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LÓGICA EL PENSAMIENTO COMO OBJETO DE LA LÓGICA.- Partiremos señalando que hay dos grandes esferas de objetos: 1. La de existencia real, los llamados objetos reales, a la que pertenece las cosas que existen independiente de nuestro pensamientos, como el ;árbol que crece en nuestro jardín, el aire que respiramos, el sonido de la campana, etc. 2. La de existencia ideal, a la pertenecen aquellos objetos que no tienen existencia independiente de nuestros pensamientos, es decir que solo tienen existencia mental (objetos ideales), como el triángulo que imaginamos, el número que se nos ocurra, la semejanza o diferencia que establecemos entre dos cosas, etc. Para nuestro caso, lo que más nos interesa es la de los objetos ideales, los cuales se han determinado en tres grupos: El que forman las relaciones que se establecen entre los propios objetos: relaciones de semejanza, de diferencia, de cantidad, etc. El que forman los objetos matemáticos: el punto, la línea, los números, etc. Los que integran los lógicos: es decir los pensamientos en cuanto tales: el juicio, los raciocinios, etc. Cuando el sujeto cognoscente se enfrenta con los objetos, de cualquier clase que éstos sean, y los aprehen- de, se produce el conocimiento, que no es otra cosa que la aprehensión de los objetos por el sujeto. Esto se efectúa mediante el pensamiento, que “visto desde el sujeto es la modificación que el sujeto ha producido en si mismo al salir hacia el objeto para apoderarse de él, y visto desde el objeto es la modificación que el objeto, al entrar, por decirlo así, en el sujeto, ha producido en los pensamientos de este”. Si el pensamiento es una modificación experimentado por el sujeto, el pensamiento, es en primer término una vivencia de aquel. Pero en todo pensamiento se realiza el conocimiento de un sujeto, luego en todo pensamiento “se expresa algo que no es el mismo”, por lo que resulta indispensable que tenga una estructura y una función. Pues bien, el pensamiento como vivencia, corresponde a la Psicología, como estructura a la lógica; y como función, a la teoría del conocimiento. Como todo pensamiento se refiere a un objeto (de cualquiera de las clases de objeto que hemos señalado), este objeto del pensamiento en el que se proyecta su intención, se llama objeto intencional correspondiendo su estudio a las diversas ciencias que el hombre ha constituido. Delimitando el campo de la lógica del que corresponde a las otras disciplinas afines, para lo cual señalamos que, mientras el pensamiento como vivencia es un fenómeno subjetivo y psíquico de existencia real y temporal, objeto de la Psicología como ya hemos dicho, como estructura es formal, de existencia ideal ajeno al espacio y al tiempo y objeto de la lógica, en tanto que 1

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LÓGICA

EL PENSAMIENTO COMO OBJETO DE LA LÓGICA.-

Partiremos señalando que hay dos grandes esferas de objetos:

1. La de existencia real, los llamados objetos reales, a la que pertenece las cosas que existen independiente de nuestro pensamientos, como el ;árbol que crece en nuestro jardín, el aire que respiramos, el sonido de la campana, etc.

2. La de existencia ideal, a la pertenecen aquellos objetos que no tienen existencia independiente de nuestros pensamientos, es decir que solo tienen existencia mental (objetos ideales), como el triángulo que imaginamos, el número que se nos ocurra, la semejanza o diferencia que establecemos entre dos cosas, etc. Para nuestro caso, lo que más nos interesa es la de los objetos ideales, los cuales se han determinado en tres grupos:

El que forman las relaciones que se establecen entre los propios objetos: relaciones de semejanza, de diferencia, de cantidad, etc.

El que forman los objetos matemáticos: el punto, la línea, los números, etc. Los que integran los lógicos: es decir los pensamientos en cuanto tales: el juicio, los raciocinios, etc.

Cuando el sujeto cognoscente se enfrenta con los objetos, de cualquier clase que éstos sean, y los aprehen- de, se produce el conocimiento, que no es otra cosa que la aprehensión de los objetos por el sujeto. Esto se efectúa mediante el pensamiento, que “visto desde el sujeto es la modificación que el sujeto ha producido en si mismo al salir hacia el objeto para apoderarse de él, y visto desde el objeto es la modificación que el objeto, al entrar, por decirlo así, en el sujeto, ha producido en los pensamientos de este”.

Si el pensamiento es una modificación experimentado por el sujeto, el pensamiento, es en primer término una vivencia de aquel. Pero en todo pensamiento se realiza el conocimiento de un sujeto, luego en todo pensamiento “se expresa algo que no es el mismo”, por lo que resulta indispensable que tenga una estructura y una función. Pues bien, el pensamiento como vivencia, corresponde a la Psicología, como estructura a la lógica; y como función, a la teoría del conocimiento.

Como todo pensamiento se refiere a un objeto (de cualquiera de las clases de objeto que hemos señalado), este objeto del pensamiento en el que se proyecta su intención, se llama objeto intencional correspondiendo su estudio a las diversas ciencias que el hombre ha constituido.

Delimitando el campo de la lógica del que corresponde a las otras disciplinas afines, para lo cual señalamos que, mientras el pensamiento como vivencia es un fenómeno subjetivo y psíquico de existencia real y temporal, objeto de la Psicología como ya hemos dicho, como estructura es formal, de existencia ideal ajeno al espacio y al tiempo y objeto de la lógica, en tanto que como función es la relación que se establece entre el objeto cognoscible y el sujeto cognoscente que lo aprehende, objeto de la teoría del conocimiento.

El objeto de la lógica, los pensamientos, es decir su estructura y forma, sin que intervenga su contenido y significado, constituyen objetos ideales estando comprendido dentro del estudio de ésta los elementos lógicos o conceptos, las estructuras simples o juicios y las estructuras complejas o razonamientos, además de los principios en que descansan todos estos contenidos, los cuales tienen a su vez como fundamento las leyes generales de los objetos.

PENSAMIENTO.-

Si reflexionamos acerca de la peculiaridad de los pensamientos, notamos que todo pensamiento expresa algo, se refiere a algo, tiene un objeto acerca del cual piensa. No existe un pensamiento vacío de contenido. Pero, recíprocamente, todo pensamiento tiene una forma en que ese pensamiento es expresado. Por consiguiente, en el proceso real del pensar hemos de distinguir, de acuerdo con Pfander, cinco factores:

Un sujeto pensante que produce el pensamiento. El pensar mismo, considerado como proceso psíquico que se desarrolla en el tiempo, y que puede ser corto o

largo, para cesar luego. Un pensamiento determinado, que es su contenido, fruto del pensar. El objeto al que se refiere el pensamiento y el sujeto pensante. La forma verbal en que es expresado el pensamiento.

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Definición.- Es la representación mental de un objeto para buscar y generalizar la realidad.

El pensamiento, una vez elaborado y fijado por escritura, queda permanentemente.Formas del pensamiento.- Estas formas del pensamiento son reflejo material de la realidad en el cerebro del hombre, sus propias relaciones reflejando lo que existe entre los objetos del mundo circundante. Estas formas son:

Concepto.- Representación mental de un objeto sin afirmar ni negar nada de él. Juicio.- Cuando afirmamos o negamos la relaciones que existe entre dos o mas ideas. Raciocinio.- Cuando se relacionan dos o más juicios pata obtener conocimiento nuevo

El Concepto.

Es la representación mental de un objeto sin afirmar ni negar nada de el. Representación mental, superior a la simple imagen. No afirma ni niega, es neutra, no se refiere a la existencia del objeto; en eso difiere del juicio. Es una representación, expresión o significado.

Características:

1.- la representación mental (idea)

2.- La expresión material (término)

3.- El significado (concepto)

Comprensión de un concepto, se refiere a una idea o a las notas fundamentales de esa idea, es decir, a la esencia del concepto.

Extensión es una amplitud de conceptos e ideas que se aplican o se relacionan con una sola idea o concepto. todos aquellos entes que entran en la comprensión de un objeto.

El JUICIO.-

Definición.-Es el acto central del entendimiento humano por el cual afirmamos o negamos la relación de los

contenidos en el ser. Es la afirmación o negación del ser de las cosas. Es la relación enunciativa entre

conceptos.

Elementos del Juicio

1.      Sujeto.- es el concepto de quien se predica o dice algo.

2.      Predicado.- Es el concepto que se aplica al sujeto.

3.      Nexo Verbal.- Es la expresión que nos da la relación necesaria con el ser.

Ejemplo:

Juicio: el hombre es racional

Sujeto: el hombre

Predicado: racional

Cópula: es

Importancia del Juicio

El juicio es un pensamiento completo autónomo.

Las ciencias se componen principalmente por juicios.

El juicio es la cede de la verdad.

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Clases de Juicios

1.  Según su Cantidad

Universales.- Aquellos que se refieren a una totalidad.

Particulares.- Aquellos que se refieren a varios objetos sin llegar a la totalidad.

Singulares.- Se refieren a la unidad.

2.   Según su Cualidad o Calidad

Afirmativos.- Expresan la convivencia entre sujeto y predicado.

Negativos.- Expresan la no convivencia entre sujeto y predicado.

3.      Según su Relación

categóricos.- Los que no están sujetos a ninguna relación.

Hipotéticos.- Los que están sujetos a una condición extrínseca.

Disyuntivos.- Los que están sujetos a una condición intrínseca.

4.   Según su Modalidad

Apodícticos.- Aquellos que tienen una validez necesaria.

Asertórico.- Aquellos que tienen una validez de hecho.

Problemáticos.- Aquellos que tienen una validez posible o probable.

5.   Según su oposición

Contrarios.- Son aquellos que difieren en calidad y ambos son universales.

Sub contrarios.- Difieren en calidad pero ambos son universales

Subalternos.- Difieren en Cantidad pero no en calidad.

Contradictorios.- Difieren tanto en calidad como en cantidad.

6.   Según su Predicabilidad

Escencia.- Aquellos en los que el predicado señala notas escenciales del sujeto.

Existencia.- Son aquellos en el que el predicado enuncia la forma de existir o de presentarse el

sujeto.

Analíticos.- Aquellos en los que el predicado se obtiene del análisis del sujeto.

Sintéticos.- Son aquellos en los que el predicado no se obtiene del análisis del sujeto.

proposicional y la cuantificacional.

EL RACIOCINIO.-

Una característica exclusiva y esencial de los seres humanos es su “racionalidad”. Somos racionales porque

pensamos. La razón se rige por tres o cuatro principios lógicos fundamentales:

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Identidad (A es A)

No contradicción (A no puede ser no A)

Tercero excluido (o A o no A)

De Razón Suficiente. (Laibniz) Todas las cosas deben tener una razón por la cual son y no son otra cosa. Nada sucede y nada existe sin una razón suficiente para que así sea.

Todo juicio que pretende ser verdadero debe tener una razón a partir del objeto a que se refiere. Causa – Efecto.

Por eso, pensar lógica y racionalmente es pensar a base de esos principios.

El pensamiento de los seres humanos esta ligado al lenguaje, a la palabra; las cuales son signos lingüísticos

que tiene dos elementos: el significante y el significado.

El significante el la parte material del signo.

El significado o concepto es la parte mental.

Tener logos significa que los seres humanos pensamos racionalmente por que utilizamos conceptos, juicios y

razonamientos.

La Inferencia o Razonamiento.

Definición.- Es la operación mental por la cual podemos obtener un conocimiento desconocido a partir de uno previo. Es el acto por el cual la mente deduce una verdad desconocida a partir de una conocida. Cuando emitimos nuestros pensamientos formamos una cadena de juicios, ya que uno provoca necesariamente otro y así sucesivamente, a esta cadena o serie de pensamientos le llamamos "razonamiento".

Tipos de Razonamiento.

Inductivo.- Aquel por el cual la mente obtiene un juicio universal a partir de uno particular. Deductivo.- Aquel por el cual se obtiene un juicio particular a partir de uno universal. Por Analogía.- Es el acto por el que la mente analiza un grupo de elementos y objetos que tienen

características comunes, y se puede concluir que las restantes características también serán comunes.

Por Mayoría de Razón.- Es aquel por el cual la mente infiere una conclusión partiendo de un pensamiento de menor jerarquía, aplicándolo a un grupo mayor de elementos que necesariamente comparten las mismas características.

Por Minoría de Razón.- El acto por el cual la mente infiere una conclusión válida partiendo de un grupo de elementos mayor y aplicando dicha conclusión a un grupo menor que necesariamente comparte las mismas características.

EL CONOCIMIENTO.-

Elementos y Procesos de conocimiento.-

El conocimiento es un proceso común a los seres humanos. Todos conocemos, con diferentes grados de profundidad, guiados por diversos intereses, valores, gustos, creencias y concepciones, etc., múltiples aspectos del mundo que nos rodea.

Percibir, saber, hacer, saber que…, reconocer, notar, informar, entender, etc., son modos de conocer.

Definición.- El conocimiento es el resultado de un proceso en el que un sujeto que conoce relaciona o actúa sobre el objeto de interés. En el conocimiento el sujeto tiene una imagen sensible o una representación mental del objeto.

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El conocimiento supone que un sujeto (ser humano) se relacione con un objeto, obteniendo representaciones mentales y expresiones, dentro de una sociedad y una época determinada.

OPERACIÓN REPRESENTACIÓN EXPRESIÓN CONTENIDO

Percibir Imagen Dibujos Apariencia externa

Conceptualizar Concepto Términos Esencial universal

Enjuiciar Juicio Proposiciones Verdadero o falso

Razonar o raciocinio RazonamientoRazonamientos o

argumentosValido o invalido,

correctos o no

Tipos de conocimiento.-

1. El conocimiento directo: intuitivo y sensible

El sujeto de manera intuitiva, directa e inmediata, a través de los sentidos, de sensaciones o

percepciones, se relaciona con el objeto y capta una imagen sensible del mismo. Solo conoce por

presencia.

El conocimiento directo sensible es la base de otras modalidades de conocimiento e implica, en

consecuencia, lo siguiente:

- Que el sujeto capte, maneje o padezca directamente al objeto.

- Que el sujeto tiene experiencias variadas sobre el objeto hasta integrar una unidad del mismo. De ello

depende la complejidad y riqueza del conocimiento.

- Que el sujeto pueda dar una respuesta intelectual de su conocimiento sobre el objeto.

- Que el sujeto puede justificar su conocimiento:

+ por la experiencia directa

+ señalando como lo adquirió

+ demostrando saber hacer

+ proporcionando razones suficientes y objetivas.

2. El conocimiento indirecto: por referencia (o discursivo) y racional

el sujeto de manera discursiva (referencial) o racional, indirectamente y mediante símbolos, a través del

pensamiento y el lenguaje, se relaciona con el objeto y obtiene una representación mental del mismo con

conceptos, juicios y razonamientos. Conoce por representación.

este conocimiento racional puede ser: general o universal y abstracto.

Existen, en consecuencias, dos modos del saber: el saber hacer (saber +verbo en infinitivo) y el saber

proposicional (saber que + proposición).

Saber algo de un objeto implica conocerlo. El conocer es sobre el objeto mientras que el saber puede

referir acciones o propiedades del objeto.

Estructura del conocimiento.-

Los sentidos.- son los órganos con los cuales conocemos al mundo que nos rodea, se dan con dos

tipos de conocimientos:

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1. Sensaciones; estímulos externos de cada sentido.

2. Percepciones; captan la realidad que nos rodea.

por lo general son 5 sentidos: vista, olfato, gusto, tacto y oído.

Pensamiento y lenguaje.-el pensamiento representativo es una estructura del conocimiento que se

origina con la constitución del lenguaje y de las actividades simbólicas, esta íntimamente ligado con el

lenguaje.

En el lenguaje hay 3 niveles básicos: Sintáctico, semántico y Pragmático.

Con el lenguaje el pensamiento: Expresa y determina el conocimiento; representa los objetos

desligándose del conocimiento directo sensible, mediante conceptos; se hace explicito, reflexivo,

discursivo y explicativo; se torna abstracto.

CONCEPTO DE LÓGICA.-

La lógica es una de las ciencias más antiguas, es llamado también como la ciencia de los pensamientos. Su denominación está directamente relacionada con la palabra griega logos cuyo significado es “pensamiento”, “razón” o “conocimiento”, se trata del estudio de la forma en que funciona la facultad humana de pensar y razonar.El ser humano es un animal racional, la característica que distingue a los humanos del resto de los animales: la razón o logos. Los seres humanos somos animales con logos.¿que significa tener logos?

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LOGICA PROPOSICIONAL

1.1. NOCION DE LOGICA .-

En nuestro quehacer diario constantemente hacemos deducciones. Esto significa que cada conclusión que obtenemos se deduce de algo. Este algo o punto de partida se llama premisa.

Este proceso de pasar de un conjunto de premisas a una conclusión se llama deducción o inferencia. Cuando la conclusión se deduce correctamente del conjunto de premisas se dice que la inferencia es válida, en caso contrario la inferencia no es válida. Las leyes lógicas nos permiten saber si una inferencia es válida o no.

La lógica es una ciencia que estudia los métodos y las leyes que determinan la validez de la inferencia.

