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Señales y Sistemas
Collection Editor:
Richard Baraniuk
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Señales y Sistemas
Collection Editor:
Richard Baraniuk
Authors:
Thanos Antoulas
Richard Baraniuk
Steven J. Cox
Benjamin Fite
Roy Ha
Michael Haag
Don Johnson
Ricardo Radaelli-Sanchez
Justin Romberg
Phil Schniter
Melissa Selik
JP Slavinsky
Ricardo von Borries
Translated By:
Fara Meza
Erika Jackson
Online:
C O N N E X I O N S
Rice University, Houston, Texas
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T
t T
f (t) = f (T + t)
f (t) T
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T 0
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f (t) f (t) = f (−t)
f
f (t) = −f (−t)
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f (t) = 1
2 (f (t) + f (
−t)) +
1
2 (f (t)
−f (
−t))
f (t) + f (−t) f (t) − f (−t)
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e (t) = 12
(f (t) + f (−t))
o (t) = 12
(f (t) − f (−t))
e (t) + o (t) = f (t)
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f (t) = 0 t < t1 < ∞ f (t) = 0 t > t1 > −∞ t1
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f (t)
t1 < f (t) < t2
t1 > −∞ t2 < ∞ f (t)
∞ ≤ f (t) ≤ −∞
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f (t − T )
f
T
f (at) f a
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f (t) f (− (at))
f (t)
t
at
f (at)
t
t − ba
f `
a`
t − ba
´´ = f (at − b)
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x (t) = Acos(ωt + φ)
A ω φ ωt 2πf t
T = 2π
ω
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A = 2
w = 2
φ = 0
f (t) = Best
s σ ω
s = σ + jω
f (t) = Beαt
B α α
• α 0
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t = 0
δ (t)
∞−∞
δ (t) dt = 1
u (t) =
0 t < 01 t ≥ 0
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t
1
t
1
r (t) =
0
t < 0tt0
0 ≤ t ≤ t01 t > t0
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t
1
t0
a − 2
a + 2
1
limit→0
δ (t) ∞−∞
δ (t) dt = 1
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f (t) δ (t) = f (0) δ (t)
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∞−∞ f (t) δ (t) dt =
∞−∞ f (0) δ (t) dt
= f (0) ∞−∞ δ (t) dt= f (0)
δ (t − T ) δ (t) f (T )
• δ (αt) = 1|α|δ (t)• δ (t) = δ (−t)• δ (t) = d
dtu (t) u (t)
δ [n] =
1 n = 00
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k
s [k]
k
δ [n
−k]
s [n] =∞
k=−∞s [k] δ [n − k]
δ (t) δ [n]
x
ex = 1 + x1
1! +
x2
2! +
x3
3! + . . .
ex =∞k=0
1
k!xk
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ex1+x2 = ex1ex2
s
f (t) = Aest
= Aejωt
A t s s = jω
Aejωt = Acos(ωt) + j (Asin(ωt))
s s = σ + jω
f (t) = Aest
= Ae(σ+jω)t
= Aeσtejωt
S
S = Aeσt
f (t) = Aeσt (cos(ωt) + jsin(ωt))
Re (f (t)) = Aeσt
cos(ωt)
Im (f (t)) = Aeσtsin(ωt)
∼
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f [n] = BesnT
= BejωnT
nT
cos(ωt) = ejwt + e−(jwt)
2
sin(ωt) = ejwt − e−(jwt)
2 j
ejwt = cos(ωt) + jsin(ωt)
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t = 0
σ
σ
σ
σ ω ω
s
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s
s
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s (n) n = {. . . , −1, 0, 1, . . . }
δ (n − m) n = m
n
sn
1
…
…
s (n) = ej2πfn
s (n) = Acos(2πf n + φ)
f − 1
2, 12
ej2π(f +m)n = ej2πfnej2πmn
= ej2πfn
2π
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δ (n) = 1 n = 00
1
n
δn
m s (m) m δ (n − m)
s (n) =∞
m=−∞
s (m) δ (n−
m)
s (n) {a1, . . . , aK } A
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t = 0
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H
H (kf (t)) = kH (f (t))
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H
H (f 1 (t) + f 2 (t)) = H (f 1 (t)) + H (f 2 (t))
H (k1f 1 (t) + k2f 2 (t)) = k2H (f 1 (t)) + k2H (f 2 (t))
H H (f (t)) = y (t) H T
H (f (t − T )) = y (t − T )
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t0 y (t0)
t0
x (t) y (t)
|y (t) | ≤ M y < ∞
|x (t) | ≤ M x < ∞ M x M y
t
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x
L
y
x
α α
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α
β
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t
t0
t0
x (t) x (t − t0)
x (t) x (t − t0)
x (t − t0) t0
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t0
h (t) t < 0
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f (t) y (t)
dny (t)
dtn + an−1
dn−1y (t)dtn−1
+ · · · + a1 dy (t)dt
+ a0y (t) = bmdmf (t)
dtm + · · · + b1 df (t)
dt + b0f (t)
ni=0
aidiy (t)
dti =
mi=0
bidif (t)
dti
an = 1
y (t) f (t)
y (t) = yi (t) + ys (t)
yi (t) ys (t) f (t)
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yi (t)
y0 (t)
n
i=0ai
diy0 (t)
dti = 0 , an = 1
D Dn + an−1Dn−1 + · · · + a0
y0 (t) = 0
y0 (t) 0 t y0 (t) ,
dy0(t)dt
, d2y0(t)dt2
, . . .
est s ∈ C
y0 (t) = cest , c = 0
c
s
ddty0 (t) = csest d2
dt2 y0 (t) = cs2est . . .
