Se dice que A es divisible por B si y solo si

AB

=K ; .. ..K∈N

TEMA GENERADOR:

EL CUMPLEAÑOS DE VIVIANA

En el aula de Matemática, Viviana cumplió años, para lo cual un grupo de amigos llevó 15 regalos Si todos aportaron el mismo número de regalos, ¿Por cuántas personas pudo haber estado conformado el grupo?

CONCEPTOS BÁSICOS:

¿Cuándo un número es divisible por otro?

Ejemplos:

20 es divisible entre 5    30 es divisible entre 6     48 es divisible entre 8

Porque 4

5

20    

Porque 5

6

30    

Porque 6

8

48

¿Qué es un Múltiplo?

Ejemplo:

50 = 10(5) 50 es múltiplo de 10 , se puede denotar como: (

0

10 ) o m(10)

Es decir m(10) = (0

10 )

Si A es múltiplo de B, denotaremos de la siguiente manera : A = m(B)

Un número natural A es múltiplo de un número B, si A es el resultado de multiplicar a B por otro número natural diferente de cero.

Interpreta situaciones problemáticas relacionadas con divisibilidad y multiplicidad expresadas a través de gráficos y expresiones simbólicas.Formula y analiza conjeturas sobre situaciones problemáticas relacionadas con múltiplos y divisores empleando el razonamiento lógico

APRENDIZAJE ESPERADO

Grupo B

Nota: Las propiedades b) y d) se utilizan para hallar restos de una potencia.Ejemplo 1) Hallar el resto de dividir 3200 entre 2.Solución: 3200 = (2+1)200 =m(2) + 1200 = m(2) +1 Por lo tanto el resto es 1Ejemplo 2) Hallar el resto de dividir 3213 entre 4.Solución: 3213 = (4 - 1)213 =m(4) - 1213 = m(4) -1 Por lo tanto el resto es 3 ¡¡ !!

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PROGRAMA BÁSICO 2010-2011

0

n +

0

n=

0

n c) 0

n0

n=

0

n

nba )(0

a nb d)

nba )(

e) Si N =

0

a y N =

0

b f) Si N ra

0

y N =

0b r

CRITERIO DE DIVISIBILIDAD EjemplosPOR 2 Un número es divisible por 2 si termina en 0 o cifra par. 50; 24;…POR 3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un

múltiplo de 3.243 es divisible por 3, porque 2+4+3 es múltiplo de 3.

POR 4 Si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4. 932 es divisible por 4, porque 32 es múltiplo por 4.

POR 5 Un número es divisible por 5, si la última cifra es 5 o es 0. 425; 10;..POR 6 Un número es divisible por 6, si lo es simultáneamente por 2 y 3. 240 es divisible por 6 porque

termina en cifra cero y 2 + 4 + 0 es múltiplo de 3

POR 7 Para que un número sea divisible por 7, la suma algebraica de sus cifras multiplicadas de derecha a izquierda por 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; 2;… debe ser múltiplo de 7.

2413516 es divisible por 7: Porque: 6(1) + 1(3) + 5(2) + 3(-1) + 1(-3) + 4(-2) + 2(1) = 6 + 3 + 10 – 3 – 3 – 8 + 2 = 7

POR 8 Un número, es divisible por ocho cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman múltiplo de ocho.

75 000; 49 160;…

a0

+bn

a0

−bn

………… si n es par

………… si n es impar

N =MCM0

(a ,b )

Observación: Un número puede escribirse utilizando el residuo por defecto o por exceso.

Ejemplo 1: escribir 38 como un múltiplo de 5

Solución:

38 = m(5) + 3 o también 38 = m(5) – 2

Ejemplo 2: escribir 44 como un múltiplo de 7

N =MCM0

(a ,b )+r

Esto es muy importante, muchas veces antes de utilizar la propiedad (f) debemos de escribir convenientemente

CRITERIOS PARTICULARES DE DIVISIBILIDAD

CRITERIOS GENERALES DE DIVISIBILIDAD

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POR 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9

3 987 es divisible por 9, porque la suma de 3+9+8+7 es 27 este número es múltiplo de 9

POR 10 Un número es divisible por 10 si termina en 0 230;2456760;…POR 11 Un número es divisible por 11 si, cuando sumamos las cifras

que ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares y luego restamos de la suma mayor, la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11.

502502; 42365897

Ejercicios resueltos:

Solución:Del enunciado tenemos:

H +M = 48; además M5

2

no hizo la tarea M = m (5) M = 45,40,35,30,25,20,15,10,5

Como H

11

2

no asistió H = m (11) H = 44,33,22,11Con lo que se deduce que H = 33 y M = 15 hay (33 - 15) = 18 mujeres más q varones.