Históricamente la lógica antigua comenzó con Aristóteles de manera orgánica y sistemática, con un objetivo definido que es el análisis formal de los razonamientos en el siglo IV A. C.

Con Aristóteles, los estoicos y los escolásticos hicieron todo lo que se puede hacer de lógica sin salirse del lenguaje ordinaria. Con Liebniz en 1666, Boole en 1859, Frege, en 1879, nace la nueva lógica, y también la teoría de los conjuntos, con Cantor, en esa misma década los que emplean un lenguaje analítico. Pero fue recién con B. Russell y A. Whitehead entre los años 1861 y 1970 los que usaron un lenguaje simbólico.

En el estudio y desarrollo de la matemática contemporánea se sigue un proceso de razonamiento basado en el lenguaje con un sentido lógico. La lógica visto como el análisis del lenguaje es muy importante porque permite sistematizar y simbolizar principios y leyes del razonamiento humano.

Esta simbolización permite eliminar las ambigüedades del lenguaje usual, cuyo uso adecuado descarta las contingencias, simplifica y clarifica el proceso de razonamiento.

1.2. LENGUAJE Y PENSAMIENTO .-

Lenguaje es el sistema de signos con el cual se comunica una comunidad. O sea un medio o instrumento de comunicación entre los hombres de un pueblo.

Todo lenguaje como sistema tiene un conjunto de signos y reglas por las cuales se rige. Con él se expresan ideas, deseos, emociones, se hacen súplicas, se trasmiten informaciones y órdenes, etc.

El lenguaje cumple tres funciones básicas que son: la informativa, la expresiva y la directiva.

La función informativa. El lenguaje cumple una función informativa cuando describe un conjunto de hechos o acciones humanas que ocurren en la realidad, o sea en el mundo, consiste en comunicar información, para ello se vale de las oraciones imperativas o aseverativas, oraciones que se caracterizan por afirmar o negar algo. El lenguaje informativo describe hechos que ocurren en el mundo y nos permite razonar acerca de él. Por ejemplo :1) Las lluvias han provocado inundaciones en el norte del país.2) Por el oeste, el Perú limita con el Océano Pacífico.

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Cuando la información es cierta se dice que es verdadera, en caso contrario, se dice que es falsa. Según esto, la característica del lenguaje informativo es de ser verdadero o falso. Es el lenguaje de las ciencias.

La función expresiva. No todo lenguaje es informativo, cumple también una función expresiva cuando se usa para comunicar sentimientos, emociones o actitudes. El lenguaje expresivo es eminentemente subjetivo, los usamos diariamente cuando le decimos a alguien “que te vaya bien”, “cuídate”, “que regreses pronto”, etc. Por ejemplo : 1) i Felicidades ! Que tenga buenas vacaciones2) i Bravo ! Ganamos el partido.3) Dios mío, Dios mío, ¿Porqué me has desamparado?Estos ejemplos no trasmiten conocimiento sino expresan diversos estados de ánimo. En todos estos, el lenguaje no es verdadero ni falso.

La función activa o directiva. El lenguaje cumple una función directiva cuando se usa para dar órdenes o hacer pedidos, o con el propósito de originar una acción manifiesta. Por ejemplo :1) Prohibido fumar2) Al entrar, cierre la puerta3) ¿Cuánto vale este libro?El ejemplo (1) puede evitar una acción, el (2) puede originar una acción y el (3) es una pregunta que nos permite obtener una respuesta. Estas expresiones nada tienen que ver con la verdad o falsedad. Son frases que tienen que ver con acciones que hay cumplir y realizar. Solamente la función informativa es verdadera o falsa, por lo tanto, el lenguaje informativo es un lenguaje proposicional.

1.3. LENGUAJE CIENTIFICO .-

Es un lenguaje especializado que restringe la función del lenguaje básicamente a la información. Es un lenguaje que pretende ser claro, preciso y exacto. Este lenguaje es mas bien preciso en las ciencias formales como las matemática y la lógica. La ciencia crea lenguajes artificiales, cuando es necesario inventa palabras, signos matemáticos, símbolos químicos, etc. Por ejemplo :1) “H” designa el elemento de peso atómico unitario2) “+” designa la suma de cantidades, etc.

1.4. LENGUAJE LOGICO .-

Es un lenguaje simbólico. Este lenguaje es preciso, exacto y universal, por que tiene una sola interpretación y su significado es único para todos. El lenguaje simbólico es conven- cional, artificial y sólo puede expresarse por escrito. Por ejemplo :1) 2 + 3 = 5 : p2) ( p q ) ~ r

Desde este punto de vista, el lenguaje lógico o simbólico es puramente formal, independiente de todo contenido semántico. Por ejemplo en el análisis lógico de un razonamiento o inferencia se toma en cuenta únicamente la estructura formal de las proposiciones y que estas en el interior de la inferencia están unidos mediante términos llamados conectivos o términos de enlace y, será válida o invalida solamente en función de su forma lógica.

El objetivo definido de la lógica es el análisis formal de los razonamientos a su vez esto tiene la finalidad de deslindar la validez o invalidez de la inferencia.

2. PROPOSICIONES:

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2.1. ENUNCIADO.-

Sean las frases y oraciones siguientes que escuchamos o escribimos a menudo :

1) Lima es al capital del Perú. 2) ¡Que linda mujer!

3) 41 es un número impar. 4) ¿Qué hora es? 5) El viernes traer tiza de colores. 6) El está pensando en ella. 7) 5 + 2 = 6 8) ¡Dios mío, sálvame! 9) x – 10 = 7 10) El teorema de Pitágoras 11) No matarás a tu prójimo

Enunciado, es toda frase u oración de nuestro lenguaje.

Nos interesa los ejemplos (1), (3), (8); son enunciados que se les puede asignar una propiedad de ser verdadero o falso, pero no ambas a la vez.

(1) Es verdadero(2) Es verdadero(3) Es falso.

En cambio los ejemplos (2), (4), (5), (6), (7), (9) y (10) son enunciados que no podemos asignar un valor de V o F.

2.2. VALOR DE VERDAD.-

Es la propiedad de ser verdadero o falso pero no ambos a la vez que le asignamos a ciertos enunciados. Los valores de verdad o falsedad de una proposición resultan de la ciencia o disciplina de donde provienen. Por ejemplo :

1) Francisco Pizarro conquisto el Imperio de Incas, la historia nos asevera que es verdadera. 2)3 + 5 = 10, la matemática nos asevera que es una proposición verdadera. 3)La fórmula del ácido sulfúrico es H2 OS4, la química nos asevera que es falsa.

Proposición es un enunciado al cual se le asigna un determinado valor, de ser verdadero(V) o falso(F), pero nunca verdadero y falso simultáneamente.

Ejemplos. Complete los valores de verdad de las siguientes proposiciones :

1) La luna es un satélite. (......) 2) Los días de la semana son diez. (......) 3) El Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas. (.......)4) 18 es múltiplo de 3. (.......)5) La fórmula química del agua es H2 O. (.......)6) 3 es un divisor de 12. (......)7) 15 es un número primo. (......) 8) El sol es un planeta. (.......)

2.3. REPRESENTACION SIMBOLICA DE LAS PROPOSICIONES:

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Definición.- Son variables proposicionales las letras minúsculas: p, q, r, s, t, etc, así como p1, p2, p3, p4, etc. que tienen la función de representar a cualquier proposición elemental.

Ejemplos: p : El gato es un animal mamífero. (......) q : 20 es divisible por 6. (......) r : 5 es un número primo. (......)

OBSERVACIÓNES : 1) Como a toda proposición le asignamos la propiedad de ser verdadero o falso, o sea es

bivalente; entonces convenimos en representar mediante diagramas del árbol o en tablas de valores:

Una proposición tiene 2 posibilidades de valor de verdad, es decir de ser verdadero o falso, o sea 21 :

V ó p

p V F F

Dos proposiciones tendrán 4 posibilidades de valores, o sea 22 :

q V p q V V V

p F ó V F V F V

F F F F

Tres proposiciones tendrán 8 posibilidades de valores de verdad, o sea 23 :

r V V p q r q F V V V V V V V F F F V F V

p V ó V F F V F V V

F F F V F V F F V F F F F

F

En general para “n” proposiciones : p1, p2, p3, . . . , pn; el número total de formas posibles en que pueden presentarse los valores, es 2n .

2) Las expresiones exclamativas, interrogativas, las órdenes y las que tienen variables o incógnitas no son proposiciones.

3) La verdad lo podemos representar también con 1 ó la falsedad con cero (0) de una proposición puede ser identificado o comparado también con el paso o la interrupción de corriente eléctrica a través de un circuito eléctrico( Es un conjunto de interruptores conectados entre si que facilitan o interrumpen el paso de la corriente según que cada interruptor este cerrado o abierto respectivamente)

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2.4. CONECTIVOS LOGICOS.-

Sean : a) 12 es múltiplo de 4 y de 6.b) Juan Pérez va al colegio o al cine.c) Si 2 es número par, entonces es divisor de 18.d) Un número es par si y sólo si es múltiplo de 2.

Observamos que ciertos términos del lenguaje nos permite combinar proposiciones, estos son: no, y, o, si, ....entonces......; ....si y sólo si...., entre otros. La tabla siguiente nos va a permitir simbolizar cada uno de los conectivos u operadores :

CONECTIVOS LOGICOS SIMBOLOS NOMBRES

no Negación

y Conjunción

o Disyunción incluyente

O............... o ............... Disyunción excluyente

Si...................entonces................... Condicional

...................si y solo si.................... Bicondicional

Conectivos Lógicos son términos que nos permite formar proposiciones compuestas

Ejemplos: 1) A partir de las proposiciones: p : 8 es múltiplo de 4,

q : 8 es divisor de 40,formar nuevas proposiciones:

no p : 8 no es múltiplo de 4. p y q : 8 es múltiplo de 4 y 8 es divisor de 40. p ó q : 8 es múltiplo de 4 u 8 es divisor de 40. O p o q : U 8 es múltiplo de 4 u 8 es divisor de 40. Si p entonces q : .Si 8 es múltiplo de 4, entonces 8 es........................................................ p si sólo si q : ..................................................................................................................

2.4. PROPOSICIONES SIMPLES.-

Definición.- Son aquellas proposiciones elementales que no poseen conectivos lógicos.

Ejemplos: 1) Sean: p : 8 es un número par. q : El cuadrado es un cuadrilátero. r : El oxígeno es un gas.

2.5. PROPOSICIONES COMPUESTAS.-

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Definición.- Son aquellas proposiciones que se obtienen al combinar proposiciones simples mediante los conectivos lógicos.

El valor lógico de una proposición compuesta sólo depende de los valores de las proposiciones componentes.

Ejemplos: 1) Luis está en Panamá estudiando y trabajando. p q

2) Si tengo sueño de día, entonces estoy cansado o me faltan vitaminas. r s t 3) El oxígeno es un gas si y sólo si el hidrógeno es un líquido.

z w

2.6. ENUNCIADO ABIERTO O FUNCION PROPOSICIONAL.-

Son enunciados que tienen al menos una variable o incógnita la que al ser reemplazado por constantes se transforma en una proposición. Se representa por P(x), que se lee: “P de x”.

Ejemplos: 1) P(x) : x + 2 = 5 2) Q(x, y) : x es múltiplo de y. 3) R(x, y, z) : x + y + z > 6. 4) T(ella, el) : Ella vive junto a el.

2.7. OPERACIONES LOGICAS.-

Combinando las proposiciones simples con los conectivos lógicos determinamos las operaciones lógicas: La negación, la conjunción, la disyunción, la condicional y la bicondicio-. nal. A cada una de las operaciones lógicas le asignamos una tabla de valores.

1. NEGACION .- Dada una proposición simple representado por “p”, su negación es otra proposición compuesta representado por “ p” y que se lee “no p” ó “no es cierto que p”; y está definida por la siguiente tabla :

Es decir si p es una proposición Verdadera su negación de p p ~ p o sea p es............................ y si p es una proposición Falsa, V F su negación o sea p es ..................................... F V Ejemplos: a) p : 8 es un número par; ( V ); su negación es: p : 8 no es un número par; ( F ), o

: No es cierto que 8 es un número par b) q : La luna es un planeta; ( F ); su negación:

q : La luna no es un planeta; ( V )

c) r : La fórmula del agua es H2 O; (......) r : ...................................................................; (.......)

2. CONJUNCION.-

Dadas dos proposiciones simples p y q, unidas por el conectivo lógico “y”, forman la proposición compuesta llamada conjunción de p y q, representada por p q y se lee “p y q”; definida por la siguiente tabla de valores:

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Es decir p q es verdadera sólo cuando p y q son verdaderas y si al menos una de las proposiciones es falsa, entonces p q también es falsa.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Ejemplos: 1. a) París está en Europa y Perú en América; ( V )

p q ( V ) ( V )

b)12 es múltiplo de 3 y 4 es divisor de 15; ( F ) (V) (F)

c) Sean p : 6 > 13 : ( F ); q : 10 es un número primo : ( F )

La conjunción de p y q es : p q : 6 > 13 y 10 es un número primo : ( F ) ( F) ( F )

2. El valor de verdad o falsedad de la siguiente proposición : “No es cierto que los números primos son impares y 8 es mayor que 6”.

Sol. Identificando r : “Los números primos son impares” ( F ) s : “8 es mayor que 6” ( V )

( r s) : ( V )3. Si se sabe que p, q son verdaderas y r falsa, hallar el valor de verdad de :

a) ( p q ) r b) ( p r ) c) q ( p r )

En el lenguaje ordinario hay términos que también unen proposiciones y se representa con “” , estos son: pero, sin embargo, además, aunque, no obstante, a la vez, también, empero, tanto como, a menos que, etc.La proposición conjuntiva p q lo identificamos con los circuitos eléctricos diseñados en serie:

Se observa cuando los interruptores están cerrados pasa corriente y el foco se prende, lo representamos con uno (1), cuando el interruptor está abierto no pasa corriente y el foco está apagado y lo representamos con cero (0). El diseño:

3) LA DISYUNCION.-

Dadas dos proposiciones simples p y q, unidas por el conectivo lógico “o”, forman la proposición compuesta llamada Disyunción, se lee “p o q” .

Ejemplos: a) Felipe es profesor o es estudiante de ingeniería. p q

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b) 12 es múltiplo de 6 ó es número par. p q c) Don José de San Martín nació en Chile o nació en Argentina.

r t

d) Sean: p : El número 27 es impar, q : El número 27 es par,

p ó q : El número 27 es impar o es par.

Analizando los ejemplos anteriores a) y b) se tiene que : La verdad de que Felipe sea profesor no excluye que sea estudiante de ingeniería; de igual modo , si 12 es múltiplo de 6, no excluye que también sea par. En cambio en c) y d) la verdad de que Don José de San Martín haya nacido en Chile, excluye que nació en Argentina y viceversa; la verdad de que 27 sea impar, excluye que sea par.

Lo anterior nos permite que, en la disyunción hay que distinguir dos interpretaciones que es conveniente considerarlos :

DISYUNCION INCLUYENTE.- La disyunción “p o q” lo representamos por p q, cuyo valor de verdad está definida por la siguiente tabla de valores :

Es decir, p q es verdadera si por lo menos una de las proposiciones compo- nentes es verdadera. Sólo será falsa si ambas son falsas.

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

La proposición disyuntiva p q lo identificamos con un circuito eléctrico

instalado en paralelo:En donde si los dos interruptores están cerrados pasa corriente y se prende el foco, de igual modo si uno de ellos está cerrado pasa corriente y se prende el foco, solo si los dos están abiertas no pasa corriente y el foco está apagado.

Ejemplos : 1) Sean las proposiciones p : Ate es distrito de Lima, q : Ate es distrito de Arequipa, r : Chosica está ubicado en Lima.

Formar proposiciones disyuntivas :

a) p q : Ate es distrito de Lima o Chosica está ubicado en Lima. ( V )b) q r : Ate es distrito de Arequipa o Chosica está ubicado en Lima. ( V ).c) ~ r q : Chosica no está ubicado en Lima o Ate es distrito de Arequipa. ( F )

14

Page 15: SEPARAT LOGICA-UAP

2) Determine el valor de verdad de la siguiente proposición:

12 es múltiplo de 3 ó 5 es número par

Sean: p : 12 es múltiplo de 3, ( V )

q : 5 es número par, ( F )

luego : p q : ( V )

DISYUNCION EXCLUYENTE.- La disyunción “o p o q” lo consideramos por p q, cuyo valor

de verdad está definida por la siguiente tabla de valores :

La disyunción exclusiva p q, es verdadera cuando sólo una de las propo- siciones componentes es verdadera y en cualquier otro caso es falsa.

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

Ejemplo 1) Sean las proposiciones : p : Juan está vivo, q : Juan está muerto,

La proposición disyuntiva “O p ó q” : O Juan está vivo o está muerto

3) Determine el valor lógico de la disyunción siguiente :

Gabriel García Márquez es Chileno o es venezolano

Sean: p : Gabriel García Márquez es chileno, ( F )

q : Gabriel García Márquez es venezolano, ( F )

luego p q : ( F )

4) Sean las proposiciones p : 5 es número primo,

q : 7 es un cuadrado perfecto,

r : Todo número primo es impar.

