedades (como las clases de palabras) y se representan como constantes de predicado/ individuo. Las expresiones lgicas (&, v,, , ~) que, al igual que las constantes, tienen una interpretacin unvoca, se interpretan de acuerdo con el modelo.

b) Asigna constantes de predicado/individuo con entidades (obsrvese que, a diferencia de stas, las expresiones lgicas no reciben su interpretacin con respecto a esta funcin). Esta asignacin es convencional y arbitraria (recurdese Saussure) y vara con el modelo. La asociacin comprende una intensin y una extensin (vid. ms adelante para el concepto de intensin).

El modelo incluye, adems, una teora en la que se especifica cmo se interpretan las expresiones compuestas (y donde se encuentran, por tanto, las expresiones lgicas).

Formalizacin:

M =

donde V = conjunto de valores veritativos, U= individuos y F es la funcin que asigna denotaciones a predicados y argumentos.

U designa tanto a los elementos denotados por las constantes individuales como a los predicados. Un predicado de un lugar se incluye en U, uno de dos lugares en U2, uno de tres en U3, etc (porque los resultados se consideran productos del conjunto inicial. Vid. Garrido Medina, 31-32).

Reglas (Cann, 1993, 79):

Dado un modelo M,

a) Para toda constante , //M es F().

Esto equivale a decir que el valor de una expresin (el-perro) equivale a aplicarle una denotacin (/el-perro/M) mediante una funcin F(el-perro).

b) Si es un predicado de n-lugares y a1, an son constantes individuales, /(a1, an)/ M es 1 ssi // M. Si no, /(a1, an)/ M es 0.

Es decir, que la combinacin de un predicado (por ejemplo, un verbo) con sus argumentos slo ser verdadera si la extensin de los mismos coincide con la extensin del predicado.

c) si a y b son constantes individuales, /a=b/ M es 1 ssi /a/ M es extensionalmente idntico a /b/ M. Si no, /a=b/ M es 0.

Mediante esta regla se obtiene una construccin ecuativa.

d) Si es una frmula, /~/ M es 1, ssi // M es 0. Si no, /~/ M es 0.

e) Si y son frmulas, /& / M es 1, ssi // M es 1 y // M es 1. Si no, /& / M es 0.

f) Si y son frmulas, /v / M es 1, ssi // M es 1 o // M es 1. Si no, /v / M es 0.

g) Si y son frmulas, / / M es 1, ssi // M es 0 o // M es 1. Si no, / / M es 0.

h) Si y son frmulas, / / M es 1, ssi // M es // M. Si no, / / M es 0.

F. Ejemplificacin

Entidades del modelo M1:

M1 = {HOMBRE1 HOMBRE2 MUJER1, MUJER2, PERRO, GATO, LIBRO, PASTEL}

Funcin de asignacin de denotaciones:

a) Entidades

juandenotaHOMBRE1pedrodenotaHOMBRE2carmendenotaMUJER1nuriadenotaMUJER2tobydenotaPERRO

dulcedenotaGATO

el-quijotedenotaLIBRO

el pasteldenotaPASTEL

el-estudiantedenotaHOMBRE1la-cantantedenotaMUJER2el-gatodenotaGATO

b) Predicados

correrdenota{PERRO, GATO}

reirdenota{HOMBRE1, MUJER1}

odiardenota{PERRO}

locodenota

felizdenota{HOMBRE1, MUJER2, MUJER1}

amardenota{, , , , , , , , }

envevenardenota{}

comerdenota{}

leerdenota{}

dardenota{, , , ,

lloverdentota1

nevardenota0

Interpretacin:

12. Si Juan es el estudiante, entonces la cantante ama a Juan.

Interpretacin:

a) /juan = el estudiante amar (la-cantante, juan)/M es 1, ssi / juan = el-estudiante/M es 0 o /amar (la-cantante, juan)/M es 1.

b) / juan = el-estudiante/M es 1 ssi /juan/M es extensionalmente idntico a /el-estudiante/M.

c) /el-estudiante/M = F (el-estudiante) = HOMBRE1.

d) Luego, como HOMBRE1 es idntico a HOMBRE1, / juan = el-estudiante/M es 1.

e) /amar (la-cantante, juan)/M es 1 ssi< /la-cantante/M, /juan/M> /amar/M.

f) /amar/M = F (amar) = {, , , , , , , , }

g) /la-cantante/M = F (la-cantante) = MUJER2.h) / juan/M = F (juan) = HOMBRE1.i) Porque {, , , , , , , , }, /amar (la-cantante, juan)/M es 1.

IV. LGICA DE PREDICADOS CLSICA. LOS CUANTIFICADORES.

A. Por qu estudiar los determinantes?

Un lenguaje sin determinantes estara compuesto por

a) Expresiones referentes a individuos, y a sus propiedades y relaciones.

b) conectivos

c) modificadores (adverbios, Sprep, etc.).