Solución: M = m(5) + 2 ; M = m(7) + 4 o también: M = m(5) - 3 ; M = m(7) - 3 M = m(5,7) – 3 M = 35k – 3, por condición: 406 < 35k – 3 < 420 ( k entero ) k = 12 M = 35(12) – 3 = 417

Solución:A = m(6) + 1 ; A = m(7) + 2 ; A = m(8) – 5 o también: A = m(6) - 5 ; A = m(7) – 5; A = m(8) – 5

A = m(6,7,8) – 5 A = 168k – 5, por condición: 1600 < 168k – 5 < 1800 k = 10 A = 168(10) – 3 = 1677

Solución:Obs: 10 paginas = 5 hojas.Se desea escribir 410 = m(5) + r; donde r nos indica “ las páginas que sobran ” para escribir la presentación, prefacio y el índice de la enciclopedia.

2. Un comerciante tiene entre 406 y 420 manzanas. Si las embolsa de 5 en 5 le sobrarían 2 y si las embolsa de 7 en 7 le sobrarían 4 ¿Cuántas manzanas tiene el comerciante?

3.- El número de alumnos en un colegio está comprendido entre 1600 y 1800. Cuando se cuentan de 6 en 6 sobra 1, cuando se cuentan de 7 en 7 sobran 2, pero si se cuentan de 8 en 8 faltan 5 para agruparlo exactamente ¿Cuántos alumnos tiene dicho colegio?

1. En un salón de clases de 48 alumnos hay 2/5 de mujeres que no cumplieron con su tarea y 2/11 de los varones no asistió a la clase de Matemática. ¿Cuántos varones más que mujeres hay?

4. Pedro ha editado una enciclopedia de la siguiente manera: cada 10 páginas es un capítulo diferente, si utilizó 410 hojas y escribió el mayor número de capítulos posibles, ¿Cuántas paginas fueron destinadas para la presentación, prefacio e índice de la enciclopedia?

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En efecto: 410 = (5 - 1)10 = m(5) – 110 = m(5) – 1 = m(5) + 4 “ sobran 4 hojas ”

Por lo tanto, utilizó 8 páginas para la presentación, prefacio y el índice de la enciclopedia.

En un salón de clases de 40 alumnos se desea saber cuántos hombres hay, si la quinceava parte de las

mujeres son altas y éstas son la mayoría.

a) 25 b) 10 c) 5 d) 20 e) 2

A una fiesta asisten 105 personas entre hombres y mujeres. La octava parte de los hombres bailan solo

salsa, y un tercero de las mujeres solo rock. El total de los hombres que no bailan salsa son:

a) 40 b) 85 c) 5 d) 35 e) 10

En la PRE-UNAC hay 510 alumnos, en uno de sus locales y en una encuesta realizada se determina

que de los hombres, los 5/12 son menores de 17 años, los 2/5 estuvieron preparándose ya en otra

academia y los 4/9 quieren ser ingenieros. Si el número de mujeres está comprendido entre 100 y 200.

Hallar el número de hombres menores de 17 años.

a) 180 b) 150 c) 140 d) 170 e) 160

A una fiesta asistieron 280 personas entre damas, caballeros y niños. En un determinado momento de la

fiesta la cantidad de caballeros que no bailaban era igual a la cuarta parte del número de damas. La

cantidad de niños asistentes era igual a la séptima parte del número de damas. Si la quinta parte de las

damas eran casadas, se desea saber, cuántas damas no bailaban en dicho momento de la fiesta.

a) 45 b) 55 c) 25 d) 85 e) 90

Hallar el menor número tal que al dividirlo entre 8 de un resto igual a 4, al dividirlo entre 11 de un residuo

igual a 7, pero al dividirlo entre 4, no deja resto. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 12 b) 10 c) 18 d) 16 e) 14

Hallar el menor número tal que al dividirlo entre 13 de cómo resto 8, al dividirlo entre 12 da como resto 5

y al dividirlo entre 8 de cómo resto 1. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 12 b) 8 c) 21 d) 17 e) NA

Gonzalo agrupa a sus alumnos de 6 en 6 y sobra 1. Si decide hacerlo de 8 en 8, faltan 3. Si los tuviera

que agrupar de 10 en 10 ¿Cuántos alumnos sobrarían? (el número de alumnos es el mayor posible, pero

menor que 100).

a) 6 b) 2 c) 8 d) 4 e) 5

Para iniciar un juego, un grupo de niños se junta de 5 en 5, sobrando 2, pero si lo hacen de 12 en 12

sobran 4, ¿Cuántos niños sobrarán si intentan agruparse de 15 en 15?

a) 5 b) 4 c) 7 d) 6 e) NA

Un granjero compró pavos, patos y pollos, cada pavo costó 100 soles, cada pato 50 soles y cada pollo 5

soles. Si compró en total 100 animales con 1000 soles, ¿cuántos pollos compró?

a) 50 b) 10 c) 85 d) 90 e) 70

TRABAJANDO EN EQUIPO