Establecer el valor de verdad de las proposiciones siguientes :

a) ~ ( p q ) b) ~ q r c) ~ ( ~ r q ) ~ p d) ~ [ p ~ ( q p ) ]

Solución : a) ~ ( p q ) b) ~ q r c) ~ ( ~ r q ) ~ p ~ V V F V F V V F F V F F

F5) Sean las proposiciones p : La luna es un satélite,

Q : El sol es un planeta,

R : El agua hierve a 100º C.

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Page 16: SEPARAT LOGICA-UAP

Escribir en el lenguaje común las siguientes proposiciones :

a) ~ ( p q ) b) ~ q r c) ~ p ~ q d) ~ ( q ~ r ) e) ( r ~ p ) ( ~ q r )

Sol. a) ~ ( p q ) : “No es cierto que la luna es un satélite o el sol es un

planeta”

b) ~ q r : “No es cierto que el sol es una planeta, o el agua hierve a 100º C.”

c) ~ p ~ q : “La luna no es un satélite sin embargo el sol no es un planeta”

d) ~ ( q ~ r ) : “No es cierto que o el sol es una planeta o el agua no hierve a 100º C.”

4) EL CONDICIONAL.-

Dadas las proposiciones p y q, la condicional de p a q en ese orden es la proposición

compuesta representada por p q, que se lee “si p entonces q”; donde p es el antecedente y q es el consecuente, definida por la siguiente tabla de valores:

La proposición condicional p q es Falsa sólo si el antecedente p es verdadera y el consecuente q es falsa y es siempre verdadera en los otros casos.

p q p q

V V V V F F F V V F F V

Ejemplos: 1) Si hoy viajo a Lima entonces hoy falto a la universidad.

p q

Afirmo que en el caso que viajo a Lima, necesariamente no asisto a la universidad, es decir si el antecedente ocurre, el consecuente debe cumplirse. De hecho la proposición solo será falsa cuando sea verdad que viaje y no falte a la universidad; es decir si el antecedente es verdadero y el consecuente falso.

2) Sean p : 5 es divisor de 15, ( V ) q : 20 es múltiplo de 4, ( V ); forme la condicional : p q

p q : Si 5 es divisor de 15 entonces 20 es múltiplo de 4 : ( V )

3) Sean r : 4 > 7, ( F ) s : 2 es un número primo, ( V ); forme la condicional s r

s r : Si 2 es un número primo entonces 4 > 7.

4) Si 3 = 5 – 2 entonces 6 = 7 – 2 : ( F )t w

( V ) ( F )

6) Hallar la tabla de valores de las siguientes proposiciones compuestas :

a) ~ p (p q) b) ~ q ~ p c) (p ~ q) (~ p q) d) [(p q) (q r)] ~ q e) [(~ p r) (q r)] (p ~ q)

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Page 17: SEPARAT LOGICA-UAP

Sol. a) b) c)

p q ~ p ( p q ) ~ q ~ p ( p ~ q ) ( ~ p q)

V V F V V F V F V F F V F V V

V F F V V V F F V V V F F F F

F V V V V F V V F F F V V V V

F F V F F V V V F F V V V V F

Queda para los alumnos d) y e) :

p q r [(p q) (q r)] ~ q

[(~ p r ) ( q r )] ( p ~ q)

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

6) Si la proposición: (p ~ q) ( r q) es falsa, hallar el valor de las proposiciones :

a) ( p r ) q b) (~ p r ) ( q p ) c) ~ ( p ~ r ) ( q ~ p )

OBSERVACION :

1) La condicional es equivalente a varios términos como: puesto que, ya que, pues, si,

supone, porque, siempre que, condición necesaria, sólo si, solamente si, luego, por lo

tanto, si p, q, condición suficiente, etc; las subrayadas o negritas se caracterizan porque

después de cada uno de estas conectivas está el antecedente.

Ejemplos: a) Carlos estudiara en la universidad si aprueba el examen de admisión

Sea p : Carlos aprueba el examen de admisión

q : Carlos estudiara en la universidad

luego : p q.

b) El sol es un planeta puesto que es un astro del sistema planetario solar

Sean: p : El sol es un astro del sistema planetario solar

q : El sol es un planeta

luego : p q

c) El fiscal viajó a ver el incendio porque verifica el número de muertos

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Sea r : El fiscal verifica el número de muertos

t : El fiscal viajo a ver el incendio

luego : r t

La condicional p q puede ser leído de las siguientes maneras:

2. En matemática la condicional p q tiene mucha importancia debido a que la mayoría de sus

teoremas son proposiciones de este tipo. En este caso, al antecedente “p” se le llama

HIPOTESIS, que se considera verdadera y al consecuente “q” TESIS o CONCLUSION, lo

que se quiere demostrar.

Teorema: p q

Hipótesis Tesis

La demostración de un teorema de este tipo es demostrar que “p q” sea verdadera, como “p” (la hipótesis) es verdadera, bastara demostrar que “q” (la tesis) sea verdadera.

4. A cada condicional p q se le asocia otros tres que se obtienen permutando el antece- dente con el consecuente y sus negaciones, como lo indica el siguiente cuadro :

a) Directo : p q b) Recíproco : q p c) Contrario : ~ p ~ q d) Contrarecíproco : ~ q ~ p

Ejemplo 4.1) Como todo arequipeño es peruano podemos expresar mediante la condicional :

a) Si Luis es arequipeño, entonces es peruano.

b) Que Luis sea peruano es condición necesaria para que Luis sea arequipeño.

c) Una condición necesaria para que Luis sea arequipeño es que Luis sea peruano.

d) Que Luis sea arequipeño es condición suficiente para que Luis sea peruano.

e) Una condición suficiente para que Luis sea peruano es que Luis sea arequipeño.

4.2) Enunciar el recíproco, el contrario y el contrarrecíproco del siguiente condicional :

El directo:

Si el triángulo es equilátero, entonces el triángulo es isósceles. El recíproco:

Si el triángulo es isósceles, entonces el triángulo es equilátero.

El contrario o inverso:

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Si el triángulo no es equilátero, entonces el triángulo no es isósceles.

El contrarrecíproco:

Si el triángulo no es isósceles, entonces el triángulo no es equilátero.

5) EL BICONDICIONAL .-

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta (p q) (q p),

llamaremos la bicondicional de p y q, y representaremos por p q, que se lee “p si y sólo si

q” o “p es condición necesaria y suficiente para q”; definida por la siguiente tabla :

Es decir p q es verdadera si las proposiciones p, q tienen los mismos valores y es falsa cuando p y q tienen valores diferentes o contrarios.

La bicondicional es equivalente a los términos: cuando y sólo cuando, entonces y sólo

entonces, es una condición necesaria y suficiente. si y solamente si.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Ejemplos: 1) Pedro está enfermo cuando y sólo cuando tiene fiebre,

p : Pedro está enfermoq : Pedro tiene fiebre

2) 2 < 5 si y sólo si 2 + 3 < 5 + 3 : ( V ) r s ( V ) ( V ) 3) 144 es divisible por 6 si y solamente si 3 es divisor de 16 : ( F )

q t ( V ) ( F )

4) La luna es un planeta es una condición necesaria y suficiente de que el sol es un satélite r u (....) ( ...)

5)Hallar la tabla de valores de las siguientes proposiciones :

a) (p q ) ( ~ q ~ p) b) ~ ( p q ) ~ p ~ q c) ~ ( p q ) ( p ~ q )

b) [( p q ) ~ r ] [ q ( r ~ p ) ] e) [( p q ) p ] (~ p q )

FÓRMULAS O ESQUEMAS LÓGICOS.-

Sean p: El rombo es un cuadrilátero.

q: El triángulo Isósceles tiene 2 lados y 2 ángulos congruentes.

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Page 20: SEPARAT LOGICA-UAP

p q: Si el rombo es un cuadrilátero entonces el triángulo Isósceles tiene 2 lados y 2

ángulos congruentes.

Lee y escriba: ~ p ~ q

Sol:

~ p ~ q : Si el rombo no es un cuadrilátero entonces el triángulo Isósceles no tiene 2

lados y 2 ángulos congruentes.

Luego: ~ p ~ q; ( p q ) r; q (~ p q ); ( p q ) ( q p ); etc. reciben el nombre de

fórmulas lógicas

DEFINICION.- Al conjunto de variables proposicionales, conectivos lógicos y signos de

agrupación se llama Fórmulas lógicas o esquemas lógicos.

Se representa con letras mayúsculas, A, B, C, etc.

Ejemplo. Sean A: p ( ~ p q ), B: [ r (~ p q )] ( p ~ r )

OBSERVACION: 1. Los signos de agrupación: paréntesis, corchetes, llaves, etc, son usados en

la formación de las fórmulas lógicas para evitar las ambigüedades y darle mayor o menor

jerarquía a los operadores lógicos.

2. En los operadores lógicos(conectivos lógicos) en general, la negación es el de menor jerarquía,

le siguen la “” y “” que tienen igual jerarquía y, “” es el de mayor jerarquía. En cada esquema

lógico sólo un operador es el de mayor jerarquía y es el que le da el nombre.

3. Evaluar un esquema lógico consiste construir su tabla de valores del operador principal(mayor

jerarquía) a partir de la validez de cada uno de las variables proposicionales.

Ejemplo: 1) Evaluar la fórmula : ~ p ~ q.

Sol.P q ~ p ~ q

V V F V F V F F V V

F V V F FF F V V V

2) Evaluar la fórmula: ( p q ) ( q p ). Sol. p q ( p q) ( q p )

V V V V V V F F V V F V V F F F F V V V

3) Evaluar la fórmula: ~ p ( q r ).

Sol. P q r ~ p ( q r )

V V V V V F V F V

20

Page 21: SEPARAT LOGICA-UAP

V F F F V V F V F F F V F F F

TAUTOLOGIA Y CONTRADICCION .-

DEFINICION.- Una tautología es una fórmula lógica que es verdadera para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales.

DEFINICION.- Una contradicción es una fórmula lógica que es falsa para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales.

DEFINICION.- Una contingencia es una fórmula lógica cuando por lo menos hay una verdad y una falsedad de su operador principal.

Ejemplos: 1) Evaluar y verificar que fórmula es :

a) ( ~ p q ) ( p q ) b) ~ ( p q ) ( ~ p ~ q ) c) ~ ( p q ) ( p q )d)[ ( p ~ r ) r ] p.

Sol.

a) p q ( ~ p q ) ( p q ) b) p q ~ ( p q ) ( ~ p ~ q )

V V F V V V V V V F V F F V F V F F F F V F V F V F F F F V F V V V V V V F V V F F V F F F F V V F V V F F F V F V V V

2 1 3

c) p q ~ ( p q ) ( p q )

V V F V V V F V F V F V V F V F F V F F

1 2

OBSERVACIONES: 1) Al evaluar una fórmula debemos tener en cuenta el orden de las operaciones lógicas a realizar: Se inicia por las operaciones encerradas en los paréntesis interiores, luego las negaciones, le siguen las conjunciones y disyunciones y finalmente las condicionales.

2) Toda fórmula lógica tiene un conectivo principal que representa la operación final a realizar.

Ejemplos a) ~ q ( p ~ r ); es una conjunción( : conectivo principal).b) ~ ( p r ) V ( ~ q p ); es una disyunción( : conectivo principal )c) ~ [ ( r p ) ~ q ]; es una negación( ~ : conectivo principal ).d) q ~ ( ~ p r); es una condicional( : conectivo principal ).e)..............................................................................................

21

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PROPOSICIONES EQUIVALENTES.-

DEFINICION.- Dos esquemas lógicas A y B, son equivalentes cuando unidas por el bicondicional el resultado es una tautología, es decir cuando sus operadores principales tienen los mismos valores.

Se representa: A B ó A B, que se lee “A es equivalente a B”.

Ejemplos: 1) Verificar si son equivalentes las siguientes fórmulas lógicas:

a) A: p q y B: ~ p q b) C: p q y D: ( p q ) ( q p ) c) ~ ( p q ) y ~ p q Sol.

p q (p q) ~ p q p q p q ( p q ) ( q p )

V V V V F V V V V V V V V V V F F V F F F V F F V F F V

F V V V V V V F V F V V F F

F F V V V V F F F V V V V V

A B (A es equivalente a B) C D (C es equivalente a D )

3) Verificar que los esquemas siguientes son equivalentes:

a) ~ (~ p) pb) t w ~ w ~ t c) p q (p q) (q p) d) p q ~ (p ~

q)

IMPLICACION LOGICA.-

DEFINICION.- Dados dos esquemas lógicos A y B, se dice que A implica lógicamente a B, o simplemente A implica a B, si y sólo si la condicional A B es una tautología. Y lo representamos con A B.

A B significa que de la verdad de A se obtiene la verdad de B.

EJEMPLOS 1) Sean los esquemas lógicos :a) A : p q , B : p, verificar que A B b) E : p ; F : p q verificar que E F

A B E F2)Sean los esquemas lógicos : M : ~ p ~ r y N : ~ ( p q) ~ r; verificar que M N

3)Dados los esquemas lógicos A : p ~ q, B : q ~ r y C : ~ p (q r). Determinar si C es

condición necesaria para la conjunción de A y B.

Sol. Tenemos que verificar mediante tablas que ( A B ) C es una tautología22

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EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dados los siguientes esquemas moleculares : A : ~ p ( q ~ r )B : [ ( p r ) ~ q ] r C : ~ [ ( r q ) (~ r p) ]D : (p ~ q ) ( ~ r p )E : p [ q ( r ~ p )

Señale el operador principal(jerarquía) y anota el nombre de cada esquemaSolución : A : El esquema molecular es el condicional su operador principal es :

B : El esquema molecular es el bicondicional su operador princ. es : C : El esquema molecular es la negación su operador princ. es : ~ D : El esquema molecular es la cojunción su operador princ. es : E : El esquema molecular es la disyunción incluyente su operador princ. es :

2. Sean las proposiciones p : Yo estudioq : Voy al cine

Traduzca al lenguaje ordinario las fórmulas lógicas :a) (p ~ q ) pb) ~ ( p ~ q )c) q ~ pd) ~ p ~ q Solución : a) Si estudio y no voy al cine, entonces estudio.b) No es verdad que estudio o no voy al cine.c) O voy al cine o no estudio.e) No estudio y no voy al cine.

3. Dadas las proposiciones : q : “2 es número par”P y r son dos proposiciones cualesquiera tal que :~ [ ( r q ) ( r p ) ] es verdadera; entonces el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares :

a) r (~ p ~ q ) b) [ r ( p q ) ] ( q ~ p ) c) ( r ~ p ) ( q p ); es :

A) V V F B) V F V C) V V V D) F F F

Solución : q : “2 es un número impar” es ( F )Además : ~ [ ( r q ) ( r p ) ] es ( V )

(V) (F) (V) (F) V F ( F )

a) r (~ p ~ q ) b) [ r ( p q ) ] ( q ~ p ) c) Para ti alumno (V) ( V) (F) (F) (F) ( V )

(V) (V) (V) (F)

( V ) (F) (F) (V)

4. En cuales de los de los siguientes casos es suficiente la información para conocer el valor lógico de los esquemas correspondientes :

a) ( p q ) ] (~ p ~ q ); v( q ) = ( V ) b) [ p ( q r ) ; v (q r) = ( V ) c) ( p q ) ( p r ) ; v(p) = ( V ) y v( r ) = (F) d) (p q ) r ; v (r) = ( V ) Sol. a) ( p q ) ] (~ p ~ q) b) [ p ( q r ) : no es posible hallar el valor de

(V/F) (V) (V/ F) (F) (V) este esquema ( V ) ( F ) ( ¿?)

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( F) c) ( p q ) ( p r ) d) (p q ) r , queda para ti. (V) (V/F) (V) (F)

(V/F) (V) (V)5. Simbolizar la siguiente proposición : “El campeonato no dio sorpresas y los aliancistas ganaron

la copa, si y solo si o los universitarios no participaron o los aliancistas no ganaron la copa”.Sabiendo que la proposición anterior es verdadera y los universitarios si participaron, contestar las siguientes preguntas :

a) ¿Dio sorpresas el campeonato?b) ¿Ganaron la copa los aliancistas?Solución : Sea p : El campeonato dio sorpresas

q : los aliancistas ganaron la copa r : Los universitarios participaron

Entonces la proposición es el siguiente esquema : (~ p q) (~ r ~ q)Nos informan que v(r) = (V), es decir que v(~ r) = (F). Además el esquema bicondicional es verdadero por lo que hay dos casos :

i) (~ p q) (~ r ~ q) ii) (~ p q) (~ r ~ q); lo cual es correcto¿? (F) (F) (V) (F) (V) (F) (F)

(V) (V) (F) (F)(V) ( V )

El caso ( i ) es desechado, ya que no puede ser el v(q) sea (F) cuando ~ p q es verdadero, en el caso (ii) si no hay problema ya que v(~ r) es (F) y v(q) es (V).