Mediante este lenguaje se puede establecer una referencia con respecto a un conjunto de elementos:

1. X es un nmero par

Pero esta referencia es muy limitada:

2. Alguien de tu clase ha copiado = Juan ha copiado o Alicia ha copiado o o o..

Adems, necesitamos no slo referirnos a sino poner en relacin distintas clases. Y esto es precisamente lo que hacen los determinantes: poner en relacin de tipo cuantificativo dos subconjuntos del universo del discurso. El estudio de los cuantificadores llevar al clculo de predicados de primer orden.

B. Generalidades

Desde Frege, las proposiciones que contienen cuantificadores se analizan como si estuvieran compuestas por dos elementos; una estructura S + P y una cuantificacin externa a la misma:

3. Todos los italianos adoran a Dante.

3. (Todos los italianos) (ellos adoran a Dante).

3. Para todas las entidades, dichas entidades adoran a Dante.

Esto supone que el sujeto de la segunda estructura se realiza gracias al sustantivo de la primera, que adems est cuantificado (y recoge la idea de que, en el SN, los Det inciden sobre el sustantivo se sitan en la posicin [Esp, SN] de la teora X).

Desde el punto de vista semntico, esto quiere decir que, en la estructura S + P,el sujeto aparece como una variable, por lo que no se le puede asignar un valor de verdad. Para ello, es necesario determinar el alcance de la variable, funcin realizada por la porcin de la frmula situada a su izquierda. Se dir que el cuantificador liga la variable. Cuando existen varias variables (casos de cuantificacin mltiple, Lyons 147), todas ellas deben estar ligadas por un cuantificador:

4. Todos los nios leen todos los cuentos.

5. Un nio lee un cuento.

4. x y [(Nx & Cy) L (x,y)]

5. x y [(Nx & Cy) & L (x,y)]

Siguiendo el Principio de Composicionalidad, la posicin ms externa de los cuantificadores implica que las condiciones de verdad se establecen en primer lugar sobre la oracin y, en segundo lugar, con respecto a los valores asignados por el cuantificador a la variable. Esta es la razn por la que los cuantificadores se sitan a la izquierda de la frmula. Se dir que tienen mbito o alcance sobre ella (ingl. scope). El mbito de un cuantificador ser la porcin de la frmula afectada por el mismo.

En los casos de cuantificacin mixta (esto es, cuando los cuantificadores son distintos) su orden relativo se vuelve relevante; el segundo estar dentro del alcance del primero:

6. Es cierto, al menos para un cuento, que todos los nios lo leen.

7. Es cierto, para todos los nios, que leen al menos un cuento.

6. y x [Cy & (Nx L (x,y))]

7. x y [Nx (Cy & L (x,y))]

(Obsrvese que la unin de un predicado cuyas variables estn ligadas por el cuantificador existencial se representa mediante la relacin de adicin &, mientras que la unin de un predicado cuyas variables estn ligadas por el cuantificador universal se representa mediante la relacin de implicacin ).

La negacin afecta al dominio de los mismos:

8. Algunos hombres son no racionales

9. No se da el caso de que todos los hombres sean racionales

8. x [H(x) & ~R(x)]

9. ~[x (H(x) R(x))]

C. Sintaxis y semntica de los cuantificadores (Lcuant)

1. Vocabulario

Se aade al lenguaje anterior el conjunto Q:

Q = {}

donde = cuantificador universal y = cuantificador existencial.

2. Sintaxis

Se aaden al lenguaje anterior las siguientes reglas:

a) Si es una frmula y u una variable, u es una frmula.

b) Si es una frmula y u una variable, u es una frmula.

3. Semntica

En este lenguaje, se aade la nocin de satisfaccin de una frmula mediante asignacin de objetos a variables (Tarski) o, lo que es lo mismo, verdad de una frmula con respecto a una asignacin de valores a variables (Dowty et al 1981, 57).

Se parte del modelo anterior

M =

enriquecido con una funcin g que asigna individuos a variables (VAR indica la variable):

g = VAR I

As, las constantes se interpretarn con respecto a los hechos y las variables con respecto a una asignacin de valores:

a) si u es una variable individual de Lcuant, /u/M,g = g(u)

b) si es una constante no lgica de Lcuant, //M,g = F()

Las restantes reglas tambin se relativizan con respecto a gc) Si es un predicado de n-lugares y a1, an son constantes individuales, /(a1, an)/M,g es 1 ssi //M,g. Si no, /(a1, an)/M,g es 0.

d) si a y b son constantes individuales, /a=b/M,g es 1 ssi /a/M,g es extensionalmente idntico a /b/M,g. Si no, /a=b/M,g es 0.

e) Si es una frmula, /~/M,g es 1, ssi //M,g es 0. Si no, /~/M,g es 0. Se procede de idntica forma con las frmulas /& /, /v /, / / y / /.

y se aaden las siguientes:

f) Si es una frmula y u VAR, entonces /u/M,g =1 ssi para toda asignacin de valores g, exactamente igual a g excepto en el individuo asignado a , tal que /x/M,g =1.

g) Si es una frmula y u VAR, /u/M,g =1 ssi existe alguna asignacin de valores g, exactamente igual a g excepto en el individuo asignado a , tal que /x/M,g =1.