Dn + an−1Dn−1 + · · · + a0
y0 (t) = 0
c
sn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0
est = 0
t
sn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0 = 0
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s {s1, s2, . . . , sn}
(s
−s1) (s
−s2) (s
−s3) . . . (s
−sn) = 0
c1es1t
c2es2t
. . .
cnesnt
y0 (t) = c1es1t + c2e
s2t + · · · + cnesnt {c1, . . . , cn}
yi (t) = 0 yi (t)
ni=0
aidiy (t)
dti =
mi=0
bidif (t)
dti
f (t) f (t)
f (t)
h (t)
m < n
dny (t)
dtn + an−1
dn−1y (t)dtn−1
+ · · · + a1 dy (t)dt
+ a0y (t) = bmdmf (t)
dtm + · · · + b1 df (t)
dt + b0f (t)
QD [y (t)] = P D [f (t)]
QD [·] y (t)
QD [y (t)] = dny (t)
dtn + an−1
dn−1y (t)dtn−1
+ · · · + a1 dy (t)dt
+ a0y (t)
P D [·] f (t)
h (t) = bnδ (t) + P D [yn (t)] µ (t)
m < n bn = 0 yn
yn−1 (0) = 1, yn−2 (0) = 1, . . . , y (0) = 0
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x (t) h (t)
y (t) =
∞
−∞
x (τ ) h (t − τ ) dτ
∗
y (t) = x (t) ∗ h (t)
τ = t − τ
x (t) ∗ h (t) = h (t) ∗ x (t)
∼
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f (t)
h (t)
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Æ
f (τ )
t
τ
f (t)
δ ∆ (t) =
1∆ − ∆2 < t < ∆20
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limit∆→0 δ ∆ (t) → h → limit∆→0 h (t)limit∆→0
δ ∆ (t − n∆) → h → limit∆→0
h (t − n∆)limit∆→0
f (n∆) δ ∆ (t − n∆) ∆ → h → limit∆→0
f (n∆) h (t − n∆) ∆limit∆→0
n f (n∆) δ ∆ (t − n∆) ∆ → h → limit∆→0
n f (n∆) h (t − n∆) ∆ ∞−∞ f (τ ) δ (t − τ ) dτ → h →
∞−∞ f (τ ) h (t − τ ) dτ
f (t) → h → y (t) = ∞−∞ f (τ ) h (t − τ ) dτ
t t t
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x (t) h (t)
τ h (t − τ )
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h (t − τ )
h (t − τ )
x (t)
t
h (t − τ ) t
t < 0 0 ≤ t < 1 1 ≤ t < 2 t ≥ 2
x (t) h (t
−τ ) 0
0 ≤ t < 1
y (t) = t0
1dτ
= t
1 ≤ t < 2 h (t − τ ) t − 1
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y (t) =
1
t−1 1dτ
= 1−
(t−
1)
= 2 − t
y (t) =
0 t < 0
t 0 ≤ t < 1
2 − t 1 ≤ t < 20 t ≥ 2
x (t) ∗ h (t)
x (t)
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f 1 (t) ∗ (f 2 (t) ∗ f 3 (t)) = (f 1 (t) ∗ f 2 (t)) ∗ f 3 (t)
y (t) = f (t) ∗ h (t)= h (t) ∗ f (t)
y (t) =
∞−∞
f (τ ) h (t − τ ) dτ
τ = t − τ
y (t) = ∞−∞ f (t − τ ) h (τ ) dτ
= ∞−∞ h (τ ) f (t − τ ) dτ
f (t) ∗ h (t) = h (t) ∗ f (t)
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f 1 (t)
∗(f 2 (t) + f 3 (t)) = f 1 (t)
∗f 2 (t) + f 1 (t)
∗f 3 (t)
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c (t) = f (t) ∗ h (t)
c (t − T ) = f (t − T ) ∗ h (t)
c (t − T ) = f (t) ∗ h (t − T )
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f (t) ∗ δ (t) = f (t)
δ (t)
f (t) ∗ δ (t) = ∞−∞
δ (τ ) f (t − τ ) dτ
δ (τ ) = 0 τ
= 0
f (t) ∗ δ (t) = ∞−∞ δ (τ ) f (t) dτ = f (t)
∞−∞ δ (τ ) dτ
δ (τ ) τ = 0
f (t) ∗ δ (t) = f (t)
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Duracin (f 1) = T 1 (f 2) = T 2
Duracin (f 1
∗f 2) = T 1 + T 2
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(f 1) = N 1 (f 2) = N 2
Duracin (f 1 ∗ f 2) = N 1 + N 2 − 1
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f h f ∗ h
A
|f (t) | < A
h (t)
∞
−∞ |h (t)
|dt <
∞
h (n)
∞n=−∞
|h (n) | < ∞
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jω