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1.- Verificar si es proposición los siguientes enunciados anotando su valor de verdad:

a) 10 es un número impar b) El agua de mar es salado. c) Como estas ! d) 5 R e) Haz caminata temprano f) x + 1 = 2 es una ecuación de 2do. Grado. g) Júpiter no es un planeta h) ¿ Cuándo vienes a visitarme?

i) Saldré de viaje al amanecer j) Qué hermosa acción !

2.- Simboliza y lee las proposiciones compuestas siguientes: a) Condicional: .......p q.........; “Si p entonces q”.

b) Disyunción: ...........................; ............................................

c) Bicondicional: ...........................; ...........................................

d) Conjunción: .............................; ...........................................

e) Negación: .................................; ...........................................

3.- Simboliza las siguientes proposiciones e indica el nombre de las proposiciones compuestas. a) - 5 = - 5 b) 2 es par y 5 es impar.

c) 18 es divisible por 6. d) 13 es un número impar y primo

e) L a Paz es capital de Bolivia o Ecuador f) No es cierto que 12 < 5.

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g) No es cierto que 2 + 4 6. h) El sol sale de día y la luna de noche.

i) Si 3 < 9 entonces 5 < 8 j) Bolivar nació en el Perú o en Venezuela.

k) Un número es impar si y sólo si no es divisible por 2.

l) Hoy es domingo si y sólo si ayer fue sábado.

ll) Si Coco obtiene el puntaje más alto entonces recibirá la beca.

4.- Evaluar las siguientes fórmulas lógicas y anotar si es Tautología, Contradicción o Contingencia. a) ~ ( p q ) b) ~ p ~ q c) ~ ( p q ) d) ~ q ~ p

e) ~ ( ~ p q ) q f) ( p q ) ( p q) g) ( p q ) ( ~ p q )

h) [ ( p q ) q ] q i) ~ ( p q ) ~ p ~ q j) ~ ( p q ) ~ p ~ q

k) ~ { [ p ( q p ) ] ~ p } l) ~ ( p q ) ( q p ).

5.- Sean los enunciados abiertos: P(x) : 2x – 9 = -- 3 ; Q(x) : 5x – 7 > 0 ; R(x, y ) : x – y < 0.

Escriba cada proposición y halle su valor de verdad.

a) P(1) b) Q(5) c) P(-- 2 ) d) ~ Q(-- 5) e) ~ R(1, 4)

f) S(-1 , 1) g) P(3) Q(1) h) Q(3) P(6) i) ~ [ R( 6, -2) ]

6.- Halle el valor de verdad de cada proposición: a) 11 es un número y 8 es divisor de 12. ( ) b) 64 es múltiplo de 8 o 13 al cuadrado es 169. ( ) c) 128 es divisible por 7 y es la raíz cúbica de 64 ( ) d) Si 12 x 12 es igual a144 entonces 10 es la raíz cuadrada de 200. ( ) e) 2 es un número primo si y sólo si es par. ( ) f) Si 3 es divisor de 12 entonces 12 es múltiplo de 5. ( )

7.- Sean los enunciados abiertos: P(x) : x – 5 > 10;Q(x) : 2x < 8;R(x) : 2x2 + 5x – 3 = 0

Escriba cada proposición que se indica y halle su valor de verdad: a) Si P(5) Q(2) b) Si Q(8) R(1) c) R(0) P(-1) d) P(-8) R(-3)

e) Q(60) R(6) f) P(10) Q(10) g) [ P(12) Q(5)] R(-3)

h) Q(4) [ R(-1) P(-6) ] i) R(3) [ P(-3) Q(3) ] k) P(-7) [ P(2) Q(2) ]

8.- Sean las proposiciones p : 5 es un número primo q : 7 > 9 r : Todo número primo es impar

Escribir y establecer la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

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a) ~ ( p q ) b) ~ q ~ r c) ~ ( ~ q p ) d) ( p ~ q ) r e) p ( ~ q r )

f) ~ p ( q ~ r ) g) ~ q ( p ~ r ) h) ~ [ ( p ~ q ) ~ r ]

9.- Sean las proposiciones p y q verdaderas, las proposiciones r y t falsas; hallar el valor de lógico :

a) ~ ( p q ) b) ( p t ) ~ q c) ~ ( p ~ r ) ( t ~ q ). d) (q ~ r ) (~ t p )

e) ~ p ~ r f) ~ (q r) g) ~ t ~ ( r q ) h) ( p ~ q ) r i) ( p r ) ( ~ q ~ t )

10. Definamos p # q como una proposición verdadera si p es falsa y q verdadera, y como falsa en todos los casos restantes. Según esto, si r : “Juan es profesor” y s : “Juan es deportista”; hallar la traducción de ~ r # s.

Sol. Según la definición del operador y las tablas de valores de las proposiciones p q y ~ r s, se tiene :

p q p q r s ~ r s r s V V F V V F V V V V F F V F F F F F F V V F V V F V F F F F F F V F F F

Observamos que la tabla de valores de ~ r s es idéntica a la de la conjunción; luego según La traducción es : “Juan es médico y deportista”.

3.- LEYES Y PRINCIPIOS LOGICOS.-

LEY O PRINCIPIO LOGICO:

DEFINICION .- Un esquema o fórmula lógico es una ley lógica si y sólo si es verdadera para cualquiera de sus valores de las variables componentes.

Las principales leyes o principios lógicos podemos clasificar en grupos:

1.- Leyes Lógicos Clásicos

2.- Equivalencias Notables o Leyes Equivalentes

3.- Implicaciones Notables o Reglas de Inferencias

I.- PRINCIPIOS O LEYES LÓGICOS CLÁSICOS:

C1. LEY DE IDENTIDAD .- Una proposición es idéntica a si misma.

C2. LEY DE NO CONTRADICCION.- Una proposición no puede ser verdadero o falso a la vez.

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C3. LEY DEL TERCIO EXCLUIDO.- Una proposición es verdadero o es falso, no hay una tercera posibilidad.

II.- EQUIVALENCIAS NOTABLES:

E1. LA LEY DE LA DOBLE NEGACION O INVOLUCION.- La negación de la negación de p es una afirmación p.

E2. LA LEY DE IDEMPOTENCIA :

E3. LEY CONMUTATIVA :

E 4. LEY ASOCIATIVA :

E5. LEYES DISTRIBUTIVAS :

E6. LEYES DE DE MORGAN :

E7. LEYES DEL CONDICIONAL :

E8. LEYES DEL BICONDICIONAL:

E9. LEYES DE ABSORCION:

27

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E10. LEYES DE TRANSPOSICION:

E11. LEY DE EXPORTACION:

E12. LEY DE LOS ELEMENTOS NEUTROS:

E13. LEYES DEL COMPLEMENTO:

Ejemplos. 1) Aplique absorción y deduzca el equivalente de:

a) (p q) p p b) (q p) p q p c) p (q p) . . . .

2. Demostrar que: (p q) ( r q) q (r p)

Sol. (p q) ( r q) ( p q) ( r q) - - - - - - - Ley del condicional

( q q) ( p r) - - - - - -Leyes conmutativa y asociativa

q ( p r) - - - - - - - - - Ley de idempotencia

q ( r p) - - - - - - - - - Ley del condicional

3. Simplificar el siguiente esquema: [(q p) ( p s)] (q s).

Sol.: [(q p) ( p s)] (q s) [( q p) ( p s)] (q s) - - - …………….

[( q p) p] s (q s) - - - ………………

( q p) s (q s) - - - - - - ………………

( q p s) (q s) - - - - - - ………………

( q p s) (q s) - - - - - - - - - ………………

q [ (p s) (q s)] - - - - - - - - - ………………

q (V) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ………………

( V) ( es una Tautología) - - - - - - - - - ……………… INFERENCIA LOGICA.-

La teoría del razonamiento correcto, llamado también teoría de la inferencia lógica, teoría de la

deducción o teoría de la demostración, constituye una de las partes más importantes de la lógica. Su

aplicación se manifiesta no solo en las ciencias exactas, como la matemática, sino en muchos otros ámbitos,

como la filosofía, el derecho y, en general, en la vida diaria.

DEFINICION.- Una Inferencia o razonamiento es el proceso de pasar un conjunto de proposiciones, llamadas premisas a una conclusión.

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(Premisas) (conclusión)

Si un razonamiento tiene como premisas a p1, p2, p3, ........., pn y como conclusión a C, entonces a éste lo representamos mediante el esquema siguiente:

p1 p2 .. ó ( p1 p2 . . . pn ) C .pn

C

Cada una de las premisas se une con el operador conjuntivo y la conclusión con respecto a sus

premisas con el operador condicional.

RAZONAMIENTOS VALIDOS.-

Si la conclusión se deduce correctamente del conjunto de premisas, la inferencia es válida o la

conclusión es consecuencia lógica del conjunto de premisas; pero si la conclusión no se deduce

correctamente del conjunto de premisas, simplemente la inferencia no es válida. Si el esquema lógico es

tautológico, la inferencia es válida, en caso contrario la inferencia es inválida o sea es una falacia.

DEFINICION.- Diremos que un razonamiento es valido o correcto si y solo si la conjunción de las premisas implica lógicamente la conclusión.

Es decir, un razonamiento:

p1 p2 . . . pn C

es correcto si y solo si ( p1 p2 . . . pn ) C es una tautología.

Para probar la validez de una inferencia o razonamiento se usa: el método por evaluación de tabla de valores, el método abreviado o el método de derivación o deducción.

Primera Forma: Evaluando tablas de valores:

Una de las formas de probar la validez de un razonamiento es mediante la evaluación de las tablas de valores de las inferencias; donde si es válida la fórmula lógica, será una tautología.Ejemplo : 1) Si Julieta es española entonces es aficionada a la fiesta brava.

Pero, Julieta no es aficionada a la fiesta brava. Por lo tanto, Julieta no es española.

p: Julieta es españolaq: Julieta es aficionada a la fiesta brava.

ó

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Es decir : el esquema del razonamiento es una tautología, por lo que es válido

2) Verificar si la siguiente secuencia de proposiciones es valida o no.

Si 2 es primo, entonces 3 es primo.Si 4 es par, entonces 3 no es primo.4 es par.Luego, 2 no es primo.

Simbolizando este razonamiento se escribe asi: p: 2 es primo q: 3 es primo r: 4 es par

Premisa 1: p qPremisa 2: r ~ qPremisa 3: r

Conclusión: ~ p

La validez de este razonamiento lo probamos evaluando su tabla de valores.

p q r [( p q ) ( r ~ q ) r ] ~ pV V V V F V F F F V V FV V F V F F V F F F V FV F V F F V V V F V V FV F F F F F V V F F V FF V V V F V F F F V V VF V F V F F V F F F V VF F V V V V V V V V V VF F F V F V V V F F V V

Por consiguiente, el razonamiento es válido, ya que su esquema lógico es una tautología

III.- IMPLICACIONES NOTABLES O REGLAS DE INFERENCIAS :

1. MODUS PONENDO PONENS (PP): p q

p ó [( p q ) p ] q q

El modus (método) Ponendo Ponens, nombre tomado del latín, nos dice que afirmando (ponendo) el antecedente de un condicional se puede afirmar (ponens) el consecuente.

2. MODUS TOLLENDO TOLLENS(TT):

p q ~ q ó [ ( p q ) ~ q ] ~ p

~ p

3. SILOGISMO DISYUNTIVO(SD) O MODUS TOLLENDO PONENS:

p q p q [ ( p q ) ~ q ] p ~ q ; ~ p ó

p q [ ( p q ) ~ p ] q

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4. SILOGISMO HIPOTETICO(SH):

p qq r ó ( p q ) ( q r ) ( p r )

p r

5. LEY DE SIMPLIFICACION(LS):

p q ; p q ó ( p q ) p p q ( p q ) q

6. LEY DE ADICION (LA):

p ; q ó p ( p q )p q p q q ( p q )

7. LEY DE LA CONJUNCION O ADJUDICACION ( A ):

pq ó p q p q

p q

8. DILEMA CONSTRUCTIVO (DC): Si en la conjunción de dos condicionales afirmamos los dos antecedentes disyuntivamente, se concluye afirmando los dos consecuentes disyuntiva- mente. Simbólicamente:

p qr s ó ( p q ) ( r s ) (p r) (q s)p r

q s

9. DILEMA DESTRUCTIVO (DD): Si en la conjunción de dos condicionales afirmamos los dos antecedentes disyuntivamente, se concluye afirmando los dos consecuentes disyuntiva- mente. En símbolos:

p q r s ó ( p q ) ( r s ) ( q s) ( p r)

q s p r

Ejemplos. a) Demostrar ~ q, si : b) Demostrar ~ ~ r, si :

1. p ~ q Premisa 1. p q P2. r p P 2. ~ q P3. r P 3. ~ p r P4. p PP 3 y 2 4. ~ p TT 1 y 25. ~ q PP 4 y 1 5. r PP 3 y 4

6. ~ ~ r D N 5

Segunda forma: Usando el Método Abreviado .- Este método consiste en suponer que la

premisa o conjunción de premisas es verdadera y la conclusión es falsa, única posibilidad que invalida la

implicación. Si no se prueba esta posibilidad la inferencia será válida.

La prueba de este método consiste:

En suponer que el esquema lógico del argumento o inferencia es falso, como el esquema lógico es

una implicación (condicional) falso, se siguen los pasos:

1º. Asignar el valor de verdad (V) al antecedente (las premisas) y de la falsedad (F) a la conclusión.

31

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2º. Deducir el valor de cada uno de las variables proposicionales en función de las reglas veritativas.

3º. Si cada uno de las variables cumple una sola función veritativa se habrá demostrado que la inferencia

no es válida o sea es una falacia.

4º. Pero si una de las variables tiene los valores de verdad y falsedad a la vez, esto contradice a la

falsedad que hemos supuesto. Por lo tanto la inferencia será válida.

Ejemplos. 1) Probar mediante el método abreviado la validez del siguiente razonamiento :

[ ( p ~ q ) ( r p ) r ] ~ q V F V V V V V V V V

V F

Se observa que “q” tiene a la vez dos valores de verdad diferentes, por lo que el razonamiento es valido, o sea que no cumple la falsedad inicial que habíamos supuesto.

Otras de las formas de probar la validez de un razonamiento es mediante el método deductivo o derivado. Este método consiste en dividir el razonamiento en una secuencia de razonamientos cortos, simples y que de antemano sabemos que son válidos. A estos lo llamaremos razonamientos elementales o reglas de inferencia.

Tercera Forma: Usando el Método Deductivo o Derivado

Cuando el razonamiento tiene varias variables, la prueba de validez de un razonamiento se hace muy

laborioso. Para evitar esta dificultad, contamos con otro método que lo llamaremos método deductivo.

Este método consiste en dividir o derivar el razonamiento en una secuencia de razonamientos cortos,

simples y que de antemano sabemos que son válidos. Para ello utilizamos las leyes de la lógica

proposiconal y las reglas de inferencias.

Ejemplo. 1. Demostrar que: p r

1. q p Premisa 1.

2. q r Premisa 2.

3. p q De 1, por ley del contrarrecíproco.

4. p r De 3 y 2, por el Silogismo Hipotético.

Por tanto, el razonamiento es válido.

Falacia.-

Definición.- Es un enunciado o argumento no válido (pseudo razonamiento) que aparentemente es claro y además válido pero bien analizado no lo es.

A un razonamiento que no es válido se le llama falacia.

Las falacias se clasifican en dos clases:

i) Falacias Formales32

Page 33: SEPARAT LOGICA-UAP

ii) Falacias no formales

Las falacias formales están referidas a las leyes de la lógica formal y constituyen formulas o esquemas lógicos aparentemente correctos pero un análisis lógico formal demuestra su invalidez.

Un ejemplo típico de falacia es cuando afirmamos el consecuente de un condicional:

p qq

p

Las falacias no formales están referidas a un uso inadecuado de nuestro lenguaje para

sustentar argumentos o en general expresar ideas y conceptos.

4. CUANTIFICADORES

A menudo usamos proposiciones como : “Algunos estudiantes son aplicados”, “todos los humanos somos

mortales”, “existe al menos un alumno aprobado”, “cada número primo es impar”, “ningún alumno ha sido

desaprobado en matemática”, etc.

En cada caso se hace referencia a los elementos de un conjunto universal que cumplen ciertas propiedades

llamados enunciados abiertos o funciones proposicionales.

Sea P(x) una función proposicional y A un conjunto universal tal que al reemplazar la variable “x” de P(x) por

elementos de A obtenemos proposiciones verdaderas o falsas. Nos preguntamos ¿Para cuántos

elementos de A, P(x) es verdadera?, como posibles respuestas tenemos :

Para todos los elementos x de A cumplen P(x)

Algunos elementos x de A cumplen P(x)

Para un solo elemento x de A cumple P(x)

Cada elemento x de A cumple P(x)

Ningún elemento x de A cumple P(x).

Los términos “Todos”, “algunos”, “un solo”, “cada uno”, “ninguno”, que indican cantidad, son llamados cuantificadores.

Hay que distinguir principalmente dos cuantificadores, el universal y el existencial.