Para comprender el funcionamiento del aparato formal diseado, considrese el siguiente ejemplo (Chierchia-Mcconnell-Ginet 1990, 99 y ss.):

M2 =

U = {0, 3, 9}

F(j) = 0

F(m) = 9

F(P) = {3, 9}

F(Q) = {, , , }

F(G) = conjunto de elementos tal que x + y = z, es decir, {, , , , }.

g1 = x0

y3

z9

Computar las condiciones de verdad de 10:

10. x P(x)

x P(x)/M2,g = 1 ssi para algn u U /P(x)/M2,g[u/x] = 1. Se comienza por asignar arbitrariamente 3 a x, es decir, g1[3/x]. Se trata de una asignacin de valores idntica a g excepto para x:

g1 = x3

y3

z9

/P(x)/M2,g[3/x] = 1 ssi /x/M2,g[3/x] /P/M2,g[3/x]

Por su parte, /x/M2,g[3/x] /P/M2,g[3/x] ssi g1 [3/x] x F(P).

Y g1 [3/x] x F(P) ssi 3 {3, 9}.

Como esto es as, x P(x)/M2,g = 1

The process of evaluation just illustrated is, of course, tedious. But the point is to come up with a formal semantics for quantification that will work in every possible case of any complexity whatsoever, and this one does. Quantifiers are construed as instructions to check assignments to the variables that they bind: how many assignments must yield a value of 1 is what each quantifier specifies. (Chierchia y McConnell-Ginet 1990, 104).

D. Apndice

El tratamiento de los cuantificadores realizado hasta el momeno se inserta dentro de la lgica de predicados clsica (la nocin de modelo, sin embargo, no estara incluida en el mismo. Cf. el tratamiento de este tema en Deao 1975). A continuacin, se incluyen algunas nociones que completan este acercamiento:

1. El tratamiento del artculo determinado, segn Russell

El reducido vocabulario de la lgica de predicados dificulta el tratamiento formal del artculo definido, en su lectura particularizadora. Sin embargo, el estudio de las expresiones definidas [SN el X] es central en filosofa y en semntica de la oracin. Como se sabe, el artculo es un Determinante que indica una interseccin entre conjuntos que comprende un nico miembro. Russell, en 1905, propuso la siguiente traduccin formal del artculo:

11. El perro ladr

11. x [P(x) & (y) [P(y) (x=y)] & L (x)]

Se parte de la idea de que un sintagma nominal de la forma [SN el X] es una expresin compuesta desde el punto de vista lgico y que se combina con un predicado para hacer verdadera una frmula ssi existe exactamente una entidad que satisface el predicado. En 11, P(y) define el predicado ser perro y [P(x) & (y) [P(y) (x=y)] afirma que, si existe alguna entidad que sea perro tiene necesariamente que ser la anteriormente definida, con lo que se obtiene la descripcin definida el perro a partir del predicado anterior.

2. La cuantificacin restringida

La forma lgica de las proposiciones con cuantificadores se aleja de su representacin sintctica. En sintaxis, se parte de la idea de que stos restringen el universo del discurso para referirse a los individuos a los que se aplica el SN. Su forma lgica, sin embargo, representa al sustantivo como a un predicado:

12. x [G(x) & M(x)] (Un gato malla)

13. [x (G(x) M(x))] (Todo gato malla)

Adems, la diferencia de conectores no parece corresponderse con la estructura sintctica de los SSNN formados por todos o por algn. Se puede hacer explcita la dependencia del cuantificador con respecto al sustantivo mediante la cuantificacin restringida. Se denomina restringida porque indica los valores de la variable para los que es verdadera una determinada funcin. Adems, sustituye las conectivas lgicas, con lo que se consigue un mayor paralelismo con la estructura sintctica de dichas expresiones:

12. x [F(x) & G(x)] [x:F(x)] G(x)

13. [x (F(x) G(x))] [x:F(x)]G(x)

BIBLIOGRAFA

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Valds Villanueva, Luis Miguel (ed) (1991): La bsqueda del significado. Madrid, Tecnos.

La diferencia entre los valores veritativos depende de que nos enfrentemos a la disyuncin inclusiva (Quieres pastel o fruta?) o a la exclusiva (Vienes o te vas?). En el primer caso, el valor es 1; en el segundo, 0.

O en la posicin [N, SDet], si seguimos propuestas ms recientes.

Lo que se afirma en realidad es que existe por lo menos un perro, que si algo es perro tiene que ser ese mismo perro, y no hay otro, y, tambin, que ese perro ladra (Garrido Medina, 68). Esta propuesta de Russell se refera a los casos en que una funcin proposicional (p.ej., ser perro), fuese unitaria, es decir, tuviese un nico argumento