4.1. EL CUANTIFICADOR UNIVERSAL.-

Los términos “Todos”, “cada uno”, ”ninguno”, etc, son llamados cuantificadores universales.

Representaremos de la forma : , que se lee “Para todo”.

Al cuantificar a la función proposicional P(x) mediante el cuantificador universal obtenemos la

proposición : Para todos los elementos x de A, se cumple P(x), que se simboliza por :

“ x A : P(x)” y se lee “para todo x de A tal que se cumple P(x)” al que llamaremos proposición universal.

33

Page 34: SEPARAT LOGICA-UAP

La proposición xA : P(x) es verdadera si y solo si P(x) es verdadero para todos los elementos de

A, esto es si el dominio de verdad de P(x) coincide con A; y es falsa si hay al menos un elemento de A

que no cumple la propiedad P(x).

Ejemplos. 1) Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico :

a) Todo número natural es mayor o igual a cero.b) Todo número natural es mayor que 2.c) Todo hombre es mortal.

Solución : a) n N : P(n) : n 0 es ( V ); esta proposición es verdadera, pues “n” puede asumir : 0, 1,

2, 3, . . . ; y todos ellos son mayores o igual a cero.

b) n N : P(n) : n > 2 es ( F ) para n = 1 no es cierto : 1> 2 es ( F ) .c) Sea E el conjunto de todos seres humanos, y P(x): x es mortal; entonces x E : P(x) : x es mortal,

es ( V )

d) Sea A = { 1, 2, 3, 4 }, P(x) : x < 5, entonces :

“ x A : x < 5 es ( V )

e) “ x Z : P(x) : x + 1 = x es ( F )

f) Sea E = { 0, 2, 4, 6, 8 } y P(x) : 2 es divisor de x; entonces :

“ x E : P(x)” es ( V ), pues 2 divide a todos los x de E.

4.2. EL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL .-

El término “algunos” o “existe al menos uno”, se llama cuantificador existencial . Represen taremos

de la forma : , que se lee “existe al menos uno”.

Al cuantificar a P(x) con el cuantificador existencial obtenemos la proposición “Existe al menos un

elemento x de A tal que cumple P(x), que se simboliza por :

“ x A / P(x)”, y se lee “existe al menos un x de A tal que se cumple P(x)”, al que llamaremos

proposición existencial.

La proposición xA / P(x) es verdadera si y solo si P(x) es verdadera para al menos un elemento x

de A; y, es falsa si ningún elemento de A cumple la propiedad P(x).

Ejemplos 1. Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico :

a) Existe un número natural mayor que 2.

b) Existe al menos un número entero cuyo cuadrado es 25.

c) Existe un número natural cuyo cubo es 81

d) Existe un número par de A. Sea A ={ 1, 3, 5, 7} y P(x) : x es par.

e) Existe un número real x con la propiedad x x.

Sol. a) nN / n > 20, al buscar al menos un número que sea mayor que 20, n = 21, 22, etc. tal que si n

= 21, P(21) : 21 > 20 es ( V ).

b) nZ / n2 = 25, si existe al menos un número entero n = 5 / P(5) : 52 = 25 es ( V )

c) nN / n3 = 81, ¿existe un número que elevado al cubo sea igual a 81?, sabemos que no exis- te tal

número, por lo que la proposición es falsa.

34

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d) xA / x es par, observamos que los elementos de A son impares, por lo que la proposición es

también falsa.

f) Queda para ti.

OBSERVACION :

1. En las proposiciones existenciales, puede existir un único elemento que hace verdadera y se denota

por : ! xA / P(x).

Ejemplos a)Existe un único número entero que sumado con 7 da 11.

Sol. ! xZ / x + 7 = 11, es ( V ), pues con x = 4 cumple.

b) Existe un único número entero cuyo cuadrado es 36.

Sol. ! xZ / x2 = 36, es ( F ), porque existen dos números enteros que elevados al cuadrado es 36.

NEGACION DE LOS CUANTIFICADORES

Cuando afirmamos “todos los gatos son negros”, su negación afirmaría “no todos los gatos son

negros” o equivalentemente “existen algunos gatos que no son negros”, o cuando afirmamos “existen

algunos planetas del sistema planetario que son habitables”, su negación seria “no existen planetas que

son habitables” o equivalentemente “todos los planetas no son habitables”.

Por lo que para negar la proposición con cuantificadores, se cambia el cuantificador; de universal a

existencial o de existencial a universal, y se niega la proposición cuantificada.

Estas reglas de la negación de cuantificadores se representan:

~ [ x A : P(x) ] xA / ~ P(x).

~ [ xA / P(x) ] x A : ~ P(x)

Ejemplos 1) Hallar la negación de las siguientes proposiciones cuantificadas :

a) xN / x3 = 1. b) nN / n + 3 = 0.

c) x Z : x 3 d) x R : x2 2 x = 3.

Solución :

a) ~ [ xN / x3 = 1] x N : ~ (x3 = 1) x N : x3 1

b) ~ [ nN / n + 3 = 0 ] n N : ~ (n + 3 = 0 ) n N : n + 3 0.

c) ~ [ x Z : x 3 ] xZ / ~ ( x 3 ) xZ / x < 3.

d) ~ [ x R : x2 2 x = 3 ] xR / ~ (x2 2 x = 3 ) xR / ~ (x2 2 ) ~ ( x = 3 )

xR / x2 < 2 x 3.PROPOSICIONES CON DOS CUANTIFICADORES

A una función proposicional la podemos cuantificar 2 veces una por cada variable que posee.

Sea P(x, y) una función proposicional con dominios x A , y B; de los cuales existen 8 combinaciones

posibles:

1. x A, y B : P(x, y) 5. x A, y B : P(x, y)

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2. y B, x A : P(x, y) 6. y B, x A : P(x, y)

3. x A, y B / P(x, y) 7. x A, y A / P(x, y)

4. y B, x B / P(x, y) 8. y B, x A / P(x, y).

Ejemplos 1) Sean A = { 1, 2, 3 } y B = {-2, 1, 0 }; establecer el valor lógico de cada una de las siguientes

proposiciones:

a) y A, x B / x + y < 3 c) ! y B, ! x A / x.y < 0.

b) ! y B / x A : x – y > 1 d) x A, y A : 2x = y.

Solución : a)Para cada x A se tiene : Existe un y B :

x = 1 y = - 2 tal que : 1 + (-2) < 3 ( V )

x = 2 y = 0 “ “ : 2 + 0 < 3 ( V )

x = 3 y = -2 “ “ : 3 + (-2) < 3 ( V )Por lo tanto : y A, x B / x + y < 3 es ( V ).

b) Existe un único y B : Para cada x A se tiene :

y = -2 tal que x = 1 : 1 - (-2) > 1 ( V )

y = -2 tal que x = 2 : 2 - (-2) > 1 ( V )

y = -2 tal que x = 3 : 3 - (-2) > 1 ( V )

Por lo tanto : ! y B / x A : x – y > 1 es ( V ).

c) Existe un único y B : Existe también un único x A :

y = -2 tal que x = 2 tal que : (-2) x 2 < 0 es ( V ).

Por lo tanto : ! y B, ! x A / x.y < 0 es ( V ).

d) Queda para Ud. alumno

2) Si A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, tenemos x A, y A / x + y = 10.

Para cada x A se tiene : x = 1, existe y = 9 / 1 + 9 = 10, se cumple

x = 2 , “ y = 8 / 2 + 8 = 10 “

x = 3 , “ y = 7 / 3 + 7 = 10 “ . “ . . “ x = 9 , “ y = 1 / 9 + 1 = 10 “

Por lo tanto: x A, y A / x + y = 10 es ( V ).

EJERCICIOS RESUELTOS:

1. Demostrar usando las leyes lógicas:

a) [(~p q) ~p] q p q b) [~ (p q ) ( q ~ p)] ~ p q c) r (p q) (r p) q

Sol. a) [ (~ p q) ~ p ] q b) [ ~ (p q ) ( q ~ p) ] c) r (p q)

~ p q L. Absors. (~ p q ) ( q ~ p) ~ r (~ p q)

p q L. del condic. ~ p [q ( q ~ p) ] (~ r ~ p ) q

~ p q ~ p q ( r p ) q

2. Usando las reglas de inferencia:

a) Demostrar : ~ p b) Demostrar : ~ s r c) Demostrar : m = n

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Page 37: SEPARAT LOGICA-UAP

(1) p q (1) s p (1) m = y m = z

(2) t q (2) ~ p ~ t (2) m = z m = n

(3) ~ q (3) ~ t r (3) m = y m = 0

(4) m = 0 m + b = 1

(5) m + b 1Solución : a) b) c)

(1) p t P1 (1) s p P1 (1) m = y m = z P1

(2) t q P2 (2) ~ p ~ t P2 (2) m = z m = n P2

(3) ~ q P3 (3) ~ t r P3 (3) m = y m = 0 P3

(4) ~ t TT(2 y 3) (4) ~ p L.S.(2) (4) m = 0 m + b = 1 P4

(5) ~ p TT(1 y 4) (5) ~ s TT(1 y 4) (5) m + b 1 P5

(6) ~ t L.S.(2) (6) m 0 TT(4 y 5)

(7) r PP(3 y 6) (7) m = y SD(3 y 6)

(8) ~ s r L. A.(5 y 7) (8) m = z PP(1 y 7)

(9) m = n PP(2 y 8)3. Probar la validez de los siguientes razonamientos :

a) 1. p r b) 1. q r c) 1. t p

2. ~ p / q 2. p q / p r 2. p ( r q)

3. r / ~ q ~ t

Sol. a) [ ( p r) ~ p ] ~ q : ( F ) c) { ( t p) [ p ( r q) ] r } (~ q ~ t) (F) (F) (V) (V) (F) ( V ) ( V ) (F) (F) (F) ( F ) (F) (V)

( V ) ( F ) ( V ) ( V ) (V) (V) (F)

( V ) ( F ) ( V )

Nota : El ejercicio ( c ) es ( V ) por que hay 2 valores a la vez para “ t ”.

b) Para ti alumno.

4. Construir el circuito que corresponde a cada uno de los esquemas :

a) (p q) r b) (~ p q ) p c) ) (p q ) (~ p q ) d) [ ~ p ( r q) ] p

Sol. b) (~ p q ) p c) (p q ) (~ p q )

( p q ) p (~ p q ) ( p q )

a) y d) Para ti alumno

5. Escribir el esquema lógico(simplificado) correspondiente a los siguientes circuitos: a) b)

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EJERCICIOS PROPUESTOS :

1. Demostrar las equivalencias de los siguientes esquemas :

a) (p q) ~ (p q ) ~ ( p q ) c) ~ ( ~ p q ) p q

b) ~ [~ (p q ) ~ q ] p q d) ~ { (p q ) [ p (~ p q ) ] } p ~ q

2. Simplificar las formulas lógicas siguientes :

a) [ (~ p q ) ( r ~ r ) ] ~ q

A) ~ q B) ~ p r C) p q D) ~ p E) q ~ r

b) (~ p q ) (q p )

A) ~ p q B) F C) p ~ q D) ~ p E) V

c) (p q ) ~ p ] (~ q q)

A) ~ q B) p C) ~ q D) q E) F

d) ~ { ~ [~ (~ p q ) ~ q ] [ ~ ( p ~ q ) ] }

A) p q B) p q C) p q D) p q E) p q 3. Si ( V ) es un valor lógico y p, q son proposiciones, cuales las siguientes son verdaderas :

(1) [(p (V) ) ~ ( V ) ] (3) { [ p ( V ) ) ( q ~ ( V ) ] (p q ) }

(2) { [ p ( q p ) ] ~ ( V ) } (4) { [(p q ~ ( V ) ) ~ ( V ) ] [ (~ p (V) ) (V) ]

4. Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5 } y las proposiciones :

p : y A / (x + 2 = 6) (x – 5 = 8)

q : x A : ( x + 2 > 2) ( x + 2 < 2 )

r : x A, y A / x + y > 2. Hallar el valor de verdad de s : ~ [ ( p q ) ( q ~ r ) ]

5. Hallar los valores lógicos de las negaciones de las siguientes proposiciones :

s : ( x N / x + 2 = 5) ( x N : ( x2 > x )

t : ( x Z : -x < 0 ) ( x Z / -x = x )

w : x R / R.

6. Negar en nuestro lenguaje el enunciado : “Para todo número real x, existe un número entero n tal que

x2 < n + 1 siempre que x < n”.

7. Probar la validez de los siguientes razonamientos :

a) ~ p b) q r c) ~ q ~ p p q q r

~ ( p q ) p r p r

d) r q e) p q f) t p ~ p ~ q t s p ( r q ) r t t (~ p ~ q ) r ~ p r ~ q ~ t t q s

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8. Probar la validez de los siguientes argumentos

a) Si llueve entonces me mojo. Me llevo el paraguas o no llueve. Luego, si llueve entonces me mojo y saco el paraguas.

b) O no estudio lógica o el examen era conocido de antemano. Si el examen era conocido de antemano, entonces aprobaré lógica. Si apruebo lógica, apruebo filosofía. Luego, si estudio lógica, apruebo filosofía.

c) O bien la tierra es redonda y los hombres no lo saben, o bien la tierra es redonda y los extrate- rrestres lo saben hace tiempo. Si los hombres no lo saben, entonces la tierra es redonda. En conclusión, los extraterrestres lo saben hace tiempo.

d) Si Ana estudia, sacará el curso. S no estudia, se divierte en clase. Si no saca el curso, no se divierte en clase. Así pues, Ana sacará el curso.

e) A los charapas les gusta los chifles, pero no les gusta la carne o beben mazato. Si beben mazato, entonces se emborrachan o toman jugo de naranja de postre. Por lo tanto, si a los charapas les gusta la carne, entonces si no se emborrachan toman jugo de naranja de postre.

f) O vamos al cine o no nos quedamos en casa. Si vamos en coche, no vamos al cine. Por consiguiente, si nos quedamos en casa, no vamos en coche.

g) Si Jaime lleva pareja de ases, lleva poker, o gana; si lleva poker, no lleva pareja de ases; si no sabe jugar al poker, no gana. Luego, si Jaime lleva pareja de ases, sabe jugar al poker.

h) Si eliges una carrera profesional tendrás que esforzarte en lograr una buena preparación. O eliges una carrera profesional o te dedicas al deporte. Es así que no te dedicas al deporte. Luego, tendrás que esforzarte en lograr una buena preparación.

LOGICA DE PREDICADOS

Introducción.-

La idea de lógica de predicados

Los métodos empleados en la lógica de proposiciones resultan insuficientes para examinar otros tipos

de inferencias o razonamientos. Así, por ejemplo, no es posible decidir con dichos métodos la validez de este

ejemplo sencillo de inferencia.

p: Todos los peruanos son sudamericanos

q: Todos los ayacuchanos son peruanos

r: Luego, todos los ayacuchanos son sudamericanos

Expresando simbólicamente las premisas y la conclusión de la inferencia, tendríamos

pq o (p q) r

r

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La inferencia propuesta es intuitivamente valida, sin embargo, esta formula “p y q implica r” es invalida

porque es posible hacer verdaderas las premisas y falsa la conclusión. Examinando atentamente la estructura

de la inferencia llegamos a la evidencia que su validez depende no solo de las relaciones existentes entre sus

proposiciones, sino también de las relaciones existentes entre los elementos de sus proposiciones, elementos

conocidos tradicionalmente con el nombre de términos.

De este nuevo tipo de inferencia, basado en el análisis de la estructura interna de las proposiciones

atómicas, se ocupa esta segunda parte de la lógica llamada lógica de los predicados.

Hay semejanza entre los predicados del lenguaje natural y los predicados lógicos, es decir que

palabras que denotan propiedades o cualidades como negro, alto, frió, lento, argentino, etc., son predicados

gramaticales y también predicados lógicos de un argumento, en el sentido de que se afirman de solo un

nombre como “Juan es lento”; existe diferencias en términos como ‘gato’, ‘león’ u otros que son sustantivos

comunes, pero en lógica en ningún caso son nombres sino predicados. La diferencia sigue aun mas con

palabras como ‘primo’, ‘cunado’, ‘cabeza’ que en la lógica de predicados se interpreta como predicados de

dos argumentos o predicados relacionales en el sentido de que se aplican a dos nombres como, por ejemplo,

‘Jose es primo de Ana’ o ‘Rosa es cuñada de Magda’. En estos casos, de manera general, los predicados son

‘…. primo de ….’, ‘…. cuñado de ….’, ‘…. cabeza de ….’.

La lógica de predicados, llamada también lógica cuantificacional, comienza distinguiendo dos clases

de términos: los que representan individuos(gramaticalmente llamados “sujetos”) y los que representan

propiedades(gramaticalmente llamados “predicados”). Lógicamente los llamaremos argumentos y predica-

dos respectivamente.

Iniciaremos el estudio de las proposiciones deteniéndonos en la composición misma de ellas. Para

comprenderlos utilizaremos ciertas nociones de la gramática, según los gramáticos, la proposición (lo que

llaman oración) se compone de dos miembros: el sujeto y el predicado. El sujeto suele referirse a objetos o

individuos acerca de los cuales se esta afirmando o negando algo, y el predicado se refiere a una propiedad

o característica que posee el sujeto.

En la proposición: Marisol canta, - - - - - - - - - - - - (1)

Predicado Argumento

el argumento(sujeto) es “Marisol” y el predicado es “canta”; en la proposición:

Marisol lee la revista, - - - - - - - - - - - - - - -(2)

El argumento(sujeto) es “Marisol” y el predicado es “lee la revista”, como se observa el predicado se

compone solo de verbo como en (1), o de verbo y complemento(s) como en (2) tenemos además, un

complemento(la revista); el verbo entonces es transitivo.

En lógica se considera de un lado los sujetos y los complementos como una de las partes del

enunciado y, del otro, los verbos como otra de las partes, de ese modo el enunciado se descompone en:

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Page 41: SEPARAT LOGICA-UAP

Sujeto y/o complemento, llamados argumentos o designador (términos)

Verbos y las relaciones llamados predicados

Los objetos, atributos y relaciones.-

Los modelos que nos hacemos del mundo casi siempre hacen referencia a objetos, a propiedades de

estos, y a las relaciones que se establecen entre dichas propiedades. Cuando observamos ejemplos reales

nos será mucho más útil un lenguaje que nos permitirá referirnos a los objetos, propiedades y relaciones de

los modelos que construyéramos acerca de la realidad.

Por ello, necesitamos un lenguaje que pueda hacer referencia a objetos, a propiedades, y finalmente

a las relaciones que se establecerían entre dichas propiedades. El lenguaje del cálculo de predicados de

primer orden es un lenguaje que nos permite, mediante el uso de símbolos específicos, hacer referencia a

todos estos conceptos.

Las proposiciones que intervienen en este nuevo tipo de inferencia son atómico-predicativas.

Consecuentemente, de acuerdo a la cantidad del sujeto, pueden clasificarse en:

a) Singulares: el sujeto es un individuo. Ejemplo: Mario Poggi es psicólogo.

b) Universales: el sujeto es una totalidad de individuos. Ejemplo: Todos los pediatras son médicos.

c) Particulares: El sujeto es una parcialidad de individuos. Ejemplo: Algunos iraquíes son talibanes.

La cantidad del sujeto en estas proposiciones introduce nuevos elementos, los cuatificadores,

representados por los términos “todos” y “algunos”. Estos nuevos elementos determinan cuantitativamente a

sus argumentos.

El lenguaje de los predicados: Nombres y variables.-

El sujeto de una oración esta constituido por el llamado designador: una o varias palabras que hacen

referencia a objetos o individuos. Los designadores mas usuales son los nombres, estos son sucesiones de

signos que designan algo (un numero, una ciudad, una persona, etc.)

Igual que en el calculo proposicional, para que podamos construir proposiciones acerca del mundo

debemos disponer de un lenguaje. Este lenguaje será un lenguaje formal, acotado y mas limitado que el

lenguaje natural, mediante el cual podremos escribir proposiciones(simples o compuestos) con que

denotaremos las relaciones(predicados) que se establecen entre los diferentes objetos(y sus atributos) del

dominio de referencia.

El Cálculo de Predicados de Primer Orden utiliza un alfabeto simbólico para poder construir sus

formulas bien formadas, compuesto de:

Variables individuales, que representan individuos indeterminados(Argumentos o términos), se

emplean las ultimas letras minúsculas del alfabeto o variables: x, y, z, w, … , etc, en algunos casos

por las mismas letras seguidas por uno, dos, o mas guiones.

Ejemplos: x es limeño y es limeño

41

Page 42: SEPARAT LOGICA-UAP

x es estudiante y es estudiante

x es vegetariano y es vegetariano

Variables predicativas, representan predicados indeterminados, se usan letras mayúsculas: F, G,

H, K, …, etc, en algunos casos por las mismas letras seguidas de uno, dos, o mas guiones.

Ejemplos: Fx: x es limeño Fy: y es limeño

Gx: x es estudiante Gy: y es estudiante

Hx: x es vegetariano Hy: y es vegetariano

Kxy: x llegó antes que y Kzv: z es amigo de v

Constantes individuales, representan individuos determinados, se utilizan las prime ras letras

minúsculas del alfabeto: a, b, c, d, . . .etc.

Ejemplos: Fa: Juan es limeño Fd: Rosa es limeña

Gb: Paty es estudiante Ge: Carmen es estudiante

Hc: Jorge es vegetariano Hi: Tito es vegetariano

Kab: Platón fue maestro de Sócrates Kcd: Ana es más estudiosa que Pedro

Constantes predicativas, representan predicados determinados, se utilizan las primeras letras

mayúsculas del alfabeto: A, B, C, D, . . .etc.

Cuantificadores, hacen referencia a la totalidad o a una parte de los miembros de un conjunto.

Sirven para la generalización universal o particular. Los símbolos “” y “” se llaman cuantificadores,

en el espacio vació que le sigue dentro del paréntesis se colocan o bien variables individuales como

( x) y ( x), entonces estamos en el ámbito de la lógica de predicados de primer orden; o bien,

variables predicativas como ( F) y ( F) situándonos en el contexto de la lógica de predicados de

segundo orden.

Todo x estudia: (x) Fx

Ningún x estudia (x) ~ Fx

Algún x estudia ( x) Fx

Algún x no estudia ( x) ~ Fx

Las variables de los argumentos o términos y la de los predicados forman esquemas o formulas

cuantificacionales atómicas tales como: Fx, Fxy, Gx, Gxyz, etc.

Ejemplos. 1) Así por ejemplo una proposición predicativa se simboliza funcionalmente invirtiendo el orden de

sus elementos:

Fa: Luis es profesional ; se lee: “F de a” a F Gb: David pinta; se lee: “G de b”

b G

42

Page 43: SEPARAT LOGICA-UAP

Estas expresiones “Fa” y “Gb” representan proposiciones pues sus argumentos están simbolizados

por constantes que significan individuos determinados de manera que pueden ser verdaderas o falsas.

2) De igual modo se simboliza las funciones proposicionales:

Fx: x es estudioso , se lee: “F de x”

Gy: y duerme, se lee: “G de y”

Las expresiones “Fx” y “Gy” representan funciones proposicionales, o sea, cuasi proposiciones ya que

sus argumentos están simbolizados por variables que significan individuos indeterminados y no pueden ser

verdaderas ni falsas.

3) Una función proposicional simboliza la forma de una proposición individual. Para ampliar su significación a

más individuos se le anteponen los cuantificadores:

Fx: x estudia

( x) Fx: algunos x estudian

( x) Fx: todos los x estudian

4) Transformación de funciones en proposiciones: hay dos maneras:

i) Sustituyendo la variable por una constante:

Fx (una función)

Fa (una proposición)

ii) Anteponiendo un cuantificador a la función:

Fx (una función)

(x) Fx (una proposición)

( x) Fx (una proposición)

Reglas de formación de Formulas Bien Formadas:

i) Cada variable predicativa seguida de una o más constantes individuales es una proposición atómica.

Ejemplos:

a) Fa

b) Gab

c) Habc

ii) Cada proposición atómica afectada al menos por un operador es una proposición molecular. Ejemplos:

a) Fa Gb

b) Fa (Gb Hc)

c) Fa Gb Hc

iii) Cada variable predicativa seguida de una o más variables individuales es una función proposicional

atómica. Ejemplos:

a) Fx

b) Gxy

c) Hxyz

43

Page 44: SEPARAT LOGICA-UAP

iv) Cada función proposicional atómica afectada al menos por un operador es una función proposicional

molecular. Ejemplos:

a) Fx Gy

b) Fx (Gy Hz)

c) Fx Gy Hz

v) Son variables libres las variables que no son afectadas por algún cuantificador. Ejemplos:

a) Fx

b) (Fx Gy) Hz

c) Fx (Gy Hz)

vi) Son variables ligadas las variables afectadas por algún cuantificador. Ejemplos:

a) ( x)Fx

b) ( x) ( y) (Fx Gy)

c) ( x) ( y) ( z) [(Fx Gy) Hz]

vii) Son formulas cerradas las formulas que no contienen variables libres. Ejemplos:

d) ( x)Fx

e) ( x) ( y) (Fx Gy)

f) ( x) ( y) ( z) [(Fx Gy) Hz]

viii) Son formulas abiertas las formulas que contienen al menos una variable libre. Ejemplos:

a) Fx

b) ( x) ( y) ( z) (Fx Gy) Hz

c) Fx ( y) ( z) (Gy Hz)

ix) Si cuantificamos las variables libres de una función proposicional obtenemos una proposi- cion. Ejemplos.

a)Fx ( x) Fx

b) (Fx Gy) Hz ( x) ( y) ( z) [(Fx Gy) Hz]

c) Fx (Gy Hz) ( x) ( y) ( z) [Fx (Gy Hz)]

x) Si sustituimos las variables libres de una función proposicional por constantes individuales obtenemos una

proposición. Ejemplos:

a) Fx: Fa

b) Gxy: Gab

c) Hxyz: Habc

xi) Son formulas predicativas monádicas las que contienen una sola variable individual. Ejemplos:

g) ( x) Fx

h) ( y) (Fy Gy)

i) ( z) [(Fxz Gz) Hz]

xii) Son formulas predicativas poliádicas las que contienen dos o mas variables individuales. Ejemplos:

a) ( x) ( y) Fxy

b) ( x) ( y) (Fx Gy)

44

Page 45: SEPARAT LOGICA-UAP

c) ( x) ( y) ( z) [(Fx Gy) Hz]

xiii) En la lógica de predicados de primer orden se cuantifican solo las variables individuales. Ejemplos:

a) ( x) Fx

b) ( x) ( y) (Fx Gy)

c) ( x) ( y) ( z) [(Fx Gy) Hz]

xiv) En la lógica de predicados de segundo orden se cuantifican también las variables predicativas. Ejemplos:

a) ( F) ( x) ( y) Fxy

b) ( G) ( x) ( y) (Fx Gy)

c) ( x) ( y) ( H) ( z) [(Fx Gy) Hz]

Leyes de Equivalencia de Cuantificadores

i) (x) Fx ~ ( x) ~ Fx

ii) ( x) Fx ~ ( x) ~ Fx

iii) (x) ~ Fx ~ ( x) Fx

iv) ( x) ~ Fx ~ ( x) Fx

Ejemplos.

1) Todos son lógicos es equivalente a No es el caso que algunos no son lógicos

2) Algunos son lógicos es equivalente a No es el caso ninguno es lógico

3) Ningún es lógico es equivalente a No es el caso que algunos son lógicos

4) Algunos no son lógicos es equivalente a No es el caso que todos son lógicos

Leyes de distribución de cuantificadores:

i) (x) (Fx Gx) (x) Fx (x) Gx

ii) ( x) (Fx Gx) ( x) Fx ( x) Gx

iii) [(x) Fx (x) Gx] (x) (Fx Gx)

iv) ( x) (Fx Gx) ( x) Fx ( x) Gx

Las proposiciones Categóricas:

Las proposiciones cuantificadas, tanto universales como existenciales, pueden ser afirmativas o negativas, y son:

i) La Proposición Universal Afirmativa (A):

(x) (Fx Gx);

Ejemplo: 1) Todos los iqueños son peruanos

Puede denotarse funcionalmente:

Para todo x, si x es iqueño, entonces x es peruano (x) Fx Gx

2) Todos los gatos son carnívoros

Puede denotarse funcionalmente:

Para todo x, si x es gato, entonces x es carnívoro (x) Ex Hx

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Page 46: SEPARAT LOGICA-UAP

ii) La Proposición Universal Negativa (E):

(x) (Fx ~ Gx)

Ejemplo: 1) Ningún peruano es chileno

Puede denotarse funcionalmente:

Para todo x, si x es peruano, entonces x no es chileno (x) Fx ~ Gx

2) Ningún gato es carnívoro

Puede denotarse funcionalmente:

Para todo x, si x es gato, entonces x no es carnívoro (x) Ex ~ Hx

iii) La Proposición Existencial Afirmativa (I):

( x) (Ax Cx)

Ejemplo: 1) Algunos estudiantes son profesores

Puede denotarse funcionalmente:

Existe por lo menos un x tal que, x es estudiante y x es profesor (x) Fx Gx

2) Algunos gatos son carnívoros

Puede denotarse funcionalmente:

Existe por lo menos un x tal que, x es gato y x es carnívoro (x) Hx Lx

iv) La Proposición Existencial Negativa (O):

( x) (Ax ~ Cx)

Ejemplo: 1) Algunos estudiantes no son profesores

Puede denotarse funcionalmente:

Existe por lo menos un x tal que, x es estudiante y x no es profesor (x) Fx ~ Gx

2) Algunos gatos no son carnívoros

Puede denotarse funcionalmente:

Existe por lo menos un x tal que, x es gato y x no es carnívoro (x) Hx ~ Lx

Alcance de los cuantificadores

El área de influencia de un cuantificador es:

Si un cuantificador no va seguido de un signo de agrupación, su alcance llega hasta la variable correspondiente a la primera letra de predicado.

Ejemplos: (x) Fx

(x) Fx Gx

En ambos casos, el alcance llega solo a Fx

Si un cuantificador va delante de un signo de agrupación, su alcance se extiende a toda la expresión encerrada dentro de ellos.

46

Page 47: SEPARAT LOGICA-UAP

Ejemplos: (x) (Fx Gx)

(x) [(Fx Gx) Hx]

El Cuadro de Oposición:

El cuadro de Boecio queda conformado de la siguiente manera:

( x) (Fx Gx) ( x) (Fx Gx)

( x) (Fx Gx) ( x) (Fx Gx)

Leyes de Oposición:

Con el planteamiento del cuadro de Boecio pueden determinarse las leyes de oposición negando la contradictoria, como resultado se tiene las siguientes equivalencias:

1) (x) (Fx Gx) ~ (x) ( Fx ~ Gx)

2) (x) (Fx ~ Gx) ~ (x) ( Fx Gx)

3) (x) ( Fx Gx) ~ (x) (Fx ~ Gx)

4) (x) ( Fx ~ Gx) ~ (x) (Fx Gx)

Demostración:

i) (x) (Fx Gx) ~ (x) ( Fx ~ Gx)

1. (x) (Fx Gx) ~ (x) ~ ( Fx Gx ) 1ª Ley de equivalencia cuantificada

2. ~ (x) ~ ( ~ Fx Gx ) Ley del condicional

3. ~ (x) ( Fx ~ Gx ) De Morgan

DERIVACIONES CON FÓRMULAS CUANTIFICADAS

Reglas de Derivación.-

i) Ejemplificación Universal: (EU). Esta regla nos permite prescindir durante la derivación del cuantificador universal.

(x) Fx Fw

Donde w es cualquier variable individual

ii) Ejemplificación Existencial: (EE). Esta regla nos permite prescindir durante la derivación del cuantificador existencial.

( x) Fx Fw

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Page 48: SEPARAT LOGICA-UAP

iii) Generalización Universal: (GU). Esta regla nos permite añadir el cuantificador universal a un enunciado conjuntivo.

Fw(x) Fx

iv) Generalización Existencial: (GE). Esta regla nos permite añadir el cuantificador existencial a un conjunto conjuntivo.

Fw( x) Fx

Las Derivaciones en los Silogismos.-

Por convenio, designaremos a los tres términos del silogismo con las letras mayúsculas S, P y M de

la siguiente manera:

Termino menor: S

Termino mayor: P

Termino mediano: M

Luego se sigue los siguientes pasos.

1°. Se simboliza los silogismos y se disponen las premisas tal como se hace en el método de las

derivaciones.

2°. Se suprimen los cuantificadores mediante las reglas de ejemplificación, teniendo cuidado de

cambiar la variable por un símbolo individual.

3°. Se aplican las leyes de derivación.

4°. Se restituye el cuantificador a la fórmula resultante aplicando las reglas de generalización,

restituyéndole la variable original.

Ejemplo. a) Sea el silogismo: Todos los felinos son mamíferos

Todos los tigres son felinos

Todos los tigres son mamíferosVerificar su validez.

Solución:

1° Se simboliza: 1. (x) ( Hx Gx)

2. (x) (Fx Hx) // (x) (Fx Gx)

2° Se suprimen los cuantificadores:

3. Hw Gw ------------ EU (1)

4. Fw Hw ------------- EU (2)

3° Se aplican las leyes de derivación:

5. Fw Gw ------------- SH ( 4 y 3)

4° Se restituye el cuantificador y la variable, siendo conjuntivo el enunciado resultante:

6. (x) (Fx Gx) ------- GU (5).

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Page 49: SEPARAT LOGICA-UAP

Luego, La argumentación es válida

b) Sea el silogismo: Todos los tiranos son crueles

Algunos civiles son tiranos

Algunos civiles son crueles

Solución:

1° Se simboliza:1. (x) ( Hx Gx)

2. ( x) (Fx Hx) // ( x) (Fx Gx)

2° Se suprimen los cuantificadores:

3. Hw Gw ------------ EU (1)

4. Fw Hw ------------- EE (2)

3° Se aplican las leyes de derivación:

5. Hw Fw ------------- L. Conmut. ( 4)

6. Hw ------------- L. de Simplif. (5)

7. Gw ------------- MPP (3 y 6)

8. Fw ------------- L. Simplif. (4)

9. Fw Gw ------------- L. de Conj. (8 y 7)

4° Se restituye el cuantificador y la variable, siendo conjuntivo el enunciado resultante:

10. ( x) (Fx Gx) ------- GU (9).

Luego, La argumentación es válida.

c) Justifique la demostración de las siguientes formas de razonamientos válidos:

1. (x) ( Fx Hx)

2. (x) (Gx Hx) // (x) (Fx Gx)

3. Fw Hw ………………………………………………………

4. Gw Hw ……………………………………………………....

5. Hw Gw ………………………………………………………

6. Hw Gw ………………………………………………………

7. Fw Gw ………………………………………………………

8. (x) (Fx Gx) ………………………………………………………

d) Demostrar que: 1. (x) ( Hx Gx) 2. (x) (Fx Hx) // (x) (Fx Gx)

e) Demostrar que: 1. (x) ( Hx Ix) ( x) Gx

2. (x) ( Hx) // (x) Gx.

Reglas de Confinamiento (RC).-

RC1.- ( x) (Fa Gx) Fa (x) Gx

RC2.- ( x) (Fa Gx) Fa ( x) Gx

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Page 50: SEPARAT LOGICA-UAP

RC3.- ( x) (Fa Gx) Fa (x) Gx

RC4.- ( x) (Fa Gx) Fa ( x) Gx

Según estas reglas, un cuantificador puede desplazarse a sólo uno de sus miembros con lo cual está ligado.

Además como se puede observar, las fórmulas cuantificadas solo pueden operadores diádicos “ ” y/o “” y/0

“”. Este último operador solo puede negar símbolos predicativos.

Ejemplos. 1) Sea: 1. ( x) (Fx Ha)

2. ( x) Fa Ha por RC1 en (1)

2) Sea: 1. ( x) Fa (Gx Hx)

2. Fa ( x) (Gx Hx) por RC4 en (1)

3) Sea: 1. (x) (y) (Fx Gy)

2. (x) (y) ( Fx Gy) por Ley del Cond. en (1)

3. (x) Fx (y) Gy) Por RC3 en (2)

4. (x) Fx (y) Gy) por RC3 en (3)

4) Probar la validez aplicando las reglas y leyes por el método de derivación:

a. 1. (x) (Fx Gx) P1

2. (x) (Hx Rx) Fx) P2

3. ( x) Gx // (x)(Rx Hx) P3

4. Fw Gw EU en (1)………5. Hw Rw Fw EU en (2)……….6. Gw EE en (3)7. Gw DN en (6)8. Fw MTT en (4 y 7)9. (Hw Rw) MTT en (5 y 8)10. (Rw Hw) L Conmut. en (9)11. ( x) (Rx Hx) GE en (10)12. (x) (Rx Hx) L Equival de Cuantif. en (11). Luego es válido

5) Probar la validez aplicando las reglas y leyes por el método de derivación:a. 1. (x) (Sx Hx) P1

2. (x) (Fx Gx) Sx) P2

3. ( x) (Gx Px) Hx) // (x) Px (x) Fx P3 4. (x) (Sx Hx) L Equiv. de Cuantif en (1)5. (Sw Hw) EU en (1)………6. (Fw Gw) Sw EU en (2)……….7. (Gw Px) Hx EU en (3)8. Sw Hw) LDM en (5)9. Hw LS en (8)10. (Gw Pw) MTT en (6 y 9)11. Gw Pw LDM. en (10)12. Pw LS en (11)13. Sw LS en (12)14. (Fw Gw) MTT en (6 y 13)15. Fw Gw) LDM en (14)16. Fw LS en (15)17. Pw Fw L. de la Conj. en (12 y 16)18. (x) ( Px Fx) GU. en (17). 19. (x) Px (x) Fx) L Distrib. de Cuantif.

Luego es válido50

Page 51: SEPARAT LOGICA-UAP

LÓGICA DE CLASES

Noción de Clase.-

Es un termino primitivo o sea que no se puede definir, sólo podemos dar la idea o la noción

de clase.

Clase es cualquier colección de objetos que posee una propiedad común. Así podemos hablar de la

clase de “todos los universitarios”, la clase de “todos los chosicanos”, la clase de “todos los

católicos, etc. También se puede hablar del sinónimo de clase, los conjuntos.

Noción de Elemento y Pertenencia.-

Se dice que los miembros de una clase pertenecen a la clase dada. Por ejemplo:

i) Javier es chosicano

ii) Tres es un número natural

iii) Dora es universitaria

Es decir, Javier, tres y Dora son los miembros o elementos son llamados también sujeto y chosica-

no, número natural y universitario son las clases que son llamados también predicados, y se puede

escribir:

Javier es elemento de la clase de los chosicanos

Tres es elemento del conjunto de los números naturales

Dora es una miembro de la clase de los universitarios.51

Page 52: SEPARAT LOGICA-UAP

Si a cada uno de los miembros los reemplazamos por las minúsculas “m”, “n” y “d” respectivamente

y de igual modo a c/u. de los predicados por letras mayúsculas F, G y H y se tiene la

representación:

mF, se lee “m pertenece a la clase F”

nG, se lee “n pertenece a la clase G”

dH, se lee “d pertenece a la clase H”

donde el símbolo “” significa “pertenece a”.

Con ello se introduce la noción de clase y elemento en lógica. Una clase o conjunto es un ente

abstracto, aun cuando sus miembros o elementos sean entes concretos, mientras que sus

respectivos predicados son entidades abstractas.

Si se nombra la clase de los individuos que tienen la propiedad de ser “chosicanos”, en símbolos se

expresa:

{x / Fx }, se lee: la clase de todas las x tal que x tiene la propiedad F, si F representa a

“chosicanos”.

Representación Grafica de las Clases:

Representaremos gráficamente a las clases o conjuntos mediante los diagramas de Venn o

de Euler. Vamos a representar una clase por un círculo, por ejemplo la clase designado por S.

Aquí la clase S tal como queda diagramada no indica -

si tiene elementos o es vacía

S

Clase Universal y Clase Vacía o Nula.-

La clase universal es la clase que contiene a todos los elementos que tienen una

propiedad común. Es el dominio de individuos a los que se refiere nuestro discurso. Es la clase que

obra como universo dentro de un determinado contexto. En símbolos se expresa la clase universo

con “U” y formalmente como:

{x / x = x}, se lee: “la clase de todas las x tal que x es idéntico a x”.

El gráfico de la clase universal se representa por un rectángulo:

U

52

Page 53: SEPARAT LOGICA-UAP

La clase vacía o nula es la clase que carece de miembros, esta clase está implícitamente incluida

en todas las clases. En símbolos se representa por y redefine formalmente como:

{x / x x}, se lee: “la clase de todas las x tal que x es diferente a x”.

El grafico de la clase vacía se representa por un círculo sombreado, que indica que no hay

elementos.

S = , significa que la clase S es igual al vacío

En cambio para especificar que la clase S posee miembros o elementos se usará x. así por ejemplo

S , significa que la clase S es diferente del vacío, o

sea S tiene por lo menos un elemento x.

Operaciones con Clases:

Dentro de la lógica de clases se puede realizar operaciones de complemento, unión, intersección y

diferencia.

Complemento.- El complemento de la clase S es la clase formada por todos los miembros que

no pertenecen a clase S.

Notación: = {x / xS }, se lee “la clase de todas x tal que x no es elemento de A”Gráficamente :

i)

ii) =

Ejm. 1) Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, S = {2, 3} y P = {3, 4}; entonces el complemento de: = {1, 4, 5} y = {1, 2, 5} .

53

Page 54: SEPARAT LOGICA-UAP

Unión.- La reunión o suma de las clases S y P es la clase formada por todos los miembros que

pertenecen a S o a P o a ambas clases. En símbolos se expresa y define formalmente.

S P = {x / xS xP}, se lee “la clase de todas las x tal que x pertenece a S o x pertenece

a P o a ambas”.

Gráficamente la unión se representa por el área total –

de los dos círculos. S P

Ejemplo. 1) Sean S ={1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5},

Entonces S P = {1, 2, 3, 4, 5}

El diagrama es:

S P

Intersección.- La intersección o producto de las clases S y P es la clase de todas las x tal que x

pertenecen a la vez a S y a P. En símbolos se expresa y define formalmente.

S P = {x / xS xP}, se lee “la intersección de S y P es la clase de todas las x tal que x

pertenece a S y x pertenece a P”.

Gráficamente es:

S P

Ejm. 1) Sean S = {1, 2, 3, 4} y P = {3, 4, 5}, entonces S P = {3, 4}

S P

Diferencia.- La diferencia entre dos clases S y P es la clase formada por todos los elementos de

S que no pertenece a P. Su símbolo se expresa y define formalmente.

54

Page 55: SEPARAT LOGICA-UAP

S – P = {x / xS xP}, Se lee “La clase de todas las x tal que x pertenece a S pero x no pertenece a P”

Gráficamente:

Ejm. 1) Sean S = {1, 2, 3, 4} y P = {3, 4, 5}, entonces S – P = {1, 2}

.

2) Sean U= {1, 2, 3, 4,5}. S = {1, 2 , 4}, P = { 3 , 5} y R = {1 , 3 , 5}.Hallar:

a) S b) S P c) R - P d) e) (S P) R f) (S P) R

g) (S P) (P R) h) R i)

Relaciones entre Clases:

Las Relaciones entre clases que se puede establecer son La inclusión, La igualdad y La exclusión.

Inclusión.-Se dice que una clase S esta incluida en otra clase P, si todos los elementos de S con

elementos de P. También se dice que S es subclase de propia de P. En símbolo se expresa por:

S P

Y se define formulamente:

S P = {x / xS xP}, Se lee “La clase de todas las x tal que si x pertenece a S

entonces x pertenece a P”

S P

Ejemplo. 1) La clase de los estudiantes cantuteños esta incluido en la clase de los estudiantes

universitarios de Lima.

Igualdad.- Una clase S es igual a una clase P, si todos los elementos de S son elementos de P y

si todos los elementos de P también son elementos de S. En símbolo se expresa:

S = P

Y se define formulamente:

55

Page 56: SEPARAT LOGICA-UAP

S = P = {x / xS xP}, Se lee:”La clase de todas las x tal que x pertenece a S y solo si x pertenece a P”

Gráficamente: S = P Ejm 1) la clase de los números naturales y la clase de los números enteros no negativos son

iguales

Exclusión.- La clase S esta excluida de la clase P, si ningún elemento de S es elemento de P.

En símbolo se expresa:

S P

Y se define Formulamente:

S P = {x / xS xP}, Se lee:“La clase de todas las x tal que si x pertenece a S

entonces x no pertenece a P”

Ejm.1) La clase de gatos es diferente de la clase de los lagartos

Gráficamente:

S P

Leyes de la lógica de clases

Las más importantes son:

Idempotencia:

Conmutativa:

Asociativa:

Distributiva:

Identidad:

56

Page 57: SEPARAT LOGICA-UAP

Complementaridad:

Doble Complementaridad:

Leyes de Absorción:

Leyes de De Morgan:

Los Diagramas de Venn: Venn diseño los gráficos para representar a las operaciones de clases:

Por ejemplo a Continuación se tiene el diagrama que nos permite representar la unión y la

intersección de dos clases:

Si observamos encontramos cuatro áreas y aplicando lo conocido tendremos:

la clase universo, abarca todas las áreas: U = {1, 2,3, 4}

La clase S abarca las áreas 2 y 4:

S= {2, 3}

La clase P abarca las áreas 3 y 4:

P= {3, 4}

La clase complementos de S,S abarca las áreas 1 y 4

= {1, 4}

57

Page 58: SEPARAT LOGICA-UAP

La clase complemento de P, P abarca las áreas 1 y 2

= {1, 2}

La intersección de S y P, SP abarca el área 3.

La intersección de S y P, SP abarca el área 2.

La intersección deS y P,SP abarca el área 4.

La intersección de S yP,SP abarca el área 1

Su diagrama es:

Los diagramas de Venn nos van a permitir determinar cuando una clase esta vacía y cuando no

esta vacía, teniendo presente las siguientes reglas:

I) Si una intersección esta vacía rayamos el área respectiva: Es decir si SP= . (La intersección

SP no tiene miembros)

SP =

II) Si una intersección no esta vacía colocamos un aspa en el área respectiva Es decir si SP

(La intersección S y P, tiene por lo menos un elemento)

SP

Análisis de las Inferencias:

Hay ciertas proporciones que se pueden analizar mediante la lógica de clases y los diagramas de

Venn .Estas proporciones se llaman proporciones categóricas, las que se componen de dos

términos: Sujeto, Predicado, un cuantificador y una cópula (es el verbo que une al sujeto con el

predicado)

Observación: Con respecto a la Cópula señalaremos lo siguiente:

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Page 59: SEPARAT LOGICA-UAP

Por ejemplo se tiene los siguientes ejercicios:

1. Miguel Grau es peruano

2. Miguel Grau es un héroe peruano

3. Todos los piuranos son peruanos

De acuerdo a los ejemplos la Cópula “es” tiene tres significados distintos:

1. En el primer caso la Cópula significa pertenencia

2. En el segundo caso la Cópula significa relación de identidad(Miguel Grau es también

peruano)

3. En el tercer carro la Cópula significa una relación de incluicion de clases.

Proposiciones Categóricas:

Son juicios que afirman o niegan que una clase esta incluida en otra sea parcial o totalmente. Estas

se expresan en cuatro formas:

1. Todos los S sn P A

2. Ningún S es P E

3. Algunos S son P I

4. Algunos S no son P O

Donde las letras S y P representan al sujeto y predicado respectivamente, y las vocales a, e, i y o a

las formas típicas respectivas. El sujeto y el predicado que representan a clases o conjuntos,

pueden ser sustituidos por términos cualesquiera.

Ejm. 1) Todos los estudiantes son estudiosos: SaP

2) Ningún estudiante es estudioso: SeP

3) Algunos estudiantes son estudioso: SiP

4) Algunos estudiantes no son estudiosos: SoP

Donde la clase de los estudiantes sustituye a “S” y la clase de los estudiosos sustituye a “P”

Las proporciones categóricas de la lógica tradicional se clasifican:

Por su Calidad

Por su Cantidad

Así tenemos:

Todo S es P: es universal afirmativa

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Page 60: SEPARAT LOGICA-UAP

Ningún S es P: es universal negativa

Algunos S son P: es particular afirmativa

Algunos S no son P: es particular negativa

En la lógica tradicional, estas cuatro formas se conocen como las cuatro formas típicas de las

proposiciones categóricas y a las cuales como ya lo denotamos se designan con las letras: A, E, I y

O; para cada uno de las cuatro formas respectivas.

Ejemplo. 1) Sean las proposiciones categóricas:

i) Todos los trujillanos son peruanos: A

ii) Ningún profesor es analfabeto: E

iii) Algunos estudiantes son jóvenes: I

iv) Algunos animales no son acuáticos: O

Las proposiciones categóricas típicas se caracterizan por tener:

Cuantificadores: todos, ninguno, algunos, hay, etc.

Sujeto(argumento): S

Cópula(ser)

Predicado: P

Además las cuatro formas típicas pueden expresarse intercalando las letras típicas entre el sujeto y

el predicado, como:

1. SaP, se lee: todos los S son P.

2. SeP, se lee: ningún S es P.

3. SiP, se lee: algunos S son P.

4. SoP, se lee: algunos S no son P

Fórmulas Boleanas

1. SAP = S =

2. SEP = S P =

3. SIP = S P .

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Page 61: SEPARAT LOGICA-UAP

4. SOP = S

Ejm. 1) Todos los peruanos son Latinoamericanos S A P 2) Ningún peruano es europeo S E P 3) Algunos Ancianos son peruanos S I P 4) Algunos filósofos no son científicos S O P

Observaciones:

1. En un diagrama de esta naturaleza también se puede representar si la clase S es vacía o no

es vacía, o si la clase P es vacía o no , cada una independientemente. Por ejemplo S no es

vacía se representa:

S

2. Se observa que la x va en la misma línea para indicar que todo la clase S tiene elementos,

porque si colocamos la x solamente en una la las secciones de S no se sabría si hay o no hay

elementos en la otra sección.

Si S es vacía se representará:

S =

Ejercicios resueltos:1) Representar la intersección del complemento de S por la clase P no es vacía:

P

2) Representar el diagrama de la intersección del complemento de la clase S y el complemento de la clase P es vacía:

61

Page 62: SEPARAT LOGICA-UAP

= 3) Representar el diagrama del complemento de la intersección del complemento de la clase S

por la clase P es vacía.

=

4) Representar el diagrama del complemento de la intersección complemento de la clase S por la clase P no es vacía.

1. SAP= SP

2. SEP= SP=

3. SIP=SP

4. SOP=SP

Inferencias que Involucran Clases.-

Las inferencias que involucran clases, son inferencias en las que debemos derivar una

conclusión de manera directa a partir de algunas premisas. Las características de estas inferencias

es que tanto en las premisas como en la conclusión aparecen ciertas palabras, expresiones o

frases que pueden interpretarse y representarse como clases. De este modo, lo que debemos

descubrir es una relación entre dichas clases para poder obtener una conclusión correcta. Estas

inferencias suelen llamarse también como silogismos categóricos.

Por un ejemplo: 1. Todos los hombres son mortales

2. Sócrates es un hombre

¿Será la conclusión? Sócrates es mortal

¿Es una conclusión correcta?. Sin duda, si lo es. ¿Cómo podemos estar totalmente seguro de ello?.

Podemos estar seguro de ello por la relación que se dan entre las clases que están involucradas en

la inferencia.

De un análisis detallado del ejemplo: en la primera premisa se tiene, todos los hombres son

mortales, contiene dos palabras que pueden interpretarse cada una como clase diferente: hombres

y mortales. Esta premisa establece una relación entre ambas clases; al decir que todos los hombres

son mortales, estamos afirmando que la clase de los hombres está totalmente incluido en la clase

de los mortales. En la segunda premisa, se afirma que un individuo particular, Sócrates, es hombre;

62

Page 63: SEPARAT LOGICA-UAP

esto quiere decir que este individuo pertenece a la clase hombres, y esta clase está totalmente

incluido en la clase de los mortales. Por lo tanto, es posible concluir que Sócrates pertenece a la

clase de los mortales. Esta conclusión es verdadera a partir de lo que se afirma en las premisas.

Para indicar e ilustrar esta conclusión es útil hacer uso de los diagramas de Venn:

La primera premisa tendría que graficarse:

La segunda premisa tendría que graficarse:

Algunas sugerencias para validar estas inferencias:

Estas inferencias que involucran clases se caracterizan por tener como mínimo dos

premisas. Es decir son silogismo categórico.

Es necesario reconocer cuales son las clases para poder establecer las relaciones entre ellos. Las clases aparecen mencionados en cada premisa.

Una forma práctica y segura de resolver estas inferencias es construyendo los diagramas de las clases.

Es necesario recordar que en este tipo de inferencias llamadas silogismos categóricos, hay cuatro

formas de proposiciones:

Todos los S son P

Ningún S es P

Algunos S son P

Algunos S no son P

Las letras S y P representan clases que se mencionan en cada proposición. Estas cuatro

proposiciones básicas pueden tener variantes. Por ejemplo, en algunos casos, en vez de decir

ningún, puede decirse nadie, o, en vez de decir todos, puede decirse cualquiera. Y, así, puede

haber otras variantes. Además de reconocer las proposiciones básicas, es importante tener en

cuenta que cada una de estas establece una relación diferente entre las dos clases y, por ello el

grafico de cada uno también será distinto.

En seguida plantearemos el grafico de las cuatro proposiciones básicas. En los gráficos veremos

algunas zonas sombreadas, estas zonas deben estar vacías; es decir, las partes sombreadas son

aquellas en las que alguna porción de la clase esta vacía. También habrán zonas en las aparece

una x, con ello estamos diciendo que esa parte de la clase no está vacía, es decir, que hay ahí,

algún individuo.

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Page 64: SEPARAT LOGICA-UAP

I) El grafico de: Todo S es P: II) El grafico de: Ningún S es P

En el grafico (i) hay una parte de la clase S que esta sombreada. Esa zona vacía esta dentro de S

pero fuera de P. En el grafico (ii) la parte vacía, o sea la zona sombreada es la intersección de la

clase S con la clase P. Al decir que ningún S es P, estamos afirmando que S y P no tienen nada en

común.

iii) El grafico de: Algún S es P iv) ) El grafico de: Algún S no es P

En el grafico (iii) la intersección de la clase S con la clase P tiene una x, lo que significa que esa

intersección no es vacía. Al decir que algún S es P, estamos afirmando que hay algo en común

entre S y P. En el grafico (iv) aparece la x dentro de la clase S, pero, a la vez, fuera de la clase P.

Es decir, al afirmar algún S no es P, estamos diciendo que hay, al menos, un individuo que

pertenece a la clase S, pero, no a la clase P.

Es importante observar o notar que, los dos primeros gráficos, los que corresponden a las

proposiciones que comienzan con todos o ningún, están colocadas alguna zona del diagrama

sombreadas o sea es vacía; en cambio, los otros dos gráficos, los que corresponden a las

proposiciones que comienzan con algún, están colocadas con un aspa o x en alguna zona del

diagrama.

El uso de estos diagramas nos permitirá con certeza, que conclusión se puede obtener de un cierto

conjunto de premisas.

Ejemplos. 1) Analice y reconozca las clases que aparecen en las proposiciones:

a) Todos los juegos de azar requieren de jugadores

Clases: S: juegos de azar

P: jugadores

b) Algunos mamíferos son vivíparos

c) Todos los métodos experimentales suponen procedimientos experimentales

d) Ningún pez es mamífero

e) Ningún mafioso puede entrar al reino de los cielos

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Page 65: SEPARAT LOGICA-UAP

2. Construya el diagrama siguiente de c/u. de las proposiciones:

a) Todo lo que sube tiene que bajar b) Algunos métodos científicos son deductivos

b) Nada que se fabrique en masa es un artículo de lujo d) Algunos animales domésticos no están en peligro de extinción

3. Observe y analice los diagramas que se dan y escribe la proposición correspondiente:

a) S: animales, P: salvajes b) S: ciencias, P: experimentales

c) S: lo que es demostrable, P: falso d) S: sabio, P: profeta en su tierra

Aplicación de la Ley de Boole:

Tener presente las siguientes recomendaciones:

i) Cuando el sujeto o el predicado están negados, entonces se reemplaza la proposición únicamente por la forma típica

correspondiente.

Ejemplos. 1) Todos los no deportistas son no atletas.

Solución: Aplicando la fórmula de tipo A: S = , se tiene: = Pero por Doble Negación es: = , luego, el diagrama es:

En este caso, a los términos “sujeto” y “predicado” de la proposición sele ha reemplazado por las respectivas letras iniciales, así “deportes” por D = y “atletas” por A en lugar de S y P.

Observación: Los términos que designan clases serán tomados en forma afirmativa, y si están en forma

negativa se les va a considerar como complementos de su afirmativo. Por ejemplo “irreligioso” se considera

como “no religioso”, “acatólico” como “no católico”, “deshonesto” como “no honesto”, etc. y así en casos

similares.

2) Sea: Ningún diplomático es descortés o ningún diplomático es no cortésD e

Aplicando la fórmula de tipo E: S.P = , se tiene: D. = , y diagramando se tiene: D. =

3) Sea: Algunos metodistas no son desordenadosM o

Aplicando la fórmula de tipo O: S. , se tiene: M. ; Pero por D. N. es. M.O .

Diagramando se tiene: M.O .

ii) Cuando el cuantificador está negado se obtiene la contradictoria de la proposición y se diagrama.

Ejemplos. 1) No todos los médicos son cardiólogos.M a C

1. (M a C)

65

Page 66: SEPARAT LOGICA-UAP

2. M o C (contradictoria) M. 3. M.

Sabemos que: (x) (Mx Cx) ( x) (Mx Cx) ( x) (Mx Cx) ( x) (Mx Cx),

o sea en el lenguaje natural: algunos médicos no son cardiólogos y en símbolos: M o C.

2) Sea: No es el caso que algunos físicos son no bohemiosF i

1. (F i )2. F a 3. F. =

Sabemos que: (x) (Fx Bx) (x) (Fx Bx) F. =

(x) (Fx Bx)

(x) (Fx Bx),

O sea en el lenguaje natural: todos los físicos son bohemios: M o C.

Otra forma: (F i ) (F. ) F. = .

iii) Cuando el cuantificador es universal y la negación afecta al verbo copulativo, entonces la negación funciona como

si negara al cuantificador.

Ejemplo. 1) Sea. Todos los peruanos no son limeños.

1. (P a L) 2. (P. = ) 3. P. .

2) Sea: Ningún desafortunado no es idealista. 1. ( e I) 2. ( I = ) 3. I .

iv) Cuando las proposiciones categóricas no tienen cuantificador explícito de la forma típica como “todos”,

“ninguno”, y “algunos”. Primero se tiene que interpretar como una de las cuatro formas típicas, y esta

interpretación depende del contenido de la proposición. Luego se diagrama.

Ejemplos. 1) Sea: Los médicos son profesionales.

Sol. 1. M a P2. M. =

2) Sea: Nadie que es feliz tiene problemas económicos. Sol. 1. F e P

2. F.P =

3. Sea: El perro es un animal mamífero.66

Page 67: SEPARAT LOGICA-UAP

Sol. 1. P a M2. P. =

4. Sea: El gato es un animal que cuida la casa. Sol. 1. G i C 2. G.C .

5. Muchas plantas medicinales no son industrializados Sol. 1. P o I

2. P.

Inferencias Para Tres o Más Clases

El procedimiento es netamente intuitivo, es decir poniendo a prueba nuestra capacidad de abstracción e

intuición lógica llegar a una conclusión correcta.

Tener presente los siguientes pasos:

Reconocer cuales y cuántas son las clases o conjuntos. Normalmente son tres las clases.

Construir los diagramas de tres clases y pintar solamente las premisas que nos han dado. Decidir

cuál de las premisas conviene pintar primero, se recomienda siempre, primero aquellos que nos

llevan a sombrear alguna parte del grafico, y luego si las hay, dibujar las premisas que nos llevan a

colocar una X en alguna parte del grafico. Esto nos evitara la ambigüedad de no saber dónde colocar

las X.

Interpretar, en el diagrama, a partir de la zona nueva que resulta graficada, que proporción es la que

dicha zona representa.

Si en el problema se presenta mas de tres premisas y, por tanto, mas de tres clases, pero trabajare-

mos solo con dos premisas y el resultado será una premisa más para abordar con la tercera premisa

y sacar la conclusión.

Ejemplos. 1) Sean las premisas:

1. Todos los mentirosos son manipuladores

2. Nadie que sea manipulador es una persona confiable.

¿Cuál de los enunciados son las conclusiones derivadas de las premisas?

A) Todos los manipuladores son mentirosos

B) Ningún mentiroso es manipulador

C) Ningún mentiroso es una persona confiable

D) Algunos mentirosos son personas confiables

E) Algunas personas confiables no son manipuladores

Solución: - De las premisas comenzaremos en reconocer las clases o conjuntos que aparecen:67

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M: mentirosos

N: manipuladores

C: personas confiable

- Construir el diagrama:

- Dibujar en el diagrama, una por una, cada premisa

Dibujamos la primera premisa: Todos los mentirosos son manipuladores

Ahora añadamos al diagrama la 2da. Premisa: nadie que sea manipulador

es persona confiable.

Del grafico observamos que al haber dibujado las dos premisas, se ha generado un nuevo dibujo que sirve para

expresar una nueva proposición. El nuevo dibujo generado es el sombreado de la intersección de la lcase o

conjunto M con la clase o conjunto C. La zona sombreada en el grafico significa que esa zona está vacía.

Tener presente siempre los cuatro gráficos básicos (las cuatro formas típicas). Cuando la intersección de dos

clases o conjuntos esta sombreada, es vacía, esto representa la proposición: ningún S es P. En nuestro ejemplo

esta proposición seria: ningún mentiroso es una persona confiable o ninguna persona confiable es un mentiroso.

Ambas proposiciones significan lo mismo cuando se trata de una proposición que empieza con ningún. Por lo

cual, la respuesta es la (C).

2) Sean las premisas:

1. Algunos medicamentos no producen adicción

2. Todos los medicamentos son sustancias químicas

¿Cuál de los enunciados es la conclusión derivada de las premisas?

A) Algunos medicamentos producen adicción

B) Algunas sustancias químicas producen adicción

C) Algunas cosas que producen adicción no son sustancias químicas

D) Algunas sustancias químicas no producen adicción

E) Todas las sustancias químicas son medicamentos

Solución: - iniciaremos viendo cuales son las clases:

M: medicamentos Fig. 2

A: los que producen adicción

Q: sustancias químicas

- Construir los diagramas

- Dibujamos c/u. de las premisas:

Teniendo cuidado por quien de ellas empezamos: por el que nos lleva a dibujar una zona sombreada, vacía,

mientras que el otro nos obliga a colocar una X en alguna zona. La premisa que nos lleva a pintar una zona vacía es

la segunda, todos los medicamentos son sustancias químicas. Ver Fig. 2.

Una vez dibujada la segunda premisa, añadimos

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al grafico el dibujo de la primera premisa: algunos

medicamentos no producen adicción. De este mo- Fig 3

do el nuevo grafico quedara como en fig. 3.

¿Qué conclusión podemos obtener o inferir del último grafico?. Observamos que hay una X en la clase o conjunto Q

(sustancias químicas), pero no está en la clase o conjunto A (lo que produce adicción). Quiere decir: algunas

sustancias químicas no producen adicción. No hay otra proposición que se concluya de estas dos premisas, por

lo la conclusión es ella, buscar el las respuestas de la cual la correcta será la (D).

3. Sean las premisas:

1. Todos los poetas son artistas

2. Nadie que sea un artista carece de imaginación

3. Todos los que copian a los demás carecen de imaginación

¿Cuál de los siguientes enunciados se concluye necesariamente de ellas?

A) Todos los artistas son poetas

B) Nadie que copia a los demás carece de imaginación.

C) Ningún poeta copia a los demás.

D) Todos los poetas copian a los demás.

E) Todos los que carecen de imaginación copian a los demás.

Solución: vemos que hay tres premisas, y no dos como en los otros ejemplos. Por ello no solo tendremos tres clases o

conjuntos sino cuatro tal como se tiene:

P: poetas

A: artistas

I: los que carecen de imaginación

C: los que copian a los demás.

Debemos trabajar como se tratara de dos ejercicios en uno, por ello- Fig. 4

iniciaremos haciendo solo el grafico de las dos primeras premisas Construiremos los

diagramas, luego pintaremos la primera premisa:

Todos los poetas son artistas. Ver la fig. 4

Ahora, pintamos la segunda premisa: nadie que sea un artista carece

de imaginación, por lo que el grafico se verá así: fig. 5

Del último grafico, se observa que hay nueva zona pintada distinta de

la zona representa las dos premisas, esa zona es la intersección de Fig. 5

los conjuntos: I (los que carecen de imaginación) y P (poetas), esta zona sombreada es vacía, de esto se concluye:

ningún poeta carece de imaginación o nadie que carece de imaginación es un poeta. Esta nueva proposición nos

servirá, ahora, como una nueva premisa y en conjunto con la tercera premisa obtendremos la conclusión final.

De la conclusión anterior y la tercera premisa construimos

el diagrama, iniciando primero la premisa: Todos los que copian

a los demás carecen de imaginación. Ver fig. 6

A continuación con la 2da.Premisa: ningún poeta carece de

Imaginación o sea “ningún S es P”, pintamos la intersección Fig 6 Fig 6

De P (poetas) con I (los que carecen de imaginación), es decir

Esa zona es vacía. Ver fig. 7.

Vemos en la fig. 7 que aparece una nueva zona sombreada, vacía

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diferente de las que representan a las premisas, que es la inter-

sección de C (los que copian a los demás) con P (poetas).

Esto se Interpreta como: ninguno de los que copian a los demás son poetas o ningún poeta copia a los demás, que

es la conclusión final. Buscamos en las alternativas y vemos que es la (C).

Ejercicios propuestos:

i) Sean las premisas:

1. Todos los que trabajan con métodos científicos son hombres de ciencias.

2. Algunos de los que trabajan con métodos científicos trabajan con métodos experimentales.

¿Cuál de los siguientes enunciados se concluye necesariamente?

A) Algunos hombres de ciencia no trabajan con métodos experimentales

B) Nadie que no trabaje con métodos experimentales es un hombre de ciencia.

C) Algunos de los que trabajan con métodos experimentales no son hombres de ciencia.

D) Algunos hombres de ciencia trabajan con métodos experimentales.

E) Todos los hombres de ciencia trabajan con métodos científicos.

ii) Sean las premisas:

1. Algunas figuras geométricas son poliedros.

2. Ningún poliedro es una figura plana.

¿Cuál de los siguientes enunciados se concluye necesariamente?

F) Todos los poliedros son figuras geométricas.

G) Todas las figuras planas son figuras geométricas.

H) Algunos figuras geométricas no son figuras planas.

I) Algunos figuras planas no son figuras geométricas.

J) Algunas geométricas son figuras planas.

iii) Sean las premisas:

1. Todo lo que sube tiene que bajar.

2. Todo lo que tiene que bajar tiene peso.

3. Todo lo que tiene peso está sujeto a las leyes de la gravedad

¿Cuál de los siguientes enunciados se concluye necesariamente?

K) Todo lo que tiene que bajar sube

L) Todo lo que sube esta sujeto a las leyes de la gravedad.

M) Todo lo que esta sujeto a las leyes de la gravedad tiene bajar.

N) Todo lo tiene peso sube.

O) Todo lo que tiene peso tiene que bajar.

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